Keskiarvovirtaohjatun vakiovirtalähteen dynaaminen mallinnus

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Keskiarvovirtaohjatun vakiovirtalähteen dynaaminen mallinnus"

Transkriptio

1 Olli aronen Keskiarvovirtaohjatn vakiovirtalähteen dynaaminen mallinns Sähkötekniikan korkeakol Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä tarkastettavaksi diplomi-insinöörin ttkintoa varten Espoossa Työn valvoja: Pro. Jorma Kyyrä Työn ohjaaja: DI Miika Keskinen

2 Aalto-yliopisto Sähkötekniikan korkeakol Tekijä: Olli aronen DIPOMITYÖN TIIVISTEMÄ Työn nimi: Keskiarvovirtaohjatn vakiovirtalähteen dynaaminen mallinns Title in English: Dynamic modeling o average crrent mode controlled crrent sorce Ttkinto-ohjelma: Elektroniikka ja sähkötekniikka Pääaine: Elektroniikka ja sovellkset Sivaine: Opetsyksikön (ent. proessri) koodi: S-81 Työn valvoja: Jorma Kyyrä Työn ohjaaja: Miika Keskinen Tiivistelmä: Työssä johdetaan piensignaalimalli keskiarvovirtaohjatlle laskevalle vakiovirtakatkojalle. Yhtälöt johdetaan jatkvan kelavirran aleella keskiarvoistamalla tilayhtälöt ja linearisoimalla ne tiettyyn toimintapisteeseen. Johtamalla piensignaalimalli myös erovahvistimelle sekä plssinleveysmodlaattorille ratkaistaan teholähteen sljetn silmkan malli, jonka toimintaa taajstasossa tarkastellaan Boden diagrammien ja napojen ja nollien sijaintien avlla. Matemaattisen piensignaalimallin tarkktta verrataan prototyyppiteholähteen mittastloksiin. Osoittat, että käytetyllä kormalla on sri vaikts teholähteen dynamiikkaan. Piensignaalimalli kitenkin ennstaa teholähteen taajsvasteen oikein erityyppisillä kormalla. Päivämäärä: Kieli: Somi Sivmäärä: 7+55 Avainsanat: Vakiovirta, askeva katkoja, Takaisinkytketty säätö, Teholähteen dynamiikka

3 Aalto University School o Electrical Engineering ABSTRACT OF THE MASTER S THESIS Athor: Olli aronen Title: Dynamic modeling o average crrent mode controlled crrent sorce Title in Finnish: Keskiarvovirtaohjatn vakiovirtalähteen dynaaminen mallinns Degree Programme: Electrical engineering Major sbject: Electronics and applications Minor sbject: Chair (code): S-81 Spervisor: Jorma Kyyrä Instrctor: Miika Keskinen Abstract: In the thesis a small signal model or average crrent mode controlled constant crrent step-down switching power spply is derived. The small signal model is derived in continos indctor crrent region with state space averaging method. Finally, closedloop model o the power spply is ormed with error ampliier and plse width modlator models. System is analyzed by stdying locations o poles and zeroes and in the reqency plane with Bode diagrams. Accracy o mathematical small signal model is compared to experimental measrements o prototype converter. oad aects signiicantly to converter dynamics. Derived small signal model predicts accrately load interactions. Date: angage: Finnish Nmber o pages: 7+55 Keywords: Constant crrent, Step down converter, Feedback control, Power spply dynamics

4 Sisältö Tiivistelmä...ii Tiivistelmä (englanniksi)...iii Sisällyslettelo...iv Symbolit ja lyhenteet...v 1 Johdanto Teholähteen säätö Virtalähde Sora plssishdeohjas Hippvirtasäätö Indktanssin virran keskiarvosäätö Piensignaalimalli Tehoasteen mallinns Virranmittas Erovahvistimen mallinns Säätäjän komponenttiarvojen valinta Plssinleveysmodlaattorin mallinns Sljetn silmkan malli Silmkkavahvists Indktanssin virran sykkeisyyden vaikts Vasts kormana Vasts ja kondensaattori kormana Vasts ja sri kondensaattori kormana Tlosten vertail Havainnot ja johtopäätökset...48 ähdelettelo...50 IITE IITE iv

5 Symbolit ja lyhenteet Symbolit A A B C C d systeemimatriisi taajsriippmaton vahvists ohjasmatriisi kondensaattorin kapasitanssi [F] lähtömatriisi plssishde d plssishde 1-d ˆd D D e o e ˆo E g s z p n F m G ca G m G c plssishteen piensignaalimttja plssishde jatkvstilassa soravaiktsmatriisi lähtöjännite [V] lähtöjännite piensignaalimttja [V] injektoitava häiriöjännite kytkentätaajs [Hz] nollan taajs [Hz] navan taajs [Hz] resonanssitaajs [Hz] piirielementtien välinen dynaaminen riippvs erovahvistimen siirtonktio plssinleveysmodlaattorin siirtonktio siirtonktio plssishteesta indktanssin virtaan G co siirtonktio plssishteesta lähtövirtaan G ( s) siirtonktiomatriisi herätteestä vasteeseen H ( s) siirtonktiomatriisi herätteestä tilamttjan derivaattaan i C kondensaattorin virta [A] v

6 i ˆC i in i ˆin i i ˆ i o i ˆo kondensaattorin virran piensignaalimttja [A] tlovirta [A] tlovirran piensignaalimttja [A] indktanssin virta [A] indktanssin virran piensignaalimttja [A] lähtövirta [A] lähtövirran piensignaalimttja [A] i indktanssin virran keskiarvo [A] i indktanssin virran hetkellisarvon ja keskiarvon erots [A] I yksikkömatriisi K1, K2, K3, K 4 apmttjat K ci m 1 kerroin indktanssin virran silmkkavahvists ACM säädössä indktanssin virran derivaatan itseisarvo tehopolijohteen johtaessa [A/s] m 2 indktanssin virran derivaatan itseisarvo tehopolijohteen estotilassa [A/s] M c r C r ds r R s plssinleveysmodlaattorin signaalin nosnopes [V/s] kondensaattorin sarjaresistanssi [Ω] tehopolijohteen sarjaresistanssi [Ω] indktanssin sarjaresistanssi [Ω] virranmittasvasts [Ω] s t aplace operaattori aika [s] t o oss kytkentäjaksosta, jona tehopolijohde ei johda [s] t on oss kytkentäjaksosta, jona tehopolijohde johtaa [s] T s in kytkentäjakson aika [s] tlojännite [V] vi

7 o ca co lähtöjännite [V] erovahvistimen lähtöjännite ACM säädössä [V] erovahvistimen lähtöjännite PCM säädössä [V] i erovahvistimen tlojännite [V] r erovahvistimen vertailjännite [V] comp kompensointijännite PCM säädössä [V] D C indktanssin jännite [V] diodin jännite [V] kondensaattorin jännite [V] ca erovahvistimen lähtöjännitteen keskiarvo [V] ca ca ja < ca > erots hetkellä dt s [V] X X ɺ Y ζ tilamttjamatriisi tilamttjamatriisin derivaatta lähtömatriisi vaimennskerroin yhenteet ACM CCM DCM PCM PWM PI PID VMC indktanssin virran keskiarvo-ohjas (average crrent mode) jatkvan kelavirran toiminta (continos condction mode) epäjatkvan kelavirran toiminta (discontinos condction mode) hippvirtaohjas (peak crrent mode) plssinleveys modlointi (plse width modlation) vahvists-integraali (proportional-integral) vahvists-integraali-derivaatta (proportional-integral-derivative) sora jänniteohjas (voltage mode control) vii

8 1 Johdanto Teholähde on olennainen osa elektroniikkaa sisältävää totetta. ähes jokaisessa elektroniikkaa sisältävässä laitteessa sisään tlevaa jännitettä jodtaan mttamaan kytkennälle paremmin soveltvaksi. Yksinkertainenkin laite saattaa sisältää seita jännitereglaattoreita. aitteiden jatkva pieneneminen, hyötyshteen ja kstannstehokkden parantaminen asettavat kovia vaatimksia tehoelektroniikkasnnittellle. Kilpailn kiristyessä myös totekehitykseen käytettävä aika lyhenee. Teholähteet ovat lähes poikkeksetta takaisinkytkettyjä systeemeitä. Takaisinkytkennän tarkoitksena on pitää lähtö tarkasti asetsarvossaan, riippmatta kormitksen tai sisääntlon mtoksista. Teholähteiden testas ja laadnvarmists rajoitt sein vain aikatasossa tehtäviin mittaksiin, joissa lähdön kormitsta mtetaan askelmaisesti ja samalla serataan kinka nopeasti ja tarkasti teholähde ohjaa lähdön takaisin asetsarvoon. Aikatason mittaksilla ei voida määrittää laitteen stabiilitta. Teholähteen käyttölämpötila, komponenttiarvojen reaaliset toleranssit ja erilaiset vanhenemisilmiöt mttavat tilannetta, jolloin laboratoriotesteissä hyvin toimint laite voi mtta epästabiiliksi. Silti totekehityksessä käytetään harvoin dynaamista mallinnsta. Aihe saatetaan kokea hankalaksi, eikä siihen ole monestikaan aikaa paneta. Myös taajstason mittalaitteet voivat ptta tai niitä ei osata käyttää. Piensignaalimalleihin perstvan säätösnnitteln avlla teholähteen soritskykyä voidaan tarkastella taajstasossa. Piensignaalimalli, eli siirtonktio, johdetaan teholähteen rakenteen persteella. Niiden avlla laitteen stabiilis pystytään varmistamaan eri toimintapisteissä. Sljetn silmkan järjestelmän stabiilis voidaan varmistaa silmkkavahvistksen vaihevarasta, jonka rajana sein pidetään 45 astetta. 1

9 Vakiovirtalähteen mallinnsta ja korman vaiktsta virtalähteen dynamiikkaan on aiemmin tarkastelt jlkaisissa [18-20]. Ttkimksissa [18-19] vakiovirtasäätö on totetett soran plssishdeohjaksen avlla ja ttkimksessa [20] on käytetty soraa plssishdeohjasta ja hippvirtaohjasta. Tässä työssä johdetaan piensignaalimalli jännitettä laskevalle keskiarvovirtaohjatlle vakiovirtakatkojalle. Saatjen piensignaalimallien avlla modostetaan koko teholähdettä kvaava sljetn silmkan malli. Systeemin tarkastel sekä säädön snnittel tehdään taajstasossa Boden diagrammien ja napojen ja nollien sijainnin persteella. Piensignaalimallien tarkktta verrataan teholähteestä rakennettn prototyyppiin erilaisilla kormilla, ja silmkkavahvistksen mittas käydään läpi. Työn painopiste on säätösnnittelssa. Aleen laajden voksi prototyypin snnittela ei käydä läpi, mtta täydellinen kytkentäkaavio on esitetty liitteenä. Työn alksi esitellään soran plssishdeohjaksen ja hippvirtasäädön periaatteet, koska niillä on paljon yhteistä virran keskiarvosäädön kanssa. Myös mallinnksessa käytettävä tilayhtälöiden keskiarvoistsmenetelmä on katkojille yhteinen. Tämän jälkeen johdetaan keskiarvovirtasäädetyn katkojan piensignaalimalli, jolloin säätäjä voidaan snnitella saatjen siirtonktioiden ja Boden kvaajien avlla. Työssä käydään myös läpi indktanssin virran sykkeisyyden vaikts katkojan ominaisksiin. opksi teholähteestä rakennetaan prototyyppi, jota verrataan mallinnksessa saatihin tloksiin. 2

10 2 Teholähteen säätö Teholähteet voidaan karkeasti jakaa kahteen päätyyppiin, jännitelähteisiin tai virtalähteisiin, joissa joko lostlojännite tai virta pidetään vakiona. Srin osa käytettävistä teholähteistä on jännitelähteitä, jolloin korman impedanssi määrää virran. Näin ollen on lonnollista, että srin osa teholähteiden ttkimksesta keskittyy tarkastelemaan jännitelähteitä. On kitenkin sovellksia, joissa tarvitaan vakiovirtalähdettä, kten esimerkiksi srteholedien ohjas tai akkjen latas. Hakkriteholähteiden etja verrattna perinteisiin lineaarisiin teholähteisiin ovat parempi hyötyshde ja srempi tehotiheys. Haittoja ovat sähkömagneettiset häiriöt, monimtkaisempi rakenne ja hinta. Hakkriteholähteet ovat lonnostaan epälineaarisia prosesseja ja tästä johten niiden mallinns on lineaarireglaattoreita monimtkaisempaa. Hakkriteholähteiden dynamiikan osaamisen tason on todett olevan melko heikkoa. Säätösnnitteln laiminlyönti teholähteen snnittelvaiheessa saattaa myöhemmin kostata, kn kormitksen kasvaessa, komponenttien vanhetessa tai ympäristöoloshteiden mttessa systeemi paljast epästabiiliksi johten riittämättömästä vaihevarasta. [1] 3

11 2.1 Virtalähde ähes poikkeksetta teholähteissä on sojaksia, joiden tarkoits on estää itse teholähdettä tai kormaa hajoamasta ylikormitksen takia. Jännitelähteissä lähtöjännite pidetään vakiona korman mtoksista riippmatta. Usein jännitelähteissä tarvitaan myös jonkinlainen virranrajoits, jonka tarkoits on sojata itse teholähdettä ylikormitksen varalta. Sojas voi olla totetett esimerkiksi ohjaamalla lähtöjännite nollaan hetkeksi ja tarkastamalla sen jälkeen onko ylikormits poistett lähdöstä. Tyypillinen virtalähteen virta-jännitekvaaja on esitetty kvassa 1. Virtalähteissä lähtövirta I o pidetään vakiona ja lähtöjännite voi vaihdella nollan ja maksimijännitteen U o _ max välillä. Virtalähteitä käytetään sovellksissa, joissa tarvitaan sojas ylikormitksen varalta ja tarkka virtasäätö. Virtasäätö voidaan totettaa käyttämällä pelkkää virtatietoa takaisinkytkennässä, jolloin saadaan vakiovirtalähde. Virtasäätöön voidaan lisätä myös jännitesäätäjä kaskadikytkentään. Kaskadikytkennässä sisempi virtasäätö määrää teholähteen dynamiikan lähtöjännitteen ollessa arvoa U o _ max pienempi. ähtöjännitteen ollessa o _ max U arvossa vaikttaa myös lompi jännitesäätö silmkka teholähteen dynamiikkaan. Tässä työssä ttkitaan ACM(average crrent mode)-säädettyä teholähdettä toimintapisteessä, jossa virtasäätö määrää dynamiikan. Kva 1. Tyypillinen virtalähteen virta-jännitekvaaja. 4

12 2.2 Sora plssishdeohjas Teholähteissä ohjastapa eli säätö on olennainen osa systeemiä, sillä säädön snnittellla on sri vaikts teholähteen dynamiikkaan. Säädön snnittel perst pääasiassa piensignaalimallinnkseen, jonka edellyttävä tehoasteen tilayhtälöiden keskiarvoistamismenetelmä (state space averaging, SSA) kehitettiin 70-lvn polivälissä [2]. Tämä menetelmä mahdollistaa soraan plssishdeohjakseen, eli jännitemotoiseen säätöön (voltage mode control, VMC) perstvan katkojan siirtonktioiden johtamisen, kn toimitaan jatkvan kelavirran aleella (continos condction mode, CCM). Vasta 90-lvlla kehitettiin mallit, jotka toimivat hyvin epäjatkvalla kelavirralla (discontinos condction mode, DCM) [3][4]. Keskiarvoistamisesta johten tlokset pätevät riittävällä tarkkdella kytkentätaajden poleenväliin s / 2 sekä jatkvalla että epäjatkvalla kelavirralla. Soran jännitesäädön yksinkertaistett kytkentäkaavio on esitetty kvassa 2. Takaisinkytkennässä on käytetty jännitetietoa o, joten kyseessä on jännitelähde. Jännitemotoisessa säädössä katkojan plssishdetta ohjataan vertaamalla lostlojännitteen oloarvoa jännitteen asetsarvoon. Asetsarvon ja oloarvon erosignaali viedään komparaattorille, jonka toiseen tloon todaan kiinteätaajinen sahalaitajännite. Sahalaitasignaalin kasvaessa yhtä sreksi kin erovahvistimen lähtösignaali co nollaa komparaattori kiikkpiirin, joka ohjaa tehopolijohteen estotilaan. Tarkasteltaessa soraa plssishdeohjasta voidaan homata, että ohjas perst lähtö- o ja vertailjännitteen r väliseen eroon. Soraan jännitesäätöön perstvan katkojan dynamiikka on resonanssityyppinen. Toisin sanoen tehoasteen siirtonktion karakteristinen polynomi on toista astetta. Tehoasteen resonanssitaajdella vaihe kääntyy 180 º, mikä on kompensoitava erovahvistimella. Erovahvistimena käytetään sein PID(proportional-integral-derivative)-säätäjää, joka sisältää kaksi napaa eli mahdollistaa 180 º vaiheenjohdon. Kvan 2 erovahvistinkytkentä on PID-säätäjä. 5

13 Kva 2. Soran jännitesäädön periaatekaavio. 2.3 Hippvirtasäätö Hippvirtasäädön (peak crrent mode, PCM) etja verrattna jännitesäätöön ovat aktiivinen virranrajoits, srempi tlon kohinavaimenns, dynamiikan yksinkertaistminen ja mahdolliss kytkeä seampi teholähde rinnakkain. Haittoja polestaan ovat kompensointijännitteen tarve sekä takaisinkytkentäsilmkan herkkyys häiriölle. Hippvirtasäädössä virtasilmkan takaisinkytkentäsignaali sisältää kytkentätaajisen komponentin. Tämän lisäksi signaaliin smmat sritaajisia häiriöitä kytkentähetkellä, mitkä johtvat komponenttien sekä piirilevyjohtimien epäideaalisksista. Sritaajisia häiriötä voidaan sodattaa esimerkiksi RCalipäästösodattimella. Sodattimen napa on kitenkin asetettava kytkentätaajtta ylemmäksi ettei kytkentätaajinen virtatieto vaimene. 6

14 Hippvirtasäädetyn laskevan katkojan periaatekaavio on esitetty kvassa 3. Säätöjärjestelmä modost kahdesta silmkasta, joista lompi vertaa jännitteen oloarvoa o ohjearvoon mtetaan jännitetason signaaliksi r. Kyseessä on siis jännitelähde. Indktanssin virta i sarjavastksen tai virtamntajan avlla. Sisemmässä virtasäätösilmkassa verrataan indktanssin virtatietoa i erosreeseen co, josta on vähennetty kompensointijännite comp. Usi kytkentäjakso alkaa kn ajastspiiri asettaa kiikkpiirin, jolloin virta kommtoi diodilta tehopolijohteella ja indktanssin virta srenee. Kn indktanssin virtasignaali i kasvaa yhtä sreksi kin kompensoit erojännite co comp nollataan kiikkpiiri ja ohjataan tehopolijohde estotilaan. Kva 3. Hippvirtasäädön periaatekaavio. 7

15 co co - comp i kt s dt s (k+1)t s Kva 4. Plssishteen modosts hippvirtasäädössä. Kvassa 4 on esitetty plssishteen modosts hippvirtasäädössä. Erojännitteeseen on lisättävä tai indktanssin virtasignaalista vähennettävä kompensointijännite. Ilman kompensointia teholähde ajat aliharmoniseen värähtelyyn (sbharmonic oscillation). Ilmiötä on pidetty epästabiilina tilana, jonka on selitetty aihetvan virheestä indktanssin virrassa i n, joka kertat seiden kytkentäjaksojen aikana, eli kn yhtälössä (1) n ja plssishde d on srempi kin 0,5. Myöhemmin päätelmä on osoitett virheelliseksi, koska kelavirran klmakerroin riipp tlo- ja lähtöjännitteestä, eikä plssishteesta kten johdettaessa yhtälöä (1) oletettiin [13]. Myös aliharmonisten tilojen on osoitett olevan stabiileja, vaikka plssishteen modosts ei toimi normaalisti [14]. i i d = n n 1 d ' n (1) Hippvirtasäädön teoria ja ensimmäinen dynaaminen malli kehitettiin 70-lvn loplla [5][6]. Tämän mallin ongelmana oli epätarkks, eikä se kyennyt ennstamaan aliharmonista värähtelyä. 90-lvn alssa ratkaisksi esitettiin näytteistysilmiötä (sampling eect), jossa teholähteen siirtonktion takaisinkytkentään lisättiin toisen asteen termi siten, että vahvists 0,5 plssishteella kasvoi äärettömäksi [7][8]. Menetelmää pidettiin pitkään tarkimpana, vaikka sen tlokset olivat hieman ristiriidassa mittasten kanssa. Vasta 2000-lvlla teoria kyettiin osoittamaan virheelliseksi [9], ja johdettiin malli, joka ennstaa havaitt ilmiöt ja vastaa hyvin mitattja tloksia. 8

16 Dynamiikan hyvin kvaava teoria perst plssishteen modostamiseen. Hippvirtasäädössä plssishde ei ole riippmaton mttja, kten sorassa plssishdeohjaksessa, vaan plssishde totetaan vertaamalla kelavirran nosevaa jaksoa ohjearvoon. Kelavirran nosnopes riipp tlo- ja lähtöjännitteestä sekä tehoasteen piirielementeistä. Tämän takia hippvirtasäädön mallinnksessa on johdettava ohjasmttjan ja miden piirielementtien välinen dynaaminen riippvs (dty-ratio constraints). Tämä voidaan tehdä esimerkiksi käyttämällä hyväksi kelavirran geometriaa [10]. 2.4 Indktanssin virran keskiarvosäätö Indktanssin virran keskiarvosäätö kehitettiin 1990-lvn alssa. ACM-säädössä plssishteen tottaminen lainaa ideoita sekä VMC- että PCM-säädöstä. Kvasta 5 nähdään, että virran takaisinkytkennässä käytetään erovahvistinta. PI(proportionalintegral)-tyypin erovahvistimella on hyvin sri vahvists matalilla taajksilla, joka nopettaa virran säätöä asetsarvoon. Erovahvistimen lostlosignaalia ca verrataan vakiotaajiseen sahalaitasignaalin. Plssinleveysmodlaattori kytkee tehopolijohteen johtamattomaan tilaan kn sahalaitasignaali leikkaa signaalin ca. ACM katkojan plssishteen modosts ei ole yhtä herkkä sritaajisille häiriölle kin PCM säätö, eikä se vaadi kompensointia 0,5 sremmilla plssishteilla [11]. Keskiarvosäädössä kelavirran keskiarvo seraa ohjearvoa r. ACM säätöä käytetäänkin sein tehokertoimen korjaksessa. askevan katkojan tapaksessa indktanssin virran keskiarvo on yhtä sri kin lähtövirta, joten ACM-säätö toimii yhden silmkan vakiovirtalähteenä. 9

17 Kva 5. Keskiarvovirtasäädön periaatekaavio Kvassa 5 on esitetty tässä työssä tarkasteltavan teholähteen yksinkertaistett kytkentä. Teholähteessä ei ole lompaa jännitteensäätösilmkkaa, eli se toimii vakiovirtalähteenä, toisin kin aiemmin läpikäydyt VMC ja PCM ovat jännitelähteitä. Myös keskiarvovirtasäätöön voidaan lisätä lompi jännitteensäätösilmkka, joka ohjaa virtasäädön vertailjännitettä r lostlojännitteen mkaan, jolloin teholähde toimii virtarajoitettna jännitelähteenä. Teholähteen dynamiikka mtt oleellisesti riippen siitä toimiiko teholähde virta- vai jännitelähteenä. Snniteltaessa ACMsäädettyä teholähdettä esimerkiksi litim-ioni-akkjen lataspiiriksi, on tärkeää tarkastella kmpikin toimintatila erikseen. Talkossa 1 on esitetty teholähteen keskeiset arvot, joita on käytetty seraavien kappaleiden mallinnksissa, ellei mta ole mainitt. 10

18 Talkko 1. Työssä käsiteltävän teholähteen oleelliset arvot. Komponentti Arvo U in 12 V E o 0 V I o 1 A I 1 A r ds 200 mω U d 300 mv 100 µh r 300 mω r C 25 mω C 330 µf R 4 Ω R in 10 kω R 10 kω C p 150 pf C 22 nf 100 khz s 11

19 3 Piensignaalimalli 3.1 Tehoasteen mallinns Teholähteen tarkastelssa hyödyllinen työkal on piensignaalimalli. Piensignaalimalli voidaan johtaa epälineaarisille tehoasteille keskiarvoistamalla ja linearisoimalla tilayhtälöt. Piensignaalimallin avlla voidaan tarkastella tehoasteen toimintaa valitn toimintapisteen läheisyydessä käyttämällä jatkvan tilan yhtälöitä. Tässä kappaleessa johdetaan piensignaalimalli laskevan vakiovirtakatkojan tehoasteelle sen toimiessa jatkvan kelavirran aleella. Tässä tapaksessa kelan virta ei ehdi saavttaa arvoa nolla kytkentäjakson aikana. Näin ollen tehoasteella voidaan ajatella olevan kaksi eri tilaa kytkentäjakson aikana. Epäjatkvan kelavirran tapaksessa näitä tiloja olisi kolme. Teholähteen silmkkavahvistksen mallinnksessa tarvitaan siirtonktio lostlovirran i ja plssishteen d välille. Yhtälöiden johtaminen voidaan tehdä kahdella tavalla, jotka eroavat hieman toisistaan lopptloksen ollessa lonnollisesti sama. Toisessa tavassa tilayhtälöiden keskiarvosts tehdään persmodossa oleville tilayhtälöille ja piirianalyysissä käytetyt sreet sijoitetaan vasta loppvaiheessa siirtonktioihin. Toisessa tavassa ongelmaa lähestytään enemmän piirianalyysin näköklmasta ja siinä käytetään alsta lähtien piiritekniikan merkintöjä. Jälkimmäinen tapa antaa paremman kvan tilayhtälöiden johtamisesta, joten se on valitt käytettäväksi tässä työssä. Yhtälöissä (2) nähdään tilaesitys persmodossa ja (3) valitt tilamttjat x ( t), ohjassreet eli herätteet ( t) ja lähtösreet eli vasteet y ( t) matriisimodossa. Mttjien valinnassa käytetään hyväksi indktanssin ( di dt) ic ( ) = ja kapasitanssin = C d dt yhtälöitä. Otetaan käyttöön myös neljä apmttjaa K1 K4 (4), tilayhtälöiden yksinkertaistamiseksi. xɺ ( t) = Ax( t) + B( t) y( t) = Cx( t) + D( t) (2) 12

20 i i in in x = e o = y = C i (3) o d R Z Z R K = K = K = K = C C R + ZC R + ZC R + ZC R + ZC 1 (4) Kva 6. Tehoasteen sijaiskytkentä tehopolijohteen johtaessa. Tehoasteen kytkentä on esitetty kvassa 5. Kytkennässä on kaksi eri tilaa riippen onko tehopolijohde johto- vai estotilassa. Kvasta 6 nähdään tehoasteen sijaiskytkentä tehopolijohteen johtaessa, jolle saadaan piiriteorian avlla ( ) = i r + r + K e K in ds 1 o 2 i = i K + e K C 3 o 4 i in = i i = i K e K o 2 o 4 (5) 13

21 Kva 7. Tehoasteen sijaiskytkentä diodin johtaessa. Tehopolijohteen slketessa virta kommtoi diodille. Tässä tapaksessa kvan 7 mkaisesti pätee ( ) = i K + r e K U 1 o 2 d i = i K + e K C 3 o 4 i in = 0 i = i K e K o 2 o 4 (6) Seraavaksi mokataan yhtälöitä (5) ja (6), siten että ne sopivat paremmin tilaesityksen persmotoon käyttämällä indktanssin ja kapasitanssin ominaisksia. di in i K = ds o dt dc K3 K4 = i + eo dt C C i = i in i = i K e K o 2 o 4 2 ( r r K ) e (7) di i K2 Ud = ( r + K1 ) eo dt dc K3 K4 = i + eo dt C C i = 0 in i = i K e K o 2 o 4 (8) 14

22 Yhtälöt (7) ja (8) voidaan yhdistää ottamalla niistä keskiarvo (9) yhden kytkentäjakson yli ja käyttämällä plssishteen ominaistta d ' = 1 d, koska 1 T s Ts dt + dt = d + d ' dts dts on o on o (9) 0 Tästä saadaan yhden kytkentäjakson yli keskiarvostett tilayhtälöt di dr + r + K d K U U = i + e + d dt dc K3 K4 = i + eo dt C C i = di in i = i K e K o 2 o 4 ds 1 in 2 d d o (10) Saadt yhtälöt (10) ovat epälineaarisia, koska niissä on kahden mttjan tloja. Ne voidaan kitenkin linearisoida ottamalla osittaisderivaatat jokaisen mttjan shteen, kten yhtälössä (11) on esitetty. inearisoidt yhtälöt (12) ovat piensignaaliyhtälöitä, eli niiden käyttämiseen tarvitaan pysyvän tilan yhtälöt (13), jotka saadaan helposti keskiarvostetista tilayhtälöistä asettamalla derivaattatermit nolliksi ja sijoittamalla pysyvän tilan sreet. Myös apmttjien K1 K4 sisältämät kondensaattorien impedanssit on ratkaistava tasajännitteellä sijoittamalla Z = r + 1 sc ja s 0. C C n ˆ ( xi, X 2,..., X n ) = x ˆ i i= 1 xi dx dt (11) diˆ ˆ Dr + r + R D K ˆ ˆ ˆ U + U I r = i + e + d dt dˆ C ˆ K3 K4 = i ˆ + eo dt C C iˆ = iˆ D + di ˆ in o iˆ = iˆ K eˆ K ds 2 in d o ds in o o 2 o 4 (12) 15

23 I I in = I o = D I o ( ) I R + r + E + U D = U + U I r o o d in d o ds (13) inearisoidista tilayhtälöistä voidaan siirtyä siirtonktioesitykseen aplacemntamalla tilayhtälöt ja soveltamalla matriisialgebraa. Tloksena saadaan siirtonktiot ohjassreista tilamttjiin (14-17) ja ohjassreista lähtösreisiin (18-21). Teholähteen säätösnnitteln kannalta mielenkiintoisin siirtonktio on ohjasshteesta kelavirtaan. Myös mt siirtonktiot ovat käyttökelpoisia ttkittaessa teholähteen soritskykyä. Drds + r + K1 D K2 Uin + Ud Iords 0 ˆin ˆ ˆ i i s = + eˆ o ˆ K3 ˆ K C 4 0 C 0 0 dˆ x C x C A B (14) ( ) 1 xɺ ( s) = si A B( s) (15) iˆ ˆ ˆ i i ˆ ( ) ( ) 1 ˆ ˆ in eo d H s = si A B = (16) ˆ ˆ ˆ c c c ˆ ˆ ˆ in eo d D K2 U d + Uin Iords DK3 K2K K 3 3 ( U d + Uin Iords ) ( s) sc sc sc H = + K (17) 4 K1 + s + Drds + r 0 0 sc 16

24 ˆ in iˆ 0 ˆ 0 0 in D i Io eˆ o ˆ = i K2 0 + ˆ 0 K4 0 o C dˆ y C x D (18) ( ) 1 y ( s) = s + ( s) C I A B D (19) iˆ ˆ ˆ in iin i in ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 1 in eo d G s = C si A B + D = (20) iˆ ˆ ˆ o io i o ˆ ˆ ˆ in eo d ( d in o ds ) ( ) G ( s) = + (21) 2 D DK2 D U + U I r 2 DK2 K2 K2 Ud + Uin Iords 0 0 Io K1 + s + Drds + r 0 K4 0 Yhtälöissä (17) ja (21) on esitetty tehoasteen loplliset siirtonktiot matriisimodossa. Nimittäjässä esiintyvä polynomi det ( si ) A on kaikille siirtonktiolle yhteinen karakteristinen polynomi, jonka nollakohdat ovat järjestelmän napoja. Sijoitetaan siirtonktiohin (22-23) apmttjat K1 K4 ja sievennetään ne motoon, josta napojen ja nollien määrä on helpommin nähtävissä. Siirtonktioiden karakteristinen polynomi on sama, joten niiden navat sijaitsevat aplace-tason samoissa pisteissä. Kompleksiset napaparit sijaitsevat vasemmassa politasossa. Kmmallakin siirtonktiolla on yksi nolla vasemmassa politasossa. G = c (22) iˆ Uin + Ud Iords = = dˆ RZC + s + Drds + r R + Z C ( sc ( rc + R ) + 1)( Uin + U d Iords ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) 2 s C R + rc + s + C R rc + r + rc r + Drds rc + R + r + R + Drds 17

25 G = co (23) ZC iˆ o R + ZC = = dˆ RZC + s + Drds + r R + Z C ( U + U I r ) d in o ds ( scrc + 1)( Uin + U d Iords ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) s C R rc s C R rc r rc r Drds rc R r R Drds Kvassa 8 on esitetty tehoasteen siirtonktio plssishteesta indktanssin virtaan G c (22) kolmella eri kondensaattorin arvolla. Boden diagrammin tlostamiseen käytetty Matlab komentojono on esitetty liitteessä 2. Kondensaattorin impedansilla on sri vaikts siironktioon matalilla taajksilla, mtta erot pienenevät lähestyttäessä rajataajtta. Rajataajs on jokaisessa tapaksessa likimain sama. Vaihevara on kaikissa tapaksissa vähintään 90 astetta, joten erovahvistimen ei tarvitse tottaa vaiheenjohtoa stabiilisden saavttamiseksi. Kva 8. Siirtonktio G kondensaattorin eri arvoilla. C = 0 F (jatkva viiva), cl C = 330 µ F (katkoviiva) ja C = 47 mf (katkopisteviiva) 18

26 Tehoasteen siirtonktio plssishteesta kormavirtaan G co (23) on esitetty kvassa 9. Homataan, että rajataajs riipp voimakkaasti kondensaattorin impedanssin ja kormaresistanssin shteesta. Tämä voidaan päätellä myös siirtonktiosta (23), jossa srempi kapasitanssi aihettaa vahvistksen pienenemisen matalammalla taajdella. Tlos on looginen, koska kondensaattorin impedanssin ollessa kormaimpedanssia pienempi srempi osa virrasta klkee kondensaattorin katta. On selvää, että kormavirran käyttäminen takaisinkytkentätietona on haastavampaa verrattna indktanssin virran takaisinkytkentään. Kva 9. Siirtonktio G kondensaattorin eri arvoilla. C = 0 F (jatkva viiva), co C = 330 µ F (katkoviiva) ja C = 47 mf (katkopisteviiva) ähtökondensaattorin sarjaresistanssin nollaa voidaan käyttää säädön kompensoimiseen teholähteissä, joissa silmkkavahvistkseen tarvitaan 180 º vaiheenjohtoa. Kondensaattorin sarjaresistanssin aihettama nolla voi käytännön sovellksissa siirtyä helposti sremmalle tai pienemmälle taajdelle komponenttiarvojen vaihdellessa. Säätösnnittela tehtäessä tämä riski on hyvä tiedostaa, jos kondensaattorin sarjaresistanssin nollaa käytetään hyväksi stabiiliden takaamisessa. 19

27 Tehoasteen käyttäytymistä voidaan tarkastella myös hyvyyskriteereillä, jotka kvaavat järjestelmän soritskykyä. Toisen kertalvn kompleksinen napapari aihettaa taajstasoon resonanssitaajden ja Boden diagrammiin resonanssipiikin. Toisen kertalvn karakteristinen polynomi voidaan esittää modossa 2 2 s + s 2ζωn + ωn, jossa ω n on ominaisklmataajs eli resonanssiklmataajs ja ζ vaimennsshde. Vaimennsshteen arvon persteella systeemi voidaan lokitella seraavasti: 0 < ζ < 1, systeemi on alivaimennett. ζ = 1, systeemi on kriittisesti vaimennett. ζ > 1, systeemi on ylivaimennett. Alivaimennett systeemi värähtelee sitä voimakkaammin, mitä pienempi vaimennsshteen arvo on. Kriittisesti vaimennett ja ylivaimennett systeemi ei värähtele. Tämän työn tehoasteen vaimennsshteeksi saadaan yhtälöstä (25) ζ = 0, 42, eli systeemi on alivaimennett. Kvasta 10 nähdään kinka vaimennsshteen mttminen vaikttaa Boden diagrammiin. n = r + R + Dr ds 2 ( 2π ) C ( r + R ) (24) ζ = ( ( C ) C ds ( C )) + C R r + r + r r + Dr r + R 2C r ( + R ) C r + R + Dr C r ds ( + R ) C (25) 20

28 Kva 10. Vaimennsshde taajstasossa. Aikatasossa pieni vaimennsshde näkyy sriamplitdisena värähtelynä ja hitaana asettmisaikana. Kvassa 10 on havainnollistett kinka vaimennsshde vaikttaa systeemin käyttäytymiseen aikatasossa. On homioitava että kvissa 10 ja 11 esitettyjen systeemien resonanssitaajdet eivät ole samoja. Kva 11. Vaimennsshde aikatasossa. 21

29 Tehoasteen G c vaimennsshteen yhtälöstä (25) voidaan päätellä komponenttien sarjaresistanssien kasvattavan vaimennsshdetta. Kvassa 12 on havainnollistett sarjaresistanssien r, r ja C rds vaiktsta vaimennsshteeseen mttamalla yhden arvoa kerrallaan ja pitämällä mt vakiona. Vaimennsshde kasvaa sarjaresistanssin nktiona, mikä on looginen tlos koska resistanssit tyypillisesti vaimentavat resonanssikäyttäytymistä. Teholähteissä sarjaresistanssit honontavat hyötyshdetta, joten ne pyritään pitämään mahdollisimman pieninä piirilevysnnittellla ja komponenttivalinnoilla. Kva 12. Komponenttien sarjaresistanssien vaikts vaimennsshteeseen. Kondensaattori r = 25 mω (jatkva viiva), indktanssi r = 300 mω (katkoviiva) ja C tehopolijohde r = 200 mω (pistekatkoviiva). Merkityt pisteet osoittavat tässä ds työssä käytettyjä arvoja. 22

30 3.2 Virranmittas Työn teholähteessä indktanssin virtaa käytetään takaisinkytkentätietona. Indktanssin virta aihettaa jännitteen irs virranmittasvastksen yli, joka vahvistetaan operaatiovahvistimella. Operaatiovahvistinkytkentänä käytetään kvan 13 mkaista erotsvahvistinta, jonka lähtöjännitteen i vertailpiste on maa. Kva 13. Virranmittaskytkentä. Kvan 12 merkintöjä käyttäen virranmittaskytkennälle saadaan yhtälö R = R i = A R i (26) 2 i s s R1 Yhtälöstä (26) homataan, että kytkennän vahvists saadaan vaststen R2 R1 shteena. Tässä työssä vahvistkseksi on valitt A = 10 ja virranmittasvastkseksi on valitt R s = 0,1 Ω. Virranmittaksessa käytettävän operaatiovahvistimen avoimen piirin vahvistksen tlisi olla vähintään 20 db 100 khz taajdella, jotta indktanssin virran moto ei vääristyisi. Tässä työssä käytetty operaatiovahvistin on integroit UC3886 teholähdeohjainpiiriin [15]. Piirin datalehdessä operaatiovahvistimen rajataajdeksi annetaan minimissään 2 MHz. Näin ollen operaatiovahvistimen soritskyky on riittävä, jos oletetaan että avoimen silmkan vahvists pienenee 20 db dekadia kohti. 23

Elektroniikka, kierros 3

Elektroniikka, kierros 3 Elektroniikka, kierros 3 1. a) Johda kuvan 1 esittämän takaisinkytketyn systeemin suljetun silmukan vahvistuksen f lauseke. b) Osoita, että kun silmukkavahvistus β 1, niin suljetun silmukan vahvistus f

Lisätiedot

Osatentti

Osatentti Osatentti 3 1.4.016 Nimi: Opiskelijanumero: Ohjeet: Kirjoita vastaukset paperissa annettuun tilaan. Lisävastaustilaa on paperin lopussa. Käytä selvää käsialaa. Laskin EI ole sallittu. Tenttikaavasto jaetaan.

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakoulu

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakoulu S-55.00 SÄHKÖTKNIIKKA JA KTONIIKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakol Kimmo Silvonen Tentti 30.5.03: tehtävät,3,4,6,0.. välikoe: tehtävät,,3,4,5.. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,0. Saat vastata vain

Lisätiedot

ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen.

ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen. ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen. X.X.2015 Tehtävä 1 Bipolaaritransistoria käytetään alla olevan kuvan mukaisessa kytkennässä, jossa V CC = 40 V ja kuormavastus

Lisätiedot

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2016

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2016 7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaist 5 Kevät 26. Aberraatio shteellissteoriassa a) Tlkoon valo kten tehtävän kvassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: x ˆx + y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. () Lorenz

Lisätiedot

OULUN YLIOPISTO Konetekniikan osasto 460071A Autojen ja työkoneiden rakennejärjestelmät I 5 op Mauri Haataja. 1. Pyöräajoneuvojen ominaisohjaus

OULUN YLIOPISTO Konetekniikan osasto 460071A Autojen ja työkoneiden rakennejärjestelmät I 5 op Mauri Haataja. 1. Pyöräajoneuvojen ominaisohjaus OUUN YIOPISTO Konetekniikan osasto 467A Atojen ja työkoneiden rakennejärjestelmät I 5 op Mari Haataja. Pyöräajonevojen ominaisohjas. Henkilöatojen pyöräntenta Hyötyajonevojen ajo-ominaisksiin vaikttavat

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot

Hyvyyskriteerit. ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 8: Säädetyn järjestelmän hyvyys aika- ja taajuustasossa, suunnittelu taajuustasossa, kompensaattorit

Hyvyyskriteerit. ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 8: Säädetyn järjestelmän hyvyys aika- ja taajuustasossa, suunnittelu taajuustasossa, kompensaattorit Hyvyyskriteerit ELEC-C1230 Säätötekniikka Aikaisemmilla luennoilla on havainnollistettu, miten systeemien käyttäytymiseen voi vaikuttaa säätämällä niitä. Epästabiileista systeemeistä saadaan stabiileja,

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteita o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

PID-sa a timen viritta minen Matlabilla ja simulinkilla

PID-sa a timen viritta minen Matlabilla ja simulinkilla PID-sa a timen viritta minen Matlabilla ja simulinkilla Kriittisen värähtelyn menetelmä Tehtiin kuvan 1 mukainen tasavirtamoottorin piiri PID-säätimellä. Virittämistä varten PID-säätimen ja asetettiin

Lisätiedot

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit jännitelähde virtalähde Kirchhoffin virtalaki Kirchhoffin jännitelaki Käydään läpi Kirchhoffin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteet o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit jännitelähde virtalähde Kirchhoffin virtalaki Kirchhoffin jännitelaki Käydään läpi Kirchhoffin lait,

Lisätiedot

havainnollistus, muokkaus ja viimeistely

havainnollistus, muokkaus ja viimeistely Tekstin havainnollists, mokkas ja viimeistely Lettavs ja merkintätavat Tiina Airaksinen Kappaleiden jäsentäminen Kappale = asiakokonaiss Testi: Pystytkö keksimään otsikon? Ei yhden virkkeen / yhden sivn

Lisätiedot

1 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki

1 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki Enso Ikonen, Oulun yliopisto, systeemitekniikan laboratorio 2/23 Säätöjärjestelmien suunnittelu 23 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki Tehtävänä on suunnitella säätö prosessille ( ) = = ( +)( 2 + )

Lisätiedot

Säätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla

Säätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla Säätötekniikkaa Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla servo-ongelma: ulostulon seurattava referenssisignaalia mahdollisimman tarkasti,

Lisätiedot

Mittalaitetekniikka. NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014

Mittalaitetekniikka. NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 Mittalaitetekniikka NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 1 1. VAIHTOSÄHKÖ, PERUSKÄSITTEITÄ AC = Alternating current Jatkossa puhutaan vaihtojännitteestä. Yhtä hyvin voitaisiin tarkastella

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Systeemin käyttäytyminen. ELEC-C1230 Säätötekniikka. Systeemin navat ja nollat. Systeemin navat ja nollat

Systeemin käyttäytyminen. ELEC-C1230 Säätötekniikka. Systeemin navat ja nollat. Systeemin navat ja nollat Systeemin käyttäytyminen ELEC-C1230 Säätötekniikka Luku 5: Navat ja nollat, systeemin nopeus, stabiilisuus ja värähtelyt, Routh-Hurwitz-kriteeri Systeemin tai järjestelmän tärkein ominaisuus on stabiilisuus.

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

DEE Sähkötekniikan perusteet

DEE Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Tasasähköpiirien systemaattinen ratkaisu: kerrostamismenetelmä, silmukkavirtamenetelmä, solmupistemenetelmä Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet silmukkavirtamenetelmä

Lisätiedot

4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa. 4.2. Perusteita

4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa. 4.2. Perusteita 4. Taajsaleen sodats 4.. Tastaa Forier esitti. 87 idean että laskien yhteen jaksollisia painotettja fnktioita oidaan esittää kinka tahansa monimtkainen jaksollinen fnktio. Ka 4.. esittää tällaista. Jaksolliset

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.

Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen S55.0 SÄHKÖTEKNKKA 9.5.000 Kimmo Silvonen Tentti: tehtävät,,5,8,9. välikoe: tehtävät,,,4,5. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,0 Oletko muistanut vastata palautekyselyyn Voit täyttää lomakkeen nyt.. aske virta.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA S-55.00 SÄHKÖTKNIIKK J KTONIIKK Kimmo Silvonen alto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakoulu C Välikoe on kääntöpuolella! Tentti 7.4.04. Tehtävät,, 4, 6, 7. Saat vastata vain neljään tehtävään! Sallitut:

Lisätiedot

Seppo I. Niemelä: Mikrobiologian kvantatiivisten

Seppo I. Niemelä: Mikrobiologian kvantatiivisten Jlkais J1/001 MITTATEKNIIKAN KESKUS Jlkais J1/001 MIKROBIOLOGIAN KVANTITATIIVISTEN VILJELYMÄÄRITYSTEN MITTAUSEPÄVARMUUS Seppo I. Niemelä KEMIAN JAOSTO Mikrobiologian työryhmä Helsinki 001 ALKUSANAT Mikrobiologisten

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn

Lisätiedot

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 51384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 1. Tutkitaan mikroliuskajohtoa, jonka substraattina on kvartsi (ε r 3,8) ja jonka paksuus (h) on,15 mm. a) Mikä on liuskan leveyden w oltava, jotta ominaisimpedanssi

Lisätiedot

Van der Polin yhtälö

Van der Polin yhtälö Van der Polin yhtälö RLC-virtapiirissä oleva vastus vaikuttaa varsin olennaisesti piirissä esiintyviin värähtelyilmiöihin. Kuitenkin aivan uuden elementin komponenttitekniikkaan toivat aikoinaan puolijohdediodeja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Varauspumppu-PLL. Taulukko 1: ulostulot sisääntulojen funktiona

Varauspumppu-PLL. Taulukko 1: ulostulot sisääntulojen funktiona Varauspumppu-PLL Vaihevertailija vertaa kelloreunoja aikatasossa. Jos sisääntulo A:n taajuus on korkeampi tai vaihe edellä verrattuna sisääntulo B:hen, ulostulo A on ylhäällä ja ulostulo B alhaalla ja

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä

Lisätiedot

1 Kohina. 2 Kohinalähteet. 2.1 Raekohina. 2.2 Terminen kohina

1 Kohina. 2 Kohinalähteet. 2.1 Raekohina. 2.2 Terminen kohina 1 Kohina Kohina on yleinen ongelma integroiduissa piireissä. Kohinaa aiheuttavat pienet virta- ja jänniteheilahtelut, jotka ovat komponenteista johtuvia. Myös ulkopuoliset lähteet voivat aiheuttaa kohinaa.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

1 f o. RC OSKILLAATTORIT ja PASSIIVISET SUODATTIMET. U r = I. t τ. t τ. 1 f O. KAJAANIN AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikan ja liikenteen ala

1 f o. RC OSKILLAATTORIT ja PASSIIVISET SUODATTIMET. U r = I. t τ. t τ. 1 f O. KAJAANIN AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikan ja liikenteen ala KAJAANIN AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikan ja liikenteen ala TYÖ 7 ELEKTRONIIKAN LABORAATIOT H.Honkanen RC OSKILLAATTORIT ja PASSIIVISET SUODATTIMET TYÖN TAVOITE - Mitoittaa ja toteuttaa RC oskillaattoreita

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Keskinäisinduktanssi induktiivisesti kytkeytyneet komponentit muuntajan toimintaperiaate T-sijaiskytkentä kytketyn piirin energia KESKINÄISINDUKTANSSI M Faraday: magneettikentän

Lisätiedot

C 2. + U in C 1. (3 pistettä) ja jännite U C (t), kun kytkin suljetaan ajanhetkellä t = 0 (4 pistettä). Komponenttiarvot ovat

C 2. + U in C 1. (3 pistettä) ja jännite U C (t), kun kytkin suljetaan ajanhetkellä t = 0 (4 pistettä). Komponenttiarvot ovat S-87.2 Tentti 6..2007 ratkaisut Vastaa kaikkiin neljään tehtävään! C 2 I J 2 C C U C Tehtävä atkaise virta I ( pistettä), siirtofunktio F(s) = Uout ( pistettä) ja jännite U C (t), kun kytkin suljetaan

Lisätiedot

1. a) Piiri sisältää vain resistiivisiä komponentteja, joten jännitteenjaon tulos on riippumaton taajuudesta.

1. a) Piiri sisältää vain resistiivisiä komponentteja, joten jännitteenjaon tulos on riippumaton taajuudesta. Fysiikan mittausmenetelmät I syksy 2013 Malliratkaisut 3 1. a) Piiri sisältää vain resistiivisiä komponentteja, joten jännitteenjaon tulos on riippumaton taajuudesta. b) Ulostulo- ja sisäänmenojännitteiden

Lisätiedot

S-108.3020 Elektroniikan häiriökysymykset. Laboratoriotyö, kevät 2010

S-108.3020 Elektroniikan häiriökysymykset. Laboratoriotyö, kevät 2010 1/7 S-108.3020 Elektroniikan häiriökysymykset Laboratoriotyö, kevät 2010 Häiriöiden kytkeytyminen yhteisen impedanssin kautta lämpötilasäätimessä Viimeksi päivitetty 25.2.2010 / MO 2/7 Johdanto Sähköisiä

Lisätiedot

Säätötekniikan alkeita

Säätötekniikan alkeita Säätötekniikan alkeita Säätötekniikan avulla pyritään ohjaamaan erilaisia i i järjestelmiäj älyä sisältävällä menetelmällä. Tavoitteena on saada systeemi käyttäytymään halutulla tavalla luotettavasti,

Lisätiedot

LC4-kattokaiutinsarja

LC4-kattokaiutinsarja Viestintäjärjestelmät LC4-kattokaitinsarja LC4-kattokaitinsarja www.boschsecrity.fi Innovatiivinen koko aleen CosCone-ohjain Loistava pheen ja msiikin toisto Aintlaatinen avasklma kaikkien oktaavien taajksille

Lisätiedot

SMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 2(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset

SMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 2(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset SMG- Piirianalyysi, kesäkurssi, harjitus (3) Tehtävien ratkaisuehdtukset 6 Tarkitus n laskea V ja eveninin ekvivalentin avulla Tämä tarkittaa sitä, että mudstetaan kytkennälle eveninin ekvivalentti vastuksen

Lisätiedot

Sähkötekniikka ja elektroniikka

Sähkötekniikka ja elektroniikka Sähkötekniikka ja elektroniikka Kimmo Silvonen (X) Operaatiovahvistin Operational Amplifier Opva Opamp. Versio. Ideaalivahvistin elektroniikan peruslohkona Takaisinkytkentä Operaatiovahvistin vahvistaa

Lisätiedot

Plena All-In-One -yksikkö

Plena All-In-One -yksikkö Viestintäjärjestelmät Plena All-In-One -yksikkö Plena All-In-One -yksikkö www.boschsecrity.fi Tastamsiikin ja henkilöhan kokonaisratkais Kden vyöhykkeen henkilöhakjärjestelmä Sisäänrakennett AM/FM-viritin,

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA SMG-: SÄHKÖTEKNIIKKA Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Tarkoitus on yrittää ymmärtää passiivisten piirikomponenttien toiminnan taustalle olevat luonnonilmiöt. isäksi johdetaan näiden

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

MIKROAALTOMITTAUKSET 1

MIKROAALTOMITTAUKSET 1 MIKROAALTOMITTAUKSET 1 1. TYÖN TARKOITUS Tässä harjoituksessa tutkit virran ja jännitteen käyttäytymistä gunn-oskillaattorissa. Piirrät jännitteen ja virran avulla gunn-oskillaattorin toimintakäyrän. 2.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,

Lisätiedot

Elektroniikan perusteet, Radioamatööritutkintokoulutus

Elektroniikan perusteet, Radioamatööritutkintokoulutus Elektroniikan perusteet, Radioamatööritutkintokoulutus Antti Karjalainen, PRK 30.10.2014 Komponenttien esittelytaktiikka Toiminta, (Teoria), Käyttö jännite, virta, teho, taajuus, impedanssi ja näiden yksiköt:

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 3 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Sähkötekiikka muistiinpanot

Sähkötekiikka muistiinpanot Sähkötekiikka muistiinpanot Tuomas Nylund 6.9.2007 1 6.9.2007 1.1 Sähkövirta Symboleja ja vastaavaa: I = sähkövirta (tasavirta) Tasavirta = Virran arvo on vakio koko tarkasteltavan ajan [ I ] = A = Ampeeri

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Taitaja2004/Elektroniikka Semifinaali 19.11.2003

Taitaja2004/Elektroniikka Semifinaali 19.11.2003 Taitaja2004/Elektroniikka Semifinaali 19.11.2003 Teoriatehtävät Nimi: Oppilaitos: Ohje: Tehtävät ovat suurimmaksi osaksi vaihtoehtotehtäviä, mutta tarkoitus on, että lasket tehtävät ja valitset sitten

Lisätiedot

Kondensaattorin läpi kulkeva virta saadaan derivoimalla yhtälöä (2), jolloin saadaan

Kondensaattorin läpi kulkeva virta saadaan derivoimalla yhtälöä (2), jolloin saadaan VAIHTOVIRTAPIIRI 1 Johdanto Vaihtovirtapiirien käsittely perustuu kolmen peruskomponentin, vastuksen (resistanssi R), kelan (induktanssi L) ja kondensaattorin (kapasitanssi C) toimintaan. Tarkastellaan

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I. Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I. Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet SMG-00: PIIRIANALYYSI I Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet alipäästösuodin ylipäästösuodin kaistanpäästösuodin kaistanestosuodin jännitevahvistus rajataajuus kaistanleveys resonanssi Suotimet:

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

SATE1050 PIIRIANALYYSI II / MAARIT VESAPUISTO: APLAC, MATLAB JA SIMULINK -HARJOITUSTYÖ / SYKSY 2015

SATE1050 PIIRIANALYYSI II / MAARIT VESAPUISTO: APLAC, MATLAB JA SIMULINK -HARJOITUSTYÖ / SYKSY 2015 1 SAT1050 PANAYYS / MAAT VSAPUSTO: APA, MATAB JA SMUNK -HAJOTUSTYÖ / SYKSY 2015 Harjoitustyön tarkoituksena on ensisijaisesti tutustua Aplac-, Matab ja Simulink simulointiohjelmistojen ominaisuuksiin ja

Lisätiedot

Johdatus vaihtosähköön, sinimuotoiset suureet. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Johdatus vaihtosähköön, sinimuotoiset suureet. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Johdatus vaihtosähköön, sinimuotoiset suureet 1 Vaihtovirta vs tasavirta Sähkömagneettinen induktio tuottaa kaikissa pyörivissä generaattoreissa vaihtojännitettä. Vaihtosähköä on

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Tehtävä 1. Vaihtoehtotehtävät.

Tehtävä 1. Vaihtoehtotehtävät. Kem-9.7 Proeiautomaation peruteet Perutehtävät Tentti 9.. Tehtävä. Vaihtoehtotehtävät. Oikea vatau,p, väärä vatau -,p ja ei vatauta p Makimi,p ja minimi p TÄMÄ PAPERI TÄYTYY EHDOTTOMASTI PALAUTTAA TENTIN

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

d) Jos edellä oleva pari vie 10 V:n signaalia 12 bitin siirtojärjestelmässä, niin aiheutuuko edellä olevissa tapauksissa virheitä?

d) Jos edellä oleva pari vie 10 V:n signaalia 12 bitin siirtojärjestelmässä, niin aiheutuuko edellä olevissa tapauksissa virheitä? -08.300 Elektroniikan häiriökysymykset Kevät 006 askari 3. Kierrettyyn pariin kytkeytyvä häiriöjännite uojaamaton yksivaihejohdin, virta I, kulkee yhdensuuntaisesti etäisyydellä r instrumentointikaapelin

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

3. kierros. 1. Lähipäivä

3. kierros. 1. Lähipäivä 3. kierros 1. Lähipäivä Viikon aihe (viikko 1/2) Takaisinkytketyt vahvistimet Takaisinkytkentä, suljettu säätöluuppi Nyquistin kriteeri, stabiilisuus Taajuusanalyysi, Boden ja Nyquistin diagrammit Systeemin

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Aktiiviset piirikomponentit. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Aktiiviset piirikomponentit. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Aktiiviset piirikomponentit 1 Aktiiviset piirikomponentit Sähköenergian lähteitä Jännitelähteet; jännite ei merkittävästi riipu lähteen antamasta virrasta (akut, paristot, valokennot)

Lisätiedot

EMC: Electromagnetic Compatibility Sähkömagneettinen yhteensopivuus

EMC: Electromagnetic Compatibility Sähkömagneettinen yhteensopivuus EMC: Electromagnetic Compatibility Sähkömagneettinen yhteensopivuus Ympäristön häiriöt Laite toimii suunnitellusti Syntyvät häiriöt Sisäiset häiriöt EMC Directive Article 4 1. Equipment must be constructed

Lisätiedot

Kokemuksia muutoksesta ja johtamisesta 1980- luvulta tähän päivään. Keijo Mutanen KIM Ventures Oy Joensuu 6.11.2014

Kokemuksia muutoksesta ja johtamisesta 1980- luvulta tähän päivään. Keijo Mutanen KIM Ventures Oy Joensuu 6.11.2014 Kokemksia mtoksesta ja johtamisesta 1980- lvlta tähän päivään Keijo Mtanen KIM Ventres Oy Joens 6.11.2014 Oma johtamiskokems 1980- lk: VTT, Jyväskylä, Jaoston päällikkö, projektipäällikkö, yksikön varajohtaja,

Lisätiedot

[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.

[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }. Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+

Lisätiedot

Yhteistyötä teatterista & Taiteesta tuotteeksi -hankkeet

Yhteistyötä teatterista & Taiteesta tuotteeksi -hankkeet Yhteistyötä teatterista & Taiteesta totteeksi -hankkeet Iisalmi, Keitele, Kirvesi, Lapinlahti, Pielavesi, Sonkajärvi ja Vieremä 10.8.2015 10.03.2016 Sisällys Johdanto... 3 Yhdistystoiminta ja osallistminen...

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ) SMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 1(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset

( ) ( ) ( ) ( ) SMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 1(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset SMG-11 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 1(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset. Energia W saadaan, kun tehoa p(t) integroidaan ajan t suhteen. Täten akun kokonaisenergia W saadaan lausekkeesta t1 t1,

Lisätiedot

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu

Lisätiedot

Magneettinen energia

Magneettinen energia Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee

Lisätiedot

FYSP105 / K3 RC-SUODATTIMET

FYSP105 / K3 RC-SUODATTIMET FYSP105 / K3 R-SODATTIMET Työn tavoitteita tutustua R-suodattimien toimintaan oppia mitoittamaan tutkittava kytkentä laiterajoitusten mukaisesti kerrata oskilloskoopin käyttöä vaihtosähkömittauksissa Työssä

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C = BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B

Lisätiedot

ÄÄNEKKÄÄMMÄN KANTELEEN MALLINTAMINEN ELEMENTTIME- NETELMÄLLÄ

ÄÄNEKKÄÄMMÄN KANTELEEN MALLINTAMINEN ELEMENTTIME- NETELMÄLLÄ ÄÄNEKKÄÄMMÄN KANTELEEN MALLINTAMINEN ELEMENTTIME- NETELMÄLLÄ Henna Tahvanainen 1, Jyrki Pölkki 2, Henri Penttinen 1, Vesa Välimäki 1 1 Signaalinkäsittelyn ja akustiikan laitos Aalto-yliopiston sähkötekniikan

Lisätiedot

RCL-vihtovirtapiiri: resonanssi

RCL-vihtovirtapiiri: resonanssi CL-vihtovirtapiiri: resonanssi Olkoon tarkastelun kohteena tavallinen LC-vaihtovirtapiiri. Piirissä on kolme komponenttia, ohmin vastus, L henryn induktanssi ja C faradin kapasitanssi. Piiriin syötettyyn

Lisätiedot

TASONSIIRTOJEN ja VAHVISTUKSEN SUUNNITTELU OPERAATIOVAHVISTINKYTKENNÖISSÄ

TASONSIIRTOJEN ja VAHVISTUKSEN SUUNNITTELU OPERAATIOVAHVISTINKYTKENNÖISSÄ TSONSTOJEN ja VHVSTKSEN SNNTTEL OPETOVHVSTKYTKENNÖSSÄ H. Honkanen. SMMMEN KÄYTTÖ - Summaimelle voidaan erikseen määrittää, omaan tuloonsa: - Signaalin jännitevahvistus ja - Tasonsiirto - Mahdollisuus kytkeä

Lisätiedot

PIIRIANALYYSI. Harjoitustyö nro 7. Kipinänsammutuspiirien mitoitus. Mika Lemström

PIIRIANALYYSI. Harjoitustyö nro 7. Kipinänsammutuspiirien mitoitus. Mika Lemström PIIRIANAYYSI Harjoitustyö nro 7 Kipinänsammutuspiirien mitoitus Mika emström Sisältö 1 Johdanto 3 2 RC-suojauspiiri 4 3 Diodi suojauspiiri 5 4 Johtopäätos 6 sivu 2 [6] Piirianalyysi Kipinänsammutuspiirien

Lisätiedot

Petri Kärhä 04/02/04. Luento 2: Kohina mittauksissa

Petri Kärhä 04/02/04. Luento 2: Kohina mittauksissa Kohinan ominaisuuksia Kohinamekanismit Terminen kohina Raekohina 1/f kohina (Kvantisointikohina) Kohinan käsittely Kohinakaistanleveys Kohinalähteiden yhteisvaikutus Signaali-kohina suhde Kohinaluku Kohinalämpötila

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot