Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt

Transkriptio

1 Todeäköisyys ja se laskusääöt Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyys ja se laskusääöt 1. Johdato 2. Joukko opi peruskäsitteet 3. Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt 5. Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka 6. Todeäköisyyde aksioomat 7. Kokoaistodeäköisyyde ja Bayesi kaavat 8. Verkot ja todeäköisyyslasketa TKK Ilkka Melli 1

2 Todeäköisyys ja se laskusääöt TKK Ilkka Melli 2

3 Todeäköisyys ja se laskusääöt Sisällys 1. JOHDANTO DETERMINISTISYYS JA SATUNNAISUUS 9 DETERMINISTISYYS 9 SATUNNAISUUS SATUNNAISKOKEET JA KOETOISTOT SATUNNAISUUS JA TILASTOLLINEN STABILITEETTI 10 TILASTOTIEDE, TILASTOLLINEN STABILITEETTI JA REILUT PELIT TILASTOLLINEN TUTKIMUS PELINÄ LUONTOA VASTAAN TODENNÄKÖISYYDEN MÄÄRITTELEMINEN 13 KLASSINEN TODENNÄKÖISYYS 14 ONGELMAT KLASSISEN TODENNÄKÖISYYDEN MÄÄRITELMÄSSÄ 14 KLASSINEN TODENNÄKÖISYYS JA TODENNÄKÖISYYDEN FREKVENSSITULKINTA 14 EMPIIRINEN TODENNÄKÖISYYS 15 ONGELMAT EMPIIRISEN TODENNÄKÖISYYDEN MÄÄRITELMÄSSÄ 16 EMPIIRINEN TODENNÄKÖISYYS JA TODENNÄKÖISYYDEN FREKVENSSITULKINTA 16 TODENNÄKÖISYYS MITTANA 18 ONGELMAT TODENNÄKÖISYYDEN NAIIVISSA MÄÄRITELMÄSSÄ MITTANA 18 KOLMOGOROVIN AKSIOOMAT TODENNÄKÖISYYDELLE SATUNNAISILMIÖT JA NIIDEN TILASTOLLISET MALLIT JOUKKO OPIN PERUSKÄSITTEET JOUKKO JA SEN ALKIOT VENN DIAGRAMMIT OSAJOUKKO TYHJÄ JOUKKO JOUKKO OPIN PERUSOPERAATIOT 23 KOMPLEMENTTIJOUKKO 23 YHDISTE 23 LEIKKAUS 24 PISTEVIERAAT JOUKOT 24 EROTUS TODENNÄKÖISYYSLASKENNAN PERUSKÄSITTEET SATUNNAISILMIÖT TODENNÄKÖISYYSLASKENNAN PERUSKÄSITTEET TODENNÄKÖISYYS JA SEN PERUSOMINAISUUDET 29 TODENNÄKÖISYYDEN PERUSOMINAISUUDET 29 TODENNÄKÖISYYKSIEN VERTAILU 30 TODENNÄKÖISYYKSIEN VERTAILU JA TODENNÄKÖISYYDEN FREKVENSSITULKINTA KLASSINEN TODENNÄKÖISYYS 30 SYMMETRISET ALKEISTAPAHTUMAT 30 ALKEISTAPAHTUMIEN SYMMETRIA JA UHKAPELIT 30 LUKUMÄÄRÄFUNKTIO 31 KLASSISEN TODENNÄKÖISYYDEN MÄÄRITELMÄ 31 TKK Ilkka Melli 3

4 Todeäköisyys ja se laskusääöt 3.5. EMPIIRINEN TODENNÄKÖISYYS TODENNÄKÖISYYS MITTANA TODENNÄKÖISYYDEN FREKVENSSITULKINTA TODENNÄKÖISYYSLASKENNAN PERUSLASKUSÄÄNNÖT TODENNÄKÖISYYSLASKENNAN PERUSOPERAATIOT JA LASKUSÄÄNNÖT TODENNÄKÖISYYSLASKENNAN PERUSOPERAATIOT 35 VENN DIAGRAMMIT 35 TAPAHTUMAN A KOMPLEMENTTI 36 TAPAHTUMIEN A JA B YHDISTE 36 TAPAHTUMIEN A JA B LEIKKAUS 37 TAPAHTUMIEN A JA B EROTUS TODENNÄKÖISYYSLASKENNAN PERUSLASKUSÄÄNNÖT 37 KOMPLEMENTTITAPAHTUMAN TODENNÄKÖISYYS 39 TOISENSA POISSULKEVAT TAPAHTUMAT 39 YHTEENLASKUSÄÄNTÖ TOISENSA POISSULKEVILLE TAPAHTUMILLE 40 YLEISTETTY YHTEENLASKUSÄÄNTÖ TOISENSA POISSULKEVILLE TAPAHTUMILLE 40 TAPAHTUMIEN RIIPPUMATTOMUUS 40 RIIPPUMATTOMUUS VS RIIPPUVUUS 41 TULOSÄÄNTÖ RIIPPUMATTOMILLE TAPAHTUMILLE 41 YLEISTETTY TULOSÄÄNTÖ RIIPPUMATTOMILLE TAPAHTUMILLE 43 YLEINEN YHTEENLASKUSÄÄNTÖ 44 EROTUSTAPAHTUMAN TODENNÄKÖISYYS 45 TAPAHTUMASTA B SEURAA TAPAHTUMA A 45 EROTUSTAPAHTUMAN TODENNÄKÖISYYS, JOS TAPAHTUMASTA B SEURAA TAPAHTUMA A 46 YHDISTEEN TODENNÄKÖISYYS EHDOLLINEN TODENNÄKÖISYYS JA RIIPPUMATTOMUUS 46 EHDOLLINEN TODENNÄKÖISYYS 46 RIIPPUMATTOMUUS 49 YLEINEN TULOSÄÄNTÖ 51 YKSINKERTAINEN SATUNNAISOTANTA JA TULOSÄÄNNÖT KLASSINEN TODENNÄKÖISYYS JA KOMBINATORIIKKA KLASSINEN TODENNÄKÖISYYS KOMBINATORIIKAN PERUSPERIAATTEET KOMBINATORIIKAN PERUSONGELMAT 56 JOUKKO 56 JONO KOMBINATORIIKAN PERUSONGELMIEN RATKAISEMINEN 57 PERMUTAATIO 57 N KERTOMA 59 VARIAATIO 59 KOMBINAATIO 60 PERMUTAATIOT, VARIAATIOT, KOMBINAATIOT 61 PASCALIN KOLMIO 63 PASCALIN KOLMIO JA BINOMIKERTOIMET 63 BINOMIKAAVA 64 ÄÄRELLISEN JOUKON OSAJOUKKOJEN LUKUMÄÄRÄ 66 ESIMERKKEJÄ LUKUMÄÄRIEN LASKEMISESTA 67 TKK Ilkka Melli 4

5 Todeäköisyys ja se laskusääöt 5.5. MULTINOMIKERROIN TODENNÄKÖISYYDEN AKSIOOMAT TODENNÄKÖISYYS ÄÄRELLISISSÄ OTOSAVARUUKSISSA 71 BOOLEN ALGEBRAT 71 TODENNÄKÖISYYDEN AKSIOOMAT ÄÄRELLISISSÄ OTOSAVARUUKSISSA 74 ALKEISTODENNÄKÖISYYSLASKENNAN LASKUSÄÄNTÖJEN TODISTAMINEN 74 ÄÄRELLINEN TODENNÄKÖISYYSKENTTÄ 77 RIIPPUMATTOMUUS JA RIIPPUMATTOMIEN TAPAHTUMIEN TULOSÄÄNTÖ KLASSINEN TODENNÄKÖISYYS, SUHTEELLINEN FREKVENSSI JA EHDOLLINEN TODENNÄKÖISYYS TODENNÄKÖISYYKSINÄ 77 KLASSINEN TODENNÄKÖISYYS TODENNÄKÖISYYTENÄ 77 SUHTEELLINEN FREKVENSSI TODENNÄKÖISYYTENÄ 79 EMPIIRINEN TODENNÄKÖISYYS 80 TODENNÄKÖISYYDEN FREKVENSSITULKINTA 81 EHDOLLINEN TODENNÄKÖISYYS TODENNÄKÖISYYTENÄ TODENNÄKÖISYYS MIELIVALTAISISSA OTOSAVARUUKSISSA 82 σ ALGEBRAT 82 KOLMOGOROVIN AKSIOOMAT 84 TODENNÄKÖISYYSKENTTÄ 86 MITALLISET JA EPÄMITALLISET JOUKOT 86 KOLMOGOROVIN AKSIOOMIEN SEURAUKSIA KOKONAISTODENNÄKÖISYYDEN JA BAYESIN KAAVAT JOHDATTELEVA ESIMERKKI OSITUKSET KOKONAISTODENNÄKÖISYYDEN KAAVA BAYESIN KAAVA KOKONAISTODENNÄKÖISYYDEN KAAVAN JA BAYESIN KAAVAN SYSTEEMITEOREETTINEN TULKINTA VERKOT JA TODENNÄKÖISYYSLASKENTA JOHDATTELEVA ESIMERKKI PUUDIAGRAMMIT JA TODENNÄKÖISYYSLASKENTA 103 VERKOT 103 PUUT 104 PUIDEN KONSTRUOINTI 104 PUUTODENNÄKÖISYYDET 105 TULOSÄÄNTÖ PUUTODENNÄKÖISYYKSILLE 105 YHTEENLASKUSÄÄNTÖ PUUTODENNÄKÖISYYKSILLE 106 PÄÄTÖSPUUT: ESIMERKKI TOIMINTAVERKOT JA NIIDEN TOIMINTATODENNÄKÖISYYDET 109 TOIMINTAVERKOT 109 SARJAAN KYTKENNÄN TOIMINTATODENNÄKÖISYYS 110 RINNANKYTKENNÄN TOIMINTATODENNÄKÖISYYS 110 SOVELLUS 111 TKK Ilkka Melli 5

6 Todeäköisyys ja se laskusääöt TKK Ilkka Melli 6

7 Todeäköisyys ja se laskusääöt TKK Ilkka Melli 7

8 1. Johdato 1. Johdato 1.1. Determiistisyys ja satuaisuus 1.2. Satuaiskokeet ja koetoistot 1.3. Satuaisuus ja tilastollie stabiliteetti 1.4. Tilastollie tutkimus peliä luotoa vastaa 1.5. Todeäköisyyde määrittelemie 1.6. Satuaisilmiöt ja iide tilastolliset mallit Todeäköisyyslasketa kehittää matemaattisia malleja satuaisilmiöille. Mallie avulla yritetää kuvata ja erottaa satuaisilmiöide systemaattiset ja satuaiset piirteet. Tarkastelemme tässä luvussa esi sitä, mitkä tekijät tekevät reaalimaailma ilmiöistä determiistisiä ja mitkä satuaisia sekä sitä, mitä satuaisuudella tarkoitetaa. Samalla yritämme perustella myös se, että satuaisilmiö tuloksissa havaittava satuaie vaihtelu ei saa olla mielivaltaista, vaa satuaisvaihteluu o liityttävä sellaista sääömukaista käyttäytymistä, jota kutsutaa tilastolliseksi stabiliteetiksi. Toiseksi pyrimme määrittelemää todeäköisyyde käsittee. Esitämme tässä luvussa kolme aiivia määritelmää todeäköisyydelle: Tapahtuma klassie todeäköisyys o tapahtumalle suotuiste tulosvaihtoehtoje lukumäärä suhde kaikkie mahdolliste tulosvaihtoehtoje lukumäärää. Tapahtuma empiirie todeäköisyys o tapahtuma tilastollisesti stabiili suhteellie osuus satuaisilmiö esiitymiskertoje joukossa. Todeäköisyys o tapahtuma sattumise mahdollisuude mitta. Kaikki kolme tässä luvussa esitettävää määritelmää todeäköisyydelle ovat aiiveja siiä mielessä, että e eivät ole matemaattisesti tarkkoja. Määritelmillä o kuiteki ollut suuri merkitys todeäköisyyslaskea historiassa ja iihi liittyy tulkiallisesti tärkeitä äkökulmia todeäköisyyde käsitteesee. Todeäköisyyde matemaattisesti tarkka määritelmä esitetää luvussa Todeäköisyyde aksioomat. Avaisaat: Determiistie ilmiö, Determiistisyys, Empiirie todeäköisyys, Epäreilu peli, Frekvessi, Frekvessitulkita, Klassie todeäköisyys, Koetoisto, Kolmogorovi aksioomat, Luoto, Mitta, Peli luotoa vastaa, Reaalimaailma ilmiö, Reilu peli, Satuaisilmiö, Satuaiskoe, Satuaisuus, Stokastie malli, Stokastisuus, Suhteellie frekvessi, Suhteellie osuus, Suotuisa tulosvaihtoehto, Tilastollie malli, Tilastollie stabiliteetti, Tilastollie tutkimus, Tilastotiede, Todeäköisyyde aksioomat, Todeäköisyyde frekvessitulkita, Todeäköisyyde määrittelemie, Todeäköisyys, Todeäköisyyslasketa, Todeäköisyysmalli, Tulos, Tulosvaihtoehto, Ve diagrammi TKK Ilkka Melli 8

9 1. Johdato 1.1. Determiistisyys ja satuaisuus Determiistisyys Reaalimaailma ilmiö o determiistie, jos ilmiö alkutila perusteella voidaa tarkasti eustaa ilmiö lopputila eli tulos. Determiistise ilmiö alkutila määrää ilmiö lopputila. Determiistisiä ilmiöitä kutsutaa usei eksakteiksi tai kausaalisiksi. Moia fysiika, kute esimerkiksi klassise mekaiika ilmiöitä voidaa kuvata determiistisiä ilmiöiä. Esimerkki 1. Ammukse rada eustamie. Ammukse rata voidaa eustaa hyvi tarkasti, jos tuetaa ammukse paio, lähtöopeus, lähtökulma, lähtösuuta, ilmavastus je. Huomautus: Determiistisiä ilmiöitä koskevii havaitoihi liittyy hyvi usei luoteeltaa satuaista havaitovirhettä. Lisäksi determiistisii ilmiöihi saattaa liittyä eustamattomuutta, jota kutsutaa kaaokseksi. Satuaisuus Reaalimaailma ilmiö o stokastie eli satuaie, jos sillä o seuraavat omiaisuudet: (i) (ii) Ilmiö voi päätyä alkutilastaa useisii erilaisii lopputiloihi eli ilmiöllä o useita erilaisia vaihtoehtoisia tuloksia. Ilmiö alkutila perusteella ei voida tarkasti eustaa ilmiö lopputilaa eli sitä, mikä ilmiö mahdollisista tulosvaihtoehdoista realisoituu eli toteutuu. (iii) Vaikka ilmiö lopputilaa ei voida eustaa tarkasti, tulosvaihtoehtoje suhteelliste frekvessie eli osuuksie voidaa ähdä ilmiö toistuessa käyttäytyvä sääömukaisesti. Esimerkki 2. Erilaisia satuaisilmiöitä. Satuaisilmiöitä tai ilmiöitä, joissa satuaisuus o mukaa aiaki osatekijää kohdataa mitä erilaisimmilla alueilla. Sellaiset perustuvaa laatua olevat biologiset ilmiöt kute sukupuole määräytymie tai omiaisuuksie periytymie vahemmilta jälkeläisille oudattavat sattuma lakeja. Kvattimekaiika ilmiöt kute alkeishiukkaste käyttäytymie tai radioaktiivie hajoamie ovat luoteeltaa satuaisilmiöitä. Useimpia sosiologia tai taloustietee tutkimia yhteiskuallisia ilmiöitä ei voida ymmärtää, jollei satuaiste tekijöide roolia oteta huomioo. Tavallisimmissa uhkapeleissä kute opaheitossa, korttipeleissä, lotossa, ruletissa tai arpajaisissa sattumalla o aiva keskeie rooli. Empiirise tutkimukse mittauksii välttämättä liittyvät havaitovirheet käyttäytyvät satuaisesti. Tilastolliste tutkimusaieistoje keräämie kute otoksie poimita perustuu arvotaa ja site sattuma hyväksikäyttöö. TKK Ilkka Melli 9

10 1. Johdato Satuaisilmiöide tulosta ei siis voida eustaa tarkasti, mutta ilmiö toistuessa tulosvaihtoehtoje suhteelliste frekvessie eli osuuksie havaitaa käyttäytyvä sääömukaisesti. Esimerkki 3. Satuaisilmiöt ja iide sääömukaiset piirteet. Esimerkkejä satuaisilmiöide sääömukaisista piirteistä: Lapse sukupuolta ei voida eustaa etukätee, mutta oi puolet sytyvistä lapsista o tyttöjä ja oi puolet o poikia. Satuaisesti valitu ihmise älykkyysosamäärää ei tiedetä, mutta älykkyysosamäärät jakautuvat suurissa ihmisjoukoissa s. ormaalijakauma mukaa. Käsittelemme ormaalijakaumaa luvussa Jatkuvia jakaumia. Radioaktiivise aiee yksittäise atomi hajoamishetkeä ei voida eustaa, mutta s. puoliitumisaika o jokaiselle radioaktiiviselle aieelle omiaie vakio. Havaitovirhee suuruutta ja suutaa ei voida eustaa yksittäiselle havaiolle, mutta suurissa havaitojoukoissa havaitovirheet jakautuvat hyvi usei s. ormaalijakauma mukaa. Käsittelemme ormaalijakaumaa luvussa Jatkuvia jakaumia Satuaiskokeet ja koetoistot Satuaisilmiötä kutsutaa todeäköisyyslaskeassa usei satuaiskokeeksi ja satuais ilmiö esiitymiskertaa kutsutaa usei koetoistoksi. Esimerkki 1. Sukupuole määräytymie. Voimme kutsua sukupuole määräytymismekaismia muasolu hedelmöittyessä satuaiskokeeksi ja tiety yksilö sukupuole määräytymistä koetoistoksi. Esimerkki 2. Nopaheitto. Nopaheitto o satuaiskoe ja yksittäie opaheitto o koetoisto Satuaisuus ja tilastollie stabiliteetti Todeäköisyyslaskea satuaisuus ei ole mielivaltaisuutta. Vaikka ilmiö tulos vaihteleeki ilmiö toistuessa tavalla, jota ei voida eustaa tarkasti, ii ilmiö sääömukaiste piirteide o tultava esille ilmiö toistuessa. Todeäköisyyslaskea tehtävää o kehittää matemaattisia malleja tällaisille sääömukaisille piirteille. Esimerkki 1. Rahaheitto satuaisilmiöä. Heitetää virheetötä rahaa toistuvasti ja pidetää kirjaa kruuie frekvessistä eli lukumäärästä f sekä suhteellisesta frekvessistä eli osuudesta f/, jossa o tehtyje heittoje lukumäärä. Yksittäise heito tulosta ei voida eustaa etukätee ja kruuie suhteellie frekvessi f/ vaihtelee heittoja toistettaessa, mutta lähestyy virheettömä raha tapauksessa kuiteki lukua 1/2 ii, että suuret poikkeamat luvusta 1/2 tulevat yhä harviaisemmiksi. Alla oleva kuva esittää kruua suhteellise frekvessi f/ kehittymistä eräässä realisoitueessa heittosarjassa. Kuvasta ähdää, kuika kruua suhteellise frekvessi f/ suuret poikkeamat luvusta 1/2 tulevat yhä harviaisemmiksi, ku heittoje lukumäärä kasvaa. TKK Ilkka Melli 10

11 1. Johdato Esimerkki kruua suhteellise frekvessi f/ kehittymisestä pitkässä rahaheittosarjassa 1 f / Heito umero (log) O syytä huomata, että luku 1/2 ei ole kruuie suhteellise frekvessi f/ raja arvo tavaomaise lukujookovergessi mielessä. Tapa, jolla kruuie suhteellie frekvessi lähestyy lukua 1/2, o esimerkki s. stokastisesta kovergessista; ks. luvu Stokastiika kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet kappaletta Suurte lukuje lait. Kutsumme satuaisilmiö toistuessa ilmeevää sääömukaisuutta tilastolliseksi stabiliteetiksi. Jos satuaisilmiö ei ole tilastollisesti stabiili, sitä ei voida mallitaa todeäköisyyslaskea matemaattisilla malleilla. Huomautus: Tilastollise stabiliteeti idea saa matemaattisesti täsmällise muotoilu s. suurte lukuje laeissa; ks. luvu Stokastiika kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet kappaletta Suurte lukuje lait. Tilastotiede, tilastollie stabiliteetti ja reilut pelit Tilastotiede o yleie meetelmätiede, joka tehtävää o kehittää ja soveltaa matemaattisia malleja, joide avulla voidaa kuvata ja selittää mekaismit, jotka tuottavat reaalimaailma ilmiöistä umeerisia tai kvatitatiivisia tietoja, sellaisissa tilateissa, joissa tietoihi liittyy epävarmuutta tai satuaisuutta. Tietoihi liittyvä epävarmuus tai satuaisuus voi olla seurausta ilmiöstä itsestää tai siitä tavasta, jolla tiedot o kerätty. Koska tilastollisissa tutkimusasetelmissa tutkimukse kohteea olevaa reaalimaailma ilmiötä koskevii tietoihi liittyy epävarmuutta tai satuaisuutta, tilastotietee malleja eli tilastollisia malleja rakeettaessa sovelletaa todeäköisyyslasketaa. TKK Ilkka Melli 11

12 1. Johdato Satuaisilmiölle voidaa raketaa tilastollisia malleja vai, jos ilmiö tulokset (tai iitä koskevat tiedot) eivät vaihtele mielivaltaisella tavalla. Ei mielivaltaisuudella tarkoitetaa sitä, että ilmiö toistuessa tulosvaihtoehtoje suhteelliset frekvessit eli osuudet käyttäytyvät tilastollisesti stabiilisti. Vaatimus satuaisilmiö tuloste käyttäytymise tilastollisesta stabiliteetista voidaa tulkita vaatimukseksi reilusta pelistä. Esimerkki 2. Reilu vs epäreilu peli. Pelaat Mr. Ebeezer Scroogea vastaa peliä, jolla o seuraavat sääöt: (i) Mr. Scroogella o hallussaa useita erilaisia oppia, joide silmälukuja et tiedä. (ii) Esi Mr. Scrooge valitsee opistaa yhde. (iii) Et saa ottaa Mr. Scrooge valitsemaa oppaa käteesi, mutta Mr. Scrooge heittää valitsemaasa oppaa ii mota kertaa kui haluat. (iv) Jokaise heito jälkee Mr. Scrooge äyttää siulle heito tulokse eli se silmäluvu, joka o opa ylösjääeellä tahkolla. (v) Voitat ealta sovitu rahasumma, jos saat selville Mr. Scrooge valitsema opa silmäluvut. Vaikka et saakaa ottaa oppaa käteesi, saat suurella varmuudella Mr. Scrooge valitsema opa silmäluvut selville, jos toistatat opaheittoa riittävä mota kertaa ja tarkkailet heittoje tuloksea esiityvie silmälukuje suhteellisia frekvessejä. Oletetaa esimerkiksi, että Mr. Scrooge valitsema opa silmäluvut ovat 1, 1, 1, 2, 2, 3 O ilmeistä, että silmälukuje 1, 2 ja 3 suhteelliste frekvessie o jakauduttava pitkässä heittosarjassa suuillee suhteessa 3 : 2 : 1 Site saat Mr. Scrooge valitsema opa silmäluvut selville toistattamalla opaheittoja riittävä mota kertaa. Oletetaa yt, että Mr. Scrooge vaihtaa oppaasa koko aja salate vaihdot. Tällöi et voi voittaa pelissä, koska Mr. Scrooge rikkoo tietämättäsi peli säätöä (ii) vastaa. Vaatimus reilusta pelistä tarkoittaa sitä, että tällaista säätöje rikkomista ei saa tapahtua Tilastollie tutkimus peliä luotoa vastaa Tilastollista tutkimusta voidaa kuvata peliä luotoa vastaa. Tilastollisessa tutkimuksessa pyritää tekemää luoo (eli reaalimaailma) tilaa koskevia johtopäätöksiä luoo (eli reaalimaailma) tilasta kerättyje havaitoje perusteella. Voimme ajatella, että luoolla o kädessää joukko kortteja ja tutkija pyrkii ottamaa selville luoo kädessä olevat kortit, ku taas luoto pyrkii salaamaa e. Peli koostuu eristä, joissa tutkija voi katsoa yhde satuaisesti luoo kädestä valitsemasa korti tämä o havaitoje keräämistä. Tutkija voi saada selville luoo tila eli luoo kädessä olevat kortit pelaamalla riittävä mota erää eli keräämällä riittävästi havaitoja mutta vai sillä edellytyksellä, että luoto pelaa reilusti eli ei muuta peli aikaa jatkuvasti kätesä sisältöä. TKK Ilkka Melli 12

13 1. Johdato Tilastollisessa tutkimuksessa pyritää havaitoje perusteella päättelemää, millaie o havaiot tuottaut mekaismi. Päättely ei oistu, jos havaiot tuottaut mekaismi ei ole jossaki mielessä pysyvä eli tilastollisesti stabiili. Oletus havaiot tuottaee mekaismi pysyvyydestä voidaa tulkita oletukseksi siitä, että luoto pelaa reilusti eli ei riko peli säätöjä vastaa vaihtamalla jatkuvasti kädessää olevia kortteja. Olosuhteide säilymie vakioa takaa tavallisesti se, että satuaiskokee tulokset käyttäytyvät tilastollisesti stabiilisti. O syytä olla tietoie siitä, että tilastotiede o kehittäyt myös sellaisia meetelmiä, joilla voidaa pyrkiä paljastamaa muutokset havaiot tuottaeessa mekaismissa. Tilastollise tutkimukse kohteea ovatki usei seuraavat kysymykset: (i) (ii) Oko havaiot tuottaeessa mekaismissa tapahtuut muutoksia? Mitkä ovat muutoste syyt? Jotta tilastotiede pystyisi mallitamaa havaiot tuottaeessa mekaismissa tapahtueet muutokset, muutokset eivät kuitekaa saa tapahtua mielivaltaisella tavalla, vaa iissä o oltava joki systemaattie piirre Todeäköisyyde määrittelemie Todeäköisyyslaskea tehtävää o raketaa matemaattisia malleja satuaisilmiöide sääömukaisille piirteille. Satuaisilmiö koostuu tulosvaihtoehdoista, joista joki sattuu, ku satuaisilmiö esiityy. Mikä tulosvaihtoehdoista sattuu, ei voida eustaa tarkasti etukätee, mutta ilmiö toistuessa ilmiö sääömukaiset piirteet tulevat esii tulosvaihtoehtoje suhteellisissa frekvesseissä eli osuuksissa. Satuaisilmiö tulosvaihtoehtoje yhdistelmiä eli tulosvaihtoehtoje muodostamia joukkoja kutsutaa todeäköisyyslaskeassa tapahtumiksi. Todeäköisyyslaskea eräää tehtävää o määrätä satuaisilmiö tapahtumie todeäköisyydet. Mitä todeäköisyys o? Hyvä määritelmä atamie todeäköisyydelle o osoittautuut vaikeaksi. Todeäköisyydelle o todeäköisyyslaskea historiassa esitetty mm. seuraavat aiivit määritelmät: (i) (ii) Tapahtuma klassie todeäköisyys o ko. tapahtumalle suotuisie tulosvaihtoehtoje osuus kaikista mahdollisista tulosvaihtoehdoista. Tapahtuma empiirie todeäköisyys o ko. tapahtuma (tilastollisesti stabiilisti käyttäytyvä) suhteellie frekvessi. (iii) Tapahtuma todeäköisyys o ko. tapahtuma sattumise mahdollisuude mitta. Em. määritelmiä o tapaa kutsua aiiveiksi, koska e eivät määrittele todeäköisyyttä matematiika kaalta tyydyttävällä tavalla. O osoittautuut, että todeäköisyyde täsmällie määrittelemie vaatii aksiomaattista lähestymistapaa. Todeäköisyyde aksioomat esitti veäläie matemaatikko A. N. Kolmogorov 1930 luvu alussa. Kolmogorovi aksioomie mukaa todeäköisyys o mitta matemaattise mittateoria tarkoittamassa mielessä ja site todeäköisyydellä o samatapaiset matemaattiset omiaisuudet kui pituus, pita ala ja tilavuusmitoilla; ks. lukua Todeäköisyyde aksioomat. Todeäköisyyde aiivit määritelmät voidaa sisällyttää (sopivasti muotoiltuia) Kolmogorovi aksioomie muodostamaa kehikkoo todeäköisyyde erikoistapauksia tai tulkitoia. Tarkastelemme seuraavassa todeäköisyyde aiiveja määritelmiä lähemmi. TKK Ilkka Melli 13

14 1. Johdato Klassie todeäköisyys Olkoo satuaisilmiöllä yhtä todeäköistä tulosvaihtoehtoa ja tarkastellaa ilmiö tapahtumaa, joho liittyy tulosvaihtoehdoista k kpl, joita saotaa ko. tapahtumalle suotuisiksi. Tällöi ko. tapahtuma klassie todeäköisyys p o ko. tapahtumalle suotuisie tulosvaihtoehtoje osuus satuais ilmiö kaikista mahdollisista tulosvaihtoehdoista: k p = Klassise todeäköisyyde käsite sopii erityisesti uhkapelie aalysoitii. Uhkapeleissä pelitapahtumie todeäköisyydet voidaa tavallisesti määrätä päättelemällä e peli sääöistä. Historiallisesti todeäköisyyslasketa sai alkusa 1600 luvulla eräisii oppapeleihi liittyvie ogelmie ratkaisuyrityksistä. O syytä huomata, että tulosvaihtoehtoje lukumäärie laskemie o usei epätriviaali tehtävä ja apua tarvitaa tavallisesti kombiatoriikaksi kutsuttua matematiika osa aluetta; ks. lukua Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka. Ogelmat klassise todeäköisyyde määritelmässä Klassise todeäköisyyde määritelmä ei aa mahdollisuutta puhua sellaiste tapahtumie todeäköisyyksistä, joihi liittyvät tulosvaihtoehdot eivät ole yhtä todeäköisiä. Määritelmä ei myöskää aa mahdollisuutta puhua sellaiste tapahtumie todeäköisyyksistä, joihi liittyy äärettömä mota tulosvaihtoehtoa. Klassie todeäköisyys ja todeäköisyyde frekvessitulkita Oletetaa, että toistamme jotaki satuaiskoetta yhä uudellee ja tarkkailemme joki tapahtuma suhteellise frekvessi käyttäytymistä koetoistoje aikaa. Todeäköisyyde frekvessitulkia mukaa tapahtuma suhteellie frekvessi vaihtelee satuaisesti koetoistosta toisee, mutta saa keskimääri ko. tapahtuma todeäköisyyttä lähellä olevia arvoja. Vahvistavatko havaiot tämä, o empiirie kysymys. Esimerkki 1. Nopaheitto. Heitetää virheetötä oppaa. Tällöi tulosvaihtoehtoja o 6 kpl: Silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5, 6 Tarkastellaa tapahtumia A = Silmäluku o parillie B = Silmäluku < 3 Tapahtumalle A suotuisia tulosvaihtoehtoja o 3 kpl: Silmäluvut 2, 4, 6 Tapahtumalle B suotuisia tulosvaihtoehtoja o 2 kpl: Silmäluvut 1, 2 Tapahtuma A klassie todeäköisyys o 3 1 = = TKK Ilkka Melli 14

15 1. Johdato Tapahtuma B klassie todeäköisyys o 2 1 = Site tapahtuma A o todeäköisempi kui tapahtuma B. Oletetaa, että heität oppaa toistuvasti. Todeäköisyyde frekvessitulkia mukaa o odotettavissa, että tapahtuma A esiityy useammi kui tapahtuma B ii, että keskimääri puolet heitoista ataa tulokseksi tapahtuma A ja keskimääri 1/3 heitoista ataa tulokseksi tapahtuma B. Empiirie todeäköisyys Tarkastellaa satuaiskoetta, jota voidaa toistaa ii, että seuraavat ehdot pätevät: (i) (ii) Kokee olosuhteet säilyvät muuttumattomia koetoistosta toisee. Koetoistot ovat riippumattomia siiä mielessä, että yhdekää koetoisto tulos ei riipu siitä mitä tuloksia muissa koetoistoissa saadaa. Tarkkaillaa joki tapahtuma esiitymistä koetoistoje aikaa. Jos ko. tapahtuma suhteellie frekvessi eli osuus koetoistoista lähestyy jotaki kiiteätä lukua, ku koetoistoje lukumäärää kasvatetaa, kutsumme lukua ko. tapahtuma empiiriseksi todeäköisyydeksi. Oletetaa siis, että satuaiskoetta toistetaa kertaa. Olkoo f ko. tapahtuma frekvessi eli lukumäärä koetoistoje joukossa. Tällöi f o ko. tapahtuma suhteellie frekvessi eli suhteellie osuus koetoistoista. Aetaa yt koetoistoje lukumäärä kasvaa rajatta. Jos suhteellie frekvessi f/ lähestyy tällöi (jossaki mielessä) lukua p eli f p ii saomme, että luku p o ko. tapahtuma empiirie todeäköisyys. Huomautuksia: Suhteellise frekvessi f/ rajakäyttäytymie koetoistoje lukumäärä kasvaessa ei ole tavaomaista lukujookovergessia. Todeäköisyyslaskea kovergessikäsitteitä tarkastellaa luvussa Stokastika kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet. Voimme saoa (huoolla suomekielellä), että tapahtuma empiirie todeäköisyys o ko. tapahtuma suhteellie frekvessi pitkässä juoksussa. Empiirise todeäköisyyde määritelmä edellyttää tapahtuma suhteellisilta frekvesseiltä tilastollista stabiliteettia. Matemaattista todeäköisyyde käsitettä voidaa pitää empiirise todeäköisyyde käsittee idealisoitia. TKK Ilkka Melli 15

16 1. Johdato Ogelmat empiirise todeäköisyyde määritelmässä Empiirie todeäköisyys o empiirie käsite siiä mielessä, että tapahtuma suhteellise frekvessi f/ määräämie vaatii satuaiskokee toistamista ja havaitoje keräämistä. Todellisuudessa tapahtuma empiiristä todeäköisyyttä ei voida imestää huolimatta määrätä kokeellisesti, koska määritelmä vaatii satuaiskokee toistamista äärettömä mota kertaa. Empiirise todeäköisyyde käsite ei myöskää aa mahdollisuutta puhua sellaiste tapahtumie todeäköisyyksistä, joista ei ole havaitoja. Lisäksi o syytä huomata, että empiirise todeäköisyyde määritelmässä esiityvä raja arvo ei ole hyvi määritelty, koska mikää ei takaa, että määritelmässä esiityvä raja arvo o olemassa. Empiiristä todeäköisyyttä voidaa pikemmiki pitää tilastollisesti stabiilisti käyttäytyvä suhteellise frekvessi omiaisuutea kui todeäköisyyde määritelmää. Empiirie todeäköisyys ja todeäköisyyde frekvessitulkita Oletetaa, että toistamme jotaki satuaiskoetta yhä uudellee ja tarkkailemme joki tapahtuma suhteellise frekvessi käyttäytymistä koetoistoje aikaa. Todeäköisyyde frekvessitulkia mukaa tapahtuma suhteellie frekvessi vaihtelee satuaisesti koetoistosta toisee, mutta saa keskimääri ko. tapahtuma todeäköisyyttä lähellä olevia arvoja. Vahvistavatko havaiot tämä, o empiirie kysymys. Esimerkki 2. Tilastollie laaduvalvota. Tehdas valmistaa erästä sähkölaitetta 300 kpl päivässä. Laitteille o asetettu ii akarat laatukriteerit, että osa tehtaa valmistamista laitteista ei täytä iitä. Tehdää oletus, että vialliset laitteet sytyvät tuotaossa täysi sattumavaraisesti. Merkitää: K = Laite o kelvollie V = Laite o viallie Oletetaa, että eräää päivää löydetää 6 viallista laitetta. Satuaisilmiö: Koetoisto: Koetoistoje lkm : 300 Tulosvaihtoehto V: Vialliste laitteide frekvessi: f = 6 Laittee laatu Vialliste laitteide suhteellie frekvessi: f = 300 = Valmistetaa 1 laite Laite o viallie Oletetaa yt, että vaikka vialliste laitteide suhteellie osuus vaihteleeki päivästä toisee, se pysyy kuiteki suuillee samaa eli, että vialliste laitteide suhteellie osuus käyttäytyy tilastollisesti stabiilisti. TKK Ilkka Melli 16

17 1. Johdato Tällöi suhteellista frekvessiä f = 300 = voidaa kutsua todeäköisyydeksi saada viallie laite, jos tehtaa valmistamie laitteide joukosta poimitaa satuaisesti 1 laite tarkastettavaksi. Esimerkki 3. Satuaisotata. Väestötilasto mukaa Suome väestö jakautui vuode 1998 lopussa miehii ja aisii seuraavasti: Miehet Naiset Yhteesä Tyypillisessä kyselytutkimuksessa kysely kohteiksi poimitaa suomalaista kaikkie suomalaiste joukosta käyttäe (yksikertaista) satuaisotataa; lisätietoja otaasta: ks. moistetta Tilastolliset meetelmät. Satuaisotokse poimimista voidaa kuvata arvotaa, jossa jokaista suomalaista vastaa häe imellää varustettu arpalippu, arvat o asetettu (hyvi sekoitettuia) suuree uuraa ja uurasta poimitaa satuaisesti haluttu määrä arpalippuja, jolloi otoksee tulevat poimituksi e suomalaiset, joide imet esiityvät poimituissa lipuissa. Todeäköisyys poimia tietty hekilö otoksee o Mieste suhteellie osuus eli suhteellie frekvessi kaikkie suomalaiste joukosta: = Naiste suhteellie osuus eli suhteellie frekvessi kaikkie suomalaiste joukosta: = Koska suomalaisia o äiki paljo, mieste ja aiste suhteelliset frekvessit voidaa tulkita empiirise todeäköisyyde määritelmä mukaisiksi todeäköisyyksiksi. Site todeäköisyys, että satuaisesti suomalaiste joukosta poimittu hekilö o mies, o ja todeäköisyys, että satuaisesti suomalaiste joukosta poimittu hekilö o aie, o Todeäköisyys poimia suomalaiste joukosta aie o suurempi kui todeäköisyys poimia mies, koska aisia o suomalaiste joukossa eemmä kui miehiä. Oletetaa, että suomalaiste joukosta poimitaa arpomalla yhä uusia 1000 hekilö satuaisotoksia. Tällöi otoksee poimittuje mieste ja aiste suhteelliset osuudet vaihtelevat otoksesta toisee, mutta otoksee poimituista hekilöistä keskimääri 48.8 % o miehiä ja keskimääri 51.2 % o aisia. Tilastollie stabiliteetti o sitä, että ämä suhdeluvut pysyvät otoksesta toisee suuillee samoia. TKK Ilkka Melli 17

18 1. Johdato Todeäköisyys mittaa Hyödyllise mielikuva todeäköisyyde luoteesta ataa seuraava aiivi määritelmä: Todeäköisyys o mitta, joka mittaa satuaisilmiö tapahtumie sattumise mahdollisuutta. Ogelmat todeäköisyyde aiivissa määritelmässä mittaa Määritelmä ei täytä hyvä määritelmä tuusmerkkejä, koska se o kehämääritelmä: Sattumise mahdollisuus ja todeäköisyys tarkoittavat suuillee samaa. Kolmogorovi aksioomat todeäköisyydelle Mielikuva todeäköisyydestä satuaisilmiöide tapahtumie sattumise mahdollisuude mittaa voidaa täsmetää matemaattisesti s. Kolmogorovi aksioomiksi; ks. lukua Todeäköisyyde aksioomat. Kolmogorovi aksioomie mukaa todeäköisyys o mitta matemaattise mittateoria tarkoittamassa mielessä. Aksioomie mukaa todeäköisyysmitta käyttäytyy samalla tavalla kui esimerkiksi pituus, pita ala tai tilavuusmitta, lukuu ottamatta sitä, että todeäköisyysmitalla o ylärajaa varma tapahtuma todeäköisyys, joksi sovitaa luku 1. Todeäköisyyde tulkiasta mittaa seuraa se, että todeäköisyyde laskusäätöjä voidaa havaiollistaa joukko opi operaatioide havaiollistamisessa käytettävie Ve diagrammie avulla. Ve diagrammi kostruoidaa seuraavalla tavalla: (i) (ii) Kuvataa tapahtumia tasoalueilla. Kuvataa tapahtumie todeäköisyyksiä tasoalueide pita aloilla. Viereisessä diagrammissa satuaisilmiö kaikkie mahdolliste tulosvaihtoehtoje muodostamaa otosavaruutta S o kuvattu suorakaiteella ja ko. satuaisilmiö tapahtumaa A o kuvattu varjostetulla ympyrällä Satuaisilmiöt ja iide tilastolliset mallit Tilastotietee tehtävää o kehittää ja soveltaa tilastollisiksi malleiksi kutsuttuja matemaattisia malleja satuaisilmiöille. Mallie avulla pyritää tekemää ilmiöitä koskevia johtopäätöksiä ilmiöstä kerättyje havaitoje perusteella. Malleja kutsutaa tilastotieteessä ja se sovelluksissa tilastollisiksi malleiksi ja iide avulla pyritää erottamaa ja kuvamaa satuaisilmiöide systemaattiset ja satuaiset piirteet. Koska tilastolliset mallit perustuvat todeäköisyyslasketaa, iitä kutsutaa usei myös stokastisiksi malleiksi tai todeäköisyysmalleiksi. Satuaisilmiö tilastollie malli koostuu seuraavista kahdesta osasta: (i) (ii) Satuaisilmiö kaikkie mahdolliste tulosvaihtoehtoje kuvaus. Tulosvaihtoehtoje todeäköisyyksie kuvaus. A S TKK Ilkka Melli 18

19 1. Johdato Satuaisilmiö tilastollie malli esitetää satuaisilmiö tulosvaihtoja umeerisessa muodossa kuvaavaa satuaismuuttuja ja se todeäköisyysjakauma avulla; ks. lukua Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat. Vaikka tilastolliste mallie raketamista käsitellää vasta moisteessa Tilastolliset meetelmät, o hyvä paiaa mieleesä jo yt, että tilastollise malli raketamisee o aia syytä liittää seuraavat työvaiheet: 1. Malli muodostamie tutkimukse kohteea olevalle satuaisilmiölle. 2. Ilmiötä koskevie havaitoje keräämie. 3. Malli parametrie estimoiti eli parametrie arvoje määräämie kerättyje havaitoje perusteella. 4. Malli ja kerättyje havaitoje yhteesopivuude testaamie. Jos mallissa havaitaa vaiheessa 4 puutteita, o malli raketamisessa palattava vaiheesee 1. TKK Ilkka Melli 19

20 2. Joukko opi peruskäsitteet 2. Joukko opi peruskäsitteet 2.1. Joukko ja se alkiot 2.2. Ve diagrammit 2.3. Osajoukko 2.4. Tyhjä joukko 2.5. Joukko opi perusoperaatiot Todeäköisyyslaskea historia tärkeimpiä teoreettisia oivalluksia o ollut se, että satuaisilmiöide tapahtumia voidaa käsitellä joukkoia ja todeäköisyydellä o matemaattisesti samalaiset omiaisuudet kui pituus, pita ala tai tilavuusmitalla. Tästä seuraa se, että joukko oppi muodostaa matemaattise todeäköisyysteoria perusta. Tässä luvussa esitellää aiivi joukko opi peruskäsitteet ja määritelmät siiä laajuudessa kui iitä tarvitaa todeäköisyyslaskeassa; joukko oppia tarkastellaa lähes koko perus matematiika vaatimassa laajuudessa liitteessä Joukko oppi. Avaisaat: Alkio, Erotus, Joukko, Komplemetti, Kuulua joukkoo, Leikkaus, Olla osajoukkoa, Osajoukko, Perusjoukko, Pistevieraus, Tyhjä joukko, Uioi, Ve diagrammi, Yhdiste TKK Ilkka Melli 20

21 2. Joukko opi peruskäsitteet 2.1. Joukko ja se alkiot Joukko o jouko alkioiksi kutsuttuje olioide kokoelma. Saomme, että joukko o hyvi määritelty, jos jokaisesta oliosta voidaa saoa oko se jouko alkio vai ei. Joukko o siis hyvi määritelty, jos se alkiot tuetaa. Joukkoja määriteltäessä o tärkeätä spesifioida perusjoukko, joka alkioita kaikkie tarkasteltavie olioide o oltava. Merkitsemme joukkoja isoilla kirjaimilla A, B, C,, X, ja jouko alkiota pieillä kirjaimilla a, b, c,, x, Jos joukko o äärellie, se voidaa määritellä luettelemalla se alkiot. Jos äärellise jouko X alkiot ovat ii merkitsemme x 1, x 2,, x X = {x 1, x 2,, x } Esimerkki 1. Nopa silmälukuje muodostama joukko. Olkoo B tavallise opa silmälukuje muodostama joukko. Voimme tällöi kirjoittaa: B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Jouko ja se alkioide suhde o joukko opi perusrelaatio. Jos x o jouko A alkio eli x kuuluu joukkoo A, ii merkitsemme x A Jos x ei ole jouko A alkio eli x ei kuulu joukkoo A, ii merkitsemme x A Esimerkki 2. Nopa silmälukuje muodostama joukko. Olkoo B opa silmälukuje muodostama joukko, jolloi Tällöi ja B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2 B 7 B Matematiikassa joukko määritellää tavallisesti atamalla loogie ehto, joka jouko alkioide o toteutettava. Jos A o iide perusjouko S alkioide x joukko, jotka toteuttavat ehdo P(x) eli joille lause P(x) o tosi, ii merkitsemme { ( )} A= x S Px Esimerkki 3. Parittomie positiiviste kokoaislukuje muodostama joukko. Olkoo luoolliste lukuje 0, 1, 2, 3, joukko. Tällöi joukko TKK Ilkka Melli 21

22 2. Joukko opi peruskäsitteet { 2 1, } C = k k = + o parittomie positiiviste kokoaislukuje 1, 3, 5, muodostama joukko. Esimerkiksi 7 C, koska luku 7 voidaa esittää muodossa 7 = jossa 3. Se sijaa esimerkiksi 8 C Ve diagrammit Joukko opi käsitteitä ja operaatioita voidaa havaiollistaa s. Ve diagrammie avulla. y Ve diagrammi kostruoidaa seuraavalla tavalla: (i) (ii) Kuvataa perusjoukkoa suorakaiteella. Kuvataa perusjoukossa määriteltyjä joukkoja suorakaitee osa alueilla. x A Ve diagrammi oikealla havaiollistaa sitä, että joukko A o perusjoukossa S määritelty joukko. Lisäksi kuva havaiollistaa sitä, että perusjouko S alkio x o jouko A alkio: S x A ja perusjouko S alkio y ei ole jouko A alkio: y A 2.3. Osajoukko Olkoot joukot A ja B perusjoukossa S määriteltyjä joukkoja. Jos jokaie jouko B alkio o myös jouko A alkio eli x B x A ii joukko B o jouko A osajoukko ja merkitsemme B A Havaiollistus: ks. Ve diagrammia oikealla. Esimerkki 1. Parittomie positiiviste kokoaislukuje muodostama joukko. Joukko { 2 1, } C = k k = + o parittomie positiiviste kokoaislukuje muodostama joukko. Olkoo Tällöi D = {3, 5, 7, 9, 11} D C TKK Ilkka Melli 22

23 2. Joukko opi peruskäsitteet 2.4. Tyhjä joukko Joukko o tyhjä, jos siiä ei ole yhtää alkiota. Merkitsemme tyhjää joukkoa symbolilla Tyhjä joukko o kaikkie joukkoje osajoukko. Jos siis A o perusjouko S mielivaltaie osajoukko, ii A 2.5. Joukko opi perusoperaatiot Olkoot joukot A ja B perusjouko S osajoukkoja. Tarkastelemme seuraavie joukoista A ja B johdettuje perusjouko S osajoukkoje määrittelemistä: (i) (ii) Jouko A komplemettijoukko. Joukkoje A ja B uioi eli yhdiste. (iii) Joukkoje A ja B leikkaus. (iv) Joukkoje A ja B erotus. Komplemettijoukko Olkoo joukko A perusjouko S osajoukko. Jouko A komplemetti A c o iide perusjouko S alkioide joukko, jotka eivät kuulu joukkoo A: { } c A = x S x A A Esimerkki 1. Olkoo S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A c ja A = {2, 4, 6} S Tällöi A c = {1, 3, 5} Yhdiste Olkoot joukot A ja B perusjouko S osajoukkoja. Joukkoje A ja B uioi eli yhdiste A B o iide perusjouko S alkioide joukko, jotka kuuluvat joukkoo A tai joukkoo B: { } A B = x S x A tai x B Huomaa, että lause " x A tai x B" A A B B TKK Ilkka Melli 23

24 2. Joukko opi peruskäsitteet tarkoittaa tässä sitä, että alkio x saa kuulua joukkoo A tai joukkoo B tai molempii. Esimerkki 2. Olkoo ja Tällöi Leikkaus A = {1, 2} B = {2, 3, 4} A B = {1, 2, 3, 4} Olkoot joukot A ja B perusjouko S osajoukkoja. Joukkoje A ja B leikkaus A B o iide perusjouko S alkioide joukko, jotka kuuluvat joukkoo A ja joukkoo B: { } A B = x S x A ja x B Esimerkki 3. Olkoo ja Tällöi A = {1, 2} B = {2, 3, 4} A B = {2} Pistevieraat joukot Jos A B = ii saomme, että joukot A ja B ovat pistevieraita. Site pistevierailla joukoilla ei ole yhteisiä alkioita. Esimerkki 4. Olkoo ja Tällöi A = {1, 2} B = {3, 4} A B = A B S TKK Ilkka Melli 24

25 2. Joukko opi peruskäsitteet Erotus Olkoot joukot A ja B perusjouko S osajoukkoja. Joukkoje A ja B erotus A\B o iide perusjouko S alkioide joukko, jotka kuuluvat joukkoo A, mutta eivät kuulu joukkoo B: Selvästi Esimerkki 5. Olkoo ja Tällöi A = {1, 2} A\B ={ x x A ja x B} A\B = A B c B = {2, 3, 4} A\B = {1} B\A = {3, 4} TKK Ilkka Melli 25

26 3. Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet 3. Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet 3.1. Satuaisilmiöt 3.2. Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet 3.3. Todeäköisyys ja se perusomiaisuudet 3.4. Klassie todeäköisyys 3.5. Empiirie todeäköisyys 3.6. Todeäköisyys mittaa 3.7. Todeäköisyyde frekvessitulkita Tässä luvussa tarkastellaa todeäköisyyslaskea peruskäsitteitä: satuaisilmiö, otosavaruus, tapahtuma ja alkeistapahtuma. Lisäksi tarkastelemme todeäköisyyde perusomiaisuuksia sekä liitämme e luvu Johdato kappaleessa Todeäköisyyde määrittelemie esitettyihi todeäköisyyde aiiveihi määritelmii. Avaisaat: Alkeistapahtuma, Alkio, Empiirie todeäköisyys, Frekvessi, Frekvessitulkita, Joukko, Klassie todeäköisyys, Koetoisto, Komplemettitapahtuma, Lukumääräfuktio, Mahdoto tapahtuma, Mitta, Osajoukko, Otosavaruus, Perusjoukko, Sattuma, Satuaisilmiö, Satuaiskoe, Suhteellie frekvessi, Suhteellie osuus, Suotuisa alkeistapahtuma, Symmetrisyys, Tapahtuma, Todeäköisyys, Tulosvaihtoehto, Tyhjä joukko, Varma tapahtuma TKK Ilkka Melli 26

27 3. Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet 3.1. Satuaisilmiöt Luvussa Johdato esitimme satuaisilmiölle seuraava määritelmä: Reaalimaailma ilmiö o stokastie ilmiö eli satuaisilmiö, jos sillä o seuraavat omiaisuudet: (i) (ii) Ilmiö voi päätyä alkutilastaa useisii erilaisii lopputiloihi eli ilmiöllä o useita erilaisia vaihtoehtoisia tuloksia. Ilmiö alkutila perusteella ei voida eustaa tarkasti ilmiö lopputilaa eli sitä, mikä ilmiö mahdollisista tulosvaihtoehdoista realisoituu eli toteutuu. (iii) Vaikka ilmiö lopputilaa ei voida eustaa tarkasti, tulosvaihtoehtoje suhteelliste frekvessie eli osuuksie voidaa ähdä ilmiö toistuessa käyttäytyvä sääömukaisesti. Kutsumme satuaisilmiöitä satuaiskokeiksi ja satuaisilmiö esiitymisiä koetoistoiksi Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet ovat alkeistapahtuma, otosavaruus ja tapahtuma: (i) (ii) Saomme, että satuaisilmiö tulosvaihtoehto o alkeistapahtuma, jos satuaisilmiötä ei voida purkaa sitä alkeellisempii tulosvaihtoehtoihi Kutsumme satuaisilmiö tai satuaiskokee kaikkie alkeistapahtumie muodostamaa joukkoa otosavaruudeksi. (iii) Satuaisilmiö tapahtumalla tarkoitetaa jotaki otosavaruude alkioide muodostamaa joukkoa. Merkitsemme otosavaruutta tavallisesti isolla kirjaimella S (otosavaruus = egl. sample space) ja se alkioita pieellä kirjaimella s. Jos alkeistapahtuma eli alkio s kuuluu otosavaruutee S, ii merkitsemme s S Jos alkeistapahtuma s ei kuulu otosavaruutee S merkitsemme s S Otosavaruus S muodostaa siis se perusjouko, jossa satuaisilmiö tulosvaihtoehtoja tarkastellaa. Koska satuaisilmiötä ei voida purkaa alkeistapahtumia alkeellisempii tulos vaihtoehtoihi, ii alkeistapahtumat ovat otosavaruude alkioita. Tarkasteltava satuaisilmiö tapahtumat ovat otosavaruude S alkioide eli alkeistapahtumie muodostamia otosavaruude S osajoukkoja. Site voimme asettaa todeäköisyyslaskea ja joukko opi peruskäsitteet vastaamaa seuraavalla tavalla toisiaa: Otosavaruus Perusjoukko Tapahtuma Perusjouko osajoukko Mahdoto tapahtuma Tyhjä joukko Alkeistapahtuma Alkio Ku saomme, että joki tapahtuma sattuu, tarkoitamme tällä aia sitä, että joki tapahtumaa liittyvistä alkeistapahtumista sattuu. TKK Ilkka Melli 27

28 3. Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet Esimerkki 1. Sukupuole määräytymie satuaisilmiöä. Satuaisilmiö: Lapse sukupuole määräytymie Otosavaruus: Alkeistapahtumat: S = {Tyttö, Poika} Tyttö, Poika Esimerkki 2. Nopaheitto satuaisilmiöä. Satuaisilmiö: Nopaheitto Otosavaruus: Nopa silmälukuje joukko S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Alkeistapahtumat: Silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5, 6 Esimerkki tapahtumasta: A = Silmäluku o parillie = {2, 4, 6} Esimerkki 3. Kahde opa heitto satuaisilmiöä. Satuaisilmiö: Kahde opa heitto Otosavaruus S: Silmälukuparie (i, j) (36 kpl) joukko, jossa Site i = 1. opaheito silmäluku, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 j = 2. opaheito silmäluku, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 S = {( i, j) i = 1,2,3,4,5,6; j = 1,2,3,4,5,6} Otosavaruude S alkiot o kätevitä esittää taulukkomuodossa seuraavalla tavalla: (i, j) j = tulos 2. opa heitosta i = tulos 1. opaheitosta (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Olkoo A = Kummallaki opaheitolla saadaa sama silmäluku TKK Ilkka Melli 28

29 3. Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} Tällöi = {(i, j) S i = j, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6} A S (2, 2) A (6,5) A Saomme, että tapahtuma o varma, jos se esiityy aia, ku satuaisilmiö toistuu. Otosavaruus S itse o selvästi varma tapahtuma. Saomme, että tapahtuma o mahdoto, jos se ei voi esiityä koskaa, ku satuaisilmiö toistuu. Tyhjä joukko o selvästi mahdoto tapahtuma. Esimerkki 4. Rahaheitto. Satuaisilmiö: Rahaheitto. Otosavaruus: S = {Kruua, Klaava} Koska rahaa heitettäessä tuloksea o aia kruua tai klaava, ii S o varma tapahtuma. Esimerkki 5. Nopaheitto. Satuaisilmiö: Nopa heitto. Otosavaruus: Silmälukuje joukko S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Koska tavallista oppaa heitettäessä tuloksea ei voi olla silmäluku 7, ii {7} o oppaa heitettäessä mahdoto tapahtuma Todeäköisyys ja se perusomiaisuudet Olkoo A joki otosavaruude S tapahtuma eli olkoo Todeäköisyys A S Pr( ) o joukkofuktio, joka liittää jokaisee otosavaruude S tapahtumaa A reaaliluvu: Pr( A) Todeäköisyyde perusomiaisuudet (i) (ii) Olkoo A joki otosavaruude S tapahtuma. Tällöi 0 Pr(A) 1 Samaistetaa tyhjä joukko ja mahdoto tapahtuma ja sovitaa, että Pr( ) = 0 (iii) Samaistetaa otosavaruus S ja varma tapahtuma ja sovitaa, että Pr(S) = 1 TKK Ilkka Melli 29

30 3. Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet Todeäköisyyksie vertailu Jos ii saomme tai Pr( A) > Pr( B) Tapahtuma A o todeäköisempi kui tapahtuma B Tapahtuma B o epätodeäköisempi kui tapahtuma A Todeäköisyyksie vertailu ja todeäköisyyde frekvessitulkita Mitä todeäköisempi tapahtuma o, sitä useammi tapahtumalla o taipumus esiityä satuaisilmiö toistuessa eli sitä suurempi o (yleesä) tapahtuma havaittu suhteellie frekvessi ja mitä epätodeäköisempi tapahtuma o, sitä harvemmi tapahtumalla o taipumus esiityä satuaisilmiö toistuessa eli sitä pieempi o (yleesä) tapahtuma havaittu suhteellie frekvessi Klassie todeäköisyys Symmetriset alkeistapahtumat Oletetaa, että äärellise otosavaruude alkeistapahtumat S = {s 1, s 2,, s } s i, i = 1, 2,, ovat yhtä todeäköisiä eli 1 Pr( si ) =, i= 1,2, K, Tällöi saomme, että alkeistapahtumat s i, i = 1, 2,, ovat symmetrisiä. Klassise todeäköisyyde määritelmä edellyttää sitä, että otosavaruus o äärellie ja se alkeistapahtumat ovat symmetrisiä. Alkeistapahtumie symmetria ja uhkapelit Useimmissa uhkapeleissä peli sääöt edellyttävät, että pelii liittyvät alkeistapahtumat ovat symmetrisiä. Tyypillisiä uhkapelie sääöissä esitettyjä symmetriavaatimuksia ovat seuraavat: (i) (ii) Käytettävie pelivälieide (esim. opa, raha tai rulettipyörä) o oltava fysikaalisesti symmetrisiä. Käytettävillä pelivälieillä (esim. arpalipuilla tai korteilla) o oltava sama todeäköisyys tulla valituiksi tai jaetuiksi. Huomaa, että tämä vaatimus edellyttää pelivälieide (esim. arpalippuje tai korttie) huolellista sekoittamista. Otosavaruude alkeistapahtumie symmetrisyyttä voidaa vai harvoi perustella uhkapelie ulkopuolella. Oletus alkeistapahtumie symmetrisyydestä o oletus, jota voidaa testata tilastollisesti, jos ko. satuaisilmiöstä kerätää havaitoja. TKK Ilkka Melli 30

31 3. Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet Lukumääräfuktio Olkoo A = A ( ) fuktio, joka kertoo jouko A alkioide lukumäärä. Jos siis A= { a, a, K, a k } 1 2 o äärellie joukko, joka alkioide lukumäärä o k, ii = ( A) = k A Kutsumme fuktiota () lukumääräfuktioksi. Klassise todeäköisyyde määritelmä Olkoo tapahtuma A otosavaruude S osajoukko. Tällöi tapahtuma A klassie todeäköisyys Pr c (A) saadaa määräämällä tapahtumalle A suotuisie alkeistapahtumie osuus kaikista mahdollisista alkeistapahtumista eli jossa ja A A ( ) Pr c( A) = = S ( ) A S S = A ( ) = tapahtumalle A suotuisie alkeistapahtumie lukumäärä = joukkoo A kuuluvie alkeistapahtumie lukumäärä = S ( ) = kaikkie mahdolliste alkeistapahtumie lukumäärä = otosavaruutee S kuuluvie alkeistapahtumie lukumäärä O helppo ähdä, että klassisella todeäköisyydellä o edellä esitetyt todeäköisyyde perusomiaisuudet. Perustelu: Oletetaa, että (i) (S) = Olkoo A joki otosavaruude S tapahtuma ja Koska ii Site (A) = k A S (A) = k = (S) ( ) 0 A k Pr c( A) = 1 ( S) = TKK Ilkka Melli 31

32 3. Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet (ii) Koska ( ) = 0 ii ( ) 0 Pr c( ) = = = 0 ( S) (iii) Koska (S) = ii ( S) Pr c( S) = 1 ( S) = = 3.5. Empiirie todeäköisyys Tarkastellaa satuaiskoetta, jota voidaa toistaa site, että seuraavat ehdot pätevät: (i) (ii) Kokee olosuhteet säilyvät muuttumattomia koetoistosta toisee. Koetoistot ovat riippumattomia siiä mielessä, että yhdekää koetoisto tulos ei riipu siitä mitä tuloksia muissa koetoistoissa saadaa. Tarkkaillaa tapahtuma A esiitymistä koetoistoje aikaa. Jos tapahtuma A suhteellie frekvessi eli osuus koetoistoista lähestyy jotaki kiiteätä lukua koetoistoje lukumäärä kasvaessa rajatta, lukua kutsutaa tapahtuma A empiiriseksi todeäköisyydeksi. Oletetaa, että satuaiskoetta toistetaa kertaa. Olkoo f A tapahtuma A frekvessi eli lukumäärä koetoistoje joukossa. Tällöi f A o tapahtuma A suhteellie frekvessi eli suhteellie osuus koetoistoje joukossa. O helppo ähdä, että tapahtuma A suhteellisella frekvessillä koetoistoje joukossa o edellä esitetyt todeäköisyyde perusomiaisuudet. Perustelu: Oletetaa, että satuaiskoetta toistetaa kertaa. (i) Olkoo A joki otosavaruude S tapahtuma, joka esiityy f A kertaa toistoje aikaa. Koska ii 0 f A f A 0 1 TKK Ilkka Melli 32

33 3. Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet (ii) Jos tapahtuma A ei satu yhtää kertaa, ii ja f A = 0 f A = 0 (iii) Jos tapahtuma A sattuu joka kerra, ii ja f A = f A 1 = Jos koetoistoje lukumäärä aetaa kasvaa rajatta ja tällöi (jossaki mielessä) f A p ii luku p o tapahtuma A empiirie todeäköisyys Todeäköisyys mittaa Todeäköisyys o mitta, joka mittaa satuaisilmiö tapahtumie sattumise mahdollisuutta. O syytä huomata, että Kolmogorovi aksioomie mukaa todeäköisyys o mitta matemaattise mittateoria mielessä; ks. lukua Todeäköisyyde aksioomat 3.7. Todeäköisyyde frekvessitulkita Oletetaa, että toistamme jotaki satuaiskoetta ja tarkkailemme joki tapahtuma suhteellise frekvessi käyttäytymistä koetoistoje aikaa. Todeäköisyyde frekvessitulkia mukaa ko. tapahtuma suhteellie frekvessi vaihtelee satuaisesti koetoistosta toisee, mutta saa keskimääri ko. tapahtuma todeäköisyyttä lähellä olevia arvoja. Vahvistavatko havaiot tämä o empiirie kysymys. Olkoo tapahtuma A todeäköisyys Pr(A) = p Oletetaa, että sitä satuaiskoetta, joka tulosvaihtoehtoa tapahtuma A o, toistetaa kertaa. Tällöi todeäköisyyde frekvessitulkiasta seuraa, että o odotettavissa, että tapahtuma A frekvessi f A o lähellä lukua p TKK Ilkka Melli 33

34 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt 4.1. Todeäköisyyslaskea perusoperaatiot ja laskusääöt 4.2. Todeäköisyyslaskea perusoperaatiot 4.3. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt 4.4. Ehdollie todeäköisyys ja riippumattomuus Tarkastelemme tässä luvussa todeäköisyyslaskea perusoperaatioita ja laskusäätöjä. Teemme operaatiot ja laskusääöt ilmeisiksi Ve diagrammie ja esimerkkie avulla. Aksiomaattista lähestymistapaa todeäköisyyslaskea laskusäätöje todistamisessa tarkastellaa luvussa Tode äköisyyde aksioomat. Avaisaat: Alkeistapahtuma, Ehdollie todeäköisyys, Ehtotapahtuma, Erotus, Joukko, Komplemetti, Leikkaus, Mahdoto tapahtuma, Otata, Otata palauttae, Otata palauttamatta, Otosavaruus, Pistevieraus, Riippumattomuus, Satuaisotata, Tapahtuma, Todeäköisyys, Toisesa poissulkevuus, Tulosäätö, Uioi, Varma tapahtuma, Ve diagrammi, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteelaskusäätö, Yleie tulosäätä, Yleie yhteelaskusäätö TKK Ilkka Melli 34

35 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt 4.1. Todeäköisyyslaskea perusoperaatiot ja laskusääöt Todeäköisyyslaskea perusoperaatioilla tarkoitetaa joukko opi operaatioita, joilla joki satuaisilmiö tapahtumista johdetaa uusia tapahtumia. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöillä tarkoitetaa laskusäätöjä, joilla uusie, todeäköisyyslaskea perusoperaatiolla johdettuje tapahtumie todeäköisyydet määrätää iide tapahtumie todeäköisyyksie avulla, joista uudet tapahtumat o johdettu. Olkoo S otosavaruus eli tarkasteltava satuaisilmiö alkeistapahtumie muodostama joukko. Jos A o tarkasteltava satuaisilmiö tapahtuma, ii se o alkiot ovat otosavaruude S alkeistapahtumia. Site tapahtumat ovat tarkasteltavaa satuaisilmiöö liittyvä otosavaruude S osajoukkoja. Jos siis A o joki otosavaruude S tapahtuma, ii eli A S s A s S jossa s o tapahtumaa A kuuluva alkeistapahtuma. Ku saomme, että tapahtuma A sattuu, tarkoitamme sitä, että joki tapahtumaa A kuuluvista alkeistapahtumista s sattuu. Olkoot A ja B otosavaruude S tapahtumia. Jokaista operaatiota, jolla tapahtumista A ja B johdetaa uusia tapahtumia, vastaa joki joukko opi operaatio. Todeäköisyyslaskea ja joukko opi perusoperaatiot vastaavat seuraavalla tavalla toisiaa: (i) (ii) Tapahtuma A ei satu eli tapahtuma A komplemettitapahtuma ei A sattuu Jouko A komplemetti A c Tapahtuma A sattuu tai tapahtuma B sattuu tai molemmat sattuvat Joukkoje A ja B uioi eli yhdiste A B (iii) Tapahtuma A sattuu ja tapahtuma B sattuu Joukkoje A ja B leikkaus A B (iv) Tapahtuma A sattuu ja tapahtuma B ei satu Joukkoje A ja B erotus A\B 4.2. Todeäköisyyslaskea perusoperaatiot Ve diagrammit Joukko opi operaatioita ja laskusäätöjä voidaa havaiollistaa Ve diagrammie avulla: (i) (ii) Kuvataa otosavaruutta S suorakaiteella, joka pita ala vastaa koko otosavaruude todeäköisyyttä Pr(S) = 1 Kuvataa tapahtumaa A S suorakaitee osa alueella, joka pita ala vastaa tapahtuma A todeäköisyyttä TKK Ilkka Melli 35

36 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt Pr(A) Kuva oikealla havaiollistaa Ve diagrammia, jossa A S. Ve diagrammie käyttö todeäköisyyslaskea operaatioide ja laskusäätöje havaiollistuksissa perustuu mielikuvaa todeäköisyydestä tapahtumie sattumise mahdollisuude mittaa. Todeäköisyys käyttäytyy mittaa samalla tavalla kui pita alamitta paitsi, että todeäköisyysmitalla o ylärajaa varma tapahtuma todeäköisyys 1. O syytä huomata, että todeäköisyyslaskea operaatioide ja laskusäätöje havaiollistus Vediagrammi avulla ei ole sama asia kui sääö todistus. Todeäköisyyslaskea laskusäätöje todistamista Kolmogorovi aksioomajärjestelmässä tarkastellaa luvussa Todeäköisyyde aksioomat. Huomautus: Todeäköisyyslaskea operaatioita ja laskusäätöjä voidaa havaiollistaa myös s. puudiagrammeilla; ks. liitettä Todeäköisyyslasketa ja puudiagrammit. A S Tapahtuma A komplemetti Olkoo A S otosavaruude S tapahtuma. Tapahtuma A komplemettitapahtuma A A c = A ei satu = ei A o iide alkeistapahtumie joukko, jotka eivät kuulu joukkoo A: A c = {s S s A} A c Ks. kuvaa oikealla. Tapahtumie A ja B yhdiste S Olkoot A S, B S otosavaruude S tapahtumia. Tapahtumie A ja B uioi eli yhdiste A B = A sattuu tai B sattuu o iide alkeistapahtumie joukko, jotka kuuluvat joukkoo A tai joukkoo B tai molempii: A B = {s S s A tai s B} A A B B TKK Ilkka Melli 36

37 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt Ks. kuvaa oikealla. Tapahtumie A ja B leikkaus Olkoot A S, B S otosavaruude S tapahtumia. Tapahtumie A ja B leikkaus A B = A sattuu ja B sattuu o iide alkeistapahtumie joukko, jotka kuuluvat joukkoo A ja joukkoo B: Ks. kuvaa oikealla. Tapahtumie A ja B erotus Olkoot A B = {s S s A ja s B} A S, B S otosavaruude S tapahtumia. Tapahtumie A ja B erotus A\B = A sattuu, mutta B ei satu o iide alkeistapahtumie joukko, jotka kuuluvat joukkoo A, mutta eivät kuulu joukkoo B: Ks. kuvaa oikealla. A\B = {s S s A ja s B} = A B c 4.3. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt Oletetaa, että tuemme tapahtumie A ja B todeäköisyydet. Tehtävää o määrätä seuraavat todeäköisyydet: (i) (ii) Todeäköisyys sille, että A ei satu. Todeäköisyys sille, että A sattuu tai B sattuu tai molemmat sattuvat. (iii) Todeäköisyys sille, että A sattuu ja B sattuu. (iv) Todeäköisyys sille, että A sattuu, mutta B ei satu. Esimerkkisarja 1: Eduskuta. Todeäköisyyslaskea laskusäätöjä havaiollistetaa tässä luvussa useilla esimerkeillä, joissa valitaa satuaisesti yksi tai useampia kasaedustajia kaikkie kasaedustajie joukosta. Esimerkeissä eduskua kokoopao o vuode 1999 eduskutavaalie tulokse mukaie. TKK Ilkka Melli 37

38 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt Edustaja valitaa satuaisesti voidaa kuvata arvotaa, joka toteutetaa esim. seuraavalla tavalla: (1) Asetetaa jokaista edustajaa vastaamaa arpalippu. (2) Paaa arpaliput uuraa. (3) Sekoitetaa uura sisältö huolellisesti. (4) Nostetaa uurasta arpalippu, jota vastaava edustaja valitaa. Arvotaa voidaa toistaa kahdella erilaisella tavalla: (i) Nostettu arpalippu palautetaa osto jälkee uuraa ja uura sisältö sekoitetaa huolellisesti. Tällöi sama edustaja voi tulla valituksi uudellee. (ii) Nostettua arpalippua ei palauteta osto jälkee uuraa. Tällöi sama edustaja ei voi tulla valituksi kui kerra. Arvotameetelmää (i) o tapaa kutsua otokse poimimiseksi palauttae eli takaisipaolla, ku taas arvotameetelmää (ii) o tapaa kutsua otokse poimimiseksi palauttamatta eli ilma takaisipaoa. Esimerkiksi lottoarvoassa sovelletaa otataa ilma takaisipaoa. Edustajapaikkoje jakautumie vuode 1999 vaaleissa: Puolue Paikat Miehet Naiset SDP Kesk Kok Vas RKP Vihr SKL PS Rem Yhteesä Esimerkkisarja 2: Korttipakka. Todeäköisyyslaskea laskusäätöjä havaiollistetaa tässä kappaleessa useilla esimerkeillä, joissa poimitaa satuaisesti pelikortteja hyvi sekoitetusta korttipakasta. Oletamme, että korttipakassa o 52 korttia (pakassa ei siis ole jokereita). Korttipakka jakautuu 4:ää maaha: Pata, Hertta, Ruutu, Risti Jokaisessa maassa o 13 korttia: A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 Saomme, että seuraavat kortit ovat kuvakortteja: TKK Ilkka Melli 38

39 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt A = Ässä (kortti, joka umeroa o 1) K = Kuigas Q = Kuigatar J = Sotilas Komplemettitapahtuma todeäköisyys Olkoo A otosavaruude S tapahtuma ja oletetaa, että tapahtuma A todeäköisyys o Pr(A). Tällöi tapahtuma A komplemettitapahtuma todeäköisyys o Esimerkki 1. Eduskuta. A c = A ei satu = {s S s A} Pr(A c ) = 1 Pr(A) Vuode 1999 eduskuassa: A c A Sosialiestit = SDP + Vas = = 71 S Ei osialiestit = 200 Sosialiestit = = 129 Valitaa satuaisesti yksi edustaja. Todeäköisyys, että valittu edustaja o ei sosialisti o Pr(Ei sosialisti) = 1 Pr(Sosialisti) = 1 = = Toisesa poissulkevat tapahtumat Olkoot A ja B otosavaruude S tapahtumia. Tapahtumat A ja B ovat toisesa poissulkevia, jos tapahtumat A ja B eivät voi sattua samaaikaisesti. Tällöi tapahtumat A ja B ovat otosavaruude S osajoukkoia pistevieraita eli iide leikkaus o tyhjä: A B = Esimerkki 2. Eduskuta. Yksikää kasaedustaja ei voi olla samaa aikaa kahde eri puoluee jäse. Valitaa satuaisesti yksi edustaja ja olkoo ja A = Edustaja kuuluu vasemmistoliittoo B = Edustaja kuuluu kokoomuksee Tällöi tapahtumat A ja B ovat toisesa poissulkevia, millä siis tarkoitetaa sitä, että A ja B ovat pistevieraita joukkoia: A B S TKK Ilkka Melli 39

40 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt A B = Yhteelaskusäätö toisesa poissulkeville tapahtumille Olkoot A ja B otosavaruude S tapahtumia ja oletetaa, että tapahtuma A todeäköisyys o Pr(A), tapahtuma B todeäköisyys o Pr(B) ja oletetaa lisäksi, että tapahtumat A ja B ovat toisesa poissulkevia eli A B = Tällöi tapahtumie A ja B uioi eli yhdistee todeäköisyys o Esimerkki 3. Eduskuta. A B = A sattuu tai B sattuu = {s S s A tai s B} Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Vuode 1999 eduskuassa: Sosialiestit = SDP + Vas = = 71 Valitaa satuaisesti yksi edustaja. Todeäköisyys, että valittu edustaja o sosialisti o Pr(Sosialisti) = Pr(SDP) + Pr(Vas) = + = = Yleistetty yhteelaskusäätö toisesa poissulkeville tapahtumille Olkoot A 1, A 2,, A k otosavaruude S tapahtumia ja oletetaa, että tapahtuma A i todeäköisyys o Pr(A i ), i = 1, 2,, k ja oletetaa lisäksi, että tapahtumat A 1, A 2,, A k ovat pareittai toisesa poissulkevia, jolloi A i A j =, i j Tällöi tapahtumie A 1, A 2,, A k yhdistee todeäköisyys o A 1 A 2 A k = A 1 sattuu tai A 2 sattuu tai tai A k sattuu = {s S s A 1 tai s A 2 tai tai s A k } Pr(A 1 A 2 A k ) = Pr(A 1 ) + Pr(A 2 ) + + Pr(A k ) Tapahtumie riippumattomuus Tapahtuma A o riippumato tapahtumasta B, jos tapahtuma B: sattumie (tai sattumatta jäämie) ei vaikuta tapahtuma A sattumise todeäköisyytee. Riippumattomuus o symmetrie omiaisuus: Jos tapahtuma A o riippumato tapahtumasta B, ii tapahtuma B o riippumato tapahtumasta A. Riippumattomuude symmetrisyyde takia saomme yksikertaisesti, että Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia Merkitsemme tapahtumie A ja B riippumattomuutta usei seuraavalla tavalla: TKK Ilkka Melli 40

41 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt A B Riippumattomuude käsite saa lisävalaistusta ehdollise todeäköisyyde käsitteestä; ks. kappaletta Ehdollie todeäköisyys. Esimerkki 4. Rahaheitto. Jos heitämme toistuvasti rahaa, o järkevää olettaa, että yhdekää heito tulos ei riipu aikaisemmi tehtyje heittoje tuloksista. Esimerkki 5. Arvota. Nostetaa uurasta toistuvasti arpalippuja ii, että jokaise osto jälkee ostettu lippu palautetaa uuraa ja uura sisältö sekoitetaa huolellisesti (eli arpalippuje ostossa sovelletaa otataa takaisipaolla). Tällöi o järkevää olettaa, että ostoje tulokset eivät riipu aikaisemmi tehtyje ostoje tuloksista. Riippumattomuus vs riippuvuus Alkeistilastotietee esityksissä oletetaa tavallisesti, että satuaisilmiötä koskevat havaiot ovat riippumattomia. Moissa tilastotietee tutkimusasetelmissa oletus havaitoje riippumattomuudesta o kuiteki liia rajoittava. Esimerkiksi eustamie aikasarja aalyysissa perustuu siihe, että tulevaisuus riippuu aikasarja historiasta. O syytä huomata, että riippumattomuus o oletus, jota voidaa testata tilastollisesti. Tulosäätö riippumattomille tapahtumille Olkoot A ja B otosavaruude S tapahtumia ja oletetaa, että tapahtuma A todeäköisyys o Pr(A), tapahtuma B todeäköisyys o Pr(B) ja lisäksi, että tapahtumat A ja B riippumattomia. Tällöi tapahtumie A ja B leikkaukse todeäköisyys o A B = A sattuu ja B sattuu = {s S s A ja s B} Pr(A B) = Pr(A)Pr(B) O osoittautuut järkeväksi pitää tapahtumia A ja B riippumattomia, jos ja vai jos tulosäätö pätee. Pr(A B) = Pr(A)Pr(B) Esimerkki 6. Tulosääö ituitiivie perustelu. Tarkastellaa TV vastaaottimie laaduvalvotaa. Oletetaa, että vastaaottimissa voi esiityä kaksi erilaista vikaa: A = Kuvaputki ei toimi B = Vahvisti ei toimi Oletetaa lisäksi, että viat sytyvät toisistaa riippumatta. TKK Ilkka Melli 41

42 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt Laaduvalvoassa o todettu, että vika A esiityy 5 %:ssa valmistettuja TV vastaaottimia ja vika B esiityy 3 %:ssa valmistettuja TV vastaaottimia. Siitä, että viat A ja B sytyvät toisistaa riippumattomatta seuraa: (i) 3 %:ssa iistä TV vastaaottimia, joissa o vika A, o myös vika B. (ii) 5 %:ssa iistä TV vastaaottimia, joissa o vika B, o myös vika A. Site iide TV vastaaottimie osuus, joissa o sekä vika A että vika B o = = 0.15 % Saatu tulos vastaa riippumattomie tapahtumie tulosäätöä: Olkoo Tällöi Esimerkki 7. Rahaheitto. A B = Kuvaputki ei toimi ja vahvisti ei toimi Pr(A B) = Pr(A)Pr(B) = = Heitetää rahaa kaksi kertaa ja tarkastellaa tapahtumia A = Kruua 1. heitolla B = Kruua 2. heitolla Voimme olettaa, että tapahtumat A ja B ovat riippumattomia. Oletetaa, että Tällöi Esimerkki 8. Korttipakka. Pr(Kruua) = Pr(Klaava) =1/ Pr( AjaB ) = = = Nostetaa korttipakasta satuaisesti 1 kortti ja tarkastellaa seuraavia tapahtumia: A = Kortti o pata B = Kortti o ässä Koska korttipakassa 13 pataa ja 4 ässää, ii 13 1 Pr( A) = = Pr( B) = = Tarkastellaa yhdistettyä tapahtumaa A B = Kortti o pataässä Koska pataässiä o täsmällee 1 kappale, ii 1 Pr( A B) = 52 TKK Ilkka Melli 42

43 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt Koska Pr( A B) = = = Pr( A) Pr( B) voimme pitää tapahtumia A ja B riippumattomia. Ituitiivie perustelu tulosääö soveltamiselle: Korttipaka korteista 1/4 o patoja ja 1/13 o ässiä. Myös iistä korteista, jotka ovat patoja 1/13 o ässiä. Site pataässie osuus korttipaka korteista o = Yleistetty tulosäätö riippumattomille tapahtumille Olkoot A 1, A 2,, A k otosavaruude S tapahtumia ja oletetaa, että tapahtuma A i todeäköisyys o Pr(A i ), i = 1, 2,, k Saomme, että tapahtumat A 1, A 2,, A k ovat riippumattomia, jos ja vai jos kaikille leikkauksille joissa pätee: A A L A i1 i2 im { i, i, K, i } { 1,2, K, k} 1 2 m Pr( A A L A ) = Pr( A ) Pr( A ) L Pr( A ) i1 i2 im i1 i2 im Merkitsemme tapahtumie A 1, A 2,, A k riippumattomuutta usei seuraavalla tavalla: A1, A2, K, Ak Esimerkki 9. Rahaheitto. Heitetää rahaa 10 kertaa ja tarkastellaa tapahtumia A i = Kruua i. heitolla, i = 1, 2,, k Voimme olettaa, että tapahtumat A i ovat riippumattomia. Oletetaa, että Tällöi Pr(A i ) = Pr(Kruua i. heitolla) = 1/2, i = 1, 2,, k Pr(10 kruuaa 10:llä heitolla) = Pr(Kruua 1. heitolla ja Kruua 2. heitolla jal ja Kruua 10. heitolla) = Pr(Kruua 1. heitolla) Pr(Kruua 2. heitolla) L Pr(Kruua 10. heitolla) = L = = = kappaletta TKK Ilkka Melli 43

44 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt Todeäköisyyde frekvessitulkiasta seuraa: Jos suuresta joukosta ihmisiä jokaie paaa heittämää rahaa 10 kertaa, o odotettavissa, että suuillee yksi tuhaesta saa tulokseksi 10 kruuaa! Yleie yhteelaskusäätö Olkoot A ja B otosavaruude S tapahtumia ja oletetaa, että tapahtuma A todeäköisyys o Pr(A), tapahtuma B todeäköisyys o Pr(B) ja leikkaustapahtuma todeäköisyys o Pr(A B). A B = A sattuu ja B sattuu = {s S s A ja s B} Tällöi tapahtumie A ja B uioi eli yhdistee todeäköisyys o A B = A sattuu tai B sattuu = {s S s A tai s B} Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A B) Esimerkki 10. Yleise yhteelaskusääö motivoiti. Tilastoje mukaa 80 % japailaisista o shitolaisia ja 80 % japailaisista o buddhalaisia. Kysymys: Oko 160 % japailaisista shitolaisia tai buddhalaisia? Vastaus: Ei, koska suuri osa japailaisista oudattaa kummaki uskoo meoja: Häät järjestetää tavallisesti shitolaiste meoje mukaa, ku taas hautajaiset järjestetää tavallisesti buddhalaiste meoje mukaa. Aetuista tiedoista voidaa päätellä: 80 % 100 % japailaisista o joko shitolaisia tai buddhalaisia 60 % 80 % japailaisista o sekä shitolaisia että buddhalaisia Esimerkki 11. Levikkitutkimus. Levikkitutkimuksessa saatii selville, että erää kua asukkaat lukevat Seuraa ja Apua seuraavasti: Seura 20 % Apu 16 % Seura ja Apu 1 % Tällöi Pr(Seura tai Apu) = Pr(Seura) + Pr(Apu) Pr(Seura ja Apu) = + = = TKK Ilkka Melli 44

45 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt Erotustapahtuma todeäköisyys Olkoot A ja S otosavaruude S tapahtumia ja oletetaa, että tapahtuma A todeäköisyys o Pr(A) ja leikkaustapahtuma todeäköisyys o Pr(A B). Tällöi erotustapahtuma todeäköisyys o A B = A sattuu ja B sattuu = {s S s A ja s B} A\B = A sattuu, mutta B ei satu = {s S s A ja s B} = A B c Esimerkki 12. Korttipakka. Pr(A\B) = Pr(A B c ) = Pr(A) Pr(A B) Nostetaa korttipakasta satuaisesti 1 kortti ja tarkastellaa seuraavia tapahtumia: Tällöi A = Kortti o pata B = Kortti o kuva A\B = Kortti o pata, mutta ei ole kuvakortti Koska korttipakassa o 13 patakorttia, joista 4 o kuvia, ii Pr( A\ B) = Pr( A) Pr( A B) 13 4 = = 52 Tulos o tietysti selvä muuteki, koska sellaisia patakortteja, jotka eivät ole kuvia o 9 kpl eli kortit 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Tapahtumasta B seuraa tapahtuma A Olkoot A ja B otosavaruude S tapahtumia ja oletetaa, että tapahtuma A todeäköisyys o Pr(A) ja tapahtuma B todeäköisyys o Pr(B). Oletetaa, että jos tapahtuma B sattuu, ii tapahtuma A sattuu. Tällöi ja siis B A Pr(B) Pr(A) TKK Ilkka Melli 45

46 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt Erotustapahtuma todeäköisyys, jos tapahtumasta B seuraa tapahtuma A Olkoot A ja B otosavaruude S tapahtumia ja oletetaa, että tapahtuma A todeäköisyys o Pr(A) ja tapahtuma B todeäköisyys o Pr(B). Oletetaa, että jos tapahtuma B sattuu, ii tapahtuma A sattuu, mikä siis merkitsee sitä, että B A Tällöi erotustapahtuma todeäköisyys o A\B = A sattuu, mutta B ei satu = {s S s A ja s B} = A B c Pr(A\B) = Pr(A) Pr(B) Yhdistee todeäköisyys Olkoot A ja B otosavaruude S tapahtumia. Tällöi tapahtumie A ja B uioi eli yhdistee todeäköisyys o A B = A sattuu tai B sattuu = {s S s A tai s B} Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B\A) = Pr(B) + Pr(A\B) = Pr(A\B) + Pr(B\A) + Pr(A B) 4.4. Ehdollie todeäköisyys ja riippumattomuus Ehdollie todeäköisyys Olkoot A ja B otosavaruude S tapahtumia ja oletetaa, että tapahtuma B todeäköisyys ja leikkaustapahtuma Pr(B) 0 todeäköisyys o Pr(A B). A B = A sattuu ja B sattuu = {s S s A ja s B} TKK Ilkka Melli 46

47 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt Tällöi tapahtuma A ehdollie todeäköisyys ehdolla, että tapahtuma B o sattuut saadaa kaavalla Pr( A B) Pr( A B) = Pr( B) Tapahtuma A ehdollie todeäköisyys ehdolla, että tapahtuma B o sattuut, saadaa määräämällä leikkaustapahtuma A B = A sattuu ja B sattuu todeäköisyyde Pr(A B) suhde tapahtuma B todeäköisyytee Pr(B). Tapahtuma A ehdollie todeäköisyys ehdolla, että tapahtuma B o sattuut voidaa siis ymmärtää ii, että tapahtumaa A liittyviä alkeistapahtumia tarkastellaa rajoitettua tapahtuma B idusoimaa otosavaruutee. Esimerkki 1. Ehdollise todeäköisyyde kaava motivoiti. Tarkastellaa toistuvaa satuaisilmiötä ja olkoot A ja B kaksi ko. satuaisilmiöö liittyvää tapahtumaa. Satuaisilmiö toistuessa jokaisella toistokerralla pätee: (i) Joko tapahtuma A sattuu tai tapahtuma A c = ei A sattuu. (ii)joko tapahtuma B sattuu tai tapahtuma B c = ei B sattuu. Oletetaa, että ko. satuaisilmiö toistuessa tuloksea o seuraava tapahtumaparie joo: c c c c c c c c AB AB AB AB AB AB AB Tässä tapahtumajoossa tapahtuma A todeäköisyys o 2 Pr( A ) = 7 ja tapahtuma B todeäköisyys o 4 Pr( B ) = 7 Lisäksi leikkaustapahtuma todeäköisyys o A B = A sattuu ja B sattuu 1 Pr( A B) = 7 Muodostetaa tässä tarkastellusta tapahtumaparie joosta c c c c c c c c AB AB AB AB AB AB AB karsittu joo, joho otetaa vai e tapahtumaparit, joissa tapahtuma B o sattuut. Nämä tapahtumaparit ovat c c c AB AB AB AB Tapahtuma A todeäköisyys tässä karsitussa joossa o 1/4. TKK Ilkka Melli 47

48 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt Toisaalta ehdollise todeäköisyyde kaava mukaa Pr( A B) Pr( A B) = = = Pr( B) Site tapahtuma A ehdollie todeäköisyys ehdolla, että B o sattuut, o tapahtuma A todeäköisyys karsitussa joossa, joho o mukaa otettu vai e tapahtumaparit, joissa B o sattuut. Esimerkki 2. Eduskuta. Vuode 1999 eduskua 200 kasaedustajasta 73 oli aisia. Valitaa satuaisesti 1 edustaja. Mikä o todeäköisyys, että valittu edustaja o aie? Merkitää Tällöi A = Edustaja o aie 73 Pr( A ) = = SDP:llä oli vuode 1999 eduskuassa 51 kasaedustajaa, 29 miestä ja 22 aista. Mikä o todeäköisyys, että satuaisesti valittu edustaja, joka kuuluu SDP: ryhmää, o aie? Ehdollise todeäköisyyde kaava mukaa jote Pr(Naie ja SDP) 22 / Pr(Naie SDP) = = = = Pr(SDP) 51/ Pr(Naie SDP) = > = Pr(Naie) Tieto siitä, että satuaisesti valittu kasaedustaja o SDP:stä o muuttaut käsitystämme todeäköisyydestä, että hä o aie. RKP:lla oli vuode 1999 eduskuassa 12 kasaedustajaa, 9 miestä ja 3 aista. Mikä o todeäköisyys, että satuaisesti valittu edustaja, joka kuuluu RKP: ryhmää, o aie? Ehdollise todeäköisyyde kaava mukaa jote Pr(Naie ja RKP) 3/ Pr(Naie RKP) = = = = 0.25 Pr(RKP) 12 / Pr(Naie RKP) = 0.25 < = Pr(Naie) Tieto siitä, että satuaisesti valittu kasaedustaja o RKP:stä o muuttaut käsitystämme todeäköisyydestä, että hä o aie. Edellise esimerki mukaa tapahtuma A ehdollie todeäköisyys ehdolla, että tapahtuma B o sattuut voi olla pieempi, yhtä suuri tai suurempi kui tapahtuma A todeäköisyys. TKK Ilkka Melli 48

49 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt Site mikä tahasa seuraavista kolmesta vaihtoehdosta o mahdollie: Jos Pr(A B) > Pr(A) Pr(A B) = Pr(A) Pr(A B) < Pr(A) Pr(A B) Pr(A) ii tieto siitä, että tapahtuma B o sattuut, sisältää iformaatiota, jota voidaa käyttää hyväksi tapahtuma A todeäköisyyttä määrättäessä. Se sijaa, jos Pr(A B) = Pr(A) ii tieto siitä, että tapahtuma B o sattuut, ei sisällä iformaatiota, jota voidaa käyttää hyväksi tapahtuma A todeäköisyyttä määrättäessä. Tällöi o järkevää pitää tapahtumaa A riippumattomaa tapahtumasta B. Riippumattomuus Olkoot A ja B otosavaruude S tapahtumia ja oletetaa, että tapahtuma A todeäköisyys o Pr(A) ja tapahtuma B todeäköisyys o Pr(B). Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos ja vai jos tapahtumie A ja B leikkaukse todeäköisyys o Lause 1. Todistus: A B = A sattuu ja B sattuu = {s S s A ja s B} Pr(A B) = Pr(A)Pr(B) Olkoo tapahtuma A todeäköisyys ehdolla, että B o sattuut Pr(A B). Tällöi tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos ja vai jos (i) Pr(A B) = Pr(A) Oletetaa, että tapahtumat A ja B ovat riippumattomia ja todistetaa, että Pr(A B) = Pr(A) Riippumattomuude määritelmä mukaa Tällöi Pr(A B) = Pr(A)Pr(B) Pr( A B) Pr( A) Pr( B) Pr( A B) = = = Pr( A) Pr( B) Pr( B) TKK Ilkka Melli 49

50 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt (ii) Oletetaa, että Pr(A B) = Pr(A) ja todistetaa, että tapahtumat A ja B ovat riippumattomia. Oletuksesta ja ehdollise todeäköisyyde määritelmästä seuraa, että Pr( A B) = Pr( A B)Pr( B) = Pr( A)Pr( B) jote tapahtumat A ja B ovat riippumattomia. Koska riippumattomuus o symmetrie omiaisuus o helppo ähdä, että tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos ja vai jos mikä tahasa seuraavista ehdoista pätee: (i) Pr( A B) = Pr( A)Pr( B) (ii) Pr( A B) = Pr( A) (iii) Pr( B A) = Pr( B) Esimerkki 3. Ruteia parlametti. Ruteia tasavallassa o 2 puoluetta: repijät ja säilyttäjät. Puolueide paikkajakauma 200 paikkaisessa parlametissa: Puolue Miehet Naiset Paikat Repijät Säilyttäjät Yhteesä Valitaa parlametista satuaisesti 1 edustaja ja olkoo Tällöi Koska A = Valittu edustaja o mies B = Valittu edustaja o repijä 80 Pr( A) = = Pr( A B) = = Pr(A B) = Pr(A) ii tapahtumat A ja B ovat riippumattomia. O helppo ähdä, että myös tapahtumat ovat riippumattomia. A ja B c, A c ja B, A c ja B c TKK Ilkka Melli 50

51 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt Koska 20 Pr( A B) = Pr( B ) = 200 ii ehdollise todeäköisyyde kaavasta seuraa, että Pr( A B) Pr( A B) = = = = 0.4 Pr( B) O syytä huomata, että tapahtumie A ja B riippumattomuus leviää aia myös iide komplemettitapahtumii; ks. edellistä esimerkkiä. Jos siis oletamme, että tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, ii tällöi pätee seuraava: (i) (ii) Tapahtumat A ja B c ovat riippumattomia. Tapahtumat A c ja B ovat riippumattomia. (iii) Tapahtumat A c ja B c ovat riippumattomia. Yleie tulosäätö Olkoot A ja B otosavaruude S tapahtumia ja oletetaa, että tapahtuma B todeäköisyys Pr(B) 0 ja tapahtuma A ehdollie todeäköisyys ehdolla, että tapahtuma B o sattuut o Pr(A B) Tällöi tapahtumie A ja B leikkaukse todeäköisyys o A B = A sattuu ja B sattuu = {s S s A ja s B} Pr(A B) = Pr(A B)Pr(B) Kutsumme tätä säätöä yleiseksi tulosääöksi. Yleistetty yleie tulosäätö Olkoot A 1, A 2,, A k otosavaruude S tapahtumia. Tällöi tapahtumie A 1, A 2,, A k leikkaukse todeäköisyys o A 1 A 2 A k = A 1 sattuu ja A 2 sattuu ja ja A k sattuu Pr( A A L A ) 1 2 = {s S s A 1 ja s A 2 ja ja s A k } k = Pr( A1) Pr( A2 A1) Pr( A3 A1 A2) L Pr( Ak A1 A2 L Ak 1) TKK Ilkka Melli 51

52 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt Esimerkki 4. Korttipakka. Nostetaa korttipakasta peräkkäi 3 korttia. Mikä o todeäköisyys, että e ovat kaikki patoja? Olkoo tapahtuma A i = i. kortti o pata, i = 1, 2, 3 Koska korttipakassa o 52 korttia, joista 13 o patoja, leikkaukse todeäköisyys o A 1 sattuu ja A 2 sattuu ja A 3 sattuu Pr( A A A ) = Pr( A)Pr( A A)Pr( A A A ) = = = Huomaa, että korttie osto toteutettii tässä ilma takaisipaoa. Yksikertaie satuaisotata ja tulosääöt Olkoo perusjoukko S äärellie. Yksikertaisessa satuaisotaassa perusjoukosta S poimitaa osajoukko B arpomalla perusjoukosta alkioita osajoukkoo B yksi alkio kerrallaa. Osajoukkoa B kutsutaa otokseksi ja arvoassa käytettyä meetelmää otatameetelmäksi; lisätietoja otaasta: ks. moistetta Tilastolliset meetelmät. Tarkastellaa todeäköisyyttä saada otoksee B alkioita perusjouko S osajoukosta A. Jos otata tehdää ilma takaisipaoa eli palauttamatta poimittua alkiota takaisi perusjoukkoo, poimitatodeäköisyyksiä määrättäessä o sovellettava yleistä tulosäätöä. Jos otata tehdää takaisipaolla eli palauttamalla poimittu alkio aia takaisi perusjoukkoo, poimitatodeäköisyyksiä määrättäessä o sovellettava riippumattomie tapahtumie tulosäätöä. Luvussa Diskreettejä jakaumia todetaa, että äärellise perusjouko S tapahtumie todeäköisyyksiä hallitaa s. biomijakaumalla, jos otata o tapahtuut palauttae ja s. hypergeometrisella jakaumalla, jos otata o tapahtuut palauttamatta. TKK Ilkka Melli 52

53 5. Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka 5. Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka 5.1. Klassie todeäköisyys 5.2. Kombiatoriika perusperiaatteet 5.3. Kombiatoriika perusogelmat 5.4. Kombiatoriika perusogelmie ratkaisemie 5.5. Multiomikerroi Tapahtuma klassise todeäköisyyde määräämie vaatii sekä ko. tapahtumalle suotuisie alkeistapahtumie lukumäärä että kaikkie mahdolliste alkeistapahtumie lukumäärä laskemista. Tässä luvussa äytämme mite tapahtumavaihtoehtoje lukumääriä voidaa laskea soveltamalla kombiatoriikkaa. Saaduilla tuloksilla o suuri merkitys paitsi klassise todeäköisyyde määräämistä vaativissa tehtävissä johdettaessa diskreettie todeäköisyysjakaumie pistetodeäköisyysfuktioita; ks. lukua Diskreettejä jakaumia. Avaisaat: Biomikaava, Biomikerroi, Joo, Joukko, Järjestys, Kertolaskuperiaate, Kertoma, Klassie todeäköisyys, Kombiaatio, Kombiatoriikka, Lokeromalli, Lukumääräfuktio, Multiomikerroi, Osajoo, Osajoukko, Pascali kolmio, Permutaatio, Riippumattomuus, Suotuisa alkeistapahtuma, Symmetrisyys, Variaatio, Yhteelaskuperiaate TKK Ilkka Melli 53

54 5. Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka 5.1. Klassie todeäköisyys Oletetaa, että äärellise otosavaruude alkeistapahtumat S = {s 1, s 2,, s } s i, i = 1, 2,, ovat yhtä todeäköisiä eli 1 Pr( si ) =, i= 1,2, K, jolloi saomme, että alkeistapahtumat s i, i = 1, 2,, ovat symmetrisiä. Olkoo A = A ( ) fuktio, joka kertoo jouko A alkioide lukumäärä. Jos siis A= a1 a2 K a k {,,, } o äärellie joukko, joka (erilaiste) alkioide lukumäärä o k, ii = ( A) = k A Kutsumme fuktiota () lukumääräfuktioksi. Olkoo tapahtuma A otosavaruude S osajoukko. Tällöi tapahtuma A klassie todeäköisyys Pr c (A) saadaa määräämällä tapahtumalle A suotuisie alkeistapahtumie suhteellie osuus kaikista mahdollisista alkeistapahtumista eli jossa ja A A ( ) Pr c( A) = = S ( ) A S S = A ( ) = tapahtumalle A suotuisie alkeistapahtumie lukumäärä = joukkoo A kuuluvie alkeistapahtumie lukumäärä = S ( ) = kaikkie mahdolliste alkeistapahtumie lukumäärä = otosavaruutee S kuuluvie alkeistapahtumie lukumäärä Jos perusjoukko (otosavaruus) o kooltaa vähäki isompi, perusjouko ja se osajoukkoje (tapahtumie) alkioide (alkeistapahtumie) lukumäärie laskemisessa tarvitaa apua jotaki järjestelmällistä meetelmää. Tällaise järjestelmällise meetelmä jouko alkioide lukumäärä laskemisee tarjoaa kombiatoriikaksi kutsuttu matematiika osa alue Kombiatoriika perusperiaatteet Tarkastellaa kahta operaatiota, M ja N. Tehdää operaatioista M ja N seuraavat oletukset: Operaatio M voidaa suorittaa m:llä erilaisella tavalla. TKK Ilkka Melli 54

55 5. Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka Operaatio N voidaa suorittaa :llä erilaisella tavalla. Operaatiot M ja N voidaa yhdistää uudeksi, yhdistetyksi operaatioksi seuraavilla tavoilla: (i) Suoritetaa operaatio M ja operaatio N (ii) Suoritetaa operaatio M tai operaatio N Kombiatoriika perusperiaatteet liittyvät äide kahde yhdistety operaatio suoritustapoje lukumäärie laskemisee. (i) (ii) Kertolaskuperiaate: Oletetaa, että operaatio M voidaa suorittaa m:llä erilaisella tavalla ja operaatio N voidaa suorittaa :llä erilaisella tavalla ja oletetaa lisäksi, että operaatiot M ja N voidaa suorittaa toisistaa riippumatta. Tällöi yhdistetty operaatio Suoritetaa operaatio M ja operaatio N voidaa suorittaa m :llä erilaisella tavalla. Yhteelaskuperiaate: Oletetaa, että operaatio M voidaa suorittaa m:llä erilaisella tavalla ja operaatio N voidaa suorittaa :llä erilaisella tavalla ja oletetaa lisäksi, että operaatiot M ja N ovat toisesa poissulkevia. Tällöi yhdistetty operaatio Suoritetaa operaatio M tai operaatio N voidaa suorittaa (m + ):llä erilaisella tavalla. Esimerkki 1. Vaihtoehtoje lukumäärie laskemie. Oletetaa, että kaupukie X ja Y välillä o 2 suoraa letoa, mutta että X:stä Y:hy pääsee myös kaupugi Z kautta: (i) Kaupukie X ja Z välillä o 3 letoa. (ii) Kaupukie Z ja Y välillä o 2 letoa. Ks. kuvaa oikealla. Oletetaa vielä, että letoje valiat voidaa tehdä toisistaa riippumatta. Kuika moella erilaisella tavalla voidaa letää X:stä Y:hy? Koska letoje valiat voidaa tehdä toisistaa riippumatta, Z: kautta tapahtuvii letoihi voidaa soveltaa kombiatoriika kertolaskuperiaatetta. Se mukaa X:stä Y:hy pääsee letämää Z: kautta 3 2 = 6 erilaisella tavalla. Koska suorat leot X:stä Y:hy ja leot Z: kautta ovat toisesa poissulkevia, letoje kokoaislukumäärä saadaa soveltamalla kombiatoriika yhteelaskuperiaatetta. Se mukaa X:stä Y:hy pääsee letämää kaikkiaa = 8 erilaisella tavalla. X Z Y TKK Ilkka Melli 55

56 5. Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka 5.3. Kombiatoriika perusogelmat Olkoo S äärellie joukko, joka (erilaiste) alkioide lukumäärä o = S = (S) Kombiatoriika perusogelmat: (1a) Kuika moella erilaisella tavalla jouko S alkiot voidaa järjestää jooo? (1b) Kuika moella erilaisella tavalla jouko S alkioista voidaa muodostaa k: alkio osajoo? (2) Kuika moella erilaisella tavalla jouko S alkioista voidaa muodostaa k: alkio osajoukko? Huomaa, että ogelma (1a) o ogelma (1b) erikoistapaus. Joukko Joukko o täysi määrätty, jos se alkiot tuetaa. Olkoot äärellise jouko S (erilaiset) alkiot s 1, s 2,, s Tällöi merkitsemme joukkoa S seuraavalla tavalla: S = {s 1, s 2,, s } Joukot A ja B ovat samat, jos iissä o samat alkiot eli jos ja vai jos Joo A = B x A x B Joo o täysi määrätty, jos se alkiot ja iide järjestys tuetaa. Olkoo äärellise joo s i. alkio s i, i = 1, 2,, Tällöi merkitsemme jooa s seuraavalla tavalla: s = (s 1, s 2,, s ) tai hiema yksikertaisemmi s = s 1 s 2 s Joot a = (a 1, a 2,, a ) ja b = (b 1, b 2,, b ) ovat samat, jos iissä o samat alkiot samassa järjestyksessä eli jos ja vai jos a = b a i = b i, i = 1, 2,, Esimerkki 1. Joukkoje ja jooje samuus. Joukot TKK Ilkka Melli 56

57 5. Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka {1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {3, 1, 3, 2} ovat samat, koska iissä o samat alkiot: Joot {1, 2, 3} = {1, 3, 2} = {3, 1, 3, 2} ovat eri jooja, koska iide alkiot ovat eri järjestyksessä: (1, 2, 3) (1, 3, 2) Esimerkki 2. Osajoukkoje ja osajooje lukumäärie laskemie. Olkoo S = {1, 2, 3} Kaikki jouko S alkioide muodostamat osajoukot: Kolme alkio osajoukot: {1, 2, 3} 1 kpl Kahde alkio osajoukot: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} 3 kpl Yhde alkio osajoukot: {1}, {2}, {3} 3 kpl Kaikki jouko S: osajoukot: {1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, 8 kpl Kaikki jouko S alkioide muodostamat osajoot: Kolme alkio osajoot: 123, 132, 213, 231, 312, kpl Kahde alkio osajoot: 12, 21, 13, 31, 23, 32 6 kpl Yhde alkio osajoot: 1, 2, 3 3 kpl 5.4. Kombiatoriika perusogelmie ratkaisemie Permutaatio Olkoo S äärellie joukko, joka (erilaiste) alkioide lukumäärä o = (S) Kutsumme jouko S kaikkie alkioide jooja jouko S alkioide permutaatioiksi. Jouko S alkioide kaikkie mahdolliste permutaatioide lukumäärä o TKK Ilkka Melli 57

58 5. Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka jossa o s. kertoma. Perustelu:!! = ( 1) 2 1 Käytämme permutaatioide lukumäärä kaava johdossa apua s. lokeromallia. Olkoo jouko S (erilaiste) alkioide lukumäärä ja oletetaa, että käytettävissämme o lokerikko, jossa o lokeroa: Lokerot Asetetaa jouko S alkiot lokerikkoo yksi kerrallaa ii, että jokaisee lokeroo tulee täsmällee yksi alkio. Lokeroide täyttämie voidaa tehdä vaiheittai. Vaiheessa k = 1, 2,, : (i) Lokeroista o täytetty (k 1) kpl. (ii) Joukossa S o jäljellä ( k + 1) alkiota. (iii) Suoritetaa operaatio Valitaa jouko S jäljellä olevista alkioista yksi lokeroo k Kohda (iii) operaatio voidaa suorittaa ( k + 1):llä erilaisella tavalla: k = 1: k = 2: Joukosta S voidaa valita alkio :llä tavalla. Joukosta S voidaa valita alkio ( 1):llä tavalla. k = 1: Joukosta S voidaa valita alkio 2:lla tavalla. k = : Joukosta S voidaa valita alkio 1:llä tavalla. Lokerot Operaatioide lkm Tarkastellaa yhdistettyä operaatiota, jossa vaiheet k = 1, 2,, käydää läpi peräkkäi. Kuika moella erilaisella tavalla tämä yhdistetty operaatio voidaa suorittaa? Koska jokaie kohda (iii) operaatio voidaa suorittaa edellisistä operaatioista riippumatta, kombiatoriika kertolaskuperiaatteesta seuraa, että lokeroide täyttämie voidaa tehdä erilaisella tavalla. ( 1) 2 1 =! TKK Ilkka Melli 58

59 5. Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka Tulos ratkaisee kombiatoriika esimmäise perusogelma (1a): Kuika moella erilaisella tavalla : (erilaise) alkio jouko S alkiot voidaa järjestää jooo? kertoma Permutaatioide lukumäärä atava kertoma voidaa laskea seuraavalla palautuskaavalla: Määritellää: Palautuskaavasta: Variaatio! = ( 1)!, = 1, 2, 0! = 1 1! = 1 0! = 1 1 = 1 2! = 2 1! = 2 1 = 2 3! = 3 2! = = 6 4! = 4 3! = = 24 5! = 5 4! = = 120 Olkoo S äärellie joukko, joka (erilaiste) alkioide lukumäärä o = (S) Kutsumme jouko S k: alkio osajooja jouko S alkioide k permutaatioiksi eli variaatioiksi. Jouko S alkioide kaikkie mahdolliste k permutaatioide lukumäärä o Perustelu:! P(, k) = ( 1) ( k 1) ( k)! = L + Olkoo jouko S (erilaiste) alkioide lukumäärä. Jouko S kaikkie alkioide permutaatioide lukumäärää koskevasta todistuksesta ähdää, että :stä alkiosta voidaa valita k alkiota k:ho esimmäisee lokeroo ( 1) ( k + 1) erilaisella tavalla. Lavetamalla saadaa ( 1) L ( k+ 1) ( k)!! ( 1) L ( k+ 1) = = ( k)! ( k)! Tulos ratkaisee kombiatoriika toise perusogelma (1b): Kuika moella erilaisella tavalla : (erilaiste) alkio jouko S alkioista voidaa muodostaa k: alkio osajoo? TKK Ilkka Melli 59

60 5. Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka Jos k = ii kombiatoriika perusogelma (1b) kutistuu perusogelmaksi (1a). Koska olemme sopieet, että 0! = 1, ii Kombiaatio!!! P(, ) =! ( )! = 0! = 1 = Olkoo S äärellie joukko, joka (erilaiste) alkioide lukumäärä o = (S) Kutsumme jouko S k: alkio osajoukkoja jouko S alkioide k alkiota sisältäviksi kombiaatioiksi. Jouko S alkioide kaikkie mahdolliste k alkiota sisältävie kombiaatioide lukumäärä o jossa o s. biomikerroi. Perustelu: C( k, ) = k! k = k!( k)! Olkoo jouko S (erilaiste) alkioide lukumäärä. Perustelemme kombiaatioide lukumäärää koskeva kaava määräämällä jouko S alkioide k alkiota sisältävie permutaatioide lukumäärä kahdella erilaisella tavalla ja merkitsemällä tulokset yhtä suuriksi. Saamme äi yhtälö, josta (toistaiseksi tutemato) kombiaatioide lukumäärä C(, k) voidaa ratkaista. Jouko S, jossa o alkiota, k permutaatioide lukumäärä o edellä esitety mukaa! P(, k) = ( 1) ( k 1) ( k)! = L Toisaalta jouko S alkioide k permutaatio voidaa muodostaa kahdessa vaiheessa: (1) Valitaa jouko S alkioista k alkiota sisältävä osajoukko. Tämä operaatio voidaa tehdä C(, k) erilaisella tavalla, jossa C(, k) o toistaiseksi tutemato jouko S alkioide k alkiota sisältävie permutaatioide lukumäärä. (2) Järjestetää valitu osajouko k alkiota jooo. Tämä operaatio voidaa tehdä k! erilaisella tavalla. TKK Ilkka Melli 60

61 5. Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka Koska operaatiot (1) ja (2) voidaa suorittaa toisistaa riippumatta, ii kombiatoriika kertolaskuperiaatteesta seuraa, että jouko S alkioide k alkiota sisältävie permutaatioide lukumäärä o P(, k) = C(, k) k! Olemme site saaeet yhtälö! P(, k) = = C(, k) k! ( k)! josta C(, k) ratkaisemalla saadaa haluttu tulos:! C( k, ) = = k!( k)! k Tulos ratkaisee kombiatoriika kolmae perusogelma (2): Kuika moella erilaisella tavalla : (erilaise) alkio jouko S alkioista voidaa muodostaa k: alkio osajoukko? Kerroita! C( k, ) = = k!( k)! k kutsutaa biomikertoimeksi ja se luetaa yli k:. Koska olemme sopieet, että 0! = 1, ii!! = = 1= = 0 0!!!0! Permutaatiot, variaatiot, kombiaatiot Jouko alkioide permutaatioissa ja variaatioissa alkioide järjestys o merkityksellie, mutta se sijaa jouko alkioide kombiaatioissa alkioide järjestys ei ole merkityksellie. Esimerkki 1. Permutaatiot, variaatiot, kombiaatiot. Ogelma 1: Kuika mota erilaista 3 umeroista kokoaislukua voidaa muodostaa umeroista 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? ku lukuja muodostettaessa etuollat merkitää äkyvii. Esimerkkejä: 5 = = 019 Kaikki äi saatavat 3 umeroiset kokoaisluvut ovat muotoa xyz olevia jooja, joissa umerot x, y ja z valitaa joukosta {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Numeroide x, y ja z valita jooo xyz voidaa tehdä kahdella erilaisella tavalla: TKK Ilkka Melli 61

62 5. Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka (i) Aikaisemmi valitu umero saa valita uudellee. (ii) Aikaisemmi valittua umeroa ei saa valita uudellee. Tarkastellaa esi tapausta: (i) Aikaisemmi valitu umero saa valita uudellee. Käytetää apua lokeromallia: Kokoaisluku xyz muodostuu kolmesta lokerosta, joista jokaie voidaa täyttää toisistaa riippumatta 10:llä erilaisella objektilla. Kertolaskuperiaattee mukaa lokerot xyz voidaa täyttää = 1000 erilaisella tavalla. Site erilaisia 3 umeroisia lukuja, joissa saa olla samoja umeroita, o 1000 kpl. Tulos o tietysti sopusoiussa se kassa, että kokoaislukuje 000, 001, 002,, 010, 011, 012,, 100, 101, 102,, 999 lukumäärä o Tarkastellaa seuraavaksi tapausta: (ii) Aikaisemmi valittua umeroa ei saa valita uudellee. Käytetää apua lokeromallia: Kokoaisluku xyz muodostuu kolmesta lokerosta, jotka voidaa täyttää vaiheittai seuraavalla tavalla: 1. lokero x voidaa täyttää 10:llä erilaisella objektilla. 2. lokero y voidaa täyttää vaiheesta (1) riippumatta 9:llä erilaisella objektilla, koska 1 objekteista o käytetty. 3. lokero z voidaa täyttää vaiheesta (2) riippumatta 8:lla erilaisella objektilla, koska 2 objekteista o käytetty. Kertolaskuperiaattee mukaa lokerot xyz voidaa täyttää = 720 erilaisella tavalla. Site erilaisia 3 umeroisia lukuja, joissa sama umero ei saa esiityä kui kerra, o 720 kpl. Huomaa, että sama tulos saadaa huomaamalla, että tapauksessa (ii) o itse asiassa määrättävä jouko {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 3 permutaatioide lukumäärä: 3 permutaatioide lukumääräksi saadaa Ogelma 2: 10! 10! P(10,3) = = = = 720 (10 3)! 7! mikä tietysti yhtyy aikaisemmi saatuu tuloksee. Kuika mota erilaista 3: alkio osajoukkoa voidaa valita umeroide 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 muodostamasta joukosta {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} TKK Ilkka Melli 62

63 5. Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka Ratkaisu ataa biomikerroi C(10,3): Site joukosta 10! 10! C(10,3) = = = = 120 3!(10 3)! 3!7! 3 2 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} voidaa valita 3: alkio osajoukko 120:llä erilaisella tavalla. Huomaa asetettuje ehtoje vaikutus: (i) Numeroista 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 voidaa muodostaa 1000 kpl 3 umeroisia lukuja, joissa sama umero saa esiityä useamma kerra. (ii) Joukosta {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} voidaa muodostaa 720 kpl 3: umero osajooja. (iii) Joukosta {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} voidaa muodostaa 120 kpl 3: umero osajoukkoja. Pascali kolmio Biomikertoimet saadaa s. Pascali kolmiosta. Alla o aettu Pascali kolmio 8 esimmäistä riviä Lukuu ottamatta kolmio reuoilla olevia ykkösiä jokaie kolmio luvuista o saatu laskemalla yhtee kaksi edeltävä rivi lukua uolte suutaa. Pascali kolmio ja biomikertoimet Pascali kolmio (+1). rivillä ovat biomikertoimet, k = 0,1,2, K, k Pascali kolmio muodostamissäätö voidaa ilmaista biomikertoimie avulla seuraavassa muodossa: TKK Ilkka Melli 63

64 5. Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka 1 1 k = + k 1 k Kaava mukaa Pascali kolmio. rivi k. luku saadaa laskemalla yhtee ( 1). rivi (k 1). ja k. luku. Perustelu: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 1! ) ( 1! ) ( k 1! )( k)! k! ( k 1! ) k( 1! ) k! ( k)! ( k)( 1! ) k! ( k)! ( k + ( k) )( 1! ) k! ( k)! 1 1 1! 1! + = + k 1 k k 1! ( 1) ( k 1)! k! ( 1) k! = + = + =! = = k! ( k)! k Pascali kolmio o symmetrie kolmio rivie keskikohda suhtee, mikä voidaa ilmaista biomikertoimie avulla seuraavassa muodossa: Perustelu: Biomikaava! k = = k!( k)! k Biomikaava mukaa biomi!! = = = k k! ( k)! ( k)(! ( k)! ) k x + y. potessi voidaa esittää muodossa Perustelu: Ku biomi ( x+ y) = x y k= 0 k x + y k k korotetaa potessii, saadaa summalauseke, joka termit ovat muotoa TKK Ilkka Melli 64

65 5. Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka k k x y, k = 0,1, 2, K, Yhdistetää sellaiset termit, joissa esiityy sama x: potessi ja järjestetää äi saadut termit x: aleevie potessie mukaisee järjestyksee. Yhdistämise tuloksea saadaa ( +1) termiä sisältävä summalauseke, joka (k + 1). termi o muotoa k k D(, k) x y, k = 0,1,2, K, ja jossa D(, k) o muotoa x k y k olevie termie lukumäärä. Tehtävää o määrätä D(, k) eli se kuika moella erilaisella tavalla muotoa x k y k oleva termi sytyy, ku biomi x + y korotetaa potessii. Käytetää tehtävä ratkaisemisessa lokeromallia: Täytetää lokerikko, jossa o lokeroa, tyyppiä x ja tyyppiä y olevilla objekteilla, ku tyyppiä x olevia objekteja o ( k) kpl ja tyyppiä y olevia objekteja o k kpl. Haluamme tietää, kuika moella erilaisella tavalla tämä operaatio voidaa suorittaa. Koska tyyppiä y olevie objektie paikat o määrätty se jälkee, ku tyyppiä x olevat objektit o sijoitettu lokerikkoo, riittää tarkastella sitä, kuika moella erilaisella tavalla ( k) kpl tyyppiä x olevia objekteja voidaa sijoittaa lokerikkoo, jossa o lokeroa. Tämä tehtävä o selvästi ekvivaletti seuraava tehtävä kassa: Kuika moella erilaisella tavalla joukosta, jossa o alkiota, voidaa valita osajoukko, jossa o ( k) alkiota? Tämä o kombiatoriika perusogelma (2) (ks. kappaletta Kombiatoriika perusogelmat), jote ratkaisuksi saadaa biomikerroi Esimerkki 2. Biomikaava. D( k, ) = = k k Biomikaava mukaa biomi x + y 4. potessi voidaa esittää muodossa ( x+ y) = x y = x + x y+ x y + xy + y k= 0 k k k = x + 4x y+ 6x y + 4xy + y Tulos o sopusoiussa se kassa, että Pascali kolmio 5. rivi luvut ovat 1, 4, 6, 4, 1 Tarkastellaa vielä sitä, mite tyyppiä x 2 y 2 olevat termit sytyvät: Kaikki mahdolliset muotoa x 2 y 2 olevat tulot ovat xxyy xyxy xyyx yxxy yxyx yyxx TKK Ilkka Melli 65

66 5. Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka Tuloja o siis 6 kappaletta. Koska tässä = 4 ja k = 2, biomikertoime kaavasta saadaa tämä tulokse kassa yhtäpitävästi 4 4! C(4, 2) = 6 2 = = = 2!2! Äärellise jouko osajoukkoje lukumäärä Olkoo jouko S (erilaiste) alkioide lukumäärä = (S) Tällöi jouko S osajoukkoje lukumäärä o N = 2 Tässä lukumäärässä ovat mukaa: (1) Tyhjä joukko (2) Kaikki yhde alkio osajoukot (3) Kaikki kahde alkio osajoukot (4) Kaikki kolme alkio osajoukot () Perustelu: ( + 1) Joukko S Kaikki ( 1): alkio osajoukot Olkoo jouko S (erilaiste) alkioide lukumäärä = (S) Joukolla S o k alkiota sisältävie kombiaatioide lukumäärää koskeva tulokse mukaa C( k, ) = k osajoukkoa, jossa o k alkiota, k = 0, 1, 2,,. Jouko S osajoukkoje kokoaislukumäärä N saadaa laskemalla kaikki biomikertoimet yhtee: C(, k), k = 0, 1, 2,, N = L Toisaalta biomikaava mukaa, ku kaavaa sijoitetaa x = y = 1: (1+ 1) = 2 = L TKK Ilkka Melli 66

67 5. Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka Yhdistämällä ämä tulokset saadaa jouko S kaikkie osajoukkoje lukumääräksi jossa biomikerroi N = 2 = L k kertoo jouko S sellaiste osajoukkoje lukumäärä, joissa o k alkiota, k = 0, 1, 2,,. Esimerkkejä lukumäärie laskemisesta Esimerkki 3. Lotto. Lotossa 1 ruudukko lototaa valitsemalla 7 umeroa 39:stä. Kuika mota erilaista lottoruudukkoa o olemassa? Tämä kysymys voidaa muotoilla myös seuraavalla tavalla: Kuika mota erilaista 7: alkio osajoukkoa voidaa valita 39: erilaise alkio joukosta? Vastaukse ataa kombiaatioide lukumäärää koskeva tulos: Esimerkki 4. Lotto ! = = !32! Lotossa 1 ruudukko lototaa valitsemalla 7 umeroa 39:stä. Kuika motako sellaista lottoruudukkoa o olemassa, joissa o täsmällee 5 oikei? 5 oikei saadaa, jos o valittu 5 umeroa 7: oikea umero joukosta ja 2 umeroa 32: väärä umero joukosta. 5 umeroa voidaa valita 7 5 erilaisella tavalla 7: oikea umero joukosta ja 2 umeroa voidaa valita 32 2 erilaisella tavalla 32: väärä umero joukosta. Lisäksi valiat voidaa tehdä toisistaa riippumatta. Site kertolaskuperiaatteesta seuraa, että 5 oikei sisältävie rivie lukumäärä o ! 32! = = = !2! 2!30! TKK Ilkka Melli 67

68 5. Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka Esimerkki 5. Pokeri. Oletetaa, että pelaamme pokeri muotoa, jossa jokaiselle pelaajalle jaetaa 52: korti pakasta (ts. pakassa ei ole mukaa jokereita) aluksi 5 korttia. Kuika mota sellaista kättä o olemassa, joissa o 5 korttia? Kombiaatioide lukumäärää koskeva tulokse mukaa vastauksea o kappaletta. Esimerkki 6. Bridge. 52 = Bridgessä o eljä pelaajaa ja jokaiselle pelaajalle jaetaa 52: korti pakasta (ts. pakassa ei ole mukaa jokereita) 13 korttia. Kuika mota sellaista kättä o olemassa, joissa o 13 korttia? Kombiaatioide lukumäärää koskeva tulokse mukaa vastauksea o kappaletta Multiomikerroi 52 = Olkoo jouko S (erilaiste) alkioide lukumäärä = (S) Oletetaa, että positiiviset kokoaisluvut toteuttavat ehdo i, i = 1, 2,, k k = Ositetaa joukko S pistevieraisii osajoukkoihi ii, että joukossa A i o A i, i = 1, 2,, k i = (A i ) alkiota. Kuika moella erilaisella tavalla tällaie ositus voidaa tehdä? Vastaukse ataa multiomikerroi jossa siis! = 1 2 L k 1! 2! Lk! k = Multiomikertoime kaava voidaa johtaa samalaisella tekiikalla kui biomikertoime kaava. TKK Ilkka Melli 68

69 5. Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka Jos k = 2, multiomikertoimesta saadaa biomikerroi jossa! = = =!! = Multiomikertoimet ovat kertoimia multiomi. potessi kehityskaava muotoa x + x + L+ x 1 2 k ( ) x1+ x2 + L+ x k 1 2 x k 1 x2 Lx k olevissa termeissä, joissa siis potesseja 1, 2,, k sitoo ehto k = Esimerkki. Multiomikerroi. Saassa kasa o 4 kirjaita, joide joukossa o 3 erilaista kirjaita: k a s 1 kpl 2 kpl 1 kpl Kuika mota erilaista eljä kirjaime mittaista saaa voidaa muodostaa permutoimalla saa kasa kirjaimia k, a, s ja a? Erilaiste saoje lukumäärä ataa multiomikerroi 4 4! = = !2!1! Tässä tapauksessa erilaiset saat o helppo luetella: a alkuiset saat: aaks aask akas aksa asak aska k alkuiset saat: kaas kasa ksaa s alkuiset saat saak saka skaa Saoja o todellaki 12 kpl kute edellä todettii. TKK Ilkka Melli 69

70 6. Todeäköisyyde aksioomat 6. Todeäköisyyde aksioomat 6.1. Todeäköisyys äärellisissä otosavaruuksissa 6.2. Klassie todeäköisyys, suhteellie frekvessi ja ehdollie todeäköisyys todeäköisyyksiä 6.3. Todeäköisyys mielivaltaisissa otosavaruuksissa Tarkastelemme tässä luvussa todeäköisyyslasketaa aksiomaattisea matemaattisea teoriaa. Käsittely o jaettu kahtee osaa: Äärelliset otosavaruudet. Mielivaltaiset (äärettömät) otosavaruudet. Todeäköisyyde aksioomie oleaisea sisältöä o se, että todeäköisyys o mitta matemaattise mittateoria tarkoittamassa mielessä. Näytämme myös se, että klassista todeäköisyyttä ja suhteellista frekvessiä (empiiristä todeäköisyyttä) voidaa pitää sopivasti määriteltyiä todeäköisyyde käsittee erikoistapauksia ja se, että ehdollie todeäköisyys o todeäköisyyde käsittee laajeus. Avaisaat: Additiivie mitta, Boole algebra, Ehdollie todeäköisyys, Empiirie todeäköisyys, Epämitallie joukko, Jatkuvuusaksiooma, Joukko, Klassie todeäköisyys, Kolmogorovi aksioomat, Komplemetti, Mahdoto tapahtuma, Mitallie joukko, Mitta, Mitallisuus, Normeerattu mitta, Osajoukko, Otosavaruus, Perusjoukko, Positiivie mitta, Riippumattomuus, σ algebra, Suhteellie frekvessi, Tapahtuma, Todeäköisyyde aksioomat, Todeäköisyys, Todeäköisyyskettä, Todeäköisyysmitta, Toisesa poissulkevuus, Yhdistetty tapahtuma, Yhteelaskusäätö, Yleie yhteelaskusäätö, Äärellie todeäköisyyskettä, Äärellise otosavaruude aksioomat TKK Ilkka Melli 70

71 6. Todeäköisyyde aksioomat 6.1. Todeäköisyys äärellisissä otosavaruuksissa Tarkastelemme esi todeäköisyyde määrittelemistä äärellisissä otosavaruuksissa. Suuri osa tässä todeäköisyyslaskea esityksessä sovellettavista todeäköisyyde laskusääöistä voidaa todistaa äärelliste otosavaruuksie aksioomista. Boole algebrat Olkoo S joukko ja joki F jouko S osajoukkoje muodostama perhe eli A F A S Joukkoperhe F oboole algebra, jos seuraavat ehdot pätevät: (i) (ii) Tyhjä joukko o joukkoperhee F alkio: F Jos joukko A o joukkoperhee F alkio, ii myös se komplemetti A c o joukkoperhee F alkio: A c F A F (iii) Jos joukot A ja B ovat joukkoperhee F alkioita, ii myös iide yhdiste A B o joukkoperhee F alkio: Lause 1. A F, B F A B F Olkoo F joki perusjouko S osajoukoille määritelty Boole algebra ja oletetaa, että Tällöi (a) Todistus: A F, B F S F (b) A B F (c) A\ B F (d) B\ A F Olkoo F joki perusjouko S osajoukoille määritelty Boole algebra ja oletetaa, että A F, B F Huomaa, että Boole algebra aksioomista seuraa, että (a) c c F, A F, B F, A B F Osoitetaa, että S F Todetaa esi, että TKK Ilkka Melli 71

72 6. Todeäköisyyde aksioomat c S = Boole algebra aksiooma (i) mukaa F Boole algebra aksiooma (ii) mukaa S c F = (b) Osoitetaa, että A B F. Todetaa esi, että De Morgai lai mukaa A B= ( A B ) c c c Boole algebra aksiooma (ii) mukaa, c c A F B F A F, B F Boole algebra aksiooma (iii) mukaa c c c c A F, B F A B F Boole algebra aksiooma (ii) mukaa F c c c c c A B F ( A B ) = A B F (c) Osoitetaa, että A\ B F. (d) Todetaa esi, että A\ B= A B Boole algebra aksiooma (ii) mukaa B B c c F Kohda (b) mukaa F, c c A F B F A B = A\ B F Se osoittamie, että B\ A F tapahtuu samalla tavalla kui (c) kohda todistus. Boole algebra aksioomista ja lauseesta 1 seuraa, että Boole algebrat ovat suljettuja tavaomaiste joukko opi operaatioide suhtee, ku operaatioita tehdää äärellie määrä. Tällä tarkoitetaa siitä, että äärellie määrä tavaomaisia joukko opi operaatioita ei vie Boole algebra ulkopuolelle: Jos Boole algebra F joukkoihi sovelletaa äärellie määrä tavaomaisia joukko opi operaatioita komplemetti, yhdiste, leikkaus ja erotus, ii tuloksea saatavat joukot kuuluvat edellee Boole algebraa F. Esimerkki. Boole algebra. Olkoo S mielivaltaie joukko ja olkoo TKK Ilkka Melli 72

73 6. Todeäköisyyde aksioomat A S mielivaltaie jouko S osajoukko. Tällöi joukkoperhe c F= {, A, A, S} muodostaa Boole algebra joukossa S, koska (i) (ii) F B c F B (iii) B F, C F B C F jossa B ja C voivat olla mitkä tahasa kaksi joukoista c, A, A, S F Todeäköisyyslaskeassa perusjoukkoa S kutsutaa otosavaruudeksi ja otosavaruude S alkioita kutsutaa alkeistapahtumiksi. Jos siis s o alkeistapahtuma, ii s S Jos F o joki otosavaruudessa S määritelty Boole algebra, ii kutsumme Boole algebraa F kuuluvia otosavaruude S osajoukkoja tapahtumiksi. Jos siis joukko A o tapahtuma, ii A F Olkoo F otosavaruudessa S määritelty Boole algebra. Olkoot otosavaruude S osajoukot A ja B tapahtumia eli oletetaa, että A F, B F Koska edellä esitety mukaa Boole algebra F o suljettu tavaomaiste joukko opi operaatioide suhtee, ii myös joukot A c, B c, A B, A B, A\B, B\A ovat tapahtumia. Tällä tarkoitetaa siis sitä, että c c A F, B F, A B F, A B F, A\ B F, B\ A F Tämä merkitsee siis sitä, että otosavaruude tapahtumista voidaa johtaa uusia tapahtumia soveltamalla iihi äärellie määrä tavaomaisia joukko opi operaatioita. Olkoo S äärellie otosavaruus, jossa o alkiota ja olkoo S 2 = { A A S} otosavaruude S kaikkie osajoukkoje perhe. Joukkoperheessä 2 S o 2 alkiota; ks. luvu Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka kappaletta Kombiatoriika perusogelmie ratkaisemie. Otosavaruude S kaikkie osajoukkoje perhe 2 S muodostaa triviaali Boole algebra joukossa S. TKK Ilkka Melli 73

74 6. Todeäköisyyde aksioomat Todeäköisyyde aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Olkoo S äärellie joukko ja F joki jouko S osajoukkoje muodostama Boole algebra. Olkoo lisäksi Pr joukkofuktio, joka liittää jokaisee Boole algebraa F kuuluvaa jouko S osajoukkoo A reaalikuvu eli A F A S Pr( A) Joukkofuktio Pr o äärellise otosavaruude todeäköisyysmitta, jos (i) Pr( S ) = 1 (ii) 0 Pr( A) 1 kaikille A F (iii) A F, B F, A B= Pr( A B) = Pr( A) + Pr( B) Äärellise otosavaruude todeäköisyyde aksioomie (i) (iii) mukaa todeäköisyys Pr o positiivie, äärellisesti additiivie ja ormeerattu mitta. Aksioomat (i) ja (ii), ormeeraus ja positiivisuus: A S 0 Pr(A) Pr(S) = 1 Aksiooma (iii), äärellie additiivisuus: A B = Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Aksiooma (iii) o yhteelaskusäätö toisesa poissulkeville tapahtumille. Aksioomie (i) (iii) oleaisea sisältöä o siis se, että todeäköisyys o mitta matematiika tarkoittamassa mielessä. Todeäköisyyslasketaa voidaaki pitää matemaattise mittateoria erikoistueea osaa. Aksioomie (i) (iii) mukaa todeäköisyysmitalla o samat omiaisuudet kui pita alamitalla paitsi, että todeäköisyysmitta o ormeerattu ii, että se ylärajaa o 1. Äärellise otosavaruude tapahtumista voidaa muodostaa uusia tapahtumia soveltamalla iihi Boole algebra aksioomia ja iistä johdettuja joukko opi laskusäätöjä. Uusie tapahtumie todeäköisyydet saadaa soveltamalla iihi äärellise otosavaruude todeäköisyyde aksioomia ja iistä johdettuja todeäköisyyslaskea laskusäätöjä. Alkeistodeäköisyyslaskea laskusäätöje todistamie Todistamme alla seuraavat todeäköisyyslaskea laskusääöt lähtie äärelliste otosavaruuksie todeäköisyyde aksioomista: (i) (ii) (iii) (iv) Lause 2. Todistus: Mahdottoma tapahtuma todeäköisyys. Komplemettitapahtuma todeäköisyys. Osajouko todeäköisyys. Yleie yhteelaskusäätö. Olkoo S äärellie otosavaruus ja olkoo F otosavaruude S osajoukoille määritelty Boole algebra. Tällöi mahdottoma tapahtuma todeäköisyys o olla: Pr( ) = 0 TKK Ilkka Melli 74

75 6. Todeäköisyyde aksioomat Lause 3. Todistus: Olkoo F äärellise otosavaruude S osajoukoille määritelty Boole algebra ja olkoo mahdoto tapahtuma. Boole algebra aksiooma (i) mukaa F Lauseessa 1 o todistettu, että S F Joukot ja S muodostavat otosavaruude S ositukse eli S = S S = Todeäköisyyde aksioomie (i) ja (iii) mukaa 1 = Pr( S) = Pr( S) = Pr( ) + Pr( S) = Pr( ) + 1 mikä ei voi olla totta, ellei Pr( ) = 0 Olkoo S äärellie otosavaruus ja olkoo F otosavaruude S osajoukoille määritelty Boole algebra. Oletetaa, että A F Tällöi tapahtuma A komplemetille A c pätee: c Pr( A ) = 1 Pr( A) Olkoo F äärellise otosavaruude S osajoukoille määritelty Boole algebra ja olkoo A F Boole algebra aksiooma (ii) mukaa c A F Joukot A ja A c muodostavat otosavaruude S ositukse eli A A c = S A A c = Todeäköisyyde aksioomie (i) ja (iii) mukaa jote 1 Pr( ) Pr( c c = S = A A ) = Pr( A) + Pr( A ) c Pr( A ) = 1 Pr( A) A c A S TKK Ilkka Melli 75

76 6. Todeäköisyyde aksioomat Lause 4. Olkoo S äärellie otosavaruus ja olkoo F otosavaruude S osajoukoille määritelty Boole algebra. Oletetaa, että ja Tällöi Todistus: Lause 5. A F, B F B A Pr(B) Pr(A) Olkoo F äärellise otosavaruude S osajoukoille määritelty Boole algebra ja olkoo A F, B F Oletetaa lisäksi, että B A Lauseessa 1 o todistettu, että Koska oletimme, että c A F, B F A\ B= A B F B A ii joukot B ja A\B muodostavat jouko A ositukse: B (A\B) = A B (A\B) = Todeäköisyyde aksioomie (iii) ja (ii) mukaa Pr( A) = Pr( B ( A\ B)) = Pr( B) + Pr( A\ B) Pr( B) Olkoo S äärellie otosavaruus ja olkoo F otosavaruude S osajoukoille määritelty Boole algebra. Oletetaa, että Tällöi Todistus: A F, B F Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A B) Olkoo F äärellise otosavaruude S osajoukoille määritelty Boole algebra ja olkoo A F, B F TKK Ilkka Melli 76

77 6. Todeäköisyyde aksioomat Boole algebra aksioomie ja lausee 1 mukaa A F, B F A B F, A B F, A\ B F, B\ A F Joukot A ja B\A muodostavat jouko A B ositukse: A B = A (B\A) A (B\A) = Ks. viereistä kuvaa. Todeäköisyyde aksiooma (iii) mukaa (1) Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B\A) Joukot A B ja B\A muodostavat jouko B ositukse: B = (A B) (B\A) (A B) (B\A) = Todeäköisyyde aksiooma (iii) mukaa (2) Pr(B) = Pr(A B) + Pr(B\A) Ratkaisemalla Pr(B\A) yhtälöstä (2) ja sijoittamalla ratkaisu yhtälöö (1) saadaa väite: Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A B) Äärellie todeäköisyyskettä Kolmikko ( S, F,Pr) muodostaa äärellise todeäköisyysketä, jos S o äärellie otosavaruus, F o otosavaruudessa S määritelty Boole algebra ja Pr o Boole algebrassa F määritelty todeäköisyysmitta. Riippumattomuus ja riippumattomie tapahtumie tulosäätö Saomme, että tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos ja vai jos riippumattomie tapahtumie tulosäätö pätee. Pr( A B) = Pr( A)Pr( B) 6.2. Klassie todeäköisyys, suhteellie frekvessi ja ehdollie todeäköisyys todeäköisyyksiä Klassie todeäköisyys todeäköisyyteä Olkoo S = {s 1, s 2,, s } TKK Ilkka Melli 77

78 6. Todeäköisyyde aksioomat johoki satuaiskokeesee liittyvä äärellie otosavaruus, jossa o = (S) alkeistapahtumaa. Oletetaa lisäksi, että otosavaruude S alkeistapahtumat ovat symmetrisiä eli yhtä todeäköisiä, jolloi Olkoo 1 Pr( si ) =, i= 1,2, K, A= { s, s, K, s } S i1 i2 i k ko. satuaiskokeesee liittyvä tapahtuma, jossa o k = (A) alkeistapahtumaa, joita saotaa tapahtumalle A suotuisiksi. Määritellää tapahtuma A klassie todeäköisyys Pr c (A) kaavalla jossa siis ja Perustelu: k Pr c( A) = k = (A) = (S) Klassise todeäköisyyde määritelmä voidaa perustella seuraavalla tavalla: Olkoo Tällöi A= { s, s, K, s } S = { s, s, K, s } i1 i2 ik 1 2 A= { s } { s } L { s } ja lisäksi alkeistapahtumat i1 i2 i k s, j = 1,2, K, k i j ovat pareittai toisesa poissulkevia. Koska alkeistapahtumat s 1, s 2,, s o oletettu symmetrisiksi, todeäköisyyde aksioomasta (iii) seuraa: 1 1 k Pr( A) = Pr( si ) + Pr( s ) Pr( ) Pr ( ) 1 i + L+ s 2 i = + L+ = = k c A Klassie todeäköisyys Pr c (A) toteuttaa todeäköisyyde aksioomat (i) (iii) äärellisille otosavaruuksille, jote klassie todeäköisyys o todeäköisyys. Perustelu: k kpl TKK Ilkka Melli 78

79 6. Todeäköisyyde aksioomat Aksiooma (i): Koska (S) = ii Pr c ( S) = = 1 Aksiooma (ii): Kaikille tapahtumille A S pätee 0 (A) = k = (S) jote k 0 Pr c ( A) = 1 Aksiooma (iii): Jos tapahtumat A ja B ovat toisesa poissulkevia eli, jos A B = ii Tällöi k A B = k A + k B ka B ka + kb ka kb Pr( c A B) = = = + = Pr( c A) + Pr( c B) Site klassie todeäköisyys o äärellisissä otosavaruuksissa määritelly todeäköisyyde erikoistapaus. Suhteellie frekvessi todeäköisyyteä Olkoo S johoki satuaiskokeesee liittyvä äärellie otosavaruus ja olkoo A S ko. satuaiskokeesee liittyvä tapahtuma. Toistetaa satuaiskoetta kertaa ja olkoo f A tapahtuma A frekvessi eli lukumäärä koetoistoje joukossa. Tällöi f A o tapahtuma A suhteellie frekvessi. Käytetää tapahtuma A suhteelliselle frekvessille f A / merkitää: fa Pr f( A) = TKK Ilkka Melli 79

80 6. Todeäköisyyde aksioomat Suhteellie frekvessi Pr f (A) toteuttaa todeäköisyyde aksioomat (i) (iii) äärellisille otosavaruuksille, jote suhteellie frekvessi o todeäköisyys. Perustelu: Toistetaa satuaiskoetta kertaa. Aksiooma (i): Koska otosavaruus S o varma tapahtuma, se sattuu jokaisessa koetoistossa ja Site Aksiooma (ii): f S = fs Pr f ( S) = 1 = = Kaikille tapahtumille A S pätee Site Aksiooma (iii): 0 f A f A 0 Pr f ( A) = 1 Jos tapahtumat A ja B ovat toisesa poissulkevia eli, jos ii A B = Tällöi f A B = f A + f B fa B fa + fb fa fb Pr( f A B) = = = + = Pr( f A) + Pr( f B) Site suhteellie frekvessi o äärellisissä otosavaruuksissa määritelly todeäköisyyde erikoistapaus. Empiirie todeäköisyys Jos tapahtuma A suhteellie frekvessi fa Pr f( A) = lähestyy (jossaki mielessä) toistokokeide lukumäärä rajatta kasvaessa kiiteätä lukua p, saotaa lukua p tapahtuma A empiiriseksi todeäköisyydeksi. Jos siis p o tapahtuma A empiirie todeäköisyys, ii fa Pr f( A) = p, TKK Ilkka Melli 80

81 6. Todeäköisyyde aksioomat jossa kovergessi ei ole tavaomaista lukujookovergessia; kovergessikäsite täsmeetää luvussa Stokastiika kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet. Todeäköisyyde frekvessitulkita Oletetaa, että tapahtuma A todeäköisyys o p. Toistetaa sitä satuaiskoetta, joho tapahtuma A liittyy, kertaa. Todeäköisyyde frekvessitulkia mukaa tapahtuma A suhteellie frekvessi fa Pr f( A) = vaihtelee satuaisesti koetoistosta toisee, mutta saa keskimääri tapahtuma todeäköisyyttä p lähellä olevia arvoja. Ehdollie todeäköisyys todeäköisyyteä Olkoo S johoki satuaiskokeesee liittyvä äärellie otosavaruus. Olkoot A S, C S ko. satuaiskokeesee liittyviä tapahtumia ja olkoo Pr(C) 0 Määritellää tapahtuma A ehdollie todeäköisyys Pr(A C) kaavalla Pr( A C) Pr( AC ) = Pr( C) Ehdollie todeäköisyys Pr(A C) toteuttaa todeäköisyyde aksioomat (i) (iii) äärellisille otosavaruuksille, jote ehdollie todeäköisyys o todeäköisyys. Perustelu: Aksiooma (i): Kaikille tapahtumille C S pätee Site Aksiooma (ii): S C = C Pr( S C) Pr( C) Pr( S C) = = = 1 Pr( C) Pr( C) Koska kaikille tapahtumille A S ja C S pätee ii Site A C C 0 Pr(A C) Pr(C) Pr( A C) Pr( C) 0 Pr( AC ) = = 1 Pr( C) Pr( C) TKK Ilkka Melli 81

82 6. Todeäköisyyde aksioomat Aksiooma (iii): Kaikille tapahtumille A S, B S ja C S pätee s. distribuutiolaki (A B) C = (A C) (B C) Jos tapahtumat A ja B ovat toisesa poissulkevia eli, jos A B = ii kaikille C S pätee (A C) (B C) = Tällöi Pr(( A B) C) Pr( A B C) = Pr( C) Pr(( A C) ( B C)) = Pr( C) Pr( A C) Pr( B C) = + Pr( C) Pr( C) = Pr( A C) + Pr( B C) Site ehdollie todeäköisyys o todeäköisyyde käsittee laajeus Todeäköisyys mielivaltaisissa otosavaruuksissa Tarkastellaa todeäköisyyde määrittelemistä mielivaltaisissa otosavaruuksissa. σ algebrat Olkoo S joukko ja joki F jouko S osajoukkoje muodostama perhe eli A F A S Joukkoperhe F o σ algebra, jos seuraavat ehdot pätevät: (i) (ii) Tyhjä joukko o joukkoperhee F alkio: F Jos joukko A o joukkoperhee F alkio, ii myös se komplemetti A c o joukkoperhee F alkio: A A c F F (iii) Jos joukot A 1, A 2, A 3, ovat joukkoperhee F alkioita, ii myös iide yhdiste A i o joukkoperhee F alkio: A1, A2, A3, K F Ai F U i= 1 TKK Ilkka Melli 82

83 6. Todeäköisyyde aksioomat Jos joukkoperhe F toteuttaa σ algebra aksioomat, ii se toteuttaa myös Boole algebra aksioomat. Site kaikki Boole algebroide laskusääöt pätevät σ algebroille. Erityisesti siis tämä luvu kappalee Todeäköisyys äärellisissä otosavaruuksissa lausetta 1 vastaava lause pätee myös σ algebroille: Lause 1. Olkoo F joki perusjouko S osajoukoille määritelty σ algebra ja oletetaa, että Tällöi (a) A F, B F S F (b) A B F (c) A\ B F (d) B\ A F Lausee 1 (b) kohta voidaa laajetaa koskemaa umeroituvaa määrää σ algebra joukkoja: Lause 2. Todistus: Olkoo F joki perusjouko S osajoukoille määritelty σ algebra ja oletetaa, että A 1, A 2, A 3, F Tällöi joukkoje A 1, A 2, A 3, leikkaus A i o σ algebra F alkio: A1, A2, A3, K F Ai F I i= 1 Olkoo F joki perusjouko S osajoukoille määritelty σ algebra ja oletetaa, että A 1, A 2, A 3, F Todetaa esi, että De Morgai lai yleistykse mukaa c c IAi = UAi i= 1 i= 1 σ algebra aksiooma (ii) mukaa A, A, A, K F A, A, A, K F c c c σ algebra aksiooma (iii) mukaa c c c c 1, 2, 3, K F U i i= 1 A A A A F σ algebra aksiooma (ii) mukaa c U c c Ai F U Ai I Ai i= 1 i= 1 i= 1 = F TKK Ilkka Melli 83

84 6. Todeäköisyyde aksioomat σ algebra aksioomista ja lauseista 1 ja 2 seuraa, että σ algebrat ovat suljettuja tavaomaiste joukko opi operaatioide suhtee, ku operaatioita tehdää korkeitaa umeroituva määrä. Tällä tarkoitetaa siitä, että umeroituva määrä tavaomaisia joukko opi operaatioita ei vie σ algebra ulkopuolelle: Jos σ algebra F joukkoihi sovelletaa korkeitaa umeroituva määrä tavaomaisia joukko opi operaatioita komplemetti, yhdiste, leikkaus ja erotus, ii tuloksea saatavat joukot kuuluvat edellee σ algebraa F. Todeäköisyyslaskeassa perusjoukkoa S kutsutaa otosavaruudeksi ja otosavaruude S alkioita kutsutaa alkeistapahtumiksi. Jos siis s o alkeistapahtuma, ii s S Jos F o joki otosavaruudessa S määritelty σ algebra, ii kutsumme σ algebraa F kuuluvia otosavaruude S osajoukkoja tapahtumiksi. Jos siis joukko A o tapahtuma, ii A F Olkoo F otosavaruudessa S määritelty σ algebra. Olkoot otosavaruude S osajoukot A 1, A 2, A 3, tapahtumia eli oletetaa, että A 1, A 2, A 3, F Koska edellä esitety mukaa σ algebra F o suljettu tavaomaiste joukko opi operaatioide suhtee, ku operaatioita tehdää korkeitaa umeroituva määrä, ii myös joukot A, A, A,, A, A c c c KU ii i= 1 i= 1 ovat tapahtumia. Tällä tarkoitetaa siis sitä, että A, A, A, F, A F, A F c c c K U I i i i= 1 i= 1 Tämä merkitsee siis sitä, että otosavaruude tapahtumista voidaa johtaa uusia tapahtumia soveltamalla iihi korkeitaa umeroituva määrä tavaomaisia joukko opi operaatioita. Kolmogorovi aksioomat Olkoo S joki joukko ja F joki jouko S osajoukkoje muodostama σ algebra. Olkoo lisäksi Pr joukkofuktio, joka liittää jokaisee σ algebraa F kuuluvaa jouko S osajoukkoo A reaalikuvu eli A F A S Pr( A) Joukkofuktio Pr o todeäköisyysmitta, jos (i) Pr( S ) = 1 (ii) 0 Pr( A) 1 kaikille A F (iii) K F ( Ui= 1 ) i A, A, A, ja A A =, i j Pr A = Pr( A) i j i i= 1 i TKK Ilkka Melli 84

85 6. Todeäköisyyde aksioomat Aksioomia (i) (iii) kutsutaa Kolmogorovi aksioomiksi todeäköisyydelle. Kolmogorovi aksioomie (i) (iii) mukaa todeäköisyys Pr o positiivie, additiivie ja ormeerattu mitta. Aksioomat (i) ja (ii), ormeeraus ja positiivisuus: A S 0 Pr(A) Pr(S) = 1 TKK Ilkka Melli 85

86 6. Todeäköisyyde aksioomat Aksiooma (iii), additiivisuus: ( Ui= 1 ) A, A, A, ja A A, i j Pr A Pr( ) K F = = A i j i i= 1 i Aksiooma (iii) o yhteelaskusäätö umeroituvalle määrälle toisesa poissulkevia tapahtumia. Aksioomie (i) (iii) oleaisea sisältöä o siis se, että todeäköisyys o mitta matematiika tarkoittamassa mielessä. Todeäköisyyslasketaa voidaaki pitää matemaattise mittateoria erikoistueea osaa. Aksioomie (i) (iii) mukaa todeäköisyysmitalla o samat omiaisuudet kui pita alamitalla paitsi, että todeäköisyysmitta o ormeerattu ii, että se ylärajaa o 1. Otosavaruude tapahtumista voidaa muodostaa uusia tapahtumia soveltamalla iihi σ algebra aksioomia ja iistä johdettuja joukko opi laskusäätöjä. Uusie tapahtumie todeäköisyydet saadaa soveltamalla iihi Kolmogorovi aksioomia ja iistä johdettuja todeäköisyyslaskea laskusäätöjä. Jos joukkofuktio Pr toteuttaa Kolmogorovi aksioomat, ii se toteuttaa todeäköisyyde aksioomat äärellisille otosavaruuksille. Site kaikki äärellise otosavaruude todeäköisyyde aksioomista johdetut laskusääöt pätevät yleiselle todeäköisyysmitalle. Erityisesti siis kappalee Todeäköisyys äärellisissä otosavaruuksissa lauseet 2 5 äärellise otosavaruude todeäköisyysmitalle pätevät myös yleiselle todeäköisyysmitalle. Todeäköisyyskettä Kolmikko ( S, F,Pr) muodostaa todeäköisyysketä, jos S o otosavaruus, F o otosavaruudessa S määritelty σ algebra ja Pr o σ algebrassa F määritelty todeäköisyysmitta. Mitalliset ja epämitalliset joukot O syytä huomata, että jos otosavaruus S o ääretö, se kaikille osajoukoille ei välttämättä voida määritellä todeäköisyyttä. Niitä otosavaruude S osajoukkoja, joille todeäköisyys voidaa määritellä kutsutaa mitallisiksi ja iitä, joille todeäköisyyttä ei voida määritellä kutsutaa epämitallisiksi. Voidaa osoittaa, että otosavaruude S mitalliset osajoukot muodostavat σ algebra. Esimerkki. Jos otosavaruutea S o reaalilukuje joukko, ii siiä voidaa määritellä todeäköisyysmitta, jolle esimerkiksi kaikki reaaliakseli välit sekä avoimet ja suljetut joukot ovat mitallisia ja kelpaavat siis tapahtumiksi. Voidaa kuiteki osoittaa, että reaalilukuje joukossa o myös sellaisia osajoukkoja, jotka ovat epämitallisia ja eivät siis kelpaa tapahtumiksi. Voidaa osoittaa, että kaikki reaalilukuje jouko todeäköisyysmita suhtee mitalliset osajoukot saadaa tyyppiä ] (, b = { x < x b} olevista puoliavoimista väleistä soveltamalla iihi korkeitaa umeroituva määrä komplemetti, yhdiste ja leikkausoperaatiota. TKK Ilkka Melli 86

87 6. Todeäköisyyde aksioomat Saomme, että muotoa (,b] olevat reaaliakseli välit virittävät reaalilukuje jouko mitalliste osajoukkoje muodostama σ algebra. Tähä todeäköisyysmita omiaisuutee perustuu kertymäfuktio keskeie asema todeäköisyyslaskeassa ja matemaattisessa tilastotieteessä; ks. lukua Kertymäfuktio. Kolmogorovi aksioomie seurauksia Todistamme seuraavassa kaksi myöhemmi tarvittavaa lausetta, joide todistamisee eivät riitä äärellise otosavaruude aksioomat todeäköisyydelle: Kummassaki todistuksessa joudutaa vetoamaa Kolmogorovi aksioomaa (iii). Lause 3. Olkoo ( S, F,Pr) todeäköisyyskettä ja olkoot (a) (b) Jos ii ii A, A, A, K F A1 A2 A3 L Pr UAi = lim Pr( Ai) i i= 1 Jos A1 A2 A3 L Todistus: (a) Pr IAi = lim Pr( Ai) i i= 1 Olkoo F joki perusjouko S osajoukoille määritelty σ algebra ja oletetaa, että ja A, A, A, K F A1 A2 A3 L Määritellää B B ja yleisesti = A = 0 0 = A 1 1 B = A \ A B = A \ A B = A \ A = A A, i= 1, 2,3, K c i i i 1 i i 1 TKK Ilkka Melli 87

88 6. Todeäköisyyde aksioomat Joukot B i, i = 0, 1, 2, 3, ovat pareittai toisesa poissulkevia, koska oletukse mukaa Oletuksesta seuraa, että A i 1 A i, i = 1, 2, 3,... A i 1 A i, i = 1, 2, 3,... Pr( B) = Pr( A \ A ) = Pr( A) Pr( A ) i i i 1 i i 1 i = 1, 2,3, K Lisäksi o selvää, että Site U Pr A = U i= 1 i i= 1 B ( U A 1 i) = Pr i ( B = Ui= 1 i) i Koska joukot B i, i = 0, 1, 2, 3, ovat pareittai toisesa poissulkevia, Kolmogorovi aksioomasta (iii) seuraa: ( U B ) ( ) ( ) i 1 i = Bi = Bi Pr Pr lim Pr Sijoitetaa tähä = + i= 1 i= 1 Pr( B) = Pr( A) Pr( A ), i = 1, 2,3, K Tällöi saadaa i i i 1 B i A i 1 A i (b) lim Pr( B) = lim{pr( B ) + Pr( B ) + Pr( B ) + + i= 1 i Pr( B ) + Pr( B )} 1 = lim {Pr( A) + [Pr( A ) Pr( A)] + [Pr( A ) Pr( A )] + + = lim Pr( A ) + L L [Pr( A ) Pr( A )] + [Pr( A ) Pr( A )]} Yhdistämällä edellä johdetut tulokset saadaa lopulta: ja ( U 1 ) ( U 1 ) Pr A = Pr B = lim Pr( A ) i= i i= i + Olkoo F joki perusjouko S osajoukoille määritelty σ algebra ja oletetaa, että A, A, A, K F TKK Ilkka Melli 88

89 6. Todeäköisyyde aksioomat A1 A2 A3 L Määritellää C C C C 0 ja yleisesti = S = A c 1 1 = A c 2 2 = A c 3 3 c C = A, i= 1, 2,3, K i i Oletuksesta A i 1 A i, i = 1, 2, 3, seuraa: c c Ci 1 = Ai 1 Ai = Ci, i= 1, 2,3, K Sovelletaa joukkoihi C i, i = 1, 2, 3, lausee (a) kohtaa: Koska ( U C i 1 i) Pr = lim Pr( C ) = + c C = A, i= 1, 2,3, K i i ii komplemettitapahtuma todeäköisyyde kaavasta seuraa, että Pr( C ) = Pr( A c ) = 1 Pr( A), i = 1,2,3, K i i i DeMorgai lai yleistykse mukaa c c ( ) ( ) c U U I C = A = A i= 1 i i= 1 i i= 1 i Komplemettitapahtuma todeäköisyyde kaava mukaa c ( U C i 1 i) ( C = = Ui= 1 i) Pr 1 Pr Yhdistämällä edellä johdetut tulokset saadaa lopulta: Pr c ( I A 1 i) = Pr ( C i= Ui= 1 i) = 1 Pr( U C i= 1 i) = 1 lim Pr( C ) + [ A ] = 1 lim 1 Pr( ) + + = lim Pr( A ) TKK Ilkka Melli 89

90 6. Todeäköisyyde aksioomat Lause 4. Olkoo ( S, F,Pr) todeäköisyyskettä ja olkoot Jos ii Todistus: A, A, A, K F A1 A2 A3 L limpr( A ) = 0 i i Olkoo F joki perusjouko S osajoukoille määritelty σ algebra ja oletetaa, että ja A, A, A, K F A1 A2 A3 L Koska A1 A2 A3 L, ii Site I A i= 1 i = ( I A ) ( ) i= 1 i Pr = Pr = 0 Lausee 3 kohda (b) mukaa ( I A i 1 i) Pr = lim Pr( A ) = + Yhdistämällä edellä johdetut tulokset saadaa lopulta: lim Pr( A ) = 0 + Voidaa osoittaa, että Kolmogorovi aksiooma (iii) K F ( Ui= 1 ) A, A, A, ja A A =, i j Pr A = Pr( A) i j i i= 1 i o yhtäpitävä aksioomie (iii) A B= Pr( A B) = Pr( A) + Pr( B) (iv) A1 A2 A3 L lim Pr( A ) = 0 kassa. + TKK Ilkka Melli 90

91 6. Todeäköisyyde aksioomat Aksiooma (iii) o tavaomaie yhteelaskusäätö kahdelle toisesa poissulkevalle tapahtumalle. Aksioomaa (iv) kutsutaa tavallisesti todeäköisyyde jatkuvuusaksioomaksi. TKK Ilkka Melli 91

92 7. Kokoaistodeäköisyyde ja Bayesí kaavat 7. Kokoaistodeäköisyyde ja Bayesi kaavat 7.1. Johdatteleva esimerkki 7.2. Ositukset 7.3. Kokoaistodeäköisyyde kaava 7.4. Bayesi kaava 7.5. Kokoaistodeäköisyyde kaava ja Bayesi kaava systeemiteoreettie tulkita Tarkastelemme tässä luvussa kahta hyödyllistä todeäköisyyslaskea kaavaa, joita kutsutaa kokoaistodeäköisyyde kaavaksi ja Bayesi kaavaksi. O syytä huomata, että kaavat liittyvät läheisesti toisiisa. Avaisaat: Bayesi kaava, Ehdollie todeäköisyys, Kokoaistodeäköisyyde kaava, Kääteistodeäköisyys, Ositus, Posteriori todeäköisyys, Priori todeäköisyys, Systeemiteoria, Verkkodiagrammi TKK Ilkka Melli 92

93 7. Kokoaistodeäköisyyde ja Bayesí kaavat 7.1. Johdatteleva esimerkki Ruuvitehtaalla o kaksi koetta A ja B, joilla tehdää samalaisia ruuveja. A ja B koee valmistamat ruuvit sekoitetaa keskeää ja pakataa laatikoihi. Koska A koe toimii hitaammi, laatikoihi tulee A ja B koeide valmistamia ruuveja suhteessa 3:5 Osa kummaki koee valmistamista ruuveista o viallisia: 5 % A koee valmistamista ruuveista o viallisia. 8 % B koee valmistamista ruuveista o viallisia. Valitaa satuaisesti laatikollie ruuveja tutkittavaksi ja poimitaa valitusta laatikosta satuaisesti 1 ruuvi tutkittavaksi. Kysymyksiä: (1) Mikä o todeäköisyys, että poimittu ruuvi o viallie? (2a) Mikä o todeäköisyys, että ruuvi o valmistaut A koe, jos ruuvi osoittautuu vialliseksi? (2b) Mikä o todeäköisyys, että ruuvi o valmistaut B koe, jos ruuvi osoittautuu vialliseksi? Merkitöjä: Otosavaruus S = Laatikollie ruuveja Tapahtuma A Tapahtuma B Tapahtuma V Seuraavat todeäköisyydet tuetaa: = Ruuvi o valmistaut A koe = Ruuvi o valmistaut B koe = Ruuvi o viallie Pr(A) = 3/8 Pr(V A) = 0.05 Pr(B) = 5/8 Pr(V B) = 0.08 Seuraavia todeäköisyyksiä kysytää: Pr(V), Pr(A V), Pr(B V) Tapahtumat A ja B muodostavat otosavaruude S ositukse. Tällä tarkoitetaa seuraavaa: (i) (ii) A ja B ovat epätyhjiä: A ja B A ja B ovat pistevieraita: A B = (iii) Joukkoje A ja B yhdisteeä saadaa perusjoukko S: S = A B Otosavaruude S ositus S = A B idusoi ositukse tapahtumaa V. Tällä tarkoitetaa seuraavaa: (i) Jos V o epätyhjä eli V, ii aiaki toie joukoista V A ja V B o epätyhjä: V A tai V B TKK Ilkka Melli 93

94 7. Kokoaistodeäköisyyde ja Bayesí kaavat (ii) V A ja V B ovat pistevieraita: koska A B = (V A) (V B) = (iii) Joukkoje V A ja V B yhdisteeä saadaa joukko V: V = (V A) (V B) Toisesa poissulkevie tapahtumie yhteelaskusääö mukaa: (1) Pr(V) = Pr(V A) + Pr(V B) Yleise tulosääö mukaa: (2) Pr(V A) = Pr(A)Pr(V A) (3) Pr(V B) = Pr(B)Pr(V B) Sijoittamalla lausekkeet (2) ja (3) kaavaa (1) saadaa todeäköisyydeksi, että satuaisesti poimittu ruuvi o viallie: Pr( V) = Pr( A) Pr( V A) + Pr( B) Pr( V B) 3 5 = = = 6.875% 8 8 Todeäköisyys Pr(V) o määrätty kokoaistodeäköisyyde kaavalla. Ehdollise todeäköisyyde määritelmä perusteella (4) (5) Yleise tulosääö mukaa Pr( V A) Pr( AV ) = Pr( V) Pr( V B) Pr( BV ) = Pr( V) (6) Pr(V A) = Pr(V A)Pr(A) (7) Pr(V B) = Pr(V B)Pr(B) Edellä o todettu, että (8) Pr(V) = Pr(A)Pr(V A) + Pr(B)Pr(V B) V A Sijoittamalla lausekkeet (6) ja (8) kaavaa (4) saadaa ehdolliseksi todeäköisyydeksi Pr(A V): Pr( V A) Pr( A) Pr( V A) Pr( AV ) = = Pr( V) Pr( A)Pr( V A) + Pr( B) Pr( V B) A V B B V S = = = Ehdollie todeäköisyys Pr(A V) o määrätty Bayesi kaavalla. TKK Ilkka Melli 94

95 7. Kokoaistodeäköisyyde ja Bayesí kaavat Sijoittamalla lausekkeet (7) ja (8) kaavaa (5) saadaa ehdolliseksi todeäköisyydeksi Pr(B V): Pr( V B) Pr( BV ) = Pr( V) Pr( B) Pr( V B) = Pr( A) Pr( V A) + Pr( B) Pr( V B) = = = Ehdollie todeäköisyys Pr(B V) o määrätty Bayesi kaavalla Ositukset Jouko S osajoukot B 1, B 2,, B muodostavat jouko S ositukse, jos seuraavat ehdot pätevät: (i) B, i= 1,2, K, i (ii) B B =, i j i j B 1 B 2 B 3 B 4 (iii) S = B1 B2 L B Otosavaruude S ositus B 1, B 2,, B muodostaa otosavaruude S alkioide jao toisesa poissulkevii luokkii B 1, B 2,, B, koska: (i) (ii) (iii) Joukot B 1, B 2,, B ovat epätyhjiä. Joukot B 1, B 2,, B ovat pareittai pistevieraita. S = B i Jos tapahtumat B 1, B 2,, B muodostavat otosavaruude S ositukse, täsmällee yksi tapahtumista B 1, B 2,, B sattuu aia, ku se satuaisilmiö, joka tulosvaihtoehtoja otosavaruus S kuvaa, esiityy Kokoaistodeäköisyyde kaava Olkoo A epätyhjä otosavaruude S osajoukko: Oletetaa, että joukot A S, A B 1, B 2,, B muodostavat otosavaruude S ositukse. Tällöi pätee kokoaistodeäköisyyde kaava Pr( A) = Pr( Bi) Pr( A Bi) i= 1 B 5 S TKK Ilkka Melli 95

96 7. Kokoaistodeäköisyyde ja Bayesí kaavat Perustelu: Oletetaa, että A S, A ja että joukot B 1, B 2,, B muodostavat otosavaruude S ositukse. Tällöi (i) B, i= 1,2, K, i (ii) B B =, i j i j B 1 B 2 A B 2 (iii) S = B1 B2 L B Otosavaruude S ositus B 1, B 2,, B idusoi ositukse joukkoo A: ja (A B i ) (A B j ) =, i j A = A S = A (B 1 B 2 B ) = (A B 1 ) (A B 2 ) (A B ) Toisesa poissulkevie tapahtumie yhteelaskusääö perusteella A B 3 A B 4 B 3 B 4 A S Pr( A) = Pr(( A B ) ( A B ) L ( A B )) = Pr( A B) 1 2 Koska yleise tulosääö perusteella saamme lopulta Pr( A B) = Pr( B)Pr( A B), i = 1,2, K, i i i Pr( A) = Pr( Bi) Pr( A Bi) i = 1 Kokoaistodeäköisyyde kaava ilmaisee otosavaruude S osajouko A todeäköisyyde Pr(A) otosavaruude S ositukse B 1, B 2,, B määräämie todeäköisyyksie Pr(B i ), i = 1, 2,, ja ehdolliste todeäköisyyksie Pr(A B i ), i = 1, 2,, avulla. Kokoaistodeäköisyyde kaava o käyttökelpoie sellaisissa tilateissa, joissa todeäköisyydet Pr(B i ) ja ehdolliset todeäköisyydet Pr(A B i ) ovat tuettuja. i= 1 i TKK Ilkka Melli 96

97 7. Kokoaistodeäköisyyde ja Bayesí kaavat 7.4. Bayesi kaava Olkoo A epätyhjä otosavaruude S osajoukko: A S, A Oletetaa, että joukot B 1, B 2,, B muodostavat otosavaruude S ositukse. Tällöi pätee Bayesi kaava Pr( Bi)Pr( A Bi) Pr( Bi A) =, i = 1,2, K, Pr( B)Pr( A B) i= 1 Perustelu: Oletetaa, että A S, A ja että joukot i i B 1, B 2,, B muodostavat otosavaruude S ositukse. Tällöi (i) B, i= 1,2, K, i (ii) B B =, i j i j B 1 B 2 A B 2 (iii) S = B1 B2 L B Otosavaruude S ositus B 1, B 2,, B idusoi ositukse joukkoo A: ja (A B i ) (A B j ) =, i j A = A S = A (B 1 B 2 B ) = (A B 1 ) (A B 2 ) (A B ) Ehdollise todeäköisyyde määritelmä perusteella Pr( A Bi) Pr( Bi A) = Pr( A) Jos sovellamme tämä kaava osoittajaa yleistä tulosäätöä Pr( A B) = Pr( B) Pr( A B) ja imittäjää kokoaistodeäköisyyde kaavaa i i A B 3 A B 4 B 3 B 4 A S TKK Ilkka Melli 97

98 7. Kokoaistodeäköisyyde ja Bayesí kaavat ii saamme lopulta Pr( A) = Pr( Bi) Pr( A Bi) i= 1 Pr( Bi)Pr( A Bi) Pr( Bi A) =, i = 1,2, K, Pr( B)Pr( A B) i= 1 Bayesi kaava todeäköisyyksiä Pr(B i ), i = 1, 2,, i o tapaa kutsua priori todeäköisyyksisi; prior (lat.), edeltävä, aikaisempi. i Nimitys priori todeäköisyys johtuu siitä, että todeäköisyyksille Pr(B i ) voidaa ataa seuraava tulkita: Todeäköisyydet Pr(B i ) kuvaavat eakkokäsityksiämme tapahtumie B i todeäköisyydestä ee kui käytettävissämme o tieto tapahtuma A sattumisesta. Bayesi kaava todeäköisyyksiä Pr(B i A), i = 1, 2,, o tapaa kutsua posteriori todeäköisyyksiksi; posterior (lat.), jälkee tuleva, myöhempi. Nimitys posteriori todeäköisyys johtuu siitä, että todeäköisyyksille Pr(B i A) voidaa ataa seuraava tulkita: Todeäköisyydet Pr(B i A) kuvaavat millaisiksi eakkokäsityksiämme tapahtumie B i todeäköisyyksistä kaattaa muuttaa se jälkee, ku o saamme tietää, että tapahtuma A o sattuut. Bayesi kaava kertoo siis mite eakkokäsityksiä tapahtumie B i todeäköisyyksistä o järkevää korjata, se jälkee ku tapahtuma A o havaittu tai mite tietoa tapahtuma A sattumisesta voidaa käyttää hyväksi tapahtumie B i todeäköisyyksie arvioiissa. Posteriori todeäköisyyksiä Pr(B i A) kutsutaa usei myös kääteistodeäköisyyksiksi, koska e ovat kääteisiä tuettuihi todeäköisyyksii Pr(A B i ) ähde. Bayesi kaava o käyttökelpoie sellaisissa tilateissa, joissa priori todeäköisyydet Pr(B i ) ja ehdolliset todeäköisyydet Pr(A B i ) ovat tuettuja Kokoaistodeäköisyyde kaava ja Bayesi kaava systeemiteoreettie tulkita Oletetaa, että systeemissä o alkutila L, välitilat B 1, B 2,, B ja yksi se lopputiloista o A. Oletetaa lisäksi, että alkutilasta L voidaa päästä lopputilaa A vai käymällä jossaki välitiloista B 1, B 2,, B. Olkoot Pr(B i ) = Pr(Käymme välitilassa B i ) Pr(A B i ) = Pr(Pääsemme välitilasta B i lopputilaa A) Pr(A) = Pr(Pääsemme lopputilaa A) TKK Ilkka Melli 98

99 7. Kokoaistodeäköisyyde ja Bayesí kaavat Pr(B i A) = Pr(Olemme tulleet lopputilaa A välitila B i kautta) TKK Ilkka Melli 99

100 7. Kokoaistodeäköisyyde ja Bayesí kaavat Systeemiä voidaa havaiollistaa seuraava verkkodiagrammi avulla: L Pr(B 1 ) Pr(B i ) B 1 M B i Pr(A B 1 ) Pr(A B i ) A Pr(B ) M Pr(A B ) B Kokoaistodeäköisyyde kaava mukaa Pr( A) = Pr( Bi) Pr( A Bi) i= 1 Voimme yt ataa kokoaistodeäköisyyde kaavalle seuraava systeemiteoreettise tulkia: Todeäköisyys Pr(A) o todeäköisyys, että pääsemme lopputilaa A, ku lopputilaa A ei voi päästä käymättä jossaki välitiloista B 1, B 2,, B. Huomaa, että lopputilaa A pääsemise todeäköisyys Pr(A) saadaa laskemalla yhtee alkutilasta L lopputilaa A välitiloje B 1, B 2,, B kautta kulkevie reittie todeäköisyydet Pr( A B) = Pr( B)Pr( A B), i = 1,2, K, i i i Tässä sovellettu säätö saa lisävalaistusta tutkittaessa s. puumaiste verkkoje soveltamista todeäköisyyslasketaa; lisätietoja: ks. lukua Verkot ja todeäköisyyslasketa ja liittee Todeäköisyyslasketa ja puumaiset verkot kappaletta Puut ja todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt. Bayesi kaava mukaa Pr( Bi)Pr( A Bi) Pr( Bi A) =, i = 1,2, K, Pr( B)Pr( A B) i= 1 i Voimme yt ataa Bayesi kaavalle seuraava systeemiteoreettise tulkia: Todeäköisyys Pr(B i A) o ehdollie todeäköisyys sille, että olemme käyeet välitilassa B i, ku ehtotapahtumaa o se, että olemme päässeet lopputilaa A. i TKK Ilkka Melli 100

101 Todeäköisyys ja se laskusääöt 8. Verkot ja todeäköisyyslasketa 8. Verkot ja todeäköisyyslasketa 8.1. Johdatteleva esimerkki 8.2. Puudiagrammit ja todeäköisyyslasketa 8.3. Toimitaverkot ja iide toimitatodeäköisyydet Tarkastelemme tässä luvussa todeäköisyyslaskea ogelmie esittämistä ja ratkaisemista puumaiste verkkoje avulla. Lisäksi tarkastelemme s. toimitaverkkoje toimitatodeäköisyyksie määräämistä. Lisätietoja verkkoteoria alkeista ja puumaisista verkoista eli puista sekä puumaiste verkkoje soveltamisesta todeäköisyyslasketaa: ks. liitettä Todeäköisyyslasketa ja puudiagrammit. Avaisaat: Isidessikuvaus, Piste, Puu, Puutodeäköisyys, Päätöspuut, Reitti, Ria kytketä, Sarjaa kytketä, Silmukka, Särmä, Toimitatodeäköisyys, Toimitaverkko, Tulosäätö, Verkko, Yhteelaskusäätö, Yhteäisyys TKK Ilkka Melli 101

102 Todeäköisyys ja se laskusääöt 8. Verkot ja todeäköisyyslasketa 8.1. Johdatteleva esimerkki Tehdää laste sytymisestä seuraavat (yksikertaistavat) oletukset: (i) (ii) Lapset sytyvät perheisii yksi kerrallaa. Sytyvä lapse sukupuoli ei riipu siitä, mitä sukupuolta ovat olleet aikaisemmi perheesee sytyeet lapset. (iii) Tytö todeäköisyys o sama kui poja todeäköisyys: Pr(Sytyy tyttö) = Pr(Sytyy poika) = 1/2 Eräs aviopari haluaa oletuste (i) (iii) pätiessä saada tytö, mutta ei halua hakkia eljää lasta eempää. Siksi pari päättää käyttää laste hakkimisessa seuraavaa strategiaa: Lapsia hakitaa kues saadaa tyttö, mutta lapsia ei kuitekaa hakita eljää eempää. Jos siis eljäski lapsi o poika, pari o epäoistuut strategiassaa. Mikä o todeäköisyys, että pari oistuu strategiassaa? Voimme raketaa paria kohtaavista tapahtumavaihtoehdoista alla oleva puudiagrammi. Puudiagrammissa: T = Tyttö P = Poika Puu vasemmapuoleiset särmät johtavat strategia oistumisee ja oikeapuoleiset särmät johtavat strategia epäoistumisee. Jokaise särmä todeäköisyys = 1/2. Olkoo A = Pari oistuu strategiassaa T i =i. lapsi o tyttö P i =i. lapsi o poika T P = Sytyy tyttö = Sytyy poika Tapahtumat T 1, T 2, T 3, T 4 muodostavat tapahtuma A ositukse: A = T 1 T 2 T 3 T 4, T i T j =, i j Tapahtumie T i ja P i todeäköisyydet voidaa määrätä rekursiivisesti. Pr(T i ), Pr(P i ), i = 1, 2, 3, 4 Riippumattomie tapahtumie tulosääö ojalla: 1 Pr( T1) = Pr( T) = = Pr( P1) 2 1/2 1/ Pr( T2) = Pr( T P1) = Pr( T) Pr( P1) = = = Pr( P2) T P 1. lapsi 1/2 1/2 T P 2. lapsi 1/2 1/2 3. lapsi T P 1/2 1/2 4. lapsi T P TKK Ilkka Melli 102

103 Todeäköisyys ja se laskusääöt 8. Verkot ja todeäköisyyslasketa Pr( T3) = Pr( T P2) = Pr( T)Pr( P2) = = = Pr( P3) Pr( T4) = Pr( T P3) = Pr( T)Pr( P3) = = = Pr( P4) Strategia oistumise todeäköisyydeksi saadaa toisesa poissulkevie tapahtumie yhteelaskusääö ojalla: Pr( A) = Pr( T T T T ) = Pr( T) + Pr( T ) + Pr( T ) + Pr( T ) = = Voimme ajatella, että yo. laskutoimitukset o tehty seuraavalla tavalla: (i) (ii) Todeäköisyydet Pr( T1) =, Pr( T2) =, Pr( T3) =, Pr( T4) = o saatu määräämällä puu loppupisteisii T vievie reittie todeäköisyydet ja reittie todeäköisyydet o saatu reiti muodostavie puu särmie todeäköisyyksie tuloa. Strategia oistumise todeäköisyys 15 Pr( A ) = 16 o saatu laskemalla loppupisteisii T vievie reittie todeäköisyydet yhtee. Johdattelevassa esimerkissä esitetty tekiikka voidaa yleistää ja sitä voidaa käyttää meestyksellisesti moie todeäköisyyslaskea laskutehtävie ratkaisemisee. Tämä perustuu siihe, että kaikkia äärelliste otosavaruuksie todeäköisyyksie laskusäätöjä voidaa havaiollistaa sopivasti kostruoituje puudiagrammie avulla; lisätietoja: ks. liitettä Todeäköisyyslasketa ja puudiagrammit Puudiagrammit ja todeäköisyyslasketa Periaatteessa jokaie alkeistodeäköisyyslaskea tehtävä voidaa ratkaista käyttämällä apua s. puudiagrammeja. Jos tehtävä satuaisilmiö o osattu kuvata puudiagrammilla, tehtävä ratkaisemisessa tarvittavat puutodeäköisyydet saadaa määrätyksi käyttämällä kahta yksikertaista laskusäätöä, tulosäätöä ja yhteelaskusäätöä. Verkot Verkko eli graafi koostuu pisteistä, särmistä ja isidessikuvauksesta, joka kertoo mitkä pisteet ovat särmie yhdistämiä. Koska ajattelemme, että jokaisella särmällä o alkupiste ja loppupiste, tässä tarkasteltavat verkot ovat suuattuja verkkoja. Tämä merkitsee sitä, että jokaisella särmällä o suuta, joka osoittaa särmä alkupisteestä särmä loppupisteesee. Pisteestä v o reitti pisteesee w, jos o olemassa (suuattuje) särmie joo, joka vie pisteestä v pisteesee w ii, että jokaise särmä alkupiste (pistettä v lukuu ottamatta) o edellise särmä loppupiste. Reitti muodostaa silmuka, jos v = w. TKK Ilkka Melli 103

104 Todeäköisyys ja se laskusääöt 8. Verkot ja todeäköisyyslasketa Verkko o yhteäie, jos se pisteide joukkoa V ei voida osittaa kahdeksi epätyhjäksi osajoukoksi site, että verko jokaise särmä alkupiste ja loppupiste kuuluvat samaa osajoukkoo. Lisätietoja verkoista: ks. liittee Todeäköisyyslasketa ja puudiagrammit kappaletta Verkot. Puut Saomme, että verkko o puu, joka juurea o piste v 1, jos seuraavat ehdot pätevät: (i) (ii) Verkko o yhteäie. Verkossa ei ole silmukoita. (iii) Jos w v 1 o mielivaltaie verko piste, pisteestä v 1 pisteesee w pääsee täsmällee yhtä reittiä pitki. Lisätietoja puista: ks. liittee Todeäköisyyslasketa ja puudiagrammit kappaletta Puut. Puide kostruoiti Satuaisilmiötä voidaa kuvata puudiagrammilla, jos ilmiö voidaa esittää seuraavassa muodossa: (i) (ii) Ilmiöllä o alkutila ja useita vaihtoehtoisia lopputiloja. Ilmiö koostuu tapahtumajooista, joissa alkutilasta siirrytää vaiheittai johoki ilmiö vaihtoehtoisista lopputiloista. (iii) Jokaisessa ilmiö vaiheessa kohdataa yksi tai useampia tapahtumavaihtoehtoja, joista yksi realisoituu ja johtaa uusi tapahtumavaihtoehtoihi. Satuaisilmiötä vastaava puudiagrammi kostruoiti: 1. Asetetaa puu juuri vastaamaa ilmiö alkutilaa. 2. Asetetaa puu loppupisteet ( oksie kärjet ) vastaamaa ilmiö lopputiloja. 3. Asetetaa puu pisteet ( oksie haarautumiskohdat ) vastaamaa ilmiö tapahtumia. 4. Viedää puu jokaisesta pisteestä särmä ( oksa ) kaikkii sellaisii pisteisii, joita vastaavat tapahtumavaihtoehdot ovat ilmiö siiä vaiheessa mahdollisia. 5. Liitetää jokaisee pisteestä lähtevää särmää siiä vaiheessa mahdolliste tapahtumavaihtoehtoje todeäköisyydet. Havaiollistus: Puudiagrammi kostruoitia voidaa havaiollistaa viereisellä kuviolla. Siiä tarkastellaa jotaki satuaisilmiötä sellaisessa vaiheessa, jossa tapahtuma A o sattuut. Olkoot tapahtuma A sattumise jälkee mahdolliset tapahtumavaihtoehdot B i, i = 1, 2,, m Viedää pisteestä A särmä jokaisee pisteistä B i, i = 1, 2,, m p 1 A p k p m B 1 B k B m TKK Ilkka Melli 104

105 Todeäköisyys ja se laskusääöt 8. Verkot ja todeäköisyyslasketa Liitetää jokaisee särmää (A, B i ), i = 1, 2,, m ehdollie todeäköisyys r p = Pr( B A) i i jossa A r o tapahtumajoo, joka o tuout pisteesee A. Koska A: sattumise jälkee ei ole muita mahdollisia tapahtumavaihtoehtoja kui B i, i = 1, 2,, m ii todeäköisyyksie o toteutettava ehto Huomautuksia: p i, i = 1, 2,, m m m r p = Pr( B A) = 1 i i= 1 i= 1 i Puudiagrammi piirretää tavallisesti joko ii, että se alkupiste o ylhäällä ja loppupisteet ovat alhaalla tai ii, että se alkupiste o vasemmalla ja loppupisteet ovat oikealla. Useat puu pisteet saattavat vastata samaa tapahtumaa. Mistä tahasa puu pisteestä lähtevie särmie todeäköisyyksie summa o 1. Puutodeäköisyydet Puutodeäköisyydellä tarkoitetaa todeäköisyyttä päästä puu alkupisteestä yhde tai useamma muu puu pistee määräämää yhdistettyy tapahtumaa. Mielivaltaise puu pistee todeäköisyys saadaa määräämällä alkupisteestä ko. pisteesee vievä reiti todeäköisyys. Reiti todeäköisyys saadaa soveltamalla reittii kuuluvie särmie todeäköisyyksii tulosäätöä. Usea pistee määräämä yhdistety tapahtuma todeäköisyys saadaa soveltamalla ko. pisteisii vievie reittie todeäköisyyksii yhteelaskusäätöä. Tulosäätö puutodeäköisyyksille Reiti todeäköisyys saadaa määräämällä reittii kuuluvie särmie todeäköisyyksie tulo. Säätöä kutsutaa puutodeäköisyyksie tulosääöksi. Perustelu: (1) Reitti o tapahtumajoo, joka muodostavat reiti pisteet. (2) Reiti muodostava tapahtumajoo sattuu, jos jokaie joo tapahtumista sattuu. (3) Todeäköisyyslaskea yleise tulosääö mukaa reiti todeäköisyys saadaa määräämällä reittii kuuluvie särmie todeäköisyyksie tulo. Olkoo siis L, A 1, A 2,, A k TKK Ilkka Melli 105

106 = p 1 p 2 p 3 p k Todeäköisyys ja se laskusääöt 8. Verkot ja todeäköisyyslasketa joki iistä vaihtoehtoisista tapahtumajooista, joista satuaisilmiö muodostuu. Tällöi parit (L, A 1 ), (A 1, A 2 ), (A 2, A 3 ),, (A k 1, A k ) muodostavat satuaisilmiö alkutilasta L satuaisilmiö (loppu ) tilaa A k vievä reiti särmät. Liitetää reiti (L, A 1 ), (A 1, A 2 ), (A 2, A 3 ),, (A k 1, A k ) särmii todeäköisyydet seuraavalla tavalla: (L, A 1 ) Pr(A 1 ) = p 1 (A 1, A 2 ) Pr(A 2 A 1 ) = p 2 L p 2 p 1 A 1 (A 2, A 3 ) Pr(A 3 A 1 A 2 ) = p 3 A 2 p 3 A 3 Reiti (A k 1, A k ) Pr(A k A 1 A 2 A 3 A k 1 ) = p k (L, A 1 ), (A 1, A 2 ), (A 2, A 3 ),, (A k 1, A k ) todeäköisyys o yleise tulosääö ojalla: Pr(A 1 A 2 A 3 A k ) = Pr(A 1 ) Pr(A 2 A 1 ) Pr(A 3 A 1 A 2 ) Pr(A k A 1 A 2 A 3 A k 1 ) p k A k Reitti k A k 1 Puutodeäköisyyksie tulosäätöä voidaa havaiollistaa yllä olevalla puudiagrammilla. Reiti k todeäköisyys o puutodeäköisyyksie tulosääö mukaa Pr(Reitti k) = p 1 p 2 p 3 p k Yhteelaskusäätö puutodeäköisyyksille Jos useita (loppu ) tiloja yhdistetää yhdeksi tapahtumaksi, äi saadu yhdistety tapahtuma todeäköisyys saadaa määräämällä ko. tiloihi vievie reittie todeäköisyyksie summa. Säätöä kutsutaa puutodeäköisyyksie yhteelaskusääöksi. Perustelu: ko. (1) Puu eri pisteisii vievät reitit ovat toisesa poissulkevia. (2) Toisesa poissulkevie tapahtumie yhteelaskusääö mukaa useista (loppu ) pisteistä yhdistämällä saatava tapahtuma todeäköisyys saadaa määräämällä pisteisii vievie reittie todeäköisyyksie summa. Yhdistetää satuaisilmiö (loppu ) tilat B 1, B 2,, B k yhdeksi tapahtumaksi C = B 1 B 1 B k Olkoot tiloja B 1, B 2,, B k vastaavat reitit TKK Ilkka Melli 106

107 Todeäköisyys ja se laskusääöt 8. Verkot ja todeäköisyyslasketa Reitti 1, Reitti 2,, Reitti k Koska puu eri pisteisii vievät reitit ovat toisesa poissulkevia, tapahtuma C todeäköisyys o toisesa poissulkevie tapahtumie yhteelaskusääö ojalla: Pr(C) = Pr(Reitti 1 tai Reitti 2 tai tai Reitti k) = Pr(Reitti 1) + Pr(Reitti 2) + + Pr(Reitti k) Puutodeäköisyyksie yhteelaskusäätöä voidaa havaiollistaa viereisellä puudiagrammilla: Päätöspuut: Esimerkki Pr(C) = Pr(Reitti 1) + Pr(Reitti 2) + Pr(Reitti k) Tarkastellaa seuraavaa päätöstilaetta: Muuaistaudissa potilaa muuaiset lopettavat vähitelle toimitasa, mikä johtaa potilaa kuolemaa. Oletetaa, että potilas voisi vapaasti valita hoidoksi joko dialyysi (muuaiskoee) tai muuaisesiirro. Oletetaa edellee, että hoitotuloksista o käytettävissä seuraavat tiedot: Dialyysipotilaat: 68 % elää 5: vuode kuluttua 32 % o kuollut 5: vuode kuluttua Muuaisesiirtopotilaat: 48 %:lla siirretty muuaie toimii ormaalisti ja potilas elää 5: vuode kuluttua 43 %:lla siirretty muuaie ei toimi kuolla ja he joutuvat dialyysii 42 % äistä potilaista elää 5: vuode kuluttua 58 % äistä potilaista o kuollut 5: vuode kuluttua 9 % kuolee siirro aiheuttamii komplikaatioihi Kumpi hoidoista potilaa kaattaa valita, jos hä haluaa maksimoida todeäköisyyde olla elossa viide vuode kuluttua? Merkitää: D = Potilasta hoidetaa dialyysilla S = Potilaalle tehdää muuaisesiirto SD = Siirtopotilas joutuu dialyysii E = Potilas elää 5 vuode kuluttua Reitti: B 1 B 2 B k 1 2 k C TKK Ilkka Melli 107

108 Todeäköisyys ja se laskusääöt 8. Verkot ja todeäköisyyslasketa K = Potilas o kuollut 5 vuode kuluttua Hoitotulokset voidaa esittää seuraavia ehdollisia todeäköisyyksiä: Pr(E D) = 0.68 Pr(K D) = 0.32 Pr(E S) = 0.48 Pr(SD S) = 0.43 Pr(K S) = 0.09 Pr(E SD) = 0.42 Pr(K SD) = 0.58 Voimme kostruoida potilaa edessä olevista vaihtoehtoisista tulevaisuuksista alla oleva puudiagrammi. D Jos potilas haluaa maksimoida todeäköisyyde olla elossa 5: vuode kuluttua, häe o verrattava reiti 1 määräämä tapahtuma todeäköisyyttä reittie 3 ja 4 määräämä yhdistety tapahtuma todeäköisyytee Reiti 1 määräämä tapahtuma todeäköisyys: Pr(Reitti 1) = 0.68 Reiti 3 määräämä tapahtuma todeäköisyys: Pr(Reitti 3) = 0.48 Reiti 4 määräämä tapahtuma todeäköisyys o puutodeäköisyyksie tulosääö mukaa: Pr(Reitti 4) = = Reittie 3 ja 4 määräämä yhdistety tapahtuma todeäköisyys o puutodeäköisyyksie yhteelaskusääö mukaa: Koska Pr(Reitti 3 tai Reitti 4) = = Pr(Reitti 3 tai Reitti 4) = < Pr(Reitti 1) = 0.68 potilaa kaattaa valita dialyysi, jos hä haluaa maksimoida todeäköisyyde olla elossa viide vuode kuluttua. E K Reitti 1 Reitti 2 S E Reitti 3 E SD K K Reitti 4 Reitti 5 Reitti 6 TKK Ilkka Melli 108

109 Todeäköisyys ja se laskusääöt 8. Verkot ja todeäköisyyslasketa 8.3. Toimitaverkot ja iide toimitatodeäköisyydet Toimitaverkot Toimitaverkko o systeemi, joka koostuu kompoeteista, jotka o kytketty joko sarjaa tai ria. Alla olevat kytketäkaaviot kuvaavat kahde kompoeti K 1 ja K 2 muodostamia sarjaa ja riakytketöjä. Tarkastellaa sarjaa kytkeä ja riakytkeä toimitaehtoja. Merkitää T = Kompoetti toimii F = Kompoetti ei toimi Kompoettie K 1 ja K 2 muodostama sarjaa kytketä toimii, jos kompoetti K 1 toimii ja kompoetti K 2 toimii. Kompoettie K 1 ja K 2 sarjaa kytkeä toimitaehdot voidaa esittää seuraavaa taulukkoa: K 1 K 2 K 1 ja K 2 T T T T F F F T F F F F Kompoettie K 1 ja K 2 muodostama riakytketä toimii, jos kompoetti K 1 toimii tai kompoetti K 2 toimii tai molemmat toimivat. Kompoettie K 1 ja K 2 riakytkeä toimitaehdot voidaa esittää seuraavaa taulukkoa: K 1 K 2 K 1 tai K 2 T T T T F T F T T F F F TKK Ilkka Melli 109