α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º."

Transkriptio

1 K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 15º : β = 107,5º Tällöin α = 107,5º 35º= 7,5º.

2 c) Eksplementtikulmien summa on 360º. α + β = 360º β 35º+β = 360º +35º β = 395º : β = 197,5º Tällöin α = 197,5º 35º= 16,5º. Vastaus a) α = 7,5º b) α = 7,5º c) α = 16,5º

3 K Tekijä MAA3 Geometria Vieruskulmien summa on 180º. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan muuttuja x. 3x +15º+105º x = 180º Määritetään kulmat. x +10º= 180º 10º x = 60º : x = 30º 3x +15º= 3 30º+15º= 105º 105º x = 105º 30º= 75º Suorien välinen kulma on näistä pienempi eli 75º. Vastaus 75º

4 K3 Tekijä MAA3 Geometria Kulmat β ja β +110º ovat vieruskulmia. Muodostetaan yhtälö. β + β +110º= 180º 110º β = 70º : β = 35º Koska suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset, niin samankohtaiset kulmat α ja β +110º ovat yhtä suuret. Määritetään kulma α. α = β +110º= 35º+110º= 145º Vastaus α = 145º ja β = 35º

5 Tekijä MAA3 Geometria K4 Koska piste P jakaa janan AB suhteessa 1 : 5, niin AP = x ja PB = 5x. Vastaavasti, koska piste Q jakaa janan AB suhteessa 7 :, niin AQ = 7 y ja QB = y. Jana AB pituus on 18. Lasketaan janan AP pituus. x + 5x = 18 6x = 18 :6 x = 3 Siis AP = x = 3. Lasketaan janan AQ pituus. 7 y + y = 18 9y = 18 :9 y = Siis AQ = 7 y = 7 = 14

6 Lasketaan lopuksi janan PQ pituus. PQ = AQ AP = 14 3 = 11 Vastaus PQ = 11

7 K5 Tekijä MAA3 Geometria Kun sisempi suunnikas jaetaan kuvan mukaisesti kahteen osaan lävistäjällä, saadaan kaksi kolmiota, joiden molempien kanta on 4 cm ja korkeus 1 cm. Lasketaan suunnikkaan pinta-ala näiden kolmioiden pinta-alojen summana. A = 1 4 cm 1 cm = 4 cm Vastaus 4 cm

8 K6 Tekijä MAA3 Geometria Merkitään suunnikkaan lyhyempää sivua kirjaimella x. Tällöin pidempi sivu on tällöin 1,3x. Merkitään kolmion sivun pituutta kirjaimella a. Kolmion piiri on yhtä suuri kuin suunnikkaan piiri. Muodostetaan yhtälö. 3a = x + 1,3x 3a = 4,6x :3 a = 1,533...x 1,53x Kolmion sivu on siis 1,53 1 = 0,53 = 53 % pidempi kuin suunnikkaan lyhyempi sivu. Vastaus 53 %

9 K7 Tekijä MAA3 Geometria Merkitään neliön muotoisen tontin sivun pituutta kirjaimella x. Talon pitempi sivu on tällöin 1 x ja lyhyempi sivu 1 3 x. Piha-alueen pinta-ala saadaan vähentämällä tontin pinta-alasta talon pinta-ala. Muodostetaan piha-alueen pinta-alan avulla yhtälö ja ratkaistaan tontin pinta-ala x. x x 1 x 1 3 x = x = x = 480 (m ) Vastaus 480 m

10 K8 Tekijä MAA3 Geometria Lasketaan kymmenkulmion kulmien summa. (10 ) 180º= 1440º Lasketaan monikulmion kulmien summa. 1, º= 50º Muodostetaan kulmien summan avulla yhtälö ja ratkaistaan kulmien lukumäärä n. (n ) 180º= 50º n = 16 Vastaus 16 kulmaa

11 K9 Tapa 1 Tekijä MAA3 Geometria Piirretään suunnikas ja jatketaan sen sivuja. Käytetään kuvan merkintöjä. Koska suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset, niin samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret. Siis γ = α. Kulmat γ ja β ovat vieruskulmia, joten niiden summa on 180º. Saadaan siis γ + β = 180º γ = α α + β = 180º. On siis osoitettu, että vierekkäisten kulmien α ja β summa on 180º.!

12 Tapa Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret ja nelikulmion kulmien summa on 180º. Muodostetaan yhtälö. α + β = 360º (α + β) = 360º : α + β = 180º On siis osoitettu, että vierekkäisten kulmien α ja β summa on 180º.!

13 Tekijä 3 Geometria K10 Merkitään kysyttyä leveyttä kirjaimella x ja ratkaistaan se vastinpituuksien verrantoyhtälöstä. x 55 Kerrotaan ristiin. = x = 3905 : 3 x = 1,0315 x 1 (cm) 55 tuumaisen television ruudun leveys on noin 1 cm. Vastaus Ruudun leveys on 1 cm.

14 Tekijä 3 Geometria K11 Käytetään oheisen kuvan merkintöjä. Kuvion sisäkkäiset kolmiot ovat kk-lauseen nojalla yhdenmuotoiset, sillä niillä on yhteinen huippukulma ja kyljen, sekä vaakasuorien kantojen rajaamat samankohtaiset, yhtä suuret kantakulmat. Ratkaistaan pienen kolmion korkeus x verrantoyhtälöstä. Huomataan vielä, että 1,1 m = 110 cm. x 60 Kerrotaan ristiin. = x x = 60(x + 60) 110x = 60x x = 3600 : 50 x = 7 (cm) Suuren kolmion korkeus on x + 60 cm = 7 cm + 60 cm = 13 cm 1,3 m. Vastaus Korkeus on 1,3 m.

15 Tekijä 3 Geometria K1 Käytetään oheisen kuvan merkintöjä. Harjoitustehtävän 60 perusteella kaikki kuvan suorakulmaiset kolmiot ovat keskenään yhdenmuotoisia. Ratkaistaan ensin pituus x kolmioista ABC ja ACD. AB AC = AC AD 13 1 Kerrotaan ristiin. = 1 x 13x = 144 : x = 13 Ratkaistaan sitten y kolmioista ABC ja CBD. AB CB = CB DB 13 5 Kerrotaan ristiin. = 5 y 13y = 5 : 13 5 x = 13

16 Suhteeksi saadaan x: y = : = = = 144 : Vastaus x : y = 144 : 5.

17 Tekijä 3 Geometria K13 Käytetään oheisen kuvan merkintöjä. Ratkaistaan ensin lauseke lyhyemmän osan pituudelle x verrantoyhtälöstä ja lasketaan sitten suhde x : (a x). x a x = a x a (a x) = ax a ax + x = ax x 3ax + a = x= a 3 5 tai x= + a Kerrotaan ristiin. Ratkaistaan yhtälö laskimella. x on lyhyempi pituus Kun x= a= a, niin a x= a a= 1 a a =.

18 Kysytyksi suhteeksi saadaan tällöin ( a x) : a= a = 0,618. (x : (a x) = (a x) : a ) a Mittakaava on siis 5 1 0,618. Vastaus Mittakaava on 5 1 0,618.

19 Tekijä 3 Geometria K14 Lasketaan pienoismallin mittakaava k. Tilavuuksien suhde on 1 : 100 ja toisaalta tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. 3 1 k = k = 3 = Pienoismallin mitata saadaan nyt kertomalla alkuperäiset arvot mittakaavan arvolla. Leveys: 1,00m 0, m 0,431m = 43,1 cm = Pituus: 1 1,00m 0,154...m 0,15m = 1,5 cm = Korkeus: 1 3, 00 m 0, m 0, 646 m 64,6 cm = = Vastaus Leveys on 43,1 cm, pituus on 1,5 cm, korkeus on 64,6 cm.

20 Tekijä 3 Geometria K15 Merkitään pienoismallin siiven alaa A. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö ja ala ratkeaa verrantoyhtälöstä. A 1 = A 1 = A = 0,03377 (m ) 190 Pienoismallin siiven ala on siis noin 0,03377 m = 337,7 cm 340 cm. Vastaus Pinta-ala on 340 cm.

21 Tekijä 3 Geometria K16 Käytetään oheisen kuvan merkintöjä. Kolmioiden välinen mittakaava on k vastinpituuksien suhde, eli a h k = ja k =. Tutkitaan pinta-alojen suhdetta. a h ah A ah a h = = = = k k = k A 1 1 ah ah 1 1 a1 h1 1 1 Täten pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö.

22 Tekijä 3 Geometria K17 a) Uudet pituudet saadaan suoraan prosenttikertoimen avulla. Nyt 15% pienennystä vastaa kerroin 100% 15% = 85% = 0,85. Uudet pituudet ovat 0,85 18 cm = 15,3 cm 15 cm ja 0,85 30 cm = 5,5 cm 6 cm. b) Lasketaan ensin mittakaava käyttäen hyväksi tietoa, jonka mukaan pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Pinta-alojen suhde on nyt 0,85A 0,85 A =. Saadaan seuraava yhtälö. k = 0,85 k = 0,85 Uudet pituudet saadaan nyt kertomalla vanhat mittakaavan arvolla. 0,85 18cm = 16, cm 17 cm 0,85 30 cm = 7, cm 8cm Vastaus Uudet pituudet ovat a) 15 cm ja 6 cm b) 17 cm ja 8 cm.

23 Tekijä Pitkä matematiikka K18 a) Lasketaan toisen kateetin pituus a.,3 = 1,8 + a a =,3 1,8 a = (± ),3 1,8 = 1, ,4 (m) b) Pienin kulma on lyhimmän sivun vastainen kulma. Laasketaan kulma α. cosα = 1,8 = 38, ,3 Vastaus a) 1,4 m b) 38

24 Tekijä Pitkä matematiikka K19 Kantakulmat: cosα = 3,4 4,9 3,4 α = cos 1 = 46, ,9 Huippukulma: β = 180 α = ,06... = 87, Vastaus 46, 46 ja 88

25 Tekijä Pitkä matematiikka K0 Lasketaan kulmat α ja β suorakulmaisista kolmioista. 5, tana = = 1,5... 3, 4 1 tan ,8... a = = 8,0 tan β = =, , 4 1 tan, ,97... β = = Lasketaan kulma γ. γ = 180 α β = , ,97... = 56, ( < 90 ) Vaijerien välinen kulma on 56. Vastaus 56

26 Tekijä Pitkä matematiikka K1 Lasketaan kateettien pituudet x ja y. sin17 = y 9 y = 9 sin17 = 8,47... (m) cos17 = x 9 x = 9 cos17 = 7,73... (m) Lasketaan puun korkeus h. tan41 = y + h x x tan41 = y + h h = x tan41 y = 7,73... tan41 8,47... = 15, (m) Puun pituus on 16 m. Vastaus 16 m

27 Tekijä Pitkä matematiikka K Sivuista pisin on hypotenuusa. Pythagoraan lauseen mukaan c = a + b. a) Jono a, b, c on geometrinen, joten jonon peräkkäisten termien suhde on vakio q. Tällöin b = a q ja c = b q= a q. Pythagoraan lauseen mukaan c = a + b ( a q ) = a + ( a q) 4 a q = a + a q : a ( 0) q = 1+ q 4 4 q q 1= 0

28 ( q ) q 1 0 q = - - = 1 ( 1) 4 1 ( 1) ± ± 5 = Ratkaistaan bikvadraattinen yhtälö. q > 0, koska jonon kaikki termit positiivisia. Vain +-merkki kelpaa. q 1+ 5 = q = ± ( ) 1+ 5 Jonon suhdeluku on 1+ 5 q =.

29 b) Jono a, b, c on aritmeettinen, joten jonon peräkkäisten termien erotus on vakio d. Tällöin a = b d ja c = b+ d. Pythagoraan lauseen mukaan c = a + b ( b+ d) = ( b d) + b b + b d + d = b b d + d + b 4 = 0 : ( > 0) b bd b b 4d = 0 b= 4d Koska b= 4d, niin a = b d = 4d d = 3d ja c = b+ d = 4d + d = 5d. Saadaan kysytty suhde a: b: c = 3 d :4 d :5d = 3:4:5. Vastaus a) 1+ 5 q = b) 3 : 4 : 5

30 Tekijä Pitkä matematiikka K3 Kolmion pinta-ala on A = sin60 sin60 = = 0 3 = 10 3 = 17, ,3 Vastaus a) 10 3 b) 17,3

31 Tekijä Pitkä matematiikka K4 a) Kolmion kolmas kulma on γ = = 114. Lasketaan sivut a ja b sinilauseella. a sin7 = 3,14 sin114 a = 3,14 sin7 sin114 = 1, ,56 (m) b sin39 = 3,14 sin114 b = 3,14 sin39 sin114 =,163...,16 (m) b) Kolmion pinta-ala: A = 1 3,14 a sin39 = 1 3,14 1, sin39 = 1, ,54 (m ) Vastaus a) 114, 1,56 m ja,16 m b) 1,54 m

32 Tekijä Pitkä matematiikka K5 Pinta-ala on mahdollisimman suuri, kun kulma α = 90. Pinta-ala on tällöin A = 0,68 m 0,94 m = 0,3196 m < 0,40 m Ei siis ole mahdollista valmistaa puusepän suunnittelemaa pöytää. Vastaus ei mahdollista

33 Tekijä Pitkä matematiikka K6 Lasketaan 5,0 cm pituisen sivun vastainen kulma sinilauseella. 5,0 sinα = 3,0 sin 8,0 sinα = 5,0 sin8,0 3,0 = 0,78... α = sin 1 0,78... = 51,48... Kolmion kolmas kulma on tällöin β = 180 8,0 51,48... = 100, ,5. Siis kolmion suurin kulma on 100,5 ja pisin sivu on tämän suurimman kulman vastainen sivu b. Lasketaan pisimmän sivun pituus sinilauseella. b sin100,51... = 3,0 sin 8,0 b = 3,0 sin100,51... sin 8,0 = 6,8... 6,3 (cm) Vastaus Pisin sivu 6,3 cm, suurin kulma 100,5.

34 Tekijä Pitkä matematiikka K7 Kolmion suurin kulma on pisimmän sivun vastainen kulma α. Käytetään kosinilausetta. 45 = cosα cosα = = 0,17... α = cos 1 0,17... = 10, ,6 Vastaus 10,6

35 Tekijä Pitkä matematiikka K8 Syntyy tasakylkinen kolmio. Kantakulmat ovat α = 180 6,7 = 86,65 Lasketaan kysytty etäisyys x sinilauseella. x sin6,7 = 3,8 sin86,65 x = 3,8 sin6,7 sin86,65 = 0, ,44 (km) Veneilijä päätyy 0,44 km eli 440 metrin päähän kohteestaan. Vastaus 440 m

36 Tekijä Pitkä matematiikka K9 Kulma α saadaan sinilauseella. 583 sinα = 894 sin6 583sin6 = 894sinα Kulma β: sinα = 583sin6 894 = 0, α = 35, , β = , = 8, Sivujen pituudet b ja c : b sin8, = 894 sin6 b = 894 sin8, sin6 = 1004,63... (km)

37 c = 1315 m 1004,63... m = 310, m Kulma : γ = = 118 Sivun pituus x saadaan kosinilauseella. x = c c 583 cosγ = (310,367...) , cos118 = ,16... x = (± ) ,16... = 778, (m) Vastaus x = 779 m, α = 35, ( 35 )

38 Tekijä Pitkä matematiikka K30 Lentokoneiden välinen etäisyys saadaan kosinilauseella. x = cos8 = ,9... (m ) x = ,9... = 851, (m) Lentokoneiden välinen etäisyys on 850 m. Vastaus 850 m

39 Tekijä Pitkä matematiikka K31 Kysytty kulma saadaan laskettua kosinilauseen avulla.,81 = 1,76 +,14 1,76,14 cosα cosα =,81 1,76,14 1,76,14 = 0,09... α = cos 1 ( 0,09...) = 91, Vastaus 9

40 Tekijä Pitkä matematiikka K3 Katselusuuntien välinen kulma on 6 1' 0'' = = 6, Kysytty etäisyys saadaan kosinilauseen avulla. x = cos6, = 39, (km ) x = (± ) 39, = 6, (km) Kirkot ovat 6 km etäisyydellä toisistaan. Vastaus 6 km

41 Tekijä Pitkä matematiikka K33 Pienin kulma on lyhimmän sivun vastainen kulma. Merkitään osien pituuksia x ja 1 x. Kulmanpuolittajalauseen avulla saadaan yhtälö. x 1 x = x = 7 (1 x) 36x = 7 1 7x 36x + 7x = x = 567 x = = 9 1 x = 1 9 = 1 Osien pituudet ovat 9 ja 1. Vastaus 9 ja 1

42 Tekijä Pitkä matematiikka K34 Kolmion painopiste on mediaanien leikkauspiste, joka jakaa mediaanit suhteessa : 1 kärjestä lukien. Tasakylkisen kolmion kannalle piirretty korkeusjana on samalla mediaani. Lasketaan kolmion korkeus. 4 = 16 + CD CD = 4 16 = 30 CD = (± ) 30 = 16 0 = = 4 5 = 8 5 a) Painopisteen P etäisyys huippukulman kärjestä: a = 3 CD = =

43 b) Painopisteen P etäisyys kantakulman kärjestä: b = PD +16 = 1 3 CD = = b = (± ) 64 9 = = Vastaus a) b)

44 Tekijä Pitkä matematiikka K35 Merkitään tasasivuisen kolmion sivun pituutta a:lla ja korkeutta h:lla. Lasketaan korkeus h. (a) = a + h h = 4a a = 3a h = (± ) 3a = 3 a = 3a a > 0 Muodostetaan yhtälö Pythagoraan lauseen avulla. 8 = a + (h 8) 8 = a + ( 3a 8) 8 = a + ( 3a) 3a a + 3a = 16 3a 4a = 16 3a : 4a (> 0) a = 4 3 Kolmion sivun pituus on a = 4 3 = 8 3 Vastaus 8 3

45 Tekijä Pitkä matematiikka K36 Piirretään tilanteesta mallikuva. Merkitään kolmion kyljen pituutta a:lla. Kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on sivujen keskinormaalien leikkauspiste. Tasakylkisen kolmion korkeusjana on eräs keskinormaaleista. Kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste on kulmanpuolittajien leikkauspiste. Tasakylkisen kolmion korkeusjana on eräs kulmanpuolittaja. On laskettava suhde R r.

46 Kolmion kannan puolikas on ympäri piirretyn ympyrän säde R. (R) = (a) + (a) 4R = 4a + 4a 4R = 8a R = a R = (± ) a = a Kuvaan merkityt keltainen ja vihreä kolmio ovat yhdenmuotoiset (kk, molemmissa huippukulman puolikas ja suora kulma). Vastinjanojen suhde on vakio. Muodostetaan yhtälö. R r a = r R R r R = ar R = a ( a) r a = ar a = ar + ar a = ar( + ) r = a a( + ) = a +

47 Kysytty suhde on R r = = a a + a ( + ) a = + = ( +1) = +1 Vastaus +1

48 Tekijä Pitkä matematiikka K37 Perhepizza: halkaisija d = 35 cm 35 säde r p = Normaalipizza ja perhepizza ovat yhdenmuotoiset. Pinta-alojen suhde on 1 :. Säteiden suhteen neliö on pinta-alojen suhde. Olkoon normaalipizzan säde r n. r n = r p rn = r p rn = rp = 1 35 d = rn = 5 Vastaus 5 cm

49 Tekijä Pitkä matematiikka K38 Pienten ympyröiden säteet ovat 3 cm = 1,5 cm ja 4 cm = cm. Pienten ympyröiden pinta-ala yhteensä on π 1,5 + π = 6, 5π. Ison ympyrän halkaisija on pikkuympyröiden halkaisijoiden summa, joten sen säde on cm = 3,5 cm. Ison ympyrän ala π 3,5 = 1, 5π. Alojen suhde 6,5 π 6,5 0, ,51 51% 1,5π = 1,5 = = Vastaus 51 %

50 Tekijä Pitkä matematiikka K39 Neliön piirin pituus on 4s. Olkoon neliön sivun pituus s, tällöin ympyrän halkaisija d = s. Ympyrän kehän pituus p = pd = ps. Lasketaan kehän pituuden ja neliön piirin suhde. πs π = 1,11 4s 4 Neliön piiri on 11 % pidempi Vastaus 11 %

51 Tekijä Pitkä matematiikka K40 Ratkaistaan kolmion korkeus h Pythagoraan lauseella. h = 8 6 = 18 Ratkaistaan ympyrän säde Pythagoraan lauseella. r = ( h r) + 6 r = h hr + r + 36 hr = h + 36 h r = = = h 3 9 Kehän pituus p = pr = p = 9 p 40,0 Vastaus 9 π 40,0

52 Tekijä Pitkä matematiikka K41 b) Olkoon puoliympyrän säde r. Ympyrän kaaria vastaavat keskuskulmat ovat 60º, koska kolmiot DBE ja ADE ovat tasasivuisia kolmioita, sivun pituus on r. Puoliympyrästä jää kolmion ulkopuolelle kaksi segmenttiä. Lasketaan segmentin pinta-ala. 60 r 3 As = π r Puoliympyrän ala Ap = p r, p r r 3 A 6 4 s 3 = = = 0, ,1 A 1 p p r 3 p Puoliympyrästä jää kolmion ulkopuolelle 1 % Vastaus 1 %

53 Tekijä Pitkä matematiikka K4 Viipaleita on kahdenlaisia, kaksi ympyräsegmenttiä ja neljä keskelle jäävää viipaletta. Pizzan pinta-ala A = πr Lasketaan segmentin A 1 pinta-ala. Määritetään kulma α r 1 cosα = = r α = 60 Keskuskulma α = A1 = π r sin10 r 360 π 3 = r 0,614r 3 4

54 Keskelle jäävän viipaleen pinta-ala 1 A = ( A A1 ) 4 1 π 3 = π r r π 3 = + r 0,478r 4 3 π 3 r A = 1,84 A 1 π 3 + r 4 3 Reunaviipaleen viipaleen pinta-ala on 8 % suurempi. Vastaus Reunaviipale, 8 %

55 Tekijä Pitkä matematiikka K43 Käytetään kuvan merkintöjä. Pythagoraan lauseella saadaan r = (r 7,4) + 13 r = r 14,8r + 54, ,8r = 3,76 r = 15,11 d = r = 30,3 Halkaisija on 30 cm Vastaus 30 cm

56 Tekijä Pitkä matematiikka K44 Kuvan merkinnöillä kaaren AB asteluku on δ ja kaaren CD asteluku on γ. Kaarten astelukujen keskiarvo on γ + δ = γ + δ Kolmion DAE kulmien summan avulla saadaan yhtälö γ + δ α = 180 α = γ + δ Siis kulman α asteluku on kaarten AB ja CD astelukujen keskiarvo.

57 Tekijä Pitkä matematiikka K45 Olkoon neliön sivun pituus s. Merkitään ympyrän halkaisijaa kirjaimella d. Lasketaan ympyrän halkaisija d = AE. a a a d = + = a d = d a r = = Vastaus a

58 Tekijä Pitkä matematiikka K46 a) Kolmiot DAE ja CBE ovat yhdenmuotoiset (kk). Kulmat AED ja BEC ovat ristikulmia sekä kulmat EDA ja ECB ovat samaa kaarta vastaavia kehäkulmia. x 3 = x = 5 =

59 b) Kolmiot DBE ja CAE ovat yhdenmuotoiset (kk). Kulma E on yhteinen sekä kulmat D ja C ovat samaa kaarta vastaavat kehäkulmat. Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinosien suhteena saadaan x = x = 9 3 x + 3 = 1 x = 9 Vastaus a) 1 7 b) 9

60 Tekijä Pitkä matematiikka K47 Ratkaistaan jänne AC kosinilauseella. x = cos60 x = 37 x = 37 Ratkaistaan ympyrän säde kosinilauseella. x = r + r r rcos10 37 = 3r 37 r = 3 Kolmion ABC pinta-ala 1 A 1 = 4 7 sin 60 = 7 3

61 Segmentin pinta-ala A = π sin π 37 3 = π 37 3 A= A1+ A = π = Vastaus π + 45,5 1 9

62 Tekijä MAA3 Geometria K48 a) Lasketaan lävistäjän EG pituus suorakulmaisesta kolmiosta EGF. EG = 4,75 + 6,3 EG = 6,55 EG = ± 6,55 = ±7, (cm) Lävistäjän pituus on positiivinen, joten EG = 7, cm 7,9 cm.

63 b) Lasketaan avaruuslävistäjän pituus suorakulmaisen särmiön särmien pituuksien perusteella. AG = 6,3 + 4,75 +,5 = 8, ,3 (cm). Avaruuslävistäjän pituus on 8,3 cm.

64 c) Lasketaan lävistäjien välinen kulma α suorakulmaisesta kolmiosta AGE. tanα =,5 7,890...,5 α = tan 1 7, = 17,581...º 18º Vastaus a) 7,9 cm b) 8,3 cm c) 18º

65 Tekijä MAA3 Geometria K49 Merkitään kuution särmän pituutta kirjaimella a. Kysytty kulma α voidaan määrittää suorakulmaisesta kolmiosta ABC. Sivun AB pituus on puolet pohjan lävistäjästä. Lasketaan ensin pohjaneliön lävistäjän pituus. d = a + a d = ± a = ± a a > 0 = ±a Lävistäjän pituus on positiivinen, joten d = a. Siis AB = a

66 Määritetään kysytty kulma α. tanα = a a = a a = = α = tan 1 = 54,735...º 54,7º Vastaus 54,7º

67 Tekijä MAA3 Geometria K50 Piirretään mallikuva. Pahvi taitetaan lyhyemmän sivun (10 mm) suuntaisesti, joten taitoksen sivujen pituudet ovat 97 mm = 148,5 mm. Kysytty kulma α voidaan ratkaista kolmiosta ABC. Merkitään lävistäjän puolikkaan pituutta kirjaimella d ja lävistäjän kärkien etäisyyttä kirjaimella a. Lasketaan ensin näiden sivujen pituudet.

68 Lasketaan pahvilevyn lävistäjän puolikkaan pituus d Pythagoraan lauseella. Piirretään mallikuva pahvilevystä ennen taittamista (d) = d = ± (mm) Lävistäjän pituus on positiivinen, joten d = mm. Lävistäjän kärkien välinen etäisyys taitetussa pahvilevyssä a voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosta ADB, kunhan ensin ratkaistaan sivun AD pituus suorakulmaisesta kolmiosta ADE.

69 Lasketaan sivun AD pituus. AD = 148,5 +148,5 AD = ± 97 (mm) Sivun pituus on positiivinen, joten AD = 97. Lasketaan sivun AB pituus eli a. a = a = ± (mm) Sivun pituus on positiivinen, joten a = mm.

70 Lasketaan lopuksi kysytyn kulman α suuruus tasakylkisestä kolmiosta ABC. Koska kolmio on tasakylkinen, niin huippukulmasta piirretty korkeusjana jakaa kolmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi sin α = Vastaus 109º = 0, α = sin 1 0, = 54,734...º α = 109,469...º 109º

71 Huomautus 1: Kulma α voidaan määrittää kolmiosta ABC myös kosinilauseella. a = d + d d d cosα Huomautus Laskuissa voi käyttää pituuksista a ja d myös tarkkoja desimaalimuotoja laskimella: d = 181, (mm) a = 9,99... (mm).

72 Tekijä MAA3 Geometria K51 a) Lasketaan janan AB pituus suorakulmaisesta kolmiosta ABD Pythagoraan lauseella. AB = AB = ± 65 = ±5 (cm) Janan pituus on positiivinen, joten AB = 5 cm.

73 b) Lasketaan janan BC pituus suorakulmaisesta kolmiosta BCE Pythagoraan lauseella. BC = BC = ±0 = ±8,84... (cm) Janan pituus on positiivinen, joten BC = 8,84... cm 8 cm.

74 c) Lasketaan janan AC pituus suorakulmaisesta kolmiosta AFC. Ensin pitää laskea janan AF pituus suorakulmaisesta kolmiosta AFD. AF = AF = ± 65 = ±5 (cm) Janan pituus on positiivinen, joten AF = 5 cm. AC = AC = ±5 89 = ±47, (cm) Janan pituus on positiivinen, joten AC = 47, cm 47 cm.

75 d) Lasketaan janojen AB ja BC välinen kulma kolmiosta ACB kosinilauseella. ( 5 89) = 5 + ( 0 ) 5 0 cosα 1000 cosα = cosα = α = cos = 14,449...º Koska suorien välinen kulma on välillä [0º, 90º], niin suorien AB ja BC välinen kulma on 180º 14,449...º= 55,550...º 56º.

76 Vastaus a) 5 cm b) 8 cm c) 47 cm d) 56º

77 Tekijä Pitkä matematiikka K5 Lasketaan pallon säde tilavuuden avulla. V = 4 3 πr 3 V = 7,45 L = 7,45 dm 3 7,45 = 4 3 πr 3 3 7,45 = 4πr 3 r 3 = 3 7,45 4π r = 3 7,45 3 = 1,11... (dm) 4π Pallin pinta-ala: A = 4πr = 4π (1,11...) = 18, (dm ) Pallon pinta-ala on 18, dm = 1844,6... cm 1845 cm. Vastaus 1845 cm

78 Tekijä Pitkä matematiikka K53 Pallon säde on alussa r 1 = r. Säde pienenee 5 %, joten säde lopussa r = 0,75r. a) Pinta-alan muutos: A = 4π r A 1 4π r = r = (0,75r) = 0,75 = 0,565 = 56,5 % r 1 r 1 Pinta-ala pienenee 100 % 56,5 % = 43,75 % 44 % b) Tilavuuden muutos: V V 1 = 4 3 π r π r 3 1 = r 3 = 3 r 1 0,75r r 3 = 0,75 3 = 0, = 4,18... % Tilavuus pienenee 100 % 4,18 % = 57,81 % 58 %. Vastaus a) 44 % b) 58 %

79 Tekijä Pitkä matematiikka K54 Pallon säde on alussa r ja tilavuus V 1 = 4 3 π r 3. Lopussa puolipallon säde on R ja tilavuus V = π R3. Tilavuus säilyy samana. Muodostetaan yhtälö. V 1 = V 4 3 π r 3 = π R3 3 4π r 3 = 1 R3 r 3 = R 3 R 3 r 3 = R r = 3 = 1, = 15,99... % Säde suurenee 15,99 % 100 % = 5,99 % 6 %. Vastaus 6 %

80 Tekijä Pitkä matematiikka K55 Lasketaan 63. Leveyspiirin säde r. cos63 = r R r = Rcos63 R = 6370 km = 6370 cos63 = 891, (km) Lasketaan 330 km pituisen leveyspiirin kaarta vastaava keskuskulma. b = α 360 π r α = 360 b π r r = 891, km b = 330 km = π 891, = 6,538...

81 Maan täysi 360 kierros kestää 4 h, joten 6,538 kiertymiseen kuluu aikaa 6, h = 0,4358 h = 6,15... min 6 min. 360 Aurinko nousee lännempänä olevalla Laihialla 6 minuuttia myöhemmin kuin Kaavilla. Vastaus 6 min

82 Tekijä Pitkä matematiikka K56 Lasketaan pohjoisen napapiirin säde. cos66,5 = r R r = Rcos66,5 R = 6371 km = 6371 cos66,5 = 540, (km) a) Pisteiden A ja B välisen tunnelin pituus on kantana suorakulmaisessa tasakylkisessä kolmiossa, jonka kylkenä on napapiirin säde r. a = r + r = r r = 540, km a = (± ) r = r = 540, = 359, (km)

83 b) Lyhyemmän napapiirin kaaren pituus: b = π r = 1 π 540, = 3990, (km) 4 Vastaus a) 3593 km b) 3990 km Voi myös tulkita vastauksen tarkkuuden 90 asteen kulman mukaisesti merkitsevän numeron tarkkuudella: Vastaus a) 3600 km b) 4000 km

84 Tekijä Pitkä matematiikka K57 Särmiön tilavuus on a = 10,5 m = 10,5 dm V = a b c b = 6,5 m = 65 dm c = 4,5 m = 45 dm = 10, = 99 81, L Luokkaan mahtuu litraa ilmaa. Vastaus L

85 Tekijä Pitkä matematiikka K58 Lasketaan suorakulmaisen särmiön muotoisen tulitikkuaskin avaruuslävistäjän pituus. d = 1, +,8 + 4,1 = 5, ,1 (cm) Koska avaruuslävistäjän pituus on suurempi kuin parsinneulan pituus, neula mahtuu rasiaan. Vastaus mahtuu

86 Tekijä Pitkä matematiikka K59 Lasketaan kupariosan tilavuus. V = V ulko V sisä V = A p h = πr h = π r ulko 10,0 π r sisä 10,0 r ulko = 6,0 r sisä =,0 mm = 13,0 mm mm = 11,0 mm = π 13,0 10,0 π 11,0 10,0 = 1507,96... (cm 3 ) Lasketaan kuparin massa. m = ρv ρ = 8960 kg/m 3 V = 1507,96... cm 3 = 1, dm 3 = 0, m 3 = , = 13, ,5 (kg) Vastaus 13,5 kg

87 Tekijä Pitkä matematiikka K60 Lasketaan yhden pallon tilavuus V. V = 1 8 π r h h = 11,0 mm r = 44,0 mm =,0 mm = 1 8 π,0 11,0 = 090,7... (mm 3 ) Lasketaan pallon säde R. V = 4 3 π R3 R 3 = 3V 4π = 3 090,7... 4π = 499,1... (mm 3 ) 3 R = 499,1... = 7,93... (mm) Pallon halkaisija on 7,93... mm = 15,86... mm 15,9 mm. Vastaus 15,9 mm

88 Tekijä Pitkä matematiikka K61 Lasketaan lieriön korkeus. sin30 = h 13,0 h = 13,0 sin30 = 6,5 (cm) Lasketaan vinon lieriön tilavuus. V = A p h = π r h r = 6,0 cm h = 6,5 cm = 0,65 dm = 3,0 cm = 0,30 dm = π 0,30 0,65 = 0, (dm 3 ) Lasketaan massa. m = ρv ρ = 8,4 kg/dm 3 V = 0, dm 3 = 8,4 0, = 1, ,5 (kg) Vastaus 1,5 kg

89 K6 r sisä = 9,9 cm Tekijä Pitkä matematiikka = 49,5 mm r ulko = 10 cm = 50,0 mm Maalikerrosten poikkileikkaukset ovat ympyrärenkaita. Lasketaan ulko- ja sisäpinnoille levitettyjen maalikerrosten tilavuudet. V sisä = π r sisä h π (r sisä 0,1) h = π h (49,5 49,4 ) = 9,89 π h (mm 3 ) V ulko = π (r ulko + 0,1) h π r ulko h = π h (50,1 50 ) = 10,01 π h (mm 3 ) Verrataan ulkopintaan kuluneen maalin tilavuutta sisäpintaan kuluneen maalin tilavuuteen. V ulko = 10,01 π h V sisä 9,89 π h = 1, = 101,1... % 101, % Ulkopintaan kuluu 101, % 100 % =1, % enemmän maalia. Vastaus 1, % Huomaa: Annettu tieto putken pituudesta ei ole välttämätön.

90 Tekijä Pitkä matematiikka K63,5 cm Pohjan säde on r = = 11,5 cm = 1,15 dm. Sivujanan pituus on 30,0 cm = 3,00 dm. Lasketaan kartion korkeus. 3,00 = h +1,15 h = 3,00 1,15 = 7, (dm ) h = (± ) 7, =, (dm) Lasketaan kartion tilavuus. V = 1 3 π r h = 1 3 π 1,15, = 3, (dm 3 ) Kartion tilavuus on 3,685 dm 3 = 3,685 L = 36,85 dl 36,9 dl. Vastaus 36,9 dl

91 Tekijä Pitkä matematiikka K64 Lasketaan pohjaneliön sivu a pohjan pinta-alan avulla. A = 5,3 ha = 5,3 (100 m) = m a = a = (± ) = 30,17... (m) Lasketaan alkuperäinen korkeus h suorakulmaisen kolmion avulla. tanα = h a h = a tanα α = 51 5' = 51, a = 30,17... m = 30,17... tan51, = 146, (m) Pyramidin alkuperäinen korkeus on ollut 147 m. Vastaus 147 m

92 Tekijä Pitkä matematiikka K65 Pyramidin kaikki kuusi sivutahkoa ovat samanlaisia tasasivuisia kolmioita. Lasketaan sivutahkon korkeus. 30,0 = h + 5,0 h = 30,0 5,0 = 875 h = (± ) 875 = 9, (cm) Vaippa koostuu kuudesta samanlaisesta kolmiosta. A v = 6 10,0 9, = 887, (cm ) Vastaus 887 cm

93 Tekijä Pitkä matematiikka K66 Säännöllisen oktaedrin poikkileikkaus on neliö. Oktaedrin korkeus h on h = + = + = 4 h = (± ) 4 = -sivuisen neliön lävistäjä. Oktaedrin tilavuus saadaan laskemalla yhteen kahden neliöpohjaisen pyramidin tilavuudet. V oktaedri = V pyramidi = 1 3 A p h = 1 3 A p h = 1 3 = 4 3 Vastaus Tilavuus on 4 3.

94 Tekijä Pitkä matematiikka K67 Viinilasin poikkileikkauskuvioon muodostuu kaksi tasakylkistä kolmiota, jotka ovat yhdenmuotoiset (kk, huippukulma yhteinen ja samankohtaiset kulmat yhtä suuret. Merkitään sisätilan korkeutta h:lla, jolloin nesteosan korkeus on h. Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Muodostetaan yhtälö. V neste h = V lasi h 3 = 1 3 = 1 8 V neste = V lasi 8 = 1,75 8 = 0,1875 V lasi = 1,75 dl 0,19 (dl Vastaus 0,19 dl

95 Tekijä Pitkä matematiikka K68 Tetraedrissa on neljä tahkoa, joten syntyvässä Platonin kappaleessa on neljä kärkeä. Tetraedri on ainoa Platonin kappaleista jossa on neljä kärkeä. Siis syntyvä kappale on tetraedri. Merkitään syntyvän tetraedrin särmää kirjaimella b. Piirretään mallikuva. Tetraedrin tahkot ovat tasasivuisia kolmioita ja niiden keskipisteet ovat mediaanien leikkauspisteitä. Nämä pisteet jakavat tahkojen mediaanit suhteessa : 1 kärjestä lukien. Mediaanit ovat samalla sivutahkojen korkeusjanoja. Markitään alkuperäisen tetraedrin sivutahkon mediaanin pituutta kirjaimella h. Poikkileikkauskuvio ABC on tasasivuinen kolmio. Kolmiot ABC ja EDB ovat yhdenmuotoiset (kk, huippukulma yhteinen ja samankohtaiset kulmat yhtä suuret).

96 Ratkaistaan kysytty pienemmän tetraedrin särmä b vastinjanojen suhteen avulla. 1 b a = 3 h h = 1 3 b = 1 3 a Syntyneen tetraedrin särmän pituus on 1 3 a. Vastaus 1 3 a

97 1 Tekijä Pitkä matematiikka a) β = = 7 b) Kulma β on 84 asteen keskuskulmaa vastaava kehäkulma, joten β = 84 : = 4 c) Kulma γ on 110 asteen kehäkulmaa vastaava keskuskulma. γ = 110 = 0 α = = 140 Kulma β on kulmaa α vastaava kehäkulma. β = 140 : = 70 Vastaus a) 7 b) 4 c) 70

98 Tekijä 3 Geometria a) Maaston matka x ratkeaa verrantoyhtälöstä x = Vastinmatkojen suhde on mittakaava. x = (mm) Matka maastossa on mm = m = 13, km 13 km. b) Myös peruskartan matka y ratkeaa verrantoyhtälöstä. Ilmoitetaan todellinen matka millimetreissä. y 1 Vastinmatkojen suhde on = mittakaava y = : y = 660 (mm) Matka peruskartalla on 660 mm = 66 cm. Vastaus Matka on a) 13 km b) 66 cm.

99 Tekijä Pitkä matematiikka a) cosα = 9,0 15 α = cos 1 9, = x + 9,0 x = 15 9,0 = 144 = 53, x = (± ) 144 = 1 (m)

100 b) x = 4,0 + 5,0 4,0 5,0 cos9,0 = 6, x = (± ) 6, =,45...,5 (cm) 4,0 sinα = x sin 9,0 xsinα = 4,0 sin9,0 sinα = 4,0 sin9,0 x = 4,0 sin9,0,45... = 0, α = sin 1 0, = 5, Vastaus a) α = 53, x = 1 m b) α = 5, x =,5 cm

101 Tekijä Pitkä matematiikka a) Mediaanien leikkauspiste jakaa mediaanit suhteessa : 1 kärjestä lukien. Osien pituudet ovat = 1 ja 36 = 4. 3 b) Suurin kulma on pisimmän sivun vastainen kulma. Osat ovat x ja 30 x. Kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. x 30 x = x = 4(30 x) 16x = x 16x + 4x = x = 4 30 x = = x = = 1 Osien pituudet ovat 18 ja 1. Vastaus a) 1 ja 4 b) 1 ja 18

102 Tekijä Pitkä matematiikka Syntyvät suorakulmaiset kolmiot ovat yhdenmuotoiset (kk, terävä kulma yhteinen, mlemmissa suora kulma). Vastinjanojen suhde on vakio. h 1,1 = 0,0 0,88 h = h 1,1 = 1,1 0,0 = 5,0 (m) 0,88 Lipputangon korkeus on 5,0 metriä. Vastaus 5,0 m

103 Tekijä Pitkä matematiikka Sinilause: 1,76 sinα =,1 sin56 1,76 sin56 =,1 sinα sinα = 1,76 sin56,1 = 0, α = sin 1 0, = 44, Koppelomäen ja Pyykallion väli näkyy 44 kulmassa. Vastaus 44

104 Tekijä Pitkä matematiikka Lasketaan keilapallon tilavuus. V = 4 3 πr 3 r = 6,0 cm = 13,0 cm = 1,30 dm = 4 3 π 1,303 = 9,0... (dm 3 ) Lasketaan keilapallon massa. m = ρv ρ = 19,3 kg/dm 3 V = 9,0... dm 3 = 19,3 9,0... = 177, (kg) Tavaravaaka näytti keilapallon painoksi 178 kg. Vastaus 178 kg

105 Tekijä Pitkä matematiikka a-kohdassa kysytään pitkin tangenttisuoraa mitattua papukaijan ja keksilaatikon välistä etäisyyttä a. b-kohdassa kysytään ympyräkaaren pituutta b. a) Lasketaan etäisyys a Pythagoraan lauseella. Hypotenuusan pituus on 6370 km + 46,0 m = 6370,046 km. 6370,046 = a a = 6370, = 586,04... a = (± ) 586,04... = 4, , (km)

106 b) Lasketaan ensin keskuskulma α. cosα = ,046 = 0, α = cos 1 0, = 0, Lasketaan keskuskulmaa α vastaavan ympyräkaaren pituus b. b = α π = 0, π = 4, , (km) c) Verrataan saatuja etäisyyksiä a ja b. a b = 4, km 4, km = 0, km = 11,6... cm 10 cm Etäisyyksillä on eroa noin 10 cm. Huomaa: lähtöarvojen mittaustarkkuus asettaa tämän päätelmän hieman kyseenalaiseksi. Vastaus a) 4, km b) 4, km c) 10 cm

107 Tekijä Pitkä matematiikka a) Alue muodostuu kahdesta ympyräsektorista A = π 4 + π = 1π + π 4 57 = π 45 4 Lammas ylettyy liikkumaan 45 m laajuiselle alueelle.

108 b) Lammas ylettyy liikkumaan alueella, joka koostuu ympyräsektorista ja suorakulmaisesta kolmiosta. Suorakulmaisen kolmion toinen kateetti voidaan ratkaista Pythagoraan lauseella. x = 4 3 x = 7 x =± 7 x > 0 x = 7 1 Kolmion pinta-ala A k = 3 7. Ratkaistaan kulma β. 3 cos β = 4 β 41 α = 49 Sektorin pinta-ala A s = π

109 Alueen koko pinta-ala on 1 49 A= Ak + As = π A 8 Lammas ylettyy liikkumaan 8 m laajuisella alueella. Vastaus a) 45 m b) 8 m

110 Tekijä Pitkä matematiikka Pystyssä, kärjellään seisovan suoran ympyräkartion poikkileikkaukseen syntyy kaksi tasakylkistä kolmiota, jotka ovat yhdenmuotoiset (kk, huippukulma yhteinen ja samankohtaiset kulmat yhtä suuret). Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. V vesi V kartio = h 15 3 h 3 = V vesi 153 V kartio h = V vesi = 15 V kartio V vesi 3 V kartio Toisaalta ympyräkartiossa olevan veden tilavuus on sama kuin r-säteisen suoran ympyrälieriön tilavuus, jossa r on kartion yläosan säde.

111 V vesi = A p h = π r 14 Lasketaan kartion tilavuuden ja veden tilavuuksien suhde. V vesi V kartio = π r π r 15 = 14 = = 4 15 Nyt saadaan laskettua kysytty korkeus h. V vesi 4 h = 15 3 = 15 3 = 99, (mm) 15 V kartio Koska 99 mm 15 mm, kaikki satanut vesi mahtuu kartioon. Vesi nousee kartiossa 99 mm korkeuteen. Vastaus 99 mm

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

1 Kertausta geometriasta

1 Kertausta geometriasta 1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 AVARUUSGEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. Muovinappulan tilavuus on V = 1 cm cm 4 cm = 8 cm 3 = 8000 mm 3. Tulostus kestää 3 8000 mm 3 800 s 10 mm / s =. Muutetaan aika minuuteiksi ja sekunneiksi. 800 s 13,333...

Lisätiedot

MAA03.3 Geometria Annu

MAA03.3 Geometria Annu 1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12. Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Avaruusgeometrian perusteita

Avaruusgeometrian perusteita Avaruusgeometrian perusteita Määritelmä: Kolmiulotteisen avaruuden taso on sellainen pinta, joka sisältää kokonaan jokaisen sellaisen suoran, jonka kanssa sillä on kaksi yhteistä pistettä. Ts. taso on

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360. 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

Tekijä MAA3 Geometria

Tekijä MAA3 Geometria Tekijä MAA3 Geometria 29.9.2016 240 Kuva voidaan piirtää esimerkiksi GeoGebran 3D-piirtoalueessa. Piirtäminen voidaan esimerkiksi aloittaa piirtämällä suorakulmio pohjaksi ja syöttämällä sen jälkeen kartion

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet 3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Geometria MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita.... painos 006 Tekijät

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600 Tekijä 3 Geometria 7.10.016 47 Kartta on yhdenmuotoinen kuva maastosta, jolloin kartan pituudet ja maaston pituudet ovat suoraan verrannollisia keskenään. Merkitään reitin pituutta kartalla kirjaimella

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten 1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 YMPYRÄ POHDITTAVAA 1. Piin likiarvo yhden desimaalin tarkkuudella on 3,1. Lasketaan piin likiarvoja vaihe vaiheelta, kunnes saavutetaan haluttu tarkkuus. 1 π = 4 = 4 1 1 1 π = 4 =,66... 1 3 1 1 1 π =

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 1 Monikulmiot Ennakkotehtävät 1. a) Taitetaan paperi kuvan mukaisesti lyhyempi sivu pidemmän sivun suuntaisesti. Kulma 45 on puolet suorasta kulmasta. 45 b) Kulma muodostuu a-kohdan taitoksen mukaan. 135

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI 1 SISÄLTÖ HUOLTOMATEMATIIKKA, MATERIAALI 1) Murtoluvut ) Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus 3) Tasokuvioiden pinta-alat ja piirit 4) Kappaleiden tilavuudet 5) Suorakulmainen kolmio ja Pythagoran lause 6) Suorakulmaisen

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 ) Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c)

Lisätiedot

a b c d

a b c d .. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin

Lisätiedot

GEOMETRIAN PERUSTEITA

GEOMETRIAN PERUSTEITA GEOMETRIAN PERUSTEITA POHDITTAVAA. 2. Suurennoksen reunat ovat epäteräviä bittikarttakuvassa mutta teräviä vektorigrafiikkakuvassa.. Peruskäsitteitä ALOITA PERUSTEISTA 0. Kulma α on yli 80. Kulma β on

Lisätiedot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Arkkitehtimatematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Arkkitehtimatematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Arkkitehtimatematiikan koe..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x =? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne

YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne YMPYRÄ Ympyrä opetus.tv:ssä Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne KAPPALEEN TERMEJÄ 1. Ympyrä Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 168. h = 16,5 cm = 1,65 dm 1 = = :100. 2,5dm 1, dm. Vastaus 30 cm. = 2,

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 168. h = 16,5 cm = 1,65 dm 1 = = :100. 2,5dm 1, dm. Vastaus 30 cm. = 2, Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 68 00,5 l,5 dm 6,5 cm,65 dm Apoja π r π r r π,5dm,08... dm r ( ± ) π π, 65 dm 00 l dm 000 cm Ap 000 0 000 00 :00 000 0 ( cm) 00 asaus 0 cm d r,057... dm cm asaus cm

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92

MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92 MAB Kertaustehtävien ratkaisut 10. a) α = 15 16 1 16 1 15 60 β = 95 58 45 600 15,669 95 58 45 95,979 60 600 b) α = 11,987 0,987 = 0,987 60 = 59, 0, = 0, 60 = 1,9 α = 11 59 1,9 = 11 59 14 β = 95,4998 0,

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot