Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1"

Transkriptio

1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

2 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit Moodi Suurten lukujen laki TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 2

3 Odotusarvo Johdatteleva esimerkki: Arpajaiset 1/7 Olkoon arpajaisissa 1000 arpaa. Arpanumerot: 1, 2,, Voitonjako: Voitot (mk) Voittoja (kpl) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 3

4 Odotusarvo Johdatteleva esimerkki: Arpajaiset 2/7 Arvotaan voittonumerot seuraavalla tavalla: (1) Kirjoitetaan arpanumerot lipukkeille. (2) Pannaan lipukkeet uurnaan. (3) Poimitaan uurnasta satunnaisesti 111 arpaa: 100 ensimmäistä saa voittona 20 mk 10 seuraavaa saa voittona 100 mk Viimeinen saa voittona 1000 mk Voitot yhteensä (mk): = 4000 Voitto yhtä ostettua arpaa kohden eli voitto/arpa (mk): 4000/1000 = 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 4

5 Odotusarvo Johdatteleva esimerkki: Arpajaiset 3/7 Voitto/arpa voidaan laskea myös toisella tavalla. Arpanumerot: 1, 2,, Voitonjako: Voitot (mk) Voittoja (kpl) Voitto/arpa (mk): = = 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 5

6 Odotusarvo Johdatteleva esimerkki: Arpajaiset 4/7 Voitto/arpa saadaan siis laskutoimituksella = jossa voitto/arpa on laskettu voittojen painotettuna summana, jossa painoina on käytetty voittojen todennäköisyyksiä: 1 Pr(Voitto = 1000) = = Pr(Voitto = 100) = = Pr(Voitto = 20) = = Pr(Voitto = 0) = = TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 6

7 Odotusarvo Johdatteleva esimerkki: Arpajaiset 5/7 Siten suure voitto/arpa on laskettu kaavalla xp i i i jossa x i = voitto p i = on voiton x i todennäköisyys Kutsutaan suuretta voitto/arpa voiton odotusarvoksi. Voiton odotusarvo on siis odotettavissa oleva voitto, jos ostaa yhden arvan. Voiton odotusarvolle voidaan antaa seuraava frekvenssitulkinta: Jos ostat useita arpoja, voiton odotusarvo kertoo keskimääräisen voiton yhtä arpaa kohden. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 7

8 Odotusarvo Johdatteleva esimerkki: Arpajaiset 6/7 Arpominen on satunnaisilmiö. Määritellään satunnaismuuttuja X = voitto. Satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot x i (voitot) ja niiden todennäköisyydet p i : x i Pr(X = x i ) = p i / / / /1000 Huomautus: Huomaa, että tulosvaihtoehto 0 mk ja sen todennäköisyys on otettava mukaan! TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 8

9 Odotusarvo Johdatteleva esimerkki: Arpajaiset 7/7 Satunnaismuuttujan Xarvotx i ja niiden todennäköisyydet Pr(X = x i ) = p i määrittelevät diskreetin todennäköisyysjakauman. Lauseke i xp = xpr( X= x) i i i i i määrittelee diskreetin satunnaismuuttujan X odotusarvon. Huomautus: Odotusarvo määritellään seuraavassa erikseen diskreeteille ja jatkuville jakaumille. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 9

10 Odotusarvo Diskreetin jakauman odotusarvo: Määritelmä Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja. Olkoon {x 1, x 2, x 3, } satunnaismuuttujan X tulosvaihtoehtojen eli arvojen joukko. Olkoon satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio f(x i ) = Pr(X = x i ) = p i, i = 1, 2, 3, Satunnaismuuttujan X odotusarvo on vakio E( X) = µ = x Pr( X = x ) = x f( x ) X i i i i i i Sanomme, että satunnaismuuttujan X odotusarvo E(X) on sen jakauman odotusarvo, joka kuvaa satunnaismuuttujaan X liittyviä todennäköisyyksiä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 10

11 Odotusarvo Diskreetin jakauman odotusarvo: Kommentteja Vaikka satunnaismuuttujan saama arvo vaihtelee satunnaisesti koetoistosta toiseen, satunnaismuuttuja saa keskimäärin arvoja, jotka vaihtelevat sen odotusarvon ympärillä. Jos jakaumalla on odotusarvo, se on jakauman todennäköisyysmassan painopiste. Diskreetin jakauman odotusarvon ei tarvitse kuulua ko. satunnaismuuttujan tulosvaihtoehtojen joukkoon. Nopanheiton tuloksen odotusarvo on 3.5 (ks. >), mikä ei esiinny mahdollisten tulosvaihtoehtojen joukossa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 11

12 Odotusarvo Diskreetin jakauman odotusarvo: Esimerkki nopanheitosta Nopanheittoon liittyvän diskreetin tasaisen jakauman pistetodennäköisyysfunktio on muotoa 1 Pr( X = i) =, i= 1,2,3,4,5,6 6 Satunnaismuuttujan X odotusarvo: E( X ) = ipr( X = i) = i i= 1 i= = = 6 6 = Pistetodennäköisyysfunktio E(X) = 3.5 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 12

13 Odotusarvo Diskreetin jakauman odotusarvo: Esimerkki onnenpyörästä 1/2 Olkoon diskreetin satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio muotoa Pr(X = 1) = 0.3 Pr(X = 2) = 0.25 Pr(X = 3) = 0.2 Pr(X = 4) = 0.15 Pr(X = 5) = 0.1 Pistetodennäköisyysfunktio liittyy luvussa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat käsiteltyyn esimerkkiin onnenpyörästä Pistetodennäköisyysfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 13

14 Odotusarvo Diskreetin jakauman odotusarvo: Esimerkki onnenpyörästä 2/2 Satunnaismuuttujan X odotusarvo: 5 E( X) = ipr( X = i) i= 1 = = Pistetodennäköisyysfunktio E(X) = 2.5 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 14

15 Odotusarvo Jatkuvan jakauman odotusarvo: Määritelmä Olkoon X on jatkuva satunnaismuuttuja. Olkoon satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f(x). Satunnaismuuttujan X odotusarvo on vakio + E( X) = µ X = xf( x) dx Sanomme, että satunnaismuuttujan X odotusarvo E(X) on sen jakauman odotusarvo, joka kuvaa satunnaismuuttujaan X liittyviä todennäköisyyksiä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 15

16 Odotusarvo Jatkuvan jakauman odotusarvo: Kommentteja Vaikka satunnaismuuttujan saama arvo vaihtelee satunnaisesti koetoistosta toiseen, satunnaismuuttuja saa keskimäärin arvoja, jotka vaihtelevat sen odotusarvon ympärillä. Jos jakaumalla on odotusarvo, se on jakauman todennäköisyysmassan painopiste. Jatkuvan jakauman odotusarvo kuuluu aina ko. satunnaismuuttujan tulosvaihtoehtojen joukkoon. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 16

17 Odotusarvo Jatkuvan jakauman odotusarvo: Esimerkki tasaisesta jakaumasta Jatkuvan tasaisen jakauman tiheysfunktio on 1, a x b f( x) = b a 0, muulloin Jakauman odotusarvo on + E( X) = xf( x) dx b 1 = x dx b a a b = 2 x b a a = ( b+ a)/2 = a+ ( b a)/2 Jatkuva tasainen jakauma 1/(b-a) a b E(X) = a + (b a)/2 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 17

18 Odotusarvo Jatkuvan jakauman odotusarvo: Esimerkki kolmiojakaumasta Erään kolmiojakauman tiheysfunktio on 1 x+ x 2 1, 0 2 f( x) = 0, muulloin Jakauman odotusarvo on + E( X) = xf( x) dx ( 1) = x x+ dx x 2x 0 = + = Kolmiojakauma E(X) = 2/3 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 18

19 Odotusarvo Jatkuvan jakauman odotusarvo: Esimerkki normaalijakaumasta Normaalijakauman tiheysfunktio on 1 x µ f( x) = exp σ 2π σ Normaalijakauman tiheysfunktio on symmetrinen suoran x = µ suhteen. Voidaan osoittaa, että normaalijakauman odotusarvo E(x) = µ ks. lukua Jatkuvia jakaumia. 2 Normaalijakauma E(X) = µ TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 19

20 Odotusarvo Odotusarvon olemassaolo Jakaumalla ei välttämättä ole odotusarvoa. Odotusarvon olemassaololla tarkoitetaan diskreetin jakauman tapauksessa sitä, että xi f( x i) < i ja jatkuvan jakauman tapauksessa sitä, että + x f( x) dx < TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 20

21 Odotusarvo Odotusarvo ja todennäköisyysmassan painopiste Jos jakaumalla on odotusarvo, se yhtyy aina ko. jakauman todennäköisyysmassan painopisteeseen. Olkoon E(X) = µ satunnaismuuttujan X odotusarvo. Jos satunnaismuuttujan X jakauma on symmetrinen suoran x = a suhteen, niin E(X) = µ = a TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 21

22 Odotusarvo Vakion odotusarvo Olkoon a ei-satunnainen vakio. Vakion odotusarvo on vakio itse: E( a) = a Kommentti: Vakio ei vaihtele koetoistosta toiseen. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 22

23 Odotusarvo Vakion odotusarvo: Perustelu Väite: Vakiolle a pätee E(a) = a Perustelu (jatkuvan jakauman tapauksessa): + + E( a) = af( x) dx = a f( x) dx = a 1 = a TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 23

24 Odotusarvo Lineaarimuunnoksen odotusarvo Olkoon satunnaismuuttujan X odotusarvo E(X). Satunnaismuuttujan X lineaarimuunnoksen Y = a + bx (a ja b vakioita) odotusarvo E(Y) saadaan soveltamalla ko. lineaarimuunnosta odotusarvoon E(X): E( Y) = a+ be( X) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 24

25 Odotusarvo Lineaarimuunnoksen odotusarvo: Perustelu Väite: Lineaarimuunnokselle Y = a + bx pätee E(Y) = a + be(x). Perustelu (jatkuvan jakauman tapauksessa): E( Y) = E( a+ bx) = ( a+ bx) f( x) dx = a f( xdx ) + b xf( xdx ) = a+ be( X) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 25

26 Odotusarvo Lineaarimuunnoksen odotusarvo: Kommentteja Satunnaismuuttujan X kertominen vakiolla b merkitsee satunnaismuuttujan X saamien arvojen mittakaavan muuttamista. Satunnaismuuttujan X saamien arvojen mittakaavan muuttaminen verrannollisuuskertoimella b muuttaa satunnaismuuttujan X jakauman todennäköisyysmassan painopistettä samalla kertoimella. Vakion a lisääminen satunnaismuuttujaan X merkitsee satunnaismuuttujan X jakauman todennäköisyysmassan siirtoa. Todennäköisyysmassan siirtäminen vakion a verran siirtää todennäköisyysmassan painopistettä saman verran. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 26

27 Odotusarvo Odotusarvo jakauman sijaintiparametrina 1/2 Koska odotusarvolla on fysikaalinen tulkinta todennäköisyysmassan painopisteenä, odotusarvoa voidaan kutsua jakauman sijaintiparametriksi. Oletetaan, että satunnaismuuttujien X ja Y tiheysfunktiot yksihuippuisia ja symmetrisiä painopisteensä suhteen. Tällöin satunnaismuuttujan X todennäköisyysmassan pääosa sijaitsee vasemmalla satunnaismuuttujan Y todennäköisyysmassan pääosasta, jos ja vain jos E(X) < E(Y) ks. havainnollistusta 1 >. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 27

28 Odotusarvo Odotusarvo jakauman sijaintiparametrina 2/2 Myös jos jakauma on yksihuippuinen, mutta vino, odotusarvo kuvaa luontevalla tavalla jakauman todennäköisyysmassan pääosan sijaintia; ks. havainnollistusta 2 >. Sen sijaan, jos jakauma on monihuippuinen, jakauman todennäköisyysmassan pääosien ei tarvitse olla lähellä odotusarvoa; ks. havainnollistusta 3 >. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 28

29 Odotusarvo Odotusarvo jakauman sijaintiparametrina: Havainnollistus 1 Kuva oikealla esittää kolmen normaalijakauman N 1, N 2 ja N 3 tiheysfunktioita f 1, f 2 ja f 3. Tiheysfunktiot f 1, f 2 ja f 3 ovat yksihuippuisia ja symmetrisiä suorien x = µ 1, x = µ 2 ja x = µ 3 suhteen. Jakaumat N 2 ja N 3 saadaan siirtämällä jakauman N 1 todennäköisyysmassaa oikealle. Jakaumien N 1, N 2 ja N 3 odotusarvot µ 1, µ 2 ja µ 3 toteuttavat epäyhtälöt Jakaumien N 1, N 2 ja N 3 tiheysfunktiot f 1 f 2 f 3 µ 1 µ 2 µ 3 µ 1 < µ 2 < µ 3 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 29

30 Odotusarvo Odotusarvo jakauman sijaintiparametrina: Havainnollistus 2 Kuva oikealla esittää kahden eksponenttijakauman E 1 ja E 2 tiheysfunktioita f 1 ja f 2. Tiheysfunktiot f 1 ja f 2 ovat yksihuippuisia ja epäsymmetrisiä. Jakauman E 1 todennäköisyysmassa on keskittynyt jakauman E 2 todennäköisyysmassaa voimakkaammin origon lähelle. Jakaumien E 1 ja E 2 odotusarvot µ 1 ja µ 2 toteuttavat epäyhtälön Jakaumien E 1 ja E 2 tiheysfunktiot f 1 f 2 0 µ 1 µ 2 µ 1 < µ 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 30

31 Odotusarvo Odotusarvo jakauman sijaintiparametrina: Havainnollistus 3 Kuva oikealla esittää erään sekoitetun normaalijakauman Ntiheysfunktiotaf. Tiheysfunktio f on kaksihuippuinen ja symmetrinen suoran x = µ suhteen. Jakauman N todennäköisyysmassalla on vaaka-akselilla kaksi keskittymää. Jakauman N odotusarvo µ on todennäköisyysmassojen keskittymien välissä. Jakauman N tiheysfunktio µ TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 31

32 Odotusarvo Summan ja erotuksen odotusarvo Satunnaismuuttujien X ja Y summan X + Y odotusarvo on E( X + Y) = E( X) + E( Y) Satunnaismuuttujien X ja Y erotuksen X Y odotusarvo on E( X Y) = E( X) E( Y) Tämä merkitsee sitä, että odotusarvo on lineaarinen operaattori. Huomautus: Todistus vaatii kaksiulotteisten satunnaismuuttujien määrittelemistä ja esitetään luvussa Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 32

33 Odotusarvo Summan odotusarvo: Yleistys Olkoot X i, i = 1, 2,, n satunnaismuuttujia ja a i, i = 1, 2,, nvakioita. Satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, n painotetun summan a i X i odotusarvo on n n E ax i i = aie( Xi) i= 1 i= 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 33

34 Odotusarvo Diskreetin satunnaismuuttujan funktion odotusarvo: Määritelmä Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka pistetodennäköisyysfunktio on f(x i ) = Pr(X = x i ) = p i, i = 1, 2, 3, Olkoon g reaaliarvoinen funktio. Satunnaismuuttujan g(x) odotusarvo on vakio E( g( X )) µ g( x ) f ( x ) = = g( X) i i i TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 34

35 Odotusarvo Jatkuvan satunnaismuuttujan funktion odotusarvo: Määritelmä Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f(x) Olkoon g reaaliarvoinen funktio. Satunnaismuuttujan g(x) odotusarvo on vakio + = µ g( X) = E( g( X)) g( x) f( x) dx TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 35

36 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo >> Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit Moodi Suurten lukujen laki TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 36

37 Varianssi Varianssi: Yleinen määritelmä Olkoon satunnaismuuttujan X odotusarvo E( X ) = µ X Satunnaismuuttujan X varianssi on vakio D( X) = Var( X) = σ = E( X µ ) X X Satunnaismuuttujan X varianssi on satunnaismuuttujan X omasta odotusarvostaan µ X määrätyn poikkeaman neliön odotusarvo. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 37

38 Varianssi Diskreetin jakauman varianssi Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja. Olkoon {x 1, x 2, } satunnaismuuttujan Xtulosvaihtoehtojen eli arvojen joukko. Olkoon satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio f(x i ) = Pr(X = x i ) = p i, i = 1, 2, Tällöin satunnaismuuttujan X varianssi on vakio D ( X) = Var( X) = σ = ( x µ ) p X i X i i TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 38

39 Varianssi Jatkuvan jakauman varianssi Olkoon X on jatkuva satunnaismuuttuja. Olkoon satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f(x). Tällöin satunnaismuuttujan X varianssi on vakio D( ) = Var( ) = σ X = ( µ X) ( ) X X x f x dx TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 39

40 Varianssi Varianssin olemassaolo Jakaumalla ei välttämättä ole varianssia. Varianssin olemassaololla tarkoitetaan sitä, että varianssin määrittelevä summa (diskreetin jakauman tapauksessa) tai integraali (jatkuvan jakauman tapauksessa) on äärellinen. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 40

41 Varianssi Varianssin määritelmä: Kommentteja Varianssi kuvaa todennäköisyysmassan hajaantuneisuutta tai mikä on sama asia keskittyneisyyttä jakauman painopisteen suhteen. Jos Var(X) > Var(Y) niin satunnaismuuttujan X todennäköisyysmassa on hajaantunut voimakkaammin oman painopisteeseensä suhteen kuin satunnaismuuttujan Y todennäköisyysmassa oman painopisteeseensä suhteen. Koska varianssi kuvaa todennäköisyysmassan hajaantuneisuutta, sitä voidaan kutsua hajontaparametriksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 41

42 Varianssi Varianssi jakauman hajaantuneisuuden mittana: Esimerkki normaalijakaumista 1/2 Kuva oikealla esittää kolmen normaalijakauman N 1, N 2 ja N 3 tiheysfunktioita f 1, f 2 ja f 3. Kaikilla jakaumilla on sama odotusarvo µ. Tiheysfunktiot f 1, f 2 ja f 3 ovat yksihuippuisia ja symmetrisiä suoran x = µ suhteen. Jakaumien N 1, N 2 ja N 3 tiheysfunktiot f 1 f 2 f 3 µ TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 42

43 Varianssi Varianssi jakauman hajaantuneisuuden mittana: Esimerkki normaalijakaumista 2/2 Jakauman N 1 todennäköisyysmassa on keskittynein, kun taas jakauman N 3 todennäköisyysmassa on hajaantunein. Jakaumien varianssit toteuttavat epäyhtälöt: Var(X 1 ) < Var(X 2 ) < Var(X 3 ) Jakaumien N 1, N 2 ja N 3 tiheysfunktiot f 1 f 2 f 3 µ TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 43

44 Varianssi Varianssi: Toinen laskukaava Olkoon satunnaismuuttujan X odotusarvo E( X ) = µ Satunnaismuuttujan X varianssi voidaan laskea myös kaavalla 2 Var( X ) = α 2 µ jossa 2 α 2 = E( X ) on satunnaismuuttujan Xtoinen(origo-) momentti. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 44

45 Varianssi Varianssin toinen laskukaava: Perustelu Olkoot satunnaismuuttujan X odotusarvo E( X ) = µ ja toinen momentti 2 E( X ) = α Satunnaismuuttujan X varianssi on Var( X) = E( X µ ) 2 = X X E( 2 µ µ ) 2 2 = E( X ) 2µ E( X) + E( µ ) 2 = α 2µ µ + µ 2 2 = α µ 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 45

46 Varianssi Standardipoikkeama: Määritelmä Olkoon satunnaismuuttujan X odotusarvo E( X ) = µ X Satunnaismuuttujan X standardipoikkeama on vakio D( X) = σ = E( X µ ) X Standardipoikkeamaa käytetään samaan tapaan kuin varianssia todennäköisyysmassan hajaantuneisuuden (keskittyneisyyden) mittana. Standardipoikkeama on toisin kuin varianssi samoissa mittayksiköissä kuin odotusarvo. X 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 46

47 Varianssi Diskreetin jakauman varianssi: Esimerkki nopanheitosta 1/2 Nopanheiton tulosta satunnaisilmiönä kuvaavan diskreetin tasaisen jakauman pistetodennäköisyysfunktio: 1 P( X = i) =, i= 1,2,3,4,5,6 6 Satunnaismuuttujan X odotusarvo: E( X) = µ = ipr( X = i) = i = = 3.5 i= 1 i= Satunnaismuuttujan X toinen momentti: E( X ) = α2 = i Pr( X = i) = i i= 1 i= = = 6 6 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 47

48 Varianssi Diskreetin jakauman varianssi: Esimerkki nopanheitosta 2/2 Satunnaismuuttujan X varianssi: Var( X) = D ( X) = σ = α 2 µ = = Satunnaismuuttujan X standardipoikkeama eli keskihajonta: D( X ) = σ = TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 48

49 Varianssi Diskreetin jakauman odotusarvo ja varianssi: Laskujen järjestäminen 1/5 Nopanheiton tulosta satunnaisilmiönä kuvaavan diskreetin tasaisen jakauman odotusarvon ja varianssin määräämistä varten tarvittavat laskutoimitukset voidaan järjestää seuraavan taulukon muotoon: Keskiarvo Varianssi 1 Varianssi i x i p i x i p i 2 x i x 2 i p i x i µ (x i µ) 2 (x i µ) 2 p i 1 1 1/6 1/6 1 1/ / /6 2/6 4 4/ / /6 3/6 9 9/ / /6 4/ / / /6 5/ / / /6 6/ / /24 Σ / / /24 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 49

50 Varianssi Diskreetin jakauman odotusarvo ja varianssi: Laskujen järjestäminen 2/5 Taulukon rivillä Σ on sarakesummat riveiltä 1-6: Sarake 2: x = 21 Sarake 3: p = 1 Sarake 4: xp = µ = 21/ 6 = Sarake 5: xi = 91 2 Sarake 6: xi pi = 2 = 91/ 6 = ( xi µ ) ( xi µ ) ( x ) Sarake 7: = 0 Sarake 8: = 17.5 i i i i pi Sarake 9: µ = σ = 70/ 24 = i α TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 50

51 Varianssi Diskreetin jakauman odotusarvo ja varianssi: Laskujen järjestäminen 3/5 Satunnaismuuttujan X odotusarvon määräämistä varten tarvittavat laskutoimitukset on suoritettu sarakkeissa 2-4. Odotusarvo saadaan rivin Σ sarakkeesta 4: E( X) = µ = x p = 21/ 6 = 3.5 i i TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 51

52 Varianssi Diskreetin jakauman odotusarvo ja varianssi: Laskujen järjestäminen 4/5 Satunnaismuuttujan X varianssi voidaan määrätä kahdella eri tavalla: Kaava 1: jossa Kaava 2: 2 Var( X ) = α µ jossa µ on kuten kaavassa 1. 2 α2 = E( X ) = µ = E( X ) = i x p 2 2 i xp i Var( X ) = E( X µ ) = σ = ( x µ ) p i i i TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 52

53 Varianssi Diskreetin jakauman odotusarvo ja varianssi: Laskujen järjestäminen 5/5 Kaavan 1 vaatimat laskutoimitukset on tehty sarakkeissa 2-4 ja 5-6: E( X) = µ = x p = 21/ 6 = 3.5 i E( X ) = α = x p = 91/ 6 = i i i Kaavan 1 mukaan Var( X ) = α 2 µ = = = Kaavan 2 vaatimat laskutoimitukset on tehty sarakkeissa 2-4 ja 7-9: Var( X) = E( X µ ) = σ = ( xi µ ) pi = = Kaavan 2 soveltaminen on siinä mielessä monimutkaisempaa kuin kaavan 1 soveltaminen, että kaavassa 2 on erotuksien (x i µ) määräämiseksi ensin määrättävä odotusarvo µ TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 53

54 Varianssi Jatkuvan jakauman odotusarvo ja varianssi: Esimerkki tasaisesta jakaumasta 1/2 Erään jatkuvan tasaisen jakauman tiheysfunktio: 1, 0 x b f( x) = b 0, muulloin Satunnaismuuttujan X odotusarvo: b E( X) = µ = xf( x) dx= x dx= x b = 2b Satunnaismuuttujan X toinen momentti: + b + b 3 b x b = α2 = = = b 3b = E( X ) x f( x) dx x dx b TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 54

55 Varianssi Jatkuvan jakauman odotusarvo ja varianssi: Esimerkki tasaisesta jakaumasta 2/2 Satunnaismuuttujan X varianssi: Satunnaismuuttujan X standardipoikkeama: b b b Var( X) = D ( X) = σ = α 2 µ = = b b D( X ) = σ = = TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 55

56 Varianssi Vakion varianssi Olkoon a ei-satunnainen vakio. Vakion varianssi on nolla: Var( a ) = 0 Tulkinta: Vakio ei vaihtele satunnaiskokeesta toiseen. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 56

57 Varianssi Vakion varianssi: Perustelu Väite: Vakiolle a pätee Var(a) = 0 Perustelu: ( ) 2 2 Var( a) = E a E( a) = E( a a) = E(0) = 0 koska vakiolle a pätee: E(a) = a TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 57

58 Varianssi Lineaarimuunnoksen varianssi Olkoon satunnaismuuttujan X varianssi Var(X). Satunnaismuuttujan X lineaarimuunnoksen Y = a + bx (a ja b vakiota) varianssi on 2 Var( Y) = b Var( X) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 58

59 Varianssi Lineaarimuunnoksen varianssi: Perustelu Väite: Lineaarimuunnokselle Y = a + bx pätee Var(Y) = b 2 Var(X). Perustelu: [ a bx a b X ] [ bx b X 2 ] E[ E( 2 )] 2 b X X 2 ( ) Var( Y) = Var( a+ bx) = E ( a+ bx) E a+ bx 2 = E + E( ) = E E( ) = = b Var( X) 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 59

60 Varianssi Lineaarimuunnoksen varianssi: Kommentteja Satunnaismuuttujan X kertominen vakiolla b merkitsee satunnaismuuttujan X saamien arvojen mittakaavan muuttamista. Satunnaismuuttujan X saamien arvojen mittakaavan muuttaminen verrannollisuuskertoimella b muuttaa satunnaismuuttujan X varianssia kertoimella b 2. Vakion a lisääminen satunnaismuuttujaan X merkitsee satunnaismuuttujan X jakauman todennäköisyysmassan siirtoa. Todennäköisyysmassan siirtäminen ei muuta todennäköisyysmassan hajaantuneisuutta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 60

61 Varianssi Standardointi Olkoon X satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo E(X) = µ ja varianssi D 2 (X) = σ 2. Tällöin standardoidun satunnaismuuttujan X µ Z = σ odotusarvo E( Z ) = 0 ja varianssi 2 D( Z ) = 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 61

62 Varianssi Standardointi: Perustelu Olkoot E(X) = µ ja D 2 (X) = σ 2. Standardoidaan satunnaismuuttuja X: X µ Z = σ Tällöin 1 µ 1 µ 1 µ E( Z) = E X = E( X) = µ = 0 σ σ σ σ σ σ µ D( Z) = D X = D( X) = σ = σ σ σ σ TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 62

63 Varianssi Summan ja erotuksen varianssi 1/2 Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia. Tarkastellaan satunnaismuuttujien X ja YsummanX+ Y ja erotuksen X Y varianssia. Huomautus: Satunnaismuuttujien X ja Y riippumattomuudella tarkoitetaan seuraavaa: Se, mitä arvoja satunnaismuuttuja X saa, ei saa riippua siitä, mitä arvoja satunnaismuuttuja Y saa ja kääntäen, se, mitä arvoja satunnaismuuttuja Y saa, ei saa riippua siitä, mitä arvoja satunnaismuuttuja X saa; käsite täsmennetään luvussa Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 63

64 Varianssi Summan ja erotuksen varianssi 2/2 Riippumattomien satunnaismuuttujien X ja Y summan X + Y varianssi on Var( X + Y) = Var( X) + Var( Y) Riippumattomien satunnaismuuttujien X ja Y erotuksen X Y varianssi on Var( X Y) = Var( X) + Var( Y) Huomautus: Todistus vaatii kaksiulotteisen satunnaismuuttujan määrittelemistä ja esitetään luvussa Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 64

65 Varianssi Summan ja erotuksen varianssi: Kommentteja Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia. Tällöin satunnaismuuttujien X ja Ysummanja erotuksen varianssille pätee Var( X ± Y) = Var( X) + Var( Y) Huomaa: Var( X Y) Var( X) Var( Y) D( X + Y) D( X) + D( Y) D( X Y) D( X) D( Y) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 65

66 Varianssi Summan varianssi: Yleistys Olkoot satunnaismuuttujat X i, i = 1, 2,, n riippumattomia ja a i, i = 1, 2,, n vakioita. Tällöin satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, n painotetun summan a i X i varianssi on = n n 2 Var ax i i ai Var( Xi) i= 1 i= 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 66

67 Varianssi Empiirinen jakauma 1/3 Oletetaan, että diskreetin satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot ovat x i, i = 1, 2,, n Liitetään satunnaismuuttujan X arvoihin symmetriset todennäköisyydet 1 Pr( X = xi) = pi =, i= 1,2,, n n Otannan perustyypissä, yksinkertaisessa satunnaisotannassa, havaintoarvot x i noudattavat tätä, ns. empiiristä jakaumaa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 67

68 Varianssi Empiirinen jakauma 2/3 Suoraan diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvon ja varianssin määritelmistä saadaan: n n 1 E( X) = µ = xipi = xi = x i= 1 n i= 1 n n E( X ) = α2 = xi pi = xi i= 1 n i= 1 n n 1 Var( X) = D ( X) = σ = ( xi µ ) pi = ( xi x) n i= 1 i= 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 68

69 Varianssi Empiirinen jakauma 3/3 Huomaa, että odotusarvo n 1 E( X) = µ = x = xi n i= 1 on lukujen x i aritmeettinen keskiarvo ja n 1 Var( X) = D ( X) = σ = ( xi x) n on lukujen x i ns. otosvarianssi. i= 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 69

70 Varianssi Aritmeettisen keskiarvon odotusarvo ja varianssi 1/2 Olkoot X i, i = 1, 2,, n riippumattomia satunnaismuuttujia. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujilla X i, i = 1, 2,, n on sama odotusarvo ja varianssi: Olkoon 2 2 E( i) = µ, D ( i) = σ, = 1,2,, X X X i n 1 n Xi n i = 1 = satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, n aritmeettinen keskiarvo. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 70

71 Varianssi Aritmeettisen keskiarvon odotusarvo ja varianssi 2/2 Tällöin E( X ) = 2 D( X ) µ 2 σ = n Huomautuksia: Satunnaismuuttujien X i aritmeettisen keskiarvon odotusarvo on sama kuin yksittäisten muuttujien yhteinen odotusarvo. Satunnaismuuttujien X i aritmeettinen keskiarvo vaihtelee varianssilla mitattuna vähemmän kuin muuttujat itse. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 71

72 Varianssi Aritmeettisen keskiarvon odotusarvo ja varianssi: Perustelu Olkoot X i, i = 1, 2,, n riippumattomia satunnaismuuttujia, joille 2 2 E( i) = µ, D ( i) = σ, = 1,2,, X X i n Tällöin E( X) = E Xi E Xi E( Xi) n = i n = i n i 1 1 = µ = nµ = µ n i n D( X ) = D X = D X = D X ( ) i 2 i 2 i n i n i n i σ = σ nσ 2 = = 2 n i n n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 72

73 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi >> Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit Moodi Suurten lukujen laki TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 73

74 Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Markovin epäyhtälö Olkoon g(x) satunnaismuuttujan X positiivinen reaaliarvoinen funktio, jonka odotusarvo on E(g(X)) Tällöin jokaiselle reaaliselle vakiolle a > 0 pätee Markovin epäyhtälö ( g X a) Pr ( ) E( g( X)) a TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 74

75 Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Markovin epäyhtälö: Todistus Todistetaan Markovin epäyhtälön jatkuvien satunnaismuuttujien tapauksessa. Olkoon g(x) satunnaismuuttujan X positiivinen reaaliarvoinen funktio, jonka odotusarvo on E(g(X)). Olkoon satunnaismuuttujan Xtiheysfunktiof(x) ja olkoon a >0 vakio. Markovin epäyhtälö saadaan epäyhtälöketjusta jossa + E( g( X)) = g( x) f( x) dx a S f( x) dx = apr( g( X) a) { ( ) } S = x g x a TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 75

76 Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Markovin epäyhtälö: Kommentteja 1/2 Markovin epäyhtälön E( g( X)) Pr ( g( X) a) a mukaan todennäköisyys sille, että mielivaltaisen satunnaismuuttujan X (jolle odotusarvo E(g(X)) on olemassa) positiivinen funktio g(x) saa suurempia arvoja kuin a > 0, on korkeintaan E( ( )) g X a TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 76

77 Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Markovin epäyhtälö: Kommentteja 2/2 Markovin epäyhtälön erikoistapauksena saadaan positiivisille satunnaismuuttujille X epäyhtälö E( X ) Pr( X a) a jossa a > 0. Siten mielivaltaisen positiivisen satunnaismuuttujan (jonka odotusarvo E(X) on olemassa) todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassasta korkeintaan E( X ) 100 % a on etäisyyttä a > 0 kauempana origosta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 77

78 Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Tshebyshevin epäyhtälö Olkoon X satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on E(X) = µ ja varianssi on Var(X) = σ 2 Tällöin pätee Tshebyshevin epäyhtälö 1 k ( µ σ) 2 Pr X k TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 78

79 Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Tshebyshevin epäyhtälö: Todistus Todistetaan Tshebyshevin epäyhtälön jatkuvien satunnaismuuttujien tapauksessa. Olkoon Xjatkuvasatunnaismuuttuja. Olkoon satunnaismuuttujan Xtiheysfunktiof(x), sen odotusarvo E(X) = µ ja varianssi Var(X) = σ 2 sekä olkoon k > 0 vakio. Tshebyshevin epäyhtälö seuraa Markovin epäyhtälöstä E( g( X)) Pr ( g( X) a) a valitsemalla 2 gx ( ) = ( x µ ) ; µ = E( X) σ ; σ Var( ) E[ ( )] a= k = X = g X TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 79

80 Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Tshebyshevin epäyhtälö: Kommentteja 1/3 Tshebyshevin epäyhtälön 1 Pr( X µ kσ) 2 k mukaan mielivaltaisen satunnaismuuttujan X (jonka odotusarvo E(X) = µ ja varianssi Var(X) = σ 2 ovat olemassa) todennäköisyysmassasta korkeintaan % 2 k on etäisyyttä kσ kauempana jakauman painopisteestä µ. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 80

81 Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Tshebyshevin epäyhtälö: Kommentteja 2/3 Jos X on mielivaltainen satunnaismuuttuja, jolla on odotusarvo ja varianssi, Tshebyshevin epäyhtälö antaa absoluuttisen ylärajan satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman häntäalueiden todennäköisyysmassan osuudelle. Jos satunnaismuuttujan X jakauma spesifioidaan tarkemmin, häntäalueiden todennäköisyysmassan osuudesta voidaan antaa tarkempia arvioita. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 81

82 Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Tshebyshevin epäyhtälö: Kommentteja 3/3 Esimerkki: Tshebyshevin epäyhtälön mukaan kaikille satunnaismuuttujille X, joilla on odotusarvo E(X) = µ ja varianssi Var(X) = σ 2, pätee 1 Pr( X µ 3σ) 9 Jos tiedämme, että X noudattaa normaalijakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia), saadaan (esimerkiksi normaalijakaumien taulukoiden avulla) tarkempi tulos: ( X µ σ) Pr % TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 82

83 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt >> Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit Moodi Suurten lukujen laki TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 83

84 Momentit Origomomentit Olkoon X satunnaismuuttuja. Tällöin satunnaismuuttujan X k odotusarvo k E( X ) = α k on satunnaismuuttujan X k. momentti eli k. momentti origon suhteen. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 84

85 Momentit Origomomentit: Erikoistapauksia Olkoon k E( X ) = α k satunnaismuuttujan X k. momentti Erityisesti: α0 = 1 α 1 = E( X ) = µ Siten satunnaismuuttujan X 1. momentti on satunnaismuuttujan X odotusarvo. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 85

86 Momentit Keskusmomentit Olkoon X satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on E( X ) = µ Tällöin satunnaismuuttujan ( X µ ) k odotusarvo E ( X µ ) k = µ k on satunnaismuuttujan X k. keskusmomentti eli k. momentti painopisteen µ suhteen. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 86

87 Momentit Keskusmomentit: Erikoistapauksia Olkoon E ( X µ ) k = µ k satunnaismuuttujan X k. keskusmomentti eli k. momentti painopisteen µ suhteen. Erityisesti: µ = µ 2 = E ( X µ ) = σ = Var( X) = D ( X) Siten satunnaismuuttujan X 1. keskusmomentti häviää aina ja 2. keskusmomentti on satunnaismuuttujan X varianssi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 87

88 Momentit Momenttien olemassaolo Satunnaismuuttujan X k. origomomentti on olemassa, jos k E( X ) < Satunnaismuuttujan X k. keskusmomentti on olemassa, jos vastaava origomomentti on olemassa. Voidaan osoittaa, että jos n E( X ) < jollekin n, niin k E( X ) < kaikille k < n Jos siis satunnaismuuttujalla on n. origomomentti, sillä on myös kaikki alempien kertalukujen momentit. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 88

89 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit >> Vinous ja huipukkuus Kvantiilit Moodi Suurten lukujen laki TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 89

90 Vinous ja huipukkuus Momentit Olkoon on α E( k k = X ), k = 1,2,3, satunnaismuuttujan X k. origomomentti. Olkoon k µ k = E ( X α1), k = 1,2,3, satunnaismuuttujan X k. keskusmomentti. Huomaa: α = E( X ) = µ 1 µ 2 = µ = 2 E ( X ) Var( X) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 90

91 Vinous ja huipukkuus Vinous Tunnuslukua µ 3 γ 1 = 32 µ 2 käytetään todennäköisyysjakaumien vinouden mittana. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 91

92 Vinous ja huipukkuus Todennäköisyysjakaumien vinous Jos todennäköisyysjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio on yksihuippuinen, pätee seuraava: γ 1 < 0: Jakauma on negatiivisesti vino eli vino vasemmalle, jolloin jakauman vasen häntä on pitempi kuin oikea häntä. γ 1 = 0: Jakauma on symmetrinen. γ 1 > 0: Jakauma on positiivisesti vino eli vino oikealle, jolloin jakauman oikea häntä on pitempi kuin vasen häntä. Huomautus: Normaalijakaumalle γ 1 = 0. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 92

93 Vinous ja huipukkuus Todennäköisyysjakaumien vinous: Havainnollistus Alla on kuvattuna kolme yksihuippuista tiheysfunktiota. 10 χ 2 (5) N(0,1) χ 2 (5) γ 1 < 0: Jakauma on negatiivisesti vino eli vino vasemmalle. γ 1 = 0: Jakauma on symmetrinen. γ 1 > 0: Jakauma on positiivisesti vino eli vino oikealle. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 93

94 Vinous ja huipukkuus Huipukkuus Tunnuslukua µ 4 γ 2 = 3 2 µ 2 käytetään todennäköisyysjakaumien huipukkuuden mittana. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 94

95 Vinous ja huipukkuus Todennäköisyysjakaumien huipukkuus Jos todennäköisyysjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio on yksihuippuinen, pätee seuraava: γ 2 > 0: Jakauma on huipukas (normaalijakaumaan verrattuna). γ 2 = 0: Jakauma on yhtä huipukas kuin normaalijakauma. γ 2 < 0: Jakauma on laakea (normaalijakaumaan verrattuna). Huomautus: Normaalijakaumalle γ 2 = 0. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 95

96 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus >> Kvantiilit Moodi Suurten lukujen laki TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 96

97 Kvantiilit Kvantiilin määritelmä Olkoon X satunnaismuuttuja. Olkoon lisäksi 0 < p < 1 Jos luku x p toteuttaa ehdot Pr(X x p ) p Pr(X x p ) 1 p sanomme, että x p on satunnaismuuttujan X ja sen jakauman kvantiili kertalukua p. Kvantiili x p toteuttaa siis epäyhtälöt Pr(X < x p ) p Pr(X x p ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 97

98 Kvantiilit Kvantiilin määritelmä: Kommentteja Kvantiilit voidaan määrätä myös sellaisille satunnaismuuttujille, joilla ei ole momentteja. Kvantiilit eivät välttämättä ole yksikäsitteisiä: (i) Diskreettien satunnaismuuttujien kvantiilit ovat usein monikäsitteisiä. (ii) Jatkuvien satunnaismuuttujien kvantiilit ovat yksikäsitteisiä; ks. seuraavaa kalvoa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 98

99 Kvantiilit Jatkuvan satunnaismuuttujan kvantiilit Olkoon F(x) = Pr(X x) jatkuvan satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X kvantiili x p toteuttaa yhtälön F(x p ) = p Kvantiili x p jakaa satunnaismuuttujan X jakauman todennäköisyysmassan kahteen osaan niin, että massasta p 100 % on kvantiilista x p vasemmalla ja (1 p) 100 % on kvantiilista x p oikealla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 99

100 Kvantiilit Jatkuvan satunnaismuuttujan kvantiilit: Esimerkki 1/2 Kuva oikealla esittää standardoidun normaalijakauman N(0, 1) kertymäfunktiota Φ(z). Standardoidun normaalijakauman N(0, 1) taulukoiden mukaan: Φ (0.52) = Pr( Z 0.52) 0.7 Siten x N(0, 1)-jakauman kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 100

101 Kvantiilit Jatkuvan satunnaismuuttujan kvantiilit: Esimerkki 2/2 Kuva oikealla esittää standardoidun normaalijakauman N(0, 1) tiheysfunktiota. Standardoidun normaalijakauman N(0, 1) taulukoiden mukaan: Alueen A pinta-ala = Siten x f Z ( z) dz = Pr( Z 0.52) N(0, 1)-jakauman tiheysfunktio A TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 101

102 Kvantiilit Kvantiilit ja tilastolliset taulukot Useimmissa todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen oppikirjoissa on taulukoituna keskeisten tilastollisessa päättelyssä käytettävien jatkuvien jakaumien (standardoitu normaalijakauma N(0,1), χ 2 -, t-ja F-jakaumat) kvantiileja x p ja niitä vastaavia todennäköisyyksiä p. Useimmissa tilastollisissa tietokoneohjelmissa on aliohjelmia, jotka laskevat tavallisimpien jatkuvien jakaumien kvantiileja x p ja niitä vastaavia todennäköisyyksiä p. Lisätietoja: ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 102

103 Kvantiilit Prosenttipisteet Jos p on muotoa p = q/100, q = 1, 2,, 99 kvantiilia x p kutsutaan q. prosenttipisteeksi. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa q. prosenttipiste jakaa jakauman todennäköisyysmassan kahteen osaan niin, että massasta q % on q. prosenttipisteestä vasemmalla ja (100 q)% on q. prosenttipisteestä oikealla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 103

104 Kvantiilit Desiilit Jos p on muotoa p = 10 q/100, q = 1, 2,, 9 kvantiilia x p kutsutaan q. desiiliksi. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa q. desiili jakaa jakauman todennäköisyysmassan kahteen osaan niin, että massasta 10 q % on q. desiilistä vasemmalla ja ( q)% on q. desiilistä oikealla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 104

105 Kvantiilit Kvartiilit 1/2 Jos p on muotoa p = 25 q/100, q = 1, 2, 3 kvantiilia x p kutsutaan q. kvartiiliksi. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa q. kvartiili jakaa satunnaismuuttujan X jakauman todennäköisyysmassan kahteen osaan niin, että massasta 25 q % on q. kvartiilista vasemmalla ja ( q)% on q. kvartiilista oikealla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 105

106 Kvantiilit Kvartiilit 2/2 Kvartiileja merkitään tavallisesti symboleilla Q 1, Q 2, Q 3 ja sanotaan, että Q 1 = alakvartiili Q 2 = keskikvartiili Q 3 = yläkvartiili Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa kvartiilit jakavat jakauman todennäköisyysmassan neljään yhtä suureen osaan: 25 % massasta on kvartiilista Q 1 vasemmalle 25 % massasta on kvartiilien Q 1 ja Q 2 välissä 25 % massasta on kvartiilien Q 2 ja Q 3 välissä 25 % massasta on kvartiilista Q 3 oikealle TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 106

107 Kvantiilit Mediaani Jos p = 0.5 kvantiilia x p kutsutaan mediaaniksi. Mediaania merkitään tavallisesti symbolilla Me. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa mediaani Me jakaa jakauman todennäköisyysmassan kahteen yhtä suureen osaan niin, että massasta 50 % on mediaanista vasemmalla ja 50 % on mediaanista oikealla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 107

108 Kvantiilit Mediaani: Kommentteja Jakauman mediaani ei välttämättä ole yksikäsitteinen. Jakauman mediaani yhtyy jakauman 50. prosenttipisteeseen, 5. desiiliin ja keskikvartiiliin Q 2. Mediaani voidaan määrätä myös sellaisille satunnaismuuttujille, joilla ei ole odotusarvoa. Jos satunnaismuuttujan X jakauma on symmetrinen suoran x = a suhteen, niin jakauman mediaani yhtyy pisteeseen a: Me = a Jos symmetrisellä jakaumalla on odotusarvo E(X) = µ, niin jakauman mediaani yhtyy pisteeseen µ: Me = µ TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 108

109 Kvantiilit Mediaani: Esimerkki Kuva oikealla esittää eksponenttijakauman Exp(1) tiheysfunktiota x f ( x) = e, x 0 välillä [0, 4]. Jakauman mediaani saadaan ratkaisemalla yhtälö x t e dt 0 = e t x = 1 e = 0.5 x:n suhteen. Siten Me = x = log(2) 0.69 x Exp(1)-jakauman tiheysfunktio 50 % 50 % Me TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 109

110 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit >> Moodi Suurten lukujen laki TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 110

111 Moodi Diskreetin satunnaismuuttujan moodi Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka pistetodennäköisyysfunktio on f(x) = Pr(X = x) Piste Mo on diskreetin satunnaismuuttujan X ja sen jakauman moodi, jos pistetodennäköisyysfunktio f(x) saavuttaa maksiminsa pisteessä x = Mo: f ( Mo) = max f ( x) x TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 111

112 Moodi Diskreetin satunnaismuuttujan moodi: Esimerkki Kuva oikealla esittää binomijakauman Bin(12, 1/3) pistetodennäköisyysfunktiota x 12 x f( x) = x 3 3 Jakauman moodi Mo on pisteessä x= Bin(12,1/3)-jakauman tiheysfunktio Mo TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 112

113 Moodi Jatkuvan satunnaismuuttujan moodi Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f(x) Piste Mo on jatkuvan satunnaismuuttujan X ja sen jakauman moodi, jos tiheysfunktio f(x) saavuttaa maksiminsa pisteessä x = Mo: f ( Mo) = max f ( x) x TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 113

114 Moodi Jatkuvan satunnaismuuttujan moodi: Esimerkki Kuva oikealla esittää erään sekoitetun normaalijakauman Ntiheysfunktiotaf. Tiheysfunktio f on kaksihuippuinen ja symmetrinen suoran x = µ suhteen. Jakaumalla N on kaksi lokaalia moodia Mo 1 ja Mo 2. Jakauman N tiheysfunktio Mo 1 µ Mo 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 114

115 Moodi Satunnaismuuttujan moodi: Kommentteja Jakauman moodi ei välttämättä ole yksikäsitteinen; ks. edellistä kalvoa. Moodi voidaan määrätä myös sellaisille satunnaismuuttujille, joilla ei ole odotusarvoa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 115

116 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit Moodi >> Suurten lukujen laki TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 116

117 Suurten lukujen laki Suurten lukujen laki: Formulointi Olkoon X i, i = 1, 2, 3, jono riippumattomia satunnaismuuttujia, joilla on sama odotusarvo ja varianssi: E(X i ) = µ, D 2 (X i ) = σ 2, i = 1, 2, 3, Määritellään satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, n aritmeettinen keskiarvo: X n Tällöin pätee (heikko) suurten lukujen laki: ( X µ ε ) lim Pr > = 0 n + 1 n n i = 1 = X n i TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 117

118 Suurten lukujen laki Suurten lukujen laki: Kommentteja 1/2 Suurten lukujen laille esitetään todistus luvussa Stokastiikan konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Suurten lukujen laki ilmaistaan usein sanoin seuraavasti: Samoin jakautuneiden satunnaismuuttujien aritmeettinen keskiarvo lähestyy muuttujien lukumäärän kasvaessa muuttujien yhteistä odotusarvoa sellaisella tavalla, että poikkeamien todennäköisyys satunnaismuuttujien yhteisestä odotusarvosta lähestyy lukua nolla eli poikkeamat tulevat yhä harvinaisemmiksi. Suurten lukujen lakia voidaan pitää matemaattisena formulointina tilastollisen stabiliteetin käsitteelle. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 118

119 Suurten lukujen laki Suurten lukujen laki: Kommentteja 2/2 Tässä formuloitua suurten lukujen lakia kutsutaan heikoksi suurten lukujen laiksi. Suurten lukujen laki koskee satunnaismuuttujien asymptoottista käyttäytymistä samaan tapaan kuin luvussa Jatkuvia jakaumia esitettävä keskeinen rajaarvolause. Suurten lukujen laissa esiintyvä rajakäyttäytymisen muoto on esimerkki stokastiikan konvergenssikäsitteistä; ks. lukua Stokastiikan konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Suurten lukujen laista on olemassa yleisempiä muotoja, joissa voidaan lieventää samoinjakautuneisuus-ja riippumattomuusoletuksia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 119

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I β versio Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I TKK @ Ilkka Mellin (2006) II Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot todennäköisyyslaskennasta.

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Havaintoarvojen jakauma Tunnusluvut Suhdeasteikollisten muuttujien tunnusluvut

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kuvaaminen

Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastollisten aineistojen kuvaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastollisten aineistojen kuvaaminen >> Havaintoarvojen jakauma Tunnusluvut Suhdeasteikollisten

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teemassa 6 tutustuttiin todennäköisyyden ja satunnaisuuden käsitteisiin sekä todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Seuraavaksi tätä aihepiiriä syvennetään perehtymällä

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta

Todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I Ilkka Mellin II Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot todennäköisyyslaskennasta. Monisteen ensisijaisena tavoitteena on

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 5 (vko 4/003) (Aihe: jatkuvia satunnaismuuttujia ja jakaumia, sekamalli, Laininen luvut 5.1 5.7, 6.1 6.3)

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita 11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden

Lisätiedot

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka 3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt

Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Motivointi Kahdella edellisellä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot