PYRY LAMPINEN 2DOF PID -SÄÄDINTEN MODUULIKOKOELMA

Transkriptio

1 PYRY LAMPINEN 2DOF PID -SÄÄDINTEN MODUULIKOKOELMA Kandidaatintö Tarkastaja: DI Veli-Pekka Prhönen Tarkastaja ja aihe hvakstt

2 I TIIVISTELMÄ PYRY LAMPINEN: 2DOF PID -säädinten modlikokoelma Tampereen teknillinen liopisto Kandidaatintö, 3 siva, 0 liitesiva Maalisk 208 Atomaatiotekniikan koltsohjelma Pääaine: Ssteemitekniikka Tarkastajat: DI Veli-Pekka Prhönen Avainsanat: 2DOF PID, two degrees of freedom Tämän kandidaatintön tarkoitksena on ttsta 2DOF-rakenteella totetettihin PID-säätimiin eli säätimiin, jotka käsittelevät asetsarvoa ja mittasta eri tavalla tai mten totettavat snnitteln kaksi vapasastetta. Lisäksi tössä esitellään MATLABin Simlink-mpäristössä totetett 2DOF PID -säädinten modlikokoelma, joka koost seitsemästä erilailla totetetsta säätimestä. Tässä tössä käsitellään 2DOF PID -säädinten toimintaa ja erilaisia rakenteita. Käsiteltjä mallirakenteita ovat Feedback, Feedforward, Component-separate, Set-point lter, Filter and preceeded-derivative, 2-inpt-lter sekä Distrbance lter 2DOF PID -rakenteet. Yhteenvetona voidaan todeta säätöpiirin soritskvn parantvan merkittävästi kätettäessä 2DOF-rakennetta. 2DOF PID -säätimellä saadaan sekä hvä asetsarvoettä häiriövaste. Yhteenveto kandidaatintön tloksista on lvssa 7.

3 II ALKUSANAT Kandidaatintön kirjoitin vaihdossa Espanjassa, Valenciassa. Vimeisteln tein kitenkin vasta helmikssa tön tlosten esitteln jälkeen tästä saamani palatteen persteella. Eritisesti halan kiittää töni ohjaajaa Veli-Pekka Prhöstä. Sain paljon kehittävää palatetta tötä tehdessä ja sein sähköposteihini sain vastaksen Otlookin mkaan, aikaerosta johten, jopa ennen ksmstäni - siis alle tnnissa. Tämä teki tön kirjoittamisesta lkomailla erittäin lontevaa. Tötä kirjoittaessa saamastani testa halan mös kiittää perhettä ja tttavia, UPV:n kesksakion kahvilan henkilöstöä, sekä hviä stäviäni Espanjassa: Sebastiania, Leoa ja Andreaa. Tampereella, Pr Lampinen

4 III SISÄLLYS Johdanto PID-säätimen rakenne ja toimintaperiaate P-osa I-osa D-osa P- I- ja D-osat hdessä DOF PID -säädin DOF PID -säätimen totets Asetsarvopainotetn 2DOF PID -säätimen erilaiset mallirakenteet DOF PID -säädin asetsarvo- ja mittassotimella DOF PID -säädin häiriösotimella DOF PID -säätimen virits Säätöpiirin gang of 6 -fnktiot Säätimen kaksivaiheinen virits Tlosten esittel ja vertail Markkinoilla olevat 2DOF PID -säätimet ABB PID Mita kapallisia säätimiä Modlikokoelma Feedforward 2DOF PID Feedback 2DOF PID Component-separate 2DOF PID Filter and preceede-derivate 2DOF PID Set-point lter 2DOF PID inpt lter PID Distrbance lter 2DOF PID Yhteenveto

5 Lähteet IV

6 V KUVALUETTELO 2. PID-säädin P-säädin Feedforward 2DOF PID Feedback 2DOF PID Set-point lter 2DOF PID Filter and preceded-derivative 2DOF PID Component separate 2DOF PID PID-säädin kahdella sisääntlon sotimella PID-säädin häiriön mötäktkennällä Takaisinktkett järjestelmä 2 vapasasteella Askelvastekoe asetsarvosta prosessille (4.2) optimiparametreilla Askelvastekoe kormitshäiriöstä prosessille (4.2) optimiparametreilla Järjestelmän vahvists sisääntloista ohjakseeen Järjestelmän vahvists sisääntloista lostloon Alkeislohkokaavio: derivointilohko Alkeislohkokaavio: feedforward 2DOF PID Alkeislohkokaavio: feedback 2DOF PID Alkeislohkokaavio: component-separate 2DOF PID Alkeislohkokaavio: lter and preceeded-derivative 2DOF PID Alkeislohkokaavio: set-point lter 2DOF PID

7 VI 6.7 Alkeislohkokaavio: 2 inpt lter 2DOF PID Alkeislohkokaavio: distrbance lter 2DOF PID

8 VII TAULUKKOLUETTELO 4. Gang of six Optimiparametrit Kapallisia säätimiä 2DOF-rakenteella Modlien parametrit Tilamallissa kätett parametrit Totetett modlikokoelma

9 VIII LYHENTEET JA MERKINNÄT Lhenteet CHR DCS D-osa I-osa MATLAB PD PI PID PLC P-osa PID 2IF Simlink Chien-Hrones-Reswick PID-säätimen viritsmenetelmä Distribted Control Sstem Derivointiosa Integraalisäädin Matrix Laborator; The MathWorksin laskentaohjelmisto Proportional-Derivative Proportional-Integral Proportional-Integral-Derivative Programmable Logic Controller Proportionaalisäädin PID-säädin 2:lla sisääntlon sotimella MATLABin simlointimpäristö TISO Two-Inpt-Single-Otpt; järjestelmä, jossa on 2 sisääntloa ja DOF 2DOF lostlo -Degrees-Of-Freedom; vapasasteen järjestelmä 2-Degrees-Of-Freedom; 2 vapasasteen järjestelmä Merkinnät α a β C(s) C b (s) C r (s) C (s) C (s) d D(s) e F (s) F (s) F d (s) F r (s) F (s) G ed (s) P-osan asetsarvopaino Askelfnktion srs D-osan asetsarvopaino Säätimen siirtofnktio Feedback-säätimen feedback-haaran siirtofnktio PID 2IF -säätimen asetsarvosäädin PID 2IF -säätimen mittassäädin Feedback-säätimen erosrehaaran siirtofnktio Häiriö Derivoivan sotimen siirtofnktio Erosre (eng. error) Set-point lter -säätimen sotimen siirtofnktio Filter and preceded-derivative -säätimen sotimen siirtofnktio Häiriösodin PID 2IF -säätimen asetsarvosodin PID 2IF -säätimen mittassodin Siirtofnktio häiriöstä erosreeseen

10 IX G er (s) G d (s) G r (s) H(s) K k K d K i K p K,2,3 L,2,3 λ(s) N n ω p P (s) P,2,3 (s) r s T d T f T i T,2,3 b d (t) (t) v x m Y (s) (t) Siirtofnktio asetsarvosta erosreeseen Siirtofnktio häiriöstä järjestelmän lostlon mittakseen Siirtofnktio asetsarvosta järjestelmän lostlon mittakseen Yksikköaskelfnktion laplace-mnnos Prosessin DC-vahvists Sotimen vahvists Derivointihaaran vahvists Integrointihaaran vahvists P-osan vahvists Esimerkkijärjestelmän vahvists Esimerkkijärjestelmän viive Taajspainots virhen integraalissa Sotimen aikavakion laskssa kätett shdelk Mittaskohina Klmataajs Optimointiparametri Prosessin siirtofnktio Osaprosessin siirtofnktio Asetsarvo (eng. reference) Laplace-mnnoksen argmentti Derivointiaika Sotimen aikavakio Integrointiaika Esimerkkijärjestelmän aikavakio P-säätimen vakio-ohjas Häiriöstä johtva ohjas Säätimen ohjas Ohjassignaalin ja häiriön smma Järjestelmän todellinen lostlo Mitatt järjestelmän lostlo Prosessin lostlon laplace-mnnos Prosessin lostlo

11 JOHDANTO Teollisden prosessien takaisinktkett säätö on hvin leisesti totetett PIDsäätimellä, (eng. proportional-integral-dervative) ja on arvioit, että prosessiteollisdessa li 95% säätöpiireistä on totetett PID-tpin säädintä hödntäen. PID-säädin mahdollistaa integroivan säädön avlla tarkan säädön ja derivointiosan avlla voidaan mös ennakoida tlevia arvoja. [7] Viime aikoina säätöpiirien vaatimkset ovat kitenkin kasvaneet, ja vaatimkset hvälle vasteelle sekä asetsarvon että häiriöiden osalta on johtant siihen, että pelkän erosreen sijaan asetsarvoa ja mittasta käsitellään erikseen. [3, s. 40] Näin voidaan säädintä snniteltaessa kättää hväksi asetsarvon ja häiriön eri klkreittejä ohjakseen [4, s. 995]. Tästä snt nimits 2-degrees-of-freedom, lhennettnä 2DOF. Tämän tön tarkoitksena on perehdttää lkija 2DOF PID -säätimen rakenteisiin, virittämiseen sekä eroihin kahden vapasasteen säätimen ja tavanomaisen PIDsäätimen välillä. Säätimen virittämisestä on annett esimerkki, josta voidaan nähdä säätöpiirin vasteen parantvan merkittävästi perinteiseen säätimeen verrattna kätettäessä 2DOF-rakennetta. Tössä esitellään mös 7 modlin kokoelma erilaisista 2DOF PID -säätimistä totetettna MATLABin Simlink-mpäristöön. Nämä modlit ovat esiteltnä tössä ja niiden tilamallit on dokmentoit sekä tilamallit.mtiedostossa että Lvssa 6. Lvssa 2 kädään läpi PID-säätimen teoriaa ja sitä, kinka säätimen eri osat modostavat säädinkokonaisden. Kolmannessa Lvssa tarkastellaan 2DOF PID -säädintä, kerrotaan sen teoriasta ja esitellään 7 erilaista mallirakennetta säätimestä. Neljännessä Lvssa tarkastellaan säätimen viritstä, säätöpiirin soritskkä sekä annetaan esimerkki viritksestä ja verrataan saatja tloksia hden vapasasteen säätimen vastaaviin tloksiin. Lvssa 5 kädään läpi kapallisten 2DOF PID -säätimien ominaisksia. Lvssa 6 esitellään liitteenä oleva modlikokoelma sekä sen dokmentaatio. Lopksi Lvssa 7 tarkastellaan hteenvetona 2DOF-rakennetta sekä järjestelmän eroja tavanomaiseen DOF PID -säätimeen verrattna.

12 2 2 PID-SÄÄTIMEN RAKENNE JA TOIMINTAPERIAATE PID-säädin erilaisine variaatioineen on ksi leisimmin kätetistä säätimistä. Säätimen toiminta perst erosreen eli asetsarvon ja prosessin lostlosta saadn mitatn arvon eron poistamiseen ohjaamalla järjestelmää asetsarvon mkaiseen tilaan. Takaisinktkentään perstva säädin koost kolmen termin smmasta. Kvassa 2. on esitett kseinen säädin. Tässä Lvssa perehdtään PID-säätimen komponenttien ominaisksiin. P-osa eli proportionaalisäädin tottaa lineaarisen vahvistksen erosreesta. I-osa eli integraalisäädin integroi erosretta mahdollistaen tarkan säädön jopa epätarkalla mallilla. D-osa eli derivointisäädin tottaa ohjaksen erosreen derivaatasta parantaen säätimen soritskkä ennakoimalla hitaan järjestelmän dnamiikkaa ja oikein viritettnä vaimentamalla mten oskilloivaa järjestelmää. Tästä mös tlee säätimen nimi PID. Takaisinktketn säädön lähtökohtana on erosre e, joka saadaan seraavalla kaavalla e = r m, (2.) jossa e on erosre, r on asetsarvo ja m on lostlon mittas. Kaava (2.) sisältää oletksen mittasdnamiikan homioimisesta, mtta toistaiseksi mittasdnamiikka jätetään homioimatta, jolloin merkitään m =, jossa on järjestelmän lostlo P r + e + + I + Ssteemi D Kva 2. PID-säädin

13 2.. P-osa 3 homioimatta mittaksen epäideaalistta. 2. P-osa P-säädin eli proportionaalisäädin modostaa ohjaksen kertomalla erosreen proportionaalivahvistksella K p (t) = K p e(t) + b, (2.2) jossa b kvaa vakio-ohjasta, joka tpillisesti lisätään P-säätimeen kompensoimaan säätimen jatkvstilaan jäävää virhettä. Ilman vakio-ohjasta psttään päättelemään ohjaksen lähenevän nollaa erosreen lähentessä nollaa, mistä seraa säätövirhe, koska nollaohjaksella saavtetaan harvoin tarkkaa säätöä tasapainotilassa. Tätä virhettä voidaan arvioida tarkastelemalla takaisinktkettä järjestelmää. b r e K p Häiriö P (s) Kva 2.2 P-säädin Kvan 2.2 mkaisen säätimen siirtofnktio on K p ja prosessin siirtofnktio on P (s), jolloin siirtofnktioksi asetsarvosta lostloon G r (s) saadaan G r (s) = K pp (s) + K p P (s). (2.3) Yksikköaskelfnktiolle voidaan laskea tasapainotilassa virhe. Loparvoteoreeman mkaan saadaan tasapainotilan virheeksi ( ) = lim s 0 sy (s) (2.4) ( ) = G r (0) = lim s s 0 s + K p P (s) = + K p P (0) (2.5) jossa P (0) voidaan kirjoittaa motoon P (0) = K prosessin ollessa ei-integroiva. Tässä K on prosessin DC-vahvists. Koska askelfnktion Laplace-mnnos on a s, jossa

14 2.2. I-osa 4 a on askeleen srs, riipp virhe järjestelmän vahvistksesta K p K ja askeleen srdesta. Vahviststa lisäämällä virhe spist, mtta samalla säätöpiiristä tlee herkempi [8, s. 299]. Tätä jatkvstilan virhettä voidaan kompensoida hvin snnitelllla vakio-ohjaksella b, mtta vakio-ohjaksen valinta vaatii järjestelmän toiminta-aleen ja mallin tntemista. 2.2 I-osa Tpillisesti jri edellä esiin tlleen ongelman takia säädössä kätetään P-osan lisäksi I-osaa eli integroivaa säädintä jatkvstilan virheen poistamiseksi. Tämä mahdollistaa tarkan säädön modostamalla ohjakseen termin erosretta integroimalla. Integrointihaaran viritsparametrina on integrointiaika T i, jonka käänteislvlla kerrotaan I-haaran sisääntlo, jolloin ohjakseksi saadaan (t) = K p ( e(t) + T i ) e(τ)dτ. (2.6) Integraattorin lisääminen P-osan rinnalle poistaa tarpeen erilliselle vakio-ohjakselle, sillä integroitaessa erosretta mtt ohjas tarkemmaksi, knnes erosre on loplta 0. Integrointiaika vaikttaa siihen, kinka nopea vaste integraattorilla on. Pieni integrointiaika tekee integroinnista nopean, kn vastaavasti integrointiajan ollessa T i = toimii säädin kten pelkkä P-säädin. Toinen notaatio I-osan vahvistkselle on hdistää proportionaalivahvists ja integrointiaika, jolloin merkitään K i = K p T i. (2.7) Kaavan (2.5) tapaan voidaan PI-säätimelle johtaa vastaava lopparvon tarkastel ja todeta virheen spistvan pois, jolloin kaavan ( ) = + P (s)c(s) = lim s 0 + P (s)(k p + Kp ) = 0 (2.8) T i s mkaan saadaan tasapainotilan virheeksi 0. Kaavassa C(s) on säätimen siirtofnktio. Integraattori voi kitenkin tottaa ongelmia säätöpiirissä, jos ohjataan esimerkiksi toimilaitetta, joka voi satroita. Tällöin ohjas voi kasvaa sremmaksi kin toimilaite voi siihen reagoida. Esimerkkinä tästä ovat mn massa venttiilit. Tätä ktstaan windp-ilmiöksi, ja ilmiön ehkäisemiseksi on olemassa lkisia ratkaisja, mtta niitä ei käsitellä tässä tössä.

15 2.3. D-osa D-osa D-osa, eli derivoiva säädin, tottaa ohjaksen ennakoimalla derivaattaa hödntäen tlevaa erosretta. D-osa parantaa takaisinktketn järjestelmän stabiilitta [6, s. 69]. Tästä on hötä esimerkiksi hitaiden järjestelmien ohjaksessa, jolloin ohjaksen vaikts mittakseen on nähtävissä liian möhään sen korjaamiseksi. Derivoivan säädön avlla tämä voidaan ottaa homioon jo aikaisemmin. D-osan viritsparametri T d kvaa sitä, kinka pitkän ajan eteenpäin säädin ennstaa tlevaa arvoa. Ohjakseksi PD-säätimelle saadaan (t) = K p ( e(t) + T d d dt e(t) ), (2.9) jossa D-osa on esitett ideaalisena derivaattana. Kätännön sistä on kitenkin parempi kättää approksimaatiota derivaatasta. Tähän joht siitä, että phdasta derivointia ei voi totettaa millään fsisellä laitteella. Derivaatan määritelmä vaatii raja-arvotarkastela pisteen molemmin polin, mikä ei lonnollisesti ole mahdollista reaaliaikaisessa ohjaksen laskennassa. Lisäksi phdas derivaattori on epäaito ssteemi ja näin epästabiili. Sopivilla T d :n arvoilla D-säädin vaimentaa järjestelmää. Liian srilla arvoilla derivointi voi kitenkin tehdä järjestelmästä oskilloivan. Mös D-osan vahvists voidaan esittää kaavan (2.7) mkaisella merkintätavalla, jolloin vahvistkseksi K d saadaan K d = T d K p. (2.0) Derivoiva säädin vaatii eritistä homiota mös asetsarvon askelmaisten mtosten osalta. Oletettaessa derivoinnin olevan ideaalinen saadaan askelmaisen asetsarvon vasteeksi voimakas implssi. Mös korkeataajksinen mittaskohina voi aihettaa derivoitaessa ongelmia. Esimerkiksi derivoitaessa sinimotoista kohinaa sin(ωt), jossa ω on kohinan klmataajs, saadaan D-osan ohjakseksi d (t) = K p K d ω cos(ωt), (2.) josta voidaan nähdä ohjaksen vahvistvan klmanopeden kasvaessa [6, s. 76]. Edellä todettjen korkeataajisten signaalien ja askelmaisten asetsarvomtosten varalta derivoinnissa tlee kättää sodinta. Sotimella saadaan derivaatta, joka vastaa alipäästösotimella sodatetta signaalia. [8, s. 308]

16 2.4. P- I- ja D-osat hdessä 6 Kaavassa D(s) = s + T f s (2.2) olevan ensimmäisen kertalokan sotimen aikavakio T f valitaan tpillisesti niin, että aikavakioksi saadaan T f = N/T d, jossa N on 220. Tämän sodinratkaisn aikavakiota T f kätetään modlikokoelmassa sen käänteislkna merkinnällä k. Matalataajisille signaaleille sodin tottaa vahvistksen, joka on noin K d s, ja korkeataajisille signaaleille vahvistksen, joka on noin K d /T f. [8, s. 308] Derivoinnissa kätetn sotimen virittämisen ongelmana on kitenkin tämän vaiheen jättö, minkä takia olisi parempi ottaa sotimen virittäminen osaksi koko säätimen viritsparametrien snnittela. [4, s. 997] Sodin voidaan totettaa mös toisen kertalokan sotimena, jolloin derivointihaaran siirtofnktio on D 2 (s) = s + st f + (T f s) 2 /2. (2.3) Toisen kertalokan sodin parantaa derivointiosan soritskkä [4, s. 997] vaimentamalla sotimen ominaistaajden littäviä klmataajksia. kertalvn sodinta voimakkaammin. 2.4 P- I- ja D-osat hdessä Aiemmissa alilvissa esitett P- D- ja I-haarat hdistettäessä saadaan PID-säädin. PID-säätimestä voidaan tarvittaessa tehdä PI- tai PD-säädin, sillä T d ja T i voidaan asettaa niin, että haltt haara on pois kätöstä. Kaava ( (t) = K p e(t) + t T i 0 e(τ)dτ + T d d dt e(t) ) (2.4) sisältää kaikki edellä mainitt osat ja tästä on nähtävissä, kinka säädin on P-, I- ja D-osien smma. PID-säädin 2DOF-rakenteella sisältää tpillisesti mös kaikki edellä esitellt osat. Säätimen rakenne on tavanomaisessa PID-säätimessä ksinkertaisimmillaan. Tpillisesti esimerkiksi kapallisissa säätimissä on kitenkin lisänä paljon mita ominaisksia kten esimerkiksi Alalvssa 2.2 mainitt integraattorin windp-ilmiön torjnta.

17 7 3 2DOF PID -SÄÄDIN Aiemmassa Lvssa käsiteltiin leisesti PID-säätimen eri osien toimintaa. PIDsäätimen toiminta on shteellisen ksinkertainen, mistä on hötä säätimen totetksessa. Kitenkin säätimen ksinkertaiss johtaa viritettäessä rajoitteisiin, jotka voivat aihettaa ongelmia vaadittaessa hvää servo- ja reglointisoritskkä. Tavanomaisen PID-säätimen toiminta perst pelkän erosreen käsitteln. Monessa sovellksessa tämä on riittänt, sillä se mahdollistaa joko hvän häiriövasteen, hvän asetsarvovasteen tai kompromissin näiden väliltä. Jos asetsarvoa ei tarvitse mttaa sein, voidaan säädin virittää niin, että saadaan hvä häiriövaste. Tai käänteisesti, jos häiriöt eivät ole ongelma, voidaan säädin virittää asetsarvovaste etsijalla. PID-säätimen asetsarvo- ja häiriövasteet ovat molemmat samojen parametrien vaiktksen alaisia, joten vasteita mokatessa jodtaan ttmään kitenkin kompromissiratkaisn [4, s. 995, 005]. Nkisin hä seammassa sovellksessa vaaditaan parempaa soritskkä molemmille sekä asetsarvo- että häiriövasteelle. Snä tähän on mn massa kasvant robottien kättö teollisdessa, jolloin pelkkä reglointisoritskk ei riitä, vaan vaaditaan mös hvää asetsarvovastetta. Tähän ongelmaan on esitett ratkaisksi PID-säädintä, jossa erosreen sijaan ohjas modostetaan käsittelemällä erikseen asetsarvoa sekä prosessin lostlon mittasta. 2DOF PID -säädinten etna on mahdolliss virittää erikseen vaste sekä asetsarvolle että häiriöille. Näin voidaan saavttaa hvä häiriönsietokk sekä samalla pitää asetsarvovaste hvänä ilman erillisiä asetsarvosotimia tai rajoittimia. 3. 2DOF PID -säätimen totets PID-säätimelle voidaan totettaa 2DOF-rakenne lisäämällä tähän asetsarvosodin, totettamalla säädin asetsarvopainotksilla tai mttamalla säätimen asetsarvon ja mittaksen vaiktsreittiä. Esimerkiksi säätimen derivointiosa voidaan siirtää palhaaraan, jolloin derivoidaan prosessin lostloa. Näin voidaan välttää voimakkaat mtokset ohjaksessa, jotka aihetvat asetsarvon askelmaisesta mtok-

18 3.2. Asetsarvopainotetn 2DOF PID -säätimen erilaiset mallirakenteet 8 sesta. [4, s. 996] Vaihtoehtoisesti 2DOF PID -säädin on totetettavissa lisäämällä sodin häiriölle, jos häiriö on mitattavissa [4, s. 994]. Asetsarvopainotteisen 2DOF PID -säätimen parametreilla α ja β voidaan mokata asetsarvon vaiktsta P- ja D-osiin, jolloin ohjas on ( (t) = K p αr(t) (t) + t T i 0 d ( ) ) e(τ)dτ + T d βr(t) (t). (3.) dt Esimerkiksi asetettaessa β = 0, α = saadaan asetsarvon vaikts ohjakseen vastaamaan DOF PI -säädintä. Osana tätä kandidaatintötä teht modlikokoelma sisältää 7 erilaista totetsta 2DOF PID -säätimestä, jotka ovat esitelt seraavissa alilvissa. Modlit on totetett sekä Simlink-alkeislohkokaavioina että tilamalleina ja niiden totets sekä tilamallit esitellään Lvssa Asetsarvopainotetn 2DOF PID -säätimen erilaiset mallirakenteet Tässä alalvssa kädään läpi 5 erilaista totetsta 2DOF PID -säätimestä, jossa kahden vapasasteen rakenne saavtetaan asetsarvopainotksilla. Nämä totetkset ovat kitenkin vain erilaisia esitsmotoja samasta säätimestä ja ovat keskenään vaihdettavissa. [4, s. 403] Kaikissa malleissa on sisääntlo asetsarvolle r ja mittakselle sekä lostlona ohjas. Nimits sekä rakenne näille modleille on peräisin Arakin ja Tagchin artikkelista Two-Degrees-of-Freedom PID Controllers [3]. Kaikissa esiteltävistä säätimissä on sovellett kaavan (2.2) mkaista alipäästösotimesta johdetta derivointia, jota tllaan merkitsemään D(s). Malleissa säädin on totetett mokkaamalla tavallisen PID-säätimen rakennetta lisäämällä siihen sodin tai vaikttamalla mten asetsarvoon P- ja D-osissa, joissa asetsarvon kerroin on tpillisesti ( α) P-osalle ja ( β) D-osalle. C f (s) r + + e + + C(s) d + P (s) Kva 3. Feedforward 2DOF PID

19 3.2. Asetsarvopainotetn 2DOF PID -säätimen erilaiset mallirakenteet 9 Kvassa 3. esitetään feedforward-tpin säädin. Tässä mallissa 2DOF-rakenne saadaan lisäämällä mötäktkentä asetsarvosta. Asetsarvopainotksilla voidaan mokata P- ja D-osan vastetta asetsarvomtoksiin säätimessä C f (s), jonka siirtofnktio on C f (s) = K p ( α + βtd D(s) ). (3.2) Modlin varsinainen säädin C(s) vastaa kaavaa (2.4), josta derivointiosa on korvatt kaavan (2.2) sotimella, jolloin säätimen C(s) siirtofnktio on C(s) = K p ( + T i s + T dd(s) ). (3.3) r + e C + + (s) + d + P (s) d r F (s) + e C(s) P (s) C b(s) Kva 3.2 Feedback 2DOF PID Kva 3.3 Set-point lter 2DOF PID Kvassa 3.2 esitetään feedback-tpin säädin. Tässä erilainen vaiktsreitti asetsarvolle ja mittakselle saadaan hödntämällä takaisinktkentää mittaksesta. Säätimen siirtofnktiot ovat ( C b (s) = K p α + βtd D(s) ) (3.4) ja C (s) = K p ( ( α) + T i s + ( β)). (3.5) Kvassa 3.3 on asetsarvosotimella totetett set-point lter -tpin ratkais, jossa sotimen siirtofnktio on F (s) = + ( α)t is + ( β)t i T d sd(s). (3.6) + T i + T i T d sd(s) Tässä säätimen siirtofnktio on kaavan (3.3) mkainen. d r F + e (s) Kp TIs + TDD(s) P (s) β + T DD(s) r + + α + + T I(s) + K p d + + P (s) Kva 3.4 Filter and preceded-derivative 2DOF PID Kva 3.5 Component separate 2DOF PID

20 3.3. 2DOF PID -säädin asetsarvo- ja mittassotimella 0 Kvassa 3.4 esitetään lter and preceded-derivative -tpin säädin. Tämä modost asetsarvosotimesta sekä mittaksesta takaisinktketstä derivointilohkosta. Sotimen F (s) siirtofnktio on F (s) = + ( α)t is + ( β)t i T d sd(s) + T i. (3.7) Viimeisenä rakenteena kvassa 3.5 esitetään component separate -tpin säädin. Tässä jokainen osa on omassa haarassaan ja ennen erosreen modostamista asetsarvolle annetaan P- ja D-osien haaroissa omat painotkset DOF PID -säädin asetsarvo- ja mittassotimella Víctor Alfaro ja Ramon Vilanova esittivät artikkelissaan PID-säätimen asetsarvoja mittassotimella (eng. Two Inpt Filter PID, PID 2IF ), jossa sekä asetsarvo että mittassignaali sodatetaan ennen säädintä. Näin erilaiset klkreitit asetsarvolle sekä häiriölle tlee sodinrakenteiden eroista. [] r r F r (s) + C r (s) d + + P (s) F (s) C (s) + + n Kva 3.6 PID-säädin kahdella sisääntlon sotimella Kvassa 3.6 esitellään PID-säädin kahdella sisääntlolla ja sotimella. Tässä sotimen F r siirtofnktio on F r (s) = σt rs + (T r s + ) 2, (3.8) jossa T r on sotimen aikavakio ja σ on erillinen viritsparametri. Sotimen F siirtofnktio saadaan kaavasta jossa T f on sotimen aikavakio. F (s) = T f s +, (3.9)

21 3.3. 2DOF PID -säädin asetsarvo- ja mittassotimella Kaavan (3.8) sodin poistaa askelmaiset asetsarvomtokset. Näin ohjaimen lostloon ei snn voimakkaita mtoksia asetsarvoa mttaessa. [2, ] Mittassodin F on esitett ensimmäisen kertalokan mkaisena. Kten Alalvssa 2.3 todettiin, tlisi säätimessä kättää toisen kertalokan sodinta, jos säätimessä kätetään derivointia. Toisen kertalokan sotimella siirtofnktio vastaavasti on F = + T f s + (T f s) 2 /2. (3.0) Sotimien aikavakion snnittelssa tlisi aikavakio pitää homattavasti pinempänä kin T i ja T d, ettei sotimen vaihejättö vaikttaisi säätöpiiriin [4, s. 997]. Kitenkin esimerkiksi säädintä virittäessä kätettäessä napojen asettela voidaan PI-säätimen nolla kmota ensimäisen kertalvn sotimella asettamalla aikavakio T f = T i [4, s. 995]. Jatkva-aikaisessa säädössä sotimen aikavakiolla ei ole alarajaa, mtta lärajaksi PI- ja PID -säätimelle sositellaan T f + 2T d T f T i, tai (3.) 4T 2 d T i T d, (3.2) joista ensimmäinen on PI-säätimelle ja jälkimmäinen PID-säätimelle. [5, s. 4996] Säätimien siirtofnktiot ovat C r (s) = K p + T i s + γt ds (3.3) ja C (s) = K p + T i s + T ds. (3.4) Kaavassa (3.3) oleva γ on derivoinnin valitsin, joka voi saada arvoksi joko 0 tai. Tpillisesti valitaan γ = 0, jolloin derivointi ei aiheta voimakasta ohjasmtosta askelmaisessa asetsarvon mtoksessa. Tällöin kaava (3.3) spist motoon C r (s) = K p + T i s. (3.5) PID 2IF -säätimellä asetsarvon askelmainen mtos ei tota välittömästi vaiktsta ohjakseen, vaan ohjas mtt pehmeästi sotimen takia. Tämä on tärkeä ominaiss mn massa teollisien prosessien ohjaksessa, jossa voimakkaat ohjasmtokset voivat aihettaa toimilaitteen liiallista klmista tai ongelmia jär-

22 3.4. 2DOF PID -säädin häiriösotimella 2 jestelmän missa prosesseissa. [, s. 8288] Valitsemalla α = 0 ja β = 0 voidaan tätä mkailla mös asetsarvopainotksellisella säätimellä. Ongelmana on kitenkin, että järjestelmän 2DOF-rakenne ei ole tällöin enää kätettävissä. [2, s. 8] Voidaan todeta, että PID 2IF -säätimelle on tpillistä rahallisempi vaste asetsarvomtoksiin. PID 2IF -säädin vaimentaa lisäksi tehokkaasti mittassignaalia feedbacksotimen ansiosta. Kten Alalvssa 2.3 todettiin, on säätimen snnittelssa otettava sodin homioon. Saman homion esittivät mös Alfaro ja Vilanova [, s. 8288] DOF PID -säädin häiriösotimella PID-säätimen 2DOF-rakenne voidaan totettaa mös mittaamalla prosessiin vaikttavaa häiriötä ja kompensoimalla sen vaiktsta sotimen avlla. Tämä menetelmä vaatii häiriön mittasta ja riittävää tietoa häiriön vaiktksen dnamiikasta prosessiin. d F d (s) P 3 (s) r C(s) P (s) P 2 (s) Kva 3.7 PID-säädin häiriön mötäktkennällä Kvassa 3.7 nähdään, kinka häiriölle on oletett oma vaiktksensa prosessin P 3 katta. Säätimenä voidaan kättää tavanomaista PID-säädintä ja toinen vapasaste saadaan sotimen avlla. Sodin pritään snnittelemaan niin, että häiriön vaiktkset järjestelmään saadaan kmotta. Ideaalinen häiriösodin totettaisi htälön P 3 d + P F d d = 0, (3.6) josta voidaan johtaa ratkaista F d. Sotimen siirtofnktioksi saadaan F d = P 3 P, (3.7) jolloin häiriön vaikts kmotisi täsin. Kaavan 3.7 totets ei kitenkaan ole mahdollinen, vaan voi johtaa epäaitoon tai ennstavaan malliin, jota ei voida totettaa [4, s. 999].

23 3.4. 2DOF PID -säädin häiriösotimella 3 Häiriökompensaattorille on esitett ratkaisa, jossa ensin määritetään sotimen vahvists avoimen järjestelmän askelkokeilla häiriöstä lostloon. Tämän jälkeen totetetaan sodin lead-lag -rakenteella. [4] Hägglndin artikkelissa [4] oletetaan järjestelmän siirtofnktioiden olevan motoa P = K e sl + st, P 2 = K 2e sl2 + st 2, P 3 = K 3e sl3 + st 3. (3.8) Tällöin kaavan (3.7) mkaan saadaan sotimen siirtofnktioksi F d = K 3 K + st + st 3 e s(l 3 L ), (3.9) jossa K, T ja L ovat prosessikohtaisia parametreja. Ongelmaksi modost sotimen totettaminen, jos L > L 3, mikä tarkoittaisin ei-kasaalista siirtofnktiota. Yleinen ratkais ei-kasaalisen siirtofnktion välttämiseksi on viiveiden jättäminen pois [4, s. 000], jolloin siirtofnktioksi tlee F d = P 3 P = K 3 K + st + st 3. (3.20) Esimerkkinä järjestelmälle, jonka siirtofnktiot ovat P = e 2s + 2s, P 2 = + s ja P 3 = e s + s, (3.2) saadaan kaavasta (3.20) sodin, jonka siirtofnktio on F d = + 2s + s. (3.22) Säädin käsittelee siis asetsarvoa ja mittasta samalla tavalla, mtta lo toisen vapasasteen snnitteln korjaamalla ohjasta häiriösotimen avlla. Säätimeen on mahdollista lisätä esimerkiksi Alalvssa 3.3 esitellt asetsarvo- ja mittassotimet.

24 4 4 2DOF PID -SÄÄTIMEN VIRITYS Takaisinktkettjen järjestelmien haittapolena voidaan mainita takaisinktkennän heikentävä vaikts järjestelmän stabiiliteen honosti viritettnä. Epästabiilidella tässä htedessä voidaan tarkoittaa erosreen hallitsematonta kasva. Stabiilidella kvataankin, kinka järjestelmä pst palatmaan transienttitilasta esimerkiksi ohjasmtoksen tai pertrbaation, kten esimerkiksi kormitshäiriön, seraksena. Lisäksi prosessimallin mtokset tai epätarkks ovat keskeisessä roolissa säädintä snniteltaessa [7, s. 8]. Säätimen viritksellä on sri merkits järjestelmän stabiiliteen. 2DOF PID -säätimen virits poikkeaa jonkin verran tavanomaisen PID-säätimen viritksestä erillisten viritsparametrien seraksena. Kten tavanomaisenkin säätimen virittämiseen on mös 2DOF PID -säätimen virittämiseen seita erilaisia tapoja. Alalvssa 4. kädään läpi säätimen soritskvn tarkastela 6 oleellisen siirtofnktion avlla. Alalvssa 4.2 esitellään asetsarvopainotteisen säätimen kaksivaiheinen virits, ja viritsmenetelmällä saatja tloksia tarkastellaan Alalvssa Säätöpiirin gang of 6 -fnktiot Tässä Alalvssa kädään läpi ksi oleellista siirtofnktiota, jotka vaikttavat säätöpiirin stabiiliteen. Kvassa 4. on esitett set-point lter -tpin säädintä vastaava rakenne. Tässä säätimen modostaa lohkot F ja C. Säätimen sisääntloina on mitatt prosessin lostlo sekä asetsarvo r. Prosessin sisääntloiksi oletetaan oh- d n + + r + e + v x + F (s) C(s) P (s) Kva 4. Takaisinktkett järjestelmä 2 vapasasteella

25 4.. Säätöpiirin gang of 6 -fnktiot 5 jaksen ja häiriön d smma v. Häiriöllä voi olla mitakin vaiktsreittejä, kten Alalvssa 3.4 oletettiin, mtta tässä Alalvssa on oletett häiriön vaikttavan vain prosessin sisääntlon katta. Järjestelmässä on kolme lkoista sisääntloa. Lisäksi järjestelmän lostlo x, lostlon mittas ja säätimen ohjas ovat kiinnostavia signaaleita säätöpiirin soritskkä arvioitaessa. [7, s. 97] Näihin signaaleihin voidaan modostaa sisääntlojen Laplace-mnnoksista erilliset fnktiot, jotka smmaamalla saadaan kseinen signaali. Näin saadaan rhmä siirtofnktioita X = P CF + P C R P C + P C N + P + P C D U = CF + P C R C + P C N P C + P C D Y = P CF + P C R + + P C N + P + P C D, (4.) josta on nähtävissä, kinka edellä mainitt signaalit modostvat. Tarkasteltaessa saatja siirtofnktioita voidaan homata, että osa näistä on samoja. Näin jäljelle jää loplta 6 siirtofnktiota eli niin ktstt gang of six, jotka kvaavat järjestelmän kättätmistä. Talkko 4. Gang of six R N D X P CF + P C P C + P C P + P C U Y CF + P C P CF + P C C + P C + P C P C + P C P + P C Talkkossa 4. on korostett järjestelmää kvaavat 6 sisääntlojen fnktiota. Ensimmäisen vaakarivin fnktiot kvaavat sisääntlojen vaiktsta järjestelmän lostloon, toisella rivillä fnktiot kvaavat sisääntlojen vaiktsta ohjakseen ja kolmannella vaakarivillä sisääntlojen vaiktsta järjestelmän lostlon mittakseen. Sisääntlot ovat omilla sarakkeillaan. Talkossa jo esiintneet fnktiot ovat harmaalla. Näistä fnktioista voidaan homata, että ensimmäisen sarakkeen fnktiot spistvat vastaamaan jo esitettjä fnktioita, kn F =. Tällöin jäljelle jää vain 4 erillistä sisääntlojen fnktiota. Tämä havainnollistaa, kinka 2 vapasteen järjestelmässä asetsarvovaste voidaan snnitella eroamaan häiriövasteesta. Järjes-

26 4.2. Säätimen kaksivaiheinen virits 6 telmälle voidaan ensin snnitella haltt häiriövaste säätimellä C(s) kiinnittäen homiota järjestelmän mahdollisiin häiriöihin sekä robstiteen ja tämän jälkeen asetsarvovaste sotimella F [7, s. 00]. Tpillisesti säätöpiirin soritskvstä phttaessa tarkastellaan järjestelmän askelvastetta asetsarvosta prosessin lostloon. Järjestelmän kokonaisvaltaiseen kvaamiseen vaaditaan kitenkin kaikkia ktta fnktiota, jos kseessä on 2 vapasasteen järjestelmä. [7, s. 98] Fnktioiden avlla voidaan tarkastella esimerkiksi eri vaiktsreittien askel- ja taajsvastetta. Tämän jälkeen F (s) voidaan snnitella niin, että asetsarvovaste saadaan vastaamaan vaatimksia. Lisäksi sein kiinnostksen kohteena on mös ohjaksen srs, jolle voi olla mn massa toimilaitteiden asettamia rajoitksia. 4.2 Säätimen kaksivaiheinen virits Araki ja Tagchi esittävät artikkelissaan [3] kaksivaiheisen viritsmenetelmän. Menetelmän ensimmäisessä vaiheessa viritetään häiriövaste haltksi parametrien K i, K p ja K d avlla. Seraavassa vaiheessa viritetään vastaavasti asetsarvovaste 2DOFparametrien α ja β avlla. Tarkasteltaessa järjestelmää kätetään seraavaa prosessimallia P (s) = + s e 0,2s. (4.2) Viritksessä kätetään apna aikapainotteista virheen neliön integraalia, joka saadaan kaavalla J[λ, p; H(s)] = 0 { d p H(s) λ(ω) ds p }s=jω 2 dω. (4.3) Kaavassa (4.3) kvataan aikapainotteista virheen neliön integraalia (eng. sqared time-weighted integral error), joka on leisesi kätettnä kirjallisdessa PID-säädintä virittäessä [3, s. 408]. Tässä H(s) kvaa ksikköaskelfnktion tottamaa vastetta joko häiriöstä säätimen lostloon G xd (s) s tai asetsarvosta erosreeseen G er(s) s. Edellä mainitt kaksi siirtofnktiota ovat mös osa 6 siirtofnktion (gang of six ) jokkoa, jotka kvaavat säätöpiirin soritskkä. Termi λ(s) to mkaan aikapainotksen, jonka avlla voidaan vähentää korkeampien taajksien vahviststa säätöpiirissä. Kokeellisesti saatjen tlosten persteella arvoilla λ(ω) = ω /4, p = 2 saavtetaan alle 20% lits ja vähintään htä hvä asettmisaika kin CHR-menetelmällä (Chien-Hrones-Reswick). [3, s. 408]

27 4.3. Tlosten esittel ja vertail 7 Edellä esitettä virheen neliön integraalia voidaan kättää säätimen virittämiseen etsimällä parametrit K p, K i ja T d niin, että minimoidaan kaavan (4.3) tlos. Ensimmäisessä vaiheessa sijoitetaan H(s):n tilalle G ed (s)/s, jossa siirtofnktio G ed saadaan kaavalla G ed (s) = G d (s). (4.4) Toisessa vaiheessa minimoidaan integraali 4.3 sijoittamalla G er (s)/s, joka saadaan kaavalla G er (s) = G r (s). (4.5) Tässä vaiheessa etsitään viritsparametreille α ja β arvot, joilla virheen neliön integraali saadaan minimoita. Näiden vaiheiden tloksena saadaan säätimelle viritsparametrit, jotka tättävät edellä esitett tehokksominaisdet. 4.3 Tlosten esittel ja vertail Prosessille (4.2) saadaan Alalvssa 4.2 esitellllä viritsmenetelmällä tlokseksi talkon 4.2 mkaiset optimiparametrit. Optimiparametreilla nosajaksi saadaan Talkko 4.2 Optimiparametrit α β K p K i K d 0,6 0,64 6,32 0,40 0,08 0,26s, asetsajaksi,22 ja litkseksi 4,9%. Askelvastekoe on nähtävissä kvassa 4.2. Järjestelmän vaste askelmaiselle kormitshäiriölle on esitett kvassa Askelvastokoe DOF- ja 2DOF-rakenteella DOF 2DOF 0.2 Häiriön askelvaste Aika (seconds) Kva 4.2 Askelvastekoe asetsarvosta prosessille (4.2) optimiparametreilla Aika (seconds) Kva 4.3 Askelvastekoe kormitshäiriöstä prosessille (4.2) optimiparametreilla Esimerkissä ei ole vielä tarkastelt gang of six -siirtofnktioiden vasteita. Nämä olisi

28 4.3. Tlosten esittel ja vertail 8 hvä tarkistaa mös lopptloksen varmistamiseksi, vaikka askelvastekokeesta saataisiin vaatimsten mkainen soritskk. Kvissa 4.4 ja 4.5 on esitettnä gang of 60 Gang of six ohjas 20 Gang of six lostlo 40 0 r -> d -> n -> Magnitdi (db) 0-20 Magnitdi (db) r -> d -> n -> Taajs (rad/s) Taajs (rad/s) Kva 4.4 Järjestelmän vahvists sisääntloista ohjakseeen Kva 4.5 Järjestelmän vahvists sisääntloista lostloon six -siirtofnktioiden vahvistkset eri taajksilla. Eritisesti voidaan homata korkeataajisen mittaskohinan kohtalainen vahvists ohjakseen. Tämä voi tottaa ongelmia, jos mittaksessa esiint kohinaa. Tarvittaessa ongelmaa voidaan korjata sopivan sotimen avlla. Kvasta 4.5 voidaan kitenkin havaita, että prosessi itsessään vaimentaa korkeataajisia signaaleja, mtta mittaskohinan vahvists jää silti varsin korkeaksi. Verratessa kvan 4.2 askelvasteita sekä 2DOF- että DOF-rakenteella voidaan havaita, että optimihäiriövasteelle mitoitett parametrit tottavat DOF-säätimen tapaksessa homattavasti sremman litksen ja asettmisajan asetsarvon askelmaisessa mtoksessa. Häiriövaste molemmilla järjestelmillä on identtinen, mikä voidaan todeta jo tarkastelemalla talkosta 4. häiriön vaiktsta lostloon. Kvassa varsinkin DOF PID-säätimellä järjestelmän epävakaa lostlo joht järjestelmässä olevasta 0,2 s viiveestä. Samoin kvissa 4.4 ja 4.5 ilmenevä taajsvasteen jaksolliss korkeilla taajksilla joht järjestelmän viiveestä.

29 9 5 MARKKINOILLA OLEVAT 2DOF PID -SÄÄTIMET 2DOF PID -säätimen ominaisksien hödntämiseksi tät pstä tnnistamaan kapalliset säätimet, joissa on kseinen rakenne. Tässä Lvssa perehdtään erilaisiin ratkaisihin, joita kapallisissa säätimissä on kätett. Lisää säätimiä löt V.M. Alfaron ja R. Vilanovan kirjan Model-Reference Robst Tning of PID Controllers [2] lvsta.. Tässä Lvssa esitellt säätimet on esitett kirjan tietojen pohjalta. On stä homioida, että vaikka kirja on vodelta 206, voivat säätimet olla tätä vanhempia. Kapallisia säätimiä 2DOF-rakenteella löt rnsaasti markkinoilta. Monien valmistajien säätimissä on kitenkin niiden datalehdissä varsin vähän tietoa itse mallista, mikä todennäköisesti joht valmistajien halsta pitää omat ratkaisnsa salassa. Tästä sstä mös tässä kandidaatintössä markkinoilla olevista säätimistä phtaan vain lhesti. Tässä Lvssa kädään läpi mtamia DCS (distribted control sstem) ja PLC (programmable logic controller) säätimiä 2DOF-rakenteella. On homattava, että parametrien ja säädinten nimeäminen on varsin valmistajakohtaista, josta seraa hieman poikkeava termistö. 5. ABB PID0 PID0 on AAB:n Extended Atomation Sstem 800xA -järjestelmän osa takaisinktkettn prosessin ohjakseen. ABB:n säädin kättää skaalatta erosretta, joka saadaan kaavasta ( ) OUTmax OUT min Dev = (MV W SP ). (5.) MV max MV min Säätimen siirtofnktio on tällöin U = Gain(βW SP MV + Dev + st d Dev). (5.2) st i + st F

30 5.2. Mita kapallisia säätimiä 20 Kaavoissa W SP on asetsarvo, MV mittas ja T f derivointisotimen aikavakio. Säätimen derivointi voidaan ktkeä tarvittaessa pois asetsarvohaarasta. Derivoinnille ei ole kitenkaan asetsarvopainotsta. 5.2 Mita kapallisia säätimiä Säätimet, jotka kirjassa esitellään, totettavat pääasiassa lvn 3.2 mallirakenteen lisäten tähän omia totetksiaan. Kapallisia säätimiä on koott talkkoon 5.. Talkko 5. Kapallisia säätimiä 2DOF-rakenteella Säädin PID0 Delta V S.2PID LabVIEW Advanced PID valmistaja ABB Emerson Process Management rakenne 2DOF parametrit Derivointi Sodin asetsarvolle Sodin mittakselle Mitsbishi Electric National Instrments Basic PID block 0 OMRON Asetsarvopainotteinen β α, β α m, β m β, γ α, β. kertalvn sodin. krtl.. krtl.. krtl. Talkosta voidaan homata, että kaikissa näissä säätimissä on 2DOF-rakenne totetett asetsarvopainotksilla. Osassa säätimistä ei ole mahdollistta säätää kin P-osan painotsta jolloin säädin derivoi vain mittasta. Osassa säätimistä on mös mahdollista valita erikseen toiminta mös DOF-rakenteella. Esimerkiksi Emerson Process Managementin Delta V -säädin toimii sekä DOF- että 2DOF-tilassa. 2DOF-tilassa Delta V:n rakenne vastaa lvn 3.2 asetsarvopainotetta säädintä. Säätimien asettaminen DOF-tilaan pitäisi olla kitenkin mahdollista missakin säätimissä valitsemalla viritsparametrien α ja β arvoiksi 0. Lisäksi säätimeen on mahdollista lisätä. kertalvn sodin mittakseen ja asetsarvosodin painotksilla.

31 2 6 MODUULIKOKOELMA Lvssa 3 esitetistä 2DOF PID -säätimen 7 rakenteesta totetettiin tätä tötä tehdessä alkeislohkokaaviomallit MATLABin Simlink-mpäristössä. Jokainen rakenne on tallennettna erilliseen tiedostoon. Mallit ovat kkin pienennettnä omaksi osajärjestelmäksi (eng. sbsstem). Mallin selkeden takia mös derivoinnissa kätett kaavan (2.2) mkainen sodin on omana osajärjestelmänään. Modlit esitetään tässä dokmentoitina kvina sekä tilamalleina. Jokaisen matriisin alla on, mikä tilamallin ẋ = Ax + B = Cx + D (6.) matriisi on kseessä (A, B, C vai D). Talkkoon 6. on koott modlien vaatimat parametrit sekä selitkset niille. Lisäksi kvassa 6. esitetään modleissa pienennettnä oleva derivointilohko. Talkko 6. Modlien parametrit Parametri Smboli Kvas a α P-osan painots b β D-osan painots Kp K p Proportionaalivahvists Ti T I Integrointiaika Td T D Derivointiaika k k Derivointisotimen aikavakion käänteislk Ki K i I-osan vahvists Kd K d D-osan vahvists Tr T r Asetsarvosotimen aikavakio T T Mittassotimen aikavakio sigma σ Asetsarvosotimen viritsparametri K K Prosessin vahvists K3 K 3 Prosessin 3 vahvists T T Prosessin aikavakio T3 T 3 Prosessin 3 aikavakio

32 6.. Feedforward 2DOF PID Feedforward 2DOF PID ẋ = = k k [ ] k k C A x + x + βk d k 0 K i K i K d k K d k [ ] ( β)k d k K d k K p +( α)k p B D = [ ] r X x = X2 X3 (6.2) x k x' s Kva 6. Alkeislohkokaavio: derivointilohko b Kd Approximate derivative (X) - a Kp Ki s X2 r Kp 2 Kd Approximate derivative (X3) Kva 6.2 Alkeislohkokaavio: feedforward 2DOF PID

33 6.2. Feedback 2DOF PID Feedback 2DOF PID ẋ = = k k [ ] k k C A x + x + ( β)k d k ( β)k d k K i K i 0 βk d k [ ] ( β)k d k K d k K p +( α)k p D B = [ ] r X x = X2 X3 (6.3) Ki s X2 -b Kd Approximate derivative (X) r -a Kp b Kd Approximate derivative (X3) 2 a Kp Kva 6.3 Alkeislohkokaavio: feedback 2DOF PID

34 6.3. Component-separate 2DOF PID Component-separate 2DOF PID ẋ = k A x + ( β)k dk K i K d k K i B = [ ] k C x + [ ] ( β)k d k K d k K p +( α)k p D (6.4) = r x = X X2 -b Kd In Ot (X) -b Approximate derivative r -a -a Kp Ki s X2 2 Kva 6.4 Alkeislohkokaavio: component-separate 2DOF PID

35 6.4. Filter and preceede-derivate 2DOF PID Filter and preceede-derivate 2DOF PID ẋ = k ( β)t d k /T i k 0 kk i (a ( β)t d k)k i 0 0 A x + ( β)t d k 0 /T i 0 0 K d k (( β)t d k + a)k i K i B (6.5) = [ ] k K p (( β)t d k a)k p k C x + [(( β)t d k + a)k p K d k K p ] D = X r X2 x = X3 X4

36 6.5. Set-point lter 2DOF PID 26 Td -b (X) Approximate derivative Kp -a Ki s X4 r /Ti s X2 2 Kd Approximate derivative (X3) Kva 6.5 Alkeislohkokaavio: lter and preceeded-derivative 2DOF PID 6.5 Set-point lter 2DOF PID Set-point lter -tpin säätimen tilamallin sisältämien monimtkaisten htälöiden takia on talkossa 6.2 esitett pisimmät htälöt ja annet niitä vastaavat merkinnät, joilla kseinen htälö ilmaistaan kssakin matriisissa. Talkko 6.2 Tilamallissa kätett parametrit Merkintä Kaava D g = ( kt d +kt d ) A 3 = ((kd g T d k k)( β) + kd g ( α))k d k A 23 = ( D g (( α) + T d k( β)))k d k A 4 = ((kd g T d k k)( β) + kd g ( α))k i A 24 = ( D g (( α) + T d k( β)))k i B 3 = D g (( α) + T d k( β))k d k B 4 = D g (( α) + T d k( β))k i C = ((kd g T d k k)( β) + kd g ( α))(k p + K d k) C 2 = ( D g (( α) + T d k( β)))(k p + K d k) D = D g (( α) + T d k( β))(k p + K d k)

37 6.5. Set-point lter 2DOF PID 27 ẋ = kd g T d k k D g T d k 0 0 kd g /T i D g /T i 0 0 A 3 A 23 k 0 A 4 A A x + D g T d k 0 D g /T i 0 B 3 K d k B 4 K i B = [ ] C C 2 k C x + [D K d k K p ] D = X r X2 x = X3 X4 (6.6) -a Kd (X3) r -K- /Ti s X2 Kp Approximate derivative Td k -b Ki s X4 k X s 2 Kva 6.6 Alkeislohkokaavio: set-point lter 2DOF PID

38 inpt lter PID inpt lter PID ẋ = 2/T r /Tr /T 2/T /T 0 0 σk i K i /T r 0 K i 0 A x + /T r /T B = [ ] σk p K p /T r K d /T K p C x = X X2 r x = X3 X4 X5 (6.7) r /Tr s X sigma s X2 /Tr Kp 2 Ki s X5 2 /T 2 X3 /T s s X4 Kd Kva 6.7 Alkeislohkokaavio: 2 inpt lter 2DOF PID

39 6.7. Distrbance lter 2DOF PID Distrbance lter 2DOF PID Tässä modlissa on homioitava, että säädinrakenteessa on olets prosessimallista, mikä on esitelt tarkemmin Alalvssa 3.4 ẋ = /T k A x K 3 /(K T 3 ) K i K i 0 K d k K d k 0 B = [ ] k C x + [K p + K d k K p K d k K 3 T /K ] D = r d X x = X2 X3 (6.8) T d K3/K /T3 s X Ki s X2 2 r Kp 3 Kd k X3 s Kva 6.8 Alkeislohkokaavio: distrbance lter 2DOF PID

40 30 7 YHTEENVETO PID-säätimen ominaisdet mttvat merkittävästi totetettaessa säädin 2DOFrakenteella. Alalvssa 4.2 häiriöoptimin säätimen asetsarvovaste saatiin homattavasti paremmaksi 2DOF-rakenteella. Tavanomaisella PID-säätimellä voidaan ttä joko hvään asetsarvovasteeseen, häiriövasteeseen tai kompromissiin näiden väliltä. Tässä kandidaatintössä totetettiin modlikokoelma MATLAB:n Simlink-mpäristössä. Töhön klva modlikokoelma sisältää 7 erilaista totetsta 2DOF PID -säätimistä. Nämä on esitelt talkossa 7.. Talkko 7. Totetett modlikokoelma Säädintppi 2DOF rakenteen totets Feedforward Feedback Component-separate asetsarvopainot Filter and preceeded-derivative Set-point lter 2 inpt lter erilaiset sotimet asetsarvolle ja mittakselle Distrbance lter häiriön mittas ja kompensointi Keskstel kahden vapasasteen säätimistä on lisääntnt viimeisten vosikmmenten aikana. Tössä lähteenä kätett kaikki kolme artikkelia ovat 2000-lvlta. Kahden vapasasteen säätimellä saavtetaan soritskk, joka oikein viritettnä tättää vaatimkset hvästä asetsarvovasteesta sekä häiriövasteesta. Näin esimerkiksi erilaiset robotiikan kohteet ovat paremmin säädettävissä kätettäessä PID-säädintä 2DOF-rakenteella. On kitenkin homattava, että paremman soritskvn saavttaminen vaatii säätimen viritksessä enemmän tötä monimtkaisemman rakenteen takia. Samoin säätimen totets on monimtkaisempi, kn tpillisesti PID-säätimen etna on ollt jri säätimen ksinkertaiss. Asetsarvo- ja häiriövaste eivät ole 2DOF PID - säätimellä täsin vapaasti mokattavissa. Virittäessä voidaan säädintpistä riippen mokata asetsarvovastetta sotimen tai asetsarvopaonotsten avlla eroamaan häiriövasteesta.

41 3 LÄHTEET [] V. M. Alfaro and R. Vilanova, Performance and Robstness Considerations for Tning of Proportional Integral/Proportional Integral Derivative Controllers with Two Inpt Filters. Indstrial and Engineering Chemistr Research, American Chemical Societ, 203, pp [2], Model-Reference Robst Tning of PID Controllers. Springer International Pblishing, 206, 92 p. [3] M. Araki and H. Tagchi, Two-Degree-of-Freedom PID Controllers. International Jornal of Control, Atomation, and Sstems Vol., No. 4, December 2003, 2003, pp [4] T. Hägglnd, A nied discssion on signal ltering in PID control. Control Engineering Practice, Elsevier, 203, pp [5] P.-O. Larsson and T. Haägglnd, Control Signal Constraints and Filter Order Selection for PI and PID Controllers. Proceedings of the 20 American Control Conference, IEEE, 20, pp [6] K. J. Åström and T. Hägglnd, PID controllers : [theor, design and tning]. Research Triangle Park : Instrment Societ of America, 2005, 343 p. [7], Advanced PID control. Research Triangle Park : ISA-The Instrmentation, Sstems and Atomation Societ, 2006, 460 p. [8] K. J. Åström and R. M. Mrra, Feedback Sstems : an introdction for scientists and engineers. Princeton Universit Press, 2008, 408 p.