MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 1. Isto Jokinen 2011

Transkriptio

1 MATEMATIIKKA Mtemtiikk pintkäsittelijöille PAOJ 1. Isto Jokinen 011

2 SISÄLTÖ 1. Lskujärjestys 1. Murtoluvuill lskeminen. Suureet j mittyksiköt 4. Potenssi. Juuri 6. Tekijäyhtälöiden rtkiseminen 7. Suhde j verrnto Copyright Isto Jokinen 011

3 LASKUJÄRJESTYS Lskujärjestys on seurv: 1. Sulkeiden sisällä olevt lsketn ensin. Jos sulkeit on useit sisäkkäin, lsketn sisimmäisistä ulospäin. Kerto- j jkolskut 4. Yhteen j vähennyslskut Esimerkki 1. Copyright Isto Jokinen

4 LASKUJÄRJESTYS Esimerkki. (8 ) 1 Esimerkki. 1[4 (6 ) ] 1 1[4 ] 1 1[4 6] Copyright Isto Jokinen 011

5 MURTOLUKUJEN KERTOLASKU Murtolukujen kertolskuss osittjt j nimittäjät kerrotn keskenään. Esimerkki Jos murtoluku kerrotn kokonisluvull kerrotn vin soittj. Copyright Isto Jokinen 011 Esimerkki

6 MURTOLUKUJEN JAKOLASKU Jos murtoluku jetn kokonisluvull jetn vin osoittj. Esimerkki 6. 4 Jos murtoluku jetn toisell murtoluvull vihdetn jkjn osoittj nimittäjä keskenään. Tämän jälkeen jettv murtoluku kerrotn sdull jkjll. Copyright Isto Jokinen 011 Esimerkki

7 MURTOLUKUJEN YHTEENLASKU Murtolukujen yhteenlskuss on nimittäjiksi stv sm luku lventmll. Esimerkki 8. Jos yhteenlskettvi termejä on useit tehdään lvennus muiden termien nimittäjien tuloll. Esimerkki 9. ) ) Copyright Isto Jokinen 011 4) 1 4) ) ( 1

8 MURTOLUKUJEN VÄHENNYSLASKU Murtolukujen vähennyslskuiss on nimittäjät lvennettv ensin smnnimisiksi kuten yhteenlskuss. Esimerkki ) Jos vähennyslskuss on usempi tekijä lvennetn luvut muiden tekijöiden tuloll. 4) Copyright Isto Jokinen 011 Esimerkki 11. 4) 6 4) )

9 ERI LASKUTOIMITUKSIA SEKAISIN Jos murtolukulskuiss on kerto-, jko-, yhteenj vähennyslskuj sekisin on lskujärjestys kuten yleensäkin: 1. Ensin kerto- j jkolskut. Sitten yhteen- j vähennyslskut Esimerkki 1. Copyright Isto Jokinen )

10 SEKALUKUJEN KERTO-, JAKO-, YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKU Sekluvut pitää ennen lskemist muutt murtoluvuiksi. Tämän jälkeen lsketn murtolukuin kuten edellä. Esimerkki 1. Seklukuj murtolukuin 7 (1) Copyright Isto Jokinen (14)

11 OSOITTAJASSA JA NIMITTÄJÄSSÄ LASKUTOIMITUKSIA Osoittjss j nimittäjässä olevt lskutoimitukset lsketn ensin. Tämän jälkeen tehdään jkolsku. Esimerkki 14. Esimerkki (1 7) (1 7) Copyright Isto Jokinen 011

12 TEKIJÖINÄ MUUTTUJIA KERTOLASKUT Esimerkki 16. Esimerkki b c 10bc 4c 10b 0c 10b c b Copyright Isto Jokinen 011 Esimerkki 18. 1x y 1yz 4xq 180xyz 0yxq 9 z q

13 TEKIJÖINÄ MUUTTUJIA JAKOLASKUT Esimerkki 19. x : y 6b 1y : 7b x 1y 1 x 7y 7b 6b 1y x y Copyright Isto Jokinen 011 8b 6b y b 4y

14 TEKIJÖINÄ MUUTTUJIA YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKUT Esimerkki 0. Esimerkki 1. Esimerkki. 4x y 4) 4) x yz x 4y ) z) 8x 4y 16x 1x 1y 1y 0x 4xz 1yz 1yz 1x 1y 0x 4xz 1yz Copyright Isto Jokinen 011 xz yz 4) z) x 4y 0xz 1yz 6xz 1yz 14xz 1yz 7x 6y

15 SUUREET JA MITTAYKSIKÖT Suure = lukurvo yksikkö Esimerkiksi 18 kg:ss 18 on lukurvo j kg yksikkö. Knsinvälisessä yksikköjärjestelmässä ( SIjärjestelmässä ) on seitsemän perussuurett j perusyksikköä. Kikki muut suureet j yksiköt on johdnnisyksikköjä jotk perustuvt perussuureisiin j perusyksiköihin. Copyright Isto Jokinen 011 Suureill on myös tunnukset. Esimerkiksi mssn tunnus on m j jn tunnus t.

16 SUUREET JA MITTAYKSIKÖT Perussuureet Suure Tunnus Yksikkö Pituus l m Mss m kg Aik t s Lämpötil T K Copyright Isto Jokinen 011 Ainemäärä n mol Sähkövirt I A Vlovoim Cd

17 SUUREET JA MITTAYKSIKÖT Johdnnissuureet Johdnnissuureit on hyvin pljon. Esimerkiksi nopeus ( m/s ) on mtk jettun jll. Kiihtyvyys ( m/s ) on nopeus jettun jll. Voim ts on mss kert kiihtyvyys ( kgm/s ) j työ voim kerrottun mtkll (kgm/s m ) Molekyylimss on mss jettun inemäärällä kg/mol. Konsentrtio on inemäärä jettun tilvuudell ( mol/dm ), joss ts yksikkö dm ts on pituuden yksikkö dm on pituuden yksikkö dm korotettun kolmnteen potenssiin. Copyright Isto Jokinen 011

18 KERRANNAISYKSIKÖT Kun jonkin suureen lukurvo on hyvin suuri ti pieni, käytetään kerrnnisyksikköjä. Tällöin suureen suuruus on helpompi hhmott. Esimerkiksi mtkn ilmoittminen metreinä ei olisi selkeää, kun se olisi m. Selkeämpää on ilmoitt mtk kilometreinä, jolloin se on 40 km. Mlikerroksen pksuus ts on hyvä ilmoitt mikrometreinä (µm) eikä metreinä. Esim. 180 µm on sopivmpi kuin 0, m. Kerrnnisyksiköitä tulisi käyttää niin, että suureen lukurvo on välillä Copyright Isto Jokinen 011 Esimerkiksi 0 mg on sopivmpi tp ilmoitt mss kuin 0,0 g ti 0,0000 kg.

19 KERRANNAISYKSIKÖT Yleisimmin käytettävät kerrnnisyksiköt: Nimi Lyhenne Kerroin Ter T 10 1 Gig G 10 9 Meg M 10 6 Kilo k Copyright Isto Jokinen 011 Milli m 10 - Mikro µ 10-6 Nno n 10-9 Piko p 10-1

20 POTENSSI Potenssilskuiss kntluku kerrotn itsellään eksponentin mukn. Esimerkki. Potenssilskujen lskusäännöt: Copyright Isto Jokinen y x y x y x y x y x y x ) (

21 POTENSSI Potenssilskujen lskusäännöt: ( b) b c 1 c 1 b c c c b c Copyright Isto Jokinen 011

22 POTENSSI Potenssilskujen lskusäännöt: 1 b c b c Copyright Isto Jokinen 011

23 POTENSSI Esimerkkejä 4. Copyright Isto Jokinen ) (

24 POTENSSI Esimerkkejä. Copyright Isto Jokinen

25 KYMMENEN POTENSSIT Kymmenen potenssej käytetään yleisesti fysiikn, kemin j teknisessä lskennss sekä ilmistess luonnonvkioit joit ovt esimerkiksi: - Avogdron luku: 6,0 x 10 - Hiili (1) tomimss: 1,66 x 10-7 g/mol - Elektronin vrus: 6,0 x C - Vlovuosi: 9,46 x 10 1 m. Lskennss kymmenen potensseihin pätevät potenssilskujen lskusäännöt.

26 KYMMENEN POTENSSIT Esimerkkejä ,

27 JUURI Juurin on potenssin vstkkinen lskutoimitus Esimerkkejä 7. Neliöjuuri luvust on kosk =. Neliöjuuri luvust 81 on 9, kosk 9 = 81. Kuutiojuuri luvust 7 on, kosk = 7. Copyright Isto Jokinen 011 Neljäs juuri luvust 6 on 4, kosk 4 4 = 6. Khdekss juuri luvust 906 on, kosk 8 = 906

28 JUURI Esimerkkejä 8. ( trkst omll lskimellsi )

29 TEKIJÄYHTÄLÖN RATKAISEMINEN Tekijäyhtälöiden rtkisu trvitn hyvin pljon fysiikss, kemiss, teknisessä lskennss j ongelmnrtkisutehtävissä. Tämän vuoksi tekijäyhtälöiden rtkisun hllint on hyvin tärkeää. Esimerkki 9. Tekijäyhtälöitä: n I t z F ( v1 v0) t U PV v n s t R m M I nrt Copyright Isto Jokinen 011

30 TEKIJÄYHTÄLÖN RATKAISEMINEN Tekijän yhtälöstä pitää rtkist se tekijä jot kysytään tehtävässä. Esimerkiksi jos kysytään vstust ( R ), on yhtälöstä rtkistv se. Jos yhtälössä on pelkkiä kerto- j jkolskuj voidn termejä siirtää yhtälön puolilt toisiin kun niiden pikt vihdetn nimittäjästä osoittjn j päinvstoin. Tämä vst puolittin kertomist j jkmist, mutt on yksinkertisemp tehdä. Copyright Isto Jokinen 011 Teknisessä lskennss lskukvt ovt olemss, mutt niistä joudutn usein rtkisemn kysytty tekijä.

31 TEKIJÄYHTÄLÖN RATKAISEMINEN Esimerkki 0. Termien siirto yhtälöiden puolist toisille. Rtkistn R, I, P, V j R. Copyright Isto Jokinen 011 I R U R I U I R U T n V P R R T n V P P T R n V V T R n P T R n V P

32 TEKIJÄYHTÄLÖN RATKAISEMINEN Esimerkki 1. Termien siirto kun lskukvst hlutn rtkist I. Lskukv on muoto: m M I t z F Kun I rtkistn on kikki muut tekijät pitsi I siirrettävä yhtälön toiselle puolelle. Sdn: m z F M t I I m z F M t Tämän jälkeen sijoitetn luvut rvot m,z,f,m j t:n pikoille j rtkistn tehtävä. Copyright Isto Jokinen 011

33 TEKIJÄYHTÄLÖN RATKAISEMINEN Jos tekijäyhtälössä on yhteen- j vähennyslsku on termit vähennettävä ti lisättävä puolittin. Esimerkki. Kiihtyvyyden yhtälöstä rtkistn loppunopeus v Copyright Isto Jokinen v v t v v t t v v

34 SUHDE Luvun suhde lukuun 7 on: Viiden euron suhde khteen kiloon on: Mlin j kovetteen suhde voi oll : Tällöin mli sekoitettess mlios on nelinkertinen määrä kovetteen määrään nähden. Vlmiiss seoksess on mlin osuus 4/ j kovetteen osuus 1/ e kg Copyright Isto Jokinen 011

35 VERRANTO Verrnnoss suhdett verrtn toiseen suhteeseen yhtäläisyyden vull. Esimerkki. Esimerkki e kg 0e 10kg Copyright Isto Jokinen 011

36 VERRANTO Verrnto on oikein sieventämisen jälkeen yhtälön molemmt puolet ovt yhtä suuri. Esimerkki. Kun ine on sm on sieventämisen jälkeen yhtälöiden molempien puolien oltv yhtä suuri: 1kg 0l kg 10l Jos molemmt puolet sievennetään sdn: 0,kg 1l Copyright Isto Jokinen 011

37 SUORAAN VERRANNOLLISUUS Suorn verrnnollisuudess tekijän ksvu iheutt toisen tekijän ksvun. Smoin tekijän pieneneminen iheutt toisen tekijän pienenemisen. Esimerkki 6. Jos bensiiniä ostetn suuremmll rhsummll sitä sdn suurempi määrä. Stv bensiinimäärä voidn kirjoitt yhtälömuotoon: 1,9e 1l 7,9e l Copyright Isto Jokinen 011

38 SUORAAN VERRANNOLLISUUS Jos yhtälön uloimmt j sisemmät termit kerrotn keskenään, on niistä tultv sm tulos. Tässä tpuksess tulos olisi: 1,9e l 1l 7, 9e Jost edelleen kertomll sdn: 7,9el 7, 9el Lskutp voidn käyttää yhtälöiden trkstukseen. Copyright Isto Jokinen 011

39 SUORAAN VERRANNOLLISUUS Esimerkki 7. Pljonko mks cm lumiiniprofiili jos 6 metriä mks 78 euro? Vihe 1. Muodostetn yhtälö. Kosk yhtälö on suorn verrnnollinen kirjoitetn se jkomuotoon: Vihe. Yhtälön nimittäjässä j osoittjss olevien termien on oltv smss yksikössä, joten yhtälö on muunnettv muotoon: 78e 6m 78e 6m Xe cm Xe 0,0m Copyright Isto Jokinen 011

40 SUORAAN VERRANNOLLISUUS Vihe. Yhtälö rtkistn. Keinon voidn käyttää ristiin kertomist j jkmist kunnes X-termi on yksin yhtälön toisell puolell osoittjss, ti siirtämällä X-termin knss smll puolell yhtälöä olev termi yhtälön toiselle puolelle. Sdn: 78e 6m Xe 0,0m 78e 0,0m 6m,9em Xe X 0, 6e 6m Lskemisen jälkeen on in mietittävä tuloksen järkevyyttä. Xe Copyright Isto Jokinen 011

41 KÄÄNTÄEN VERRANNOLLISUUS Kääntäen verrnnollisuudess tekijän ksvu iheutt toisen tekijän pienenemisen ksvun. Smoin tekijän pieneneminen iheutt toisen tekijän ksvun. Esimerkki 6. Jos bensiinin hint nousee sdn sitä smll rhmäärällä vähemmän. Stv bensiinimäärä voidn kirjoitt yhtälömuotoon: 1,9e1l 1, 9e Xl Copyright Isto Jokinen 011 Rtkisemll yhtälö sdn:

42 KÄÄNTÄEN VERRANNOLLISUUS Sdn: 1,9e 1l 1, 9e Xl Xl 1,9e 1l 1,9e X 0, 81l Copyright Isto Jokinen 011 Lskemisen jälkeen on in mietittävä tuloksen järkevyyttä.