1.1A 1.2A 1.4A 1.3A = + = + = + = = = ) = + 1 = = ) 2) = = =

Transkriptio

1 .A.A ) b) c) ) ) : ) 6) ) ) ) ) b) : + 6 ) ) ) ) 7 : ) ) 7 : : 7 7 : ( 7) 7 ( 7).A.A ) b) ( ) ) ( ) b) ( b) b 6 ( b ) b 6 7 y y 7 9y 9 y y y 6 y y y Toisi: ) c) : 9 ( ) ( ) 6

2 .A.6A ) b) 9 ( ) prillie luku, jote ( ) ( ) ) Luvu vstluku o b b j luvu b vstluku o b. Vstlukuje tulo o b b b b b) Luvu b kääteisluku o j luvu b b kääteisluku o b. Kääteislukuje erotus o b) ) b b + b b b b b Erotukse vstluku kerrottu luvull b o + b b b + b.7a Oletukse muk, b j ± b. b) ) + b Luku +, jote b. b b + b ) b) b Luku y, jote b. b b y b Kääteislukuje osmäärä o.8a Lukuje suuruus toisiis verrttu sd selville esimerkiksi tutkimll lukuje erotust ti osmäärää. Trkstell osmäärää p + p + ( p + ) 8 p + p + p + p + p <, jote imittäjä o suurempi. b + b b ( b) b b ( + b) b + b y b Vstus + p o suurempi.

3 .9B Väite: Todistus: + 7 Lusekkee rvo ei riipu muuttuj rvost. 79 Lusekkee rvo o riippumto muuttuj rvost, jote lusekkee rvo o vkio kikill. Lusekkee rvo o, 7..., 79..B Oletus: + y+ j + y + z Väite: y + yz + z Todistus: Oletukse muk sd yhtälöpri + + () + y + z + y + z + y+ z+ yz () y z, sd yhtälö () () Sijoitet yhtälö () yhtälöö (). + y + z + yz y + z + yz : y + z + yz Vstus, 79 jote väite o tosi..b Mtk Helsiki-Tmpere: s 87 km Ju Tmpereelt Helsikii: klo 9.8 klo 8.6. Siis t h h 6 s 87 km v s v t t h km km,78..., h h Ju Helsigistä Tmpereelle: 6 klo. klo 8.8. Siis t h h 6 s 87 km v s v t t h km km 9, , h h Olkoo kohtmispik etäisyys Helsigistä (km). Lsket kohtmisik khdell tvll, jolloi sd yhtälö v 6 v t t t 87t t t t + t t t + t ( t+ t) t t 6 t, t t + t ,... 7, (km) +

4 Kohtmishetkellä Helsigistä lähteyt ju o käyttäyt ik 8 8 t s 6 v 6 s t + t t s 8 t + t 8 s t t + t s s 6 ( ) t 8 + t 8 t (h), t (h) 6 ( t+ t) ,9... (h) ,9... h 9 h +, mi 9 h mi Vstus Juie keskiopeudet:.b Rtkisu Näyttötulu lukem y (km/h) o suor verrollie opeusmittri lukem (km/h). y k vkio k y k y 8 (km/h), 89 (km/h) 8 k 89 Sd yhtälö 8 y 7 (km/h) 89 8 y 7,67...,7 (km/h) 89 Sllitu opeude km/h ylitys %:ll eli opeude ylärj o, km/h km/h Näi olle todellie joopeus o,7 km/h > km/h. Vstus Autoilij s yliopeussko. Tmpere-Helsiki, km/h Helsiki-Tmpere 9, km/h Kohtmisetäisyys Helsigistä o 7, km j kohtmisik klo 9.. Rtkisu Merkitää äyttötulu lukem kirjimell (km/h). Ldit tulukko. Nopeusmittri lukem (km/h) Näyttötulu lukem (km/h) Nopeusmittri lukem j äyttötulu lukem ovt suor verrolliset, jote , 67...,7 (km/h) 7 89 Sllitu opeude km/h ylitys %:ll eli opeude ylärj o, km/h km/h Näi olle todellie joopeus o,7 km/h > km/h. Vstus Autoilij s yliopeussko..b Rtkisu Mieste määrä o käätäe verrollie työhö käytettävää ik t. Siis k t, t, (h) k, k, 6, Sd yhtälö 6, t t 7 (h) 6, 7 8, Ku miehiä o 8, ii työik o 6, t 8 6, 8 t 6, t 7,8 (h) 8 Trvittv ik o 7,8 h 7 h +,8 6 mi7 h + 8,7 mi 7 h + 9 mi

5 Rtkisu Merkitää työmieste määrä y työhö käytetty ik tutei Ldit tulukko. Mieste määrä Työik (h), 8 7 y Mieste määrä o käätäe verrollie työik. Siis j 7 6, 7 6, 8, , 7 y 6, 8y 6, y 7,8 (h) 8, 8.B Rtkisu Kpplee pio G o käätäe verrollie mpllo keskipisteestä mittu etäisyyde eliöö. G k vkio k k G Sd yhtälö G G 6, 67 G 68 G 6,, G G 67 (km), 68 (km) 6, 67 G,8...,8 68 Letokoe pi,8 toi. Trvittv ik o 7,8 h 7 h +,8 6 mi7 h + 8,7 mi 7 h + 9 mi Vstus Urkst selvitää 7 tuiss, jos miehiä o vähitää 9. Sm työ suorittmisee 8 miestä trvitsee 7 h 9 mi. Rtkisu Merkitää G kpplee pio mpllo keskipisteestä mitttu etäisyys Ldit tulukko. Kpplee pio G Etäisyyde eliö 6, 67 G 68 Kpplee pio o käätäe verrollie etäisyyde eliöö. Siis 6, 68 G 67 6, 67 G,8...,8 68 Letokoe pi,8 toi..b Rtkisu Verrollisuus void esittää yhtälöä T k R k vkio T k R Sd yhtälö 8 T M: T (), R, (km) 8 T R R Mrs: T (), R, 8 (km) (,) (,8) (,8 ),8, 8 8 (, ),, ± >,88,879...,87 () Mrsi vuosi päiviä o,88 6 d 68,7... d 68 d Mrsi vuosi o 68 d.

6 Rtkisu Merkitää kysyttyä Mrsi kiertoik kirjimell. T R (, ) 8 (,8 ) 8 T: eliö o suor verrollie R: kuutioo, jote 8 8 (, ), 8 8 (,8 ), 8,,8, 8,, ±, Kosk >, ii,88,879...,87 (). Mrsi vuosi päiviä o,88 6 d 68, 7... d 68 d..6b Lämmityskustukset y ovt suor verrolliset sisä- j ulkolämpötiloje välisee erotuksee Δ T, joss T o lämpötil. y k vkio k y k Sd yhtälö y y y y y y T T, ( ) ( C) S U T T, ( ) ( C) S U Lämmityskustukset pieeevät lkuperäisii kustuksii verrttu prosettei y y y y y % % y y y %, %, % Vstus Lämmityskustukset pieeevät, %..7B Olkoo mittri lukem j säiliössä olev polttoiee tilvuus V (litr). Merkitää muutoksi Δ:llä j Δ V:llä. Lukem Tilvuus V (L) 8 V Mittri lukem muutos o suor verrollie polttoiee muutoksee, jote Δ k ΔV Δ, Δ V 8 k k Siis Δ ΔV Δ V Δ Toislt Δ V V j Δ, sd yhtälö V V + +, 6, (L) Vstus Säiliössä o polttoiett 6, litr..8b Käytetää seurvi merkitöjä: ksu pie p (br) ksu tilvuus V (L) ksu lämpötil T (K) Verrollisuudet void esittää yhtälöä p k T vkio k V pv k T Rtkisu Kosk k o vkio, sd yhtälö p (br), T 8 (K), V (L) pv pv p (br), T (K), T T rtkist V 8 7 V V,87... (L) 7 Vstus Ksu tilvuus o L.

7 Rtkisu Verrollisuudet void esittää yhtälöä p k T vkio k V pv k T Sijoittmll p (br), T 8 (K) j V (L), sd k 8 7 Alkuperäie yhtälö o siis p (br) p T 7 V T (K) V,87... (L) 7 V 7.9A ) Tuottee verollie hit ( ) Tuottee veroto hit ( ) Arvolisävero 6 ( ) Arvolisäveroprosetti 6 % % b) Uusi verollie hit ( ) Veroto hit ( ) Arvolisävero ( ) Uusi rvolisäveroprosetti % % Vstus Ksu tilvuus o L. Siis rvolisäveroprosetti pitäisi lske prosettiyksikköä..a Alkuperäie liuos (dl) Etikk,, (dl) Lisättävä vede tilvuus (dl) Uusi liuos + (dl) Etikk, ( + ) (dl) Etik määrä säilyy, jote sd yhtälö, ( + ), ( + ) : + 6 dl,6 L.A Kokoishit Leo hit, Polttoiee hit,,, Polttoie kllistuu %,,,6 Muut kustukset,,, Uusi kokoishit,+,6+,, Hi muutos,, Prosettei,,, % Vstus Nousu o, %. Vstus Vettä o lisättävä,6 litr.

8 .A Vede tilvuus Suolliuokse tilvuus y Suolliuokse pitoisuus %, jote puhdst suol,y Uude liuokse tilvuus + y Uude liuokse pitoisuus %, jote puhdst suol,( + y) Suol määrä pysyy sm, jote sd yhtälö, ( + y), y + y y y y.a Tuore Kuivttu ome ome b vettä,8 vettä, b sokeri, sokeri, muut,6 muut,6 Sd yhtälö, b+, +,6 b, b,b,8b, b, Kuivttuje omeoide sokeripitoisuus o Vstus Vede tilvuude j suolliuokse tilvuude suhtee o oltv :., % b, b, % 6 %, Vstus Sokeri o 6 %..A.B Pääryämehu sokeripitoisuus % määrä sokerimäärä, Omemehu sokeripitoisuus 7% määrä b sokerimäärä,7b Sekmehu sokeripitoisuus % määrä + b sokerimäärä,( + b) Sokeri määrä säilyy, jote sd yhtälö,+, 7b,( + b),+, 7b,+,b,,,b, 7b,,b b b Tietokoeohjelm hit o. Merkitää, ( ). ) Olkoo veroto hit ( ). Arvolisävero (lv) o %, jote sd yhtälö +,, 8,8 ( ), b) Arvolisäveroprosetti lsket prosettiyksikköä, jote uusi rvolisäveroprosetti o 7. Uusi verollie hit o y,7,7 9, , 6 ( ), Lsket, kuik mot prosetti y o pieempi kui. y % ( ), y,7 ( ),,7, %,98... %, % Vstus ) 8,8 b), % Vstus Pääryämehu määrä suhde omemehu määrää o :.

9 .6B Krhuje määrä o Uusi määrä o 7 +,7 Toislt uusi määrä o Sd yhtälö,7 8,... 8,7 Kdettvie krhuje määrä o Prosettei %,... %, % Siis syksyllä krhuist olisi pitäyt kt, %..7B Elis Kis vuo 997, (vuott) vuo 7 +, + (vuott) Toislt Kis ikä vuo 7 oli, % eemmä kui Elis ikä eli, ( + ). Sd yhtälö, +,( + ), +,+,, 96, :,96,,96 6, Vuo 7 Kis täyttää,, + +,96,... (vuott) Siis vuott..8b Arvioitu hit 7 ( ) Työ osuus, ( ) Mterilikustukset, ( ) Uudet työkustukset, ,8 ( ) Uudet mterilikustukset,9 96 7, ( ) Uusi kokoishit 999,8 + 7, 7,97 ( ) Remoti hit ousee 7,97 7,97 ( ) Siis hit ousee prosettei lkuperäisestä hist,97 %, %, %, % 7 Vstus Remoti hit ousee, %..9B Plkk luss Plkk. ousu jälkee p + Plkk. ousu jälkee p + Plkk ousee kikki, %, jote sd yhtälö p +, :, p p +, + ±, p> p p ±, +, p, p 6, , Vstus p o 6,.

10 .B Tuottee hit Uusi hit Myyti +, b Myyti lskee p % p p Uusi myyti b b b Myytitulo esi b p Myytitulo sitte, b Myytitulo pysyy ell, jote p b, b : b p, p,,, p, p p 9, ,, Siis myyti voi lske 9, %..B Koko mtk Tsie opeus, jote s s s v t eli t v,6s, s opeus v opeus, v Koko mtk kuluv ik esi t,6s, s,7s+, s, s sitte t + v, v, v, v Tp Mtk kuluv ik t o pieempi kui ik t prosettei s,s,), t t v, v, % % s % t s s v v v,,,8 % % % 6,66... % 6,7 %,, Vstus Aik lyheee 6,7 %. Tp,s t, v t s v, s, v s v,9...,9 Siis ik tulee,9-kertiseksi, jote ik lyheee prosettei % 9, % 6,7 % Vstus Aik lyheee 6,7 %..B Vuokrtulot Ylläpitokustukset b Vuokrtulot % pieemmät kui ylläpitokustukset,88b Vuokr korotet p % Uusi vuokr p + Uudet ylläpitokustukset, b Uudet vuokrtulot % suuremmt kui ylläpitokustukset,,b Sd yhtälö p +,,b,88b p +,88b,, b :,88b p,, +,88 p, p Vstus Vuokri o korotettv %.

11 .B Kuutio : Olkoo kuutio särmä. Kokoispit-l o A j tilvuus o V. 6 Kuutio : Olkoo kuutio särmä b. Kokoispit-l o A 6b j tilvuus o V b. Toislt A,6 A A pieeee 6 % eli jäljelle jää 6 %.,6 6 Sd yhtälö 6b,6 6 b,6 b± (,6 b>, > ) b,8 Tilvuus V b (,8 ),. Jälkimmäise kuutio tilvuus V o pieempi kui edellise kuutio tilvuus V prosettei.b Vuo Vuo myyti ulkomille ( ), ( ) myyti kotimss b ( ),9 b ( ) koko myyti + b ( ),6( + b) ( ) Vuode tiedoist sd yhtälö,+,9b,6( + b),+,9b,6+,6b,,6,6b,9b,,b, b b, Myyti ulkomille vuo prosettei o b % % + b b+ b b % b+ b b % b V V, % % V,88 % 8,8 % 9 % Vstus 7,... % 7 % Ulkomille mei 7 % koko myyistä. Vstus Tilvuus pieeee 9 %..B Puu rugo tilvuus ksv prosettei Puu yt Puu vuode kuluttu 6 V V V V % 7 % V V 9 V 7 V % V π r h V π r h Puu ksv j uudet mitt ovt (d o hlkisij) d d + d d d j h h+ h 7 h. 6 6 Siis r r r r Tilvuus lopuss o 9 % 7 7,77... % 7 % Vstus Tilvuus ksv 7 %. (vstukseksi voi t myös 7, % ti %) 7 V π r h π r h πrh V 7

12 .6B lkuperäiset uudet kokoiskustukset, rkeustrvikkeet b,9b muut kustukset c, 8c Alkuperäisessä suuitelmss b+ c c b Todellisuudess,,9b+, 8c,9b,,8c sijoitet c b,9b,, 8( b),9b,, 8+, 8b,, 8b,9b, 9b b Rkeustöide osuus lkuperäisessä suuitelmss o b b % %,... % % b Rkeustrvikkeide osuus lopullisess tilteess o,9b % b,,9 b %,7... % %, b Vstus Arvioitu osuus oli %, lopullie osuus oli % kokoiskustuksist..7b kg Esiee mss m g, kg j tiheys ρ e, dm kg kg Hope tiheys ρ Ag, j kupri ρ dm Cu 9,. dm Olkoo esieessä, jok tilvuus o V, hope (kg) j kupri y (kg). Tiheys m ρe V m ρe V mag m m ρe ( VAg + VCu ) VAg, VCu ρag ρ y (),, +, 9, Toislt + y, y, Sijoitet yhtälöö ().,,, +, 9,, 9,,, 9,, 9, +,, (, ),7 9,9+,97 6, 6, 9,9,97,7,, 7,7,... (kg), Cu Cu,... kg Hope osuus pioprosettei o % 76, %., kg Kupri osuus pioprosettei o % 76, %,8 %. Vstus Hope o 76, % j kupri,8 %..8A Itseisrvo määritelmä muk + ( + ), ku ( ), ku + < + + <, ku, ku <, ku, ku Vstus + < , ku, ku

13 .9A.A Itseisrvo määritelmä muk ( ), ku ( + ), ku < + + < 8, ku 8, ku > 9, ku 7, ku ) ( ) : r s r+ s r r s s Vstus > 9, ku 7, ku b) b + b b b b b + b b, b + b b b + b b b b b, kosk > b b, kosk b<.a ) π + π ( π+ ) + π 6π+ + π π b) Luseke o määritelty, ku y. 6 y y 6 y y ) ) 6 y y 9 6 y 6 y y π <, jote π π+.a + < j < < + ( ), kosk < < + <,kosk +, kosk <, kosk < < + ( + ) ( ) ( ) + + ( ) + +

14 .A ( ) +, kosk ( + ) + b b, kosk.a Rtkisu Luseke + 9. Itseisrvo määritelmä muk + 9, ku , ku + 9 < + 9, ku 9 9, ku < 9 + 9, ku 9, ku <, ku +, ku <, ku +, ku > 9 ( ), ku < ( ), ku + 9 ( + ), ku > 9 +, ku < + 9 +, ku + 9 +, ku >, ku < 8 6, ku +, ku >, ku < Vstus , ku +, ku > Rtkisu Luseke + 9. Itseisrvoje sisällä olevie lusekkeide ollkohdt: ) Ku <, sd 9 ( ) 9 + ) Ku, sd + 9 ( ) ) Ku >, sd + 9 ( + ) Merkkikvio: Vstus, ku < , ku +, ku >

15 .A.6A ) b) ( ) ( ) ( 6) ( ) ( 6)( ) 8 ( 6 ) ( b)( + b) b 8( 6) Vstus ) b) ) b) ( ) ( b) b+ b + ) ( )( ) ( )( ) + ( ) : ( 6) + 6) ( + 6) ( + 6) ( + ) ) A.8A ) b) c) 8 ( ), ku prito ( ) ( ) ( ), ku prillie 6 m m, ku > 7 ( ) ( ),, ku prito, ku prillie ) b) c) 6 8 8, ku prillie m m r s ( ), ku > r s r s r s

16 .9A.A ) ) + ) ( + ) + ( + ) + + ( + ) ( ) ( + ) ( ) b) ( ) 7+ < ( ) 7, + ( ) 7 + b b ( ) (7 ) + ) b) Määritelty kikill : rvoill ( + ) kosk + >. ( + ) b b ( + ) ( + ) ( + ) + + > + ( ) j ( ) Siis > eli < ( ) ( ) b b ( ) ( ), < ( + )(7 + ) (7 )(7 + ) ( b)( + b) b Vstus ) + b) ( ).A.A ) b) m m + Murtopotessi, jote., m, r s r+ s ( ), murtopotessi + ( ) ( ) + + ( ) >, murtopotessi ( ) 8 8 (8 )

17 .A Lskettv k, jote k. Kosk k o oltv k >. Ehdost k sd k k > > k k k ().A Oletukse muk >, y > j y 6. Siis y. ) + y y y ( y)( + y) ( y) ( y) ( + y) y + y y ( + b)( b) b.a.6a ) b) m 6 6 ( m ) >, jote ( ) ( ) ( ) ( ) + y y y ) 6 + y y y y y y y 6 6 ) ( y ) y y y y y y y y y y y y y y y m y >, jote y y y y y y, kosk y >. y y m ) b) ( ) ( ) ( r ) s r s ( ) ( ) + r s r+ s + + ( ) (prito juuri) b b 6 ( ) s s, ku o prito Vstus ) b) Vstus ) b) y y

18 .7A ) Kosk luvut j b ( >, b> ) ovt toistes kääteislukuj, ii eli b. b Lukuje j b keskirvo o + b + b Siis b) + y y + y y + y + y y y + y y y + y + y y + y y + y + y + y y + y ( + ) b + b + b b b + b+ b + b+ b + b, b + 6.8A ) Väite: Tutkit, oko b eli oko b j b. Merkitää 8 + j b +. b + >, jote ehto b o voimss. b ( + ) jote ehto b o myös voimss. Siis väite pitää pikks. b) Väite: 8 + eli 8.9A Väite: 6 + eli 6 Todistus: Merkitää 6 j b. O osoitettv, että b eli että b j b. Kosk b 9 8 >, ii ehto b o voimss. Kosk b ii myös ehto ( ) b o voimss. Tutkit, oko b eli oko b j Merkitää 8 j b. b. b >, jote ehto b o voimss. b ( ) Siis ehto b ei ole voimss, jote väite ei ole tosi. Vstus ) Väite o tosi. b) Väite o epätosi.

19 .6A.6A ) b) 9 + ( + ) + Siis j ( ) ( + ) ( + ) ( ) + Siis j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ), j + + ±, j + Siis ± ) + ) ) + ( )( + ) + + ( + ) ( ) ( )( + ) ( )( + ) ( ) ( )( + ) + ( )( + ) ( + ) ( )( + ) Vstus ) b) b) A ) Olkoo j b. ) b + b + ( + b ) b b + b + ( + b ) b b b) b) Oletus: b,, t y t t t + t Vstus ) b) Väite: Todistus: y Tutkit väittee vset puolt. y + t t t t + + t t + t t + + t + t t t eli stii väittee oike puoli. Siis väite o tosi.

20 .6A.6A ) b j b b + b b b b j b b) b b) ( b) b b b b ( b) b ( b+ b ) b b b b ( b) + b b ( b b ) b b b b( b) b b ) 6 6 eli j Osoittj ollkohdt: + ± ± + 8 ± ti b) j + j + ( + ) ( + ) + ) + + ( + ) Nimittäjä ollkohdt: 6 ± ( ) 6 6 ± + ± 6 ti + Vstus ) b b) + Siis b + c (.6A ) 9 b) 8 + eli ( ) ( + ) ( ) ( 8) + ) y) y y) + y b) ) y) y y + y y y y y ( y) y y ( y ) ( y) ( + y)( y) y + y Määritelty, ku, y j ± y Vstus ) b) +

21 .66A + + P b b : P + b + b b+ b () : P + b + b + b+ b + b Sd yhtälöpri () Sijoitet yhtälöö (). () + b () + b b b Tulomuoto: b c + + P ( ) + ( )( ) ( ) + ( )(+ ) Vstus P ( )(+ ) Siis P. Nollkohdt: ± ± 6 8 ti.67a Rtkisu Kolme stee polyomi o muoto P ( )( )( ),, missä, j ovt polyomi ollkohdt. Siis P ( )( + ). Kosk P( ) 6, ii ( ) ( + ) 6 ( ) 6 6 Näi olle P ( )( + ) ( )( + )( ) + + ( ) ( )( ) Vstus P + + Rtkisu Nollkohdt:, j. stee polyomi o muoto P + b + c + d,. Siis P : + b + c + d ( ) : ( ) + ( ) + ( ) + P b c d P ( ) : + b + c + d Kosk piste (,6) o käyrällä y P, ii sd P( ) 6 + b + c + d 6 Rtkist yhtälöryhmä () + b+ c+ d 8 b c d b c + b+ c+ d 8 d + b c+ d 6 Siis P + +.

22 .68A ) +, Kosk o osoittj tekijä, ii ( ) : ollkoht o myös osoittj ollkoht. Sd yhtälö Sieveetää luseke b+ b ( b) ( ) b) +, Kosk o osoittj tekijä, ii ( ) : ollkoht o myös osoittj ollkoht. Sd yhtälö Sieveetää luseke + Osoittj ollkohdt: + + ( ) + ( ) + + ti ti, ei relijuuri Siis + ( )( + ) +,. Vstus ) + 9 9; b) + ; +.69A Merkitää, j. Kosk j ovt kksikertisi ollkohti, ii P o muoto P ( )( ) ( ) ( )( + ) ( ) ( + ) ( ) Kosk P (), sd yhtälö ( + ) ( ) Siis P ( + ) ( )..7A P + + b+ c Kosk P o jollie ( ) :llä, ii tämä ollkohdt j ovt myös P: ollkohti. Siis P b c ( ) : ( ) + ( ) + ( ) + P b c () : Lisäksi o P (), jote + + b + c. Sd yhtälöryhmä () + b + c ( ) ( ) + + b+ c b + c + b c b + c + b b + b c b + c b sijoitus b 9+ Sijoitet j b yhtälöö (), sd c eli c Vstus P +

23 .7A Jet polyomi P biomill +. Merkitää osmäärää Q:llä j jkojääöstä r:llä. Sd jkoyhtälö P r Q r P Q + + (+ ) P Q (+ ) Sijoitet. P Q + Q Siis P, jote + Vstus.7A Jet polyomi P + biomill j sd jkojääökseksi. Tällöi jkoyhtälö o P Q + ( ) P ( ) Q + Sijoitet. P() ( ) Q() + Q() + Siis P() Polyomi P + 6o jollie biomill +, jos polyomi P tekijöiä ovt biomit j +, eli P: ollkohti ovt j. P P () + 6 ( ) ( ) ( ) + 6 ( ) Siis P ei ole jollie biomill..7a Polyomi P o jollie biomill + jos j vi jos + o P: tekijä, eli o P: ollkoht. + + ( + ) +, joss. P P( ) ( ) + ( + ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) Siis o polyomi P ollkoht, jote väite o tosi..7b P + 6 ) Kosk P o jollie ( + ) :llä, ii o P: ollkoht. Sd yhtälö P( ) 6 + 7

24 b) Sieveetää luseke + 6, P + + Osoittj ollkohdt: 6 + ± ± ± ti 6 6.A ) + 8 ( ) b) 8 6 ( ) Siis + 6 ( )( + ) c) + + ( ) + + Vstus ) b) 9 9 i epätosi ei rtkisu.a ) ( ) ( ) i tosi Siis R.A ) + ( + ) b) b) < 6 6 ( + ) ( + ) < + < 9 epätosi > ei rtkisu c) 6 6 i tosi R

25 .A + < + + ( + ) + < + j + + (+ ) < j < : ( ) j > j i tosi > j R Siis > j R, jote kksoisepäyhtälö toteutuu, ku >..A ( + ) ( ) Tutkit, oko myös yhtälö rtkisu sijoittmll yhtälöö i tosi Siis o yhtälö rtkisu. Vstus, jok toteutt myös jälkimmäise yhtälö..6a ) b) ± ( ) ± ti ± ( ) ( ) ± ±, ku, ku < ± ± c) Merkitää P 9+. Nollkohdt: P 9+ 9 ( 9) 9 ± ± ti 7 P ( )( ), missä P ( )( 7) j ovt polyomi ollkohdt P ( )( 7).7A ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ±

26 .8A ) Rtkisu Nollkohdt: : 6 ± 6 Päätellää vstus: 6 6 Rtkisu 8 Vstv yhtälö: 8 6 ± 6 Epäyhtälö testus: Kuvj: 8 epätosi 6 tosi tosi 6 tosi epätosi b) Rtkisu < ( ) ( ) ( ) > ( ) [ ( ) ] > ( )( 6 ) > ( )( ) > Nollkohdt: ti ti Merkkikvio: Päätellää vstus: < ti > Päätellää vstus: 6 6 Rtkisu < ( ) Vstv yhtälö: ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )] ( )( 6 + ) ( )( ) ti ti Epäyhtälö testus: < ( ) tosi epätosi 6 epätosi 6 epätosi tosi.9a + > + > Nollkohdt: + ± ( ) ± 8 ti Kuvj: Epäyhtälö toteutuu, ku. Ku otet huomioo ehto >, sd <. Siis <. Päätellää vstus: < ti >

27 .A.A ) b) :( 8) ( ) ( ) ( ) ( )( + ) ( ) ( ) [ ( + ) ] ti ( + ) ti ( + ) : Siis,9999 ti + + +,,9999 R, < ( ) < ( + ) < ( )( + ) + ( ) < ( + ) j ( + ) < ( )( + ) + ) ( ) < ( + ) + < + + < < :( ), > < ) ( + ) < ( )( + ) < + < :, < > Yhdistetää ) j ), jolloi sd < <..A Fuktio P + + ei s egtiivisi rvoj, ku + +. Epäyhtälö toteutuu, ku yhtälö + + diskrimitti D b c eli 6 6.A ( ) + Tutkit juurte määrää diskrimitill. ( ) ( + ) D b c ku D, o yksi juuri (s. kksoisjuuri) ku D >, o kksi erisuurt juurt ku D <, ei juuri Yksi juuri: ± Kksi erisuurt juurt: > < ti > Ei juuri: < < Vstus Yksi juuri (s. kksoisjuuri), ku ±. Kksi eri suurt juurt, ku < ti >. Ei juuri, ku < <.

28 .A ( ) + ) Jos, ii yhtälö o muoto, joll o vi yksi rtkisu ( ). ± kelpvt ) Jos, ii yhtälö o. stett j sillä o täsmällee yksi rtkisu, ku diskrimitti D. ( )() D b c + ( ) + ± Siis yhtälöllä o täsmällee yksi juuri, ku ± ti ±..A ), ku o prito. b) ( ) c) 6 6 epätosi, kosk i Yhtälöllä ei ole rtkisu. ( )( + ) ( ), ku o prillie. ±.6A ( ), ku o prito..7a ) ( )( )( + ) ti ti + ti ti b) ( )( )( + ) > Muodostet tulo merkkikvio. + tulo Siis < ti < <

29 .8A ) b) ryhmittely + ( ) yhteie tekijä + yhteie tekijä + yhteie tekijä + tulo ollsäätö + ti ti + ± ti ti ryhmittely + + ( + ) ( + ) yhteie tekijä + 6 tulo ollsäätö 6 ti + ti 6 6.9A Sijoitet t. t t ± ( ) ( ) t ± t t ti t t ti < ± ti ei rtkisu Siis ± ti, ku o. prillie ti ti ± Siis ±.A 6 < 8 7 Vstv yhtälö: Sijoitet t. t + 7t 8 7± 7 ( 8) 7± 9 t t ti t 8 t ti 8 ti.a < 8 <, ku o prillie. < < < b b< < b < < 99 < < Epäyhtälö testus: 6 < 8 7 epätosi epätosi tosi epätosi epätosi Päätellää vstus: < <

30 .A ) < < Nollkohdt: ( ) ti, jote tulo merki määrää tekijä. Siis ( ) <, ku < j > eli ku < j Siis < j Muodostet merkkikvio: tulo Siis ti b) ( ) ( ) ( )( ) Nollkohdt: ( )( ) ti ti ±.A Luseke o määritelty, ku ) > j ) 6+ 6 ( ) > ( ) 6( ) Nollkohdt: ( )( 6) ti ( ) + > ti ± Nollkohdt: ti ti ± ) Merkkikvio: ) Merkkikvio: tulo + + tulo + + Siis < ti < < Siis ti Yhdistetää ) j ): ) ) ) j ) Siis luseke o määritelty, ku < ti < <..A Olkoo b. ( b) + + b ± ( b) b ( b) ± b+ b ( b) ± ( b) ( b) ± b ( b) b, ku b Kosk b, ii sd ( b), ku < b + ( b) ( b) ti ( b) ( b) + b + b ti ( b) ( b) b b ti ( b) ( b) b ( b ) ti b ( b) b ti b

31 .A b > b b > b ( b) > b ) Jos b eli b, ii lkuperäie epäyhtälö s muodo > > ) Jos b > eli > b, ii ( b) > b :( b) ( > ) > epätosi Epäyhtälöllä ei ole rtkisu. b > b b tulukkokirj > b b ( b)( + b+ b ) ( b)( + b+ b ) > b > b b ) Jos b < eli < b, ii ( b) > b :( b) ( < ) b < b b tulukkokirj < b b ( b)( + b+ b ) < b b Vstus <,jos < b b b ei rtkisu,jos b > b b,jos > b.6b I + ± ( ) ( ) ± 8+ ± ( + ) ± ( ) ( ± ) ± ± ( ) ± ( ) ( + ) ± [ ( + ) ] ( + ) ( + ) ± ( + + ) ( + ) ± [ ( + ) ± ] ± ± + ± + ti + + ti + Vstus Toie juuri pysyy sm, toie juuri ksv khdell. + ti + ti II ( + ) + ( + ) ( + ) + + ( + ) + +

32 .7B + + ( + ) + Oltv toist stett, jote + eli. Kksi eri suurt relijuurt, ku diskrimitti o positiivie. Sd epäyhtälö + > D b c > + > Nollkohdt: + ± () ± 6 6 ti ti Epäyhtälö toteutuu, ku < <. Ku huomioid ehto, sd < <,.8B Pit-lvuokr o 8 / h 8 /m,8 / m. Aitkustukset, / m. Alue o eliö muotoie. Olkoo eliö sivu (m). Kustukset ovt. Sd yhtälö,8 +,,8 +,8,8 ±,8,8 ( ),8 ± 8,8,8,6,8 8,8,8 + 8,8 < ti 78,8... >,6,6 ei kelp kelp Neliö pit-lksi sd 89,9... m,8 h Vstus Peltol o,8h..9b Rtkist yhtälö 8, ( f ) , f 9 f 8, + f,76 Mittrit äyttävät sm lukem, ku c f. Sd yhtälö f ( f ) 9 f f 9 9 f f 9 9 f 9 9.B Olkoo kummki sijoitukse lkurvo. Vuode kuluttu sijoitukset ovt ) 6 Kis: + j Elis: Sd yhtälö Sijoituste yhteisrvo tulee k-kertiseksi. Sd yhtälö 6 k + 6 eli k,. Vstus Sijoituste yhteisrvo tulee,-kertiseksi. 8 9 f 9 Vstus Kuume fhreheitstei o F. Mittrit äyttävät sm lukem, ku lämpötil o C eli F.

33 .B Olkoo ohittv uto kulkem mtk vsemmll kistll (km). Sm ik ohittv uto kulkee mtk km m 6m (,) km mtk Kosk ik, ii sd yhtälö opeus, (,) 8, Siis ohittv uto joi,km m vsemmll kistll.,km Tähä kului ik,h, 6 6s 8s km/h. Vstus Ohittj joi m vsemmll kistll j siihe kului ik 8s..A 9 ) + määrittelyehto: + eli + ( + )( ) Siis R, b) määrittelyehto : j j eli j ( )( ) ( ) ( ) ( 6 7) 6 7 ti Siis ti j 6 kelp ei kelp.a + määrittelyehto : eli + ( )( + ) > i + + ( ) ( ) ( + ) tulo ollsäätö Siis ti + ti ti kelpvt.a 6 määrittelyehto : ) 8 8 eli 6 8) ( ) ( + ) + ( ) ( ) Osoittj j imittäjä ollkohdt: + j osoittj imittäjä osmäärä Siis < + + +

34 b) ) + ) ( ) 8 ( + ) ( + ) Nollkohdt: + 8 määrittelyehto: + eli.a < Rtkisu < määrittelyehto : + < + < < ( ) < < 8± 8 ( ) ( ) 8± ti 8 8 osoittj + imittäjä osmäärä + + Siis < ti Nollkohdt: ( ) ti ti Päätellää rtkisu: < < Kuvj: Rtkisu Vstv yhtälö: määrittelyehto: ( ) ti ti Epäyhtälö testus: < epätosi ei määritelty, tosi epätosi epätosi Päätellää vstus: < <.6A + ) + ) + + Nollkohdt: ( + )( + ) + ( + )( + ) > + > ± ( ) ± 7 Merkkikvio: osoittj imittäjä osmäärä Siis < määrittelyehto : + eli

35 .7B Olkoo yhtyeessä jäsetä. Tuotto yhdelle jäseelle o 9. Jos jäseiä o kksi eemmä, tuotto yhdelle jäseelle o 9. + Sd yhtälö 9 9 määrittelyehto : j ( + ) 9+ 8( + ) 9( + ) : 8( > ) + 8 ± ( 8) ± 8 ti 6 >.8A ) + Jos b,ii b b ti b + ti + ti 6 ti b) + b b ti b + ti + ti 7 ti 7 c) + Jet trkstelu osii itseisrvo määritelmä muk. ) Jos + eli, ii sd Vstus ei kelp kelp Yhtyeessä o 6 jäsetä. + Jos,ii. + kelp ) Jos + < eli <, ii sd < + < ( + ) 7 < 7 ei kelp Jos <, ii..9a ) b ± b 6+ 9± ( ) ti b) 9 ti ti + ) Jos eli, sd + Jos, ii. + kelp Siis.

36 ) Jos < eli >, sd + Jos <, ii < > ei kelp Siis. c) + + ) Jos, sd ( + ) + ei kelp

37 ) Jos <, sd + + < ( ) ± ± ti + Ehdo < perusteell vi kelp.

38 .A ) < b b< < b.a ) > Jos j b, ii > b > b. 6 > b) b b ti b + ( + ) ti ti 7 ti 7 ti b) ( ) > ( ) + > + > > b b b ti ti c) + < + < b b< < b + + ) ti ) ( + ) < + < + Nollkohdt: Nollkohdt: < + < < + j + < + 8< 6 j < 8 ± ± > j < Yhdistämällä rtkisut sd < <. ± 8 R

39 Kuvj: y Kuvj: y + +.A Poistet itseisrvomerkit käyttämällä itseisrvo määritelmää j tutkit yhtälöä eri lueiss. ) ti ) Epäyhtälö toteutuu kikill R. Yhdistetää kohtie ) j ) vstukset: +, ku + eli +, ku <, ku eli +, ku < Merkkikvio Siis R ) Ku <, sd + + ( + ) < ei kelp ) Ku < sd + + < + ( + ) + 7 < 7 kelp ) Ku sd + + > + ( ) + ei kelp Vstus 7.A + määrittelyehto : eli Jos j b, ii + b b. Siis oltv + eli. ( + ) ( + ) + ti ti ehdot j ei kelp kelp Vstus

40 .A + 6 määrittelyehto: eli + 6, + + ti + ) + Jos j b, ii 9 8 kelp ) + < b b. Ei rtkisu, sillä eliöjuuri o i ei-egtiivie..a ) määrittelyehto: eli Jos j b, ii b b. ( ) + + ± Siis oltv eli. ± ti kelpt b) + + Trkistus! Vstus. Trkistus: + ( + ) Sijoitet lkuperäisee yhtälöö tosi 7 Siis kelp..6a b b, ku o prito ) ( ) () ( ) + ( ) ti b) + Trkistus! +, ku prillie ± Trkistus: Sijoitet lkuperäisee yhtälöö. + tosi Siis Sijoitet lkuperäisee yhtälöö. ( ) + ( ) epätosi

41 c) määrittelyehto : eli ( ) Siis kelp Oltv eli. () 6.7A Yhtälö o määritelty, ku > eli >. + + trkistus! ± ( 9) 8 9± 6 ti Trkistus Sijoitet 6 lkuperäisee yhtälöö tosi Siis 6 o yhtälö rtkisu. Vstus 6 Sijoitet lkuperäisee yhtälöö. + + epätosi Siis ei ole yhtälö rtkisu..8a ) < < + > ( ) > määrittelyehto : eli Jos j b, ii > b > b. Epäyhtälö toteutuu, ku. Lisäksi huomioid ehto b) Siis,.. määrittelyehto: eli tällöi >, ( ) Siis kelp +

42 .9A.A määrittelyehto: > eli ti () > ( ) > + > > ti kelp Jos, o <. > < Epäyhtälö i tosi. Siis. Vstus ti >. ) + < + määrittelyehto: ( + ) ( + ) < + eli + eli Rtkisu tällöi myös oike puoli + ( + ) < +, < b < b ( + ) < ( + ) ( + ) ( + ) < ( + ) [ ( + )] < ( + ) ( ) < ( + ) ( ) < ( + ) < > kelp Siis > Rtkisu Vstv yhtälö: ( + ) +,, b b ( + ) ( + ) ( + ) [ ( + )] ( + ) ( ) + ti kelpvt Epäyhtälö testus: ( + ) < + ei määritelty epätosi, epätosi epätosi tosi b) Päätellää vstus: > + + Rtkisu + + ti + +, b b, ku prito Nollkohdt: + ± ± Kuvj: ti Siis ti Rtkisu Vstv yhtälö: + + b b, ku prito + + () ± ( ) ± ti

43 Epäyhtälö testus: + + tosi tosi epätosi, tosi tosi Päätellää vstus: ti.a ) b) y (, ) y > y ( >, ) y ± c) + + e e + + y e e ( >, ) + + ( ) + + y + + ti ± ti ± ti ti ±.A ) 6 ( ) (6 ) y 6 6 (, ) y > ( ) ti b) ti y y ( >, )

44 c) 7 7 y > + 6 y (, ) A ) Sijoitet t. t t+ 9 ± ( ) 9 t ± 8 t t 9 ti t t 9 ti y > ti y ti (, ) b) Sijoitet t + t t t ( + ) tt t ± t ti t ± t ti t t ti t ti t t ti ti ti ti > epätosi ti ti Siis ti.a ) 8 y, ku b) y > y < < > y, ku < < > < Nollkohdt: Kuvj: ± Siis < <

45 c) ( > ) + : ( ) 8 y > y, ku.a e + e e e e + e e ( > ) e (e ) e ee e Sijoitet e. + t + e e t t t t ( e+ ) t+ e e+ ± e+ e e+ ± e e+ t e+ ± ( e ) e+ ± e e+ ± ( e ) t e+ + e e+ e+ t ti t t e ti t t e y e e ti e e y ( >, ) ti.6a + > ( > ) + > t t > Sijoitet, t + t > + + > t t Nollkohdt: t + t+ ± t () ± t t ti t Kuvj:.7B Nukutusiett o oltv leikkukse lopuss vielä mg 6 mg. Aiee puoliitumisik o kolme tuti. Jos ukutusiett o ee leikkust t o, h mg. Sd yhtälö mg, ii j t kuluttu sitä hmi 6 h, mg 6 mg 6 ( mg),h h, Siis < t <. Kosk t >, ii < t <. Plt muuttuj. < t < t < < < j < y < < y, ku > > tosi j < R j < Vstus: <

46 .8A ) lg + lg + lg määrittelyehto: > j > eli > Tp lg + lg + lg tulo logritmi lg lg Tp lg + lg + lg osmäärä logritmi b) ( ) ( ) lg lg + lg lg + lg + + log y log y >, y > r log y log y log r log ( > ) ( y ) log log y osmäärä logritmi y log log y.9a l ) l(e ) l(e ) e määrittelyehto: > l Tp l(e ) l(e ) e osmäärä logritmi e l log l e ( >, ) e l e le le tulo logritmi l Tp l(e ) l(e ) e log ( >, ) l e + l (l e + l ) l e + l l e l log ( >, ) b) e l l l osmäärä logritmi e > l log e (, ) c) + l e + l e tulo logritmi ( + e ) l e l e + > + l e log (, ) +.6A ) lg lg lg määrittelyehto: >, lg lg r lg lg log rlog ( >, ) lg lg log log y y ( >, ) ( ) ti > ei kelp kelp Siis b) l( + ) + l( ) l( + ) Määrittelyehto: + > j > j + > > j > j ( + ) > > j > j j > Siis yhtälö määritelty, ku > l( + ) + l( ) l( + ) tulo logritmi l[( + )( )] l( + ) l( ) l( + ) log log y y ( >, ) + > ei kelp Siis yhtälöllä ei ole rtkisu..6a y log9 log y ( >, ) ± > log y log y y ( >, ) y y y y y ( >, ) y Vstus: log

47 .6A ) b) l l e le osmäärä logritmi, log r log l l l e le l l l e l e le l l l 6 l l 6 : määrittelyehto: > y l log y ( >, ) e r Nollkohdt: Kuvj: ± ( ) ( ) ± ti Kuvjst päätellää, että >, ku < ti >. Kosk määrittelyluee o >, ii epäyhtälö toteutuu ku >. log ( + ) < log ( ) log < log y < y, ku > määrittelyehto: + > j > log ( + ) < log + log, > eli > j > eli > log ( + ) < log ( ) + < > tulo logritmi.6a ) lg( + ) lg( ) lg( + ) lg määrittelyehto: j r eli > j, log rlog lg( + ) lg log log y y ( >, ) + > > + + ti + ti epätosi ti >, ei rtkisu kelp Siis Huomutus Seurvll tvll rtkistess määrittelylue muuttuu (pieeee). lg( + ) lg( ) >, lg( + ) lg > lg( + ) lg log log y y ( >, ) + epätosi ei rtkisu Lopputulos o virheellie, kosk ei sd rtkisu. b) l( ) + l l l e l tulo logritmi + l[( ) e ] l log log y y ( >, ) e e e e + e (e ) e :(e ) + + e < < e + kelp e Siis e + määrittelyehto: > j > eli < j > r eli < <, log r ( >, )

48 .6A ) lg( + ) lg[( ) ] > lg( + ) > lg[( ) ] log > log y > y, ku > + > ( ) + > + + > määrittelyehto: + > j eli > j Nollkohdt: Kuvj: + ( ) ti ti Kuvjst sd + >, ku < <. Ku otet huomioo määrittelyehto >,, sd rtkisuksi < <,. Nollkohdt: ( ) ti ti Kuvj: Siis epäyhtälö o määritelty, ku < ti >. log ( ) log ( >, ) r log ( ) ( ) log log r log ( >, ) log ( ) log log log y y, ku < < Nollkohdt: Kuvj: b) Siis < <,. log ( ) Määrittelyehto: > ± ± ti Kuvjst sd, ku. Ku otet huomioo määrittelyehto < ti >, sd rtkisuksi < ti <. Siis < ti <..6B C- pitoisuus elävässä hiss olkoo m j puoliitumiste lukumäärä. Sd yhtälö, m,9m,,9 lg, lg,9 lg,9 lg, lg,9, lg, Hi hmp ikä o siis, vuott.

49 .66B Jos iee määrä luss o m j puoliitumiste lukumäärä, ii iett o jäljellä, m. Tällöi viide puoliitumise jälkee iett o jäljellä,, m m eli oi %. Aieest o poistuut 99 %, ku, m,m,, lg, lg, lg, lg, lg, 6,68... lg, Aik o tällöi kuluut 6,68 h 6, h eli h h. Vstus: Viide puoliitumise jälkee iett jäljellä oi %. Aieest poistuut 99%, ku ik kuluut h h..67b Rdioktiivise jodi--isotoopi puoliitumisik o 8, vuorokutt. Olkoo iee ktiivisuus luss j puoliitumiste määrä. Merkitää t edellisestä mittuksest kuluutt ik t:llä, jote. Sd yhtälö 8, t 8,, 7,8, 6 t 8,,6, log log y y ( >, ) 7,8 t 8,,6 r l, l log r log ( >, ) 7,8 t,6 l, l 8, 7,8,6 l 7,8 t 8, l, t 9, (vrk) Vstus: Edellisestä mittuksest kuluut 9 vuorokutt..68a Kosk kteettie pituuksie suhde o :, ii void merkitä kteettie pituudeksi j. Tällöi hypoteuus sd Pythgor lusee vull: ± > >, Kolmioss piei kulm o lyhimmä sivu vstie kulm. Piirretää mllikuvio. cosα t α t β Vstus: cos α j t α Kolmio kulmie summ α + β + β α β α.69a si, 8 < < 7 Trigoometri peruskv muk si + cos si + cos cos < < < cos cos, kosk 8 7 ± Tgeti määritelmä muk si si t cos cos : Vstus cos, t

50 .7A ) Trigoometri peruskv muk si α + cos α 6 si α cos α cos α 6 si α d) si α si ( α + α) si ( α + β ) siα cos β + cosα si β 7 si αcos α + cos αsiα b) 9 α α < < α < si si, kosk siα ± cos α cos α cos α α α cos cos c) siα 6 α α α α < α < si si cos cos j jote cosα.7a si α Väite: + t α + cos α Todistus: si α + t α + si α + cos α cos α cos α cos α cos α + + cos α cos α cos α cos α + cos α cos α cos α Siis väite o tosi..7a ) si si + ti + + ti ti +, Z 9 9 b) cos cos cos cos cos ti cos cos cos cos + ti ± +, Z

51 .7A ) si + cos si + cos eli si cos ( cos ) cos + cos cos + cos cos Sijoitet u cos. + u + u ± ± u u ti u u cos cos ti cos cos ti cosα cos β cos cos α ± β + ± + Siis ti ± +, Z b) si cos sicos sicos si.7a ) 6si cos cos si 6si si + si 6si : + u si si Sijoitet si. u u+ ± ( ) u ± u u ti u si ti si si + ei rtkisu Siis +, Z b) : cos, pitää oll cos eli + cos si Jos cos, ii si, si si + +, Z jolloi yhtälö cos si o epätosi si cos t t t 6 + toteutt ehdo + 6 Siis +, Z 6.7A si cos si cos siα si β si si α β + ti α β + + ti + + ti epätosi +, < < 8 8 kelp ei kelp 8 8 kelp 8 8 ei kelp Vstus ti 8 8

52 .76A si + si, ], [ si sicos si + si cos si ( + cos ) si ti + cos ti cos cos ti ± +, Z,< < ei kelp +,< < kelp ei kelp kelp ei kelp 8 ei kelp ei kelp +,< < ei kelp kelp ei kelp 8 ei kelp Vstus: ti ti.77a ) si + si si si si ( α) siα si si ( ) siα si β α β + ti α β + ± ( ) + + ti ti ( ) + ti ti + + ti +, Z 6 ti + eli +, Z Siis ti +, Z b) cos + cos cos cos cos( α) cosα cos cos( ) cosα cosβ α ± β +

53 .78A ) + t + t + t t 8 + Määrittelyehto: + eli + + eli + t + t tα t β α β + α, β kelp b) Määrittelyehto: + + eli t + + t + j + eli 6 t + t t( α) tα tα t β t + t + α β + α, β , Z + j 6 kelp Siis +, Z.79A Vstus () + y + () y Sijoitet yhtälöö (). + y y y.8a ) b) () y+ ( ) 6y+ + 6y 8 + 6y + + Sijoitet yhtälöö (). ( ) y+ y y Siis y 6y y + 6y y : ( 6) 6y 7 6y 7 Siis kikki suor 6 7 pisteet toteuttvt yhtälöpri. 7 6y 7 6y 7 y 6 7 Siis y, R 6

54 c) () y Sijoitet yhtälöö ( ). 7 y epätosi, jote ei rtkisu.8a Merkitää tvroide hitoj seurvsti: A ( ) B y ( ) C z ( ) Sd yhtälöryhmä () + z 9 () y + z 8 ( ) () + y + z () y z 8 + () + y + z 8 + z 9 Siis tvr C hit o. 8 Sijoitet yhtälöö ()..8A Merkitää Puise plik pituus Vihreä plik pituus y Siise plik pituus z 7+ y y+ z + y+ z () y 7 Sijoitet yhtälöihi ( ) j ( ). y+ z + y+ z Vstus y 7 6 y y 8 Sijoitet yhtälöö ( ). 8 + z z z Puie plikk 6 cm Vihreä plikk 8 cm Siie plikk cm ( 7) + z + ( 7) + z + z + + z + z ( ) + z z + + z 6 Sijoitet yhtälöö ().

55 .8A Työttömyysprosetti esi 9 % Työttömiä sitte % + 8 Olkoo työikäise väestö määrä. Siis 9 Sijoitet yhtälöö (). () 9 () Työttömiä o työttömyysproseti ousu jälkee Vstus Työttömiä o 6..8A Kosk m j ovt kokoislukuj, ovt myös m+ + j m + kokoislukuj. Tällöi sd seurvt vihtoehdot m+ + m+ + ) ) m + m + m+ + m+ + ) ) m + m + m+ + m+ + ) ) m + ( ) m + ( ) m+ + () m m+ m+ Sijoitet Z yhtälöö (). m + () + m ) m+ + m+ + ) m + ( ) m + ( ) (6) m+ + m m+ m+ 6 7 Sijoitet 7 Z yhtälöö (6). m + () + m Vstus: ( m, ) (, ) ti ( m, ) (, ).8B Lhjrht, y j z mk I ehdot () + y+ z y kllei lhj z y () y kllei lhj y z z () z kllei lhj z y Tpukset symmetrisiä, jote riittää trkstell yhtälöä () sekä epäyhtälöitä () j (). Lsket puolitti yhtee () j (). y+ z ( y+ z) : Sijoitet yhtälöstä () y+ z y+ z

56 II ehdot.a () + y+ z y z ( ) Vstus Sijoitet yhtälöstä () z Kllei lhj o eitää mk. Kksi yhtä kllist lhj voivt oll eitää mk. 6 Siilusee vull sd yhtälö si si 6 si6 si Vstus.A.A C R P B r r 6 6 A Mediie leikkuspiste jk mediit : kärjestä lukie. Olkoo etu medii pituus, jolloi 8 7. Osie pituudet ovt kärjestä lukie 7 j 7. Tssivuise kolmio mediit, kulmpuolittjt j kylkie keskiormlit yhtyvät, jote sisää j ympäri piirrettyje ympyröide yhteie keskipiste o edellä miittuje joje yhteisessä leikkuspisteessä. Olkoo ympäri piirrety ympyrä säde R j sisää piirrety ympyrä säde r. Vstus j 7 kärjestä lukie. Mediie leikkuspiste jk mediit suhteess : kärjestä lukie, jote R r. Ympyröide pit-loje suhde o Aympäri πr π( r) πr % A πr πr πr sisä Siis ympäri piirretty ympyrä o sisää piirrettyä ympyrää % % % suurempi.

57 .A - + Kolmio sivut ovt suuruusjärjestyksessä, j +. Hypoteuus o siis oltv + j sd Pythgor lusee vull yhtälö ( + > j > j >, jote > ) ( + ) ( ) ( ) ti Siis o oltv, jolloi kolmio sivut ovt, j. Kolmio ympäri piirrety ympyrä säde void määrittää helposti, ku huomt, että puoliympyrä sisältämä keskuskulm o i suor. Kosk kolmio o suorkulmie, o se hypoteuus oltv ympyrä hlkisij, jote säde o r. Vstus, säde o.a C () E F () P l A D B Piopiste P jk medii CD suhteess :. Kolmioiss ABC j EFC o ACB ECF yhteie kulm CEF CAB smkohtiset kulmt j l AB jote ΔABC Δ EFC (kk). CP Piste P o mediie leikkuspiste, jote PD j siis CP CD. Kosk yhdemuotoiste kolmioide vstisivut ovt verrolliset AEFC mittkv :, o loje suhde. AABC 9 Merkitää AABC A, jote AEFC A. 9 Puolisuuikk ABFE l o AABFE A A A. 9 9 A AEFC Aloje suhde o 9. A ABFE A 9 Vstus Suor jk kolmio l suhteess :..6A.7B 7 b h Olkoo suorkulmise kolmio hypoteuus pituus + 7, korkeus h j kteetit j b. O määritettävä kteettie pituuksie suhde tα. b h Toislt o t α j tα. 7 h Sd yhtälö +, h +, Kuv merkiöillä sd yhtälö ( +,) + +, +, (cm) Pythgor lusee vull sd kolmio korkeus: h> j > h h 7 h 7 h ) Siis tα b h 7 Vstus : + h ( +,), + h, h,, 6, h 6,, (cm) ± Kolmio pit-l o h,,... A, (cm )

58 .8B.9B c b b 6 Kolmio piiri o + b+ 6. Pythgor lusee muk o Sd yhtälöpri + b. + b+ 6 b Sijoitet lemp + b + b b + b b+ b + b 6 ± ( ) 6 b b+ b b 9 j 9 ti b j 9 ) Hypoteuus pituus sd Pythgor luseell: c c ± 7, b) Kolmio kulmille sd yhtälöt tα α t, , t β β t 6, , Kolms kulm o 9,. 6 c) Kolmio l o A. Vstus 9 cm j cm.b L Rtkisu R N Rtkist etäisyys kosiiluseell. m + m m m cos ± Rtkisu m m cos 9,86... m 9 m Kolmio LRN o tskylkie, jote jkmll kolmio khdeksi suorkulmiseksi kolmioksi huippukulm puolittj vull sd yhtälö si eli msi. m Etäisyys o m si 9, m 9 m. Vstus Suuistj oli 9 m päässä rstist..b y 8 ) Kolmio kolms kulm o α 8. Siilusee vull sd 8 y si si si jost rtkist sivut j y: 8 6 ) 8si 6 si ( 6+ ) 6+ 6( 6 ) ( 9,) 6 8 8si 7 y si ( 6+ ) ( 6+ ) ) 7 6 6( ) 8 8 (, ) + +

59 b) Kolmio pit-l o.b A bsi γ 8 y si 8 (8 8) 8 8 ( ) 8 8 ( 9, ) 6 g Vstus ) Sivut ovt , j 8 8, b) Al o 8 8 9,. 7 ) Piei kulm γ o lyhitä sivu vstss. Kosiiluseell sd cos cosγ γ cos,..., γ b) Kolmio l o 7 A bsi γ b cos γ (,) Vstus ), b) Al o 6.B Kolmio piopiste sijitsee mediie leikkuspisteessä. Hypoteuus pituus sd Pythgor luseell: Sd yhtälö b h h A c b Olkoo kysytty etäisyys h. Merkitää hypoteuus päihi piirrettyje mediie pituuksi kirjimill j y. C h h Vstus Kysytty etäisyys o. c y M h b E G 6 A D F 8 B Lsket esi piopistee etäisyydet kteeteist. Yhdemuotoisist kolmioist ABE j AFM sekä DBC j MGC sd verrot y j y b 8 b Kysytty etäisyys h sd kolmio pit-l vull jttelemll lkuperäie kolmio jetuksi mediie vull kolmee kolmioo, joide korkeudet ovt, b j h.

60 .B Ktseluetäisyydet ovt site m j + 7 m j tori korkeus o h t, h t, 76, ( m) t, t, B,, m A T Vstus Tori korkeus 76 m, ktseluetäisyydet m j 7 m. Olkoo ktselupikt A j B. Etäisyydet o ilmoitettu metreiä. Sd yhtälöpri h t, h t, + Ylemmästä yhtälöstä sd h t,. Sijoitet tämä lemp yhtälöö, jolloi sd t, t, + ( + ) t, t, t, + t, t, t, t, t, t, t, t, t, 7,... ( m) t, t,.b.6b M,7 () () m P 7,6 M 7 7 ' Kosiiluseell sd yhtälö 7,6 +,7,6,7cos 6 7,6 +, 7,6, 7cos, 8..., 8 ( km) 6 Vstus,8 km Lsket pieimmä kolmio l, jolle s rket eli joss rkeus o metri päässä rst. Piirretää tssivuise kolmio sisää ympyrä, jok säde o m. Ympyrä keskipiste o kulmpuolittjill, mutt tssivuisess kolmioss kolmio merkilliset pisteet yhtyvät, jote void lske medieill. Mediit leikkvt toises suhteess :, jote kolmio korkeus o h m + m m. Pythgor luseell sd + 9 ± Al o A kolmio m m 96,... m, h >, h Vstus Ei s rket. Huomutus: olisi voitu myös rtkist, h tssivuise kolmio piopistee lyhi etäisyys kolmio reust j todet, että se o < m.

61 .7B.8B c 8 b Siiluse: 8 si α siα 8siα siα 8siα siαcosα 8siα siαcosα si α ( cos α) siα ti cosα α α cos cos 6,9 Kolmio kolms sivu sd kosiiluseell: cosα c 8 c cosα c c ± ( 6) 9 c c+ c c ti c 7 Jos c, ii kolmio o tskylkie. Tällöi toie ktkulm β 8 α α 8 α 8 6, ,9... α jote kolmio ei voi oll tskylkie. Siis rvo c ei kelp. Vstus α 6,9, kolms sivu o 7, Kuv merkiöillä sd yhtälöpri: h + h t + h t, t h+ 7 ( t, ) t, h+ t t t, h t, 7 t, + t t, ht + t h t, 7 t, + h t + t ht, ht t 7 t, h( t, t ) t 7 t, t 7 t, h 9,... 9, (m) t, t Vstus 9, m.9a.b h b b b b Jet tskylkie puolisuuiks suorkulmioksi j khdeksi kolmioksi. Pythgor luseell sd puolisuuikk korkeus: + h h ± 6 h 9 h ± > h Puolisuuikk l o + 8 A Vstus Al o Olkoo ulomm eliö sivu pituus. Sisemmä eliö sivu pituus b sd Pythgor luseell: jote b + b ±. Aloje suhde o Ab b A Vstus :

62 .A.B Neljäkkää lävistäjät ovt kohtisuorss toisi vst. 6 b 6 y h Pythgor lusee vull sd yhtälö + ( ± ) Neljäkkää pit-l o A (cm ). Suuik korkeus: h si 6 h si 6 Suuikk toie kulm o β 8 6. Pidempi lävistäjistä o kulm vstie lävistäjä. Se pituus sd Pyhgor luseell: y ( + y) + h cos 6 y hcos 6 h ± 9 ( cos6 ) Vstus Lävistäjä pituus o 7..B 6 h h 76 O määritettävä puolisuuikk korkeus h. h + h + ( 76 6 ) h + + h ( ) ( ) 7 + Puolisuuikk korkeus o h±..b Kosk korkeus o 7 < 9, o pidemmä k oltv pisi sivu. Kosk korkeus 7 > 6, o lyhyemmä k oltv lyhi sivu Puolisuuiks void jk khtee kolmioo lävistäjä vull. Stuje kolmioide lt ovt A j A Aloje suhde o 9 7 A A Vstus 9 : Al o A.

63 .B c b Olkoot suorkulmio lyhyempi sivu j pidempi sivu b. Sd yhtälöpri 7 b b 7 eli : b :9 b eli 8 ± ( 7 b 7 ) 8 ) 6, jolloi 9 Lävistäjä pituus c sd Pythgor luseell. c b B 88 m A D 7 b m z Nelikulmio kulmie summ o 6, jote eljäs kulm o C α 6 7 Lsket elikulmio lävistäjä AC kosiiluseell: cos 7,9... ± 7,9... 8, Siiluseell sd kulm si(7 β ) si CAB : si si si(7 β ),8... 8, β si,8..., β 7, ,9... y B Siiluseell sd sivu CB: y si β y 9 si β si si Siiluseell sd sivu AB:.7B A z si(8 β ) si si( β) 8, si( 7,9... ) z si si z, (m) Vstus Neljäs kulm o j kksi muut sivu 6 m j 9 m. y A A A y y Yhdemuotoisuudest sd y y y ± A-rki l o m cm. Sd yhtälö y y y cm y > y Puolitus tphtuu eljä kert, jote A-rki sivut ovt j. Siis y, ( cm ) j 9,7( cm) Vstus A-rki sivut ovt, cm j 9,7 cm.

64 .8B Kuvj: + + A m² y Merkitää suorkulmio sivuj kirjimill j y ( > j y > ), jolloi pit-l o A y (m ) j piiri p + y (m). Tutkit fuktiot p + y y y j selvitetää, millä ehdoll p. Sd epäyhtälö Nollkohdt: ± ( ) + 6 ± 6 6 6,6 ti , >, kelpvt Kosk y, j fuktio o idosti väheevä trksteluvälillä, ii kteeti y pituude suuri rvo o 6+ 6) y j piei rvo o 6 6) y j kteetti y s kikki rvot suurimm j pieimmä rvos välillä. Vstus Sivuje pituudet metreiä ovt välillä 6 6, A.B r r R 8 b r 8 b r b h Olkoo ympyrä säde r. Ku ympyrä sisää piirretty 8-kulmio jet khdeks tssivuisee kolmioo, o tällise kolmio kylki r. Ku ympyrä ympäri piirretty 8-kulmio jet khdeks tssivuisee kolmioo, o tällise kolmio korkeus r j kylki R.. Tssivuiste kolmioide huippukulm o 6 8 Jos tssivuise kolmio korkeus o r j huippukulm, ii kylki R sd yhtälöstä cos r r r R R cos cos, Sisää j ympäri piirretyt 8-kulmiot ovt yhdemuotoiset, jote iide loje suhde o As r r k cos, ( + ) A r u R cos, ) Sääöllie kuusikulmio void jk 6 smliseksi 6 tskylkiseksi kolmioksi. Kolmio huippukulm o α 6 j ktkulmt ovt β 6, jote kuusikulmio kulmt ovt β 6. b) Olkoo tskylkise kolmio kylki r j kt 8. Huippukulm 6 j ktkulmt myös 6, jote kolmio o tssivuie j se sivuje pituus o 8. Keskipistee etäisyys o sm kui tssivuise kolmio korkeus h. Sd yhtälö h h si β si 6 h 8si 6 8. r 8 c) Pisimmä lävistäjä pituus o r h d) Kuusikulmio pit-l o A 6 Akolmio

65 .B.B,, ( ) -kulmio lävistäjie lukumäärä o j sivuje lukumäärä. ( ) > > > Nollkohdt Kuvj Viisikulmio void jk viitee tskylkisee kolmioo, joide 6 huippukulm o α 7. Tskylkie kolmio void jk kt vst piirrety korkeusj (huippukulm puolittj) vull khdeksi suorkulmiseksi kolmioksi. Suorkulmisest kolmiost sd k puolikklle yhtälö si 6, si 6 7,... ( cm), ( ) ti Kuvj perusteell >, ku < ti >. Kosk o oltv, ii sd rtkisuksi 6. Vstus Moikulmioll, joss o vähitää kuusi kulm. Kysytty sivu pituus o, si 6,68..., (cm). Vstus, cm.b.a b b b r r b 6 β, γ 6 α, δ 8 g d b Olkoo ympyrä säde r, jolloi Ympäri piirrety eliö pit-l o A r r A π eli π, joss o eliö sivu. Nelikulmio kulmie summ o 6, jote sd yhtälö β γ δ 6 ( 6 α ) + 6 α 6 α 7 Selvästi r j ympäri piirrety eliö l o Aympäri r r A A π π Sisää piirrety eliö pit-l o b, joss b o eliö sivu. Pythgor luseell sd: b b b b r + b r A A Asisää b r π π Vstus Ympäri piirrety eliö l o A π sisää piirrety eliö l o A π. j

66 .A.6A A C r r 6 r B C O O A B Kosk jäteide välissä o suor kulm, ii BC o ympyrä hlkisij, sillä puoliympyrä sisältämä kehäkulm o suor. D Kolmio AOB o tssivuie, jote krt ACB vstv keskuskulm o 6. Kehäkulm o puolet vstvst keskuskulmst, jote krt ACB 6 vstv kehäkulm o α. Krt ADB vstv keskuskulm o 6 6. Tätä vstv kehäkulm o site. Ympyrä l o Aymp Kolmio ABC l o A π r. BC OA r r ABC r. Jäteide erottm suurimm luee l suhde ympyrä l o r πr π r r A AABC + A + π + + iso puoliymp +π A A πr πr π π ymp ymp Vstus j.7b.8b ) π π π (,) A OAB 6 b) α j β 6 c) Kosiilusee muk kolmiost OCB sd OC OB + CB OB CB cos( OBC) + cos r r CB r CB CB r CB cos CB( CB r cos ) CB ti CB r cos cos cos ( 9,) Segmeti l sd vähetämällä vstv sektori lst kolmio l. Asegm Asektori Akolmio π si 6 8 π 8 8 8π 8π 6 (,) Vstus ) (,) 6 π b) α j β c) CB cos ( 9,)

67 .9B.B 6 6 r r r Olkoo kysytty kulm. Suorkulmisest kolmiost sd yhtälö α 6 6 si α 6, α, m ) Mllikuvst huomt, että Oki-Kost j sre päide void jtell sijitsev smll ympyrä kehällä j sri o tämä ympyrä hlkisij. Siis Oki-Kost äkee sre 9. kulmss (puoliympyrä sisältämä kehäkulm o suor). b) Suorkulmisest kolmiost sd yhtälö ( ± ) Vstus ) 9 b) 78 m.b.b β b β β b A D 7 - F E B C Kolmioiss ECB j AED o AED BEC ristikulmt DAB DCB krt BFD vstvt kehäkulmt Täydeetää kuv tukkie säteitä sopivsti. Huomt, että kysytty vijeri pituus o kuv merkiöillä l 6+ b. 6 Selvästi cm cm j β 6 eli β. 6 Vijeri pituudeksi sd l 6+ b 6 + π 6 + π + π 8, (cm) jote ΔECB ΔAED (kk). Yhdemuotoiste kolmioide vstisivut ovt suor verrolliset, jote AE DE 7 ( ) 7 CE BE ± ( ) 8 ± < < ± 6 6 Hlkisij toie os o Vstus 8 cm Vstus 6 j + 6

68 .B () r r () 6 Lyhyempää krt vstv keskuskulm o α. Vstv sektori l o α Asektori π r π r πr. 6 6 Keskuskolmio l o Suuremm segmeti lksi sd A A A iso segmetti ympyrä piei segmetti πr r π r π+ Segmettie loje suhde o A piei segmetti A iso segmetti r π π r π+ π+ ) π,9..., 8π+ Vstus Aloje suhde o π,. 8π+ Akolmio bsiγ r si r r Pieemmä segmeti l o site Apiei segmetti Asektori Akolmio πr r r π Koko ympyrä l o Aympyrä π r..b kuusikulmio: ) s r β r α Kuv merkiöillä sd kysyty käyrä pituudeksi β 8 α p s π r π r α 6, r 6 6 p π πp 6 9 Vstus b) elikulmio: 9 π p c) Kiertyessää yhde urk ympäri elikulmio kiertyy 6 9. Käyrä koostuu khdest eljäesympyrästä, joide säde o eliö sivu p p, sekä yhdestä ympyräkrest, jok säde o eliö lävistäjä j keskuskulm 9. Käyrä pituus o siis p p pπ pπ πp π + π d) Kiertyessää yhde urk ympäri kuusikulmio kiertyy Käyrä koostuu khdest ympyräkrest, joide säde o kuusikulmio p sivu j keskuskulm 6, khdest ympyräkrest, joide säde o 6 kuusikulmio lyhyempi lävistäjä s j keskuskulm 6 sekä yhdestä p p ympyräkrest, jok säde o kuusikulmio hlkisij j 6 keskuskulm 6.

69 Kuusikulmio void jk kuutee smlisee tssivuisee kolmioo, p s joide sivut ovt, kulmt 6 j korkeus. 6 Tällisest kolmiost sd lskettu lyhyempi lävistäjä: s t 6 p 6 p t 6 p s 6 6 Käyrä pituus o siis 6 p 6 6 p π + π s + π p p p π + π + π πp πp πp π p ( + ) 9.A Krt mittkv o :, jote yksi pituusyksikkö krtll o pituusyksikköä mstoss. ), cm 7 cm 7 m, jote oike vihtoehto o B. b) m, m, mm, jote oike vihtoehto o B. c) (, cm) ( m) m h, km, jote oiket vihtoehdot ovt A j B. d), mm mm m, jote oike vihtoehto o C. e) m, m, mm, jote oike vihtoehto o C..6B.7B 8 h -,, 8 Kolmio korkeus o h: 8 9 m m² A h 7 m Mittkv o k. Pieoismlli msto pituus o h j purjee l A. Yhdemuotoisuude perusteell sd verrot h eli h ( ± 8 9 ) Yhdemuotoisist kolmioist (kk) sd verrto,, eli 8,88... ( m) 8 h 9 h,7,7 (m) 9 A ( k A k, 7 m ) Vstus m Vstus Msto 7 cm j purje, dm

70 .8B.9B Olkoo kuutio särmä luss j lopuksi. ) Tilvuus o luss V 8 j tilvuus o lopuss V Tilvuus pieeee A L. VL VA 8 % % V 8 L % % 87, % ) b) c), mm, mm mm m, mm A A, mm mm m, h y 6,9 m b) Pit-l o luss A 6() j pit-l o lopuss Pit-l pieeee A AL 6. 6,9 m y,8 m,8 mm, mm Vstus ) m b), h c), mm AL AA 6 % % A L 8 % % 7 % Vstus ) tilvuus pieeee 87, % b) pit-l pieeee 7 %..B.B Olkoo litr pullo tilvuus V, pit-l A j muovimäärä m. Olkoo litr pullo tilvuus V, pit-l A j muovimäärä m. Mittkv sd yhtälöstä 8 8 Pitoje pit-lt ovt keskeää yhdemuotoiset j kuluut lkmäärä o suor verrollie pit-l. Mittkv o Sd verrto m m Vstus 8 k. 8 A m8 m8 8 g 8 g A Lk kuluu oi 8 g V k k k V Kosk muovimäärä m o suor verrollie pit-l A, eli m A, sd m m A k A 9,8...,8 Lsket, kuik pljo litr pulloss o käytetty muovi litr kohti vähemmä kui litr pulloss. m m m m % % % m m m 9 % %, 7% Vstus litr pullo muovimäärä o,8-kertie. Muovi o,7 % vähemmä litr kohti.

71 .A.B ) Olkoo särmä pituus. Sd Suurimm särmiö pohj o eliö, jok lävistäjä o r. Pohjeliö särmä sd yhtälöstä + ( ± ) Särmiö tilvuus o V Ap h h 8 dm eli 8 dm dm, m b) Kuutio pit-l o A 6 6 (, m), m c) Kuutio vruuslävistäjä pituus o d, m,6... m, m.b Olkoo kuutio särmä j kysytty kulm. Sivuthko lävistäjä o.b 6 cm r p 6 cm Pohj piiri o p π r π, cm 6, π cm 88, 9... cm 89 cm Tilvuus o V A h r h p π π, cm 6, cm π π π cm dm L 69, L 7 L + > Kuutio vruuslävistäjä o + > j Suorkulmisest kolmiost sd α α cos cos, 7 Vstus Levyä trvit vähitää 89 cm. Lieriö tilvuus o 7 L.

72 .6B.7B d 8 cm h r ) 6 cm cm V,6 m, m, 8 m,9 m L d Lieriö tilvuus o V Ahπ r hπ h. Rtkist tästä pohj hlkisij: b) A,6 m, m +,6 m, 8m +, m, 8m, m,6 m c) P,6 m +, m +,8 m 6,6 m 6, m d V d V V, d,7 ( dm) πh πh πh π, Vstus Hlkisij o 7 cm. d) D,6 m +, m +,8 m,9... m 9 cm.8b.9b r 7 cm h cm Pois porttu kpple o vio ympyrälieriö, jok korkeus o cm. Void jtell, että tämä vio lieriö toisest päästä siirretää sopiv kohtisuor leikttu pl toisee päähä j sd vious tsoitettu. Sd ik suor ympyrälieriö, jok hlkisij o cm eli säde o 7 cm. Korkeus sd yhtälöstä si h h si Lieriö tilvuus o Mss o tiheys kert tilvuus: V A hπr hπ ,9... (cm ) p kg m ρ V m ,9... m 9,...kg 9kg Viso,,, Vpiei V piei Sd yhtälö V piei V iso, jote. Viso Olkoo yhdemuotoiste kppleide mittkv k j pieoismlli mitt, y j z (kuvss). Tilvuuksie suhde o k y z k, jote sd yhtälö k,, Kosk k, ii, k,,..., (m)., Smoi y, k, 8..., (m) j z, k,66...,66 (m) Vstus Pieoismlli leveys o, cm, pituus, cm j korkeus 6,6 cm.