Seppo I. Niemelä: Mikrobiologian kvantatiivisten

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Seppo I. Niemelä: Mikrobiologian kvantatiivisten"

Transkriptio

1 Jlkais J1/001

2 MITTATEKNIIKAN KESKUS Jlkais J1/001 MIKROBIOLOGIAN KVANTITATIIVISTEN VILJELYMÄÄRITYSTEN MITTAUSEPÄVARMUUS Seppo I. Niemelä KEMIAN JAOSTO Mikrobiologian työryhmä Helsinki 001

3 ALKUSANAT Mikrobiologisten mittasten epävarmstekijöistä ja virhelähteistä on rnsaasti havaintoja ja analyyseistä vastssa olevat mikrobiologian asiantntijat pyrkivätkin ottamaan epävarmden homioon tlosten tlkinnassa. Tämä on kitenkin yleensä sormitntmaan perstvaa, koska täsmällisiä virhe-estimaatteja ei ole ollt riittävästi käytettävissä. Metrologian nevottelknnan kemian jaoston mikrobiologian työryhmä laati selvityksen mikrobiologisen metrologian tilanteesta ja esitti kehittämissnnitelman (Mittatekniikan keskksen jlkais J5/1999). Tässä raportissa tärkeänä kehittämiskohteena esitettiin oppaan laatimista mikrobiologisten menetelmien mittasepävarmdesta. Professori emerits Seppo Niemelä, jolla on kymmenien vosien kokems kvantitatiivisista mikrobiologisista mittaksista ja niitä koskevasta mittasepävarmdesta, on laatint yhteistyössä mikrobiologian työryhmän kanssa tämän oppaan. Oppaan ohjeiden avlla on mahdollista laskea nmeeriset arvot mikrobiologisten viljelymenetelmien näytekohtaisille mittasepävarmksille. Lisäksi on mahdollista korjaskertoimien avlla laskea tlokset siten, että systemaattiset virheet on otett homioon. Eri virhelähteiden keskinäisen merkityksen esiin saaminen antaa viitteitä siitä, miten mittasten lotettavtta tlisi parantaa. Mikrobiologian työryhmä toivoo oppaan tlevan laajaan käyttöön ja osaltaan edistävän mikrobiologista analytiikkaa. Helsingissä Maarit Niemi Mikrobiologian työryhmän polesta Jlkais J1/001

4 ESIPUHE Tämä opas palvelee ensisijaisesti ns. rtiinimäärityksiä, missä ttkimksen tilaaja yleensä saa laboratoriolta yhden mittastloksen näytettä kohti. Tlokseen haltaan liittää epävarmden arvio. Tarkoitksena on tarjota persteet epävarmden arvojen laskemiseksi ja ilmaisemiseksi. Jotta kirjoits ei paisisi liikaa, oli tietoinen valinta jättää vaille persteellista käsittelyä tilastomenettelyt, joita soveltaen laajoista koemateriaaleista voidaan eristää erilaisia epävarmskomponentteja. Mikrobien tnnists on monien mikrobiologisten laboratorioiden keskeinen analyysityyppi ja siihen liittyy homattavaa epävarmtta. Tnnists ei kitenkaan ole rinnastettavissa varsinaisiin mittaksiin ja on jätetty tämän oppaan lkopolelle. Sen epävarms on ilmaistavissa vain tnnistksen ja erotteln todennäköisyyksinä. Tnnistksen ja miden kompleksisten 'mittasten' epävarms ansaitsee oman monografiansa. Tässä kirjoitksessa käsitellään ainoastaan lkmääriin perstvia mittastloksia. Metrologian nevottelknta on valtionevoston asettama asiantntijaelin, joka toimii kappaja teollissministeriön, trvatekniikan keskksen ja Mittatekniikan keskksen apna metrologisten asioiden käsittelyssä. Sen alaisdessa toimii kemian jaosto, joka on perstant mikrobiologian työryhmän. Tämän oppaan laatimisessa on avstant mikrobiologian työryhmän perstama mittasepävarmstyöryhmä, johon klivat prof. Seppo Niemelä pheenjohtaja, Svi Bühler (HYKS Diagnostiikka), Sari Hemminki (Trvatekniikan kesks), Seija Kalso (Helsingin ympäristökesks) ja Antti Nissinen (Keski-Somen keskssairaala) jäseninä sekä Maarit Niemi sihteerinä. Kommentteja oppaan lonnokseen on antant myös mittasepävarmspaja, johon osallistivat epävarmstyöryhmän pheenjohtaja ja sihteerin lisäksi Seija Kalso, Kirsti Lahti (Somen ympäristökesks), Tla Pirhonen (Eläinlääkintä- ja elintarvikelaitos) ja Pirjo Rajamäki (Helsingin yliopisto, soveltavan kemian ja mikrobiologian laitos). Jlkais J1/001

5 SISÄLLYSLUETTELO ALKUSANAT ESIPUHE 1 MITTAUSEPÄVARMUUS, MITTAUSTULOS JA MITTAUS Kirjainsymboliikka Mittasepävarmden ilmaiseminen Sret mittastlos- ja epävarmsarvot mikrobiologiassa Merkitsevät nmerot 13 MITTAUSEPÄVARMUUDEN MÄÄRITYSPERIAATTEET 14.1 Perstyyppi A 14. Perstyyppi B 14.3 Yhdistetty epävarms 15.4 Epävarmskomponenttien tietolähteet Tasainen jakama Kolmiojakama 16 3 MIKROBIOLOGISET KVANTITATIIVISET VILJELYMENETELMÄT METROLOGISELTA KANNALTA Viljelymääritysten yhteinen perskaava Metrologiset tyypit Yhden maljan instrmentti Monen maljan instrmentti Yhden ptkisarjan MPN-instrmentti Usean laimennstason MPN-instrmentti Varmistett mittastlokset Eri metrologisten tyyppien yhdistetty epävarms. Periaatteet Lkemaepävarms 4 YHDISTETYN EPÄVARMUUDEN MATEMAATTINEN KOOSTAMINEN Riippmattomien mttjien yhdistelykaavat Smmamttjan (A+B) standardiepävarms Erotsmttjan (A-B) standardiepävarms Tlomttjan (AB) standardiepävarms Osamäärämttjan (A/B) standardiepävarms 4 4. Keskihajonta, shteellinen keskihajonta ja logaritmit Asteikkomnnokset Shteellinen ja prosentaalinen ilmais Esimerkki asteikkomnnoksista 5 5 MIKROBIOLOGISTEN VILJELYMÄÄRITYSTEN LASKUKAAVAT JA MATEMAATTISET EPÄVARMUUSMALLIT Laimennskerroin ja sen epävarms Kvitteelliset laimennskertoimet f ja F Kvitteellisten laimennskertoimien f ja F epävarms Laimennskertoimen (F) systemaattinen harha ja sen korjas. Todellinen laimennskerroin F' ja sen epävarms 9 5. Varmistvden (p) epävarms Kvantitatiiviset mikrobipitoissestimaatit ja niiden epävarms 31 Jlkais J1/001

6 5.3.1 Yhden maljan instrmentti Monen maljan instrmentti Yhden laimennstason MPN-instrmentti Usean laimennstason MPN-instrmentti 35 6 OIKOTIE MONIMALJAISEN MITTALAITTEEN EPÄVARMUUTEEN 37 7 YKSITTÄISTEN EPÄVARMUUSKOMPONENTTIEN ARVIOIMINEN Lkemaepävarms Monen maljan yhdistetty lkemaepävarms Z Yhden pesäkelkmäärän c hikkastilastollinen hajonta Pesäkesmman C hikkastilastollinen hajonta Siirrostilavden (v) volmetrinen epävarms Siirrostilavksien smman (V) volmetrinen epävarms 41 8 SYSTEMAATTISET KORJAUKSET JA NIIDEN EPÄVARMUUS "TÄYDELLISET" MALLIT Korjasten lonne 4 8. Todellinen laimennskerroin F' Varmistvs p Henkilökohtainen saaliskerroin K H Vertailna erehtymätön ekspertti Vertailna keskiarvotlos Laboratorion yhteinen lkemaepävarms Näytteen säilytyksestä johtva pitoissmtos. Stabiilisskerroin K S ja sen epävarms Kasvalstan saaliskerroin K A Ulkoiset vertailnäytteet Valikoimaton/valikoiva-kerroin Kohteen (materiaalin) epätasaiss. Korjaskerroin K M Peittokorjaskerroin Lkemakorjaskerroin 48 9 ESIMERKKEJÄ. YKSITTÄISTEN EPÄVARMUUSKOMPONENTTIEN ARVOT Yhden pesäkelkmäärän hikkastilastollinen hajonta Maljasarjan pesäkelksmman hikkastilastollinen hajonta Henkilökohtainen lkemaepävarms Laboratoriokohtainen lkemaepävarms Henkilökohtainen saaliskerroin ja sen epävarms Vertailna erehtymätön ekspertti Vertailna keskiarvotlos Siirrostilavksien smman epävarms Ilman lisälaimennsta Lisälaimenns mkana ESIMERKKEJÄ. MITTAUSTULOKSEN YHDISTETYN EPÄVARMUUDEN LASKEMINEN Yksi malja, laimentamaton näyte Yksi malja, laimennett näyte 55 Jlkais J1/001

7 10.3 Monta maljaa, laimennett näyte Monta maljaa, oikotie epävarmteen Monta maljaa, "täydellisesti" korjatt mittastlos Yhden ptkisarjan MPN Monen ptkisarjan MPN KIRJALLISUUTTA 64 LIITE A. Talkko eri lähteistä kootista epävarmstekijöiden arvoista 65 LIITE B. Erilaisten materiaalien ja lonnon kohteiden hajonta-arvoja 66 LIITE C. BASIC-kielinen ohjelma yhteensopivsindeksin G laskemiseksi 67 LIITE D. Tloslomake 69 Jlkais J1/001

8 11 1 MITTAUSEPÄVARMUUS, MITTAUSTULOS JA MITTAUS Mittasepävarms on metrologian pers- ja yleistermien sanaston mkaan (SFS 3700:1998) mittastlokseen liittyvä parametri, joka kvaa mittassreen arvojen oletetta vaihtela. Se on keskihajonnan tyyppinen sre, jonka määrittämiseksi on kaksi päämenetelmää. Niistä käytetään nimityksiä A ja B (ks. ). Termi mittastlos varataan tässä kirjoitksessa tarkoittamaan lopllista lkarvoa, joka analyysiprosessin päätteeksi ilmoitetaan ttkimksen tilaajalle. Mittastlos ja sen epävarms ovat yhdistelmä seista mittaksista tai havainnoista ja niiden epävarmdesta. Termiä mittas käytetään tarkemmin määrittelemättä eri tasoilla. 1.1 Kirjainsymboliikka Mittasepävarmtta koskevissa oppaissa (ISO 1995, Erachem 1995) on valitt kirjainsymboli (standard ncertainty) kvaamaan yllä esitettyä parametria silloin kn se srdeltaan vastaa jakaman keskihajontaa. Siitä käytetään nimitystä standardiepävarms. saattaa kitenkin yhtä hyvin tarkoittaa shteellista keskihajontaa (vaihtelkerrointa). Tässä kirjoitksessa on tehty se poikkeava ratkais, että shteellisen keskihajonnan tavalliset akronyymit (RSD tai CV) korvataan johdonmkaisesti symbolilla, kn taas kokeellisesti todetlle, mittastloksen kanssa samaa laata olevalle standardiepävarmdelle (otoskeskihajonnalle) käytetään sen perinteistä symbolia s. Kn mittastloksen epävarms saadaan yhdistelemällä monen osatekijän mittasepävarmdesta, phtaan yhdistetystä standardi epävarmdesta. ISO (1995) ja Erachem (1995) ilmaisevat sen alaindeksillä c (combined standard ncertainty, c ). Tässä oppaassa alaindeksi c varataan mihin tarkoitksiin ja korvataan y:llä mittastloksen yhdistettyä epävarmtta ilmoitettaessa. Syynä on se, että jatkossa lopllista mittastlosta kaikkien laimenns- ym. korjasten jälkeen merkitään y:llä. Erityisesti silloin, kn mittastlosta käytetään terveyteen tai trvallisteen liittyvässä päätöksenteossa, on aiheellista antaa epävarmden arvo, joka kattaa homattavan osan koko odotettavissa olevasta havaintojokosta. Silloin käytetään ns. laajennetn epävarmden (expanded ncertainty) käsitettä. Laajennetta epävarmtta merkitään yleensä isolla kirjaimella U. Se tarkoittaa epävarmtta, joka saadaan kertomalla yhdistetty standardiepävarms c kattavskertoimella k. Käsite on ska lottamsväliajattellle. Noin 95 % odotettavissa olevasta vaihtelsta sisältyy laajennetn epävarmden piiriin silloin, kn kattavskertoimelle valitaan arvo. Tässä oppaassa laajennett epävarms merkitään kirjaimella S ja sen shteellinen arvo kirjaimella U. 1. Mittasepävarmden ilmaiseminen ISO (1995) esittää neljä tapaa ilmaista mittastloksen mittasepävarms. Näistä ainoastaan kolmea ensimmäistä sositellaan käytettäväksi standardiepävarmden yhteydessä. Jlkais J1/001

9 1 Olkoon mitatt esimerkiksi bakteeripitoisden arvoksi y ja sen yhdistetyksi standardiepävarmdeksi s y. Vaihtoehtoiset tavat ovat (slkeissa olevat sanat voi jättää pois): 1) y 150 ml -1 (yhdistetyllä standardiepävarmdella) s y 500 ml -1. ) y 150(500) ml -1, missä slkeisiin merkitty lk tarkoittaa mittaksen yhdistettyä standardiepävarmtta s y kohdistettna ilmoitetn tloksen kolmelle viimeiselle nmerolle. 3) y 150(500) ml -1, missä slkeisiin merkitty lkarvo on (yhdistetty standardiepävarms) s y ilmaistna mittastloksen yksiköissä. Edellä esitettyjä lontevampaa mikrobiologisten tlosten yhteydessä olisi epävarmden ilmaiseminen shteellisena y tai prosentaalisesti 100 y %. Esimerkiksi y 150 ml -1 ( y 40 %) on sositeltava tapa. Jos mittasarvoon haltaan liittää laajennett epävarmden arvo U, voi olla tarpeellista hyvinkin seikkaperäisesti selostaa mistä epävarmden arvo on peräisin. Esimerkiksi seraavaa tapaa sositellaan: y (6400±160) ml -1, missä ± merkin jälkeinen lkarvo on (laajennett epävarms) S ks y arvioitna pesäkelkmäärään 64 liittyvästä Poisson-jakaman standardiepävarmdesta s 8 ml -1 ( 0,15), siirrostilavden shteellisesta standardiepävarmdesta 0,0 ja kattavskertoimesta k. Yhdistetty epävarms saattaa koosta yli kymmenestäkin tnnistettavissa olevasta osasta. Niiden kaikkien letteleminen edellä osoitettn tapaan käy ajan oloon hankalaksi. Siinä tapaksessa, että yhdistetty epävarms rakennetaan osistaan on parasta esittää eri komponenttien arvot lettelomaisesti tloslomakkeessa, esimerkiksi liitteessä D ehdotettn tapaan Sret tlos- ja epävarmsarvot mikrobiologiassa Näytteen mikrobipitoisdet saattavat olla miljoonia tai satoja miljoonia grammaa kohti. Mittastlokset ilmoitetaan mieliten tyyliin y x 10 k, missä x on sein desimaalilk. Tlos y g -1, jonka mittasepävarms on ±15 % esitettäisiin sositeltja ilmaisja nodattaen (nmerot ja 3 yllä) esimerkiksi seraavasti: y 1,3(0,0) 10 6 g -1. Sositsta 1 nodatettaessa arvot ilmoitetaan selkeästi erikseen y 1, g -1 ja s y 0, g -1 tai y 15 %. Perinteisiä MPN-menetelmiä käytettäessä shteellinen mittasepävarms on säännöllisesti srempi kin 0,5 (50 %). Missakin tapaksissa yhdistetty epävarms voi nosta näin sreksi. Tällöin laajennett epävarms U>1 (>100 %), joten sen arvo on srempi kin mittastloksen arvo ja lottamsvälin alaraja tlee miinsmerkkiseksi. Niin kaan kin ei ole määritelty mihin tarkoitkseen ja miten epävarmsarvoja käytetään, niihin voi shtata raportoitavina irrallisina lisämäärityksinä, eikä negatiivisesta alarajasta ole haittaa. Jlkais J1/001

10 Merkitsevät nmerot Mikrobiologiassa on harvoin edellytyksiä ilmoittaa lopllista mittastlosta paremmalla kin kahden merkitsevän nmeron tarkkdella. Myös epävarms on syytä ilmoittaa kahden nmeron tarkkdella, vaikka se merkitsisi seampaa desimaalia kin itse mittastloksessa (ks. nmeroarvoja kohdassa 1..1). Pyöristys kahden merkitsevän nmeron tarkkteen tehdään vasta lopllista mittastlosta ilmoitettaessa; ei milloinkaan pershavaintoon eli havaittn pesäkelkmäärään. Jlkais J1/001

11 14 MITTAUSEPÄVARMUUDEN MÄÄRITYSPERIAATTEET Mittastloksen epävarms joht yleensä monista tekijöistä; mikrobiologiassa aina vähintään kolmesta, siirrostilavden epävarmdesta, pesäkelkmäärän hikkastilastollisesta hajonnasta ja tloksen lkemisen epävarmdesta. Joidenkin epävarmskomponenttien srs voidaan arvioida tilastollisin menetelmin sarjasta rinnakkaisia mittaksia, jolloin niitä kvataan havaintojen otoskeskihajonnalla. Toiset komponentit, joita myöskin kvataan keskihajonnalla, arvioidaan oletetista todennäköisyysjakamista tai kokemksen tai mn tiedon persteella. ISO (1995) käyttää näistä kahdesta periaatteellisesti erilaisesta arviointityypistä nimityksiä tyyppi A ja tyyppi B. A-tyyppinen evalointi voi koskea koko analyysiprosessin lopptlosta tai jotakin osamittasta (esim. pipetointia). B-tyypin evalointi koskee lähinnä vain yksittäisiä epävarmskomponentteja..1 Perstyyppi A A-tyyppinen keskihajonta (standardiepävarms) saadaan n:n riippmattoman rinnakkaismittaksen x 1, x,...,x n kokeellisen keskihajonnan (otoskeskihajonnan) kaavasta, missä x tarkoittaa keskiarvoa s x n i n ( x x) i 1 1 (1) A-tyypin epävarmden laskemiseksi mittas pitää toistaa niin monta kertaa, että tloksen otoshajonnasta saadaan lotettava arvio. Pääasiallinen ongelma on siinä, että aivan pieni otos ei tahdo riittää knnollisen epävarmsestimaatin saamiseksi. Jopa 30 rinnakkaismittaksen keskiarvon otoskeskihajonnan shteellinen epävarms on normaalijakamaa nodattavissa mittaksissa vielä noin 13 %; kahteen rinnakkaiseen perstvan keskihajonnan epävarms peräti 76 % (ISO 1995). Mittasepävarmden arvon haltaan yleensä edstavan materiaalia eikä vain yhtä näytettä. Rinnakkaishavainnot eivät edsta materiaalia riippmattomasti, jos ne ovat peräisin samasta näytteestä. On tärkeä selvästi tiedostaa minne saakka mittastloksen jret lottvat, ja snnitella toistot sieltä alkaviksi.. Perstyyppi B ISO:n (1995) mkaan B-tyyppinen epävarmden arvo saadaan milla keinoin kin rinnakkaishavaintojen tilastollisilla analyyseillä. Epävarmsvarianssi tai standardiepävarms pohjataan koko siihen tieteelliseen tietoon (paitsi rinnakkaismittaksiin), joka on olemassa mittassreen mahdollisesta vaihtelsta. Tieto voi olla peräisin tilastollisesta teoriasta, aikaisemmista vastaavanlaisista mittaksista, kokemksesta tai yleisistä käsityksistä mittalaitteiden ja materiaalien ominaisksista, valmistajan spesifikaatioista, kalibrointi- ja sertifiointiraporteissa jlkaistista vertailarvoista tai käsikirjojen antamista epävarmsarvioista. Jlkais J1/001

12 15 B-tyyppinen epävarmsarvio saattaa olla jopa lotettavampi kin vähäiseen rinnakkaisten määrään perstva A-tyyppinen epävarms..3 Yhdistetty epävarms Ei yleensä ole käytännössä mahdollista tehdä jokaisessa mittastilanteessa riittäviä toistoja tapaskohtaisen A-tyyppisen epävarmden määrittämiseksi. Silloin joko skotaan jonkin aikaisemmin tehdyn epävarmsmäärityksen pätevän yleisesti (esim. sko toistettavs- ja sittavs-parametreihin) tai koostetaan yhdistetty epävarms analyysiprosessiin liittyvien osamittasten eri tavoin määritetyistä mittasepävarmden arvoista. Yhdistetty epävarms koostetaan osista siten, että tnnistetaan ja letteloidaan kaikki tai ainakin tärkeimmät analyysin eri vaiheissa vaikttavat epävarmstekijät. A- tai B-tyypin menettelyllä arvioidaan knkin srs ja eri epävarmskomponenttien arvot yhdistetään matemaattisesti. Yhdistetty epävarmden matemaattista mallia yhtä hyvin kin sen A-tyyppistä toistomääritystä snniteltaessa on päätettävä mitkä kaikki epävarmstekijät otetaan mkaan. Tärkein valinta koskee sitä sisällytetäänkö näytekohteessa (materiaalissa) esiintyvä mikrobipitoisden otosvaihtel epävarmsestimaattiin vai tarkoitetaanko epävarmdella ainoastaan yhden näytteen laboratorioanalyysin hajontaa. Kn kaikki merkittävästi vaikttavat epävarmstekijät on oikein tnnistett ja arvioit, niin matemaattisesti koostetn yhdistetyn epävarmden estimaatin ja rinnakkaishavaintoihin perstvan A-tyypin estimaatin pitäisi olla saman srisia. Mikäli niin ei ole, niin rinnakkaishavaintoihin ilmeisesti vaikttaa yksi tai seampi tnnistamaton epävarmstekijä, jota ei ole ymmärretty sisällyttää matemaattiseen epävarmsmalliin. Mikrobiologiassa kaikkein tavallisin hajontaa lisäävä syy on jokin 'vahinko' (kontaminaatio, värinmtos tai pesäkkeiden leviäminen), jolle ei ole mitään ennstettavissa olevaa todennäköisyyttä eikä matemaattista mallia. Komponenttien arviointi erikseen attaa tnnistamaan srimmat epävarmstekijät, joihin pttminen vaikttaa eniten yhdistettyyn epävarmteen. Yhdistetyn epävarmden arvio olisi mikrobiologisissa analyyseissä aihetta tehdä tapaskohtaisesti, koska tapaskohtaisesti vaihteleva pesäkelkmäärä, jota ei voida etkäteen ennstaa, sein dominoi epävarmden arvoa..4 Epävarmskomponenttien tietolähteet Mittasepävarmden komponentteja voidaan saada paitsi omista toistomittaksista myös tieteellisestä kirjallisdesta sekä vanhojen, mita tarkoitksia varten koottjen aineistojen varianssianalyyseistä. Tarvittaessa käytetään mitakin arviointikeinoja kten matemaattista teoriaa (Poisson- tai binomijakama) tai eräitä erikoisia approksimaatioita kten tasaista tai kolmiojakamaa (.4.1,.4.). Phdas kokemkseen perstva arvaskin on hyväksyttävien keinojen jokossa, knhan epävarmsarvoja raportoitaessa selvästi osoitetaan mistä arvot on saat. Jlkais J1/001

13 Tasainen jakama On tapaksia, missä lähtösreen arvojen tiedetään voivan vaihdella joissakin rajoissa (esim. -a...+a), mtta ei ole käsitystä arvojen todennäköisyysjakamasta. Tyypillisiä esimerkkejä ovat pipetin valmistajan ilmoittamat spesifikaatiot ja näytteiden säilytyksen aikaiset pitoissmtokset. Yksi mahdolliss on pitää jokaista arvoa välillä -a...+a yhtä mahdollisena. Silloin "todennäköisyysjakama" on ns. tasainen jakama (Kva 1). -a 0 +a Kva 1. Tasainen jakama. Jokaista arvoa välillä -a...+a pidetään yhtä mahdollisena (yhtä todennäköisenä). Tasaisen jakaman standardiepävarmden arvo on (ISO 1995) s a 3 () Koska mikrobiologiassa on lontevinta esittää mtokset shteellisina (esimerkiksi a %), niin silloin laskett keskihajonnan arvo saadaan soraan shdeyksiköissä eli shteellisena keskihajontana..4. Kolmiojakama Tntematonta todennäköisyysjakamaa voidaan ajatella toisinkin. Pidetään lltavimpana, että arvo on lähellä ilmoitetta tai että pitoiss ei mt, mtta toisaalta hyväksytään mahdolliseksi enintään srdeltaan ±a oleva ero. "Todennäköisyysjakamaa" kvataan tasakylkisellä kolmiolla, jonka hipp on kohdassa 0 (tai arvaamalla valitssa kohdassa w) ja kannan päätepisteet arvoissa -a ja +a (tai a + w ja a + w) (Kva ). Jlkais J1/001

14 17 -a 0 +a Kva. Kolmiojakama. Kaikki arvot välillä -a...+a katsotaan mahdollisiksi, mtta nollan lähellä olevia arvoja pidetään lltavimpina. Kolmiojakaman standardiepävarms on snnilleen (ISO 1995) s a 6 (3) Se kelpaa sellaisenaan korjaskertoimen shteellisen keskihajonnan arvoksi, kn a on ilmoitett shteellisena (esim. %). Jlkais J1/001

15 18 3 MIKROBIOLOGISET KVANTITATIIVISET VILJELYMENETELMÄT METROLOGISELTA KANNALTA Kvantitatiivisten viljelymenetelmien analyysiprosessi etenee siten, että näyte homogenoidaan ensin holellisesti ja laimennetaan tarvittaessa "mittalaitteen" toiminta-aleelle. Sen jälkeen menetelmään sopivat tilavdet siirrostetaan kyseiseen mittalaitteeseen. Sitä laimennssarjan sspensiota, josta saadaan ensimmäiset käyttökelpoiset tlokset nimitetään jatkossa päätesspensioksi. Mittalaite eli "detektioinstrmentti" koost sein monesta yksittäisestä detektorista, joita on kahta tyyppiä: pesäkelk- ja liosdetektorit (petrimalja, liosptki). 3.1 Viljelymääritysten yhteinen perskaava Kvantitatiivisten viljelymääritysten kaikille yhteinen matemaattinen perskaava on y Fx (4) missä x päätesspension mikrobipitoiss ja F päätesspension laimennskerroin. (Kn laimennsta ei tarvita, F 1.) 3. Metrologiset tyypit Päätesspension tiheyden määrittämiseksi on käytössä neljä instrmenttityyppiä. (Harvinainen 'spiral plate' on viides tyyppi mtta jätetään käsittelyn lkopolelle.) 3..1 Yhden maljan instrmentti Mikrobipitoisden arvio perst yhden maljan pesäkelkmäärään c, joka on havaitt päätesspension siirrostilavdesta v (Kva 3). x c v (5) Jlkais J1/001

16 19 Kva 3. Yhden maljan instrmentti. Sotk kvaa ttkittavaa materiaalia, kolmiot sspensioplloja (laimennssarjaa), ympyrät petrimaljoja, nolet pipetointeja. Monista valmistetista maljoista holimatta tlokset lasketaan vain yhdestä maljasta (varjostett). Päätesspensio (lihavoit) on se laimennos, josta tlos letaan. Varjostamattomat maljat on karsitt mahdottomina tai jonkin maljakohtaisia pesäkemääriä rajoittavan sopimksen takia. 3.. Monen maljan instrmentti Mikrobipitoisden arvio perst pesäkelkmääriin, jotka ovat peräisin saman sspension eri tilavksista (laimennoksista) ja/tai samojen laimennosten rinnakkaismaljoista (Kva 4). Kva 4. Monimaljainen instrmentti. Useasta laimennoksesta viljeltyjen maljojen jokosta on valitt osa (varjostett) laskettaviksi. Niistä modost detektioinstrmentti, jonka päätesspensioksi määräytyy ensimmäinen laimennos, josta saadaan laskettavia maljoja (lihavoit). On tarkoitksenmkaista ajatella eri laimennoksista mitattja siirroksia päätesspension erisrina tilavksina (katkoviivanoli). Päätesspension mikrobipitoisden ns. painotett keskiarvo on x Σ ci Σ v i C V (6) c i v i i:nnen maljan pesäkelk, i:nnen mittasannoksen tilavs päätesspension tilavsyksikköinä. Jlkais J1/001

17 0 Kaavassa pienillä kirjaimilla (c, v) on osoitett yhden maljan pesäkelkmääriä ja siirrostilavksia ja isoilla kirjaimilla (C, V) niiden smmia Yhden ptkisarjan MPN-instrmentti Sarja (n) yhtäsria tilavksia (v) ttkittavasta (pääte)sspensiosta siirrostetaan kkin omaan steriiliin kasvkennoonsa kehittymään. Kvantitatiivisen tloksen saannin edellytyksenä on se, että osa kasvkennoista jää steriileiksi. Päätesspension mikrobipitoiss arvioidaan kaavasta x v n s 1 v n ln s (7) yhden mittasannoksen tilavs, kasvkennojen kokonaislkmäärä, steriileiksi jääneiden kasvkennojen lkmäärä Usean laimennstason MPN-instrmentti Usean laimennstason MPN-arvo lasketaan iteratiivisen lasktoimitksen avlla (esim. Halvorson ja Ziegler, 1933), jota ei voida esittää eksplisiittisen laskkaavan modossa. Näinollen tiheysarvio on x MPN f ( n p k), (8) i i, missä MPN-tlos saadaan talkoista tai tietokoneohjelmista laimennsten lkmäärän (k), ptkisarjojen pitden (n i ) ja eri sarjojen positiivisten ptkien lkmäärän (p i ) fnktiona. Vastaa monen maljan instrmenttia (3..). 3.3 Varmistett mittastlokset Monissa selektiivisissä menetelmissä edellytetään lopllisen mittastloksen olevan ns. varmistett tlos. On pesäkemenetelmiä, joissa varmists tapaht reagenssilisäyksellä koko maljaan tai membraanisodattimen siirrolla reagenssialstalle. Tällöin kaikkiin (myös alstavasti negatiivisiin) pesäkkeisiin tlee tehdyksi varmistava mittas. Lopptlos lasketaan pelkästään tietyllä tavalla reagoivien pesäkkeiden lkmäärän persteella. Metrologisessa shteessa tällaiset kokonaisvarmistett ('in sit'-varmistett) pesäkelvt ovat rinnastettavissa kokonaispesäkelkihin. Kysymys on ainoastaan -vaiheisesta prosessista, missä kaikki tietyllä tavalla reagoivat pesäkkeet katsotaan varmistetiksi ja lasketaan. Jlkais J1/001

18 1 Myös silloin, kn kaikki viljelmän alstavat pesäkkeet varmistetaan yksitellen, on kysymys kokonaisvarmistetsta lkmäärästä. Kokonaisvarmistksessa saadaan tapaskohtainen korjas, jossa ei kertoimia tarvita. Otosvarmistetissa menetelmissä trvadtaan osittaiseen varmistkseen. Näissä tapaksissa selvitetään ensin alstava (varmistamattomien) positiivisten pesäkkeiden lkmäärä. Ainoastaan alstavat positiiviset pesäkkeet tai satnnainen otos niistä testataan. Varmistetn mittastloksen laskemiseksi alstava tlos kerrotaan varmistvdella eli tosipositiivisten shteellisella osdella. Varmistvtta merkitään jatkossa p:llä. Otosvarmistettjen tlosten korjas voidaan tehdä missä lopptloksen laskemisen vaiheessa tahansa. Joko pesäkelk c (tai C), tiheysarvio x tai lopllinen tlos y kerrotaan p:llä. Varmistvs on tavallaan yksi systemaattisten "virheiden" korjaskertoimista, joista mt esitetään lvssa 8. MPN-menetelmien yhteydessä on periaatteessa kolme varmistamisen tasoa. Jos kaikki kasva osoittavat (myös vailla positiivista reaktiota olevat) ptket siirrostetaan varmistkseen, tilanne vastaa kokonaisvarmistetta pesäkelka. Jos vain alstavasti positiiviset viljelmät siirrostetaan varmistkseen, kysymyksessä on otosvarmistett tyyppi, joka vastaa pesäkemenetelmissä sitä, että maljan kaikki alstavasti positiiviset pesäkkeet varmistetaan. On myös mahdollista, että vain osa positiivisista viljelmistä varmistetaan. Tällöin MPNmenetelmissäkin lopptlos korjataan jälkikäteen positiivisten otoksesta lasketlla varmistvdella. Kahdessa edellisessä tapaksessa tlosten varmists on menetelmän sisäistä siinä mielessä, että varmistett mittastlos lasketaan tai haetaan varmistneiden ptkien lkmäärän persteella. 3.4 Eri metrologisten tyyppien yhdistetyt epävarmdet. Periaatteet. Mittastloksen yleiset laskkaavat sisältävät kaksi tai kolme tlon tekijää. Kokonaispesäkelk- ja kokonaisvarmiststyyppien tlos lasketaan kaavalla y Fx (9) ja otosvarmiststyypin kaavalla y Fpx (10) F x p laimennskerroin, päätesspension mikrobipitoiss, varmistvs. Kokonaisepävarms koostetaan tekijöiden epävarmksista, joten kokonaispesäkelk- ja MPN-estimaattien epävarms on fnktio laimennskertoimen (F) ja tiheysestimaatin (x) epävarmksista ja otosvarmistettjen estimaattien epävarms on fnktio tiheysestimaatin (x), laimennskertoimen (F) ja varmistmisosden (p) epävarmksista. Tiheysestimaatteja on neljä metrologisesti erilaista tyyppiä (ks. 3.), joten Jlkais J1/001

19 mittasepävarmden käsittely hajoaa moneen osaan Lkemaepävarms Kvantitatiivisten viljelymenetelmien mittastloksen tastalla on positiivisten pesäkkeiden tai ptkien lkmäärä. Kokonaan riippmatta siitä onko lkema lähellä tosiarvoa tai kakana siitä, itse lkeman otto on jossakin määrin epävarmaa. Jos henkilö laskisi pesäkkeet tai ptket toistamiseen, tlos ei välttämättä olisi täsmälleen sama kin ensimmäisellä kerralla. Toistettavden ptteesta käytetään seraavassa nimitystä lkemaepävarms. Merkintänä käytetään yhden maljan tapaksessa z (pieni z) ja sean maljan pesäkesmman tapaksessa Z (iso Z). Lkemaepävarms on eri asia kin se epävarms, mikä liittyy eri henkilöiden systemaattisiin lkemaeroihin samassa tehtävässä. Henkilö pystyy yleensä toistamaan oman lkemansa parin prosenttiyksikön sisällä ( z 0,01...0,03). Vaikeissa näytetyypeissä ja hankalia menetelmiä käytettäessä lkemaepävarms voi olla paljon srempikin. Niissä tapaksissa se on varteenotettava epävarmskomponentti. Jlkais J1/001

20 3 4 YHDISTETYN EPÄVARMUUDEN MATEMAATTINEN KOOSTAMINEN Yhdistetty epävarms koostetaan osistaan vektorismman periaatteella; tekijöiden matemaattisista yhteyksistä riippen joko shde- (log-) tai välimatka-asteikossa. Sitä tarkoitsta varten lopllisen mittastloksen shde lähtösreisiin on pystyttävä ilmaisemaan matemaattisen kaavan modossa. Kaavan pitäisi sisältää kaikki tarvittavat välitlokset sekä korjakset ja korjaskertoimet, jotka saattavat vaikttaa merkittävästi mittastlokseen ja sen epävarmteen. Jos kaikki epävarmskomponentit ovat toisistaan riippmattomia (korreloitmattomia, ortogonaalisia), niin vektorismman arvo on sama kin ns. eklidinen etäisyys eli geometrinen smma (neliöjri varianssien smmasta). Jos jonkin epävarmskomponentin arvo riipp jonkin toisen epävarmskomponentin arvosta, niin nämä epävarmstekijät ovat korreloitneita. Niiden yhteisvaiktsta arvioitaessa on otettava homioon myös niiden välinen korrelaatio (kovarianssi). (Ks. lähemmin ISO 1995 ja Erachem 1995.) Onneksi mikrobiologisen määrityksen epävarmskomponentit ovat srimmaksi osaksi riippmattomia. Eklidisen smman periaatetta voidaan soveltaa ilman mainittavia epäilyksiä. Smman ja erotksen riippmattomat epävarmskomponentit yhdistetään absolttisina (välimatka-asteikossa) ja tlon ja osamäärän epävarmskomponentit shteellisina (shde- tai log-asteikossa). Mikrobiologisissa määrityksissä matemaattinen epävarmden arviointi edellyttää sein liikkmista mitta-asteikosta toiseen. Siitä mahdollisesti seraavien epäselvyyksien vähentämiseksi on tässä oppaassa valitt eri symbolit mittasreen välimatka-asteikossa mitatlle standardiepävarmdelle (keskihajonnalle) ja shde- tai logaritmiasteikossa mitatlle standardiepävarmdelle (shteelliselle keskihajonnalle) (ks. 1.1). 4.1 Riippmattomien mttjien yhdistelykaavat Olkoon mitatt kahden riippmattoman lähtösreen A ja B arvot sekä arvioit niiden keskihajonnat s A ja s B tai shteelliset keskihajonnat A ja B. Absolttisen (s) ja shteellisen epävarmden () välinen riippvs on: s X X X, missä X on sreen keskiarvo. A:sta ja B:stä laskettjen yhdistettyjen mttjien (A + B), (A - B), AB ja A/B kokonaisepävarmdet vektorismman periaatteella laskien ovat: Smmamttjan (A + B) standardiepävarms s (A + B) s A + s B (11) Jlkais J1/001

21 4 Smmamttjan shteellinen standardiepävarms ( A + B) s ( A + B) A + B (1) 4.1. Erotsmttjan (A-B) standardiepävarms s (A - B) s A + s B (13) Erotsmttjan shteellinen standardiepävarms s(a - B) (A - B) A - B (14) Tlomttjan (AB) standardiepävarms s AB AB s A sb + A B AB A + B ) (15) Tlomttjan shteellinen standardiepävarms AB A + B (16) Osamäärämttjan (A/B) standardiepävarms s AB A B s A sb + A B A B A + B ) (17) Osamäärämttjan shteellinen standardiepävarms AB A + B (18) Mikrobiologisten mittastlosten yhdistetyt epävarmdet saadaan lasketiksi edellä esitettyjä kaavoja soveltaen. Logaritmit vaativat kitenkin oman käsittelynsä. Jlkais J1/001

22 5 4. Keskihajonta, shteellinen keskihajonta ja logaritmit On tavallista, että mikrobiologisia mittastloksia käsitellään, josks tarpeettomastikin, logaritmoitina. Homattava osa kirjallisdesta löytyvästä mikrobiologisten mittastlosten hajontaa koskevasta tlosmateriaalista on logaritmiasteikossa eli käytännössä shdeasteikossa Asteikkomnnokset Asteikkomnnosten avain on matemaattinen periaate, jonka Myrberg (195) on ilmaisst seraavasti: "Sreen shteellinen virhe on likimäärin yhtä sri kin sen logaritmin absolttinen virhe". Laseessa tarkoitett logaritmi on Neperin järjestelmän (ns. lonnollinen) logaritmi ja virheellä tarkoitetaan sitä, mistä nykyisin mielmmin käytetään nimitystä epävarms. Siis mntamalla missä tahansa logaritmiasteikossa ilmaist keskihajonta lonnolliseen logaritmijärjestelmään, saadaan shteellisen keskihajonnan arvo likimäärin arvioidksi. Mnnos tapaht kertomalla järjestelmien välisellä modlilla. Lonnollisen järjestelmän modli kymmenkantaisen (Briggs'in) järjestelmän shteen on,3059, eli käytännössä,3 tai, Shteellinen ja prosentaalinen ilmais Shteellisen keskihajonnan arvo esitetään yleisesti prosenttilkna. Koska symbolin % merkitys on "sadasosa" niin abstraktilla tasolla ei tarvitse tehdä eroa prosenttien ja sadasosien välillä (5 % 0,05). Laskkaavoissa on johdonmkaisesti pitäydyttävä jommassa kmmassa lktyypissä. Tässä kirjoitksessa on valitt ilmaisksi sadasosat Esimerkki asteikkomnnoksista Seraava esimerkki ei ole todists 4..1:ssä esitetylle väittämälle, mtta osoittaa käytännön tasolla sen toimivden. Esimerkki 4.1. Erään verrattain epähomogeenisen kohteen kymmenessä riippmattomassa näytteessä on havaitt pesäkelkmäärät: 30, 30, 31, 34, 48, 53, 97, 164, 166, 13. Havainnoista on laskett: aritmeettinen keskiarvo 86,6, (aritm.) otoskeskihajonta 69,3337, ln-mnnetn aineiston otoskeskihajonta 0,7889, log 10 -mnnetn aineiston otoskeskihajonta 0,346. Jlkais J1/001

23 6 Kohdissa 4..1 ja 4.. esitettyjä periaatteita soveltaen saadaan shteellisen keskihajonnan estimaatti kolmella tavalla: välimatka-asteikko: 69,3337/86,6 0,8006 0,80 ln-asteikko: 0,7889 0,79 log 10 -asteikko:,3059 0,346 0,7889 0,79 Arvot eivät poikkea merkittävästi toisistaan. Jlkais J1/001

24 7 5 MIKROBIOLOGISTEN VILJELYMÄÄRITYSTEN LASKUKAAVAT JA MATEMAATTISET EPÄVARMUUSMALLIT Tässä jaksossa esitettävät epävarmsmallit ovat pelkistettyjä. Niissä ei ole otett homioon mista systemaattisista korjaksista kin laimenns- ja varmistvskorjaksesta johtvat epävarmdet. Täydellisempiä malleja käsitellään lvssa 8 ja esimerkissä Mittastloksen kokonaisepävarmteen vaikttavien komponenttien perslettelo selviää kirjoittamalla näkyviin mittastloksen laskkaava. Esimerkiksi kvan 4 esittämässä tapaksessa mittastlos y perst seraaviin mittaksiin ja niiden välisiin matemaattisiin shteisiin: (a1 + b1 ) (a + b ) (a3 + b3 ) (c1 + c + c3 + c4 ) y (19) a b b (v + v + v + v ) 1 3 a i i:nnen laimennsvaiheen siirrostilavs (ml), b i i:nnen laimennsvaiheen laimennsvesitilavs (ml), c j j:nnen laskettavaksi valitn maljan pesäkelkmäärä, v j j:nnen laskettavaksi valitn maljan siirrostilavs päätesspension tilavsyksikköinä, i 1...3, j Mittaksia, joista mittastlos koost on 14 (3 kpl a, 3 kpl b, 4 kpl c ja 4 kpl v). Jokaiseen niistä liittyy epävarmtta. Mittastloksen kokonaisepävarms on niiden yhdistelmä. Laskkaavojen yksinkertaistamiseksi on tarkoitksenmkaista käsittää koko laimennsmittasten sarja yhdeksi prosessiksi, jonka seraksena on laimennskerroin F. Laimennskertoimen F epävarms esitetään kohdassa 5.1, otosvarmistettjen tlosten varmistvden p epävarms kohdassa 5. ja eri metrologisten tyyppien sspensiotiheyden estimaattien epävarmdet kohdissa Lisäksi lopptloksen epävarmteen vaikttaa tloksen lkijan henkilökohtainen lkemaepävarms z (3.4.1) Laimennskerroin ja sen epävarms Kvitteelliset laimennskertoimet f ja F Yksittäinen laimennsvaihe saadaan aikaan pipetoimalla mikrobisspensiosta tilavs a steriilin laimennslioksen tilavteen b. Laimentmisen monikerta, laimennskerroin f, saadaan kaavasta f a + b a (0) Jlkais J1/001

25 8 k:sta perättäisestä laimennsvaiheesta koostva laimennskerroin lasketaan kaavalla: F k a1 + b1 a + b a a 1 a... k + b a k k f Useimmissa tapaksissa laimennssarja on säännöllinen, niin että tilavdet a ja b ovat kaikissa vaiheissa samoja. Silloin k:n vaiheen kokonaiskerroin on 1 f K f k (1) F f k k a+b a k () Laimennskertoimet f ja F ovat siinä mielessä "kvitteellisia", että mitattjen tilavksien a ja b oletetaan todella olevan ilmoitettjen nimellistilavksien srisia (keskimäärin) Kvitteellisten laimennskertoimien f ja F epävarms Tilavksista a ja b koostvan yhden laimennsvaiheen kertoimen (f) epävarms f saadaan arvioimalla yhdistetty epävarms toimitkselle f a + b a Kaavan (3) osoittaja ja nimittäjä ovat korreloitneita (sama a). Korrelaation takia ei sovelleta riippmattomien mttjien osamäärän kaavaa, vaan laimennskertoimen (f) standardiepävarms saadaan kaavasta (3) s s b f + a b a 4 a s (4) ja shteellinen standardiepävarms kaavasta 1 b 1 f sb + sa sb + b ( a + b) a ( a + b) a (5) F k f (6) Jos kokonaiskerroin (F) koost k:sta samanlaisesta laimennsvaiheesta, sen kokonaisepävarms on samojen periaatteiden mkaisesti Jlkais J1/001

26 9 Jos vaiheet ovat tilavsrakenteeltaan erilaisia, knkin shteellinen epävarms on laskettava erikseen ja laimennskertoimen epävarms on niiden vektorismma (neliöiden smman neliöjri). F k (7) Laimennskertoimen (F) systemaattinen harha ja sen korjas. Todellinen laimennskerroin F' ja sen epävarms. Pääsääntöisesti laboratoriot kvittelevat nestemittasten systemaattiset harhat olemattomiksi tai ainakin merkityksettömiksi ja käyttävät holettomasti kvitteellisia laimennskertoimia mittastloksia laskiessaan. Mitatt tilavdet eivät kitenkaan välttämättä ole keskimäärin oletetn srisia. Tilavs voi mtta steriloitaessa nesteitä atoklaavissa eikä pipettien ja annostelijoiden antavs ole välttämättä nimellisarvon mkaista. Systemaattiset harhat ovat välinekohtaisia ja pipetointien osalta jopa osittain työntekijäkohtaisia. Kirjallisdessa jlkaistt kokeelliset havainnot eivät ole yleispäteviä. Jos laimennsmittasten nimellistilavksiin a ja b on havaitt liittyvän systemaattiset virheet srdeltaan keskimäärin a ja b, niin k-portaisen laimennssarjan todellinen laimennskerroin on a + a + b + b F k a + a k (8) Tilavksien tosiarvot (a + a) ja (b + b) saadaan kokeellisista kalibrointimittaksista. Tilavksien mittasepävarmdet selviävät samassa yhteydessä. Todellisen laimennskertoimen epävarmden arvo on sama kin kvitteellisen laimennskertoimen (F) epävarms (5.1.). 5. Varmistvden (p) epävarms Varmistvs on varmistneiden tapasten ja alstavien positiivisten tapasten shde; eräänlainen tnnistamisen tai onnistmisen todennäköisyys. Mikäli tapaskohtainen kokonaisvarmists ei tle kysymykseen, on hyväksyttävä jokin yleistävä yksinkertaists. Varmistvden lkarvo estimoidaan eristämällä satnnaisesti n alstavasti positiivista pesäkettä ja toteamalla varmistneiden lkmäärä (k). Merkitään varmistvtta p:llä. Sen paras estimaatti on $p k n (9) HUOM. Sanaa 'satnnaisesti' ei voi liikaa korostaa. Missään eristämisen vaiheessa ei saa antaa sbjektiivisen valinnan ohjata poimintaa alstavien positiivisten pesäkkeiden jokosta. Sosits valita jokaisen eri pesäketyypin edstaja varmistettavaksi on sorastaan vaarallinen. Jlkais J1/001

27 30 Koska pesäkkeiden aiheet jotvat maljalle aln alkaen satnnaisiin paikkoihin, satnnaisen eristämisen menettelyksi riittää valita mielivaltainen aloitspaikka ja eristää siitä alkaen esimerkiksi kalvosodattimen rtriviä pitkin edeten jokainen vastaan tleva alstavat lkonäkökriteerit täyttävä pesäke knnes etkäteen valitt määrä tlee täyteen. On lvallista hypätä sellaisen pesäkkeen yli, jonka eristäminen phtaana tnt hyvin epätodennäköiseltä. On pyrittävä vaststamaan kisasta valita aloitskohta aina siten, että paras pesäke tlee varmasti eristettyjen jokkoon. Tapaskohtainen tosipositiivisten osden (varmistvden) estimointi olisi toivottavaa. Ellei se ole mahdollista, voi olla pakko jopa kvitella varmistvden olevan menetelmäkohtainen vakio. Aineiston karttessa tlee mahdolliseksi ryhmitellä näytetyypit varmistvden mkaisiin lokkiin, mikäli tarpeen. Koska esimerkiksi ympäristönäytteissä varmistvs oletettavasti vaihtelee näytepaikkakohtaisesti ja vodenajoittain, niin hyväksyttävimmältä tnt sellainen ratkais, että vähitellen näyte näytteeltä kerätään tietoa, joka ajan oloon ryhmitellään paitsi näytetyyppi- ja vodenaika- myös työntekijäkohtaisesti. Loplta p:n estimaatit täsmentyvät ja mittastlosten epävarms vastaavasti pienenee. Silti tällaisen estimaatin yleispätevyyden shteen on aina pieni epäilys. Varmistvden varianssi on Var(p) p(1-p)/n (binomijakama). p esiintyy mittastlosten laskkaavoissa (3., 3.3) tlon tekijänä, joten sen epävarmden käyttökelpoisin ilmais on shteellinen keskihajonta. Sen voi laskea kaavalla p 1 p p(1- p) n 1- p np (30) missä p on tnnetksi kvitelt tai aikaisemmasta aineistosta laskett varmistvden arvo ja n on se pesäkkeiden lkmäärä, johon arvon määritys persti. p:n arvoa ei koskaan varmasti tiedetä etkäteen. Periaatteessa se tlisi määrittää jokaisen näytteen kohdalla erikseen. Siinä tapaksessa, että näin menetellään, p:n estimaatiksi valitaan k tapaskohtainen varmistvs $p. Sen epävarmden laskkaava on n n - k pˆ (31) nk n k varmistettavaksi valitt pesäkkeiden lkmäärä, positiivisiksi varmistneiden lkmäärä. Näytekohtainen mtaman pesäkkeen varmistaminen on hyvin epäedllista mittasepävarmden kannalta. Jos varmistettavaksi valitaan 5 pesäkettä, p:n shteellinen epävarms on lokkaa 19- % ja kymmenenkin pesäkkeen eristyksessä on epävarms vielä %. Vasta kn on ttkitt ainakin 100 pesäkettä tlee varmistvs arvioidksi alle 5 % shteellisella epävarmdella. Jlkais J1/001

28 Kvantitatiiviset mikrobipitoissestimaatit ja niiden epävarms Pesäkkeiden laskemiseen perstvien menetelmien kahdesta päätyypistä käytettiin edellä nimityksiä kokonaispesäkelk- ja otosvarmiststyypit. Kokonaispesäkelktyyppiin klvat pesäkemenetelmät, joissa kaikki tai kaikki tietyt lkonäkökriteerit täyttävät pesäkkeet (myös bakteriofagien plakit) lasketaan. Ns. in sit-varmistkset, missä maljan kaikille pesäkkeille tehdään jokin varmistava mittas reagenssilisäyksen tai kalvosodattimen siirron avlla, klvat samaan tyyppiin, samoin kin tapaskohtaisesti täysin varmistett pesäkelvt. Näitä tloksia ei korjata jälkikäteen varmistvskertoimella. Otosvarmistettihin pesäkelkihin (ks. 3.3) tehdään varmistvskorjas Yhden maljan instrmentti Yhden maljan mittalaite syntyy, kn ei tehdä rinnakkaismaljoja ja jonkin rajoittavan lasksäännön (10-100, 5-50, tms.) tai mn syyn takia käytettävissä on vain yksi laimenns (kva 3). Toisinaan näyte katsotaan niin ttksi, että alnperin valmistetaan vain yksi malja. Toistojen pttessa A-tyyppinen kokonaisepävarmden arvio ei ole mahdollinen. Mittastloksen yhdistetty epävarms lasketaan tnnetiksi oletetista epävarmskomponenteista. Yhden maljan havaittn pesäkkeiden lkmäärään vaikttaa lähinnä neljä epävarmstekijää: hikkastilastollinen hajonta (7.), laimennskertoimen (5.1) ja siirrostilavden (7.4) epävarms sekä henkilökohtainen lkema(epä)varms (3.4.1, 7.1). Kokonaispesäkelktyypin estimaatti saadaan lasktoimitksesta y F c v (3) Kaavassa F c v kvitteellinen tai todellinen laimennskerroin, maljan pesäkelkmäärä, siirrostilavs. Mittastloksen kokonaisepävarms ilman henkilökohtaista lkemaepävarmden komponenttia on 4.1:ssä esitettyjen periaatteiden mkaan y F + c + v (33) F laimennskertoimen shteellinen standardiepävarms (kts. 5.1., 5.1.3), c pesäkelkmäärän shteellinen hikkastilastollinen hajonta (ks. 7.), v siirrostilavden shteellinen mittasepävarms (ks. 7.4). Henkilökohtainen lkemaepävarms ( z ) otetaan päätesspension tiheysestimaatissa homioon lisäterminä, joten mittastloksen kokonaisepävarms on Jlkais J1/001

29 3 y F + c + v + z (34) Pesäkkeiden lkmäärän laskeminen ei kenelläkään ole erehtymätöntä. Tlos vaihtelee, jos henkilö laskee saman maljan pesäkkeet destaan. Yleensä lkeman shteellinen toistettavs on sangen hyvä ja henkilökohtaisesti varsin vakinainen, vaikkakin eri menetelmien kohdalla erilainen. Joissakin hankalissa menetelmissä ja näytetyypeissä tloksen lkeminen voi olla niin epävarmaa, että tämä on syytä homioida lkemaepävarmden komponentin modossa. Lkemaepävarmdesta on syytä ottaa selvää lkemalla pieni osa rtiinimaljoista kahdesti mieliten siten, että vasta ensimmäisen lkkerran jälkeen katsotaan arvalla klko malja destaan lettavien jokkoon. Se, että valitaan ainoastaan ongelmatapaksia delleen laskettaviksi, vääristää lkemaepävarmden arvioinnin täysin. Toistotloksista voidaan laskea esimerkiksi varianssianalyysin avlla henkilön tloksen toistettavskeskihajonta z shdeasteikossa (ln-mnnetista pesäkelvista). Jos yksimaljaisen instrmentin tlos on varmistettava, niin lopptlos saadaan kaavasta y pf c v (35) ja shteellinen kokonaisepävarms kaavasta y p + F + c + v + z (36) Vain p:n epävarms on tta edelliseen (ks. 5.) Monen maljan instrmentti Kn laskettavia maljoja on enemmän kin yksi, niin päätesspension mikrobitiheys saadaan ns. painotetn keskiarvon periaatteella jakamalla pesäkesmma siirrostilavksien smmalla. Siirrokset on tässä tapaksessa ilmaistava päätesspension tilavksina. Mittastlos laimennskertoimella korjaamisen jälkeen on y Fx F Σ ci Σ v i F C V (37) F C V laimennskerroin, Σc i pesäkelkjen smma, Σv i siirrostilavksien smma. Kaavan samankaltaiss yhden maljan kaavan kanssa osoittaa, että monimaljaisen detektioinstrmentin mittastloksen kokonaisepävarms saadaan yhdistämällä laimennskertoimen ja pesäke- ja tilavssmmien shteelliset epävarmdet y F + C + V (38) Jlkais J1/001

30 33 Kaavoissa: F kvitteellinen tai todellinen laimennskerroin ja F sen shteellinen keskihajonta (5.1., 5..3), C maljojen pesäkesmma ja C sen shteellinen hikkastilastollinen keskihajonta (7.), V siirrostilavksien smma ja V sen shteellinen keskihajonta (7.5). Lkemaepävarmden arvo koko maljasarjalle lasketaan kten kohdassa (7.1.1) on esitetty. Arvo liitetään halttaessa mittastloksen epävarmsestimaattiin, kten edellä (5.3.1). Jos lopptloksen pitää olla varmistett, kaavoihin liitetään varmistvs ja sen epävarms kten (5.3.1):ssä. Tilavssmman V epävarmden laskeminen on verrattain mtkikasta (ks. 7.5). Monen maljan määritysten epävarmsarviossa kannattaakin hyödyntää sitä tietoa, että havaittjen pesäkelkmäärien välinen vaihtel sisältää lonnostaan hikkastilastollisen hajonnan ohella laimenns- ja tilavsmittasten epävarmdet sekä tloksen lkijan henkilökohtaisen lkemaepävarmden. Tämän ansiosta monen maljan "instrmentin" päätesspension tiheyden (x) kokonaisepävarms voidaan perstaa myös pelkästään maljojen väliseen hajontaan (Lk 6) Yhden laimennstason MPN-instrmentti Mittastlos saadaan laskkaavasta y Fx F 1 v n ln s (39) F v n s päätesspension todellinen tai kvitteellinen laimennskerroin, yhden koeannoksen tilavs, kasvkennojen (ptkien) kokonaislkmäärä, steriileiksi (tai negatiivisiksi) todettjen kasvkennojen lkmäärä. On myös talkoita (esim. SFS 4447:1979, Niemelä 1983) missä on annett positiivisten tlosten lkmäärään perstva MPN-arvo ja sen 95 % lottamsväli. Monipolisimmat tietokoneohjelmat (Hrley ja Roscoe, 1983) antavat näiden lisäksi keskihajonnan log 10 - asteikossa. Laimennskertoimeen (F) ja siirrostilavden mittaksiin (v) liittyy epävarmtta. Kitenkin siirrostetn kokonaistilavden V nv epävarms v tasoitt yleensä merkityksettömäksi, koska se nodattaa kaavaa V 1 v v V nv nv (nv ) v v n n (40) Jlkais J1/001

31 34 Kn tietolähteet antavat 95 % lottamsvälin, MPN-estimaatin tai päätesspension mikrobitiheyden shteellisen keskihajonnan arvo voidaan johtaa niistä logaritmimnnosten avlla seraavasti. i) Oletetaan, että talkoista tai tietokoneohjelmista saadaan 95 % lottamsväli modossa yläraja x Y, alaraja x A. Yksinkertaisinta on laskea shteellinen epävarms kaavalla MPN ln (xy ) - ln (x 4 A ) (41) ii) iii) Kn tietokoneohjelma (esim. Hrley ja Roscoe 1983) antaa MPN-estimaatin keskihajonnan Log10-järjestelmässä (S.E. of Log10 MPN), niin tarvitaan ainoastaan mnto lonnolliseen logaritmijärjestelmään modlilla (,303) kertomalla (kts. 4..1). Kn tietolähteiden pttessa mittasepävarms jodtaan arvioimaan omin avin, niin lasketaan ensin "yksinkertaiset" ylä- ja alarajat. Arviot perstvat ajatkseen, että steriilien ptkien määrä (s) vaihtelee satnnaisesti hikkastilastollisista syistä. Voidaan olettaa, että vaihtel on binomijakaman mkaista, niin että s:n varianssi on s(n-s)/n. Näin on menetelty mm. NMKL:n mittasepävarmsdokmentissa (NMKL, 1999). Lasketaan ensin MPN-tiheysestimaatin ylä- ja alalikiarvot (x Y, x A ). 1 n x ln (4) v s(n - s) s ± n (Plsmerkki nimittäjässä liittyy alalikiarvoon ja miinsmerkki ylälikiarvoon.) Estimaatin shteellinen epävarms arvioidaan ottamalla raja-arvoista lonnolliset logaritmit ja jakamalla niiden erots kahdella. Nimitetään sitä tiheysestimaatin shteelliseksi epävarmdeksi MPN : MPN ln (x Y ) - ln (x A ) (43) x Y ylälikiarvo, x A alalikiarvo. Kten todett, siirrostilavden v epävarmdesta ei tarvitse välittää, koska sillä on mitätön vaikts yhdistettyyn epävarmteen. Jlkais J1/001

32 35 Laimennskertoimen epävarms saattaa olla merkittävä, joten se kannattaa homioida shteellisen kokonaisepävarmden kaavassa: y F + MPN (44) F MPN kvitteellisen tai todellisen laimennskertoimen shteellinen keskihajonta (5.1., 5.1.3), sspensiotiheyden shteellinen hikkastilastollinen epävarms. Lkemisen epävarmteen ei MPN-menetelmissä ole tavatt kiinnittää homiota Usean laimennstason MPN-instrmentti Epävarmsparametrin arvo perst mittastloksen laskkaavaan y F MPN (45) missä F on kvitteellinen tai todellinen laimennskerroin ja MPN on talkoiden tai tietokoneohjelman antama todennäköisin bakteerimäärä. MPN-menetelmien piilevät olettamkset ovat, että kaikki detektioinstrmentin sisäiset laimennkset sekä detektorien siirrostamiseksi tarvitt sspensioiden mittakset on tehty virheettömästi ja kaikki sspensiot ovat niin täydellisesti sekoitettja, että Poisson-jakama pätee. Jos Poisson-jakama ei päde, mittastlos on arvoton eikä sitä pidä käyttää. Poissonjakamaa ei kitenkaan yleensä aseteta kyseenalaiseksi MPN-menetelmiä käytettäessä ehkä mittastloksen menetyksen pelossa. Eräät modernit MPN-arvojen talkot ottavat tämän homioon eivätkä anna tlosta ptkisarjoille, joiden tilastollinen pätevyys on kyseenalainen. Yhdistetyn epävarmden malli on y F + MPN (46) MPN-arvon mittasepävarmden shteen ollaan riippvaisia joko talkoista tai tietokoneohjelmista, joista itse MPN-arvokin haetaan. Molemmat lähteet ilmoittavat tavallisesti laajennetn epävarmden (95 % lottamsvälin) ylä- ja alalikiarvojen modossa. Tällöin menetellään kten vaihtoehdossa i) (5.3.3). Vaihtel edstaa pelkästään systeemin hikkastilastollista hajontaa. Koska lottamsvälin estimointimenetelmiä on seanlaisia, eri tietokoneohjelmat tai talkot saattavat antaa toisistaan poikkeavia arvoja. Monipolisin tietokoneohjelma (Hrley ja Roscoe 1983) antaa lottamsvälin lisäksi keskihajonnan arvon Log 10 -asteikossa. Jlkais J1/001

33 36 Omakohtainen mahdolliss estimoida hikkastilastollisen hajonnan oss on laskea Log 10 MPN-arvon keskihajonta Cochran'in (1950) esittämästä likimääräiskaavasta s 0,58 LogMPN log n 10 f (47) f n kahden perättäisen tason välinen laimennskerroin, yhden sarjan rinnakkaisptkien lkmäärä. Se mnnetaan MPN-arvon shteelliseksi keskihajonnaksi kertomalla ln-järjestelmän modlilla log 10 -järjestelmän shteen, eli lvlla,303. Pipetointien ja miden tilavsmittasten epävarms ei sisälly edellä esitettyyn epävarmsmalliin, mtta voitaisiin tarvittaessa homioida. On osoittatnt, että vaikts kokonaisepävarmteen on mitätön ja persolettamkset ovat tilavsmittasten osalta riittävän hyvin voimassa. Laimennskertoimen epävarmdella saattaa olla sen verran vaiktsta, että se kannattaa homioida samalla tavalla kin edellä (5.3.3). Jlkais J1/001

Mittausepävarmuuden arviointi mikrobiologisissa viljelymenetelmissä. 1. Tilastollisesti riippumattomien epävarmuuskomponenttien yhdistäminen

Mittausepävarmuuden arviointi mikrobiologisissa viljelymenetelmissä. 1. Tilastollisesti riippumattomien epävarmuuskomponenttien yhdistäminen 1 Seppo Niemelä, 12.11.2001 Mittasepävarmden arviointi mikrobiologisissa viljelymenetelmissä 1. Tilastollisesti riippmattomien epävarmskomponenttien yhdistäminen Olkoon mitatt kahden riippmattoman lähtösreen

Lisätiedot

4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa

4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa 6 VEKTORIANALYYSI Lento 3 4. Derivointi seammassa lottvdessa Osittaisderivaatta. Kerrataan alksi osittaisderivaatan käsite. Fnktio f f ( r) f ( x, y, z) on kolmen mttjan fnktio, jonka arvo yleensä mtt,

Lisätiedot

= + + = 4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa

= + + = 4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa 30 VEKTORIANALYYSI Lento 4 4. Derivointi seammassa lottvdessa Osittaisderivaatta. Kerrataan alksi osittaisderivaatan käsite. Fnktio f= f( r) = f( xyz,, ) on kolmen mttjan fnktio, jonka arvo yleensä mtt,

Lisätiedot

Tasasähköyhteyden suuntaaj-asema. Ue j0ƒ. p,q

Tasasähköyhteyden suuntaaj-asema. Ue j0ƒ. p,q EEC-E89 syksy 06 Ttkitaan alla olevan kvan mkaista heikkoon verkkoon kytkettyä srjännitteistä tasasähköyhteyttä. Tässä tapaksessa syöttävän verkon impedanssi (Theveninin impedanssi, kvassa j on j0,65,

Lisätiedot

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI Mikko Kylliäinen Insinööritoimisto Heikki Helimäki Oy Dagmarinkatu 8 B 18, 00100 Helsinki kylliainen@kotiposti.net 1 JOHDANTO Suomen rakentamismääräyskokoelman

Lisätiedot

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2016

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2016 7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaist 5 Kevät 26. Aberraatio shteellissteoriassa a) Tlkoon valo kten tehtävän kvassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: x ˆx + y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. () Lorenz

Lisätiedot

Omakotitalon energiaratkaisu Pieni askel omavaraisuuteen.

Omakotitalon energiaratkaisu Pieni askel omavaraisuuteen. Omakotitalon energiaratkais Pieni askel omavaraisteen. www.arime.fi Phdasta energiaa lonnosta Arinko on meidän kakien elämään vattava ehtymätön energianlähde ja se tottaa välillisesti srimman osan ihmisten

Lisätiedot

Helsingin hengessä sopua ja sovittelua työyhteisön arkeen

Helsingin hengessä sopua ja sovittelua työyhteisön arkeen Helsingin hengessä sopa ja sovittela työyhteisön arkeen Helsingin kapngin toimintaohje ristiriitojen rakentavaan käsittelyyn ja sovitteln Tässä oppaassa määritellään, mitä ovat epäasiallinen kohtel ja

Lisätiedot

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta

Lisätiedot

havainnollistus, muokkaus ja viimeistely

havainnollistus, muokkaus ja viimeistely Tekstin havainnollists, mokkas ja viimeistely Lettavs ja merkintätavat Tiina Airaksinen Kappaleiden jäsentäminen Kappale = asiakokonaiss Testi: Pystytkö keksimään otsikon? Ei yhden virkkeen / yhden sivn

Lisätiedot

Yhteistyötä teatterista & Taiteesta tuotteeksi -hankkeet

Yhteistyötä teatterista & Taiteesta tuotteeksi -hankkeet Yhteistyötä teatterista & Taiteesta totteeksi -hankkeet Iisalmi, Keitele, Kirvesi, Lapinlahti, Pielavesi, Sonkajärvi ja Vieremä 10.8.2015 10.03.2016 Sisällys Johdanto... 3 Yhdistystoiminta ja osallistminen...

Lisätiedot

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Kalibrointi kalibroinnin merkitys kansainvälinen ja kansallinen mittanormaalijärjestelmä kalibroinnin määritelmä mittausjärjestelmän kalibrointivaihtoehdot

Lisätiedot

Käyttöarvon kvantitatiivisesta mittaamisesta. Tommi Höynälänmaa 19. marraskuuta 2012

Käyttöarvon kvantitatiivisesta mittaamisesta. Tommi Höynälänmaa 19. marraskuuta 2012 Käyttöarvon kvantitatiivisesta mittaamisesta Tommi Höynälänmaa 19. marraskta 2012 1 1 Yleistä Ajan t mittainen henkilötyöaika keskimääräistyötä (tehokkdeltaan keskimääräistä työtä) saa tavarantotannossa

Lisätiedot

Kemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka

Kemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Kemometriasta Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Mistä puhutaan? Määritelmiä Määritys, rinnakkaismääritys Mittaustuloksen luotettavuus Kalibrointi Mittausten

Lisätiedot

Optioiden hinnoittelu binomihilassa

Optioiden hinnoittelu binomihilassa Mat-2.3114 Investointiteoria Optioien hinnoittel binomihilassa 26.3.2015 Yksiperioiset optiot 1/3 Olkoon S kohe-eten arvo perioin alssa siten, että perioin päättyessä sen arvo on S toennäköisyyellä p tai

Lisätiedot

TOIMEKSIANTOSOPIMUS. 1. Sopijapuolet. 2. Yhteyshenkilöt. 3. Sopimuksen tausta ja tavoitteet. Osoite: Kasurilantie 1, PL 5, 71801, Siilinjärvi

TOIMEKSIANTOSOPIMUS. 1. Sopijapuolet. 2. Yhteyshenkilöt. 3. Sopimuksen tausta ja tavoitteet. Osoite: Kasurilantie 1, PL 5, 71801, Siilinjärvi TOIMEKSIANTOSOPIMUS 1. Sopijapolet Toimeksiantaja: Siilinjärven knta (Jäljempänä Asiakas ) Osoite: Kasrilantie 1, PL 5, 71801, Siilinjärvi Y-tnns: 0172718-0 Toimeksiannon saaja: Vaktsmeklari Novm Oy (Jäljempänä

Lisätiedot

Mittaustulosten tilastollinen käsittely

Mittaustulosten tilastollinen käsittely Mittaustulosten tilastollinen käsittely n kertaa toistetun mittauksen tulos lasketaan aritmeettisena keskiarvona n 1 x = x i n i= 1 Mittaustuloksen hajonnasta aiheutuvaa epävarmuutta kuvaa keskiarvon keskivirhe

Lisätiedot

x = x x 2 + 2y + 3 y = x + 2y f 2 (x, y) = 0. f 2 f 1

x = x x 2 + 2y + 3 y = x + 2y f 2 (x, y) = 0. f 2 f 1 Matematiikan K/P syksy Laskharjoits 9 Mallivastakset Tehtävän differentiaaliyhtälösysteemi: x = x x + y + y = x + y Merkitään f (x, y) = x x + y + ja f (x, y) = x + y Kriittisessä pisteessä f (x, y) =

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

Identifiointiprosessi

Identifiointiprosessi Identifiointiprosessi Koesnnittel, identifiointikoe Mittastlosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - transientti-, korrelaatio-, taajs-, Forier- ja spektraalianalyysi => askel-, implssi-

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa. 4.2. Perusteita

4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa. 4.2. Perusteita 4. Taajsaleen sodats 4.. Tastaa Forier esitti. 87 idean että laskien yhteen jaksollisia painotettja fnktioita oidaan esittää kinka tahansa monimtkainen jaksollinen fnktio. Ka 4.. esittää tällaista. Jaksolliset

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 6 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA... 7 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I Havaintokohteita 9. Polarimetria Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Havaintokohteita Polarimetria Havaintokohteita (kuvat: @phys.org/news, @annesastronomynews.com) Yleiskuvaus: Polarisaatio

Lisätiedot

Mikrobiologisten tulosten laskeminen

Mikrobiologisten tulosten laskeminen Vastuuhenkilö Tuula Johansson Sivu/sivut 1 / 6 1 Pesäkkeiden laskeminen maljoilta 1.1 Yleistä Pesäkkeitä laskettaessa tarvittaessa apuna käytetään suurennuslasilla varustettua pesäkelaskijaa. Siihen kuuluu

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Σ on numeroituvasti ääretön. Todistus. Muodostetaan bijektio f : N Σ seuraavasti. Olkoon

Σ on numeroituvasti ääretön. Todistus. Muodostetaan bijektio f : N Σ seuraavasti. Olkoon 17 Nmeroitat ja linmeroitat jokot Määritelmä 110 Jokko X on nmeroitasti ääretön, jos on olemassa bijektio f : N X Jokko on nmeroita, jos se on äärellinen tai nmeroitasti ääretön Jokko, joka ei ole nmeroita

Lisätiedot

Kehitysvammaisen ravitsemuksen erityispiirteitä. Heli Pyrhönen laillistettu ravitsemusterapeutti MKS 13.1.2016

Kehitysvammaisen ravitsemuksen erityispiirteitä. Heli Pyrhönen laillistettu ravitsemusterapeutti MKS 13.1.2016 Kehitysvammaisen ravitsemksen erityispiirteitä Heli Pyrhönen laillistett ravitsemsterapetti MKS 13.1.2016 Hyvä roka hellii aisteja, mieltä ja kehoa Hermoston kehityshäiriöillä on homattava vaikts ravitsemstilaan.

Lisätiedot

OULUN YLIOPISTO Konetekniikan osasto 460071A Autojen ja työkoneiden rakennejärjestelmät I 5 op Mauri Haataja. 1. Pyöräajoneuvojen ominaisohjaus

OULUN YLIOPISTO Konetekniikan osasto 460071A Autojen ja työkoneiden rakennejärjestelmät I 5 op Mauri Haataja. 1. Pyöräajoneuvojen ominaisohjaus OUUN YIOPISTO Konetekniikan osasto 467A Atojen ja työkoneiden rakennejärjestelmät I 5 op Mari Haataja. Pyöräajonevojen ominaisohjas. Henkilöatojen pyöräntenta Hyötyajonevojen ajo-ominaisksiin vaikttavat

Lisätiedot

Hoitoketjut sotealueella. Jukka Mattila Johtajaylilääkäri Lapin sairaanhoitopiiri

Hoitoketjut sotealueella. Jukka Mattila Johtajaylilääkäri Lapin sairaanhoitopiiri Hoitoketjt sotealeella Jkka Mattila Johtajaylilääkäri Lapin sairaanhoitopiiri 23.11.2017 Valinnanvapaslakilonnos Lasntokierroksella 15.12.2017 asti 4 Asiakkaan oikes valita Asiakkaalla on oikes valita

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

Maanjäristyksen kestävien kytkentäkotelotelineiden suunnittelu

Maanjäristyksen kestävien kytkentäkotelotelineiden suunnittelu Lari Nosiainen Maanjäristyksen kestävien kytkentäkotelotelineiden snnittel Metropolia Ammattikorkeakol Insinööri (AMK) Kone- ja totantotekniikka Insinöörityö 3.4.14 Tiivistelmä Tekijä Otsikko Sivmäärä

Lisätiedot

Kokemuksia muutoksesta ja johtamisesta 1980- luvulta tähän päivään. Keijo Mutanen KIM Ventures Oy Joensuu 6.11.2014

Kokemuksia muutoksesta ja johtamisesta 1980- luvulta tähän päivään. Keijo Mutanen KIM Ventures Oy Joensuu 6.11.2014 Kokemksia mtoksesta ja johtamisesta 1980- lvlta tähän päivään Keijo Mtanen KIM Ventres Oy Joens 6.11.2014 Oma johtamiskokems 1980- lk: VTT, Jyväskylä, Jaoston päällikkö, projektipäällikkö, yksikön varajohtaja,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Erikoisuuden tavoittelijoille. linja-autosarjan, jossa lattiataso nousi varsin jyrkästi perää kohden. Näissä Cometnimellä

Erikoisuuden tavoittelijoille. linja-autosarjan, jossa lattiataso nousi varsin jyrkästi perää kohden. Näissä Cometnimellä TESTIRYHMÄ Testiryhmä Timo Lehtonen ja Mika Koivisto Volvo 9900 Erikoisden tavoittelijoille Volvo 9900 on malli, joka ei aiemmin ole klnt Somen tontiohjelmaan. Nyt tämä erikoinen tristibssi tlee tarjolle

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot

Osoitettavat rikosilmoitinkeskukset, DS7400Xi-sarja

Osoitettavat rikosilmoitinkeskukset, DS7400Xi-sarja Rikosilmoitinjärjestelmät Osoitettavat rikosilmoitinkeskkset, DS7400Xi-sarja Osoitettavat rikosilmoitinkeskkset, DS7400Xi-sarja www.boschsecrity.fi Jopa 248 vyöhykettä kahdeksalla aleella 400 tapahtman

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Mittausepävarmuudesta. Markku Viander Turun yliopisto Lääketieteellinen mikrobiologia ja immunologia 02.11.2007

Mittausepävarmuudesta. Markku Viander Turun yliopisto Lääketieteellinen mikrobiologia ja immunologia 02.11.2007 Mittausepävarmuudesta Markku Viander Turun yliopisto Lääketieteellinen mikrobiologia ja immunologia 02.11.2007 Mittausepävarmuus on testaustulokseen liittyvä arvio, joka ilmoittaa rajat, joiden välissä

Lisätiedot

Turvallista koulumatkaa!

Turvallista koulumatkaa! Trvallista kolmatkaa! Kolkljetkset hallinto-oikeden näköklmasta Lonais-Somen alehallintovirasto 23.5.2017 Hallinto-oikestomari Hannele Sarell ja hallinto-oikestomari Marja Peltoniemi Trn hallinto-oikes

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

LBC 3210/00 Line Array -sisä-/ulkokaiutin

LBC 3210/00 Line Array -sisä-/ulkokaiutin Viestintäjärjestelmät LBC 3210/00 Line Array -sisä-/lkokaitin LBC 3210/00 Line Array -sisä-/lkokaitin www.boschsecrity.fi Laajennett kntelale Erinomainen pheen ja msiikin erotettavs Lonnollisen äänen tasainen

Lisätiedot

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO...

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA...9 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...9 1.3

Lisätiedot

Virhearviointi. Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus.

Virhearviointi. Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus. Virhearviointi Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus. Virhelajit A. Tilastolliset virheet= satunnaisvirheet, joita voi arvioida tilastollisin menetelmin B. Systemaattiset virheet = virheet, joita

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

Mittausepävarmuuden laskeminen

Mittausepävarmuuden laskeminen Mittausepävarmuuden laskeminen Mittausepävarmuuden laskemisesta on useita standardeja ja suosituksia Yleisimmin hyväksytty on International Organization for Standardization (ISO): Guide to the epression

Lisätiedot

S uay uvaxy uv 2 Ax 2 y... uv i Ax i y uv i wx i y.

S uay uvaxy uv 2 Ax 2 y... uv i Ax i y uv i wx i y. 3.8 Yhtedettömien kielten rajoitksista Yhtedettömille kielille on oimassa säännöllisten kielten pmppaslemman astine. Nt kitenkin merkkijonoa on pmpattaa samanaikaisesti kahdesta paikasta. Lemma 3.9 ( -lemma

Lisätiedot

VDC 4x5-sarjan FlexiDome VF- ja XT+domekamerat

VDC 4x5-sarjan FlexiDome VF- ja XT+domekamerat Video VDC 4x5-sarjan FlexiDome VF- ja XT+-domekamerat VDC 4x5-sarjan FlexiDome VF- ja XT+domekamerat www.boschsecrity.fi Kestävät ja isknkestävät mallit 1/3 tman kvasensori, CCD-kameratekniikka Ensilokkainen

Lisätiedot

Torsioheiluri IIT13S1. Selostuksen laatija: Eerik Kuoppala. Ryhmä B3: Eerik Kuoppala G9024 Petteri Viitanen G8473

Torsioheiluri IIT13S1. Selostuksen laatija: Eerik Kuoppala. Ryhmä B3: Eerik Kuoppala G9024 Petteri Viitanen G8473 Torsioheiluri IIT3S Selostuksen laatija: Eerik Kuoppala Ryhmä B3: Eerik Kuoppala G904 Petteri Viitanen G8473 Mittauspäivämäärä:..4 Selostuksen jättöpäivä: 4.3.4 Torsioheilurin mitatuilla neljän jakson

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden 1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 10 Binomipuut ja optioiden hinnoittelu

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 10 Binomipuut ja optioiden hinnoittelu Rahoitsriskit ja johdannaiset Matti Estola lento 1 Binomipt ja optioiden hinnoittel 1. Optiohintojen mallintaminen Esimerkki. Oletetaan, että osakkeen spot -krssi on $ ja spot -krssilla 3 kk:n kltta on

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakoulu

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakoulu S-55.00 SÄHKÖTKNIIKKA JA KTONIIKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakol Kimmo Silvonen Tentti 30.5.03: tehtävät,3,4,6,0.. välikoe: tehtävät,,3,4,5.. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,0. Saat vastata vain

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Rakennusalan tarjouskilpailujen toteutus tasapuoliseksi: kokonaistaloudellisuuden arviointi hinta-laatu -menetelmällä.

Rakennusalan tarjouskilpailujen toteutus tasapuoliseksi: kokonaistaloudellisuuden arviointi hinta-laatu -menetelmällä. ARKKITEHTITOIMISTOJEN LIITTO ATL RY Rakennusalan tarjouskilpailujen toteutus tasapuoliseksi: kokonaistaloudellisuuden arviointi hinta-laatu -menetelmällä. Julkisten hankintojen tarjousten valintakriteerinä

Lisätiedot

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

M u u r a. Muuramen kirkko. Jyväskylän seutukunta. Opetuskäyttö. Kuvaus. 10 Piispalan nuorisokeskus, Eija Syrjälä ja Jao, Jämsän ammattiopisto

M u u r a. Muuramen kirkko. Jyväskylän seutukunta. Opetuskäyttö. Kuvaus. 10 Piispalan nuorisokeskus, Eija Syrjälä ja Jao, Jämsän ammattiopisto r a m e Kva: ramen seraknta ramen kirkko Opetskäyttö Alvar Aallon arkkitehtria, kirkon ja ramen knnan historia. Kvas Jyväskylän setknta ramen kirkon on snnitellt arkkitehti Alvar Aalto. Se on klassisen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

KEMI-TORNION AMMATTIKORKEAKOULU. Tutkimus laboratoriomittausten mittausepävarmuudesta kahdessa testausympäristössä

KEMI-TORNION AMMATTIKORKEAKOULU. Tutkimus laboratoriomittausten mittausepävarmuudesta kahdessa testausympäristössä KEMI-TORNION AMMATTIKORKEAKOULU Ttkims laoratoriomittasten mittasepävarmdesta kahdessa testasympäristössä Riikka Vaara Teknologiaosaamisen johtamisen koltsohjelman opinnäytetyö Knnossapito Insinööri(YAMK)

Lisätiedot

t osatekijät vaikuttavat merkittävästi tuloksen epävarmuuteen Mittaustulosten ilmoittamiseen tulee kiinnittää kriittistä

t osatekijät vaikuttavat merkittävästi tuloksen epävarmuuteen Mittaustulosten ilmoittamiseen tulee kiinnittää kriittistä Mittausepävarmuuden määrittäminen 1 Mittausepävarmuus on testaustulokseen liittyvä arvio, joka ilmoittaa rajat, joiden välissä on todellinen arvo tietyllä todennäköisyydellä Kokonaisepävarmuusarvioinnissa

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas Itse arvioidun terveydentilan ja sukupuolen välinen riippuvuustarkastelu. Jyväskyläläiset 75-vuotiaat miehet ja naiset vuonna 1989.

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Mittalaitteiden staattiset ominaisuudet Mittalaitteita kuvaavat tunnusluvut voidaan jakaa kahteen luokkaan Staattisiin

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

VIDEOJET decoder 7000

VIDEOJET decoder 7000 Video VIDEOJET decoder 7000 VIDEOJET decoder 7000 www.boschsecrity.fi HD 1080p- ja 720p-vastaanotto Monipoliset monitoriasettelt Ohjaa soraan enintään kahta HD-näyttöä VCA-metatietojen näyttö Pienikokoinen,

Lisätiedot

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustulokset ovat aina likiarvoja, joilla on tietty tarkkuus Kokeellisissa luonnontieteissä käsitellään usein mittaustuloksia. Mittaustulokset ovat aina

Lisätiedot

Maximum likelihood-estimointi Alkeet

Maximum likelihood-estimointi Alkeet Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X

Lisätiedot

Sideaineen talteenoton, haihdutuksen ja tunkeuma-arvon tutkiminen vanhasta päällysteestä. SFS-EN 12697-3

Sideaineen talteenoton, haihdutuksen ja tunkeuma-arvon tutkiminen vanhasta päällysteestä. SFS-EN 12697-3 Sideaineen talteenoton, haihdutuksen ja tunkeuma-arvon tutkiminen vanhasta päällysteestä. SFS-EN 12697-3 1 Johdanto Tutkimus käsittelee testausmenetelmästandardin SFS-EN 12697-3 Bitumin talteenotto, haihdutusmenetelmää.

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

DirAir Oy:n tuloilmaikkunaventtiilien mittaukset 30.11.2012

DirAir Oy:n tuloilmaikkunaventtiilien mittaukset 30.11.2012 Tampereen teknillinen yliopisto Teknisen suunnittelun laitos Pentti Saarenrinne Tilaaja: DirAir Oy Kuoppakatu 4 1171 Riihimäki Mittausraportti: DirAir Oy:n tuloilmaikkunaventtiilien mittaukset 3.11.212

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Plena All-In-One -yksikkö

Plena All-In-One -yksikkö Viestintäjärjestelmät Plena All-In-One -yksikkö Plena All-In-One -yksikkö www.boschsecrity.fi Tastamsiikin ja henkilöhan kokonaisratkais Kden vyöhykkeen henkilöhakjärjestelmä Sisäänrakennett AM/FM-viritin,

Lisätiedot

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Kalle Hyvönen Työ tehty 1. joulukuuta 008, Palautettu 30. tammikuuta 009 1 Assistentti: Mika Torkkeli Tiivistelmä Laboratoriossa tehdyssä ensimmäisessä kokeessa

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Ympäristöministeriön asetus Eurocode-standardien soveltamisesta talonrakentamisessa annetun asetuksen muuttamisesta

Ympäristöministeriön asetus Eurocode-standardien soveltamisesta talonrakentamisessa annetun asetuksen muuttamisesta Ympäristöministeriön asetus Eurocode-standardien soveltamisesta talonrakentamisessa annetun asetuksen muuttamisesta Annettu Helsingissä 5 päivänä marraskuuta 2010 Ympäristöministeriön päätöksen mukaisesti

Lisätiedot

Tämän vuosituhannen keskuspölynimuri on puhtaasti suomalainen!

Tämän vuosituhannen keskuspölynimuri on puhtaasti suomalainen! Tämän vosithannen keskspölynimri on phtaasti somalainen! 5 kesksyksiköille! voden tak Kotimainen avainlipptote Utta teknologiaa Tyylikästä motoila Tehokktta Hiljainen käytössä Kestävä Trvallinen Pzer Moderni,

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Anionien ja kationien määritys kapillaarielektroforeesilla

Anionien ja kationien määritys kapillaarielektroforeesilla Työ raportti 9 9-34 nionien ja kationien määritys kapillaarielektroforeesilla Menetelmän testas ja optimoin~ Tarja Hiissa Heli Siren Pekka Savolahti Tapio Kotiaho Hhtik 1999 POSIV OY Mikonkat 15, FIN-1

Lisätiedot

Osafaktorikokeet. Heliövaara 1

Osafaktorikokeet. Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeentekijän resurssit. Myös estimoitavien korkean asteen yhdysvaikutustermien

Lisätiedot

VDC 485-sarjan FlexiDome XF - domekamerat

VDC 485-sarjan FlexiDome XF - domekamerat Video VDC 485-sarjan FlexiDome XF -domekamerat VDC 485-sarjan FlexiDome XF - domekamerat www.boschsecrity.fi Isknkestävä, vandaalisojatt, säänkestävä kotelo NightSense hämäriin valaistsoloshteisiin 15-bittinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Vastksen ja diodin virta-jännite-ominaiskäyrät sekä valodiodi

Vastksen ja diodin virta-jännite-ominaiskäyrät sekä valodiodi Sivu 1/10 Fysiikan laboratoriotyöt 1 Työ numero 3 Vastksen ja diodin virta-jännite-ominaiskäyrät sekä valodiodi Työn suorittaja: Antero Lehto 1724356 Työ tehty: 24.2.2005 Uudet mittaus tulokset: 11.4.2011

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Ellei tutkijalla ole käsitystä mittauksensa validiteetista ja reliabiliteetista, ei johtopäätöksillä

Ellei tutkijalla ole käsitystä mittauksensa validiteetista ja reliabiliteetista, ei johtopäätöksillä Lauri Tarkkonen: Validiteetti ja reliabiliteetti 1 Ellei tutkijalla ole käsitystä mittauksensa validiteetista ja reliabiliteetista, ei johtopäätöksillä ole pohjaa. Rakennevaliditeetin estimoiminen 1. Mitattavan

Lisätiedot