4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa Perusteita

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa. 4.2. Perusteita"

Transkriptio

1 4. Taajsaleen sodats 4.. Tastaa Forier esitti. 87 idean että laskien yhteen jaksollisia painotettja fnktioita oidaan esittää kinka tahansa monimtkainen jaksollinen fnktio. Ka 4.. esittää tällaista. Jaksolliset fnktiot oat yleensä sini tai kosini fnktioilla rakennettja. Kn tietokoneet kehittyiät laskentateholtaan 96 ln klessa ja kn erityisesti Cooley ja Tkey esittiät 965 nopean Foriermnnoksen algoritminsa FFT Forier mnnoksesta tli arsin merkittää menetelmäjokko signaalin ja kanprosessointiin. Ka 4.. Jaksollinen fnktio alinna on modostett neljän ylimmän painotettna smmana. Taajsaleen sodats 99 Taajsaleen sodats 4.. Persteita Lähdetään tarkastelemaan sppeasti Forier mnnosten perstana oleia käsitteitä ja lähtökohtia. Alksi pohditaan jatkia yksilotteisia fnktioita joista siirrytään diskreetteihin kaksilotteisiin kiin. Kompleksilk ja sen kompleksikonjgaatti määritellään C R+jI ja C* R ji joissa R on reaali ja I imaginaariosa j imaginaarimttja. Käytetään myös napakoordinaattiesitystä C C cos + j sin Saadaan klmalle että tan I /R ts. arc tani /R. Elerin kaaa määrittää e cos + j sin jossa e.788. Tällöin kompleksilk on kirjoitettaissa seraaassa modossa jossa C ja oat edeltä. C C e Kompleksisen fnktion F itseisaro on F R + I /. jossa itseisaro C R + I / on kompleksitason ektorin pits. Taajsaleen sodats Taajsaleen sodats

2 Esitetään yhden mttjan jatkan fnktion ft Forier mnnos. F µ j πµt f t e dt Forier käänteismnnos on oheinen. j f t F µ e πµ t dµ Elerin kaaa antaa seraaan modon. [ cosπµ t j sin t ] F µ f t πµ dt Kn lasketaan kan 4.. yksinkertaisen fnktion Forier mnnos saadaan fnktio joka jatk äärettömyyteen kmmassakin snnassa. sin πµ W F µ AW πµ W Tämä tyyppiä sin m/ m on nimeltään sinc fnktio jonka itseisaroesitys on Forierin spektri eli taajsspektri. Kan 4..a laatikkofnktio kat äheneiksi lohkoiksi edeten origosta kohti äärettömyyttä. Aiemmin mainitt konoltio on tärkeä mnnosten yhteydessä. f t h t f τ h t τ dτ Taajsaleen sodats 3 Taajsaleen sodats 4 Symbolilla t iitataan spatiaaliseen aleeseen ja taajsaleeseen. Konoltion yhteydessä näillä on olemassa määrätty yhteys. Tämän esittää konoltioteoreema. f t h t H µ F µ a b c Ka 4.. a Laatikkofnktio b tämän Forier mnnos ja c spektri. Kaksoisnoli tarkoittaa että oikean polen laseke saadaan ottamalla Forier mnnos asemman polen lasekkeesta kn taas asemman polen laseke saadaan ottamalla Forierkäänteismnnos oikeasta polesta. Teoreeman toinen osa esittää ielä seraaan ts. taajsaleen konoltio astaa spatiaalisen aleen kertomista. f t h t H µ F µ Taajsaleen sodats 5 Taajsaleen sodats 6

3 4.3. Näytteistys ja näytteistettyjen fnktioiden Foriermnnos Jatkat fnktiot on mtettaa diskreeteiksi nmeerista laskentaa arten. Tätä arten aaditaan näytteistystä ja kantisointia. Kan 4.3.a fnktio ft näytteistetään tasaälein T osan b osoittamien implssien kohdasta jolloin saadaan fnktion approksimaatio osissa c ja d. Saadaan siis näytteet fk T k. Tätä arten modostetaan implssijonon Forierin mnnos n S µ δ µ T n T jossa yhtä implssia astaaa Kroneckerin fnktio x silloin ja ain silloin kn x ja mten se on yhtä kin. Tällöin saadaan seraaa konoltio jolle on kassa 4.4.c rajatapas. ~ F µ F µ S µ F µ T n n T Ka 4.3. a Jatka fnktio b implssijono jonka mkaan c on näytteistetty ja d saaden näytteet näytteenottoälein T. a b c d Taajsaleen sodats 7 Taajsaleen sodats 8 a Ka 4.4. a Kaistarajoitetn fnktion Foriermnnos ja astaaien näytteistettyjen fnktioiden mnnokset b ylinäytteistyksen c kriittisen näytteistyksen sekä d alinäytteistyksen tilanteissa. b c d On olennaista että näytteistetty fnktio diskreetti signaali on palatettaissa yksikäsitteisesti näytteistään ts. ettei saat approksimaatio edsta seampaa kin yhtä fnktiota. Kn fnktion Forier mnnos on älin [ max max ] lkopolella yhtä kin kten kassa 4.4.a kyseessä on kaistarajoitett fnktio. Vastaaasti on kassa 4.5.a joka on srennos kasta 4.4.a. Näytteenottofrekenssiä / T pienempi aro slattaa jaksoja yhteen kn taas srempi erottaa jaksot toisistaan. Tällöin tlee kriittisen näytteistyksen kohdalta tlos > µ max T joka on ehtona riittään tiheälle näytteistykselle jotta fnktion moto olisi palatettaissa näytteistä. Taajsaleen sodats 9 Taajsaleen sodats

4 Ka 4.5. a Kaistarajoitetn fnktion mnnos ja b mnnos joka on saat kriittisesti näytteistämällä sama fnktio. a b Edellinen tlos tnnetaan nimellä näytteenottoteoreema jonka esitti Harry Nyqist 98 ja todisti modollisesti Clade E. Shannon 949. Voidaan esittää myös käänteisesti että näytteistämällä signaalia taajdella / T aikaansaataa maksimitaajs on max / T. Tämä rajataajs on Nyqistin taajs. On syytä homata että käytännössä näytteenottotaajden tlee olla korkeampi. Ka 4.6. haainnollistaa miten F saadaan palatetta. Ka 4.6.a esittää Forier mnnosta fnktiolle joka on näytteistetty hienen Nyqistin taajtta sremmalla taajdella. Kassa 4.6.b on annett ikknafnktio jolla kerrotaan mnnos. Ikknafnktio on ideaalinen alipäästösodin oidaan ain approksimoida kn siinä on äärettömän nopea mtos ikknan alssa ja lopssa. Tloksena saadaan ka 4.6.c joka mnnetaan lopksi käänteismnnoksella fnktioksi ft. Taajsaleen sodats Taajsaleen sodats a b c Mitä tapaht jos kaistarajoitett fnktio näytteistetään pienemmällä taajdella kin kaksi kertaa fnktion korkein taajs? Tämä astaa alinäytteistettyä tilannetta kissa 4.4.d ja 4.7.a. Jaksot oat päällekkäin jolloin ei oida erottaa niitä toisistaan riippmatta käytettäästä sotimesta. Esim. kan 4.7.b ideaalinen alipäästösodin tottaisi kan 4.7.c tloksen sillä mnnos oli iereisten jaksojen korrptoima. Ilmiö on nimeltään laskostminen aliasing jossa korkeat taajskomponentit häiritseät alempia näytteistetyssä fnktiossa. Ka 4.6.a Fnktion Forier mnnos b kaistarajoitett ikkna ja c näiden tlo. Periaatteessa laskostminen on aina läsnä näytteistetyissä signaaleissa koska niitä ei oida näytteistää äärettömän pienellä interallilla jatkana. Käytännössä pitää näytteenottotaajs nostaa riittään korkealle jotta olennainen informaatio eli kiinnostaat taajdet saadaan signaalista esiin. Taajsaleen sodats 3 Taajsaleen sodats 4

5 a b c Laskostminen oidaan kitenkin aimentaa toimenpiteellä jota oidaan ktsa astalaskostmiseksi anti aliasing. Käytännössä siis tasoitetaan korkeita taajksia sodattamalla niitä ennen näytteistystä koska laskosts on seras näytteistyksestä eikä sitä oida laskennallisesti pera jälkikäteen. Esisodatsta arten mitta ja kaslaitteissa on analogiasodattimia jotka sodattaat jatkaa signaalia fnktiota. Lisäksi monesti on tarpeen sodattaa ielä digitaalisesti näytteistyksen jälkeenkin kohinaa ym. pois. Ka 4.7.a Alinäytteistetyn kaistarajoitetn fnktion Foriermnnos b ideaalinen alipäästösodin c edellisten tlo. Vierekkäisten jaksojen häiritseminen aihettaa laskostmisen joka estää F :n täydellisen palattamisen. Ka 4.8. esittää klassisen laskostmisesimerkin. Phdas siniaalto käsittää ainoastaan yhden taajden. Oletetaan siniaallolla olean pohjanaan sin t ja aaka akselin astaaan aikaa t seknneissa jolloin fnktio leikkaa akselin kohdissa t seknnin älein. Taajsaleen sodats 5 Taajsaleen sodats 6 Signaali oidaan palattaa näytteistään kn näyttenottotaajs / T on ähintään kaksi kertaa signaalin korkein taajs. Kassa 4.8. mstat pisteet edstaat liian alhaista näytteenottotaajtta jolloin saadaan näytteistä esiin irheellisesti pitempiaaltoista siniä eli todellista matalampaa taajtta. Kaistarajoittneen signaalin rekonstrktio eli palats oidaan tehdä seraaasti sinc fnktion alla. n [ t n T n T ] f t f n T sin c / Ka 4.8. Mstat pisteet edstaat alinäytteistettyä sinisignaalia sillä näytteenottotaajs / T on pienempi kin sinin taajs ts. näytteitä on otett interallilla T joka on pidempi kin yksi siniaalto. Jotta todellinen signaali saadaan näytteistyksessä esiin pitää näytteistää selästi sremmalla taajdella eli pienemmällä näytteenottoälillä kin poli aallonpittta. Taajsaleen sodats 7 Taajsaleen sodats 8

6 4.4. Yhden mttjan diskreetti Forier mnnos Jatkan fnktion mnnoksesta on johdettaissa diskreetti Foriermnnos DFT. Tämä ja käänteismnnos oat seraaat. F M x f x M f x e M jπx / M F e jπx / M.. M x.. M Kn fx käsittää kaikkiaan M fnktion ft näytettä näytteistettynä T:n älein saadaan signaalin kestoksi tai pitdeksi M T. Tällöin astaaa äli taajsaleessa on seraaa. M T M komponentin kattama koko taajsale DFT:ssä on M kertaa edellinen eli / T. DFT:n taajsresoltio on. Taajsaleen sodats Laajenns kahden mttjan fnktioihin Lähtien liikkeelle kan 4.9. yksittäisestä implssista tasossa oidaan johtaa yhden mttjan tapaksen laajennksena kahden jatkan mttjan Forier mnnos ja tämän käänteismnnos. F µ υ f t z f t z e F µ υ e jπ µ t+ υz jπ µ t+ υz dtdz dµ dυ Ka 4.. on polestaan analoginen kan 4.. laatikkofnktiolle ja kakselle. Taajsaleen sodats a b Ka 4.9. Kaksilotteinen diskreetti yksikköimplssi joka on yhtä kin malla kin pisteessä x y. Ka 4.. a D fnktio ja b sen spektri. Kn laatikko on pidempi t akselin snnassa kin z akselin spektri on astaaasti akselin snnassa. Taajsaleen sodats Taajsaleen sodats

7 Kaksilotteisessa tapaksessa näytteenottoteoreema tarkastelee kaistarajoittntta fnktiota ftz mttjien aleella eli äleillä [ max max ] ja [ max max ]. Tällöin fnktio on palatettaissa näytteistään jos näytteenottoälit oat T < µ eli taajksina astaaasti. ja Z < max υ max T > µ > Z max ja Ka 4.. on analoginen kan 4.4. kanssa yli ja alinäytteistyksen shteen. υ max a b Ka 4.. Kaksilotteinen Forier mnnos a yli ja b alinäytteistetyssä tilanteissa kaistarajoitteisella fnktiolla. Taajsaleen sodats 3 Taajsaleen sodats 4 Haainnollistetaan laskostmisilmiötä kien yhteydessä. Olkoon kan koko pikseliä jossa on digitoit šakkilatartja. Tällöin oitaisiin kata enimmillään rta knkin pikselin astatessa yhtä rta. Kassa 4.. esitetään mitä tapaht jos rt olisi ieläkin pienempi. Alksi ka 4..a ja b esittäät tilanteet joissa rdn koko siltaan on 6 ja 6 pikseliä jolloin kat oat odotetn näköiset. Kassa 4..c se on ähän pienempi kin pikseliä. Tällöin tapaht homattaa laskostminen. Kassa 4..d rdn koko siltaan on hieman pienempi kin.5 pikseliä. Nyt ka näyttää harhaisesti mielekkäältä mtta todellisdessa siinä on paha laskostminen syyn ollessa analoginen kan 4.8. mstien pisteiden antamalla liian alhaiselle aallonpitdelle. Ka 4.. Kien laskostminen. a Rdn koko sin shteen 6 ja b 6 pikseliä sekä c.974 selä laskostminen ja d.4798 pikseliä harhattaa laskostminen mataliin taajksiin. Taajsaleen sodats 5 Taajsaleen sodats 6

8 Laskostmista haainnollistetaan ielä kassa 4.3. jossa on osassa a alkperäinen ka. Tässä on tarkoitksella henkilön aatteissa hienojakoisia samansntaisia linjoja. Kissa 4.3. b ja c kokoa on ensin pienennetty 5 % ja sitten pikseleitä kopioimalla srennett takaisin jotta ertaaminen alkperäiseen osaan a on helppoa. Kassa 4.3.b näkyy selää laskostmista erityisesti henkilön polissa. Kassa 4.3.c laskostminen on saat kriin sodatksen alla. Ka 4.3. a Alkperäinen ka joka on pienennetty b 5 %:lla esim. poistamalla joka toinen rii ja sarake ja pikseleitä kopioimalla srennett tarkastela arten entiseen kokoonsa ja c lopksi sodatett 3 3 keskiaroistksella ennen delleen srennsta. Taajsaleen sodats 7 Taajsaleen sodats 8 On olemassa artefakta nimeltä moire hahmo jonka oi nähdä optisesti päällekkäin asetetissa ristikoissa esim. hyttyserkoissa. Se esiintyy digitaalisissa kissa skannaksen yhteydessä monissa tämän lentomateriaalin kissakin. Kn esim. skannataan kaa ja kassa on jaksollisia raitoja tai älejä jotka oat shteessa digitaaliseen kaan tätä modostettaessa oi syntyä näennäinen moire aikts. Ka 4.4. on esimerkki jossa kahden ristikon päällekkäisyys lo olematonta jaksollistta. Sanomalehdet 75 dpi ja mt painototteet esim. 33 tai 75 dpi käyttäät mstia pisteitä tai ellipsejä joiden kokoa ja liitoksia käyttämällä simloidaan harmaasäyjä. Skannattaessa kia painototteista nämä pisteet näkyät enemmän tai ähemmän ka Kn tarkktta on nostett aroon 4 dpi ilmiö ei esiinny niin herkästi tässä skannaksen skannaksessa kyllä mtta on nähtäissä selästi osasrennoksessa kassa 4.6. Ka 4.4. Esimerkki moire aiktksesta. Asetettaessa erilliset iiaristikot päällekkäin näyttää syntyän jaksollistta jota ristikoissa ei kitenkaan ole todellisdessa. Taajsaleen sodats 9 Taajsaleen sodats 3

9 Taajsaleen sodats 3 Ka 4.5. Kn sanomalehtikaa on skannatt ja skannatt ka on ielä skannatt tätä esitystä arten kassa harmaasäyjen simloimiseksi käytetyt pisteet aihettaat rakeistta jota ei alkperäisessä kassa ole ollt. Taajsaleen sodats 3 Ka 4.6. Kan osasrennoksessa olematon rakeiss tlee skannaksen jälkeen silmiinpistäästi esiin. Taajsaleen sodats 33 Diskreetti kaksilotteinen Forier mnnos DFT ja tämän käänteismnnos IDFT oat kalle kokoa M N seraaat / / + N M e y x f F M x N y N y M x j π..... / / + N y M x e F MN y x f M N N y M x j π Taajsaleen sodats 34 Kaksilotteisen DFT:n ollessa kompleksifnktio se on esitettäissä napakoordinaatistossa modossa jossa itseisaroa ktstaan Forier tai taajsspektriksi ja on aiheklma. Tehospektri on neliömoto jolla kataan kan taajsinformaatio. j e F F φ [ ] / I R F + arctan R I φ I R F P +

10 Kaaasta s. 33 seraa että M N F MN f x y MNf x y MN x y ts. taajinen termi on shteessa fxy:n keskiaroon. Kn shdekerroin MN on yleensä sri F on tyypillisesti spektrin srin komponentti. Kn taajskomponentit ja oat nollia origossa F:aa ktstaan myös dc komponentiksi direct crrent eli tasairta jossa taajs on. a c b d Kassa 4.7.a on yksinkertainen ka jonka spektri on skaalatt lkälille [55] ja esitetään kana 4.7.b. Mnnoskan origossa siirretty keskelle on kirkkain piste ei tosin näy ja samoin kan klmissa näkyät honosti mikä aihet jaksollisdesta. Ka 4.8. osoittaa kinka spektri on epäherkkä translaatiolle siirto mtta ei rotaatiolle kierto. Kien 4.7. d ja 4.8.b spektrit oat samat mtta aiheklmat kassa 4.9. eri. Taajsaleen sodats 35 Ka 4.7.a Ka jossa on ain alkoinen soraklmio mstalla tastalla b kan spektri c joka on keskitetty kerrott ka aroilla x+y ennen mnnosta spektri ja d logaritmisen mnnoksen jälkeen yksityiskohdat näkyät edellistä paremmin. Taajsaleen sodats 36 a b c d Ka 4.8. Edellisen kan soraklmiota on tässä siirretty astaaa spektri c rotatoit ka ja d tämän spektri. Taajsaleen sodats 37 Ka 4.9. a Vaiheklmatalkko astaten a kaa 4.7.a b siirrettyä kaa kassa 4.8.a ja c rotatoita kassa 4.8.c. Vaiheklma ei anna erityisemmin isaalista informaatiota esim. saattaisi kitella a:n astaaan kaa 4.8.c mtta näin ei ole. Vaiheklmainformaatio ei myöskään mnnoksen käytön kannalta ole taallisesti lainkaan tarpeellista. Olennaista on silti sodats joka ei mttaisi aiheklmaa ollenkaan koska tällä oi olla epätoiottja ääristäiä aiktksia kaan. Taajsaleen sodats 38

11 4.6. Taajsaleen sodatksen persteet Em. konoltioteoreema yleistyy kaksilotteiseen tilanteeseen seraaasti f x y h x y jossa x M ja y N. Tämä ilmaistaan lyhyemmin f x y h x y F H ja kääntäen seraaasti. M N m n f x y h x y F H f m n h x m y n Taajsaleen sodats 39 Kten aiemmin on esitetty taajsaleen sodatksen idea on alksi laskea kan mnnos mokata tätä mnnosaardessa ja lopksi käänteismnnoksella mntaa takaisin spatiaaliselle aleelle. Vaiheinformaatio ei ole yleensä isaalisesti koin hyödyllistä. Sen sijaan spektri kaa paremmin kan ominaisksia. Kassa 4..a on iallisen integroidn piirin 5 kertainen elektronimikroskooppikan srennos. Kana siinä on kiinnostaaa selät iiat jotka oat noin 45 klmassa toisiinsa nähden ja alkoinen lämpöirheen aihettama oksidiprkama. Kassa 4..b on astaaa spektri jossa pystysora aalea ähän inossa olea komponentti on alkoisen aleen rajojen aihettama. Taajsaleen sodats 4 Yleisesti sodats on esitettäissä abstraktiona oheisella taalla. g x y U [ H F ] Tässä F oli M N kan fxy diskreetti Forier mnnos DFT H sodinfnktio eli sotimen siirtofnktio U käänteismnnos IDFT ja gxy sodatett tloska. F H ja g oat M N talkoita jotka on laskett talkkokertomisina. Kn H:n tlee olla symmetrinen keskipisteen shteen tämän aikaansaamiseksi ka alkiot on alksi kerrott arolla x+y. Monet ohjelmat eiät kitenkaan tee näin esim. Matlab jolloin näissä sodinfnktiot on järjestetty delleen astaamaan tilannetta että origo on asemmassa yläklmassa. Ka 4.. a Viallisen integroidn piirin srennoska jossa on msta äristä erotta alkoinen oksidiprkama ja b edellisen spektri. Esimerkkinä sodatksesta kan 4..a spektrissä on dckomponentti asetett :ksi jolloin ka tmment kaksi 4.. Taajsaleen sodats 4 Taajsaleen sodats 4

12 Mnnoksen matalat taajdet liittyät kan hitaasti mttiin intensiteettikomponentteihin kten honeen seinät tai piletön taias. Sitä astoin korkeat taajdet syntyät teräien intensiteettimtosten takia kten rajat tai kohina. Korkeita taajksia aimentaa ja alhaiset sellaisenaan läpi päästää alipäästösodin lowpass filter smentaa eli tasoittaa kaa kn taas alhaiset taajdet aimentaa ja korkeat läpi päästää ylipäästösodin highpass filter teräöittää kaa mtta ähentää myös kontrastia. Ka 4.. Edellinen ka on mnnett asettamalla FM/N/. Taajsaleen sodats 43 Ka 4. esittää esimerkin. Homaa samanlaiss kien 4.. ja 4..b älillä. Kassa 4..c on pohjaa nostett pienen akion a erran jolloin dc komponentti ei ole enää mtta ka silti teräöityy. Taajsaleen sodats 44 Sotimet jotka aikttaat mnnoksen reaali ja imaginaariosiin samalla taalla ts. eiät aikta aiheeseen mitenkään oat nollaaihesiirtoisia zero phase shift joka yleensä on toiottaa piirre. Mnlaisia ei tässä materiaalissa käsitelläkään. Ka 4.. Ylärii: alipäästösotimen ja kahden ylipäästösotimen taajsaleen kertoimet pintakina esitettyinä kertoimen srs on yhtä kin pinta alkion amplitdi eli pystyakselin aro. Alarii: ka 4..a sodatett näillä. Ka 4.3. haainnollistaa kinka aiheklman pienikin mtos saattaa aikttaa kaan homattaasti taallisesti epätoiotlla taalla. Siinä kalle 4..a on tehty skalaarimtos kertomalla aiheklmatalkko akiolla.5 mttamatta F :tä ja laskemalla käänteismnnos. Tloksena on ka 4.3.a. Vaikka kan persmodot eiät mttneet intensiteettijakama on häiriintynyt. Kn akiokerroin oli pienempi.5 saatiin merkittäästi alkperäisestä mttnt ka 4.3.b. Taajsaleen sodats 45 Taajsaleen sodats 46

13 Esitetään yhteenetona kinka ka oidaan sodattaa taajsaleella. a b Ka 4.3. a Vaiheklmatalkko on kerrott akiolla.5 ja b.5 ennen käänteismnnosta. Spektri ei mttnt kmmassakaan. Syöteka fxy olkoon kokoa M N. Zero padding tai astaaaa kan laajentamista arten määrätään laajennett koko sein PM ja QN. Laajenns on tarpeen jotta kan rena aleetkin oidaan sodattaa. Modostetaan laajennett ka f p xy kokoa P Q lisäämällä tarpeelliset nollat talkkoon. 3 Kerrotaan f p xy aroilla x+y mnnoksen keskistämiseksi. 4 Lasketaan DFT mnnos eli F. 5 Generoidaan sotimen reaalinen symmetrinen siirtofnktio H kokoa P Q keskipisteenään P/Q/. Modostetaan tlo G HF talkkokertomisella. Taajsaleen sodats 47 Taajsaleen sodats 48 a b c 6 Saadaan prosessoit ka g p [ U [ G ] x+ y { reaaliosa } x y jossa alitaan reaaliosa ja sitetaan kompleksiosa. 7 Ka gxy saadaan tloksena ottamalla asen M N yläneljännes kasta g p xy. d e f g h Ka 4.4. esittää esitettyä menettelyä. Zero padding operaatiota käyttää alipäästösodin aihettaa tloskaan 4.4.h heikosti erottan tmman renan. Homattakoon ettei zero padding tai astaaa laajenns ole täysin älttämätön. Jos laajennsta ei tehdä silloin kitenkin kasta leikkat renaa pois sodatsta ei oi tehdä renan yli eli tloska on alkperäistä pienempi. Taajsaleen sodats 49 Ka 4.4. a M N ka f b laajennett ka zero padding f p kokoa P Q c tämä on kerrott aroilla x+y d jolloin spektri tlee kan keskelle e Gassin alipäästösodin H f tlo HF p g x+y :n ja HF p :n reaaliosan käänteismnnoksen tlo g p ja h lopllinen tlos g joka on saat leikkaamalla ensimmäiset M riiä ja N saraketta. Taajsaleen sodats 5

14 4.7. Kan tasoittaminen Kan tasoittaminen smentaminen alipäästösodattaa renoja ja mita teräiä intensiteettimtoksia kten kohinaa. Tarkastellaan kolmea tyyppiä: ideaali Btterworth ja Gassin alipäästösodin. Ideaali alipäästösodin päästää aimentamatta taajdet jotka oat origosta enintään säteen D etäisyydellä ja leikkaa mt pois. jos D D H jos D > D Tässä D > ja D on taajsaleen pisteen ja keskipisteen älinen etäisyys ts. D P / + Q / / [ ] jossa P ja Q on laajennett aiempaan tapaan. Taajsaleen sodats 5 Ka 4.5. esittää ideaalia alipäästösodinta. Tällaista teräää transitiopistettä H ja sitten älittömästi katkaistaajtta ctoff ei oida elektronisissa komponenteissa totettaa mtta oidaan ei fysikaalisena kitenkin laskennallisesti simloida. Ka 4.6. esittää testikan spektreineen. Ka 4.7. esittää sodatstloksia joita kan 4.6.b eri katkaistaajdet antoiat. Ideaali sodin on ideaali ain motonsa polesta. Käytännössä se on aika hono sillä kan 4.8. mkaan siinä esiintyy käyrässä soiia silohkoja eli aaltoja. Sitä tarkasteltiin ikään kin sotimen persmotona. Yleensä parempia oat mm. Btterworth sotimet. Taajsaleen sodats 5 Ka 4.5.a Ideaalisen alipäästösotimen transitio eli siirtofnktion perspektiiika b sodin kana ja c sotimen halkileikkas. Ka 4.6.a testika ja b tämän spektri johon asetettjen ympyröiden ideaalinen sodin säteet oat ja 46. Säteet kattaat % laajennetn kan tehospektristä ei sen kasta aan taajsasteesta. Taajsaleen sodats 53 Taajsaleen sodats 54

15 Ka 4.7.a Alkperäinen ka ja b f sodatstlokset edellisen kan katkaistaajksia soeltaen. Ka 4.8.a Spatiaalisen aleen esitys säteen ollessa 5 kassa kooltaan ja b intensiteettimoto aakasoran klkiessa kan keskeltä. Taajsaleen sodats 55 Taajsaleen sodats 56 Btterworth sodin on motoa H n + [ D / D ] jossa D tlee kaaasta. Ka 4.9. esittää tätä. Se että katkaistaajs ei käsitä epäjatkskohtaa kten ideaalisessa sotimessa on hyä. Toisaalta sein pyritään melko jyrkkään mtokseen siirtoaleessa eli esim. n4. Kassa 4.3. on Btterworthilla sodatettja kia. Haittapolena on soimisen lisääntyminen jyrkkyyden kasaessa ka 4.3. mikä oi toda kiin epätoiottja aiktksia. Gassin sodin on motoa jossa on niin ikään D kaaasta ja D keskihajonta. D / D H e Ka 4.3. esittää tämän ominaisksia. Ka 4.9. Btterworth alipäästösotimen siirtofnktion perspektiiika b sodin kana ja c halkileikkas tapaksille n 3 ja 4. Taajsaleen sodats 57 Taajsaleen sodats 58

16 Ka 4.3. a Alkperäinen ka ja b f sodatksen tlokset aste n katkaistaajksien ollessa kan 4.6. mkaiset. Ka 4.3. Btterworth alipäästösotimen spatiaaliesitykset asteille n 5 ja ka ja katkaistaajs 5. Taajsaleen sodats 59 Taajsaleen sodats Ylipäästö ja mita sodintyyppejä Ylipäästösotimella oidaan teräöittää kaa. Em. kolmen tyypin siirtofnktioista H LP saadaan nyt ylipäästösotimet H HP seraaasti. H HP H LP Tällöin ideaalinen ylipäästösodin on Ka 4.3.a Gassin sotimen siirtofnktion perspektiiika b sodin kana ja c halkileikkas eri aroilla D. jos D D H jos D > D jossa D on katkaistaajs. D on kaaasta kten seraaassakin. Btterworth ylipäästösodin on näin. H n + D / D [ ] Taajsaleen sodats 6 Taajsaleen sodats 6

17 Gassin ylipäästösodin on astaaasti. H e D / D Näiden kolmen ylipäästösodatintyypin esitykset oat kassa Edelleen niiden spatiaaliset ja intensiteettikäyräesitykset oat kassa Ka käsittää esimerkin. Sodintyyppejä on mitakin esim. homomorfiset sotimet. Ka Yläriissä ideaalisen ylipäästösotimen a perspektiiika b kaesitys ja c halkileikkas keskiriissä d f astaaat Btterworth ylipäästösotimelle ja alariissä g i Gassin ylipäästösotimelle. Taajsaleen sodats 63 Taajsaleen sodats 64 Ka Spatiaaliset esitykset ja intensiteettikäyrät: a ideaali b Btterworth ja c Gassin ylipäästösodin. Ka Btterworth ylipäästösotimen tlos kn a D 3 b 6 ja c 6. Taajsaleen sodats 65 Taajsaleen sodats 66

18 4.9. Forier mnnoksen totets Voidaan myös modosta sodin monipolisemmin tekemällä siitä kaistanpäästö tai estosodin ts. päästökaistan molemmin polin on estokaista tai päinastoin. Jos jälkimmäisessä tapaksessa estokaista on hyin kapea kyseessä on notch sodin loi jolla oidaan poistaa melko tarkasti jokin taajs kasta kten aiemmin mainitt moire ilmiö. Forier mnnos totetetaan aina nopean Forier mnnoksen algoritmin FFT alla. Kn alkperäinen kaaan mkainen Forier laskenta aatii aikakompleksisden OMN FFT taritsee ain OMN log MN mikä on homattaa ero. Tässä oi sijoittaa esimerkkinä 4 4 kan koon ts. MN4. Ei tarkastella FFT algoritmia. Se on tyypillinen hajota ja hallitseperiaatteen diide and conqer mkainen. Taajsaleen sodats 67 Taajsaleen sodats 68

Σ on numeroituvasti ääretön. Todistus. Muodostetaan bijektio f : N Σ seuraavasti. Olkoon

Σ on numeroituvasti ääretön. Todistus. Muodostetaan bijektio f : N Σ seuraavasti. Olkoon 17 Nmeroitat ja linmeroitat jokot Määritelmä 110 Jokko X on nmeroitasti ääretön, jos on olemassa bijektio f : N X Jokko on nmeroita, jos se on äärellinen tai nmeroitasti ääretön Jokko, joka ei ole nmeroita

Lisätiedot

4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa Perusteita

4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa Perusteita 4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa Fourier esitti v. 1807 idean, että laskien yhteen jaksollisia painotettuja funktioita voidaan esittää kuinka tahansa monimutkainen jaksollinen funktio. Kuva 4.1.

Lisätiedot

4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa

4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa 4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa Fourier esitti v. 1807 idean että laskien yhteen jaksollisia painotettuja funktioita voidaan esittää kuinka tahansa monimutkainen jaksollinen funktio. Kuva 4.1. esittää

Lisätiedot

= + + = 4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa

= + + = 4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa 30 VEKTORIANALYYSI Lento 4 4. Derivointi seammassa lottvdessa Osittaisderivaatta. Kerrataan alksi osittaisderivaatan käsite. Fnktio f= f( r) = f( xyz,, ) on kolmen mttjan fnktio, jonka arvo yleensä mtt,

Lisätiedot

4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa

4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa 6 VEKTORIANALYYSI Lento 3 4. Derivointi seammassa lottvdessa Osittaisderivaatta. Kerrataan alksi osittaisderivaatan käsite. Fnktio f f ( r) f ( x, y, z) on kolmen mttjan fnktio, jonka arvo yleensä mtt,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys

Lisätiedot

Tasasähköyhteyden suuntaaj-asema. Ue j0ƒ. p,q

Tasasähköyhteyden suuntaaj-asema. Ue j0ƒ. p,q EEC-E89 syksy 06 Ttkitaan alla olevan kvan mkaista heikkoon verkkoon kytkettyä srjännitteistä tasasähköyhteyttä. Tässä tapaksessa syöttävän verkon impedanssi (Theveninin impedanssi, kvassa j on j0,65,

Lisätiedot

S uay uvaxy uv 2 Ax 2 y... uv i Ax i y uv i wx i y.

S uay uvaxy uv 2 Ax 2 y... uv i Ax i y uv i wx i y. 3.8 Yhtedettömien kielten rajoitksista Yhtedettömille kielille on oimassa säännöllisten kielten pmppaslemman astine. Nt kitenkin merkkijonoa on pmpattaa samanaikaisesti kahdesta paikasta. Lemma 3.9 ( -lemma

Lisätiedot

x = x x 2 + 2y + 3 y = x + 2y f 2 (x, y) = 0. f 2 f 1

x = x x 2 + 2y + 3 y = x + 2y f 2 (x, y) = 0. f 2 f 1 Matematiikan K/P syksy Laskharjoits 9 Mallivastakset Tehtävän differentiaaliyhtälösysteemi: x = x x + y + y = x + y Merkitään f (x, y) = x x + y + ja f (x, y) = x + y Kriittisessä pisteessä f (x, y) =

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)

Lisätiedot

53 ELEKTRONIN SUHTEELLISUUSTEOREETTINEN LIIKE- MÄÄRÄ

53 ELEKTRONIN SUHTEELLISUUSTEOREETTINEN LIIKE- MÄÄRÄ 53 LKTRONIN SUHTLLISUUSTORTTINN LIIK- MÄÄRÄ 53. Lorentz-uunnos instein esitti. 95 erikoisen suhteellisuusteorian eruseriaatteen, jonka ukaan kaikkien luonnonlakien tulee olla saoja haainnoitsijoille, jotka

Lisätiedot

7. Tasapainoitetut hakupuut

7. Tasapainoitetut hakupuut 7.1. Monitiehakpt 7. Tasapainoitett hakpt Tässä lssa jatketaan järjestetyn sanakirjan tarkastela esittämällä kehittynyt ptietorakenne. Lssa 7.1. esitetään monitiehakpn käsite. Se on järjestetty p, jonka

Lisätiedot

Optioiden hinnoittelu binomihilassa

Optioiden hinnoittelu binomihilassa Mat-2.3114 Investointiteoria Optioien hinnoittel binomihilassa 26.3.2015 Yksiperioiset optiot 1/3 Olkoon S kohe-eten arvo perioin alssa siten, että perioin päättyessä sen arvo on S toennäköisyyellä p tai

Lisätiedot

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2016

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2016 7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaist 5 Kevät 26. Aberraatio shteellissteoriassa a) Tlkoon valo kten tehtävän kvassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: x ˆx + y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. () Lorenz

Lisätiedot

Käyttöarvon kvantitatiivisesta mittaamisesta. Tommi Höynälänmaa 19. marraskuuta 2012

Käyttöarvon kvantitatiivisesta mittaamisesta. Tommi Höynälänmaa 19. marraskuuta 2012 Käyttöarvon kvantitatiivisesta mittaamisesta Tommi Höynälänmaa 19. marraskta 2012 1 1 Yleistä Ajan t mittainen henkilötyöaika keskimääräistyötä (tehokkdeltaan keskimääräistä työtä) saa tavarantotannossa

Lisätiedot

OULUN YLIOPISTO Konetekniikan osasto 460071A Autojen ja työkoneiden rakennejärjestelmät I 5 op Mauri Haataja. 1. Pyöräajoneuvojen ominaisohjaus

OULUN YLIOPISTO Konetekniikan osasto 460071A Autojen ja työkoneiden rakennejärjestelmät I 5 op Mauri Haataja. 1. Pyöräajoneuvojen ominaisohjaus OUUN YIOPISTO Konetekniikan osasto 467A Atojen ja työkoneiden rakennejärjestelmät I 5 op Mari Haataja. Pyöräajonevojen ominaisohjas. Henkilöatojen pyöräntenta Hyötyajonevojen ajo-ominaisksiin vaikttavat

Lisätiedot

Omakotitalon energiaratkaisu Pieni askel omavaraisuuteen.

Omakotitalon energiaratkaisu Pieni askel omavaraisuuteen. Omakotitalon energiaratkais Pieni askel omavaraisteen. www.arime.fi Phdasta energiaa lonnosta Arinko on meidän kakien elämään vattava ehtymätön energianlähde ja se tottaa välillisesti srimman osan ihmisten

Lisätiedot

KAAPELIN ULKOPUOLINEN PE-JOHDIN

KAAPELIN ULKOPUOLINEN PE-JOHDIN Helsinki 29.11 21 KAAPELN LKOPOLNEN PE-JOHDN SSÄLTÖ: 1. Johdanto 2. Esimerkki. Symmetristen komponenttien kaaat 1. Johdanto PE-johdin on yleensä puolet aihejohtimien poikkipinnasta. Määriteltäessä poiskytkentäehtojen

Lisätiedot

Identifiointiprosessi

Identifiointiprosessi Identifiointiprosessi Koesnnittel, identifiointikoe Mittastlosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - transientti-, korrelaatio-, taajs-, Forier- ja spektraalianalyysi => askel-, implssi-

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA

S SÄHKÖTEKNIIKKA S55.103 SÄHKÖTEKNIIKK. välikoe 7.4.1998 Kimmo Silvonen 1. Kva esittää yhdellä diodilla hätäratkaisna tehtyä kokoaaltotasasntaajaa. Sen toiminta ei tietenkään ole kovin ideaalista. Laske diodin ominaiskäyrän

Lisätiedot

N:o 219 739 LIITE 1 ELÄKESÄÄTIÖN TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET

N:o 219 739 LIITE 1 ELÄKESÄÄTIÖN TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET N:o 29 739 LT LÄKSÄÄTÖN TYÖNTKJÄN LÄKLN MUKSN LSÄLÄKVKUUTUKSN LSKUPUSTT 740 N:o 29 PUSTDN SOVLTMSLU Työntekijäin eläkelain (TL) mukaisella lisäakuutuksella tarkoitetaan tässä akuutusta, joka sisältää yhden

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Keät 207. Rekyyli Luentomonisteessa on käsitelty tilanne, jossa hiukkanen (massa M) hajoaa kahdeksi hiukkaseksi (massat m ja m 2 ). Tässä käytetään

Lisätiedot

Spektri- ja signaalianalysaattorit

Spektri- ja signaalianalysaattorit Spektri- ja signaalianalysaattorit Pyyhkäisevät spektrianalysaattorit Suora pyyhkäisevä Superheterodyne Reaaliaika-analysaattorit Suora analoginen analysaattori FFT-spektrianalysaattori DFT FFT Analysaattoreiden

Lisätiedot

Valtion eläkemaksun laskuperusteet

Valtion eläkemaksun laskuperusteet VALTIOKONTTORI PÄÄTÖS Dnro 62/30/2005 Valtion eläkemakn lakperteet Valtiokonttori on 2262005 hyäkynyt nämä lakperteet nodatettaaki lakettaea Valtion eläkerahatolaia tarkoitettja työnantajan eläkemakja

Lisätiedot

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI. 39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

havainnollistus, muokkaus ja viimeistely

havainnollistus, muokkaus ja viimeistely Tekstin havainnollists, mokkas ja viimeistely Lettavs ja merkintätavat Tiina Airaksinen Kappaleiden jäsentäminen Kappale = asiakokonaiss Testi: Pystytkö keksimään otsikon? Ei yhden virkkeen / yhden sivn

Lisätiedot

4 Liikemäärä ja liikemäärän säilyminen

4 Liikemäärä ja liikemäärän säilyminen 4 Liikemäärä ja liikemäärän säilyminen 4. Liikemäärä ja implssi 4-. a) Hyökkääjän liikemäärä on p = = 89 kg 8,0 m/s 70 kgm/s. b) 05-kiloisella polstajalla on yhtä sri liikemäärä, jos nopes on kgm 7 p v

Lisätiedot

Luento 8. Suodattimien käyttötarkoitus

Luento 8. Suodattimien käyttötarkoitus Luento 8 Lineaarinen suodatus Ideaaliset alipäästö, ylipäästö ja kaistanpäästösuodattimet Käytännölliset suodattimet 8..006 Suodattimien käyttötarkoitus Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden

Lisätiedot

Luento 2. Jaksolliset signaalit

Luento 2. Jaksolliset signaalit Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi

Lisätiedot

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 2

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 2 1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 2 Miten spektri lasketaan moduloiduille ja näytteistetyille tietoliikennesignaaleille? KONVOLUUTIO JA KERTOLASKU 2 Kantataajuussignaali (baseband) = sanomasignaali ilman

Lisätiedot

Seppo I. Niemelä: Mikrobiologian kvantatiivisten

Seppo I. Niemelä: Mikrobiologian kvantatiivisten Jlkais J1/001 MITTATEKNIIKAN KESKUS Jlkais J1/001 MIKROBIOLOGIAN KVANTITATIIVISTEN VILJELYMÄÄRITYSTEN MITTAUSEPÄVARMUUS Seppo I. Niemelä KEMIAN JAOSTO Mikrobiologian työryhmä Helsinki 001 ALKUSANAT Mikrobiologisten

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

1780 N:o 567 LIITTEET 1 2 LASKUPERUSTEET TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISTA TOIMINTAA HARJOITTAVILLE ELÄKESÄÄTIÖILLE

1780 N:o 567 LIITTEET 1 2 LASKUPERUSTEET TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISTA TOIMINTAA HARJOITTAVILLE ELÄKESÄÄTIÖILLE 1780 N:o 567 LTTEET 1 LAKPETEET TYÖNTEKJÄN ELÄKELAN MKATA TOMNTAA HAJOTTALLE ELÄKEÄÄTÖLLE N:o 567 1781 ÄLLYLETTELO LTE 1: LAKPETEET TYÖNTEKJÄN ELÄKELAN MKATA TOMNTAA HAJOTTALLE ELÄKEÄÄTÖLLE 1 AKTTEKNET

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246 Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

LIITTEET 1 2 MUUTOS LASKUPERUSTEISIIN TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISTA TOIMINTAA HARJOITTAVILLE ELÄKESÄÄTIÖILLE

LIITTEET 1 2 MUUTOS LASKUPERUSTEISIIN TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISTA TOIMINTAA HARJOITTAVILLE ELÄKESÄÄTIÖILLE 04 N:o 53 LTTEET MTOS LASKPERSTESN TYÖNTEKJÄN ELÄKELAN MKASTA TOMNTAA HARJOTTAVLLE ELÄKESÄÄTÖLLE N:o 53 05 VAKTSTEKNSET SREET LTE Näissä laskersteissa esiintyät aktstekniset sreet lasketaan TyEL:n mkaisen

Lisätiedot

DSP:n kertausta. 1 Spektri, DFT, DTFT ja aika-taajuusresoluutio

DSP:n kertausta. 1 Spektri, DFT, DTFT ja aika-taajuusresoluutio DSP:n kertausta Kerrataan/käydään läpi: ffl Spektri, DFT, DTFT ja FFT ffl signaalin jaksollisuuden ja spektrin harmonisuuden yhteys ffl aika-taajuusresoluutio Spektri, DFT, DTFT ja aika-taajuusresoluutio

Lisätiedot

5. Trigonometria. 5.1 Asteet ja radiaanit. Radiaanit saadaan lausekkeesta. Kun kulma on v radiaania ja n astetta, tästä seuraa, että 180

5. Trigonometria. 5.1 Asteet ja radiaanit. Radiaanit saadaan lausekkeesta. Kun kulma on v radiaania ja n astetta, tästä seuraa, että 180 5. Trignmetria 5.1 Asteet ja radiaanit Radiaanit saadaan lasekkeesta v b r. Kn klma n v radiaania ja n astetta, tästä seraa, että v n 180. Basic Frmat -tilaksi vimme valita Radian, Degree tai Grad. Käsittelemme

Lisätiedot

1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen

1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen Vastaa seuraaviin a) Miten määritetään digitaalisen suodattimen taajuusvaste sekä amplitudi- ja vaihespektri? Tässä riittää sanallinen kuvaus. b) Miten viivästys vaikuttaa signaalin amplitudi- ja vaihespektriin?

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakoulu

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakoulu S-55.00 SÄHKÖTKNIIKKA JA KTONIIKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakol Kimmo Silvonen Tentti 30.5.03: tehtävät,3,4,6,0.. välikoe: tehtävät,,3,4,5.. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,0. Saat vastata vain

Lisätiedot

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET. Vahvistettu 1.11.2007, sovelletaan 15.9.2007 alkaen.

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET. Vahvistettu 1.11.2007, sovelletaan 15.9.2007 alkaen. PTEEKKIE ELÄKEKSS TEL: MUKISE LISÄELÄKEVKUUTUKSE LSKUPEUSTEET Vahistettu 1.11.2007, soelletaan 15.9.2007 alkaen. ii PTEEKKIE ELÄKEKSS TEL: MUKISE LISÄELÄKE- VKUUTUKSE LSKUPEUSTEET 1. VKUUTUSTEKISET SUUEET...

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2

z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2 BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden

Lisätiedot

MERIMIESELÄKELAIN (1290/2006) 202 :n MUKAISET VAKUUTUSTEKNISEN VASTUUVELAN LASKUPERUSTEET JA PERUSTEET 153 :n MUKAISTA VASTUUNJAKOA VARTEN

MERIMIESELÄKELAIN (1290/2006) 202 :n MUKAISET VAKUUTUSTEKNISEN VASTUUVELAN LASKUPERUSTEET JA PERUSTEET 153 :n MUKAISTA VASTUUNJAKOA VARTEN /4 MEIMIESELÄKELAIN (90/006) 0 :n MUKAISE AKUUUSEKNISEN ASUUELAN LASKUEUSEE JA EUSEE 53 :n MUKAISA ASUUNJAKOA AEN Kokooma 0..05 iimeisin kokoomaan sisällytetty perustemuutos on ahistettu 9..04 sosiaali-

Lisätiedot

TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT

TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT 3.0.07 0 π TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT π = π 3π π = π 5π 6π = 3π 7π TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Tarkastellaan aluksi sini-funktiota ja lasketaan sin :n arvoja, kun saa arvoja 0:sta 0π :ään

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä

Lisätiedot

Päijät-Hämeen ja Mäntsälän museoiden työryhmän kokous SOPENKORVEN KOKOELMAKESKUS

Päijät-Hämeen ja Mäntsälän museoiden työryhmän kokous SOPENKORVEN KOKOELMAKESKUS Päijät-Hämeen ja Mäntsälän mseoiden työryhmän kokos 10.4.2019 SOPENKORVEN KOKOELMAKESKUS Asialista 10.4.2019 1. Kokoelmaohjelmien kokoelmien historiaa, kehitystä ja nykytilaa koskevan osden lyhyt käsittely,

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 10 Binomipuut ja optioiden hinnoittelu

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 10 Binomipuut ja optioiden hinnoittelu Rahoitsriskit ja johdannaiset Matti Estola lento 1 Binomipt ja optioiden hinnoittel 1. Optiohintojen mallintaminen Esimerkki. Oletetaan, että osakkeen spot -krssi on $ ja spot -krssilla 3 kk:n kltta on

Lisätiedot

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 5.5.2008 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle

Lisätiedot

Energia bittiä kohden

Energia bittiä kohden TLT-54/4u Energia ittiä kohden Kirjallisuudessa (ja muutenkin) on usein tapana käyttää S/ suhteen sijasta suuretta (syy seliää tarkemmin hetken päästä ) E missä - E on hyötysignaalienergia ittiä kohden

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2013

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2013 7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaisut 5 Keät 23. Aberraatio suhteellisuusteoriassa Tulkoon alo kuten tehtään kuassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: u u x ˆx + u y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. ()

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokonaisperuste, vahvistettu 10.10.2007.

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokonaisperuste, vahvistettu 10.10.2007. MAATALOUYRTTÄJÄN ELÄKELAN MUKAEN VAKUUTUKEN PERUTEET Kokonaisperuste, ahistettu 10.10.2007. 1 (3) MAATALOUYRTTÄJÄN ELÄKELAN MUKAEN VAKUUTUKEN PERUTEET 1 PERUTEDEN OVELTAMNEN Näitä perusteita soelletaan

Lisätiedot

Päijät-Hämeen ja Mäntsälän museoiden työryhmän kokous MUSEOKIOSKI

Päijät-Hämeen ja Mäntsälän museoiden työryhmän kokous MUSEOKIOSKI Päijät-Hämeen ja Mäntsälän mseoiden työryhmän kokos 8.4.2019 MUSEOKIOSKI Asialista 8.4.2019 1. Kokoelmaohjelmien kokoelmien historiaa, kehitystä ja nykytilaa koskevan osden lyhyt käsittely, mikäli tässä

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Keskiarvovirtaohjatun vakiovirtalähteen dynaaminen mallinnus

Keskiarvovirtaohjatun vakiovirtalähteen dynaaminen mallinnus Olli aronen Keskiarvovirtaohjatn vakiovirtalähteen dynaaminen mallinns Sähkötekniikan korkeakol Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä tarkastettavaksi diplomi-insinöörin ttkintoa varten Espoossa 18.11.2011.

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut

Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisalinta - dia-alinta 15 Insino o rialinnan fysiikan koe 7.5.15, malliratkaisut A1 Pallo (massa m = 1, kg, sa de r =, cm) nojaa kur an mukaisesti pystysuoraan

Lisätiedot

Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa

Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Vierailuluento IMA-kurssilla Heikki Huttunen Lehtori, TkT Signaalinkäsittely, TTY heikki.huttunen@tut.fi Department of Signal Processing Fourier-muunnos

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Signaalien datamuunnokset. Digitaalitekniikan edut

Signaalien datamuunnokset. Digitaalitekniikan edut Signaalien datamuunnokset Datamuunnosten teoriaa Muunnosten taustaa Muunnosten teoriaa Muunnosten rajoituksia ja ongelmia Petri Kärhä 09/02/2009 Signaalien datamuunnokset 1 Digitaalitekniikan edut Tarkoituksena

Lisätiedot

Signaalien datamuunnokset

Signaalien datamuunnokset Signaalien datamuunnokset Datamuunnosten teoriaa Muunnosten taustaa Muunnosten teoriaa Muunnosten rajoituksia ja ongelmia Petri Kärhä 06/02/2004 Luento 4a: Signaalien datamuunnokset 1 Digitaalitekniikan

Lisätiedot

Erikoisuuden tavoittelijoille. linja-autosarjan, jossa lattiataso nousi varsin jyrkästi perää kohden. Näissä Cometnimellä

Erikoisuuden tavoittelijoille. linja-autosarjan, jossa lattiataso nousi varsin jyrkästi perää kohden. Näissä Cometnimellä TESTIRYHMÄ Testiryhmä Timo Lehtonen ja Mika Koivisto Volvo 9900 Erikoisden tavoittelijoille Volvo 9900 on malli, joka ei aiemmin ole klnt Somen tontiohjelmaan. Nyt tämä erikoinen tristibssi tlee tarjolle

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Diskreetti Fourier-muunnos ja sen hyödyntäminen signaalien spektrien muodostamisessa. Pentti Romppainen

Diskreetti Fourier-muunnos ja sen hyödyntäminen signaalien spektrien muodostamisessa. Pentti Romppainen Diskreetti Fourier-muunnos ja sen hyödyntäminen signaalien spektrien muodostamisessa Pentti Romppainen Kajaanin ammattikorkeakoulu Oy Kajaani University of Applied Sciences Diskreetti Fourier-muunnos ja

Lisätiedot

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 21.3.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle

Lisätiedot

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 18.3.2008 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle

Lisätiedot

Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa

Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)

Lisätiedot

Jaksollisen signaalin spektri

Jaksollisen signaalin spektri Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215 Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Helsingin hengessä sopua ja sovittelua työyhteisön arkeen

Helsingin hengessä sopua ja sovittelua työyhteisön arkeen Helsingin hengessä sopa ja sovittela työyhteisön arkeen Helsingin kapngin toimintaohje ristiriitojen rakentavaan käsittelyyn ja sovitteln Tässä oppaassa määritellään, mitä ovat epäasiallinen kohtel ja

Lisätiedot

SISÄLLYS. N:o 134. Tasavallan presidentin asetus. Suomen Leijonan ritarikunnan perustamisesta annetun asetuksen 14 :n muuttamisesta

SISÄLLYS. N:o 134. Tasavallan presidentin asetus. Suomen Leijonan ritarikunnan perustamisesta annetun asetuksen 14 :n muuttamisesta SUOMEN SÄÄDÖSKOKOELMA 2008 Julkaistu Helsingissä 7 päiänä maaliskuuta 2008 N:o 134 139 SISÄLLYS N:o Siu 134 Tasaallan presidentin asetus Suomen Leijonan ritarikunnan perustamisesta annetun asetuksen 14

Lisätiedot

Turvallista koulumatkaa!

Turvallista koulumatkaa! Trvallista kolmatkaa! Kolkljetkset hallinto-oikeden näköklmasta Lonais-Somen alehallintovirasto 23.5.2017 Hallinto-oikestomari Hannele Sarell ja hallinto-oikestomari Marja Peltoniemi Trn hallinto-oikes

Lisätiedot

10. Globaali valaistus

10. Globaali valaistus 10. Globaali valaistus Globaalilla eli kokonaisvalaistuksella tarkoitetaan tietokonegrafiikassa malleja, jotka renderöivät kuvaa laskien pisteestä x heijastuneen valon ottamalla huomioon kaiken tähän pisteeseen

Lisätiedot

CST-elementti hum

CST-elementti hum CS-lmntti hm 4..3 CS-lmntti arkatllaan kan kolmiolmita kolmiolmnttiä, jota kttaan akionmän kolmiolmntiki (Contant Strain riangl). q 6 3 q 5 ( 3, 3 ) (, ) q 4 q 3 P q (, ) q O Pitn P koordinaatit oidaan

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

Maanjäristyksen kestävien kytkentäkotelotelineiden suunnittelu

Maanjäristyksen kestävien kytkentäkotelotelineiden suunnittelu Lari Nosiainen Maanjäristyksen kestävien kytkentäkotelotelineiden snnittel Metropolia Ammattikorkeakol Insinööri (AMK) Kone- ja totantotekniikka Insinöörityö 3.4.14 Tiivistelmä Tekijä Otsikko Sivmäärä

Lisätiedot

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan

Lisätiedot

Virheen kasautumislaki

Virheen kasautumislaki Virheen kasautumislaki Yleensä tutkittava suure f saadaan välillisesti mitattavista parametreistä. Tällöin kokonaisvirhe f määräytyy mitattujen parametrien virheiden perusteella virheen kasautumislain

Lisätiedot

2. Tasasivuinen kolmio

2. Tasasivuinen kolmio Ympäri piirretn mprän säde r a a = = = = sin sin sin γ 4 p( p a)( p )( p ) Sisään piirretn mprän säde r r = a++ = p = ( p a)( p )( p ) p γ γ a m w Korkeusjana a = = = sin = asin Keskijana m m = a + ( )

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

LBC 3210/00 Line Array -sisä-/ulkokaiutin

LBC 3210/00 Line Array -sisä-/ulkokaiutin Viestintäjärjestelmät LBC 3210/00 Line Array -sisä-/lkokaitin LBC 3210/00 Line Array -sisä-/lkokaitin www.boschsecrity.fi Laajennett kntelale Erinomainen pheen ja msiikin erotettavs Lonnollisen äänen tasainen

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Signaalien generointi

Signaalien generointi Signaalinkäsittelyssä joudutaan usein generoimaan erilaisia signaaleja keinotekoisesti. Tyypillisimpiä generoitavia aaltomuotoja ovat eritaajuiset sinimuotoiset signaalit (modulointi) sekä normaalijakautunut

Lisätiedot

6.6. Tasoitus ja terävöinti

6.6. Tasoitus ja terävöinti 6.6. soits j teräöinti Serss mtetn pikselin ro persten mpäristön pikselien ominisksiin. Kn 6.8. nojll j Lkjen 3.4. j 3.5. hrmsäjen käsittelssä esitellillä menetelmillä tss nähään sptilisen sotsopertion.

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot