Seuraava jonon jäsen on saatu edellisestä lisäämällä siihen luku 70 tai kyseessä on luvun 70 kertotaulu.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Seuraava jonon jäsen on saatu edellisestä lisäämällä siihen luku 70 tai kyseessä on luvun 70 kertotaulu."

Transkriptio

1 0 Joot j summt Lukujoo 4. ) 40, 440, 40, 460. Seurv joo jäse o 0 suurempi. b) 6,, 64, 8. Seurv joo jäse o kksikertie edellisee verrttu. 4. ), 4,, Seurv joo jäse o stu edellisestä lisäämällä siihe luku 0. b) 80, 0, 40, Seurv joo jäse o stu edellisestä lisäämällä siihe luku 70 ti kyseessä o luvu 70 kertotulu. 44. ) 6,, 64, 8, Joo jäseet sd edellisestä kertomll luvull. b) 990, 98, 979, 97, Joo muodostuu ii, että edellisestä joo jäseestä väheetää esi, sitte,, 4, je. 4. ) + b) + 0 c) Vstus: ), b) 0, c)

2 4, ,7 + 8 Vstus: 6, 4,, 4,4,, , Vstus:,6, 6, 6 4, , , ) 4 b) c) 49. ) b) b : 0 Vstus: ). jäse, b) 0. jäse. 0. ) 0 : 7

3 Kosk vstus o positiivie kokoisluku, luku 0 o joo jäse. + b) : ( 9) 9 9 Kosk vstus ei ole positiivie kokoisluku, luku 0 ei ole joo jäse. Vstus: ) kyllä, b) ei.. ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) 4 Lukujoo jäseet ovt kokoislukuj, joist prittomt ovt egtiivisi j prilliset ovt positiivisi. Luku 700 o prillie positiivie kokoisluku. Se kuuluu lukujooo, jok o määritelty sääöllä ( ). Vstus:,,, 4 j. Luku 700 kuuluu jooo.. ) 0 b) 0 0. ) ( ) + b) + ( ) + 4. ) 4, 44, 4, Joo lk luvust 4 j seurv jäse o i kymmetä pieempi kui edellie. b), 6, 49, 64, Joo koostuu positiiviste kokoislukuje eliöistä. Ti joo lk luvust yksi j seurv jäse sd lisäämällä suureevi prittomi lukuj lke luvust.

4 , + 4, 4 + 9, , 6 + 9, + 9 6, ,. ) 0, 0, 80, Joo o muodostuut ii, että siiä vihtelee luvu 0 kertotulu luvut egtiivise j positiivise. b),, 4, 6, Joo lk luvust 6 j seurv jäse sd i jkmll edellie khdell. 6. 0, , , , Vstus: 0,,,,, 4,, 4, 4, b ( ) b b ( ) 4 b ( ) 4 0 ( ) b ( ) b ( ) Vstus: b, b 4, b, b 6, b, b ) : 7

5 4 b) , b j c 0 ( ) ± ± ( ) ± 6 ti. 4 ( 0) Vi positiivie rvo kelp, kosk o järjestysluku. Vstus: Luku 8 o joo )., b) 6. jäse. 9. ) : 0, Luku 0 ei kuulu jooo, kosk, ei ole positiivie kokoisluku. 00 b) ( + ) ( + ) : Luku 0 kuuluu jooo. Vstus: ) ei, b) kyllä 60. ) 7 b) 4 c) ( ) 6. ) 0 b) + 0 9

6 + ( ) 6. + ( ) ( ) + ( ) 4 4+ ( ) ( ) Luku 4 ei kuulu jooo, kosk sääö muk muodostetuss jooss joo jäseet pieeevät koko j. Suuri joo jäseistä o. Vstus:, 6, 4, 4. Luku 4 ei ole joo jäse. 6. ) ( ) b) 0 ( ) 0 Aritmeettie lukujoo 64. ) b) b b + ( ) ( 9) 9 6. ) d 7 4 ti d 4 b) 0, j 6 Vstus: ), b) 0, j 6.

7 6 66. Seurv lukujoo jäse sd lisäämällä edellisee kuusi. Kymmee esimmäistä jäsetä ovt, 9,,, 7,, 9, 4, j 7. Vstus:, 9,,, 7,, 9, 4, j ) 90, d b) 90 + ( ) ( 6) c) (6 ) ( 6) 90 + ( 6) 0 Vstus: ) 90 j d 6, b) 90 + ( ) ( 6), c) 0 68.,, d,,, 0, + 9,,9 4, + 44,,9 Vstus: ),9, b),9 69. ) Luettelemll:,,, 4, 7, 0, 6 Lskemll: d 7 + (7 ) ( ) 6 b) 0 + (0 ) ( ) 6 c), d + ( ) ( ) + 8 Vstus: ) 6, b) 6, c) Lääkäri määräsi leikkuksest toipuvlle potillle kutoutukseksi suvkävelylekkejä. Esimmäiseä päivää potils käveli 0 m. Tämä jälkee hä käveli jok päivä 0 m eemmä kui edelliseä päivää. ) Viiko kuluttu eli 8. päivää potils käveli (8 ) 0 00 (m) b) Kuukude kuluttu eli. päivää potils käveli 0 + ( ) 0 60 (m)

8 7 c) Kävelyleki pituus :teä kutoutuspäivää o 0 + ( ) Vstus: ) 00 m, b) 60 m, c) Aritmeettise lukujoo esimmäie jäse o 8 j kolms jäse 4. Joo peräkkäiste jäsete erotus o 8 + ( ) d d 4 d 7 : d 8, Vstus: d 8, 7. Aritmeettise lukujoo esimmäie jäse o 6 j kymmees 97. ) 6 + (0 ) d d 97 9d 8 : 9 d 9 b) 6 + ( ) c) Vstus: ) 9, b) 9 + 7, c) Ploku pitkissä tikkiss esimmäie skelm o cm: korkeudell mpist. Khdestoist skelm o 6 cm: korkeudell. Tikkide skelmt muodostvt ritmeettise srj, jok esimmäie jäse o j khdestoist jäse 6. Askelmie korkeusero vst khde peräkkäise jäsee välistä erotust, jok void lske yleise jäsee kv vull. + ( ) d 6 + d 6 d 0 : d 0 0. skelm o korkeudell 0 + (0 ) 0 0 (cm) 0 cm,0 m. Vstus: Askelmie korkeusero o 0 cm j 0. skelm o,0 m korkeudell.

9 8 74. Kuppis rket äyteikku somisteeksi kolmiot persikkpurkeist. Purkkikerroste jtell muodostv ritmeettise srj. Kolmiot rkeet ii, että ylemmässä kerroksess o i kksi purkki vähemmä kui lemmss, toisi soe peräkkäiste jäsete erotus o d. Ylimmässä kerroksess o yksi purkki. ) Alimmss kerroksess o purkki eli. Lsket kerroste määrä yleise jäsee kv vull: + ( ) ( ) + 6 : ( ) 8 b) Alimmss kerroksess o purkki eli. Lsket kerroste määrä yleise jäsee kv vull: 6 + ( ) ( ) : ( ) Vstus: ) 8, b) kerrost 7. Aritmeettie lukujoo lk 9, 6, 6, 9, d Joo yleie jäse o 9 + ( ) ) : 7 6 Kosk o positiivie kokoisluku, luku 44 kuuluu jooo. b) : 7 0,8 Kosk ei ole positiivie kokoisluku, luku 4 ei kuulu jooo. Vstus: ) Kuuluu, b) ei kuulu. 76. Aritmeettise joo lku o, 4, 7,..., d 4

10 9 Joo yleie jäse o + ( ) :, Joo jäseistä o pieempiä kui Vstus: 77. Aritmeettisess lukujooss 40 j Kirjoitet joo kolms j seitsemäs jäse yleise jäsee kv vull. : + d 40 7 : + 6d 90 Muodostet yhtälöpri j rtkist siitä j d. + d 40 ( ) + 6d 90 d d 90 4d 60 d + ( ) : ( ) 00 Vstus: Yhdeksällä jolliset luvut muodostvt ritmeettise lukujoo, jok yleie jäse o 9. Tutkit kuik moes joo jäse o luku 000 j luku : 9, Esimmäie luku 000 suurempi 9:llä jollie luku o joo. jäse : 9, Viimeie luku 000 pieempi 9:llä jollie luku o joo. jäse. Lukuje 000 j 000 välissä o luvull 9 jollist luku.

11 0 Vstus: 79. Aritmeettisess lukujooss x, x + j x. ) Aritmeettisess lukujooss khde peräkkäise joo jäsee erotus o sm. x x x (x + ) x + (x ) x x + x + x 0, b, c ( ) ± x ( ) 4 ( ) ± 6 ± x ti x b) x + (x ) x + x + c) Joo yleise jäsee lusekkeelle o kksi vihtoehto riippue x: rvost. x x ( ) + ( ) ( ) + + Vstus: ) x ti x, b) d, c) + ti Aritmeettise lukujoo, 0, 8, khdeks esimäistä termiä ovt, 0, 8, 6, 4,, 0,,

12 8. Aritmeettise joo lku o, 4, 7, Kymmees jäse void etsiä luettelemll:, 4, 7, 0,, 6, 9,,, 8, 40. jäse o d 4 ( ) 40 + (40 ) ( ) 8 Vstus: ) 8, b) 8 8. Aritmeettie lukujoo lk luvuill 0, 7, 4, ) (4 ) 7 97 b) 0 + ( ) Vstus: ) 4 97, b) ) Lukujoo lku o 6, 9,, Lsket khde peräkkäise jäsee erotuksi Kosk erotukset ovt smt, joo voi oll ritmeettie. b) Lukujoo lku o 0, 86, 4,. Lsket khde peräkkäise jäsee erotuksi. 86 ( 0) 66 4 ( 86) 68 Kosk erotukset eivät ole smt, joo ei voi oll ritmeettie. Vstus: ) voi oll, b) ei voi oll. 84. Auditorio esimmäisellä pekkirivillä o istuit. Kymmeeellä rivillä o 79 istuit. Pekkirivit muodostvt ritmeettise srj, jok esimmäie jäse o j 0. jäse o Istuite määrä ksvmie riveittäi sd lskettu yleise jäsee kv vull: + (0 )d d 79 9d 4 : 9 d 6 Viideellä pekkirivillä o istuimi. + ( ) 6 49

13 Vstus: 6. istuimell, 49 istuit 8. Aritmeettise joo lku o 0, 79, 8, ) 0 d ( ) ( 4) b) : ( 4) Luku o joo jäse. Vstus: ) 6 4, b) O 86. Sisu setä rket it tsisesti viettävää riteesee. Aid yläreu o vksuor. Se pituus o 00 m j tolppi o viide metri välei. ) Tolp välejä o Tolppi trvit yksi eemmä eli 4. b) Esimmäie tolpp o, m j viides,4 m. Kosk rie viettää tsisesti, tolppie pituudet muodostvt ritmeettise joo.,,4, + ( ) d,4, + 4d,4 4d 0, : 4 d 0,0 Toie tolpp o 0,0 m cm pitempi kui esimmäie. c) 4, + (4 ) 0,0, (m) Vstus: ) 4, b) cm, c), m 87. Aritmeettise lukujoo lku o 00, 6,, d

14 00 + ( ) : 6 7, Viimeie luku 000 pieempi joo jäse o joo 7. jäse. Vstus: Aritmeettise lukujoo esimmäie termi o 4 j kuudes (6 ) d 4 d 484 : d 96,8 4 + ( ) 96, ,8 96,8 8,8 + 96,8 ) 8,8 + 96, ,8 064,8 : 96,8 Luku 76 kuuluu jooo. b) 8,8 + 96, ,8 9,8 : 96,8 9,997 Luku 97 ei kuulu jooo. Vstus: ) Kyllä, b) ei. 89. Aritmeettisess lukujooss 78 j d d 78 9d 4 : 9 d 78 + ( ) 78 + d 7 + d 7 + d 000 d 67 : d,4

15 4 Joo jäseistä o lle 000. Vstus: 90. Aritmeettise lukujoo toie termi o 0 j viides,4. + d + 4d + d 0 + 4d,4 ( ) d 0 + 4d,4 d 6,6 d, : 0 (,),, + 4 (,),4 Vstus:,4 9. Seitsemällä jolliset positiiviset luvut muodostvt ritmeettise joo 7. Piei eliumeroie luku o : 7 4,8 Piei jooo kuuluv eliumeroie luku o joo 4. jäse. Suuri eliumeroie luku o : 7 48,4 Suuri seitsemällä jollie eliumeroie luku o joo 48. jäse. Neliumeroisi seitsemällä jollisi lukuj o Vstus: Aritmeettise lukujoo lku o x, x +, x + x,

16 Aritmeettisess lukujooss khde peräkkäise jäsee erotus o vkio. x + x ( x + ) x + x x + x x x + x x, b, c 6 ( ) ± x ( ) 0 x ( 6) ± 49 ± x ti x, 4 4 Joo voi muodostu khdell tvll: x d x + x d ti x, d x + x d, + (,) 0,7 (,),, + ( 0,7),, + ( 0,7) 0,7 4 0,7 + ( 0,7) ( 0,7) 0,7 Vstus: 4,, 6, 4 7, 8 ti,,,, 0,7, 4 0, 0,7

17 6 Aritmeettie summ ) S b) S Vstus: ) 66, b) Aritmeettise joo lku o 0, 00, 0, ) 0, d b) (7 ) c) S Vstus: ) 0, 0, b) 00, c) Aritmeettise joo lku o 7,,, 7, d (40 ) 8 9 S Vstus: Aritmeettise joo lku o,;,;,9;...,, d, (,) 7,6 0, + (0 ) 7,6 8, S, + 8, 0 0 Vstus: 7 7

18 7 97. ) S b) b 4, 8, 6. b 4, 8,6 4, b 00 4, 00 8,6 44,4 S 4, + 44, Vstus: ) 8 700, b) Pii j Pyry trvitsevt kolme vuode kuluttu tphtuv lommtk vrte 00. He suuittelevt säästäväsä jok kuukusi eemmä kui edelliseä kuukute. Esimmäise kuukude tlletus o 0. Kuvt säästämistä ritmeettisell srjll, joss 0 j d. Srj yleie jäse o 0 + ( ) Säästöik o kolme vuott eli Kolme vuode kuluttu säästössä o 0 + S Suuitelm muk kolmess vuodess säästetää Vstus: O 99. Sisu setä remotoi ullkolle lisää til. Uude huoee päätyseiä o tskylkise kolmio muotoie. Päätyseiä leveys o 6 m j korkeus hrj kohdlt,8 m. Päätyseiä peloid 0 cm leveillä ludoill. 6,8

19 8 Lutkerrokset muodostvt ritmeettise srj. Jet päätyseiä hrj kohdlt khdeksi yhteeväksi kolmioksi. Lutoj puole seiä peloimisee trvit 0 kpplett. 0, Viimeise lud pituus o,8 m. Khde vierekkäise lud pituude ero o,8 0,09... (m). 0 Pyöristetää tulos ylöspäi millimetri trkkuutee 0,09 m 9, mm 94 mm. Esimmäise lud pituus o 94 mm 0,094 m. 0,094 +,8 Lut trvit yhteesä 0 86,8 87 (m). Vstus: 87 m ) (6i ) i (6 ) + (6 ) + (6 ) + (6 4 ) + (6 ) + (6 6 ) + (6 7 ) + (6 8 ) Yhteelskettvt muodostvt ritmeettise joo. Esimmäie yhteelskettv o j viimeie 4. Yhteelskettvi o yhteesä khdeks b) (i + ) i Yhteelskettvt muodostvt ritmeettise joo. Esimmäie yhteelskettv o + j viimeie 0 +. Yhteelskettvi o yhteesä Vstus: ) 76, b) ( ) ± 69 7 ti 7

20 9 Negtiivie rvo ei kelp, kosk o järjestysluku. Vstus: 7 0. Leikkiketällä lpset rketvt ämpäreistä torej ii, että seurvss kerroksess o i yksi ämpäri vähemmä kui lpuolell. Ylimmässä kerroksess o yksi ämpäri. Ämpäreide lukumäärä kerroksitti muodost ritmeettise lukujoo,,,,, j. ) + ( + ) , b, c 0 ± 4 ( 0) ± ,8... ti 7,8... Negtiivie rtkisu ei käy. Ämpäreitä riittää kuutee kerroksee. Kuudess kerroksess o ämpäreitä yhteesä Yli jää 4 ämpäriä. b) + 60 ( + ) , b, c 0 ± 4 ( 0) ± ,46... ti,46... Negtiivie rtkisu ei käy. Ämpäreitä riittää 0 kerroksee.

21 40 Kymmeessä kerroksess o ämpäreitä yhteesä Yli jää 60 ämpäriä. Vstus: ) 6 kerrost, 4 jää yli, b) 0 kerrost, jää yli (4 + 4) , b 4, c ± ( 0 000) 4 4 ± ,... ti 7,... Negtiivie vstus ei käy esimmäise joo jäsee summ ei vielä ylitä luku 0 000, Vstus: Aritmeettise lukujoo kuudeskymmees jäse o 489 j kuudekymmee esimmäise jäsee summ ( + 489) : 0 Vstus: :ll jolliset positiiviset kokoisluvut ovt muoto 8. Kokeilemll void etsiä suuri j piei kolmeumeroie 8:ll jollie luku.

22 4 Piei iistä o Suuri iistä o Yhteelskettvie lukumäärä o S 6 76 Vstus: ) (0 yhteelskettv) + 9 S 0 00 b) (00 yhteelskettv) S Vstus: ) 00, b) ) S b) b,, 60 b,, b, 0, 48, S , Vstus: ) 60, b) ) Aritmeettie lukujoo o 90, 6, 0,... 90, d (8 ) 96 4

23 4 S b) Aritmeettie lukujoo o 4, 9, 4, 4 d 9 ( 4) (96 ) ( ) 489 S 4 + ( 489) Vstus: ) 068, b) Opiskelij tekee esimmäisellä viikoll khdeks tehtävää j lisää määrää kolmell tehtävällä viikoitti. Kikki ik o kymmee viikko. Tehtävie määrä viikoitti muodost ritmeettise lukujoo. 8 d (0 ) S Tällä tvll tehtäviä tulee tehdyksi. Aik ei siis riitä. Vstus: Ei riitä 0. Kutoiluohjelmss lisätää kävelylekkie pituutt kohtuullisesti päivittäi. Esimmäise päivä lekki o 00 m, toise päivä 00 m j seurv päivä lekki i 00 m pitempi kui edellise päivä lekki. Jok viides päivä o lepopäivä. 4 Kuukudess o 0 4 kutoilupäivää. 00 d (4 ) S (m) 600 m km Vstus: km

24 4. Ait rkeet tsisesti viettävää riteesee site, että id yläreu o vksuorss. Aid pituus o 0 m j tolppi o m: välei. Pisi tolpp o,4 m j seurvt tolpt ovt i cm lyhyempiä kui edellie. 0 Tolppi o yhteesä +. Esimmäie tolpp o,4 m j viimeie,4 + ( ) ( 0,0),4 (m).,4 +,4 96,9 (m) Vstus: 96,9 m. ) Piei eliumeroie luoollie luku o 000 j suuri Neliumeroisi luoollisi lukuj o b) Luoolliset luvut muodostvt ritmeettise lukujoo Vstus: ) 9 000, b) (9 + ) 00 (6+ ) , b 6, c 000 6± 6 4 ( 000) 6± ,7... ti,06... Negtiivie rtkisu ei käy. 6 6 Ku lsket esimmäistä joo jäsetä yhtee, summ ylittää 00. Vstus:

25 44 4. Puisto-ossto työtekijät tekevät puistoo kolmiomuotoist kiveystä, joss pyöreät kivet ovt suoriss riveissä. Khde peräkkäise rivi kivie lukumäärä ero o kksi. Esimmäisessä rivissä o yksi kivi. + ( ) + ) Käytettävissä o 00 kiveä ± 00 0 ti 00 Negtiivie vstus ei käy. Rivejä o 0, jolloi kiviä kuluu ts 00. b) Käytettävissä o 00 kiveä ± ,... ti 00 7,... Negtiivie vstus ei käy 7 rivissä o kiviä yhteesä Yli jää kiveä. Vstus: ) 0 riviä, yhtää ei jää yli b) 7 riviä, jää yli. Aritmeettise lukujoo lku o 00, 0, 0, 00, d 00 + ( )

26 (9 + ) , b 9, c ± 9 9 ± ,06... ti 4, Negtiivie vstus ei käy. Lukujoo esimmäise jäsee summ ei ylitä luku O lskettv 6 luku yhtee, jott summ ylittäisi Vstus: 6 6. Aritmeettise lukujoo lku o, 4, 6, 8, S S ,64..., ,6 6, % Lukujoo 999 esimmäise termi summ o 6, % suurempi kui 888 esimmäise termi summ. Vstus: 6, %

27 46 Geometrie lukujoo 7. ) b) Joo o geometrie lukujoo. b 0, 0,0 0,00 4 0, , , 8. Geometrise joo esimmäie jäse o 800 j peräkkäiste jäsete suhde o q 0,. Joo viisi esimmäistä jäsetä ovt ( 0,) ( 0,) ( 0,) ( 0,),. Vstus: 800, 900, 40, ;, 9. Geometrie lukujoo lk, 6, 8, 6 ) q b) Vstus: ) q, b) 4, 6 j Geometrie lukujoo lk 00, 90, 8, 90 ) 00, 90, q 0, 9 00

28 47 b) 00 0,9 c) ,9 8 6,677 6,7 Vstus: ) 00, 90, 0,9, b) 00 0,9, c) 6,7. Geometrise joo lku o 7; 7,07; 7,407; ) 7 7,07 q,0 7 7 (,0) b) 0 7 (,0) 0,98,40 Vstus: ) 7 (,0), b),40. Geometrise joo lku o 400, 8 880, 46 66, 400 j q, , 7 400, , ,88 Vstus: 400, j ,88. Hill tvoittee oli kerätä jok päivä 0 % eemmä sieiä kui edelliseä päivää oli keräyt. Esimmäiseä päivää hä keräsi 00 grmm sieiä. Sieestyskusi kesti kksi viikko. q 00 % + 0 % 0 %, 4 00, 4 8 9, (g) Vstus: 9 kg 4. Geometrise joo j 4 0,. 4 q 4 q 0, : 0, q q 0,00 q q 0, 0,00

29 48 Vstus: 0,. Geometrie joo esimmäie jäse o 4 j kuudes jäse 6 0,7. Toise j kymmeee jäsee lskemiseksi trvit joo peräkkäiste jäsete suhde q. 6 q 6 4 q 0,7 : 4 0,7 q 4 q 0,0 q 0,0 q 0, ) 4 0, b) 0 4 0, 0 0, ,047 Vstus: ), b) 0, Vuo 990 mljko hit oli 0 $. Kymmee vuode kuluttu sm mljkko mksoi 90 $. Vlmistj osti mljko hit yhtä moell prosetill vuositti. ) Mljko hit vuositti muodost geometrise joo. Vuosi 990: 0 Vuosi 000: 90 0 q 90 : q 0 90 q ± 0 Negtiivie juuri ei käy 0 q, Vuotuie hi korotus o 4,7 %. b) Vuo 99 mljko hit o , ,996 ($) Vstus: ) 4,7 %, b) $ 7. Geometrise joo lku o, 768,...

30 q,,, 9 68 :, 9 68 ( 0 lg, ) 0 lg lg, ( ) 0 lg968 lg, ( ) lg 968 lg 968 lg, Vstus: 0 lg 968 lg, : lg, Geometrise joo lku o 6 000, 8 000, 4 000, q , , , 0 :6 000 Joo. jäse o pieempi kui 0. Vstus:. 0, 0,0006 ( 0 lg0, ) 0 lg0, lg0, ( ) 0 lg0,0006 lg0, ( ) lg0,0006 : lg0, lg0,0006 lg0, lg0,0006 lg0, +,64...

31 0 9. Helmii viikoittie mkeisos o 00 g, mutt hä päättää vähetää mkeiste syötiää % viikoss. Viikoittie mkeisos muodost geometrise joo, joss 00 j q 0, ,9 0 : 00 0,9 0, ( 0 lg0,9 ) 0 lg0, lg0, 0 lg0,9 ( ) 0 lg0,9 ( ) : lg0,9 lg0,9 + 4, lg0,9 Helmii mkeisos o lle 0 g viikoss 4 viiko kuluttu, kosk viiko jälkee mkeismäärä vst lukujoo. jäsetä viiko jälkee mkeismäärä vst lukujoo. jäsetä 4 viiko jälkee mkeismäärä vst lukujoo 46. jäsetä Vstus: 4 viiko kuluttu 0. Lukujooss 000 j ) Lukujoo o ritmeettie. + ( ) d (8 ) d 000 ( ) 7 + 4d d : b) Lukujoo o geometrie. q q q

32 8 7 q 7 q q q q 000q q q q q q Vstus: ) 400, b) 0.. ) geometrie lukujoo 000, 800, 640, 000, 800, 640, ; 409,6; 7,7; 6,; b) ritmeettie lukujoo 0, 90, 0,

33 0, 90, 0, 70, 0, 0, 90. ) Geometrise lukujoo lku o,; 7;;,, Suhde q. Seurvt jäseet sd edellisestä kertomll luvull. 67,; 0,; 607,; b) Geometrise lukujoo lku o 0 000, , Suhde q 0,7 000, 0 0; 7 97,. ) 0, j 0, q 0,, 0, 0,, 7, b) b j b 7. q 7 0 7,7 b0 0, ,00 Vstus: ) q, 0 7, 7, b) q, b0 0, Lukujoo lk luvuill j 4. Tehtävä void rtkist luettelemll joo jäseiä. ) Lukujoo o ritmeettie.

34 , 4, 6, 48, 60, 7, 84, 96, 08, 0, 6 j 0 0 b) Lukujoo o geometrie., 4, 48, 69, 9, 84, 768, 6, 07, 6 44, 48 j Vstus: ) 6, 0, b) 48, ) 6, 4, 0, Lukujoo ei voi oll geometrie, kosk peräkkäiste jäsete suhde ei ole sm j 6 4 b), 6,, Lukujoo voi oll geometrie, kosk peräkkäiste jäsete suhde o sm. 6 0, j 0, 6 Vstus: ) Ei voi, b) kyllä voi 6. Ympäristötiteilij o tehyt vlopylväistä tideteokse. Pylväide välimtkt j pituudet muodostvt molemmt geometrise joo. ) Esimmäiste pylväide välimtkt ovt,00 m,,00 m, 4,0 m,,00,00 q,,00,00, b) Esimmäiste pylväide välimtkt ovt,00 m,,0 m,,4 m,,00,0 q,,00,00, Vstus: ),00,, b),00, 7. ) 0 00, 8 60, 6 8, 0 00

35 4 860 q 0, , ,8 b), 4, 6, 4 q 4 ( 4) ( 4) 876, , Vstus: ) ,8, 876,7, b) ( 4), ) 40 j q q q q 8 : 40 b) j 486 q q q q ± : ± 0, Vstus: ) q, b) q 0, ti q 0, 9. Vuo 000 Kerttu si viikkorh,0. Viide vuode kuluttu hä si 4,00. Äiti korotti viikkorh yhtä moell prosetill vuositti. ) Vuode 000 viikkorh o lukujoo esimmäie jäse. Viide vuode kuluttu o vuosi 006 j viikkorh määrä o joo kuudes jäse 6.

36 6,0 q q q 6 4,00 q 4, 4, :,0,67...,7 % 00 %,7 % Vuotuie korotus o,7 %. b) Vuode 008 viikkorh suuruus o joo yhdeksäs jäse 9.,0,7 9 7,0 7,0 ( ) kymmee seti trkkuudell Vstus: ),7 %, b) 7, ),,, q lg 4 ( 0 ) lg 4 ( ) 0 0 lg 4( ) lg lg 66 lg 66 lg 66 lg 4 6 :lg4 lg lg 4 Luku 6 o joo jäse. b) 0,; 0,; 0,; q 0, 0,

37 , 6 lg ( 0 ) 0 lg ( ) 0 lg ( ) lg lg 048 lg 048 lg 048 lg :0, :lg lg lg Luku 6 o joo. jäse. Vstus: ) kyllä, b) kyllä. 4. Geometrise joo lku o 900, 00, 00, q lg lg lg ( ) 0 lg 0,00 :lg lg 0,00 lg lg 0,00 + 6,66... lg ( ),8 : 900 0,00 0 lg 0,00 lg 0,00 Kuusi joo jäseistä o suurempi kui,8. Vstus: 6

38 7 4. Geometrise joo lku o 9; 0,9 9; 0,9 9; ) 9 0,9 6,9640 6,96 b) 9 0,9 9 0,464 0,46 c) 9 0,9 0,9 : 9 0,9 0,9 9 (0 0 ) lg 0,9 lg 0,9 ( ) 0 0 0,9 lg 9 0,9 lg 9 0,9 lg 0,9 ( ) lg 9 0,9 lg 9 lg 0,9 : lg 0,9 0,9 lg ,8... lg 0,9 Joo jäseistä 44 o suurempi kui 0,9. Vstus:) 6,96, b) 0,46, c) Beroulli tlletti vuode 699 luss Bseli pkkii 8 Sveitsi frgi. Pkki mksoi tlletukselle peräti 0,8 proseti vuotuist korko, jok liitettii pääom i vuode lopuss. 8 q,008 Tlletus kksikertistui ,008 (0 0,008 lg,008 ) lg, lg lg lg,008 lg lg lg,008 :8 :lg,008 86,989...

39 8 Tlletus elikertistui ,008 (0 0,008 lg,008 ) lg, lg 4 lg 4 lg,008 lg lg 4 lg,008 :8 :lg,008 7, Rhmäärä vuo 699 vst lukujoo esimmäistä jäsetä j vuode 00 rhmäärä vst lukujoo 0. jäsetä. 8, , ,44 Vstus: kksikertistui 786, elikertistui 87 j rvo vuode 00 luss 64,44 frgi. 44. ) ritmeettie lukujoo, joss j d,, 9, 7,,,, b) geometrie lukujoo, joss 0 j q, 0 0 (,) 6, 0 (,) 78, 4 0 (,) 4 97,66 0 (,),070

40 9 6 0 (,) 6, (,) 7 90, (,) 8 8, Lukujoo kolms jäse o, j kymmees jäse ) Lukujoo o ritmeettie., + d, d d, + 9d 448 ( ) d, + 9d 448 7d 444, d 6, + 6,,, b) Lukujoo o geometrie., + ( ) 6,, + 6, 6, 6, 87, q, q 9 448

41 60 q,, q 9 q q, q q 9 q, q q q q , 8 q , 0,87 0,87 Vstus: ) 6, 87, b) 0,87 Geometrie summ 9 ( 4 ) 46. S Vstus: Geometrie lukujoo o 4, 6, 9, 4 j q 6 4, 0 4(, ) S 0 694, ,, Vstus: 6 94,

42 6 48. ) j q ( ) S b) j q S ( ( ) ( ) ) 860 Vstus: ) , b) , 6 j q 6 S ( ( ) ( ) ) 0 0 Vstus: j q 9 ( ) S 9 0 Vstus: Yhdeksä kierrokse jälkee oli hlttu 0 ystävää.. ), q j ( ( ) ) S, ,98 b) 6,9, q 6,94 6,9 j 4 6,9 S 6,9 ( 6,9 6,9 ) 4 4, ,09 0 Vstus: ),98, b),09 0

43 6. 00 (s), q,0 j (,0 ) S40 740, ( s),0 740 s mi 40 s 6 mi Vstus: h 6 mi. Lsket yhteelskettvie lukumäärä., q 6 ( lg 6 ) q ( ) lg 6 0 ( )lg 6 lg S lg lg lg lg 6 : lg lg 6 ( Vstus: ) ) 0, q j 0 S 0 ( 0 0 ) 00 b),9, q 0,7 j 8 8,9 ( 0,7 ) S 8, ,044 0,7 Vstus: ) 0 0, b),044. S , q 4 j 9

44 6 9 ( 4 ) ( 4 ) 6667 ( ) 9 ( 4 ) : ( 4 ) Vstus: , S (s), q 0,9 400 ( 0,9 ) 480 0,9 ( 0,9 ) 480 0,0 ( 0,9 ) 4 4 0,9 0,0 : ( 0,9 ) 06, Esimmäie kierros o juostv 06 sekuiss. Vstus: mi 46 s 7. q 0, 0, (,0 ) 0 000,0 00 (,0 ) ( 0,0) 0,0 00 (,0 ) , ,0 700 : 00,0, lg,0 ( ) lg, lg,0 lg, 0 lg,0 lg, : lg,0 lg,,67... lg,0 Vstus: 6 jäsetä

45 64 8. ) 0, q 0,9 0 ( 0,9 ) 000 0,9 0 ( 0,9 ) 000 0, 0, 0 ( 0,9 ) , ,9 0 : 0 0,9 0, lg 0,9 ( ) b) 90, q 0,9 lg 0, lg 0,9 lg 0, 0 lg 0,9 lg 0, : lg 0,9 lg0,,7... lg0,9 90 ( 0,9 ) 000 0,9 90 ( 0,9 ) 000 0, 0, 90 ( 0,9 ) , ,9 0 : ,9 90 Yhtälö ei toteudu millää : rvoll, kosk positiivise luvu potessi ei voi oll egtiivie. Vstus: ) 6 kuukude kuluttu, b) rhoj ei sd kokoo kosk j q 0,9 8 4( 0,9 ) S 8 89, ,7 0,9 Vstus: 89,7 60. ) 9, q j 9( ) S b) 9, q j

46 6 9( ( ) ) S ( ) Vstus: ) 9 000, b) j q, 7 (, ) ) S 7 8, , b) S (, ), , ,0 0 Vstus: ) 9, b), S , q 6 j 8 8 ( ( 6) ) 4900 ( 6) 8 ( ( 6) ) ( ( 6) ) 0070 Vstus: ( 6) 8 : ( ( 6) ) 6. q,, (, ) 000, 0 (, ) 000 ( 0,) 0, 0 (, ) , 600 0, 60 : 0, 6 lg, ( ) lg lg, lg 6 0 lg, lg 6 : lg, lg6,4... lg,

47 66 Vstus: jäsetä 64. 0,8 40 4, q 0,8 j 0 0 4( 0,8 ) S 0 8, ,8 Vstus: 80 tuti 6. Pudottmise jälkee pllo tekee yhdeksä pomppu, joide korkeus pieeee i 0 %. 0,8 8, q 0,8 j 9 9 8( 0,8 ) S 9 4,6... 4,6 0,8 Pudotus metri korkeudest muk lukie pllo kulkee 9,6 metri mtk. Vstus: 9,6 m , q,0 j (,0 ) S 708,66...,0 0 Vstus: ,, q,0, (,0 ) 87,0, (,0 ) 87 ( 0,0) 0,0, (,0 ) 4,,,,0 4,,,0,6 :,,6,0, lg,0 ( 0 ) 0,6 lg,,6 lg 0 lg,0, 0,6 lg,0 lg : lg,0,

48 67,6 lg, 0,... lg,0 Nykyise louhitmäärä ( ) lisäksi mlmivrt riittävät 9 vuodeksi. Vstus: 9 vuodeksi 68. 0,, q S 0,( ) 0,( 0, 0, , , : 0, ( 0 lg ) lg lg lg lg lg : lg lg ,8... lg ) 0,( ) 0, Summ ylittää miljoo, ku yhteelskettvi o 4. Vstus: 4 0, 69. ). kuutio: m. kuutio: 0, m 0, m. kuutio: 0, m 0, m. kuutio: 0, - m 0, - m b), q 0, j 0 0 ( 0, ) S 0, ,998 0,

49 68 c) 4 S ( 0, ), ,999 0, ( 0, ),999...,000 0, ( 0, ), ,000 0, 4 ( 0, ), ,000 0, Pio korkeus äyttää lähestyvä metriä. Rekursiivie lukujoo ( ) + ( ) b b + 0 b + 0 b 4,4 + 0,4 b 7. ) d , ku. b) d , ku.

50 ) , ku. b) -, ku. 7. ) 000 0, b) 80 0, c) 70 0, , , 7, 0, , ,76 0, , ,608 0, , ,864 0, ,89 9 7,89 0, , ,6696 0, ,067 0 Vstus: ) 80, b) 70, c) ) 000, , ,4 60,4, , ,04768, ,76 6 4,76, , (m ) b) 9 000, , , ,66, , ,7, , ,807, , (m ) c) Puusto määrä ksv -kohdss, ku ts puusto määrä pieeee b-kohdss. Vstus: ) 6 70 m, b) 6 70 m, c) puusto määrä ksv , , , ,07 0, , ,46 0, , ,4480 0, , ,7469 0, , ,78 0, , ,694 0, , ,079 0, , ,6687 0, ,09 4 8,09 0, , ,0679 0, ,8684

51 ,8684 0, , , , ,6908 Vesi o vähetyyt 00 litrll 4 vuorokude kuluttu. Vstus: 4 vuorokutt ( 97) 80. b 6 b b b b 7 8. ), ku. b) - + 9, ku

52 ,7487, , , ), ku. b), ku. 84. ( ) 4 ( ) 4 4 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) , , , ,8, ,0464 4,0464, ,76 96,76, , ,0 ( ) Vstus: 0 60, , , , 40 8,9 4 8,9, 40 99,7 99,7, , ,69, 40 0, ,498, 40 64, ,67968, , ,0776, 40 87,4678

53 7 0 87,4678, 40 0,487 Vstus: ) 40, b) 0 vuode kuluttu 87. ) 7, 7, 0,6 + 7,,7,4 (mg),7 0,6 + 7,,47, (mg) 4,47 0,6 + 7, 7,6047 7,6 (mg) c) b) 7, 0,6 + 7,, ku. Kertustehtäviä 88. ) Luvut pieeevät i kymmeellä. 90, 80, 70 b) 0 ( ) c) ) 4 q 4 b) 4 ( ) 4 0 c) 0 ( ) 9, , 0

54 7 4 4 Vstus: ), b) ( ), c) 40,0 90. ) b) b ( ) ( + ) 6 b ( ) ( + ) 6 b ( ) ( + ) 40 b 4 ( ) 4 (4 + ) 96 b ( ) ( + ) 4 b 6 ( ) 6 (6 + ) ( + ) ( + ) Luku kuuluu jooo j o joo 9. jäse. Vstus: kuuluu 9. d ( ) ( 00) ( 000) S 00 Vstus: q 4, S 0 ( 4 ) 4 0 Vstus: d, 0,,,

55 74 ), + ( )0, 7, + 0, 0, 7 0, 6 :0, b) S, + 7 Vstus: ). viikoll, b) tuti 9. ) 60, : 60 lg,04 ( 0 ) 0,04 ( ) lg, lg( ) lg( ) ( ) lg,04 lg( ) lg,04 lg,04 lg( ) lg,04 lg( ) + lg,04 : lg, lg( ) + lg, ,9... lg,04 Hyppääjä ylittää khdeks metriä 6 vuode kuluttu. b) 60 q : 60 q q ± 4 Negtiivie juuri ei käy. 60 q,080...,0,0 0,0, % Prukse pitäisi oll vuositti, %. Vstus: ) 6 vuode kuluttu, b), % 7 ( 6) 96. d, 6

56 7 6 + ( ), 0 6 +,, 0, 7, :, Luku oll o lukujoo. jäse, jote egtiivisi jäseiä jooss o 4. Vstus: , q 0, ( 0,9 ) S 4 908, ,9 Vstus: kävijää 98. d ++ ( ) : 000 ± 000 ±,67... Negtiivie rvo ei kelp, kosk o järjestysluku. Summ ylittää tuht, ku yhteelskettvi o kpplett. Vstus: 99. q,, (,, (, 0, ) 0000 ) 0000 (, ) 000, 000, 00, 00 : ( 0,)

57 76 lg, ( 0 ) 0 lg, 0 0 lg00 lg00 lg, lg00 Vstus: 8 : lg, lg00 7,89... lg, *00. 6 (( ) + ) 6 6 (( 6) + ( )) 4 6, 4 6 (( 6,) + ( 6)) 7 Hrjoituskokeet Koe. ) x + y 8 x y 4 x x 6 : 6 + y 8 y b) x-kselill y-koorditti o oll. 0 x x : ( ) x Leikkuspiste o (, 0) c) Peräkkäiste jäsete erotus o jäse o 0 + ( )d ) Sijoitet x j y 6 epäyhtälöö 7x + y <.

58 ( 6) < 4 < <, epätosi Pistee (, 6) koorditit eivät toteut epäyhtälöä. b) Luseke s suurimm rvos jossi luee kärkipisteistä. Pisteide koorditit void luke kuvst, kosk tehtävässä ei ole ettu rjsuorie yhtälöitä. Kärkipisteet ovt (0, 0), (0, ), (, ) j (,; 0). Sijoitet koorditit lusekkeesee. (0, 0) (0, ) (, ) (,; 0), ,. Suuri rvo o 0. c) 8,4 ( + ) + 8,4 + 6,,6 8, :,6 7 Luku,4 o joo jäse.. y x 4x + y x 6x x 6x x 4x + x x 8 0, b, c 8 ( ) ± ( ) 4 (8) x ± 6 ± 6 x x 4 ti x y ti y ( ) 4 ( ) + Leikkuspisteet ovt (4, ) j (, ) ) q 4 ( 4) ( 4) 4 4

59 78 b) S ( ( 4) ) ( 4) Merkitää koje määrää x:llä j sikoje y:llä. Jlkoje määrä perusteell sd yhtälö x + 4y 8. x + y 4 ( ) x + 4y 8 x y 8 x + 4y 8 y 6 y 8 x x 4 8 Koj o j sikoj Säilyketölkkie määrä riveittäi muodost ritmeettise lukujoo., d, + ( ) + 8 ) S b) S + 40 ( + ) ± 4 ( 900) ± ,0... ti 0,0... egtiivie rtkisu ei käy. + 9 S Rkeelmss o 9 kerrost j tölkkejä jää yli kpplett.

60 79 7. x y 0 y x + y y 4 Piirretää suort sm koorditistoo. K pituus sd suorie j x-kseli leikkuspistee erotuksest. Kolmio korkeus sd suorie leikkuspistee y-koorditist. y 0 y x 4 y 0 y x y x 4 y x x 4 0 x 0 x : x 6 x 0 x

61 80 x 4 x x x x 9 : 9 x y A 9 9,8 (h) 8. q 6 0 q,768 : 0 6 q 0,768 q 0, 768 0,8 S 0 ( 0,8 ) 0,8 0 ( 0,8 ) 49,99 0,8 0 ( 0,8 ) 49,9 0, 0, 0 ( 0,8 ) 9,998 : 0 0,8 0,9998 0,8 0,000 : ( ) 0,8 0,000 lg 0,8 ( 0 ) lg 0,000 0 lg 0,8 0 lg 0,000 0 lg0,8 lg0,000 : lg0,8 lg0,000 8,6... lg0,8 Joost o lskettv 9 esimmäistä jäsetä yhtee, jott summ ylittäisi 49,99-9. Merkitää pst määrää stoi grmmoi x:llä j juhelih y:llä. Kosk o kyse mssst, sd ehdot x 0 y 0 Eergi määrästä sd ehto 0x + 00y 700. Proteiii määrästä sd ehto x + 0y 4. Etsitää pieitä rvo lusekkeelle x + y.

62 8 Piirretää koorditistoo ehtoje mukie tsolue. 0x + 00y y 0x : 00 y,6x +, Piirretää suort. x + 0y 4 0y x + 4 : 0 y 0,6x +, Epäyhtälöt x 0 j y 0 rjvt luee ei-egtiivisii x: j y: rvoihi. Kosk kksi muut ehto kuvvt vähimmäismääriä, lue rjutuu khde muu suor yläpuolelle. Vrmistet tämä testipistee (, ) vull. 0x + 00y , tosi x + 0y , tosi Luseke x + y s pieimmä rvos lueess jossi se kärkipisteistä. Lsket kärkipisteide koorditit. Piste C sd suor y,6x +, yhtälöstä. C (0;,) Piste B sd suorie leikkuspisteestä rtkisemll yhtälöpri. y,6 x +, y 0,6x +,,6x +, 0,6x +, x, : ( ) x, y,6, +,,

63 8 B (,;,) Pistee A y-koorditti o oll. x-koorditti sd yhtälöstä 0,6x +, 0 0,6x, : ( 0,6) x,7 C (,7; 0) Lsket ruok-okse x + y määrä kärkipisteissä. A: 0 +,, B:, +,,7 C:,7 + 0,7 Piei määrä stoi grmmoi o,7. Tällöi oksess o g pst j 0 g juhelih. Koe. ) b) x + y 0 x y 6 x 6 : x c) + + y 0 y 4

64 ) d ( ) ( 4) b) Suorie leikkuspiste sd rtkisemll yhtälöpri y x y x + 9. y x x + 9 x 0 : x Leikkuspiste o (, 4) c) Tp 4x 7x x 0 Selvitetää, millä x: rvoill fuktio f(x) x rvot ovt egtiivisi ti oll. Nollkoht: x 0 x : ( ) x Ldit merkkikvio. Fuktio f(x) kuvj o lskev suor. f(x) + x f(x) + Fuktio rvot ovt egtiivisi ti oll, ku x.

65 84 Tp 4x 7x x : ( ) Ku jet egtiivisell luvull, epäyhtälömerki suut vihtuu.. x.. x + y 6 y x + x + (x + ) 6 x + x 4 0, b j c 4 ± 4 ( 4) x ± ± x + x ti x 4 x + y 6 y x 4 ( 4) + y 6 y 8 Leikkuspisteet ovt (, ) j ( 4, 8) 4. ) Geometrise lukujoo yleise jäsee kv muk 4 6 q 4 6 q 48 : 6 q 8 q 8 b) Merkitää ikuiste lippuje määrää x:llä j lste y:llä.

66 8 x + y 6 ( ) 0x + y 469 x y 6 0x + y 469 8x 6 x 9 :8 9 + y 6 y 7 Aikuiste lippuj myytii 9 j lste 7 kpplett. 6. Rjsuort: x y 0 y x + 9 Piirretää suort. x y 0 y x + : ( ) y x Vrmistet testipistee (, ) vull, että lue o kuv tummeettu suorie rjm elikulmio. Pistee koorditit toteuttvt epäyhtälöt x j y 0. y x , tosi x y 0 0 0, tosi

67 86 Alue o siis kuv merkitty elikulmio. Kosk epäyhtälöissä o yhtäsuuruudet muk, elikulmio reut kuuluvt muk lueesee. 7. Luvut ovt muoto. Luvut muodostvt ritmeettise lukujoo. Piei kolmiumeroie prillie kokoisluku o 00 j suuri 998. Luku 00 o joo 0. jäse j 998 joo 499. jäse. Prillisi kolmiumeroisi positiivisi kokoislukuj o S Merkitää koeide A määrää x:llä j B määrää y:llä. Optimoitv luseke o x + y. Rjoitteet: A-koeide määrä x 0 B-koeide määrä y 0 Hit yhteesä 00 x y y,x + 40 ATK-tukihekilö ik x + y 8 y 0,x + 9 Rjsuort: x 0 y 0 00x + 000y y 00x : 000 y,x + 40 Piirretää suort. x + y 8 y x + 8 : y 0,x + 9

68 87 Epäyhtälöt x 0 j y 0 rjvt luee ei-egtiivisii x: j y: rvoihi. Vrmistet testipistee (0, 0) vull, että lue rjutuu khde muu suor lpuolelle. 00 x y , tosi x + y , tosi Suuri rvo optimoitvlle lusekkeelle sd jossi luee kärkipisteistä. Piste A (0, 0) Pistee B koorditit (0, 9) void päätellä suor y 0,x + 9 yhtälöstä. Pistee C koorditit sd rtkisemll yhtälöpri 0,x + 9,x ,7x : ( 0,7) x 0 y 0,x + 9. y, x + 40 y 0, C (0, 4) Piste D o suor y,x + 40 j x-kseli leikkuspiste.,x ,x 40 : (,) x D,0 Lsket lusekkee x + y rvo kärkipisteissä. A: B: C: D: + 0 Suuri rvo o 4, jok sd pisteessä (0, 4). Eite koeit sd, ku mlli A hkit 0 j B 4 kpplett. 9. Kokoissiot esimmäise trjoukse muk ovt Merkitää jälkimmäise trjoukse mukist esimmäistä plkk :llä. Vuode kokoissiot void lske geometrise summ, joss q,0.

69 88 S (,0,0 ) (,0 ) 6400 (,0),0 (,0 ) 96 : (,0 ) 04,8 Alkuplk o oltv vähitää 04,6.

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä.

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä. .. Lukujoo Aluksi Mtemtiiklle o erityise tyypillistä se, että käytäö tiltee settm ogelm bstrhoid. Käytäössä tämä trkoitt sitä, että siitä krsit lilluk vrret. Trkstelu kohteeksi jätetää vi si loogie ydi

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3 Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt .. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,...

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4:

****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4: . Murtopotessi MÄÄRITELMÄ : O Olkoo prillie, positiivie kokoisluku. Ei egtiivise luvu :s juuri trkoitt sellist ei-egtiivist luku b, jok :s potessi o. Merkitää b. Kute eliöjuureki tpuksess, luku b täyttää

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

3 Lukujonot matemaattisena mallina

3 Lukujonot matemaattisena mallina 3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

3 Lainat ja talletukset

3 Lainat ja talletukset 3 Laiat ja talletukset Korkolasku 17. 0,8 3 = 64,96 ( Lähdevero määrä pyöristetää alaspäi täysii kymmeii setteihi. Lähdeveroa peritää 64,90. 173. 0,05 1 6 = 40,5 ( a 0,8 40,5 = 11,7 ( Lähdeveroa peritää

Lisätiedot

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava Ludtur Lukio pitkä mtemtiik kertust ylioppilstehtävie vull Otv Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe 6.. Pitkä oppimäärä Perustitoj. Sieveä lusekkeet ), b) y y + y y. Geometri. Tssivuise kolmio ympäri

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo .1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv.1. Lukuj käsite, lukuj suppeemie j rj-rv S lukuj vi yksikertisimmill ymmärtää tdellki j, jh kirjitettu lukuj peräkkäi. Sellisell jll, jk luvut vlittu täysi stuisesti,

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Laskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan.

Laskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan. 2. Peruslsket 2.1 Yhtee- j väheyslsku Lske: 23 14 9 MENU. Vlitse Mi Syötä lskuluseke. Pi EXE. Lskut kirjoitet vsemp reu, vstukset tulevt oike reu. 2.2 Näytö tyhjeys Vlitse Edit j pi Cler All. Pi OK. Huom!

Lisätiedot

3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot

3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot . Polyomifuktio kulku. Lokliset äärirvot Tähästiste opitoje perusteell ost piirtää esisteise polyomifuktio kuvj, suor, ku se yhtälö o ettu. Ost myös pääpiirtei hhmotell toise stee polyomifuktio kuvj, prbeli,

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan perusteet

Kvanttimekaniikan perusteet Kvttimekiik perusteet Aieltokettä j todeäköisyystieys Scrödigeri ytälö Sirot potetiliskeleest lektroitilt potetilikuopss Hrmoie oskillttori Tiltieys lisää sirotilmiöistä Altofuktio o yleisesti kompleksie

Lisätiedot

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen 7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Menetelmiä formuloinnin parantamiseen

Menetelmiä formuloinnin parantamiseen Meetelmiä formuloii prtmisee Mikko Korpel Dimitris Bertsims & Robert Weismtel, 2005, Optimiztio over Itegers, ch 2.-2.5 S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri-

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä mtemtiikk 7 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä on usempi kohti

Lisätiedot

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia 3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

4 Kertausosa. Kertausosa. 1. a) (1, 2) ja ( 3, 7) 41 6,403... 6,4. b) ( 5, 8) ja ( 1, 10) 10 ( 8) 1 ( 5) 18 4 340 18,439... 18,4

4 Kertausosa. Kertausosa. 1. a) (1, 2) ja ( 3, 7) 41 6,403... 6,4. b) ( 5, 8) ja ( 1, 10) 10 ( 8) 1 ( 5) 18 4 340 18,439... 18,4 4 Kertausosa. a) (, ) ja (, 7) d 7 5 ( 4) 4 6,40... 6,4 b) ( 5, 8) ja (, 0) d 0 ( 8) ( 5) 8 4 40 8,49... 8,4. Koulun koordinaatit ovat (0, 0). Kodin koordinaatit ovat (,0;,0). Kodin ja koulun etäisyys

Lisätiedot

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI 37 INTEGRAALILASKENTAA.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Trstell ploitti jtuv j rjoitettu (siis ei ääretötä) futiot f ( ) välillä [, ] (s. uv) Jet väli [, ] :ää h-levyisee os h j meritää h, missä 0,1,,..., Joo liittyvä

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö 2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

Sarja on "summa, jossa on äärettömän monta yhteenlaskettavaa". Täsmällisempi määritelmä on seuraava: Tarkastellaan lukujonoa ( a n)

Sarja on summa, jossa on äärettömän monta yhteenlaskettavaa. Täsmällisempi määritelmä on seuraava: Tarkastellaan lukujonoa ( a n) MAT-3430 Lj mtemtii 3 TTY 200 Risto Silveoie Luu 7. Luusrjt Seurvss o lyhyt esitys srjteorist. Puuttuvt todistuset äydää suurimmlt osi läpi lueoll j e löytyvät myös Fitzptrici ti Trechi irjst. Srj o "summ,

Lisätiedot

a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että

a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että TL, DSK-lgoritmit S rjoitus. Trkstll kosiisigli [] cosπt s. Määritä sigli [] vrissi kskimääräi to. b Määritä sigli [] jot c Määritä siglikvtisoitikoisud SQNR, ku tidtää, ttä.79. b SQNR log Kvss b o kvtisoij

Lisätiedot

6.3. Interpoloivat sävytysmenetelmät. Interpoloivat sävytysmenetelmät Gouraudin sävytys

6.3. Interpoloivat sävytysmenetelmät. Interpoloivat sävytysmenetelmät Gouraudin sävytys 6.3. Iterpoloivt sävytysmeetelmät Seurvksi trkstell, mite esitettyä pistee vlo itesiteettimlli void käyttää moikulmiolle j lske vlo itesiteetti tämä tsolle. Käytettävissä o Gourudi j Phogi meetelmät. Eemmä

Lisätiedot

S , Fysiikka IV (ES) Tentti

S , Fysiikka IV (ES) Tentti S-1436, Fysiikk IV (S) Tetti 81 35 19 1 Vierekkäiste spektriviivje piei hvittu tjuuser Cl F mlekyyli 1 rttispektrissä 1,1 1 Hz Lske tmie välie etäisyys mlekyylissä Rtkisu Kksitmise mlekyyli pyörimiseergi

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

1.1 Lukujoukot ja laskutoimitukset

1.1 Lukujoukot ja laskutoimitukset . Lukujoukot j lskutoimitukset. Lukujoukot j lskutoimitukset. ) ( ) b) (7,) 7, c) ( ) d) (π ) π. ) 0 0 b) c) d) 7. ) 9 b) 0,0 c) 9 d) π . Lukujoukot j lskutoimitukset. ) Luvun - vstluku on -(-). Luvun

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset

Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset Y6 Mikron jtkokurssi kl 008: HARJOITUSTEHTÄVÄT Mllivstukset Kuluttjn vlint (Muokttu Burketist 006, 07) Olkoon Mrkon udjettirjoite = 40 Mrkoll on hvin kättätvät referenssit j Mrkon rjusustituutiosuhde on

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST), Tentti

S Fysiikka III (EST), Tentti S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen

Lisätiedot

Moniulotteisuuden ihmeitä: Shapiron syklinen epäyhtälö

Moniulotteisuuden ihmeitä: Shapiron syklinen epäyhtälö 6 Solmu /08 Moiulotteisuude ihmeitä: Shpiro syklie epäyhtälö Es V Veslie Mtemtik oh sttistik Åo Akdemi Edellisessä Solmu umeross rtikkeliss [7] kerrottii Nesitti epäyhtälöstä: Nesitti epäyhtälö Jos j ovt

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Polynomifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Polynomifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Polynomifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Polynomifunktiot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

16-300mm 50 EURON CASHBACK! Ehdot PARAS KOLMESTA MAAILMASTA. www.tamron.fi. F/3.5-6.3 Di II VC PZD Macro

16-300mm 50 EURON CASHBACK! Ehdot PARAS KOLMESTA MAAILMASTA. www.tamron.fi. F/3.5-6.3 Di II VC PZD Macro Ehdot 3. Mksu suoritet se m vluutss, mistä objektiivi o ostettu. Mksu suoritet 4 viiko kuluess cshbck-dokumettie spumisest. 4. Objektiivi tulee oll Focus Nordici mhtuom j se tulee oll ostettu virllise

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot