3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet

Transkriptio

1 3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin sijaitsee jossakin tällä ympyrällä. Toisaalta matkapuhelin on 5 kilometrin etäisyydellä tukiasemasta B eli ympyrällä, jonka keskipiste on tukiasema B ja säde 5 km. Lisäksi matkapuhelin on 0 kilometrin etäisyydellä tukiasemasta C eli ympyrällä, jonka keskipiste on tukiasema C ja säde 0 km. Matkapuhelimen tulee sijaita jokaisella ympyrällä, joten ainoat mahdolliset vaihtoehdot sen sijainnille ovat ympyröiden leikkauspisteet. Leikkauspisteitä muodostuu tässä tapauksessa vain yksi, piste D. b) Matkapuhelinta ei voi paikantaa, jos ympyröillä on KAKSI yhteistä leikkauspistettä. Tämä on mahdollista, jos ympyröiden keskipisteet ovat kaikki samalla suoralla.

2 . Tapoja useita erilaisia. Esimerkiksi: I tapa. Taitetaan pöytäliina keskeltä niin, että osat menevät päällekkäin. Nyt taitosjana on ympyrän halkaisija. Keskipiste on jossakin halkaisijalla.. Avataan pöytäliina ja taitetaan uudelleen niin, että saadaan toinen halkaisija. 3. Koska keskipiste on molemmilla halkaisijoilla, on se niiden leikkauspisteessä. II tapa. Valitaan pöytäliinan reunalta kaksi pistettä (A ja B).. Etsitään pisteiden keskipiste taittamalla liina kahtia siten, että pisteet osuvat päällekkäin. 3. Nyt saatu taitos on kohtisuorassa jännettä AB vastaan ja sijaitsee jänteen AB keskikohdassa, eli on jänteen AB keskinormaali. 4. Keskinormaali kulkee keskipisteen kautta, koska kaikki pisteistä A ja B yhtä kaukana olevat pisteet (erityisesti keskipiste) ovat sillä. Siispä kyseessä on halkaisija, ja keskipiste löytyy sen puolesta välistä.

3 III tapa. Piirrä pöytäliinan kehälle samansäteisiä ympyröitä, joiden keskipiste on alkuperäisen ympyrän kehällä edellisen ympyrän leikkauskohdassa. 3. Piirrä jana kehällä olleesta keskipisteestä kahden ympyrän leikkauspisteen kautta alkuperäisen ympyrän vastakkaiselle puolelle. 4. Janojen leikkauspisteestä löytyy pyöreän pöytäliinan keskipiste. Kuvaan merkityt punaiset pisteet ovat yhtä kaukana kehän pisteistä A ja B. Punaisten pisteiden kautta piirretty suora on ympyrän halkaisija. Piirreään samoin ympyrälle toisen pisteen kautta toinen halkaisija. Keskipiste on halkaisijoiden leikkauspisteessä.

4 3. Ympyrä YDINTEHTÄVÄT 30. a) Ympyrän kehän pituus p = π d = π 9 = 8 π. b) Ympyrän pinta-ala A = πr = π 9 = 8π. c) Väritetyn sektorin pinta-ala on 0 A Väritetyn sektorin pinta-ala on 7π.

5 30. a) Piiri on 5, ja pinta-ala 50,3. b) Sektorin pinta-alan likiarvo on 9,8. c) Ympyrän kehän pituus p = πr = π 4 = 8π. Ympyrän pinta-ala A = πr = π 4 = 6π. Ympyrän sektorin pinta-ala on 4 70 A Sektorin pinta-ala on 9,8. 9

6 303. a) tosi Jänne on kahden ympyrän kehän pisteen välinen jana. joista pisin kulkee ympyrän keskipisteen kautta. Jana on tällöin ympyrän halkaisija. b) tosi Halkaisijoiden leikkauspisteeseen muodostuu pareittain kaksi yhtä suurta kulmaa (ristikulmat). Koska vastakkaisten sektorien keskuskulmat ovat yhtä suuret, sektorit ovat pinta-alaltaan yhtä suuret. c) epätosi Ympyrän kehän pituus on p = π = 4π. d) epätosi Ympyrän pinta-ala on π r. Jos pinta-ala on π, on säde. Halkaisija on tällöin. e) epätosi Puoliympyrä on sekä sektori, että segmentti Satelliitin kiertoradan säde saadaan, kun maapallon säteeseen lisätään satelliitin lentokorkeus km. Ratkaistaan maapallon säde r, kun tiedetään maapallon ympärysmitta km. p = πr πr = km : π km r 6366,97...km Satelliitin kiertoradan säde on 6366,97 km km = 366,97 km. Kiertoradan pituus on π 366,97 km = 34 47,779 km km.

7 305. a). Piirretään jana, jonka pituus on 5.. Piirretään neliö, jonka sivun pituus on yhtä pitkä kuin jana. 3. Piirretään ympyrä neliön kärkipisteiden kautta. Pinta-ala on 39,3. b) Neliön lävistäjä on ympyrän halkaisija = d = d d = 50 d = 50 (tai d = 50 ) d = 5 5 Ympyrän säde on r = 5. Ympyrän pinta-ala on A = π r = π ( 5 ) π 5 4 5π.

8 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 306. a) Ratkaistaan ympyrän säteen pituus r, kun tunnetaan kehän pituus 8π. r 8 : r 4 Ympyrän pinta-ala A = πr = π 4 = 6π. b) Ratkaistaan säteen pituus r, kun tunnetaan ympyrän pinta-ala 4π. πr = 4π : π r = 4 r = (tai r = ) Ympyrän kehän pituus p = πr = π = 4π. c) Kaaren pituudelle saadaan yhtälä, josta ratkaistaan kulma. π 0 5π :0π

9 307. Yhdistetään ympyröiden keskipisteet neliöksi. Neliön kärjet ovat ympyröiden keskipisteissä. Neliön sivun pituus on kaksi kertaa ympyrän säteen mittainen eli ympyrän halkaisija 0,0 cm. Neliön sisälle jää jokaisesta ympyrästä neljännes, eli yhteensä kokonainen ympyrä. Ympyröiden keskelle jäävän alueen pinta-ala saadaan, kun vähennetään neliön pinta-alasta yhden kokonaisen ympyrän pinta-ala. A = 0 0 π 5 = 00 5π =,46,5 (cm ) Ympyröiden keskelle jäävän alueen pinta-ala on,5 cm a) Ensimmäisen ympyrän halkaisija on d =, joten säde on r =. Toinen ympyrä: d = + =, r =. Kolmas ympyrä: d 3 = + = 3, r 3 = 3. Neljäs ympyrä: d 4 = 3 + = 4, r 4 = Viiden ympyrä: d 5 = 4 + = 5, r 5 = 5. Lukujono on 3 5,,, ja. b) Ensimmäisen ympyrän piiri on p = π = π Toinen ympyrä: p = π = π Kolmas ympyrä: p 3 = π 3 = 3π Neljäs ympyrä: p 4 = π 4 = 4π Viides ympyrä: p 5 = π 5 = 5π Lukujono on π, π, 3π, 4π ja 5π.

10 c) Ensimmäisen ympyrän pinta-ala on Toinen ympyrä: A = π = π. Kolmas ympyrä: A 3 9π 3 π( ) 4 Neljäs ympyrä: A 4 = π = 4π Viides ympyrä: A 5 5π 5 π( ) 4 Lukujono on,, 9,4 ja π A π( ). 4 d) a-kohdan lukujono on aritmeettinen, erotusluku on b-kohdan lukujono on aritmeettinen, erotusluku on π. c-kohdan lukujono: Lasketaan peräkkäisten jäsenten erotus ja 4 4 Erotus ei ole vakio. Lukujono ei ole aritmeettinen. Lasketaan peräkkäisten jäsenten suhde. 9 4 ja Suhde ei ole vakio. Lukujono ei ole geometrinen Lasketaan lähivalojen valaiseman sektorin pinta-ala. A 55 lähivalot π 50 99, (m ) 360 Lasketaan kaukovalojen valaiseman sektorin pinta-ala. A 0 kaukovalot π 0 56, (m ) 360 Kaukovalot valaisevat suuremman alueen.

11 30. Siemenet leviävät alueelle, joka muodostuu suorakulmiosta ja kahdesta ympyrän puolikkaasta. Lasketaan suorakulmion pinta-ala. 0 4 = 80 (m ) Lasketaan ympyrän pinta-ala. π = 4π =,56 (m ) Kokonaispinta-ala on 80 +,56 = 9,56 90 (m ). Nurmikon siemenet leviävät 90 m :n alueelle. 3. a) Ympyrän halkaisija on alussa d ja lopussa d. Kehän pituus on alussa πd ja lopussa π d = πd. Kehän pituus kaksinkertaistuu. b) Koska ympyrän halkaisija kaksinkertaistuu, myös säde kaksinkertaistuu. Säde on alussa r ja lopussa r. Pinta-ala on alussa A = πr ja lopussa A = π (r) = 4πr. Pinta-ala nelinkertaistuu.

12 3. a) Ympyrän halkaisija on 0 cm, joten säde on 0 cm. Piirretään kuva. Jänteen muodostaman sektorin keskuskulma α saadaan kosinilauseella tasakylkisestä kolmiosta, jonka sivujen pituudet ovat 0 cm, 0 cm ja cm. = cos cos = 7 5 = 73,73 Kaaren pituus on 73, , (cm). 360 Kaaren pituus on 3 cm. b) Segmentin pinta-ala saadaan, kun sektorin pinta-alasta vähennetään kolmion pinta-ala. Asegmentti Asektori Akolmio 73,73... π sin 73, ,35 6 (cm ). Segmentin pinta-ala on 6 cm.

13 33. a). Piirretään ympyrä.. Piirretään ympyrän keskipisteen kautta suora. 3. Piirretään suoralle normaali ympyrän keskipisteen kautta. 4. Koska neliön lävistäjät puolittavat toisensa ja leikkaavat toisensa kohtisuorasti, ovat piirrettyjen suorien ja ympyrän leikkauspisteet neliön kärkipisteet.

14 b) Neliön sisälle piirretty ympyrä sivuaa neliön sivuja sivujen keskipisteissä. Piirretään neliön yhden sivun keskipiste. Ympyrän keskipiste on sama piste kuin neliön ulkopuolelle piirretyn ympyrän keskipiste. Piirretään ympyrä näiden pisteiden avulla. c) Tutkitaan pinta-alojen suhdetta. Pinta-alojen suhde näyttäisi olevan :. Lasketaan suhde tarkasti. Merkitään neliön sivun pituutta kirjaimella a. Neliön sisälle piirretyn ympyrän halkaisija on a, joten säde on a. Sisälle piirretyn ympyrän pinta-ala on A π ( a ) πa. 4

15 Neliön ulkopuolelle piirretyn ympyrän halkaisija on yhtä pitkä kuin neliön lävistäjä d. Ratkaistaan lävistäjän d pituus suorakulmaisesta kolmiosta. a + a = d a = d d = a (tai d = a ) Ulkopuolelle piirretyn ympyrän säde on a. Ulkopuolelle piirretyn ympyrän pinta-ala on a πa πa A π( ). 4 Lasketaan pinta-alojen suhde. πa πa πa 4 πa 4 Neliön ulkopuolelle ja sisäpuolelle piirrettyjen ympyröiden pintaalojen suhde on :.

16 34.. Piirretään ympyrä, jonka säde on 6.. Piirretään ympyrän keskipisteestä jana, jonka pituus on kahden ympyrän keskipisteiden etäisyys =. 3. Merkitään janan ja ympyrän leikkauspiste. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on janan toinen päätepiste ja kehän piste äsken merkitty leikkauspiste. 4. Piirretään 6-säteisen ympyrän keskipiste keskipisteenä ympyrä, jonka säde on tämän ympyrän ja 3-säteisen ympyrän keskipisteiden etäisyys = 9. Piirretään samoin 5-säteisen ympyrän keskipiste keskipisteenä ympyrä, jonka säde on tämän ympyrän ja 3-säteisen ympyrän keskipisteiden etäisyys = 8.

17 5. Ympyröiden leikkauspiste on 3-säteisen ympyrän keskipiste. Piirretään ympyrä. 35. Yhdistetään pisteet A, C ja B kolmioksi Koska kolmio BCA on tasakylkinen, on jana EC tasakylkisen kolmion korkeusjana. Muodostuu suorakulmainen kolmio AEC.

18 Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion AEC korkeus h Pythagoraan lauseen avulla. h 3 5 h 95 h 6 h4(taih4) Pikkuympyrän säde on r ja p keskipisteen O etäisyys kolmion AEC kannasta on a = 4 ( + r ) = r. Pythagoraan lauseen avulla saadaan suorakulmaisesta kolmiosta EOA yhtälö, josta ratkaistaan r. 3 a (3 r) 3 ( r) (3 r) 944rr 96rr 4r6r 4 0r 4 : ( 0) r Pienen ympyrän säteen pituus on. 5

19 36. Piirretään kuva. Merkitään ympyrän sädettä kirjaimella r. Kolmion pinta-ala A 6,0 6,0 sin50 A 3,78... (cm ) Muodostuvan sektorin pinta-ala on puolet kolmion alasta, eli 3, ,89... (cm ). Saadaan yhtälö, josta ratkaistaan ympyrän säde r. 50 π r = 6, π r 360 6,89... : 50 π r 5,80... r 3, (tai r 3,975...) r 4,0 (cm) Ympyrän säde on 4,0 cm. SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT

20 37. Ympyrän halkaisija on 6 cm, joten säde on 3 cm. Piirretään kuva. Kaarta vastaava keskuskulma α saadaan ratkaistua, kun tunnetaan kaaren pituus 8 cm. π π 6 79,33... Sektorin pinta-ala saadaan yhtälöstä 79,33... Asektori 3 7 (cm ). 360 Kolmion pinta-ala A kolmio 3 3 sin79, ,03... (cm ) Lasketaan segmentin pinta-ala sektorin ja kolmion pinta-alojen erotuksena. A segmentti = A sektori A kolmio = 7 cm 83,03 cm = 33,96 cm 34 cm. Segmentin pinta-ala on 34 cm.

21 38. a) Ensimmäisessä kuviossa sisään piirretyn ympyrän halakisja on sama kuin neliön sivun pituus. Ympyrän säde on. Ympyrän pinta-ala on. 4 Toisessa kuviossa yhden ympyrän halkaisija on puolet neliön sivun pituudesta, eli. Ympyrän säde on. 4 Ympyröiden yhteenlaskettu pinta-ala on Kolmannessa kuviossa yhden ympyrän halkaisija on, joten säde on 3. 6 Ympyröiden yhteenlaskettu pinta-ala on Neljännessä kuviossa on 4 4 = 4 = 6 ympyrää. Yhden ympyrän halkaisija on 4, joten säde on. 8 Ympyröiden yhteenlaskettu pinta-ala on Viidennessä kuviossa on 5 5 = 5 = 5 ympyrää. Yhden ympyrän halkaisija on 5, joten säde on. 0 Ympyröiden yhteenlaskettu pinta-ala on Ympyröiden yhteispinta-ala on kaikissa tapauksissa. 4 b) Kun ympyröiden lukumäärä on n, on ympyröitä yhdellä neliön sivulla n kappaletta. Yhden ympyrän halkaisija on, n joten säde on. n Ympyröiden yhteenlaskettu pinta-ala on n n n 4 n. 4

22 39. a). Piirretään puoliympyrän kaari AB.. Merkitää piste C puoliympyrän kehälle. 3. Yhdistetään pisteet A, B ja C kolmioksi. 4. Mitataan kulma ABC. Kun pistettä C siirretään ympyrän kehällä, kulmakolmio näyttäisi olevan suorakulmainen pisteen C sijainnista riippumatta.

23 b) Koska kaari AB on puoliympyrä, on janan AB keskipiste D ympyrän keskipiste. Merkitään kolmion ABC kantakulmat ja. Janat DA, DC ja DB ovat kaikki ympyrän säteen mittaisia. Kolmiot ADC ja DBC ovat siten tasakylkisiä. Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. Kolmion kulmien summa on 80. Lasketaan kolmion ABC kulmien summa. + + ( + ) = 80 + = 80 : + = 90 Kulma ACB on 90, joten kolmio ABC on suorakulmainen.

24 30. Piirretään putkien poikkileikkausympyröiden keskipisteet yhdistämällä kuvan mukainen kolmio. Kasan korkeus saadaan, kun kolmion korkeuteen lisätään kaksi kertaa ympyrän säteen pituus. Kolmio on tasasivuinen. Jokaisen sivun pituus on kolmen ympyrän halkaisijan mittainen, eli kuuden säteen mittainen: 6 4,5 cm = 7 cm. Tasasivuisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan, jolloin muodostuu suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on 7 cm ja toinen kateetti 7 cm 3,5 cm. Ratkaistaan kolmion korkeus h Pythagoraan lauseen avulla. h + 3,5 = 7 h + 8,5 = 79 h = 546,75 h = 3,38 (tai h = 3,38 ) Lasketaan kasan korkeus. 3,38 + 4,5 = 3,38 3 (cm) Putkikasan korkeus on 3 cm.

25 3. a) Säännöllinen n-kulmio voidaan jakaa tasakylkisiksi kolmioiksi, joiden kylkien pituus on ja huippukulma = 360. n Yhden tällaisen kolmion pinta-ala on sin( 360 ) sin( 360 ). n n Säännöllisen n-kulmion pinta-ala on n sin( 360 ) n sin( 360 ). n n b) Luvun π likiarvo :n numeron tarkkuudella on 3, Lasketaan taulukkolaskentaohjelmalla n-kulmioiden pinta-aloja, kun n = 3, 4, Kun n on 0 000, on likiarvossa seitsemän oikeaa numeroa.

26 3. Ympyrään liittyviä kulmia YDINTEHTÄVÄT 3. a) Kulmat ja ovat samaa kaarta vastaavat kehäkulmat. Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret ja puolet vastaavasta keskuskulmasta, joka on = 44 ja = 44 b) Kulmat ja 63 ovat samaa kaarta vastaavat kehäkulmat. Kulma α on tätä kaarta vastaava keskuskulma. β = 63 ja = 63 = 6 = 6 ja β = 63

27 33. a) Kulma on tangenttikulmaa 30 vastaava keskuskulma. Keskuskulman ja tangenttikulman summa on 80. α = = 50 Kulma on samaa kaarta vastaava kehäkulma. Kehäkulma β on puolet vastaavasta keskuskulmasta. β = 50 = 75 = 50 ja β = 75 b) Kulma ja kulma 0 muodostavat yhdessä täyden kulman. α = = 58 Kulmat ja ovat samaa kaarta vastaavat kehäkulma ja keskuskulma. Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta. β = 58 = 9 = 58 ja β = 9

28 34. a) Kulma APB on keskuskulma ja suuruudeltaan 80, koska jana AB on ympyrän halkaisija ja P on ympyrän keskipiste. Kulma ACB on samaa kaarta vastaava kehäkulma. Kehäkulma on puolet keskuskulmasta, joten kulma ACB on b) Ympyrän halkaisija on jana AB. Ratkaistaan suorakulmaisesta kolmiosta ABC hypotenuusan AB pituus. AB = AB = 00 AB = 0 (tai AB = 0) Säde on puolet halkaisijasta. Ympyrän säde on 0 = 5.

29 35. Ratkaistaan suorakulmaisesta kolmiosta kulma. 4,0 cos 0,0 66,4... Lasketaan keskuskulmaa vastaavan kaaren pituus. 66,4... 4, 0 4, , 6 (cm) 360 Kaaren pituus on 4,6 cm. 36. Piirretään kuva. Nimetään ympyrän keskipiste kirjaimella O. Tangentti ovat kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan. Jana OP puolittaa tangenttikulman. Merkitään tangenttikulman puolikasta kirjaimella. Ratkaistaan kulma suorakulmaisesta kolmiosta. 4,0 sin 7,0 34,84... Tangenttikulma on = 34,84 = 69,69 70.

30 37. a) Esimerkiksi: Nelikulmio näyttää aina olevan suorakulmio. b) Janat AC ja BD ovat ympyrän halkaisijoita, koska ne kulkevat ympyrän keskipisteen O kautta. Keskuskulma DOB on 80, ja tätä vastaava kehäkulma DCB on Samoin keskuskulma BOD on 80, ja kehäkulma BAD on 90. Vastaavasti keskuskulmat AOC ja COA ovat 80 ja näitä vastaavat kehäkulmat CBA ja ADB ovat 90. Nelikulmion kaikki kulmat ovat 90, joten nelikulmio on suorakulmio.

31 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 38. a) tosi Kehäkulma on aina puolet sitä vastaavasta keskuskulmasta. b) epätosi Keskuskulman ja tangenttikulman summa on 80. Jos tangenttikulma on esimerkiksi 50, on keskuskulma 30, eli pienempi kuin tangnttikulma. c) epätosi Yhdensuuntaiset tangentit eivät leikkaa toisiaan. d) tosi Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta. Koska ympyrän halkaisija muodostaa 80:een keskuskulman, on sitä vastaava kehäkulma 90. Kun halkaisijan päätepisteet ja kehän piste yhdistetään, on muodostuva kolmio suorakulmainen.

32 39. Piirretään kuva. Maapallon säde ja näkösädettä kuvaava tangentti ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Ratkaistaan kulma suorakulmaisesta kolmiosta. Kolmion hypotenuusan pituus on 6370 km + 0, km = 6370, km. cos , 0, Lasketaan kaaren pituus b. 0, b , (km) 360 b 50 Hotellista voi nähdä 50 kilometrin päähän.

33 330. Kulma on kaarta AB vastaava kehäkulma. Täydennetään kuvaan kaarta AB vastaava keskuskulma. Ympyrän halkaisija on 36. Koska kaaren pituus 4π tunnetaan, saadaan yhtälö, josta ratkaistaan keskuskulma. b π π 36 4π :36π 360 4π π Kehäkulma on puolet keskuskulmasta, Kulman α suuruus on 0º.

34 33. a) Piirretään kuva. b) Janat AO ja OB ovat ympyrän säteen mittaisia. Kolmioissa OAP ja OPB on siten yhtä pitkät sivut OA ja OB. Sivu OP on kolmioiden yhteinen sivu. Kolmiot OAP ja OPB ovat suorakulmaisia, koska sivuamispisteeseen piirretty tangentti on kohtisuorassa sädettä vastaan. Sivujen AP ja BP pituudet voidaan ratkaista Pythagoraan lauseen avulla. AP + OA = OP AP = OP OA BP + OB = OP BP = OP OB Koska OB = OA ovat sivut BP ja AP yhtä pitkät. Piste P on yhtä kaukana pisteista A ja B. c) b-kohdan nojalla kolmioissa OAP ja OPB on kaikki sivut yhtä pitkät, joten kolmiot ovat yhtenevät (sss). Tällöin myös niiden kulmat BPO ja OPA sekä POB ja AOP ovat yhtä suuret. Jana OP siis puolittaa keskuskulman AOB ja tangenttikulman BPA.

35 33. a) Väite on tosi, sillä samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat keskenään yhtä suuret. b) Ratkaistaan keskuskulma kosinilauseen avulla tasakylkisestä kolmiosta, jonka kyljet ovat ympyrän säteen mittaiset 7,0 m ja kanta maalitolppien etäisyys,83 m.,83 7,0 7,0 7,07,0cos 98,0 cos 94,65 :98,0 cos 0, ,0... Kulma on puolet samaa kaarta vastaavasta keskuskulmasta, joten 5,0... 7,5... 7,5. Maali näkyy 7,5:een kulmassa.

36 333. Piirretään kuva. Jana OC puolittaa tangenttikulman 60. Ratkaistaan ympyrän säde r suorakulmaisesta kolmiosta OBC sinin avulla. sin30 r r 6,0 r r 6,0 r r6,0 r 6,0 Ympyrän säde on 6,0 cm Esimerkiksi:. Piirretään jänne.. Piirretään jänteelle keskinormaali. Keskinormaali on myös ympyrän halkaisija. 3. Piirretään toinen jänne ja sille keskinormaali. Ympyrän keskipiste on keskinormaalien leikkauspisteessä.

37 335. a) Esimerkiksi: Kehäkulmat näyttäisivät olevan yhtä suuret. b) Pitää osoittaa, että samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuria. Tiedetään, että kehäkulma on puolet samaa kaarta vastaavasta keskuskulmasta. Kulma on kaarta AB vastaava keskuskulma. Kulma on kaarta AB vastaava kehäkulma. Kulma on kaarta AB vastaava kehäkulma. Koska =, samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret.

38 336. Täydennetään kuvaan kehäpisteet ja kolmioiden kulmat. Kulmat ja ovat samaa kaarta CD vastaavat kehäkulmat, joten =. Kulmat ja ovat ristikulmina yhtä suuret. Kolmiot ADE ja BEC ovat yhdenmuotoisia kk-lauseen nojalla. Yhdenmuotoisissa kolmioissa vastinsivujen suhde on vakio. x x x 60 :3 x 50,3... x 50 (mm) Janan pituus on 50 mm.

39 337. a) Pitää osoittaa,että puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora. Tiedetään, että kehäkulma on puolet samaa kaarta vastaavasta keskuskulmasta. Piirretään kuva. AB on ympyrän halkaisija, piste O on ympyrän keskipiste ja C ympyrän kehäpiste. Koska AB on ympyrän halkaisija, on kaarta AB vastaava keskuskulma 80. Kulma ACB on kaarta AB vastaava kehäkulma. Koska kehäkulma on puolet keskuskulmasta, on kulma ACB b). Piirretään puoliympyrä AB.. Merkitään puoliympyrälle piste. 3. Piirretään nämä kolme pistettä kärkinä kolmio.

40 Kolmio on suorakulmainen, koska sen yksi kulma on puoliympyrän sisältämä kehäkulma. Mitataan vielä kulman suuruus ja siirretään kehän pistettä. Kolmio pysyy suorakulmaisena riippumatta kehän pisteen sijainnista.

41 338. a) Vastakkaisten kulmien summa näyttäisi olevat 80. b) Kuvan mukaisesti kulmat ja ovat samaa kaarta vastaavat kehäkulma ja keskuskulma, joten =. Kulmat ja ovat samaa kaarta vastaavat kehäkulma ja keskuskulma, joten =. Kulmat ja muodostavat yhdessä täyden kulman, eli + = = = 360 : + = 80 Vastakkaisten kulmien summa on + = 80.

42 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄ 339. Piirretään kuva. Tangenttien sivuamispisteisiin piirretyt ympyrän säteet ovat kohtisuorassa tangenttia vastaan. Merkitään kirjaimella x tangenttien leikkauspisteen D etäisyyttä pienemmästä ympyrästä. Pitää ratkaista etäisyydet GH, GD ja HD. Jana AD, joka kulkee ympyröiden keskipisteiden kautta, puolittaa tangenttikulman. Kolmio GDH on siten tasakylkinen. Kolmiot AED ja BFD ovat yhdenmuotoiset, koska niissä on molemmissa suora kulma ja yhteinen kulma (kk). Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhde on vakio. Ratkaistaan etäisyys x. 8 x 3 3 x (3 x) 3(8 x) 36 x54 3x 9x 8 x Tällöin CD = x = = 8.

43 Ratkaistaan kulma. sin ,86... Ratkaistaan sivut CG ja GD suorakulmaisesta kolmiosta CGD. Ratkaistaan sivu CG tangentin avulla. tan36,86... CG 8 8 CG 8tan 36,86... CG 6 Ratkaistaan sivu GD Pythagoraan lauseen avulla. CG + CD = GD = GD GD = 00 GD = 0 (tai GD = 0) Koska kolmio GDH on tasakylkinen, puolittaa piste C kannan. Tällöin GH = CG = 6 =. Tasakylkisyydestä seuraa myös, että HD = GD = 0. Kysytyt kolmion sivut ovat 0, 0 ja Piirretään kuva. Tutkitaan, ovatko sivut DA ja CB yhtä pitkät.

44 Kulmat DAC ja DBC ovat kaarta DC vastaavat kehäkulmat ja siten keskenään yhtä suuret. Merkitään nämä kuvaan. Kulmat CDB ja ABD ovat samankohtaiset kulmat. Koska AB DC, ovat kulmat CDB ja ABD yhtä suuret. Kulmat CDB ja CAB ovat kaarta BC vastaavat kehäkulmat, joten ne ovat keskenään yhtä suuret. Tällöin myös kulmat ABD ja CAB ovat yhtä suuret. Kulmat ACD ja ABD ovat kaarta DA vastaavat kehäkulmat, joten ne ovat keskenään yhtä suuret. Merkitään kuvaan kaikki keskenään yhtä suuret kulmat. Kolmioissa DCA ja DCB on yhtä suuret kulmat, joten ne ovat yhdenmuotoiset (kk). Lisäksi kolmioilla on yhteinen sivu DC, joten kolmiot ovat yhtenevät (kks) Sivut DA ja CB ovat yhtä pitkät.

45 34. ) Ympyrän keskipiste on kolmion sisällä. Kulmat ja ovat kaarta AB vastaavat kehäkulma ja keskuskulma, joten =. Kolmio ABO on tasakylkinen. Piirretään kolmiolle ABO korkeusjana, joka puolittaa kannan AB ja huippukulman. Tällöin muodostuu suorakulmainen kolmio DBO. Suorakulmaisesta kolmiosta DBO saadaan: a sin r sin a r sin a r r rsin a :sin r a sin

46 ) Ympyrän keskipiste on kolmion ulkopuolella. Kulma on kaarta AB vastaava kehäkulma. Kaarta AB vastaava keskuskulma on 360. Tällöin 360 =, josta = 360. Samoin kuin ensimmäisessä tapauksessa muodostuu suorakulmainen kolmio DOB. a sin r sin 360 a r sin(80 ) a r r rsin(80 ) a : sin(80 ) r a sin(80 ) sin sin(80 ) r a sin

47 3. Ympyrän keskipiste on kolmion sivulla. Jos ympyrän keksipiste on kolmion sivulla, on kolmion yksi sivu ympyrän halkaisija, eli a = r. Tällöin kulma on puoliympyrän sisältämä kehäkulma, eli = 90. a r sin a r sin90 a r a r Väite a r on tosi. sin

48 34. Kulma, jossa ympyrä näkyy, on tangenttikulma. Piste P, josta Maa ja Kuu näkyvät yhtä suurina, on Maan ja Kuun yhteisten tangenttien leikkauspiste. Maan halkaisija on km, joten säde on 6500 km ja Kuun halkaisija on 3500 km, joten säde on 750 km. Tangentin ja ympyrän sivuamispisteeseen piirretty säde on kohtisuorassa tangenttia vastaan. Piirretään kuva. Kysytyn pisteen P ja Maan keskipisteen välinen etäisyys on y. Kuun keskipisteen ja pisteen P etäisyys on x. Koska Maan ja Kuun keskipisteiden välinen etäisyys AC on km, saadaan y = x. Kolmiot APB ja PCD ovat yhdenmuotoiset, koska niissä on molemmissa suora kulma ja kulmat BPA ja CPD ovat ristikulmina yhtä suuret (kk). Yhdenmuotoisissa kolmioissa vastinsivujen suhde on vakio y 750 x x 750 x 6500x x 850x :850 x ,06... x 8000 (km) Piste on km Kuun keskipisteestä maahan päin.

49 343. a). Piirretään ympyrä.. Merkitään ympyrän kehälle satunnaisiin kohtiin neljä pistettä. 3. Piirretään näiden pisteiden kautta ympyrälle tangentit. Tangenttien sivuamispisteet yhdistämällä muodostuu nelikulmio. b) Mitataan nelikulmion IFGH vastakkaisten sivujen pituudet ja lasketaan niiden summa.

50 Muutetaan nelikulmion muotoa. Vastakkaisten sivujen summa näyttäisi olevan sama. Pitää osoittaa, että IH + FG = IF + HG Merkitään kuvaan tangenttien sivuamispisteisiin piirretyt ympyrän säteet. Sivuamispisteeseen piirretty säde on kohtisuorassa tangenttia vastaan. Nelikulmion kärki G on ympyrän tangenttien leikkauspiste. Tangenttipisteestä ympyrän keskipisteeseen A piirretty jana GA puolittaa tangenttikulman CGB ja keskuskulman BAC. Tällöin kuvaan muodostuneet suorakulmaiset kolmiot BGA ja CGA ovat yhtenevä, koska niiden kaikki kulmat ovat yhtä suuret ja niillä on yhteinen sivu AG (kks). Samoin voidaan päätellä muiden suorakulmaisten kolmioiden yhtenevyydet.

51 Merkitään kuvaan keskenään yhtä pitkät sivut. Lasketaan nelikulmion IFGH vastakkaisten sivujen pituuksien summat. IF + HG = b + c + a + b = a + b + c + d IH + FG = b + a + c + d = a + b + c + d IH + FG = IF + HG Vastakkaisten sivujen pituuksien summa on sama.

52 3.3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet YDINTEHTÄVÄT 344. A II Piste P on janan AB keskinormaalilla. Keskinormaalin kaikki pisteet ovat yhtä kaukana janan päätepisteistä. B I Piste P on kulman A kulmanpuolittajalla. Kulmanpuolittajan kaikki pisteet ovat yhtä etäällä kulman kyljistä Janan keskinormaalin jokainen piste on yhtä kaukana janan päätepisteistä. Piirretään janoille MI, IE ja EM keskinormaalit. Tapaamispaikka on keskinormaalien leikkauspisteessä. (Riittäisi piirtää vain kaksi keskinormaalia)

53 346. a) Pisteen P etäisyys janasta AC mitataan kohtisuorasti. Piirretään janalle AC normaali pisteen P kautta. Kysytty piste on normaalin ja janan AC leikkauspiste D. b) Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on P ja kehän piste on a-kohdassa merkitty piste D. c) Kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste on kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste. Jana AP puolittaa kulman BAC, joten kulma = 30º. d) Säde on janan PD pituus. Kolmio APD on suorakulmainen, koska suora DP on janan AC normaali. Ratkaistaan janan PD pituus suorakulmaisesta kolmiosta APD. sin 30 PD 4 4 PD 4sin30 PD 4 PD Ympyrän säde on.

54 347. Piirretään kuva. Pienin kulma on lyhintä sivua vastassa. Kulmanpuolittajalauseen mukaan kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Saadaan yhtälö x 8. y Toinen tuntematon y voidaan esittää x:n avulla, kun tiedetään, että x + y = 6 eli y = 6 x Sijoitetaan y aiempaan yhtälöön. x 8 6 x x8(6 x) x48 8x 9x 48 :9 x Koska y = 6 x, niin y = = Kolmion pienimmän kulman puolittaja jakaa lyhimmän sivun osiin, joiden pituudet ovat 0 ja

55 348. a) Jana AC on kolmion keskijana, eli mediaani. Piste B on mediaanien leikkauspiste. Mediaanien leikkauspiste B jakaa mediaanin CA suhteessa : kärjestä A lukien, eli AB : BC = :. Tällöin AC : BC = 3 :. b) Koska AC on mediaani, on pienen suorakulmaisen kolmion toisen kateetin pituus 8 4. Ratkaistaan hypotenuusan AC pituus suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseen avulla. AC 4 6 AC 6 36 AC 5 AC 5 (tai AC 5) AC 43 AC 3 Janan AC pituus on 3 ja janan BC pituus on

56 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 349. a) Piirretään janalle AB keskinormaali ja merkitään keskinormaalilta piste D. b) Piirretään janalle BC keskinormaali. Piste, joka on yhtä kaukana pisteistä A, B ja C on keskinormaalien leikkauspiste E A-II B-I C-I ja III D-I E-II F-II

57 35. a) Kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on keskinormaalien leikkauspisteessä. Ympyrä kulkee kaikkien kolmion kärkien kautta.. Piirretään kolmio.. Piirretään kolmion sivuille keskinormaalit. Merkitään keskinormaalien leikkauspiste. 3. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on keskinormaalien leikkauspiste ja kehän piste jokin kolmion kärjistä. b) Kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste on kulmanpuolittajien keskipisteessä.. Piirretään kolmio.. Piirretään kolmion kulmien puolittajat ja merkitään niiden leikkauspiste. 3. Piirretään leikkauspisteestä normaali kolmion sivulle. Normaalin ja sivun leikkauspiste on ympyrän kehällä.

58 4. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on kulmanpuolittajien leikkauspiste ja kehän piste sivun ja normaalin leikkauspiste. 35. Piste, joka on yhtä kaukana kaikista kolmion kyljistä, on kulmanpuolittajien leikkauspiste. Piirretään kolmion kulmien puolittajat (kaksi riittää). Valaisinpylvään paikka on näiden leikkauspisteessä D Kuvassa I on mediaanit. Leikkauspiste jakaa mediaanit kärjestä lukien suhteessa :, eli CB : BA = :. Tällöin AC = 3AB. Kuvassa II on kulmanpuolittajat Kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa, eli AB : BC = : 6 = : 3. Tällöin AC = 4AB. Kuvassa III on keskinormaalit. Keskinormaalin jokainen piste on yhtä kaukana janan päätepisteistä, eli AB = AC. A III, B II, C I

59 354. Piirretään kuva. Kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste on kulmanpuolittajien keskipisteessä. Suora OA on kulman A puolittaja. Tällöin kulma DAO on 60. Suora AB on ympyrän tangentti. Sivuamispisteeseen D piirretty säde on kohtisuorassa kolmion sivua AB vastaan. Kuvaan muodostuu suorakulmainen kolmio ADO. Ratkaistaan suorakulmaisesta kolmiosta ympyrän säteen pituus OD. sin 60 OD 4 4 OD 4sin60 OD 4 3 OD 3 Ratkaistaan ympyrän pinta-ala A π( 3) π 3 π Ympyrän pinta-ala on π.

60 355. Piirretään kuva. Merkitään sivun AC pituutta A ja AB pituutta b. Kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Saadaan yhtälö, josta ratkaistaan a b:n avulla. a 3 b b 4 a 3 b 4 Tiedetään, että kolmion piiri on 5. Tästä saadaan yhtälö a + b + 0 = 5. Sijoitetaan aiemmin saatu a:n lauseke yhtälöön ja ratkaistaan b. 3 bb b b 60 : 7 b Tällöin a b Kolmion muut sivut ovat ja

61 356. Ympyrän keskipiste on yhtä kaukana kaikista kehän pisteistä. Keskinormaalin kaikki pisteet ovat yhtä etäällä janan päätepisteistä.. Piirretään janalle AB keskinormaali. Merkitään keskinormaalin ja suoran l leikkauspiste.. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on keskinormaalin ja suoran l leikkauspiste ja kehän piste on A Saarelle saa rakentaa, mikäli saarelta löytyy kohta, joka on vähintään 00m etäisyydellä jokaisesta rannasta. Kohta, joka on samalla etäisyydellä jokaisesta rannasta, on kolmionmuotoisen saaren sisälle piirretyn ympyrän keskipiste. Tämä piste on kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste. Koska saari on tasasivuisen kolmion muotoinen, ovat kolmion kulmanpuolittaja samalla myös korkeusjana ja mediaani. Tasasivuisen kolmion kaikki kulmat ovat 60.

62 Piirretään kuva. Merkitään kolmion sivun pituutta kirjaimella a ja sisään piirretyn ympyrän keskipistettä kirjaimella x. Koska saari on tasasivuisen kolmion muotoinen, on kolmion kulmanpuolittaja samalla myös korkeusjana ja mediaani. Kuvaan muodostuu suorakulmainen kolmio, jonka yksi kulma on suuruudeltaan 30. Ratkaistaan kolmion sivun pituus a, kun tiedetään kolmion pinta-ala 5,00 ha = m. A aasin 60 a 3 3a 4 3a : a 5470,05... a339,80... (tai a339,80...) Ratkaistaan suorakulmaisesta kolmiosta kateetin x pituus. Tasasivuisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan a. tan30 x a a x atan30 x 339,80... tan30 x 98,09... x 98 m Koska sisään piirretyn ympyrän keskipisteen etäisyys saaren rannasta on alle 00m, ei saarelle voi rakentaa.

63 358. a) Piirretään kuva. Kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on keskinormaalien leikkauspisteessä. Koska kolmio on tasasivuinen sen keskinormaalit, korkeusjanat ja mediaanit yhtyvät. Kuvaan muodostuu suorakulmainen kolmio, jonka yksi kulma on tasasivuisen kolmion kulman 60 puolikas, eli 30. Suorakulmaisen kolmion toinen kateetti on puolet kolmion sivun pituudesta. a cos30 r r r 3 a : 3 r a : 3 r a a 3 3 Ympäri piirretyn ympyrän säde on 3 a. b) Kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste on kulmanpuolittajien leikkauspiste. Piirretään kuva.

64 Sisään piirretyn ympyrän keksipiste on sama piste kuin a-kohdassa ulkopuolelle piirretyn ympyrän keskipiste. Ratkaistaan sisään piirretyn ympyrän säde sorakulmaisesta kolmiosta tangentin avulla. tan30 r a a a 3 r 3 r 3a 3 a 6 6 Kolmion sisään piirretyn ympyrän säde on 3 6 a. c) π Aisompi π ( a) a 3 3 A A pienempi isompi A A 3 3 π ( a) π a 6 36 pienempi pienempi π 3 a π a π a π a Isomman ympyrän pinta-ala on 300 % suurempi kuin pienemmän ympyrän pinta-ala.

65 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 359. Piirretään kuva. Koska kuvan puolisuora on kulmanpuolittaja, jakautuu alkuperäisen kolmion kulma kahteen yhtä suureen osaan. Merkitään molempia osia kirjaimella. Pienemmällä ja isommalla kolmiolla on yhteinen sivu x. Pienemmän kolmion pinta-ala on 356 x sin. Isomman kolmion pinta-ala on 558x sin. Pinta-alojen suhde on 356 x sin 0, x sin Pienemmän osan pinta-ala on 64 % isommasta.

66 360. Piirretään kuva kolmiosta ABC ja sen ympäri piirretystä ympyrästä. Kulma A on kaarta BC vastaava kehäkulma. Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora, joten kaari BAC on puoliympyrä. Tällöin jana BC on kolmion ABC ympäri piirretyn ympyrän halkaisija. Kolmion kateettien AB ja AC pituuksien suhde on 3 : 4. Merkitään kolmion kateetteja AB = 3a ja AC = 4a. Ratkaistaan hypotenuusan pituus CB Pythagoraan lauseella. (3a) + (4a) = CB 9a + 6a = CB 5a = CB CB = 5a ( tai CB = 5a) Ympyrän halkaisija on 5a, joten kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde on 5 a. Kolmion ympäri piirretyn ympyrän pinta-ala on A ympäri = π ( 5 a ) = 5πa 4 Piirretään kolmion sisään piirretty ympyrä. Kolmion sivujen pituuksien suhde on 3a : 4a : 5a= 3 : 4 : 5.

67 Kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste D on kulmanpuolittajien leikkauspiste. Janat GD, HD ja ED ovat kolmion sivujen suuntaisten tangenttien AC, AB ja BC sivuamispisteeseen piirrettyjä ympyrän säteitä. Sivuamispisteeseen piirretty säde on kohtisuorassa tangenttia vastaan. Merkitään ympyrän säteen pituutta kirjaimella r. Kolmio ABC voidaan jakaa kolmeksi kolmioksi ADC, ABD ja DBC. Janat GD, HD ja ED ovat näiden kolmioiden korkeusjanoja. Kolmion ABC pinta-ala voidaan laskea kahdella tavalla. 3 4 A a a 6a A A ADC AABD A a r a r a r ar DBC 6ar Eri tavoilla laskettujen pinta-alojen tulee olla yhtä suuret. Ratkaistaan näin saadusta yhtälöstä r. 6a = 6ar : 6a r = a Kolmion sisään piirretyn ympyrän säde on a. Lasketaan kolmion sisään piirretyn ympyrän pinta-ala. A sisään = πa Pinta-alojen suhde on πa 5 πa 4 4 4:5. 5

68 36. Kulma,5 on puolet 45:een kulmasta. Piirretään suorakulmainen kolmio ABC, jonka kaksi muuta kulmaa ovat 45. Piirretään toisen 45:een kulman puolittaja AD. Kolmio on tasakylkinen, koska sen kantakulmat ovat yhtä suuret. Merkitän kolmion kyljen pituutta kirjaimella a. Lasketaan sivun hypotenuusan AB pituus suorakulmaisesta kolmiosta ABC Pythagoraan lauseella. AB = a + a AB = a AB = a (tai AB = a ) Kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Tällöin CD AC a. DB AB a Lisäksi CD + DB = a, eli DB = a CD. Saadaan CD DB CD a CD acd CD acd CD acd( ) : ( ) CD a

69 Kolmio ADC on suorakulmainen. Ratkaistaan tan,5. tan,5 CD a a a ) ( )( ) 36. Olkoon talot A, B, C, ja D nelikulmion kärjissä. a) Kaivon paikka löytyy janojen AB, BC, CD ja DA keskinormaalien leikkauspisteestä. b) Kaivo, joka on yhtä kaukana taloista A, B ja C on janojen AB ja BC keskinormaalien leikkauspisteessä. c) Kaivo, joka on yhtä kaukana taloista A ja B ja yhtä kaukana taloista C ja D on janojen AB ja CD keskinormaalien leikkauspisteessä. d) Jana AC on lyhin reitti pisteestä A pisteeseen C. Näin ollen kaivo sijaitsee janalla AC. Vastaavasti saadaan, että kaivo sijaitsee myös janalla BD. Siis kaivon täytyy sijaita janojen AC ja BD leikkauspisteessä.

70 363. Keskinormaalien leikkauspiste vaikuttaisi sijaitsevan kolmion hypotenuusan keskipisteessä. Piste O on hypotenuusan CB keskipiste. Riittää osoittaa, että keskinormaaleista kaksi leikkaa toisensa pisteessä O. Hypotenuusan keskinormaali kulkee pisteen O kautta. Osoitetaan, että myös kolmion ABC toinen keskinormaali kulkee pisteen O kautta. Tarkastellaan sivun AB keskinormaalia. Merkitään keskinormaalin ja hypotenuusan BC leikkauspistettä kirjaimella F ja keskinormaalin ja sivun AB leikkauspistettä kirjaimella D. Kolmiot ABC ja DBF ovat yhdenmuotoiset, koska niissä on molemmissa suora kulma sekä yhteinen kulma B (kk). Koska piste D puolittaa janan AB, on DB : AB = :. Tällöin yhdenmuotoisuuden perusteella myös FB : CB = :, eli piste F puolittaa janan CB. Näin ollen O = F. Keskinormaalit leikkaavat siis pisteessä O, joka on hypotenuusan keskipiste.