Osatentti

Transkriptio

1 Osatentti Nimi: Opiskelijanumero: Ohjeet: Kirjoita vastaukset paperissa annettuun tilaan. Lisävastaustilaa on paperin lopussa. Käytä selvää käsialaa. Laskin EI ole sallittu. Tenttikaavasto jaetaan. Kaavastoon EI merkintöjä. Palauta kaavasto tämän kysymyspaperin kanssa valvojalle. Suttupaperi jaetaan. Palauta myös suttupaperi valvojalle. OT3 max 0p. Tehtävä 1. Tarkastellaan Kuvassa 1 olevaa avoimen systeemin Nyquist-diagrammia. Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis Kuva 1. Avoimen systeemin Nyquist-diagrammi. Kuvaan 1 on piirretty myös kaksi apuympyrää. Eri sovelluskonteksteissa on varallisuusarvoille ja herkkyydelle annettu muutamia eri nyrkkiarvoja. Erään nyrkkiarvokokoelman mukaan vahvistusvara 6 db eli vahvistusvarakertoimena vaihevara 60 asetta maksimiherkkyys 6 db eli kertoimena Mitkä yllä listatuista nyrkkiarvoista toteutuvat Kuvassa 1? Tee Kuvaan 1 lisämerkintöjä vastauksesi tueksi. (1.5p) Tehtävä. Selitä alla olevat termit ja käsitteet (max +0.5p per termi/käsite): Skenaariopiiri Stabiiliusvara Kriittisen stabiiliuden Bode-Barkhausen-ehto

2 Viivevara H -normi Nyquist-Barkhausen-piste Tehtävä 3. a) Johda systeemin Q(s) = k exp( ds) amplitudivahvistuksen M(ω) ja vaihesiirron P(ω) lausekkeet, kun k > 0. (1.5p) b) Piirrä funktioiden M(ω) ja P(ω) kuvaajat lineaarisella kulmataajuusasteikolla, kun k > 0. (1.5p) c) Tarkastellaan systeemiä Q(s) negatiivisesti takaisinkytkettynä: Millä k:n arvoilla takaisinkytketty systeemi on 1) stabiili? ) kriittisesi stabiili? 3) epästabiili? (1.5p)

3 Tehtävä 4. DC-moottorin pyörimisnopeuden säätöön on suunniteltu I-säädin. Kuvassa on avoimen systeemin Boden-diagrammi. 50 Bode Diagram Magnitude (db) 0-50 Phase (deg) Frequency (rad/s) Kuva. Avoimen systeemin Boden-diagrammi. Määritä vahvistusvara, vaihevara ja viivevara. Merkkaa vahvistuksen- ja vaiheen ylimenokulmataajuudet Kuvaan. Viivevarasta riittää laskulauseke, johon on sijoitettu laskennan mahdollistavat oikeat arvot. (3p) Tehtävä 5. Säädetyn systeemin dominoivaa dynamiikkaa arvioidaan viiveettömällä siirtofunktiomallilla Gs () < 0.1 p 0.01 s 0.15 s ( p), (1) jossa on kaksi napaa eikä yhtään nollaa. Parametri p on P-säätimen vahvistus, jonka suunnittelija valitsee. a) Onko vahvistusta p mahdollista valita siten, että säädetyn systeemin virhe askel-inputille on tasapainotilassa nolla? Perustele. (1p) b) Toisen kertaluokan viiveettömät ja nollattomat systeemit voidaan parametroida muotoon k Gs ( ) < ϖ, ϖn 0, ψ 0 s, () n ψϖn s ϖn jossa ωn = luonnollinen kulmataajuus, ζ = vaimennussuhde (vaimennusvakio), ja k = DC-vahvistus. Systeemin (1) askelvasteen prosentuaalisen ylityksen halutaan olevan korkeintaan 15 % loppuarvostaan. Suunnittelija on määrittänyt tuota tavoitetta vastaavaksi vaimennusvakion ζ arvoksi 0.5 käyttäen apuna mallille () päteviä ominaiskäyrästöjä.

4 Ratkaise P-säätimen vahvistuksen p arvoväli, jolla askelvasteen prosentuaalisen ylityksen tavoite saavutetaan. (p) BONUS: Määritä systeemille (1) lisävahvistuskerroin, jolla systeemin (1) DC-vahvistus = 1. (+1p) Tehtävä 6. a) Miksi PID-säätimen derivointiosaan implementoidaan alipäästösuodin? (1.5p) b) Tarkastellaan D-haaran toteutusta, jossa hyödynnetään erästä. kertaluokan alipäästösuodinratkaisua. Tarkasteltavan D-haaran siirtofunktio alipäästösuotimella on F() s < s Ts 1(. (3) Osoita, että D-haaran (3) amplitudivahvistus lähestyy nollaa, kun kulmataajuus lähestyy ääretöntä. (1p) c) Oletetaan, että T = 1. Mikä on D-haaran (3) worst-case-vahvistus? Mitä sen suuruudesta voidaan päätellä? Millä kulmataajuudella worst-case-vahvistus saavutetaan? (.5p)

5 Voit vastata tehtäviin myös tänne, mikäli koet tehtävien vastaustilan liian niukaksi.