χ 2 -yhteensopivuustesti
|
|
- Niina Haavisto
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio Avaisaat: Havaittu frekvessi, Heterogeeisuus, Hylkäysalue, Hyväksymisalue, Homogeeisuus, Jakaumaoletus, Keskihajota, -jakauma, -homogeeisuustesti, -riippumattomuustesti, -yhteesopivuustesti, Kaksi-ulotteie ormaalijakauma, Korrelaatio, Korreloimattomuus, Kovariassi, Kriittie arvo, Merkitsevyystaso, Momettimeetelmä, Nollahypoteesi, Normaalijakauma, Odotettu frekvessi, Otos, Parametri, p-arvo, Riippumattomuus, Riippuvuus, Sovite, Suurimma uskottavuude meetelmä, Testi, Vaihtoehtoie hypoteesi, Vapausasteet, Yhteesopivuus, z-muuos Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie -yhteesopivuustesti Testausasetelma -yhteesopivuustestissä Tarkastellaa tutkimusasetelmaa, jossa perusjouko S alkioita kuvataa faktorilla eli tekijällä A, joka saa olla laatuero-, järjestys-, välimatka- tai suhdeasteikollie muuttuja. Oletetaa, että perusjoukosta S o poimittu yksikertaie satuaisotos. Haluamme testata jakaumaoletusta, joka mukaa tekijä A oudattaa perusjoukossa S jotaki määrättyä todeäköisyysjakaumaa. Testattava oletus voidaa muotoilla seuraavilla tavoilla: (i) Voidaako havaitoje jakaumaa kuvata oletukse määrittelemällä todeäköisyysjakaumalla? (ii) Voiko otos olla oletukse määrittelemä todeäköisyysjakauma geeroima eli tuottama? Yhteesopivuustestissä tutkitaa ovatko otos ja tehty jakaumaoletus yhteesopivia. -yhteesopivuustestissä havaitoje ja havaitoje jakaumasta tehdy oletukse yhteesopivuutta mitataa seuraavalla tavalla: () Valitaa havaioille sopiva luokitus. () Määrätää havaitoje luokkafrekvessit. (3) Määrätää tehdy jakaumaoletukse mukaiset odotetut luokkafrekvessit. (4) Verrataa havaittuja ja odotettuja luokkafrekvessejä toisiisa -testisuureella. Ilkka Melli (006) /
2 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Hypoteesit -yhteesopivuustestissä Yleie hypoteesi H : Havaiot X, X,, X o saatu poimimalla yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S. Nollahypoteesi H 0 : Havaiot X, X,, X oudattavat todeäköisyysjakaumaa f(x;θ), joka parametrit eivät välttämättä ole tuettuja. Vaihtoehtoie hypoteesi H : Havaiot X, X,, X eivät oudata ollahypoteesi H 0 määrittelemää todeäköisyysjakaumaa. Havaitut luokkafrekvessit Luokitellaa havaiot X, X,, X toisesa poissulkevii luokkii, joide lukumäärä olkoo m. Olkoo O k, k =,,, m iide havaitoje frekvessi eli lukumäärä jotka kuuluvat luokkaa k. Frekvessi O k o luokkaa k kuuluvie havaitoje havaittu frekvessi. Oletetaa, että havaiot X, X,, X ovat diskreeti satuaismuuttuja X havaittuja arvoja ja, että satuaismuuttuja X mahdolliset arvot ovat y, y,, y m Luokitellaa havaito X i luokkaa k, jos X i = y k, i =,,,, k =,,, m Luokkaa k kuuluvie havaitoje X i havaittu frekvessi O k o iide havaitoje lukumäärä, jotka saavat arvo y k. Oletetaa, että havaiot X, X,, X ovat jatkuva satuaismuuttuja X havaittuja arvoja ja, että X (a,b) Jaetaa väli (a,b) pisteillä pistevieraisii osaväleihi a = a < a < a < < a < a = b 0 m (a k,a k ], k =,,, m Luokitellaa havaito X i luokkaa k, jos X i (a k,a k ], i =,,,, k =,,, m Luokkaa k kuuluvie havaitoje X i havaittu frekvessi O k o iide havaitoje lukumäärä, jotka kuuluvat välii k. m Ilkka Melli (006) /
3 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Havaitut luokkafrekvessit O k voidaa esittää frekvessitaulukkoa seuraavassa muodossa: Luokka m Summa Havaittu frekvessi O O O m Frekvessiä O k kutsutaa havaituksi solufrekvessiksi frekvessitauluko solussa k. Havaitut solufrekvessit O k toteuttavat yhtälö m k = O k = Odotetut luokkafrekvessit Oletetaa, että havaiot X, X,, X ovat satuaismuuttuja X havaittuja arvoja ja, että havaiot o luokiteltu toisesa poissulkevii luokkii, joide lukumäärä o m. Oletetaa, että ollahypoteesi H 0 täysi määrää satuaismuuttuja X jakauma. Olkoo P k todeäköisyys sille, että satuaismuuttuja X saa arvo luokasta k, ku ollahypoteesi H 0 pätee. Tällöi luokkaa k kuuluvie havaitoje odotettu frekvessi E k o E = P, k =,,, m k k Oletetaa, että ollahypoteesi H 0 määrää satuaismuuttuja X jakauma tyypi, mutta jakauma parametrit ovat tutemattomia. Jos jakauma parametreja ei tueta, jakaumasta ei voida määrätä todeäköisyyksiä, ellei jakauma parametreja esi estimoida havaioista. Olkoo P k tällöi estimoitu todeäköisyys sille, että satuaismuuttuja X saa arvo luokasta k, ku ollahypoteesi H 0 pätee. Tällöi luokkaa k kuuluvie havaitoje odotettu frekvessi E k o E = P, k =,,, m k k Oletetaa, että X o diskreetti satuaismuuttuja, joka mahdolliset arvot ovat Tällöi y, y,, y m P k = Pr(X = y k ), k =,,, m jossa todeäköisyys Pr(X = y k ) määrätää olettae, että ollahypoteesi H 0 pätee. Todeäköisyydet Pr(X = y k ) voidaa määrätä satuaismuuttuja X kertymäfuktio tai pistetodeäköisyysfuktio avulla. Ilkka Melli (006) 3/3
4 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Oletetaa, että X o jatkuva satuaismuuttuja, joka saa arvoja väliltä (a,b) ja, että väli (a,b) o jaettu pisteillä pistevieraisii osaväleihi Tällöi a = a < a < a < < a < a = b 0 m (a k,a k ], k =,,, m P = Pr( a < X a ), k =,,, m k k k jossa todeäköisyys Pr( a < k X ak) määrätää olettae, että ollahypoteesi H 0 pätee. Todeäköisyydet Pr( ak < X ak) voidaa määrätä satuaismuuttuja X kertymäfuktio tai tiheysfuktio avulla. Odotetut frekvessit E k voidaa esittää frekvessitaulukkoa seuraavassa muodossa: m Luokka m Summa Odotettu frekvessi E E E m Frekvessiä E k kutsutaa odotetuksi solufrekvessiksi frekvessitauluko solussa k. Odotetut solufrekvessit E k toteuttavat yhtälö m k = E k = Testisuure -yhteesopivuustestissä Testi ollahypoteesille H 0 perustuu havaittuje frekvessie O k ja odotettuje frekvessie E k vertaamisee. Jos havaittuje frekvessie O k ja odotettuje frekvessie E k jakaumat muistuttavat toisiaa, havaiot ovat sopusoiussa ollahypoteesi H 0 kassa. Määritellää -testisuure jossa m ( Ok Ek) = E k = k O k = havaittu frekvessi luokassa k E k = odotettu frekvessi luokassa k m = luokkie lukumäärä Testisuure mittaa havaittuje ja odotettuje frekvessie jakaumie yhteesopivuutta tai etäisyyttä ja siksi sitä kutsutaa usei -etäisyydeksi. Ilkka Melli (006) 4/4
5 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset -testisuure voidaa kirjoittaa myös muotoo jossa m (ˆ pk Pk) = P k = k p ˆk = O k / = havaittu suhteellie frekvessi luokassa k P k = todeäköisyys, että havaito kuuluu luokkaa k, ku ollahypoteesi H 0 pätee m = luokkie lukumäärä Jos ollahypoteesi H 0 pätee, testisuure oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti - jakaumaa vapausastei f = (m p): jossa ( f ) a f = m p m = luokkie lukumäärä p = odotettuje frekvessie E k määräämiseksi estimoituje parametrie lukumäärä Approksimaatio o tavallisesti riittävä hyvä, jos odotetut frekvessit E k toteuttavat ehdot E > 5, k =,,, m k Ehdot saadaa toteutumaa valitsemalla havaioille sopiva luokitus. Testisuuree ormaaliarvo eli odotusarvo ollahypoteesi H 0 pätiessä o jossa E( ) = f f = m p Normaaliarvoaa merkitsevästi suuremmat -testisuuree arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H 0 ei päde. Normaaliarvoaa merkitsevästi pieemmät -testisuuree arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H 0 pätee liia hyvi: Havaiot saattavat olla vääreettyjä. Ilkka Melli (006) 5/5
6 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Homogeeisuude testaamie Testausasetelma -homogeeisuustestissä Tarkastellaa tutkimusasetelmaa, jossa perusjouko S alkioita kuvataa yhdellä faktorilla eli tekijällä A, joka saa olla laatuero-, järjestys-, välimatka- tai suhdeasteikollie muuttuja. Jaetaa perusjoukko S jakaa kahtee tai useampaa ryhmää, poimitaa ryhmistä toisistaa riippumattomat yksikertaiset satuaisotokset ja tarkastellaa tekijä A vaihtelua otoksissa. Tehdää oletus, että tekijä A oudattaa kaikissa ryhmissä samaa, tarkemmi määrittelemätötä todeäköisyysjakaumaa. Haluamme testata tehtyä jakaumaoletusta: (i) Voidaako eri otoksista (ryhmistä) saatuja havaitoarvoje jakaumia kuvata samalla todeäköisyysjakaumalla? (ii) Voivatko otokset olla sama todeäköisyysjakauma geeroimia eli tuottamia? Jos tehty jakaumaoletus pätee ja tekijä A oudattaa siis kaikissa ryhmissä samaa jakaumaa, perusjoukko o homogeeie ja perusjoukkoa ei tarvitse jakaa tekijää A koskevissa tarkasteluissa erillisiksi ryhmiksi. Jos tehty jakaumaoletus ei päde ja tekijä A oudattaa siis eri ryhmissä eri jakaumia, perusjoukko o heterogeeie ja ryhmiä o syytä tarkastella tekijää A koskevissa tarkasteluissa erillisiä. Tällaiste jakaumaoletukse testaamisee tarkoitettuja testejä kutsutaa homogeeisuustesteiksi. -homogeeisuustesti suorittamie -homogeeisuustestissä havaitoje ja iide jakaumasta eri ryhmissä tehdy homogeeisuusoletukse yhteesopivuutta mitataa seuraavalla tavalla: () Valitaa havaioille yhteie luokitus. () Määrätää havaitoje luokkafrekvessit jokaisesta otoksesta. (3) Määrätää tehdy homogeeisuusoletukse mukaiset odotetut luokkafrekvessit. (4) Verrataa havaittuja ja odotettuja luokkafrekvessejä toisiisa -testisuureella. Hypoteesit -homogeeisuustestissä Yleie hypoteesi H : Perusjoukosta voidaa jakaa r ryhmää, joista o poimittu (toisistaa riippumattomat) yksikertaiset satuaisotokset. Nollahypoteesi H 0 : Otokset i =,,, r o poimittu samasta todeäköisyysjakaumasta. Vaihtoehtoie hypoteesi H : Otokset i =,,, r o poimittu eri todeäköisyysjakaumista. Ilkka Melli (006) 6/6
7 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Havaitut frekvessit Oletetaa, että tutkimukse kohteea oleva perusjoukko S o jaettu r ryhmää. Poimitaa ryhmistä toisistaa riippumattomat yksikertaiset satuaisotokset, joide koot ovat i, i =,,, r. Luokitellaa havaiot jokaisessa otoksessa samaa luokitusta käyttäe toisesa poissulkevii luokkii, joide lukumäärä olkoo c ja määrätää ryhmä i luokkaa j kuuluvie havaitoje havaittu frekvessi eli lukumäärä O ij, i =,,, r, j =,,, c. Muodostetaa havaituista frekvesseistä O ij (r c)-frekvessitaulukko [O ij ] : Luokat c Summa Ryhmät O O O c O O O c r O r O r O rc r Summa C C C c Taulukossa: r = ryhmie lukumäärä c = luokkie lukumäärä O ij = havaittu frekvessi ryhmä i luokassa j, i =,,, r, j =,,, c i = otoskoko ryhmässä i C j = havaittu frekvessi yhdistety havaitoaieisto luokassa j = havaitoje kokoaislukumäärä Frekvessiä O ij kutsutaa tavallisesti havaituksi solufrekvessiksi frekvessitaulu solussa (i, j). Havaittuje frekvessie O ij frekvessitaulukossa pätee: (i) Rivisummat yhtyvät ryhmäkohtaisii otoskokoihi: (ii) c Oij = i, i =,,, r j= Sarakesummat yhtyvät yhdistety havaitoaieisto luokkafrekvesseihi: r Oij = Cj, j =,,, c i= Ilkka Melli (006) 7/7
8 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset (iii) Havaitoje kokoaislukumäärä: r c r c O = = C = ij i j i= j= i= j= Nollahypoteesi tulkita -homogeeisuustestissä Jos ollahypoteesi H 0 pätee, havaitoje pitää jakautua (satuaisvaihtelua lukuu ottamatta) jokaisessa ryhmässä i =,,, r samalla tavalla luokkii j =,,, c. Jos ollahypoteesi H 0 pätee, havaitoje jakautumie luokkii j =,,, c ei saa riippua siitä, mihi ryhmää i =,,, r e kuuluvat. Jos ollahypoteesi H 0 pätee, todeäköisyys, että havaito kuuluu luokkaa j =,,, c ei saa riippua siitä, mihi ryhmää i =,,, r se kuuluu. Odotettuje frekvessie määräämie Olkoo x o tarkastelu kohteea oleva perusjouko S alkio. Määritellää seuraavat todeäköisyydet: pij = Pr( x kuuluu ryhmää i ja luokkaa j) p ji = Pr( x kuuluu luokkaa j x kuuluu ryhmää i) pic = Pr( x kuuluu ryhmää i) pc j = Pr( x kuuluu luokkaa j) i =,,, r, j =,,, c Todeäköisyyslaskea yleise tulosääö mukaa pij = pj i pic, i =,,, r, j =,,, c Jos ollahypoteesi H 0 pätee, todeäköisyys, että perusjouko S alkio x kuuluu luokkaa j ei saa riippua siitä, mihi ryhmää i alkio x kuuluu. Site ollahypoteesi H 0 perusjouko homogeeisuudesta voidaa ilmaista muodossa H 0 : p ji = pc j, i =,,, r, j =,,, c tai muodossa H 0 : pij = picpc j, i =,,, r, j =,,, c Todeäköisyydet pij, pic, pc j voidaa estimoida havaituista frekvesseistä O ij kaavoilla Oij C i j pˆ ˆ ˆ ij = pic = pc j = Jos ollahypoteesi H 0 pätee, solutodeäköisyydet p ij voidaa estimoida kaavoilla C i j P = ˆ ˆ ij pi p j = C C Ilkka Melli (006) 8/8
9 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Määrätää ollahypoteesi H 0 pätiessä odotetut solufrekvessit E ij yhtälöillä Cj C i j Eij = Pij = i =, i =,,, r, j =,,, c Muodostetaa odotetuista frekvesseistä E ij (r c)-frekvessitaulukko [E ij ] : Luokat c Summa Ryhmät E E E c E E E c r E r E r E rc r Summa C C C c Taulukossa r = ryhmie lukumäärä c = luokkie lukumäärä E ij = odotettu frekvessi ryhmä i luokassa j, i =,,, r, j =,,, c i = otoskoko ryhmässä i C j = havaittu frekvessi yhdistety havaitoaieisto luokassa j = havaitoje kokoaislukumäärä Frekvessiä E ij kutsutaa tavallisesti odotetuksi solufrekvessiksi frekvessitaulu solussa (i, j). Odotettuje frekvessie E ij frekvessitaulukossa pätee: (i) Rivisummat yhtyvät ryhmäkohtaisii otoskokoihi: (ii) c Eij = i, i =,,, r j= Sarakesummat yhtyvät yhdistety havaitoaieisto luokkafrekvesseihi: r Eij = Cj, j =,,, c i= (iii) Havaitoje kokoaislukumäärä: r c r c E = = C = ij i j i= j= i= j= Ilkka Melli (006) 9/9
10 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Testisuure -homogeeisuustestissä Määritellää -testisuure r c ( O ) ij Eij = E jossa i= j= ij O ij = havaittu frekvessi solussa (i, j) E ij = odotettu frekvessi solussa (i, j) r c = ryhmie lukumäärä = lukkie lukumäärä Testisuure mittaa havaittuje ja odotettuje frekvessie jakaumie yhteesopivuutta tai etäisyyttä ja siksi sitä kutsutaa usei -etäisyydeksi. Homogeeisuustesti -testisuure voidaa kirjoittaa myös muotoo r c (ˆ p ) ij Pij = P i= j= ij jossa Oij pˆ ij = Eij C i j P = = = pˆ ˆ CpC i pˆ ic = C j pˆ C j = i =,,, r, j =,,, c ij i j Jos ollahypoteesi H 0 pätee, testisuure oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti -jakaumaa vapausastei f = (r )(c ): jossa ( f ) a r = ryhmie lukumäärä c = luokkie lukumäärä Approksimaatio o tavallisesti riittävä hyvä, jos odotetut frekvessit E ij ja keskimääräiset odotetut frekvessit C j /r toteuttavat ehdot Eij >, i =,,, r, j =,,, c C / r > 5, j =,,, c j Ilkka Melli (006) 0/0
11 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Ehdot saadaa toteutumaa valitsemalla havaioille sopiva luokitus. Testisuuree ormaaliarvo eli odotusarvo ollahypoteesi H 0 pätiessä o jossa E( ) = f f = (r )(c ) Normaaliarvoaa merkitsevästi suuremmat -testisuuree arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H 0 ei päde. Ilkka Melli (006) /
12 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Riippumattomuude testaamie Testausasetelma -riippumattomuustestissä Tarkastellaa tutkimusasetelmaa, jossa perusjouko S alkioita kuvataa kahdella faktorilla eli tekijällä A ja B, jotka saavat olla laatuero-, järjestys-, välimatka- tai suhdeasteikollisia muuttujia. Poimitaa perusjoukosta S yksikertaie satuaisotos ja tarkastellaa tekijöide A ja B vaihtelua otoksessa. Tehdää oletus, että tekijät A ja B ovat riippumattomia. Haluamme testata tehtyä riippumattomuusoletusta: Ovatko havaiot sopusoiussa tehdy riippumattomuusoletukse kassa? Jos tehty oletus pätee ja tekijät A ja B ovat siis riippumattomia, tekijöitä A ja B voidaa tarkastella erillisiä. Jos tehty oletus ei päde ja tekijät A ja B eivät siis ole riippumattomia, tekijät A ja B ovat assosioitueita. Riippumattomuusoletukse testaamisee tarkoitettuja testejä kutsutaa riippumattomuustesteiksi. -riippumattomuustesti suorittamie -riippumattomuustestissä havaitoje ja tehdy riippumattomuusoletukse yhteesopivuutta mitataa seuraavalla tavalla: () Valitaa havaioille sopivat luokitukset tekijöide A ja B suhtee. () Luokitellaa havaiot tekijöide A ja B suhtee ristii ja määrätää havaitut luokkafrekvessit. (3) Määrätää tehdy riippumattomuusoletukse mukaiset odotetut luokkafrekvessit. (4) Verrataa havaittuja ja odotettuja luokkafrekvessejä toisiisa -testisuureella. Hypoteesit -riippumattomuustestissä Yleie hypoteesi H : Perusjoukosta o poimittu yksikertaie satuaisotos ja havaitoyksiköt o voitu luokitella ristii kahde tekijä A ja B suhtee. Nollahypoteesi H 0 : Tekijät A ja B ovat riippumattomia. Vaihtoehtoie hypoteesi H : Tekijät A ja B eivät ole riippumattomia. Havaitut frekvessit Poimitaa tutkimukse kohteea olevasta perusjoukosta S yksikertaie satuaisotos, joka koko o. Luokitellaa havaitoyksiköt tekijä A suhtee toisesa poissulkevii luokkii, joide lukumäärä o r. Määrätää tekijä A luokkaa i kuuluvie havaitoje havaittu frekvessi eli lukumäärä R i, ku i =,,, r. Ilkka Melli (006) /
13 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Luokitellaa havaitoyksiköt tekijä B suhtee toisesa poissulkevii luokkii, joide lukumäärä o c. Määrätää tekijä B luokkaa j kuuluvie havaitoje havaittu frekvessi eli lukumäärä C j, ku j =,,, c. Luokitellaa havaitoyksiköt tekijöide A ja B suhtee ristii toisesa poissulkevii luokkii, joide lukumäärä o r c. Määrätää tekijä A luokkaa i ja tekijä B luokkaa j kuuluvie havaitoje havaittu frekvessi eli lukumäärä O ij, ku i =,,, r ja j =,,, c. Muodostetaa havaituista frekvesseistä O ij (r c)-frekvessitaulukko [O ij ] : B-luokat c Summa A-luokat O O O c R O O O c R r O r O r O rc R r Summa C C C c Taulukossa: r c = A-luokkie lukumäärä = B-luokkie lukumäärä O ij = havaittu frekvessi luokassa, joka määrää A-luokka i ja B-luokka j, i =,,, r, j =,,, c R i = havaittu frekvessi A-luokassa i C j = havaittu frekvessi B-luokassa j = havaitoje kokoaislukumäärä Frekvessiä O ij kutsutaa tavallisesti havaituksi solufrekvessiksi frekvessitaulu solussa (i, j). Havaittuje frekvessie O ij frekvessitaulukossa pätee: (i) Rivisummat yhtyvät havaittuihi frekvesseihi A-luokituksessa: (ii) c Oij = Ri, i =,,, r j= Sarakesummat yhtyvät havaittuihi frekvesseihi B-luokituksessa: r Oij = Cj, j =,,, c i= Ilkka Melli (006) 3/3
14 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset (iii) Havaitoje kokoaislukumäärä: r c r c O = R = C = ij i j i= j= i= j= Nollahypoteesi tulkita -riippumattomuustestissä Jos ollahypoteesi H 0 pätee, havaitoje jakautumie A-luokkii ei saa riippua siitä, mihi B-luokkaa havaiot kuuluvat, toisi saoe, jos ollahypoteesi H 0 pätee, todeäköisyys, että havaito kuuluu A-luokkaa i =,,, r ei saa riippua siitä, mihi B-luokkaa j =,,, c se kuuluu. Jos ollahypoteesi H 0 pätee, havaitoje jakautumie B-luokkii ei saa riippua siitä, mihi A-luokkaa havaiot kuuluvat, toisi saoe, jos ollahypoteesi H 0 pätee, todeäköisyys, että havaito kuuluu B-luokkaa j =,,, c ei saa riippua siitä, mihi A-luokkaa i =,,, r se kuuluu. Odotettuje frekvessie määräämie Olkoo x o tarkastelu kohteea oleva perusjouko S alkio. Määritellää seuraavat todeäköisyydet: pij = Pr( x kuuluu A-luokkaa i ja B-luokkaa j) pic = Pr( x kuuluu A-luokkaa i) pc j = Pr( x kuuluu B-luokkaa j) i =,,, r, j =,,, c Jos ollahypoteesi H 0 pätee, tapahtumat {x S x kuuluu A-luokkaa i} {x S x kuuluu B-luokkaa j} ovat riippumattomia kaikille i =,,, r, j =,,, c. Site ollahypoteesi H 0 tekijöide A ja B riippumattomuudesta voidaa ilmaista muodossa H 0 : pij = picpc j, i =,,, r, j =,,, c Todeäköisyydet pij, pic, pc j voidaa estimoida havaituista frekvesseistä O ij kaavoilla Oij R C i j pˆ ˆ ˆ ij = pic = pc j = Jos ollahypoteesi H 0 pätee, solutodeäköisyydet p ij voidaa estimoida kaavoilla R C i j P = ˆ ˆ ij pi p j = C C Määrätää ollahypoteesi H 0 pätiessä odotetut solufrekvessit E ij yhtälöillä RC i j Eij = Pij =, i =,,, r, j =,,, c Ilkka Melli (006) 4/4
15 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Muodostetaa odotetuista frekvesseistä E ij (r c)-frekvessitaulukko [E ij ] : B-luokat c Summa A-luokat E E E c R E E E c R r E r E r E rc R r Summa C C C c Taulukossa r c = A-luokkie lukumäärä = B-luokkie lukumäärä E ij = odotettu frekvessi luokassa, joka määrää A-luokka i ja B-luokka j, i =,,, r, j =,,, c R i = havaittu frekvessi A-luokassa i C j = havaittu frekvessi B-luokassa j = havaitoje kokoaislukumäärä Frekvessiä E ij kutsutaa tavallisesti odotetuksi solufrekvessiksi frekvessitaulu solussa (i, j). Odotettuje frekvessie E ij frekvessitaulukossa pätee: (i) Rivisummat yhtyvät havaittuihi frekvesseihi A-luokituksessa: (ii) c Eij = Ri, i =,,, r j= Sarakesummat yhtyvät havaittuihi frekvesseihi B-luokituksessa: r Eij = Cj, j =,,, c i= (iii) Havaitoje kokoaislukumäärä: r c r c E = R = C = ij i j i= j= i= j= Ilkka Melli (006) 5/5
16 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Testisuure -riippumattomuustestissä Määritellää -testisuure r c ( O ) ij Eij = E jossa i= j= ij O ij = havaittu frekvessi solussa (i, j) E ij = odotettu frekvessi solussa (i, j) r c = A-luokkie lukumäärä = B-luokkie lukumäärä Testisuure mittaa havaittuje ja odotettuje frekvessie jakaumie yhteesopivuutta tai etäisyyttä ja siksi sitä kutsutaa usei -etäisyydeksi. -testisuure voidaa kirjoittaa myös muotoo r c (ˆ p ) ij Pij = P i= j= ij jossa Oij pˆ ij = Eij R C i j P = = = pˆ ˆ CpC Ri pˆ ic = C j pˆ C j = i =,,, r, j =,,, c ij i j Jos ollahypoteesi H 0 pätee, testisuure oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti -jakaumaa vapausastei f = (r )(c ): jossa ( f ) a r = A-luokkie lukumäärä c = B-luokkie lukumäärä Approksimaatio o tavallisesti riittävä hyvä, jos odotetut frekvessit E ij ja keskimääräiset odotetut frekvessit R i /c ja C j /r toteuttavat ehdot Eij >, i =,,, r, j =,,, c Ri / c> 5, i =,,, r C / r > 5, j =,,, c j Ilkka Melli (006) 6/6
17 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Ehdot saadaa toteutumaa valitsemalla havaioille sopiva luokitus. Testisuuree ormaaliarvo eli odotusarvo ollahypoteesi H 0 pätiessä o jossa E( ) = f f = (r )(c ) Normaaliarvoaa merkitsevästi suuremmat -testisuuree arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H 0 ei päde. -homogeeisuustesti ja -riippumattomuustesti vertailu -homogeeisuustesti ja -riippumattomuustesti tehdää tekisesti täsmällee samalla tavalla ja iipä frekvessitaulukosta ei voi sellaiseaa ähdä kummasta testausasetelmasta o kyse: Odotetut frekvessit määrätää samalla kaavalla. Testisuureet lasketaa samalla kaavalla. Testisuureet oudattavat ollahypoteesi pätiessä approksimatiivisesti samaa jakaumaa. Testie testausasetelmat ovat kuiteki täysi erilaiset. Homogeeisuustesti testausasetelma: (i) Perusjoukko koostuu r ryhmästä ja testissä tarkastellaa perusjouko alkioide jakautumista luokkii eri ryhmissä, ku alkiot o luokittelu yhde tekijä A suhtee käyttäe kaikissa ryhmissä samaa luokitusta. (ii) Havaitoaieisto muodostuu toisistaa riippumattomista ryhmäkohtaisista satuaisotoksista. (iii) Sekä ryhmäkohtaiset otoskoot i että havaitoje kokoaislukumäärä ovat kiiteitä eli ei-satuaisia (eli valittuja) lukuja, ku taas sattuma määrää mite havaiot jakautuvat luokkii ryhmie sisällä. Riippumattomuustesti testausasetelma: (i) Testissä tarkastellaa kahde tekijä A ja B assosiaatiota eli riippuvuutta, ku havaiot o luokiteltu ristii tekijöide A ja B suhtee. (ii) Havaitoaieisto muodostuu yhdestä satuaisotoksesta. (iii) Vai havaitoje kokoaislukumäärä o kiiteä eli ei-satuaie (eli valittu) luku, ku taas sattuma määrää mite havaiot jakautuvat luokkii tekijöide A ja B ristiluokitukse suhtee. Ilkka Melli (006) 7/7
18 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio Otos kaksiulotteisesta ormaalijakaumasta Oletetaa, että satuaismuuttujie x ja y pari (x,y) oudattaa kaksiulotteista ormaalijakaumaa eli ( xy, ) N ( µ x, µ y, σx, σ y, ρxy) jossa µ = E( x) µ = E( y) x σ = Var( x) = E[( x µ ) ] σ = Var( y) = E[( y µ ) ] x x y y σ = Cov( xy, ) = E[( x µ )( y µ )] ρ xy x y xy σ xy = Cor( xy, ) = σσ x y y Olkoot y, y,, y muuttuja y havaitut arvot ja x, x,, x muuttuja x havaitut arvot ja oletetaa, että havaitoarvoje x i ja y i parit (x i,y i ), i =,,, muodostavat yksikertaise satuaisotokse kaksiulotteista ormaalijakaumasta N ( µ x, µ y, σx, σ y, ρ xy) Tällöi ( x, y ),( x, y ),,( x, y ) x y µ µ σ σ ρ i ( i, i) N ( x, y, x, y, xy), =,,, Kaksiulotteise ormaalijakauma parametrie estimoiti Kaksiulotteise ormaalijakauma parametrie mometiestimaattorit tai suurimma uskottavuude estimaattorit ovat ˆ µ = x = x ˆ µ = y = y σˆ x i y i i= i= ( ) ˆ x = xi x = sx σ y = ( yi y) = sy i= i= σˆ = ( x x)( y y) = s ˆ ρ xy i i xy i= xy σˆ xy sxy = = = r σσ ˆ ˆ ss x y x y xy Ilkka Melli (006) 8/8
19 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset jossa s x x s y y x = ( i ) y = ( i ) i= i= s = ( x x)( y y) xy i i i= Korreloimattomuude testaamie Olkoo ollahypoteesia H : ρ = 0 Määritellää t-testisuure Jos ollahypoteesi 0 xy rxy t = r H : ρ = 0 0 xy xy pätee, testisuure t oudattaa Studeti t-jakaumaa vapausastei ( ): t t( ) Testisuuree t ormaaliarvo = 0, koska ollahypoteesi pätiessä E(t) = 0 Site itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H 0 ei päde. Testi korrelaatiokertoimelle Olkoo ollahypoteesia H : ρ = ρ 0 xy 0 Määritellää Fisheri z-muuos kaavalla + u z = f( u) = log u Sovelletaa Fisheri z-muuosta z = f (u) otoskorrelaatiokertoimee r xy : + r xy z = f( rxy ) = log r xy Ilkka Melli (006) 9/9
20 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Voidaa osoittaa, että satuaismuuttuja z oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti ormaalijakaumaa: jossa z ( µ σ ) N, a z z + ρ xy µ z = f ( ρxy) = log ρ xy σ z = 3 Approksimaatio o käytäössä riittävä hyvä, jos > 5. Muodostetaa testisuure jossa z µ ν = σ z 0 z Jos ollahypoteesi H 0 pätee, + r xy z = f( rxy ) = log r xy 0 + ρ 0 µ z = f ( ρ0) = log ρ0 σ z = 3 v a N(0,) Testisuuree ν ormaaliarvo = 0, koska ollahypoteesi pätiessä E(ν) = 0 Site itseisarvoltaa suuret testisuuree ν arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H 0 ei päde. Ilkka Melli (006) 0/0
21 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Tehtävä.. Kahdelle hekilölle, A ja B, o kummalleki aettu oppa ja kumpaaki o pyydetty heittämää sitä 0 kertaa. A ja B kertovat saaeesa heittoje tuloksea alla esitetyt silmälukuje jakaumat. (a) Tutki -yhteesopivuustesti avulla voidaako A: ja B: heittämiä oppia pitää virheettömiä eli symmetrisiä? Tämä tapahtuu testaamalla -yhteesopivuustestillä ollahypoteesia, että opaheito tulos oudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa. Tällöi suuret -testisuuree arvot johtavat ollahypoteesi hylkäämisee. (b) Tutki -yhteesopivuustesti avulla, kuika todeäköistä o se, että A ja B ovat rehellisiä kertoessaa heittäeesä oppaa? Tämä tapahtuu testaamalla -yhteesopivuustestillä ollahypoteesia, että opaheito tulos oudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa. Tällöi pieet -testisuuree arvot viittaavat siihe, että tulokset ovat liia hyviä ollaksee todellisia. Käytä (a)-kohda testeissä sekä %: että 5 %: merkitsevyystasoja ja (b)-kohda testeissä %: merkitsevyystasoa. Silmäluku A: tulokset B: tulokset Tehtävä.. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaa -yhteesopivuustestiä. Tehtävä.. Ratkaisu: Kahdelle hekilölle A ja B o kummalleki aettu oppa ja kumpaaki o pyydetty heittämää sitä 0 kertaa. A ja B kertovat saaeesa heittoje tuloksea alla esitetyt silmälukuje jakaumat. Silmäluku A: tulokset B: tulokset Tehtävä ollahypoteesia o H 0 : Pr(Saadaa silmäluku i) = p = /6, i =,, 3, 4, 5, 6 Site odotetuiksi frekvesseiksi saadaa: E i = p = 0, i =,, 3, 4, 5, 6 Ilkka Melli (006) /
22 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset A: käyttämälle opalle -testisuuree arvoksi saadaa = 3. Laskutoimitukset (Microsoft Excel ohjelmistolla): i O i E i (O i - E i ) /E i Summa B: käyttämälle opalle -testisuuree arvoksi saadaa = 0.3 Laskutoimitukset (Microsoft Excel ohjelmistolla): i O i E i (O i - E i ) /Ei Summa Koska k = 6 ja m = 0 (yhtää parametria ei ole estimoitu), -testisuuree vapausasteide lukumäärä o molemmissa tapauksissa f = k m = 6 0 = 5 -jakauma taulukoide mukaa %: merkitsevyystasoa vastaavat kriittie arvo 0.0 saadaa seuraavalla tavalla: Erotetaa todeäköisyysmassa 0.0 jakauma oikealle häälle. Koska ii Pr( 5.09) = = 5.09 Etsitää vielä piste 0.99 häälle., joka erottaa todeäköisyysmassa 0.0 jakauma vasemmalle Ilkka Melli (006) /
23 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Koska Pr( 0.554) = 0.99 ii ja site Pr( 0.554) = = jakauma taulukoide mukaa 5 %: merkitsevyystasoa vastaava kriittie arvo 0.05 saadaa seuraavalla tavalla: Erotetaa todeäköisyysmassa 0.05 jakauma oikealle häälle. Koska ii Pr(.07) = =.07 Etsitää vielä piste 0.95, joka erottaa todeäköisyysmassa 0.05 jakauma vasemmalle häälle. Koska ii ja site Pr(.5) = 0.95 Pr(.5) = =.5 (a) Normaaliarvoosa ähde liia suuret -testisuuree arvot viittaavat siihe, että havaiot eivät oudata ollahypoteesi kiiittämää jakaumaa. A: oppa ja %: merkitsevyystaso: Koska -testisuuree arvo = 3. < 5.09 = 0.0 ii ollahypoteesi jää voimaa %: merkitsevyystasolla A: opa tapauksessa. B: oppa ja %: merkitsevyystaso: Koska -testisuuree arvo = 0.3 < 5.09 = 0.0 ii ollahypoteesi jää voimaa %: merkitsevyystasolla B: opa tapauksessa. Ilkka Melli (006) 3/3
24 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset A: oppa ja 5 %: merkitsevyystaso: Koska -testisuuree arvo = 3. >.07 = 0.05 ii ollahypoteesi hylätää 5 %: merkitsevyystasolla A: opa tapauksessa. B: oppa ja 5 %: merkitsevyystaso: Koska -testisuuree arvo = 0.3 <.07 = 0.05 ii ollahypoteesi jää voimaa 5 %: merkitsevyystasolla B: opa tapauksessa. (b) Normaaliarvoosa ähde liia pieet -testisuuree arvot viittaavat siihe, että havaiot oudattavat jossaki mielessä liia hyvi ollahypoteesi kiiittämää jakaumaa. A: oppa ja %: merkitsevyystaso: Koska -testisuuree arvo = 3. > = 0.99 ii voimme päätellä, että A o todeäköisesti todella heittäyt oppaa. B: oppa ja %: merkitsevyystaso: Koska -testisuuree arvo = 0.3 < = 0.99 ii, o syytä epäillä sitä, että B o heittäyt oppaa. B o saattaut keksiä heittotulokset, mutta o aliarvioiut satuaisvaihtelu merkitykse. Ilkka Melli (006) 4/4
25 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Tehtävä.. Geiger-mittari laskee radioaktiivise aiee emissioide lukumääriä. Emissioide lukumäärä o lyhyellä aikavälillä satuaismuuttuja, joka voidaa olettaa oudattava Poissoi jakaumaa. Erästä aietta tutkittaessa emissioide lukumäärät rekisteröitii 0:llä samamittaisella lyhyellä aikavälillä. Alla olevassa taulukossa o aettu emissioide lukumäärie frekvessit. Tutki -yhteesopivuustesti avulla oko Poisso-jakaumaoletus sopusoiussa havaitoje kassa. Käytä testissä 5 %: merkitsevyystasoa. Emissioide lkm Frekvessi Tehtävä.. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaa -yhteesopivuustestiä. Tehtävä.. Ratkaisu: Erästä radioaktiivista aietta tutkittaessa Geiger-mittarilla rekisteröitii emissioide lukumäärät 0:llä samamittaisella lyhyellä aikavälillä. Alla olevassa taulukossa o aettu emissioide lukumäärie frekvessit. Emissioide lkm Frekvessi Tehtävä ollahypoteesia o H 0 : Emissioide lukumäärä oudattaa Poisso-jakaumaa Poisso-jakauma pistetodeäköisyysfuktio o x e λ λ f( x) = Pr( X = x) =, x = 0,,, x! Itesiteettiparametri λ suurimma uskottavuude estimaattori o havaitoje aritmeettie keskiarvo: jossa 5 ioi i = 0 x = = 03 = = havaitoje kokoaislukumäärä = 0 O i = havaittu frekvessi luokassa i Ilkka Melli (006) 5/5
26 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Odotetuiksi frekvesseiksi saadaa: E 0 = Pr(X = 0) = E = Pr(X = ) = 37.5 E = Pr(X = ) = 8.94 E 3 = Pr(X = 3) = 6.44 E 4 = Pr(X = 4) =.64 E 5 = Pr(X = 5) = 0.33 Koska E 4 =.64 < 5 E 5 = 0.33 < 5 ii luokat 4 ja 5 yhdistetää luokkaa 3. -testisuuree arvoksi saadaa = Laskutoimitukset (Microsoft Excel ohjelmistolla): i O i E i (O i - E i ) /E i tai yli Summa Koska k = 4 ja m = (yksi parametri o estimoitu), -testisuuree vapausasteide lukumäärä o f = k m = 4 = -jakauma taulukoide mukaa 5 %: merkitsevyystasoa vastaava kriittie arvo 0.05 saadaa seuraavalla tavalla: Erotetaa todeäköisyysmassa 0.05 jakauma oikealle häälle. Koska ii Pr( 5.99) = = 5.99 Koska -testisuuree arvo = < 5.99 = 0.05 ii ollahypoteesi jää voimaa 5 %: merkitsevyystasolla. Ilkka Melli (006) 6/6
27 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Johtopäätös: Havaiot saattavat oudattaa Poisso-jakaumaa. Ilkka Melli (006) 7/7
28 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Tehtävä.3. Erää tehtaa johto epäili, että työtekijöide keskuutee oli leviyt tapa veyttää viikolopu viettoa perjataihi ja maaataihi ilmoittautumalla sairaiksi. Asiaa tutkittii eljä viiko aja rekisteröimällä poissaoloje lukumäärät jokaisea työpäivää. Keskiarvotiedot ko. ajajaksolta o aettu alla olevassa taulukossa. (a) Testaa -yhteesopivuustesti avulla ollahypoteesia, että poissaoloje lukumäärä jakautuu tasaisesti työpäiville. (b) Yhdistä sekä perjatai ja maaatai että tiistai, keskiviiko ja torstai havaiot. Mite (a)-kohda ollahypoteesia o tällöi modifioitava? Testaa -yhteesopivuustesti avulla modifioitua ollahypoteesia. Käytä testeissä 5 %: merkitsevyystasoa. Viikopäivä ma ti ke to pe Summa Poissaoloje lukumäärä (ka) Tehtävä.3. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaa -yhteesopivuustestiä. Tehtävä.3. Ratkaisu: (a) Määrätää odotetut frekvessit E j käyttäe ollahypoteesia H 0 : Poissaolot jakautuvat tasaisesti eri viikopäiville Odotetut frekvessit E j : Viikopäivä ma ti ke to pe Summa Poissaoloje lukumäärä testisuuree arvoksi saadaa = 4.90 Laskutoimitukset (Microsoft Excel ohjelmistolla): Päivä ma ti ke to pe Summa O i E i Khi Ilkka Melli (006) 8/8
29 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Koska k = 5 ja m = 0 (yhtää parametria ei ole estimoitu), -testisuuree vapausasteide lukumäärä o f = k m = 5 0 = 4 -jakauma taulukoide mukaa 5 %: merkitsevyystasoa vastaava kriittie arvo 0.05 saadaa seuraavalla tavalla: Erotetaa todeäköisyysmassa 0.05 jakauma oikealle häälle. Koska ii Pr( 9.488) = = Koska -testisuuree arvo = 4.90 < = 0.05 ii ollahypoteesi jää voimaa 5 %: merkitsevyystasolla. Johtopäätös: Poissaolot saattavat hyviki jakautua tasaisesti eri viikopäiville. (b) Yhdistämällä sekä perjatai ja maaatai havaiot että tiistai, keskiviiko ja torstai havaiot saadaa seuraava havaittuje frekvessie taulukko: Viikopäivä pe-ma ti-ke-to Summa Poissaoloje lukumäärä (ka) Vastaava yhdistämie (a)-kohda odotettuje frekvessie taulukossa tuottaa tauluko Viikopäivä pe-ma ti-ke-to Summa Poissaoloje lukumäärä testisuuree arvoksi saadaa = 4.08 Ilkka Melli (006) 9/9
30 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Laskutoimitukset (Microsoft Excel ohjelmistolla): Päivä pe-ma ti-ke-to Summa O i E i Khi Koska k = ja m = 0 (yhtää parametria ei ole estimoitu), -testisuuree vapausasteide lukumäärä o f = k m = 0 = -jakauma taulukoide mukaa 5 %: merkitsevyystasoa vastaava kriittie arvo 0.05 saadaa seuraavalla tavalla: Erotetaa todeäköisyysmassa 0.05 jakauma oikealle häälle. Koska ii site Pr( 3.84) = = 3.84 Koska -testisuuree arvo = 4.08 > 3.84 = 0.05 ii ollahypoteesi hylätää 5 %: merkitsevyystasolla. Johtopäätös: Poissaolot eivät jakaudu tasaisesti eri viikopäiville. Huomautus: Tehtävästä.3. ähdää, että käytetty luokitus saattaa vaikuttaa -yhteesopivuustesti tuloksee. Ilkka Melli (006) 30/30
31 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Tehtävä.4. Hekilöille A ja B o kummalleki aettu oppa ja kumpaaki o pyydetty heittämää sitä 0 kertaa. A ja B kertovat saaeesa heittoje tuloksea alla esitetyt silmälukuje jakaumat. Tutki -homogeeisuustesti avulla, oko mahdollista, että A ja B ovat käyttäeet samaa oppaa (tai oikeammi: oppia, joide silmälukuje todeäköisyydet ovat samat). Käytä testissä 5 %: merkitsevyystasoa. Silmäluku A: tulokset B: tulokset Tehtävä.4. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaa -homogeeisuustestiä. Vrt. tässä tarkasteltavaa -homogeeisuustestiä tehtävissä.5. ja.6. sovellettavaa -riippumattomuustestii. Tehtävä.4. Ratkaisu: Sovelletaa testisuuretta r c ( O ) ij Eij = E i= j= ij jossa odotetut frekvessit E ij määrätää käyttäe ollahypoteesia H 0 : A ja B ovat käyttäeet samaa oppaa (tai oikeammi: oppia, joide silmälukuje todeäköisyydet ovat samat) Site odotetut frekvessit saadaa kaavalla jossa E ij = i C j / i = i. ryhmä otoskoko C j = j. sarakesumma = kokoaissumma Nollahypoteesi H 0 pätiessä testisuure oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti -jakaumaa mukaa vapausastei (r )(c ), jossa r c = frekvessitaulu rivie lukumäärä = frekvessitaulu sarakkeide lukumäärä Olkoo vaihtoehtoisea hypoteesia H se, että A ja B eivät ole käyttäeet samaa oppaa (tai oikeammi: A ja B ovat käyttäeet oppia, joide silmälukuje todeäköisyydet eroavat tosistaa). Ilkka Melli (006) 3/3
32 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset -testisuuree arvoksi saadaa =.406 Laskutoimitukset (Microsoft Excel -ohjelmalla): O ij Summa A B Summa E ij Summa A B Summa Khi Summa A B Summa Vapausteide lukumääräksi saadaa f = (r )(c ) = ( )(6 ) = 5 Site 5 %: merkitsevyystasoa vastaava kriittiseksi arvoksi taulukoista 0.05 =.07 Koska testisuuree arvo =.4 <.07 = saadaa -jakauma ii testisuuree arvo o jääyt hyväksymisalueelle ja ollahypoteesi H 0 voidaa jättää voimaa merkitsevyystasolla Johtopäätös: A: ja B: tulokset voivat olla peräisi samasta opasta (tai oikeammi: opista, joide silmälukuje todeäköisyydet ovat samat). Ilkka Melli (006) 3/3
33 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Tehtävä.5. Erää rokotuskokee tulokset o aettu alla. (a) Testaa ollahypoteesia, että rokotettuje ja rokottamattomie sairastavuudessa ei ole eroa suhteelliste osuuksie vertailutestiä käyttäe. (b) Testaa ollahypoteesia, että sairastavuus ei riipu rokotuksesta -riippumattomuustestiä käyttäe. Käytä molemmissa testeissä 5 %: merkitsevyystasoa. Vertaa (a)- ja (b)-kohtie testie tuloksia toisiisa. Voivatko testit johtaa eri tuloksii? Sairastumie Rokotus Sairastuut: S Ei sairastuut: ei-s Rokotettu: R 9 4 Ei rokotettu: ei-r 7 8 Tehtävä.5. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaa samaa aieistoo suhteelliste osuuksie vertailutestiä riippumattomille otoksille ja -riippumattomuustestiä. Lisätietoja suhteelliste osuuksie vertailutestistä: ks. 0. harjoitukset. Vrt. tässä tarkasteltavaa -riippumattomuustestiä tehtävässä.4. sovellettavaa -homogeeisuustestii. Tehtävä.5. Ratkaisu: (a) Olkoo A = Hekilö sairastuu ja olkoo Pr(A) = p, jos hekilö o rokotettu Pr(A) = p, jos hekilöä ei ole rokotettu Määritellää riippumattomat satuaismuuttujat jossa X ik, jos i. hekilö, jolle o tehty toimepide k, sairastuu = 0, jos i. hekilö, jolle o tehty toimepide k, ei sairastu i =,,,, k =, k = hekilö rokotetaa k = hekilöä ei rokoteta k Ilkka Melli (006) 33/33
34 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Tällöi X Ber( p ), i =,,,, k =, ik k k Asetetaa ollahypoteesi H 0 : p = p Määritellää testisuure (ks. 0. harjoitukset) z = pˆ pˆ pˆ( pˆ) + Testisuuree lausekkeessa = Rokotettuje lukumäärä ˆp = Sairastueide suhteellie osuus rokotettuje joukossa = Ei-rokotettuje lukumäärä ˆp = Sairastueide suhteellie osuus ei-rokotettuje joukossa ja ˆp = Sairastueide suhteellie osuus, ku rokotettuja ja ei-rokotettuja käsitellää yhteä ryhmää Huomaa, että ˆp = f / ˆp = f / jossa ja f = Sairastueide lukumäärä rokotettuje joukossa f = Sairastueide lukumäärä ei-rokotettuje joukossa f + f pˆ + pˆ pˆ = = + + Jos ollahypoteesi H 0 pätee, testisuure z oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: z a N(0,) Ilkka Melli (006) 34/34
35 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Tehtävä tapauksessa: = 9+ 4= 5 f 9 pˆ = = = ja edellee = = 45 f 7 pˆ = = = f + f pˆ = = = = z pˆ pˆ = = = pˆ( pˆ) ( 0.7) Valitaa vaihtoehtoiseksi hypoteesiksi se, että sairastuvuus o rokotettuje joukossa pieempää kui ei-rokotettuje joukossa eli olkoo vaihtoehtoisea hypoteesia yksisuutaie vaihtoehto H : p < p Tällöi 5 %: merkitsevyystasoa vastaavaksi kriittiseksi arvoksi z0.05 saadaa ormaalijakauma taulukosta Koska z 0.05 =.65 z =. <.65 = z0.05 ii testisuuree z arvo o jääyt hylkäysalueelle ja ollahypoteesi H 0 voidaa hylätä ja vaihtoehtoie hypoteesi H hyväksyä merkitsevyystasolla Johtopäätös: Sairastuvuus rokotettuje joukossa o pieempää kui rokottamattomie joukossa. (b) Sovelletaa -testisuuretta r c ( O ) ij Eij = E i= j= ij jossa odotetut frekvessit E ij määrätää käyttäe ollahypoteesia H 0 : Sairastumistodeäköisyys ei riipu rokotuksesta Ilkka Melli (006) 35/35
36 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Site odotetut frekvessit E ij saadaa kaavalla E ij = R i C j / jossa R i = i. rivisumma C j = j. sarakesumma = kokoaissumma Nollahypoteesi H 0 pätiessä testisuure oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti -jakaumaa vapausastei (r )(c ), jossa r c = frekvessitaulu rivie lukumäärä = frekvessitaulu sarakkeide lukumäärä Olkoo vaihtoehtoisea hypoteesia H se, että sairastumistodeäköisyys riippuu rokotuksesta. -testisuuree arvoksi saadaa = Laskutoimitukset (Microsoft Excel ohjelmalla): O ij S ei-s Summa R ei-r Summa E ij S ei-s Summa Tarkistus R ei-r Summa Tarkistus 6 70 Khi S ei-s Summa R ei-r Summa Vapausasteide lukumääräksi saadaa f = (r )(c ) = ( )( ) = Site 5 %: merkitsevyystasoa vastaavaksi kriittiseksi arvoksi jakauma taulukoista 0.05 = saadaa - Ilkka Melli (006) 36/36
37 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Koska testisuuree arvo = 4.9 > 3.84 = 0.05 ii testisuuree arvo o joituut hylkäysalueelle ja ollahypoteesi H 0 voidaa hylätä ja vaihtoehtoie hypoteesi H hyväksyä merkitsevyystasolla Johtopäätös: Sairastumistodeäköisyys riippuu siitä oko hekilö rokotettu vai ei. Huomautuksia: (i) (ii) (a)-kohda z-testisuuree arvo eliö yhtyy (b)-kohda -testisuuree arvoo. Tämä ei ole sattumaa, vaa perustuu -testisuuree omiaisuuksii - frekvessitaulussa. Huomaa kuiteki, että z-testi ja -testi ekvivalessia -frekvessitaulu tapauksessa ei voida yleistää r c-tauluihi, joissa r > ja/tai c >. Ilkka Melli (006) 37/37
38 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Tehtävä.6. Alla olevassa taulukossa o aettu tulokset kyselytutkimuksesta, joka kohteea olivat USA: kasalaiset. Kysely kohteet poimittii yksikertaisella satuaisotaalla ja otoksee poimituilta kysyttii puoluekataa ja suhtautumista käsiaseide hallussapido rajoituksii. Oko suhtautumie aserajoituksii riippumatota puoluekaasta? Käytä asia tutkimisessa -riippumattomuustestiä 0.5 %: merkitsevyystasolla. Suhtautumie aserajoituksii Puoluekata Puoltaa Ei kataa Vastustaa Demokraatti Republikaai Riippumato Tehtävä.6. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaa -riippumattomuustestiä. Vrt. tässä tarkasteltavaa -riippumattomuustestiä tehtävässä.4. sovellettavaa -homogeeisuustestii. Tehtävä.6. Ratkaisu: Sovelletaa testisuuretta r c ( O ) ij Eij = E i= j= ij jossa odotetut frekvessit E ij määrätää käyttäe ollahypoteesia H 0 : Suhtautumie aserajoituksii ei riipu puoluekaasta Site odotetut frekvessit saadaa kaavalla jossa E ij = R i C j / R i = i. rivisumma C j = j. sarakesumma = kokoaissumma Nollahypoteesi H 0 pätiessä -testisuure oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti -jakauma mukaa vapausastei (r )(c ), jossa r = frekvessitaulu rivie lukumäärä c = frekvessitaulu sarakkeide lukumäärä Ilkka Melli (006) 38/38
39 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Olkoo vaihtoehtoisea hypoteesia H se, että suhtautumie aserajoituksii riippuu puoluekaasta. Havaitut frekvessit O ij : O ij Puoltaa Ei kataa Vastustaa Yhteesä Dem Rep Riip Yhteesä Odotetut frekvessit E ij : E ij Puoltaa Ei kataa Vastustaa Yhteesä Dem Rep Riip Yhteesä testisuuree arvoksi saadaa =.05 Laskutoimitukset (Microsoft Excel -ohjelmalla): O ij Puoltaa Ei kataa Vastustaa Yhteesä Dem Rep Riip Summa E ij Puoltaa Ei kataa Vastustaa Yhteesä Dem Rep Riip Summa Khi Puoltaa Ei kataa Vastustaa Yhteesä Dem Rep Riip Summa Ilkka Melli (006) 39/39
40 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Vapausteide lukumääräksi saadaa f = (r )(c ) = (3 )(3 ) = 4 Site 0.5 %: merkitsevyystasoa vastaava kriittiseksi arvoksi taulukoista = 4.86 Koska testisuuree arvo =.05 > 4.86 = saadaa -jakauma ii testisuuree arvo o joutuut hylkäysalueelle ja ollahypoteesi H 0 voidaa hylätä ja vaihtoehtoie hypoteesi H voidaa hyväksyä merkitsevyystasolla Johtopäätös: Puoluekata ja suhtautumie aserajoituksii riippuvat toisistaa. Ilkka Melli (006) 40/40
41 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Tehtävä.7. Eräässä 4: kua otoksessa Suome kutie joukosta suhteellise rikollisuude (muuttuja x; rikoksia per 000 asukasta) ja asukastiheyde (muuttuja y; asukasta per km ) välise otoskorrelaatiokertoime arvoksi saatii r = Oletetaa, että havaitoje parit (x i,y i ), i =,,, jossa ideksi i viittaa kutaa i, oudattavat kaksiulotteista ormaalijakaumaa N ( µ x, µ y, σx, σ y, ρ xy) Testaa 5 %: merkitsevyystasoa käyttäe ollahypoteesia, että muuttujat x ja y ovat korreloimattomia, ku vaihtoehtoiseksi hypoteesiksi valitaa kaksisuutaie vaihtoehto. Tehtävä.7. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaa korreloimattomuude testaamista. Lisätietoja kaksiulotteisesta ormaalijakaumasta: ks.. harjoitukset. Yleie testi korrelaatiokertoimelle: ks. tehtävää.8. Tehtävä.7. Ratkaisu: t-testisuure ollahypoteesille H : ρ = 0 0 xy o muotoa rxy t = r xy jossa r xy o muuttujie x ja y havaituista arvoista määrätty Pearsoi otoskorrelaatiokerroi. Jos ollahypoteesi H 0 pätee, testisuure t o jakautuut Studeti t-jakauma mukaa vapausastei ( ): t t( ) Tehtävä tapauksessa testisuuree arvoksi saadaa r 0.57 t = = 4 = Vapausasteide lukumääräksi saadaa df = = 40 xy rxy Ilkka Melli (006) 4/4
42 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Koska vaihtoehtoiseksi hypoteesiksi o valittu kaksisuutaie vaihtoehto H: ρ 0 xy ii 5 %: merkitsevyystasoa vastaavaksi kriittisiksi rajoiksi t 0.05 ja +t 0.05 saadaa Studeti t-jakauma taulukoista t 0.05 =.0 +t 0.05 = +.0 Koska t 0.05 =.0 < t =.0 < +.0 = +t 0.05 testisuuree t arvo o jääyt hyväksymisalueelle ja ollahypoteesi H 0 voidaa jättää voimaa 5 %: merkitsevyystasolla. Johtopäätös: Otoksesta saatuje tietoje perusteella kua suhteellise rikollisuude ja asukasluvu välillä ei ole korrelaatiota. Ilkka Melli (006) 4/4
43 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Tehtävä.8. Meestymie opioissa saattaa vaikuttaa vastavalmistuee alkupalkkaa. Asiaa tutkittii eräässä USA: yliopistossa poimimalla vastavalmistueide joukosta yksikertaie satuaisotos, joka koko oli 5. Otoksee poimituilta opiskelijoilta kysyttii heidä arvosaapisteidesä keskiarvoa (muuttuja x) ja alkupalkkaa (muuttuja y; 000 $). Otosta kuvaavat perustuusluvut olivat: x = 3.04 y = 8.05 s x = s y = 5.8 r xy = Oletetaa, että havaitoje parit (x i,y i ), i =,,, oudattavat kaksiulotteista ormaalijakaumaa N ( x, y, x, y, xy) µ µ σ σ ρ. Testaa 5 %: merkitsevyystasolla ollahypoteesia H : ρ = xy ku vaihtoehtoiseksi hypoteesiksi valitaa se, että arvosaapisteide keskiarvo ja alkupalka välise korrelaatiokertoime arvo o suurempi kui 0.5. Tehtävä.8. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaa yleistä testiä Pearsoi tulomomettikorrelaatiokertoimelle. Lisätietoja kaksiulotteisesta ormaalijakaumasta: ks.. harjoitukset. Korreloimattomuude testaamie: ks. tehtävää.7. Tehtävä.8. Ratkaisu: Testisuure ollahypoteesille o muotoa H : ρ = ρ = xy 0 v = + r xy + ρ 0 log log r xy ρ0 3 jossa r xy o muuttujie x ja y havaituista arvoista määrätty Pearsoi otoskorrelaatiokerroi. Jos ollahypoteesi H 0 pätee, v a N(0,) Ilkka Melli (006) 43/43
44 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Tehtävä tapauksessa + r xy log = log =.49 r xy jote + ρ = = log log ρ v = = Koska vaihtoehtoiseksi hypoteesiksi o valittu yksisuutaie vaihtoehto H 0 : ρ > 0.5 ii 5 %: merkitsevyystasoa vastaavaksi kriittiseksi rajoiksi +z 0.05 saadaa ormaalijakauma taulukoista +z 0.05 = +.64 Koska +z 0.05 = +.64 < +.4 = z testisuuree z arvo o joutuut hylkäysalueelle ja ollahypoteesi H 0 voidaa hylätä ja vaihtoehtoie hypoteesi H voidaa hyväksyä 5 %: merkitsevyystasolla. Johtopäätös: Otoksesta saatuje tietoje perusteella arvosaapisteide keskiarvo ja alkupalka välise otoskorrelaatiokertoime arvo o suurempi kui 0.5. Ilkka Melli (006) 44/44
χ 2 -yhteensopivuustesti
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Tilastollie
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus,
Lisätiedot11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut
11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa
LisätiedotTestit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
Lisätiedot8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen Jakaumaoletuksien
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 0. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotYhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio Tilastollie riippuvuus, korrelaatio ja regressio Kahde muuttuja havaitoaieisto
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Melli (24) Johdtus tilstotieteesee TKK (c) Ilkk Melli (24) 2 : Mitä opimme? Trkstelemme tässä luvuss seurvi ltuerosteikolliste muuttujie testejä: Testukse kohtee testeissä o Beroulli-jkum
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
Lisätiedotn = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:
1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotOsa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotOtantajakauman käyttö päättelyssä
Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotTodennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.
Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit
Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotKaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut
Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
LisätiedotOlkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti
Lisätiedot= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1
35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
Lisätiedotpq n s n Kyllä Ei N Jäsenyys 5,4% 94.6 % 1500 Adressi 21,6% 78.4 % 1495 Lahjoitus 23,7% 76.3 % 1495 Mielenosoitus 1,1% 98.9 % 1489
Perusjoukko ja otos Kvatitatiiviset meetelmät Sami Fredriksso Yleie valtio-oppioppi Havaitoyksikkö o empiirise mittaukse kohde Perusjoukko o kaikkie havaitoyksiköide muodostama kokoaisuus Otos o perusjoukkoa
LisätiedotHarjoitukset 1 : Tilastokertaus
31C99904, Capstoe: Ekoometria ja data-aalyysi TA : markku.siikae(a)aalto.fi & tuuli.vahapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 1 : Tilastokertaus (Palautus 10.1.2017) Palautellaa mielii hiema tilasto-oppia ja todeäköisyyslasketaa.
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6
LisätiedotOtantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
LisätiedotMat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie
LisätiedotSisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.
Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
LisätiedotMat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:
Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
LisätiedotTilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
LisätiedotTilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste aieistoje kuvaamie Tuusluvut Laatueroasteikolliste muuttujie tuusluvut Johdatus tilastotieteesee Tilastolliste aieistoje kuvaamie TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007 6. lueto: Johdatus regressioaalyysii S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Kai Virtae 1 Regressioaalyysi idea Tavoitteea selittää selitettävä tekiä/muuttua
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Diskeetit jakaumat Jatkuvat jakaumat Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Ketymäfuktio, Mediaai, Negatiivie biomijakauma,
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,
LisätiedotEX1 EX 2 EX =
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,
LisätiedotSELITETTÄVÄ MUUTTUJA SELITTÄVÄ MUUTTUJA. Välimatka- tai suhdelukuasteikko. Laatuero- tai järjestysasteikko. Laatuero- tai järjestysasteikko
Moimuuttujameetelmät Kvatitatiiviset meetelmät Sami Fredriksso Yleie valtio-oppioppi Mikko Mattila 009 1 Yhde muuttuja meetelmät (uivariate statistics): keskiluvut ja hajotaluvut Moimuuttujameetelmät:
LisätiedotLatinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,
LisätiedotMat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,
LisätiedotTilastolliset luottamusvälit
Luku 8 Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 8.1 Piste-estimaatti ja väliestimaatti Edellisessä luvussa opittii määrittämää parametreille estimaatteja suurimma uskottavuude
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,
Lisätiedot