D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]"

Transkriptio

1 Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio, Negatiivinen binomijakauma, Odotusarvo, Otanta, Otanta palauttaen, Otanta palauttamatta, Otantasuhde, Pistetodennäköisyysfunktio, Poissonjakauma, Standardipoikkeama, Varianssi Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Olkoon diskreetti satunnaismuuttuja, jonka mahdolliset arvot ovat x, x 2,, x n Oletetaan, että satunnaismuuttujan mahdollisiin arvoihin x, x 2,, x n liittyvät todennäköisyydet ovat yhtä suuria: Pr( = xi ) =, i =,2,, n n Tällöin satunnaismuuttuja noudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa, jonka pistetodennäköisyysfunktio on f ( xi) = Pr( = xi) = pi =, i=,2,, n n Diskreetin tasaisen jakauman tunnusluvut Odotusarvo: 2. momentti: Varianssi: n E( ) = µ = x = xi n E( ) Standardipoikkeama: n 2 2 = xi n i = i= D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] n = = σ = xi x = n i= n D( ) = σ = ( xi x) n i= 2 Ilkka Mellin (2008) /27

2 Bernoulli-jakauma Olkoon A otosavaruuden S tapahtuma ja olkoon Pr(A) = p Tällöin tapahtuman A komplementtitapahtuman (= tapahtuma A ei satu) A c todennäköisyys on Pr(A c ) = p = q Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja seuraavalla tavalla:, jos tapahtuma A sattuu = 0, jos tapahtuma A ei satu Tällöin satunnaismuuttujan jakauma on Pr( = ) = p Pr( = 0) = p = q ja satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio on f x p q p q p x x x ( ) =,0< <, =, = 0, Sanomme, että satunnaismuuttuja noudattaa Bernoulli-jakaumaa parametrilla p ja käytämme tästä merkintää: Bernoulli( p) Bernoulli-kokeet ja diskreetit todennäköisyysjakaumat Toistetaan toisistaan riippumatta samaa Bernoulli-koetta ja tarkastellaan tapahtuman A sattumista toistojen aikana. (i) Binomijakauma saadaan määräämällä todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu x kertaa, kun koetta toistetaan n kertaa. (ii) Geometrinen jakauma saadaan määräämällä todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu ensimmäisen kerran x:ssä koetoistossa. (iii) Negatiivinen binomijakauma saadaan määräämällä todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu r. kerran x:ssä koetoistossa. (iv) Poisson-jakauma voidaan johtaa binomijakauman raja-arvona, kun koetoistojen lukumäärän annetaan tiettyjen ehtojen vallitessa kasvaa rajatta. Siten Poisson-jakauma kuvaa harvinaisten tapahtumien todennäköisyyksiä pitkissä toistokoesarjoissa. Binomijakauma Olkoon A otosavaruuden S tapahtuma ja olkoon Pr(A) = p Tällöin tapahtuman A komplementtitapahtuman (A ei tapahdu) A c todennäköisyys on Pr(A c ) = p = q Toistetaan sitä satunnaiskoetta, jonka tulosvaihtoehtoja otosavaruus S kuvaa n kertaa, n on kiinteä (ei-satunnainen), ennen koetoistojen tekemistä päätetty luku. Oletetaan lisäksi, että koetoistot ovat toisistaan riippumattomia. Ilkka Mellin (2008) 2/27

3 Olkoon diskreetti satunnaismuuttuja, joka kuvaa tapahtuman A esiintymiskertojen lukumäärää koetoistojen joukossa. Tällöin satunnaismuuttuja noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p: Bin( np, ) ja sen pistetodennäköisyysfunktio on n x n x f ( x) = Pr( = x) = p q, 0 < p<, q= p, x= 0,, 2,, n x Binomijakauman tunnusluvut Odotusarvo: E( ) = µ = np Varianssi: 2 2 D( ) = Var( ) = σ = npq Standardipoikkeama: D( ) = σ = npq Binomijakauma ja Bernoulli-jakauma Olkoot, 2,, n ovat riippumattomia, samaa Bernoulli-jakaumaa Bernoulli(p) noudattavia diskreettejä satunnaismuuttujia:, 2,, n Bernoulli( p), i =, 2,, n Tällöin diskreetti satunnaismuuttuja i n = i= noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p: Bin( np, ) i Binomijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma Olkoot, 2,, n ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat binomijakaumia parametrein (n, p), (n 2, p),, (n k, p):, 2,, k Bin( n, p), i =, 2,, k i i Ilkka Mellin (2008) 3/27

4 Tällöin diskreetti satunnaismuuttuja k = i= i noudattaa binomijakaumaa parametrein n = n + n n k ja p: Bin( np, ) Geometrinen jakauma Olkoon A otosavaruuden S tapahtuma ja olkoon Pr(A) = p Tällöin tapahtuman A komplementtitapahtuman (A ei tapahdu) A c todennäköisyys on Pr(A c ) = p = q Toistetaan sitä satunnaiskoetta, jonka tulosvaihtoehtoja otosavaruus S kuvaa kunnes tapahtuma A havaitaan. kerran. Oletetaan lisäksi, että koetoistot ovat toisistaan riippumattomia. Olkoon diskreetti satunnaismuuttuja, joka kuvaa tehtyjen koetoistojen lukumäärää, kun tapahtuma A havaitaan. kerran. Tällöin satunnaismuuttuja noudattaa geometrista jakaumaa parametrilla p: Geom( p) ja sen pistetodennäköisyysfunktio on x f( x) = Pr( = x) = q p,0< p<, q= p, x=,2,3, Satunnaismuuttujan kertymäfunktio on [ ] F( x) = Pr( x) = ( p) x [x] = suurin kokonaisluku, joka x Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan mukaan Pr( > x) = Pr( x) = F( x) = ( p) x Geometrisen jakauman tunnusluvut Odotusarvo: Varianssi: E( ) = µ = p 2 2 q D( ) = Var( ) = σ = p 2 [ ] Ilkka Mellin (2008) 4/27

5 Standardipoikkeama: D( ) = σ = q p Negatiivinen binomijakauma Olkoon A otosavaruuden S tapahtuma ja olkoon Pr(A) = p Tällöin tapahtuman A komplementtitapahtuman (A ei tapahdu) A c todennäköisyys on Pr(A c ) = p = q Toistetaan sitä satunnaiskoetta, jonka tulosvaihtoehtoja otosavaruus S kuvaa kunnes tapahtuma A havaitaan r. kerran. Oletetaan lisäksi, että koetoistot ovat toisistaan riippumattomia. Olkoon diskreetti satunnaismuuttuja, joka kuvaa tehtyjen koetoistojen lukumäärää, kun tapahtuma A havaitaan r. kerran. Tällöin satunnaismuuttuja noudattaa negatiivista binomijakaumaa parametrein r ja p: NegBin( r, p) ja sen pistetodennäköisyysfunktio on x x r r f ( x) = Pr( = x) = q p,0< p<, q= p r r =, 2, 3, ; x= r, r+, r+ 2, Negatiivisen binomijakauman tunnusluvut Odotusarvo: r E( ) = µ = p Varianssi: 2 2 rq D( ) = Var( ) = σ = 2 p Standardipoikkeama: D( ) = σ = rq p Hypergeometrinen jakauma Olkoon perusjoukon S alkioiden lukumäärä n(s) = N Ilkka Mellin (2008) 5/27

6 Tarkastellaan perusjoukon S ositusta joukkoon A ja sen komplementtiin A c ja olkoon n(a) = r n(a c ) = N r Valitaan perusjoukosta S satunnaisesti osajoukko B ja olkoon n(b) = n Perusjoukon S ositus joukoiksi A ja A c indusoi joukon B osituksen joukoiksi B A ja B A c ; ks. kuvaa oikealla. Olkoon diskreetti satunnaismuuttuja, joka kuvaa joukossa B olevien joukon A (eli joukon B A) alkioiden lukumäärää. Tällöin satunnaismuuttuja noudattaa hypergeometrista jakaumaa parametrein N, r ja n: HyperGeom( Nrn,, ) ja sen pistetodennäköisyysfunktio on r N r x n x f ( x) = Pr( = x) =,max[0, n ( N r)] x min( n, r) N n Hypergeometrisen jakauman tunnusluvut Odotusarvo: Varianssi: r E( ) = µ = n N 2 2 r r N n D( ) = Var( ) = σ = n N N N Standardipoikkeama: r r N n D( ) = σ = n N N N Hypergeometrisen jakauman ja binomijakauman yhteys Hypergeometrista jakaumaa voidaan approksimoida binomijakaumalla, jos otantasuhde n/n n = n(b) = otoskoko N = n(s) = perusjoukon koko on kyllin pieni. Näin on käytännössä, jos Ilkka Mellin (2008) 6/27

7 n/n < 0.05 Huomaa, että jos perusjoukon S koko N lähestyy on ääretöntä, otantasuhde konvergoi nollaa kohden ja siten hypergeometrinen jakauma lähestyy binomijakaumaa. Otanta takaisinpanolla ja ilman takaisinpanoa Poimitaan perusjoukosta satunnaisesti otos (osajoukko) arpomalla alkiot perusjoukosta otokseen yksi kerrallaan. Otoksen poiminta voidaan toteuttaa joko palauttamalla (eli takaisinpanolla) tai palauttamatta (ilman takaisinpanoa): (i) Otannassa palauttaen perusjoukon alkiot arvotaan otokseen yksi kerrallaan niin, että alkiot palautetaan välittömästi jokaisen arpomisen jälkeen takaisin perusjoukkoon, jolloin sama alkio voi tulla poimituksi otokseen useita kertoja. (ii) Otannassa palauttamatta alkiot arvotaan otokseen yksi kerrallaan niin, että alkioita ei palauteta arpomisen jälkeen takaisin perusjoukkoon, jolloin sama alkio voi tulla poimituksi otokseen vain kerran. Olkoon perusjoukon S koko N = n(s) Tarkastellaan perusjoukon S osajoukkoa A, jonka koko on r = n(a) Poimitaan perusjoukosta S satunnaisesti osajoukko B, jonka koko on n = n(b) Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja = A-tyyppisten alkioiden lukumäärä otoksessa B Jos otos poimitaan perusjoukosta palauttaen eli takaisinpanolla, satunnaismuuttuja noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p: Bin( np, ) Jos otos poimitaan perusjoukosta palauttamatta eli ilman takaisinpanoa, satunnaismuuttuja noudattaa hypergeometrista jakaumaa parametrein N, r ja n: HyperGeom( Nrn,, ) Poisson-jakauma Toistetaan samaa satunnaiskoetta ja oletetaan, että toistot ovat toisistaan riippumattomia. Tarkastellaan jonkin tapahtuman A sattumista toistojen aikana. Oletetaan, että tapahtuman A tapahtumaintensiteetti eli keskimääräinen lukumäärä aika- (tai tilavuus-) yksikköä kohden on λ. Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja : = Tapahtuman A esiintymisten lukumäärä aika- (tai tilavuus-) yksikköä kohden Tietyin oletuksin satunnaismuuttuja noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla λs: Poisson(λs) Ilkka Mellin (2008) 7/27

8 s = ajanjakson pituus aikayksiköissä (tilavuusyksiköiden lukumäärä) λ = tapahtuman A esiintymisten keskimääräinen lukumäärä aika- (tai tilavuus-) yksikköä kohden ja sen pistetodennäköisyysfunktio on λs x e ( λs) f( x) = Pr( = x) =, x = 0,,2, x! Poisson-jakauman tunnusluvut Odotusarvo: E( ) = µ = λs Varianssi: 2 2 D( ) = Var( ) = σ = λs Standardipoikkeama: D( ) = σ = λs Poisson-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma Olkoot, 2,, n ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat Poisson-jakaumia parametrein λ, λ 2,, λ k :, 2,, k Poisson( λ ), i =,2,, k Tällöin diskreetti satunnaismuuttuja i k = i= i noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla λ = λ + λ λ k : Poisson( λ) Poisson-jakauma ja eksponenttijakauma Olkoon Oletetaan, että ja olkoon i = tapahtumien lukumäärä aikayksikköä kohden Poisson(λ) Y = odotusaika. tapahtumalle (tai tapahtumien väliaika) Tällöin Y on jatkuva satunnaismuuttuja, joka noudattaa eksponenttijakaumaa parametrilla λ (ks. 5. harjoitukset): jolloin Y Exp(λ) Ilkka Mellin (2008) 8/27

9 E(Y) = /λ Voidaan osoittaa, että jakaumien välinen yhteys toimii molempiin suuntiin: ts. jos satunnaismuuttuja = odotusaika. tapahtumalle (tai tapahtumien väliaika) noudattaa eksponenttijakaumaa parametrilla λ: Exp(λ) niin satunnaismuuttuja Z = tapahtumien lukumäärä aikayksikköä kohden noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla λ: Z Poisson(λ) Ilkka Mellin (2008) 9/27

10 Tehtävä 4.. Pelaaja heittää virheetöntä noppaa kymmenen kertaa. (Virheettömässä nopassa jokaisella silmäluvulla i =, 2, 3, 4, 5, 6 on sama todennäköisyys tulla tulokseksi.) (a) Laske silmälukujen summan odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama. (b) Pelaaja saa voittona silmälukujen summan euroina kymmenkertaisena. Mikä on voiton odotusarvo ja standardipoikkeama? Kannattaako peliin osallistua, jos osallistuminen maksaa 400 euroa? Tehtävä 4.. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan diskreettiä tasaista jakaumaa. Tehtävä 4.. Ratkaisu: Pelaaja heittää virheetöntä noppaa. Koska noppa oletettiin virheettömäksi, voidaan olettaa, että nopanheiton tulos on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa. Satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio: f(x) = Pr( = x) = /6, x =, 2, 3, 4, 5, 6 Satunnaismuuttujan odotusarvo: E( ) = xpr( = x) = = = 3.5 x= 6 6 Satunnaismuuttujan 2. momentti: E( ) = x Pr( = x) = = 5.7 x= 6 6 Satunnaismuuttujan varianssi: [ ] D ( ) = E( ) E( ) = = 6 36 Satunnaismuuttujan standardipoikkeama: D( ) = Kun noppaa heitetään n kertaa, jokaisen heiton tulos i, i =, 2,, n on satunnaismuuttuja, joka noudattaa edellä määriteltyä diskreettiä tasaista jakaumaa. Lisäksi voimme olettaa, että heittojen tulokset ovat toisistaan riippumattomia. (a) Heittotulosten summa 0 Z = i= i Ilkka Mellin (2008) 0/27

11 on diskreetti satunnaismuuuttuja, joka on riipputtomien, samaa (edellä määriteltyä) diskreettiä tasaista jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien i, i =, 2,, 0 summa. Summan Z odotusarvo on ( i i) 0 0 = i= E( Z ) = E = E( ) = = 35 i Huomaa, että satunnaismuuttujien summan odotusarvo on satunnaismuuttujien odotusarvojen summa, vaikka ko. satunnaismuuttujat eivät olisi riippumattomia. Summan Z varianssi on ( i i) = i= D ( Z ) = D = D ( ) = 29.7 Huomaa, että satunnaismuuttujien summan varianssi on satunnaismuuttujien varianssien summa vain, kun ko. satunnaismuuttujat ovat riippumattomia. Summan Z standardipoikkeama on D( Z ) = i Huomaa, että D(Z) 0 D( k ) ts. satunnaismuuttujien summan standardipoikkeama ei ole satunnaismuuttujien standardipoikkeamien summa. Tämä johtuu siitä, että (positiivisten lukujen) summan neliöjuuri ei ole ko. lukujen neliöjuurien summa. (b) Pelaajan saama voitto Y = 0 Z on diskreetti satunnaismuuttuja. Voiton odotusarvo: E(Y) = 0 E(Z) = 350 Voiton varianssi: D 2 (Y) = 0 2 D 2 (Z) Voiton standardipoikkeama: D(Y) 54.0 Koska peliin osallistuminen maksaa 400, pelaajat kärsivät jokaisessa pelissä tappion, jonka suuruus on keskimäärin 400 E(Y) = = 50 Ilkka Mellin (2008) /27

12 Tehtävä 4.2. Kone tekee viallisia tuotteita todennäköisyydellä 0.2. Eräänä päivänä kone tekee 0 tuotetta. (a) Mikä on todennäköisyys, että viallisia tuotteita löytyy täsmälleen 2 kpl? (b) Mikä on todennäköisyys, että viallisia tuotteita löytyy vähintään kpl? (c) Mikä on odotusarvo viallisten tuotteiden lukumäärälle? Tehtävä 4.2. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan binomijakaumaa. Tehtävä 4.2. Ratkaisu: Tuotteita valmistava kone tekee viallisia tuotteita todennäköisyydellä 0.2. Päivän aikana tehtyjen viallisten tuotteiden lukumäärä on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa binomijakaumaa: Bin(n, p) n = 0 p = 0.2 Satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio on 0 x 0 x f( x) = Pr( = x) = p ( p), p= 0.2, x= 0,, 2,,0 x (a) Todennäköisyys, että viallisia tuotteita löytyy täsmälleen 2 kpl on Pr( = 2) = = (b) Tapahtumana se, että viallisia tuotteita löytyy vähintään kpl voidaan esittää tapahtumana seuraavassa muodossa: { > 0} = { = } { = 2} { = 0} Määrätään todennäköisyys tälle tapahtumalle soveltamalla komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavaa: Pr( > 0) = Pr( = 0) = = 0.07 = (c) Odotusarvo viallisten ruuvien lukumäärälle on E() = np = = 2 Ilkka Mellin (2008) 2/27

13 Tehtävä 4.3. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tietyllä välillä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen. Kuulien laadunvalvonta on toteutettu niin, että joka sadas valmistettu kuula mitataan. Jos mitatun kuulan halkaisija ei ole ko. välillä, koneen toiminta keskeytetään tarkistusta varten. Oletetaan, että koneen valmistamista kuulista keskimäärin /0 on käyttökelvottomia. (a) Mikä on todennäköisyys, että joudumme tutkimaan vähintään 0 kuulaa ensimmäisen käyttökelvottoman löytämiseksi? (b) Oletetaan, että olemme tutkineet 9 kuulaa löytämättä yhtään käyttökelvotonta kuulaa. Mikä on todennäköisyys, että joudumme tutkimaan vähintään 4 kuulaa lisää ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan löytämiseksi? (c) Mikä on odotettavissa oleva lukumäärä kuulille, jotka joudumme tutkimaan ennen ensimmäisen käyttökelvottoman löytymistä? Tehtävä 4.3. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan geometrista jakaumaa. Tehtävä 4.3. Ratkaisu: Poimitaan kuulia tutkittaviksi yksi kerrallaan. Ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan järjestysnumero on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa geometrista jakaumaa: Geom(p) p = 0. on todennäköisyys löytää käyttökelvoton kuula. Satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio on x f( x) = Pr( = x) = q p, p= 0., q= p, x=,2,3, (a) Todennäköisyys, että joudutaan tutkimaan vähintään 0 kuulaa ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan löytämiseksi on Pr( 0) = Pr ( > 9) = Pr( 9) = F(9) 9 = ( p) 9 = ( p) 9 = 0.9 = Ilkka Mellin (2008) 3/27

14 (b) Oletetaan, että olemme tutkineet 9 kuulaa löytämättä yhtään käyttökelvotonta tuotetta. Tällöin ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan järjestysnumeron on oltava 0 tai suurempi. Se, että joudumme tutkimaan vähintään 4 kuulaa lisää ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan löytämiseksi merkitsee sitä, että joudumme kaikkiaan tutkimaan vähintään 3 kuulaa. Siten kysytty todennäköisyys on ehdollinen todennäköisyys Pr( 3 ja 0) Pr ( 3 0) = Pr( 0) Pr( 3) = A B B Pr( 0) F(2) = F(9) = = 0.9 = Toisaalta todennäköisyys, että joudutaan tutkimaan vähintään 4 kuulaa ensimmäisen käyttökelvottoman löytämiseksi on 3 Pr( 4) = Pr( > 3) = Pr( 3) = F(3) = 0.9 = Se, että Pr( 3 0) = Pr( 4) ei ole sattumaa, vaan tulos voidaan yleistää seuraavaan muotoon: Jos satunnaismuuttuja noudattaa geometrista jakaumaa, niin Pr( a+ b a) = Pr( + b) Tulos merkitsee sitä, että geometrisella jakaumalla on ns. unohtamisominaisuus: Todennäköisyys joutua tutkimaan vähintään b kuulaa lisää ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan löytämiseksi ei riipu siitä, kuinka monta kuulaa on jouduttu tutkimaan löytämättä yhtään käyttökelvotonta. Voimme ilmaista tämän sanomalla, että prosessi on unohtanut oman historiansa. (c) Odotettavissa oleva lukumäärä kuulille, jotka joudutaan tutkimaan ennen ensimmäisen käyttökelvottoman löytymistä, on E() = /p = /0. = 0 Tehtävä 4.4. Tehdas valmistaa tuotetta, jolla on erittäin korkeat laatukriteerit. Keskimäärin vain 60 % tuotteista täyttää kriteerit. Valitaan tuotteita satunnaisesti yksi kerrallaan tarkastettavaksi, kunnes on löydetty 3 kelvollista tuotetta. (a) Mikä on todennäköisyys, että joudutaan tarkastamaan enemmän kuin 4 tuotetta? (b) Kuinka monta tuotetta joudutaan keskimäärin tarkastamaan? Ilkka Mellin (2008) 4/27

15 Tehtävä 4.4. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan negatiivista binomijakaumaa. Tehtävä 4.4. Ratkaisu: Poimitaan tuotteita tarkastettavaksi satunnaisesti yksi kerrallaan. Kolmannen kelvollisen tuotteen järjestysnumero on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa negatiivista binomijakaumaa: NegBin(r, p) r = 3 p = 0.6 Satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio on x x 3 3 f( x) = Pr( = x) = q p, p= 0.6, q= p, x= 3,4,5, 2 (a) Todennäköisyys joutua tarkastamaan enemmän kuin 4 tuotetta on ( ) Pr > 4 = Pr( 4) = Pr( = 3) Pr( = 4) 3 = = = (b) Odotettavissa oleva tuotteiden lukumäärä, jotka joudutaan tarkastamaan ennen kolmannen kelvollisen tuotteen löytämistä on r 3 E( ) = = = 5 p 0.6 Tehtävä 4.5. Pakkauksessa on 00 tuotetta, joista 30 on viallista. (a) Poimitaan pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaksi ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on viallinen tuote? (b) Poimitaan pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaksi takaisinpanolla. Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on viallinen tuote? Ilkka Mellin (2008) 5/27

16 Tehtävä 4.5. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan binomijakaumaa ja hypergeometrista jakaumaa otantaan takaisinpanolla (palauttaen) ja ilman takaisinpanoa (palauttamatta). Tehtävä 4.5. Ratkaisu: Poimitaan pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaksi. Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja = Viallisten lukumäärä tarkastettujen 5:n tuotteen joukossa. Satunnaismuuttujan jakauma riippuu siitä poimitaanko otos ilman takaisinpanoa (palauttamatta) tai takaisinpanolla (palauttaen): Jos otos poimitaan ilman takaisinpanoa, noudattaa hypergeometrista jakaumaa. Jos otos poimitaan takaisinpanolla, noudattaa binomijakaumaa. Huomaa, että tehtävän tapauksessa otantasuhde n/n = 0.05 joten binomijakauman pitäisi melko hyvin approksimoida hypergeometrista jakaumaa. (a) Jos otos poimitaan ilman takaisinpanoa, HyperGeom(N, r, n) N = 00 r = 30 n = 5 Siten todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on viallinen on f() = Pr( = ) = = Vertaa tulosta (b)-kohdan tulokseen. (b) Jos otos poimitaan takaisinpanolla, Bin(n, p) n = 5 p = r/n = 0.3 Ilkka Mellin (2008) 6/27

17 Siten todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on viallinen on f 5 4 () = Pr( = ) = = Vertaa tulosta (a)-kohdan tulokseen. Tehtävä 4.6. Tehdas väittää, että korkeintaan % sen tuotteista on viallisia. Ostat 000 tuotetta ja poimit satunnaisesti ilman takaisinpanoa ostamiesi tuotteiden joukosta 25 tuotetta tarkastettavaksi. Mikä on todennäköisyys, että löydät tarkastettujen tuotteiden joukosta enemmän kuin 2 viallista, jos valmistajan väite on oikeutettu? Tehtävä 4.6. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan hypergeometrisen jakauman todennäköisyyksien approksimoimista binomitodennäköisyyksillä. Tehtävä 4.6. Ratkaisu: Poimitaan ostettujen tuotteiden joukosta 25 tuotetta tarkastettavaksi ilman takaisinpanoa. Viallisten lukumäärä tarkastettujen tuotteiden joukossa on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa hypergeometrista jakaumaa: HyperGeom(N, r, n) N = 000 n = 25 Koska otantasuhde r = 000/00 = 0 n/n = 25/000 = < 0.05 niin hypergeometrista jakaumaa voidaan approksimoida binomijakaumalla: a Bin(n, p) n = 25 p = 0.0 Ilkka Mellin (2008) 7/27

18 Siten todennäköisyys löytää enemmän kuin 2 viallista on (approksimatiivisesti) ( ) Pr > 2 = Pr( 2) = Pr( = 0) Pr( = ) Pr( = 2) = f(0) f() f(2) = = Tehtävä 4.7. Puhelinkeskukseen tulee keskimäärin 3 puhelua minuutissa. (a) Mikä on todennäköisyys, että 30 sekunnissa ei tule yhtään puhelua? (b) Mikä on todennäköisyys, että minuutissa tulee korkeintaan 4 puhelua? (c) Mikä on todennäköisyys, että seuraavan minuutin aikana ei tule yhtään puhelua, jos edellisenä minuuttina puheluita oli 4? (d) Mikä on odotettavissa olevien puheluiden lukumäärä yhden tunnin aikana? Tehtävä 4.7. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan Poisson-jakaumaa. Tehtävä 4.7. Ratkaisu: Oletetaan, että ajanjaksona, jonka pituus on s minuuttia, puhelinkeskukseen tulevien puheluiden lukumäärä on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa Poisson-jakaumaa: Poisson(λs) s = ajanjakson pituus minuutteina λ = minuutissa keskukseen tulevien puheluiden keskimääräinen lukumäärä = 3 Satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio on 3 s x e (3 s) f( x) = Pr( = x) =, x= 0,,2, x! (a) Nyt s = 0.5 min joten λs = =.5 Ilkka Mellin (2008) 8/27

19 Siten todennäköisyys, että /2 minuutissa ei tule puheluita, on.5 0 e (.5) Pr( = 0) = = ! (b) Nyt s = min joten λs = 3 = 3 Siten todennäköisyys, että minuutissa tulee korkeintaan 4 puhelua, on Pr( 4) = Pr( = x) = 4 x= 0 4 x= 0 e λs ( λs) x! x = e !! 2! 3! 4! = ( ) = = (c) Olkoon i = minuutin i aikana tulleiden puheluiden lukumäärä, i =, 2. Satunnaismuuttujia ja 2 voidaan pitää riippumattomina ja lisäksi kumpikin noudattaa Poisson-jakaumaa: i Poisson(λs) s = min λ = 3 Riippumattomuuden nojalla e 3 0! Pr ( = 0 2 = 4) = Pr( = 0) = = e = (d) Nyt s = 60 min joten λs = 3 60 = 80 Ilkka Mellin (2008) 9/27

20 Siten odotettavissa oleva puheluiden määrä tunnin aikana on E() = λs = 80 Tehtävä 4.8. Pikkupullaan käytetään dl taikinaa. Kuinka monta rusinaa 0 litraan taikinaa on vähintään sekoitettava, jotta satunnaisesti valitussa pullassa olisi vähintään rusina suuremmalla todennäköisyydellä kuin 0.95? Tehtävä 4.8. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan Poisson-jakaumaa. Tehtävä 4.8. Ratkaisu: Oletetaan, että hyvin sekoitetussa taikinaerässä, jonka koko on s dl, rusinoiden lukumäärä on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa Poisson-jakaumaa: Poisson(λs) s = taikinaerän koko desilitroina λ = rusinoiden keskimääräinen lukumäärä desilitrassa taikinaa Todennäköisyys, että taikinassa on vähintään rusina tilavuusyksikössä on ( ) 0 λ λ λ Pr = Pr( < ) = Pr( = 0) = e = e 0! Asetetaan tälle todennäköisyydelle ehto ( ) Pr = e λ 0.95 joka toteutuu, jos log(0.05) λ = log( e) 0 litrassa taikinaa on 00 dl. Koska = taikinaan pitää sekoittaa vähintään 300 rusinaa, jotta satunnaisesti valitussa pullassa olisi vähintään rusina suuremmalla todennäköisyydellä kuin Tehtävä 4.9. Korkeakoulun opiskelijoista 20 % on naisia. Poimitaan korkeakoulun opiskelijoiden joukosta satunnaisesti 20 opiskelijaa. (a) Mikä on todennäköisyys, että poimituksi tulee vähintään 5 naisopiskelijaa? (b) Mikä on odotettavissa oleva naisopiskelijoiden lukumäärä? Ilkka Mellin (2008) 20/27

21 Tehtävä 4.9. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan hypergeometrisen jakauman todennäköisyyksien approksimoimista binomitodennäköisyyksillä. Tehtävä 4.9. Ratkaisu: Oletetaan, että otokseen poimitut 20 opiskelijaa poimitaan kaikkien korkeakoulun opiskelijoiden joukosta satunnaisesti ilman takaisinpanoa. Tällöin naisopiskelijoiden lukumäärää otoksessa on diskreetti satunnaismuuttuja, jonka noudattaa hypergeometrista jakaumaa. Jos korkeakoulun opiskelijoiden lukumäärä on kyllin iso, satunnaismuuttujan jakaumaa voidaan approksimoida binomijakaumalla: a Bin(n, p) n = 20 p = 0.2 (a) Todennäköisyydeksi, että valituiksi tulee vähintään 5 naisopiskelijaa, on komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan ja toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön nojalla (approksimatiivisesti): Pr( > 4) = Pr( 4) 4 = Pr( = i) i= i 20 i = i= 0 i = = = Esimerkiksi: ! 9 Pr( = ) = = = !9! (b) Odotettavissa oleva naisopiskelijoiden lukumäärä on E() = np = = 4 Ilkka Mellin (2008) 2/27

22 Tehtävä 4.0. Korkeakoulun opiskelijoista 20 % on naisia. Oletetaan, että opiskelijat tulevat koulun opiskelijaravintolaan täysin satunnaisesti. (a) Mikä on todennäköisyys, että ravintolaan on tullut vähintään 5 opiskelijaa ennen ensimmäistä naisopiskelijaa? (b) Mikä on ensimmäisen ravintolaan tulleen naisopiskelijan järjestysnumeron odotusarvo? Tehtävä 4.0. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan geometrista jakaumaa. Tehtävä 4.0. Ratkaisu: Ravintolaan ensimmäisenä tulevan naisopiskelijan järjestysnumero on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa geometrista jakaumaa: Geom(p) p = 0.2 (a) Todennäköisyys, että ravintolaan on tullut vähintään 5 opiskelijaa ennen ensimmäistä naisopiskelijaa on Pr( > 5) = Pr( 5) = F(5) 5 = ( p) 5 = ( p) 5 = (b) Ensimmäisen ravintolaan tulleen naisopiskelijan järjestysnumeron odotusarvo on E() = /p = /0.2 = 5 Tehtävä 4.. Korkeakoulun opiskelijoista 20 % on naisia. Oletetaan, että opiskelijat tulevat koulun opiskelijaravintolaan täysin satunnaisesti. (a) Mikä on todennäköisyys, että ravintolaan on tullut vähintään 0 opiskelijaa ennen toista naisopiskelijaa? (b) Mikä on toisena ravintolaan tulleen naisopiskelijan järjestysnumeron odotusarvo? Ilkka Mellin (2008) 22/27

23 Tehtävä 4.. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan negatiivista binomijakaumaa. Tehtävä 4.. Ratkaisu: Ravintolaan toisena tulevan naisopiskelijan järjestysnumero on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa negatiivista binomijakaumaa: NegBin(r, p) r = 2 p = 0.2 (a) Todennäköisyys, että ravintolaan on tullut vähintään 0 opiskelijaa ennen toista naisopiskelijaa on komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan ja toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön nojalla: Pr > 0 = Pr( 0) ( ) 0 = Pr( = i) i= 2 0 i i 2 2 = i= 2 2 = = = Esimerkiksi: ! 2 2 Pr( = 4) = = = !! (b) Toisena ravintolaan tulleen naisopiskelijan järjestysnumeron odotusarvo on r 2 E( ) = = = 0 p 0.2 Ilkka Mellin (2008) 23/27

24 Tehtävä 4.2. Pakkauksessa on 00 tuotetta, joista 30 on viallista. (a) Poimitaan pakkauksesta 6 tuotetta tarkastettavaksi käyttämällä poimintaa takaisinpanolla. Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on vähemmän kuin 2 viallista tuotetta? (b) Mikä on odotettavissa oleva viallisten lukumäärä? Tehtävä 4.2. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan binomijakaumaa. Tehtävä 4.2. Ratkaisu: Poimitaan pakkauksesta 6 tuotetta tarkastettavaksi. Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja = Viallisten lukumäärä tarkastettujen 6:n tuotteen joukossa Satunnaismuuttujan jakauma riippuu siitä poimitaanko otos ilman takaisinpanoa (palauttamatta) tai takaisinpanolla (palauttaen): Jos otos poimitaan ilman takaisinpanoa, noudattaa hypergeometrista jakaumaa. Jos otos poimitaan takaisinpanolla, noudattaa binomijakaumaa. (a) Koska otos poimittiin takaisinpanolla, Bin(n, p) n = 6 p = r/n = 30/00 = 0.3 Siten todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on vähemmän kuin 2 viallista on Pr( < 2) = Pr( = 0) + Pr( = ) 6 6 = = = 0.42 Vertaa tulosta tehtävän 4.3. tulokseen (b) Koska otos poimittiin takaisinpanolla, E() = np = =.8 Vertaa tulosta tehtävän 4.3. tulokseen. Ilkka Mellin (2008) 24/27

25 Tehtävä 4.3. Pakkauksessa on 00 tuotetta, joista 30 on viallista. (a) Poimitaan pakkauksesta 6 tuotetta tarkastettavaksi käyttämällä poimintaa ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on vähemmän kuin 2 viallista tuotetta? (b) Mikä on odotettavissa oleva viallisten lukumäärä? Tehtävä 4.3. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan hypergeometrista jakaumaa. Tehtävä 4.3. Ratkaisu: Poimitaan pakkauksesta 6 tuotetta tarkastettavaksi. Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja = Viallisten lukumäärä tarkastettujen 6:n tuotteen joukossa Satunnaismuuttujan jakauma riippuu siitä poimitaanko otos ilman takaisinpanoa (palauttamatta) tai takaisinpanolla (palauttaen): Jos otos poimitaan ilman takaisinpanoa, noudattaa hypergeometrista jakaumaa. Jos otos poimitaan takaisinpanolla, noudattaa binomijakaumaa. (a) Koska otos poimittiin ilman takaisinpanoa, HyperGeom(N, r, n) N = 00 r = 30 n = 6 Siten todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on vähemmän kuin 2 viallista on Pr( < 2) = Pr( = 0) + Pr( = ) = = = 0.45 Vertaa tulosta tehtävän 4.2. tulokseen. (b) Koska otos poimittiin ilman takaisinpanoa, r 30 E( ) = n = 6 =.8 N 00 Ilkka Mellin (2008) 25/27

26 Vertaa tulosta tehtävän 4.2. tulokseen. Tehtävä 4.4. Palvelujonoon tulee keskimäärin 3 asiakasta minuutissa. (a) Mikä on todennäköisyys, että 30 sekunnissa tulee täsmälleen yksi asiakas? (b) Mikä on todennäköisyys, että minuutissa tulee korkeintaan 2 asiakasta? (c) Mikä on todennäköisyys, että seuraavan minuutin aikana tulee korkeintaan 2 asiakasta, jos edellisenä minuuttina asiakkaita oli 3? (d) Mikä on odotettavissa olevien asiakkaiden lukumäärä 30 minuutin aikana? Tehtävä 4.4. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan Poisson-jakaumaa. Tehtävä 4.4. Ratkaisu: Oletetaan, että ajanjaksona, jonka pituus on s minuuttia, palvelujonoon tulevien asiakkaiden lukumäärä on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa Poisson-jakaumaa: Poisson(λs) s = ajanjakson pituus minuutteina λ = minuutissa jonoon tulevien asiakkaiden lukumäärä keskimäärin = 3 (a) Nyt s = 0.5 min joten λs = =.5 Siten todennäköisyys, että minuutissa tulee asiakas, on.5 e (.5) Pr( = ) = = 0.335! (b) Nyt s = min joten λs = 3 = 3 Ilkka Mellin (2008) 26/27

27 Siten todennäköisyys, että minuutissa tulee korkeintaan 2 asiakasta, on Pr( 2) = Pr( = x) = 2 x= 0 2 x= 0 e λs ( λs) x! = e + + 0!! 2! = ( ) = = x (c) Olkoon i = minuutin i aikana tulleiden asiakkaiden lukumäärä, i =, 2. Koska satunnaismuuttujat ja 2 ovat riippumattomia, vastaus on sama kuin (b)- kohdassa. (d) Nyt s = 30 min joten λs = 3 30 = 90 Siten odotettavissa oleva puheluiden määrä 30 minuutin aikana on E() = λs = 90 Ilkka Mellin (2008) 27/27

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,

Lisätiedot

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat

Lisätiedot

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut 1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 3 (vko 4/3) (Aihe: tasainen todennäköisyysmalli, pistetodennäköisyysfunktio, tiheysfunktio, kertymäfunktio,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset Todennäköisyyslaskenta I, kesä 207 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus, ratkaisuehdotukset. Kokeet ja Ω:n hahmottaminen. Mitä tarkoittaa todennäköisyys on? Olkoon satunnaiskokeena yhden nopan

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia Ilkka Melli 35 Todeäköisyysjakaumia

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen

Lisätiedot

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja. Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?

Lisätiedot

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit >> Puutodennäköisyydet

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi M-0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 1: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet; Todennäköisyyden aksioomat; Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt; Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla 17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt - Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat - Todennäköisyyden määritteleminen KE (2014) 1 Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,

Lisätiedot

A. Jos A on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x) on tosi, niin merkitsemme

A. Jos A on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x) on tosi, niin merkitsemme Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen todennäköisyys

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg 1 Todennäköisyys Satunnaismuuttujat Keskeinen raja-arvolause Aalto-yliopisto. tammikuuta 015 Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisslaskenta B 1. välikoe 08.03.2011 / Kibble Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin seuraavat tiedot: Mat-1.2620 SovTnB 1. vk 08.03.2011 opiskelijanumero + kirjain TEKSTATEN

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 25.10.2016/1 MTTTP5, luento 25.10.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta luento04.ppt S-38.1145 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2006 1 Sisältö eruskäsitteet Diskreetit satunnaismuuttujat Diskreetit jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat jakaumat aikajakaumat

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot

Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria

Lisätiedot

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014 1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin

Lisätiedot