Mat Matematiikan peruskurssi C2
|
|
- Julia Ahonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat Matematiikan peruskurssi C Petri Latvala 18. helmikuuta 007 Sisältö 1 Useamman muuttujan funktiot ja niiden differentiaalilasku 1.1 Useamman muuttujan funktion jatkuvuus ja derivoituvuus Osittaisderivaatta Tangenttitaso ja normaali Korkeamman kertaluvun osittaisderivaatat D Laplacen yhtälö Derivoinnin ketjusääntö Differentiaalit ja linearisointi Gradientti Implisiittiset funktiot ja niiden derivointi Implisiittifunktiolause Useamman muuttujan funktioiden ääriarvot, optimointi 3 3 Jotain 30 4 Sarjat ja potenssisarjat 33 5 Differentiaaliyhtälöt 33 6 Algebraa 33 1
2 1 Useamman muuttujan funktiot ja niiden differentiaalilasku Esimerkki A = l k, A = A(l, k) V = A h, V = V (l, k, h) 3 Esimerkki z = f(x, y) = 1 x y Jos x 0 ja y 0 niin tämä määrittelee -simpleksin: 1.1 Useamman muuttujan funktion jatkuvuus ja derivoituvuus f(x, y) saa yksikäsitteisen arvon jokaisessa määrittelyalueen D R pisteessä (x, y) D. f = f(x, y) on jatkuva määrittelyalueensa pisteessä P = (a, b) jos kun lim f(x, y) = f(a, b) (x,y) (a,b) (x, y) D. (1) Huom: Jos D on avoin, niin raja toimii aina pienessä (a, b)-keskisessä kiekossa. Jos määrittelyalue on avoin, niin kaava 1 toimii kun (x, y) (a, b) mitä tahansa polkua pitkin (a, b):n pienessä ympäristössä. Ekvivalentisti lim f(x, y) = f(a, b) (x,y) (a,b) jos ɛ > 0 on olemassa δ > 0 siten, että (x a) + (y b) < δ f(x, y) f(a, b) < ɛ.
3 Esimerkki f(x, y) = xy x + y (a, b) (0, 0), kaikissa näissä f on jatkuva. Jatkuvuus origossa? Jos x = 0 ja y 0 niin ja siten f(0, y) = 0 y 0 + y = 0 Jos y = 0 ja x 0 niin ja lim f(0, y) = 0. y 0 f(x, 0) = x 0 x + 0 = 0 Jos y = x niin joten lim f(x, 0) = 0. x 0 f(x, x) = x x x + x = 1 Siis f ei ole jatkuva origossa. lim f(x, x) = 1. x 0 1. Osittaisderivaatta Kahden muuttujan funktion f(x, y) (jonka on oltava jatkuva) osittaisderivaatat määritellään: f(x + x, y) f(x, y) lim = f x 0 x x tai f x(tai f 1 ) 3
4 f(x, y + y) f(x, y) lim = f y 0 y y tai f y(tai f ) Esimerkki z = f(x, y) = x y f x = lim (x + x) y x + y x 0 x x + x x + ( x) x = lim x 0 x = lim (x + x) = x x 0 f y = = y 1.3 Tangenttitaso ja normaali Oletetaan, että on olemassa z = f(x, y) f x ja f y P = x i + y j + z k Tangenttivektorit pisteessä P käyrille P = (a, b, f(a, b)) L x : T x = i + f x (a, b) k Adams 10.3: L y : T y = j + f y (a, b) k 4
5 u, v R 3 Ristitulon u v ominaisuuksia: 1. ( u v) u = ( u v) v = 0. u u = u v sin α i j k u v = u 1 u u 3 v 1 v v 3 Normaalivektori pinnalle z = f(x, y) pisteessä P on n = T x T i j k y = 1 0 f x (a, b) 0 1 f y (a, b) = f x (a, b) i + f y (a, b) j k Tangenttitaso tästä edelleen vaatimalla: [ (x a) i + (y b) j + (z f(a, b)) ] k n = 0 f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) (z f(a, b)) = 0 z = x y Mikä on P :n etäisyys tästä satulapinnasta? Olkoon etsitty piste Q = (x, y, z). P Q on oltava pinnan normaali. P Q = (x 3) i + y j + z k 5
6 Ylläolevan nojalla normaalivektori on n = f x i + f y j k = x i y j k Sitten vaaditaan, että P Q = t n, t 0. Tämä koordinaateittain: x 3 = xt y = yt z = t y = 0 () t = 1 (3) Tulos : Jos y = 0 niin x = 3 1 t ja z = t ja pinnalla z = x y pätee t = ( 3 ) 1 t eli välttämättä t < 0. t = 1 on ratkaisu. Siten mahdollinen lähin piste on (1, 0, 1). Sen etäisyys P :stä on (3 1) + 1 = 5. Tulos 3: Jos t = 1 niin ja x 3 = x x = 3 z = 1 6
7 joten y = x z = (3 Siis toinen mahdollinen ratkaisu on piste Koska 17 < 5 niin ( 3 3 ) ( ) ) 1 7 = ( 3, ) 7, 1, jonka etäisyys P :stä on ( ) 1 17 = ( 3, ) 7, 1 on piste, joka antaa pienemmän etäisyyden. 1.4 Korkeamman kertaluvun osittaisderivaatat f x = x ( ) f x seka/ristiderivaatta. f(x, y,...) f y x = y ( ) f x Esimerkki f(x, y) = x 3 y 4 f x = x f x = 3x y 4 ( ) f = x x (3x y 4 ) = 3y 4 x x = 6xy 4 3 f x 3 =... = 6y4 7
8 4 f x 4 = 0 ja niin edelleen. f y = 4x3 y 3 f x y = x ( ) f y = x (4x3 y 3 ) = 1x y 3 Myös: y x = y ( ) f = x y (3x y 4 ) = 1x y 3 Lause Olkoon n, m 0 ja n, m N ja n + m = k. Silloin 4 f x n y m = 4 f y m x n jos nämä ja kaikki alempaa astetta olevat osittaisderivaatat ovat jatkuvia D Laplacen yhtälö v x + v y = 0 Osittaisdifferentiaaliyhtälö,. kertaluvun (. asteen). Huom! Entä 1D eli v = 0, u = u(x) x d v dx = 0 d dx ( ) dv = 0 dx 8
9 Jos w = dv dx c ja d vakioita. niin w on vakio = c dv = e u(x) = cx + d dx Esimerkki u(x, y) = e kx cos(ky) on (L):n eräs ratkaisu. v x = kekx cos(ky), v y = kekx sin(ky), v x = k e kx cos(ky) v y = k e kx cos(ky) (Toteuttaa (L):n) Harmoninen funktio on funktio, joka toteuttaa Laplacen yhtälön jossain ulottuvuudessa. Laplacen yhtälön ratkaisut ovat harmonisia funktioita. Yhtälö on 1D aaltoyhtälö. u = u(x, t), t on aika. v t = c v x Jos f ja g ovat kahdesti derivoituvia yhden muuttujan funktioita, niin silloin on aina aaltoyhtälön ratkaisu. u(x, t) = f(x ct) + g(x + ct) v t = t f(x ct) + g(x + ct) t = f (x ct) ( c) + g (x + ct) c 9
10 = cf (x ct) + cg (x + ct) v t = +c f (x ct) + c g (x + ct) v x = f(x ct) + g(x + ct) x x = f (x ct) 1 + g (x + ct) 1 = f (x ct) + g (x + ct) 1.5 Derivoinnin ketjusääntö Yhden muuttujan tapauksessa: v x = = f (x ct) + g (x + ct) y = f(x), x = g(t) y(t) = f(g(t)) Olkoon d dt y(t) = f (g(t)) g (t) z = f(x, y) ja x = x(t), y = y(t), kaikki derivoituvia dz dt = lim f (x(t + n), y(t + n) f(x(t), y(t))) n 0 h f (x(t + n), y(t + n)) f (x(t), y(t + n)) f (x(t), y(t + n)) f (x(t), y(t)) = lim + lim n 0 n n 0 n 10
11 Siis nyt ketjusääntö saa muodon = f x (x(t), y(t)) x (t) + f y (x(t), y(t)) y (t) dz dt = f x x + f y y Jos z = f(x, y) ja x = x(s, t) ja y = y(s, t) niin ketjusääntö saa muodon z s = f (x(s, t), y(s, t)) s = f x (x(s, t), y(s, t)) x s + f y (x(s, t), y(s, t)) y s = f x x s + f y y s z t = f x x t + f y y t Esimerkki Ilman lämpötila riippuu 3D-koordinaateista (x, y, z) ja ajasta t, siis T (x, y, z, t). Olkoon lämpömittari ilmapallossa, joka liikkuu rataa (t, t, t t ) = (x(t), y(t), z(t)), t [0, 1]. Laske lämpötilan muutosvauhti hetkellä t. T = T (t) kun ollaan pallon radalla. Siis muutosvauhti on On annettu dt dt = T x dx dt + T y dy dt + T z dz dt + T t T (x, y, z, t) = xy (1 + t) 1 + z dt dt = T x dx dt + T y dy dt + T dz z dt + T t = = = + = = + = = + = = y x 1+z (1 + t) z (1 + t) + xy (1+z) (1 + t) 1 t+ xy 1+z = = = + = = + = = + = =
12 Esimerkki Väite: Jos f(x, y) on harmoninen, niin silloin f(x y, xy) on harmoninen (eli toteuttaa Laplacen yhtälön). z = f(u, v) z x = f v v x + f v v x = f u x + f v y = xf u + yf v z x = x (xf v + yf u ) = f v + x f v x + y f v x Miettikää. = f u + x (f uv x + f uv y) + y (f vu x + f vu y) 1.6 Differentiaalit ja linearisointi Jos z = f(x 1,..., x n ):n ensimmäisen asteen osittaisderivaatat ovat olemassa niin määritellään sen differentiaali. dz = f x 1 dx 1 + f x dx + + f x n dx n ( dz = f ) df dx = x dx dx Yhden muuttujan muuttujan funktiolle linearisointi: f(x) f(a) + f (a)(x a) Approksimaatio pätee kun x a on pieni. f(x) = f(a) + f (a)(x a) + o(x a) jossa o(t) on termi, jolle o(t) t 0 kun t 0. Kahden muuttujan funktiolle linearisointi: f(x, n) f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) f:n tangenttitaso (a, b):ssä 1
13 Yleinen tapaus eli f(x 1,..., x n ):lle voidaan lukea differentiaalin kaavasta: dz = df = f x 1 dx 1 + f x dx + + f x n dx n df = f(x 1,..., x n ) f(x 1,..., x }{{ n) f (x } x 1,..., x n) (x 1 x 1 }{{ 1) } f Jos f : R n R m f = (t 1,..., t m ) T = t 1. t m x 1 + jotainkaavaatähänensaanutselvää i = 1,..., m on olemassa ensimmäiset osittaisderivaatat jokaisen x j jotain jotain j = 1... n suhteen. Transformaation f Jacobin matriisi lasketaan seuraavasti: f 1 x 1 Df =. f m x 1 f 1 x n. f m x n } {{ } n saraketta m riviä Edellä olevan nojalla määritellään f:n differentiaali: f (x x 1,..., x n) (x x f ) + + (x x 1, n x ja tästä edelleen linearisointi: df = Df(x 1,..., x n)dx f(x 1,..., x n n) = f(x 1,..., x n) + Df(x 1,..., x n)(x x ) Esimerkki { x = v cos θ y = v sin θ n = m = f 1 (v, θ) = v cos θ 13
14 f (v, θ) = v sin θ f = ( f1 f ) Jacobin matriisi: Df = ( f1 v f v f 1 θ f θ ) ( ) cos θ v sin θ = sin θ c cos θ Tästä determinantti on cos θ sin θ v sin θ v cos θ = v dxdy = vdxdθ 1.7 Gradientti Gradientti funktiolle f = f(x 1,..., x n ), jonka ensimmäiset osittaisderivaatat ovat olemassa, on f x 1 e 1 + f x e + + f x n e n jossa e i = (0, 0,..., 0, 1, 0,..., 0) eli i:nnes harmoninen kantavektori. Siis jos n = niin taas on ja n = 3: f x i + f y j f x i + f y j + f z k Siis i = e 1, j = e, k = e 3, kun ollaan R :ssa tai R 3 :ssa. f eli nabla f. Formaalisti: 14
15 = i x + j y + k z eli kyseessä on osittaisdifferentiaalioperaattori. f = i f x + j f y + k f z Lause Olkoon z = f(x, y), jolla olkoon ensimmäiset osittaisderivaatat. f(x, y) = c, vakio on f:n tasa-arvokäyrä. Olkoon piste (a, b) tällä käyrällä. f(a, b) on edellämainitun tasa-arvokäyrän normaalivektori (a, b):ssä. Todistus Olkoon v(t) = x(t) i + y(t) j tasa-arvokäyrän parametrisointi, jolle pätee x(0) = a, y(0) = b. Silloin kaikille riittävän pienille t:n arvoille pätee, että f(x(t), y(t)) = f(a, b) = c. Ketjusäännön avulla tästä saadaan t = 0:n arvolla tämä on f x x (t) + f y y (t) = 0 ( ) f(a, b) x (0) i + y (0) j = 0 Mutta x (0) i + y (0) j on tasa-arvokäyrän tangenttivektori (a, b):ssä, joten yo. yhtälö antaa f(a, b):n ja tangentin kohtisuoruuden nojalla tuloksen, että f(a, b) on käyrän normaali (a, b):ssä. Esimerkki f(x, y) = x + y f(x, y) = c, c > 0 on ympyrä. (c = 0 niin f = c on origo eli piste ja jos c < 0 ei tasa-arvokäyrää ei ole) f = f x i + f y j = x i + y j 15
16 ( ) = x i + y j joka on säteen suuntainen ja siten ympyrän tangenttia vastaan kohtisuorassa. Gradietti on erikoistapaus suunnatusta derivaatasta. D formulointi. Olkoon u = u i+v j yksikkövektori. f(x, y) derivaatta suuntaan u pisteessä (a, b) on D u f(a, b) = lim h 0 + f(a + hu, b + hv) f(a, b) h (4) Toisaalta ketjusäännön nojalla tälle saadaan D u f(a, b) = d dt f (x(t), y(t)) t=0 = d dt f(a + tu, b + tv) t=0 = f x (a + tu, b + tv) t=0 u + f y (a + tu, b + tv) t=0 v = f x (a, b)u + f y (a, b)v ( ) f x (a, b) i + f y (a, b) j (u i + v j) = u = f(a, b) u Huomioita edellisestä D u f(a, b) = f(a, b) u cos ( f, u) = f(a, b) cos ( f, u) 1. f(x, y) kasvaa pisteessä (a, b) nopeiten gradientin suuntaan ja kasvuvauhti on f(a, b) 16
17 . f(x, y) vähenee pisteessä (a, b) nopeiten suuntaan f(a, b) (ja vähenemisvauhti on f(a, b) ) 3. Muutosvauhti on nolla, kun u f(a, b) Kaava 4 yleistyy n:ään ulottuvuuteen aivan suoraan. Esimerkiksi 3D: u = u i + v j + w k D u f(a, b, c) = lim h 0 + f(a + hu, b + hv, c + hw) f(a, b, c) h Esimerkki Vuoren rinne ja siihen liittyvä kaava: h(x, y) = x, y kilometreinä. Ollaan pisteessä (3, ) x + y 1. Miten vesi virtaa pisteessä (3, ), suunta ja vauhti? h(x, y) = i ( x x + y ) + j ( y 0000 ( ) = (3 + x + y ) x i + 4y j h(3, ) = 0000 ( ) ( ) 6 i + 8 j 0 = 100 ( ) 3 i + 4 j x + y ) = 300 i 400 j Siis suunta on 3 i 4 j:n suunta ja vauhti h(3, ) = 500. Nämä ovat siis arvoja vaakatasossa, joka kulkee pisteen (3,, h(3, )) kautta. 17
18 . Mikä on huipulla laskevan puron, joka kulkee pisteen (3, ) kautta yhtälö (x, y)-tasossa? Olkoon d r = dx i + dy j etsityn käyrän tangentti. Sen on oltava gradientin suuntainen. Gradientti taas on edellisen kohdan nojalla vektorin (x i + y j) suuntainen. Siten on vaadittava ratkaisulle r: dx x = dy y Integroimalla kumpikin puoli saadaan dx dy x = y ln x = 1 ln y + C Tästä edelleen ottamalla eksponenttifunktio saadaan e ln x = e 1 ln y+c = e 1 ln y e C x = C y 1 = C y x = (C ) y y = 1 (C ) x = 1 (C ) 9 1 (C ) = 9 y = 9 x Pinnan z = f(x, y) voi määritellä myös funktion g(x, y, z) = f(x, y) z tasaarvopintana: g(x, y, z) = 0. g on tämän pinnan normaalivektori. Toisaalta g = g x i + g y j + g z k 18
19 = f x i + f y j k joka on pinnan normaalivektori (lauseke johdettu edellisellä viikolla). Esimerkki Etsi pintojen z = x y ja xyz + 30 = 0 leikkauskäyrän tangentti pisteessä P = ( 3,, I II 5). Etsitään ensin pintojen normaalivektorit: I: P :ssä: 6 i 4 j k = n 1. II: (x y z) = x i y j k (xyz + 30) = yz i + xz j + xy k P :ssä: 10 i 15 j 6 k = n. Tangenttivektori saadaan ristitulona n 1 n : i j k n 1 n = = 9 i 46 j k 1.8 Implisiittiset funktiot ja niiden derivointi e f(x) = x, x R y 5 + axy 4 + by 3 + cy + dy + e = 0 y = y(x) Perustilanne F (x, y) = 0, niin milloin ja miten tästä ratkaistaan y = y(x) siten, että F (x, y(x)) = 0 jollekin x I R. Derivoimalla F (x, y(x)) implisiittisesti saadaan 19
20 F x (x, y(x)) + F y (x, y(x))y (x) = 0 joten joka on olemassa jos F y (x, y(x)) 0. y (x) = F x(x, y(x)) F y (x, y(x)) F y (x, y(x)) = 0 on ehto sille, että F (x, y(x)) = 0:lla on pystysuora tangentti. Esimerkki F (x, y, z) = x + y + z 1 Tasa-arvopinta F (x, y, z) = 0 on yksikköpallon pinta. Olkoon z = z(x, y). Silloin derivoimalla F (x, y, z(x, y)) = 0 saadaan x:n suhteen: y:n suhteen: F x (x, y, z(x, y)) + F z (x, y, z(x, y))z x = 0 F y (x, y, z(x, y)) + F z (x, y, z(x, y))z y = 0 z x = F x(x, y, z(x, y)) F z (x, y, z(x, y)), z y = F y(x, y, z(x, y)) F z (x, y, z(x, y)) Näiden olemassaoloehto on siis F z (x, y, z(x, y)) 0 F z on tasa-arvopinnan gradientin k-komponentti. Jos se häviää, on pinnalla pystysuora tangenttitaso, siis tämä ei ehdon mukaan käy. z = ± 1 x y f : R n R n g : R n R n 0
21 ( ) z(x) = g f(x), x R n y = f ( x) z = g ( y) z 1 = z 1 y 1 + z 1 y + + z 1 y ( n z1 =, z 1,..., z ) ( 1 y1, y,..., y ) n x 1 y 1 x 1 y x 1 y n x 1 y 1 y y n x 1 x 1 x 1 z 1 x 1. z n x 1 z 1 x n. z n x n = z 1 y 1. z n y 1 z 1 y n. z n y n y 1 x 1. y n x 1 y 1 x n. y n x n Jos f on 1 1 (injektio eli jos x 1 x niin f( x 1 ) f( x )) ja g on sen käänteisfunktio jolloin g( f( x)) = x niin äskeinen yksinkertaistuu muotoon eli g:n ja f:n Jacobin matriisit. I = D g ( y) D f ( x) Jos A ja B ovat neliömatriiseja niin det(ab) = det(a) det(b). 1 = Adamsin merkintä: det (D g ( x)) det(d f( x)) Jacobin determinantti g:lle Jacobin determinantti f:lle (g 1,..., g n ) (y 1,..., y n ) (f 1,..., f n ) (x 1,..., x n ) Implisiittifunktiolause Olkoon P 0 = (a 1,..., a m, b 1,..., b n ) ratkaisu yhtälösysteemille F (1) (x 1... x m, y 1... y n ) = 0. F (n) (x 1... x m, y 1... y n ) = 0 1
22 Eli n yhtälöä, n + m yhteistä muuttujaa, x 1... x m vapaita muuttujia. Jos jokaisella F (i) :llä on jatkuvat ensimmäiset osittaisderivaatat jokaisen x j ja x k suhteen P 0 :n ympäristössä ja lisäksi (F (1)... F (n) ) (y 1... y n ) = P0 F (1) y 1. F (n) y 1 F (1) y n. F (n) y n P 0 0 niin on olemassa b i (x 1... x m )i = 1... n siten, että (x 1... x m, b i (x 1... x m )... b n (x 1... x m )) on ratkaisu P 0 :n ympäristössä. Esimerkki Ratkaistaan (xy) T : { F (x, y, s, t) = a1 x + b 1 y + c 1 s + d 1 t + e 1 = 0 G(x, y, s, t) = a x + b y + c s + d t + e = 0 ( ) a1 b 1 b =A jos A 1 on olemassa! ( ) x y ( ) c1 d + 1 c d =C Jacobin determinantti tälle systeemille: ( ) ( ) s e1 + = t e ( ( ( ( )) x = A y) 1 s e1 c t) e ( ) 0 0 (F, G) (x, y) = F x G x F y G y = a 1 b 1 a b = det(a) 0 Esimerkki Osoita, että systeemi { xy + xzu + yv = 3 x 3 yz + xv u v = ratkeaa pisteen P = (1, 1, 1, 1, 1) ympäristössä eli on olemassa u(x, y, z) ja v(x, y, z) tässä ympäristössä. Implisiittifunktiolauseen ehto on nyt
23 (F, G) (u, v) = F u G u F v G v xz yv uv x u v = x z xzu v + 4yuv 3 joka saa P 0 :ssa arvon + 4 = 4 0 eli lause on voimassa. Useamman muuttujan funktioiden ääriarvot, optimointi 1D y = f(x) lokaalit ääriarvot äärellisellä välillä I R ovat pisteissä 1. joissa f (x) = 0. f:n erikoispisteissä eli kun f (x) ei ole olemassa 3. I:n päätepisteissä Yleistys D-tapaukseen eli kun z = f(x, y): Lause.0.1 Funktion f(x, y) ääriarvot ovat pisteissä (a, b), joissa pätee: 1. (a, b) on kriittinen piste f(a, b) = 0. f(a, b) ei ole olemassa eli f:llä on erikoispiste (a, b):ssä 3. (a, b) on f:n määrittelyalueen reunalla Todistus Jos (a, b) on määrittelualueen sisäpiste, eikä erikoispiste, niin f(a, b) on olemassa. Jos (a, b) ei ole kriittinen piste, niin f(a, b) 0. Mutta silloin f:llä on nollavektorista eroava suunnattu derivaatta suuntaan ± f(a, b) eikä f:llä siten voi olla ääriarvoa. Todistus yleistyy f(x 1... x n ):lle! Lause.0. Jos f on jatkuva funktio suljetussa ja rajoitetussa R n :n alueessa, niin sille on globaali maksimi ja minimi. Esimerkki Olkoon z = x + y alueessa x + y 1. Lauseen.0. suljettu ja rajoitettu mukaan sillä on olemassa maksimi ja minimi. Maksimi = 1, reunalla. Minimi = 0, origossa erikoispiste. 3
24 Jos otetaankin minimoitavaksi/maksimoitavaksi z = f(x, y) = x + y samassa alueessa x + y 1, on maksimi = 1, reunalla ja minimi = 0, origossa, joka ei ole f:lle erikoispiste. f = x i + y j Siis origo on nyt kriittinen piste. f(0, 0) = 0 i + 0 j = 0 Uusi variaatio: z = g(x, y) = x y, x + y 1 g = x i y j, g(0, 0) = 0 Origo on kriittinen piste. Ei ole maksimi eikä minimi! y = x 3 Pisteessä x = 0 on f (x) = 0 mutta piste ei ole minimi eikä maksimi vaan tangentti lävistää käyrän. Kyseessä on käyrän käännepiste (inflexion point). Jos f (x) = 0 ja f (x) > 0 on piste lokaali minimi. Jos taas f (x) < 0 niin piste on lokaali maksimi. Useamman muuttujan funktioille toisen derivaatan korvaa Hessin matriisi f(x, y):lle: H(x, y) = ( fxx (x, y) ) f xy (x, y) f yx (x, y) f yy (x, y) 1. Jos H(x, y) on positiividefiniitti, niin (x, y) siten, että f(x, y) = 0 on lokaali minimi.. Jos H(x, y) on negatiividefiniitti, niin (x, y) siten, että f(x, y) = 0 on lokaali maksimi. 3. Jos H(x, y) on ei-definiitti, niin (x, y) siten, että f(x, y) = 0 on satulapiste. 4. Jos H(x, y) on jotain muuta, pisteelle (x, y) ei ole luokittelua. Matriisi A n n on positiividefiniitti jos x T 1 n A n n x n 1 > 0 x 0 4
25 Jos on A = ( ) a11 a 1 a 1 a x = ( x 1 x ) T Nyt siis n =. x T Ax = ( ) ( ) ( ) a x 1 x 11 a 1 x1 = ( ) ( ) a x a 1 a x 1 x 11 x 1 a 1 x = a a 1 x 1 a x 11 x 1+a 1 x 1 x +a 1 x 1 x +a x A on negatiividefiniitti jos x T Ax < 0 x 0 Adams 10.6 Lause 8 (s. 579) on toinen karakterisointi positiividefiniitille: Määritelmä.0.1 a 11 a ii D i =.. a i1 a ii Jos D i > 0 i = 1,..., n niin silloin A on positiividefiniitti. Jos D i > 0 parillisille i ja D i < 0 parittomille i, niin A on negatiividefiniitti. Jos det(a) = D n 0, mutta edellä oleva (?) ei piste, niin A on ei-definiitti. Esimerkki z = x + y = f(x, y) f x = x f y = y H(x, y) = ( ) fxx f xy = f yx f yy ( ) 0 0 D 1 = > 0, D = 0 0 = = 4 > 0 5
26 H on positiividefiniitti Koska f(0, 0) = x i + y j = 0 (x,y)=(0,0) eli (0, 0) on kriittinen piste, niin se on minimi. g x = x Nyt H(x, y) = g y = y ( ) ( ) gxx g xy 0 = g yx g yy 0 D 1 = > 0, D = 0 0 = ( ) = 4 < 0 ei-definiitti origo on satulapiste. A n n on definiitti jos x T Ax, x 0 on yhdenmerkkinen, eli saa vain + tai vain merkikseen. A on semidefiniitti, jos x T Ax, x 0 on nolla tai yhdenmerkkinen. (Siis tai x T Ax 0 x ) negatiivisemidefiniitti Esimerkiksi positiividefiniitti on aina positiivisemidefiniitti. A on ei-definiitti, jos x T Ax saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. x T Ax 0 x positiivisemidefiniitti Sormiharjoitus x T B x = x T n n 1 ( B + B T ) } {{} Symmetrinen matriisi! x 6
27 Siis neliömuodossa ( x T Ax A voidaan aina valita symmetriseksi matriisiksi korvaamalla se ) 1 A + A T. Lause.0.3 Jos A on symmetrinen matriisi, silloin se on positiividefiniitti jos ja vain jos kaikki sen ominaisarvot ovat positiivisia. Lause.0.4 Symmetrisen matriisin ominaisarvot ovat reaaliset ja ominaisvektorit ortogonaaliset. Jos A on symmetrinen, niin pätee diagonalisointi: jossa U 1 AU = U T AU = Λ λ 1 0 =... 0 λ n.. U = y 1. y..... y n. on ortogonaalinen matriisi, jolloin U 1 = U T. Siten x T Ax = x T U ΛU T x = w T Λ w = λ 1 w1 + λ w + + λ n wn =w T diagonaali! U T AU = Λ A = ( U T ) 1 ΛU 1 = ( U 1) 1 ΛU 1 = UΛU T Jos 7
28 x = (x 1,..., x i =x i, 0,..., 0), x R n niin silloin x T i A i x i = x T Ax Siis jos A on positiividefiniitti, niin A i on myös i = 1,..., n. Sama pätee negatiividefiniittiyteen. Esimerkki Minkä muotoinen suorakulmainen laatikko minimoi seinäpintaalan annetulle tilavuudelle? (Kanneton laatikko) Tilavuus: Seinä- ja pohjapinta-ala V = xyz A = xy + xz + yz z = V xy Sijoitetaan pinta-alaan: A(x, y) = xy + V x + V y Kriittiset pisteet: A = ( y V ) ( i x + x V ) j y = 0 eli vaaditaan: yx = V xy = V yx = xy yx(x y) = 0 Siis joko 8
29 yx = 0 tai x = y Ensimmäisestä saadaan x = 0 y = 0 Ei mahdollisia ratkaisuja! Sijoitetaan toinen tapaus aiempaan: x 3 = V x = 3 V y = 3 V = 1 3 V 1 3 ja z = V xy = V (V ) 3 = V = 1 3 V 1 3 = x Jos V = 1 niin silloin x = y = 3 (> 1) z = 3 Lasketaan Hessin matriisi ja sen definiittisyys. Siis ( ) ( Axx A 4V ) H(x, y) = xy = x 1 3 4V A yx A yy 1 y 3 D 1 = 4V x 3 > 0 D = det (H(x, y)) = 4V x 3 4V y 3 1 = 16V x 3 y 3 1 9
30 ( ja edelleen kriittisessä pisteessä 3 V, 3 V, 3 ) V D 1 > 0 ja D = 16V V V 1 = 4 1 = 3 > 0 Hessin matriisi kriittisessä pisteessä on positiividefiniitti kriittinen piste on minimi. A = 3 3 4, 76 Uudelleen aiempi esimerkki, otetaan ehto x 1. Edelleen minimoidaan A(x, y), valitaan V = 1. ( Nyt kriittinen piste 3, 3, 3 ) ei ole ehdon sallimassa alueessa, joten se ei anna ratkaisua tälle variaatiolle. A ei ole olemassa eli ollaan erikoispisteessä jos x = 0 tai y = 0. Näissä tilavuus on 0. Siis ratkaisun on oltava alueen x 1 reunalla eli kun x = 1. Tällöin A = A(1, y) = y + + y da dy = 1 y = 0 y = ± Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa, joten ratkaisuksi jää y =. d A dy = 4y 3 > 0 minimi A = + 4, 88 3 Jotain x = r cos θ = ρ sin φ cos θ y = r sin θ = ρ sin φ sin θ z = ρ cos φ φ [0, π] θ [0, π) ρ 0 30
31 da = rdrdθ dv = rdrdθdz dv = ρ sin φdφdθdρ Johdettuna Jacobin determinanttina näistä viimeisin: (x, y, z) (ρ, φ, θ) = x ρ y ρ z ρ x φ y φ z φ x θ y θ z θ sin φ cos θ ρ cos φ cos θ ρ sin φ sin θ = sin φ sin θ ρ cos φ sin θ ρ sin φ cos θ cos φ ρ sin φ 0 = cos φ ρ cos φ cos θ ρ cos φ sin θ ρ sin φ sin θ ρ sin φ cos θ + ρ sin φ sin φ cos θ sin φ sin θ ρ sin φ sin θ ρ sin φ cos θ = cos φ ( ρ sin φ cos φ cos θ + ρ sin φ cos φ sin θ ) +ρ sin θ ( ρ sin φ cos θ + ρ sin φ sin θ ) = cos θρ sin φ cos φ + ρ sin φ sin φ = ρ sin φ Esimerkki Olkoon H a-säteinen umpipuolipallo, jonka tiheys on k(a ρ) jossa ρ on etäisyys keskipisteestä. Laske kappaleen massa ja painopisteen paikka. tiheys = k(a ρ) k > 0 massa = tiheys tilavuus dm = t(ρ)dv Siirrytään pallokoordinaatteihin: M = dm = k(a ρ)dv H H 31
32 = π 0 = k(a ρ)ρ sin φdφdθdρ H { π π = πk sin φdφ 0 } {{ } =1 0 [ a ] } sin φ k(a ρ)ρ dρ dφ dθ 0 a (a ρ)ρ dρ = = 5 6 πka4 0 / a 0 aρ 5 3 ρ4 4 Painopiste on symmetrian nojalla z-akselilla, pisteessä (0, 0, z 0 ). = k π 0 z 0 = 1 m H { π 0 H zk(a ρ)dv ρ cos φk(a ρ)ρ sin φdρdφdθ [ a ] } sin φ cos φ ρ 3 (a ρ)dρ dφ dθ 0 π 0 sin φ cos φdφ = 1 π 0 sin φdφ ( sin φ = sin φ cos φ ) eli 1 sin φ = sin φ cos φ π / = cos φ = 1 4 ( ( 1) + 1) = 1 a = πk 1 ρ 3 (a ρ)dρ 0 = 3a5 10 = 3πk 10 a5 joten z 0 = 1 m 3πk 10 a5 = 3πka πka 4 = 9 5 a 3
33 Esimerkki I = (x + y )dv R Pallokoordinaateissa Onnistuuko? π 0 { π [ a sin φ π 6 ρ sin φρ dρ a sin φ [ π ] a = 4π sin 3 φ ρ 4 dρ dφ a π sin φ = 4πa5 5 π π 6 ] dφ ( 3 sin 3 φ 1 ) sin 3 dφ φ } dθ 4 Sarjat ja potenssisarjat 5 Differentiaaliyhtälöt 6 Algebraa 33
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotBM20A0300, Matematiikka KoTiB1
BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMatematiikka B1 - avoin yliopisto
28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMatematiikka B1 - TUDI
Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin
Lisätiedot1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat
1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II
MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 +
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotVektorilaskenta, tentti
Vektorilaskenta, tentti 27102017 Tentin kesto n 3 tuntia Vastaa NELJÄÄN tehtävään Jos vastaat kaikkiin, niin neljä PARASTA otetaan huomioon Kuvat vievät tilaa, joten muista kurkistaa paperin toiselle puolelle
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
Lisätiedot3. Useamman muuttujan funktioiden differentiaalilaskentaa Olkoon A R n. Kuvaus f : A R on n:n muuttujan reaalifunktio. Se kuvaa
3 Useamman muuttujan funktioiden differentiaalilaskentaa Olkoon A R n Kuvaus f : A R on n:n muuttujan reaalifunktio Se kuvaa A:n pisteet x = (x,, x n ) A (x,, x n R) reaaliluvuiksi f(x) ja koko A:n R:n
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotVektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018
Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Ylimääräisiä harjoitustehtäviä 1. Osoita, että normin neliö f : R n R, f(x) = x 2 on differentioituva pisteessä a R n ja, että sen derivaatalle on voimassa 2.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Lisätiedotf(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu:
LisätiedotVektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus
8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilij oille I
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30
DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotTutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3
2. Reaaliarvoiset funktiot 2.1. Jatkuvuus 23. Tutki funktion f (x,y) = xy x 2 + y 2 raja-arvoa, kun piste (x,y) lähestyy origoa pitkin seuraavia xy-tason käyriä: a) y = ax, b) y = ax 2, c) y 2 = ax. Onko
LisätiedotTehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa määritelty kuvaus B(0, 1) := x R 2 : x
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotPisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta
Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Toinen välikoe
Matematiikan tukikurssi Toinen välikoe 1 Sisältö 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo 1 2 Useamman muuttujan funktion jatkuvuus 7 3 Osittaisderivaatat ja gradientti 8 4 Vektoriarvoiset funktiot 9 5
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 3 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to
Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Lisätiedot3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause
3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti.
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotDemonstraatioharjoitus 1, pe 17.1
Mat-.4 Matematiikan peruskurssi S, kevät 00 Demonstraatioharjoitukset, erä Högnäs Tässä ensimmäinen erä ratkaisuja demonstraatiotehtäviin. (Kuvat ovat melko heikkolaatuisia ja ainoastaan "kvalitatiivisia".)
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II
MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 17 1. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( k ) + 5 k, b) k 1 x 5 dx, e) ( ln(k + 1) k ), c) k 1 cos(πx) dx, f) k e x dx, 1 k e k k kx dx.. Olkoon
LisätiedotVEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 5A Vastaukset alkuviikolla
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla
LisätiedotVastaa kaikkiin kysymyksiin (kokeessa ei saa käyttää laskinta)
Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen osasto Vektorianalyysi II (MAT22, syksy 28 Kurssitentti, Ma 7228 (RATKAISUEHDOTUKSET Tentaattori: Ville Tengvall (villetengvall@helsinkifi Vastaa kaikkiin
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto 1. tammikuuta 016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 2012
763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 01 1 Sisältö: 1 Differentiaalilaskentaa Integraalilaskentaa 3 Vektorit 4 Potenssisarjoja 5 Kompleksiluvut 6 Differentiaaliyhtälöistä
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
Usean muuttujan funktiot MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
Lisätiedotf(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotTampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö
Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö Kevät 017 Luennot: Kerkko Luosto Muistiinpanot: Jesse Railo (013) ja Jussi Klemetti (017) 6 Kartioleikkaukset Vanhan ajan geometrian merkittävimpiä tuloksia
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedotx = (1 t)x 1 + tx 2 x 1 x 2
4 Konveksisuus ja ääriarvot Palautan mieliin, että R:n välillä I derivoituvaa funktiota sanottiin konveksiksi (alaspäin kuperaksi), jos käyrä y = f(x) on välillä I jokaisen tangenttisuoransa yläpuolella
Lisätiedot4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa
6 VEKTORIANALYYSI Lento 3 4. Derivointi seammassa lottvdessa Osittaisderivaatta. Kerrataan alksi osittaisderivaatan käsite. Fnktio f f ( r) f ( x, y, z) on kolmen mttjan fnktio, jonka arvo yleensä mtt,
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 4
Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,
Lisätiedot