Keskiarvovirtaohjatun vakiovirtalähteen dynaaminen mallinnus

Transkriptio

1 Olli aronen Keskiarvovirtaohjatn vakiovirtalähteen dynaaminen mallinns Sähkötekniikan korkeakol Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä tarkastettavaksi diplomi-insinöörin ttkintoa varten Espoossa Työn valvoja: Pro. Jorma Kyyrä Työn ohjaaja: DI Miika Keskinen

2 Aalto-yliopisto Sähkötekniikan korkeakol Tekijä: Olli aronen DIPOMITYÖN TIIVISTEMÄ Työn nimi: Keskiarvovirtaohjatn vakiovirtalähteen dynaaminen mallinns Title in English: Dynamic modeling o average crrent mode controlled crrent sorce Ttkinto-ohjelma: Elektroniikka ja sähkötekniikka Pääaine: Elektroniikka ja sovellkset Sivaine: Opetsyksikön (ent. proessri) koodi: S-81 Työn valvoja: Jorma Kyyrä Työn ohjaaja: Miika Keskinen Tiivistelmä: Työssä johdetaan piensignaalimalli keskiarvovirtaohjatlle laskevalle vakiovirtakatkojalle. Yhtälöt johdetaan jatkvan kelavirran aleella keskiarvoistamalla tilayhtälöt ja linearisoimalla ne tiettyyn toimintapisteeseen. Johtamalla piensignaalimalli myös erovahvistimelle sekä plssinleveysmodlaattorille ratkaistaan teholähteen sljetn silmkan malli, jonka toimintaa taajstasossa tarkastellaan Boden diagrammien ja napojen ja nollien sijaintien avlla. Matemaattisen piensignaalimallin tarkktta verrataan prototyyppiteholähteen mittastloksiin. Osoittat, että käytetyllä kormalla on sri vaikts teholähteen dynamiikkaan. Piensignaalimalli kitenkin ennstaa teholähteen taajsvasteen oikein erityyppisillä kormalla. Päivämäärä: Kieli: Somi Sivmäärä: 7+55 Avainsanat: Vakiovirta, askeva katkoja, Takaisinkytketty säätö, Teholähteen dynamiikka

3 Aalto University School o Electrical Engineering ABSTRACT OF THE MASTER S THESIS Athor: Olli aronen Title: Dynamic modeling o average crrent mode controlled crrent sorce Title in Finnish: Keskiarvovirtaohjatn vakiovirtalähteen dynaaminen mallinns Degree Programme: Electrical engineering Major sbject: Electronics and applications Minor sbject: Chair (code): S-81 Spervisor: Jorma Kyyrä Instrctor: Miika Keskinen Abstract: In the thesis a small signal model or average crrent mode controlled constant crrent step-down switching power spply is derived. The small signal model is derived in continos indctor crrent region with state space averaging method. Finally, closedloop model o the power spply is ormed with error ampliier and plse width modlator models. System is analyzed by stdying locations o poles and zeroes and in the reqency plane with Bode diagrams. Accracy o mathematical small signal model is compared to experimental measrements o prototype converter. oad aects signiicantly to converter dynamics. Derived small signal model predicts accrately load interactions. Date: angage: Finnish Nmber o pages: 7+55 Keywords: Constant crrent, Step down converter, Feedback control, Power spply dynamics

4 Sisältö Tiivistelmä...ii Tiivistelmä (englanniksi)...iii Sisällyslettelo...iv Symbolit ja lyhenteet...v 1 Johdanto Teholähteen säätö Virtalähde Sora plssishdeohjas Hippvirtasäätö Indktanssin virran keskiarvosäätö Piensignaalimalli Tehoasteen mallinns Virranmittas Erovahvistimen mallinns Säätäjän komponenttiarvojen valinta Plssinleveysmodlaattorin mallinns Sljetn silmkan malli Silmkkavahvists Indktanssin virran sykkeisyyden vaikts Vasts kormana Vasts ja kondensaattori kormana Vasts ja sri kondensaattori kormana Tlosten vertail Havainnot ja johtopäätökset...48 ähdelettelo...50 IITE IITE iv

5 Symbolit ja lyhenteet Symbolit A A B C C d systeemimatriisi taajsriippmaton vahvists ohjasmatriisi kondensaattorin kapasitanssi [F] lähtömatriisi plssishde d plssishde 1-d ˆd D D e o e ˆo E g s z p n F m G ca G m G c plssishteen piensignaalimttja plssishde jatkvstilassa soravaiktsmatriisi lähtöjännite [V] lähtöjännite piensignaalimttja [V] injektoitava häiriöjännite kytkentätaajs [Hz] nollan taajs [Hz] navan taajs [Hz] resonanssitaajs [Hz] piirielementtien välinen dynaaminen riippvs erovahvistimen siirtonktio plssinleveysmodlaattorin siirtonktio siirtonktio plssishteesta indktanssin virtaan G co siirtonktio plssishteesta lähtövirtaan G ( s) siirtonktiomatriisi herätteestä vasteeseen H ( s) siirtonktiomatriisi herätteestä tilamttjan derivaattaan i C kondensaattorin virta [A] v

6 i ˆC i in i ˆin i i ˆ i o i ˆo kondensaattorin virran piensignaalimttja [A] tlovirta [A] tlovirran piensignaalimttja [A] indktanssin virta [A] indktanssin virran piensignaalimttja [A] lähtövirta [A] lähtövirran piensignaalimttja [A] i indktanssin virran keskiarvo [A] i indktanssin virran hetkellisarvon ja keskiarvon erots [A] I yksikkömatriisi K1, K2, K3, K 4 apmttjat K ci m 1 kerroin indktanssin virran silmkkavahvists ACM säädössä indktanssin virran derivaatan itseisarvo tehopolijohteen johtaessa [A/s] m 2 indktanssin virran derivaatan itseisarvo tehopolijohteen estotilassa [A/s] M c r C r ds r R s plssinleveysmodlaattorin signaalin nosnopes [V/s] kondensaattorin sarjaresistanssi [Ω] tehopolijohteen sarjaresistanssi [Ω] indktanssin sarjaresistanssi [Ω] virranmittasvasts [Ω] s t aplace operaattori aika [s] t o oss kytkentäjaksosta, jona tehopolijohde ei johda [s] t on oss kytkentäjaksosta, jona tehopolijohde johtaa [s] T s in kytkentäjakson aika [s] tlojännite [V] vi

7 o ca co lähtöjännite [V] erovahvistimen lähtöjännite ACM säädössä [V] erovahvistimen lähtöjännite PCM säädössä [V] i erovahvistimen tlojännite [V] r erovahvistimen vertailjännite [V] comp kompensointijännite PCM säädössä [V] D C indktanssin jännite [V] diodin jännite [V] kondensaattorin jännite [V] ca erovahvistimen lähtöjännitteen keskiarvo [V] ca ca ja < ca > erots hetkellä dt s [V] X X ɺ Y ζ tilamttjamatriisi tilamttjamatriisin derivaatta lähtömatriisi vaimennskerroin yhenteet ACM CCM DCM PCM PWM PI PID VMC indktanssin virran keskiarvo-ohjas (average crrent mode) jatkvan kelavirran toiminta (continos condction mode) epäjatkvan kelavirran toiminta (discontinos condction mode) hippvirtaohjas (peak crrent mode) plssinleveys modlointi (plse width modlation) vahvists-integraali (proportional-integral) vahvists-integraali-derivaatta (proportional-integral-derivative) sora jänniteohjas (voltage mode control) vii

8 1 Johdanto Teholähde on olennainen osa elektroniikkaa sisältävää totetta. ähes jokaisessa elektroniikkaa sisältävässä laitteessa sisään tlevaa jännitettä jodtaan mttamaan kytkennälle paremmin soveltvaksi. Yksinkertainenkin laite saattaa sisältää seita jännitereglaattoreita. aitteiden jatkva pieneneminen, hyötyshteen ja kstannstehokkden parantaminen asettavat kovia vaatimksia tehoelektroniikkasnnittellle. Kilpailn kiristyessä myös totekehitykseen käytettävä aika lyhenee. Teholähteet ovat lähes poikkeksetta takaisinkytkettyjä systeemeitä. Takaisinkytkennän tarkoitksena on pitää lähtö tarkasti asetsarvossaan, riippmatta kormitksen tai sisääntlon mtoksista. Teholähteiden testas ja laadnvarmists rajoitt sein vain aikatasossa tehtäviin mittaksiin, joissa lähdön kormitsta mtetaan askelmaisesti ja samalla serataan kinka nopeasti ja tarkasti teholähde ohjaa lähdön takaisin asetsarvoon. Aikatason mittaksilla ei voida määrittää laitteen stabiilitta. Teholähteen käyttölämpötila, komponenttiarvojen reaaliset toleranssit ja erilaiset vanhenemisilmiöt mttavat tilannetta, jolloin laboratoriotesteissä hyvin toimint laite voi mtta epästabiiliksi. Silti totekehityksessä käytetään harvoin dynaamista mallinnsta. Aihe saatetaan kokea hankalaksi, eikä siihen ole monestikaan aikaa paneta. Myös taajstason mittalaitteet voivat ptta tai niitä ei osata käyttää. Piensignaalimalleihin perstvan säätösnnitteln avlla teholähteen soritskykyä voidaan tarkastella taajstasossa. Piensignaalimalli, eli siirtonktio, johdetaan teholähteen rakenteen persteella. Niiden avlla laitteen stabiilis pystytään varmistamaan eri toimintapisteissä. Sljetn silmkan järjestelmän stabiilis voidaan varmistaa silmkkavahvistksen vaihevarasta, jonka rajana sein pidetään 45 astetta. 1

9 Vakiovirtalähteen mallinnsta ja korman vaiktsta virtalähteen dynamiikkaan on aiemmin tarkastelt jlkaisissa [18-20]. Ttkimksissa [18-19] vakiovirtasäätö on totetett soran plssishdeohjaksen avlla ja ttkimksessa [20] on käytetty soraa plssishdeohjasta ja hippvirtaohjasta. Tässä työssä johdetaan piensignaalimalli jännitettä laskevalle keskiarvovirtaohjatlle vakiovirtakatkojalle. Saatjen piensignaalimallien avlla modostetaan koko teholähdettä kvaava sljetn silmkan malli. Systeemin tarkastel sekä säädön snnittel tehdään taajstasossa Boden diagrammien ja napojen ja nollien sijainnin persteella. Piensignaalimallien tarkktta verrataan teholähteestä rakennettn prototyyppiin erilaisilla kormilla, ja silmkkavahvistksen mittas käydään läpi. Työn painopiste on säätösnnittelssa. Aleen laajden voksi prototyypin snnittela ei käydä läpi, mtta täydellinen kytkentäkaavio on esitetty liitteenä. Työn alksi esitellään soran plssishdeohjaksen ja hippvirtasäädön periaatteet, koska niillä on paljon yhteistä virran keskiarvosäädön kanssa. Myös mallinnksessa käytettävä tilayhtälöiden keskiarvoistsmenetelmä on katkojille yhteinen. Tämän jälkeen johdetaan keskiarvovirtasäädetyn katkojan piensignaalimalli, jolloin säätäjä voidaan snnitella saatjen siirtonktioiden ja Boden kvaajien avlla. Työssä käydään myös läpi indktanssin virran sykkeisyyden vaikts katkojan ominaisksiin. opksi teholähteestä rakennetaan prototyyppi, jota verrataan mallinnksessa saatihin tloksiin. 2

10 2 Teholähteen säätö Teholähteet voidaan karkeasti jakaa kahteen päätyyppiin, jännitelähteisiin tai virtalähteisiin, joissa joko lostlojännite tai virta pidetään vakiona. Srin osa käytettävistä teholähteistä on jännitelähteitä, jolloin korman impedanssi määrää virran. Näin ollen on lonnollista, että srin osa teholähteiden ttkimksesta keskittyy tarkastelemaan jännitelähteitä. On kitenkin sovellksia, joissa tarvitaan vakiovirtalähdettä, kten esimerkiksi srteholedien ohjas tai akkjen latas. Hakkriteholähteiden etja verrattna perinteisiin lineaarisiin teholähteisiin ovat parempi hyötyshde ja srempi tehotiheys. Haittoja ovat sähkömagneettiset häiriöt, monimtkaisempi rakenne ja hinta. Hakkriteholähteet ovat lonnostaan epälineaarisia prosesseja ja tästä johten niiden mallinns on lineaarireglaattoreita monimtkaisempaa. Hakkriteholähteiden dynamiikan osaamisen tason on todett olevan melko heikkoa. Säätösnnitteln laiminlyönti teholähteen snnittelvaiheessa saattaa myöhemmin kostata, kn kormitksen kasvaessa, komponenttien vanhetessa tai ympäristöoloshteiden mttessa systeemi paljast epästabiiliksi johten riittämättömästä vaihevarasta. [1] 3

11 2.1 Virtalähde ähes poikkeksetta teholähteissä on sojaksia, joiden tarkoits on estää itse teholähdettä tai kormaa hajoamasta ylikormitksen takia. Jännitelähteissä lähtöjännite pidetään vakiona korman mtoksista riippmatta. Usein jännitelähteissä tarvitaan myös jonkinlainen virranrajoits, jonka tarkoits on sojata itse teholähdettä ylikormitksen varalta. Sojas voi olla totetett esimerkiksi ohjaamalla lähtöjännite nollaan hetkeksi ja tarkastamalla sen jälkeen onko ylikormits poistett lähdöstä. Tyypillinen virtalähteen virta-jännitekvaaja on esitetty kvassa 1. Virtalähteissä lähtövirta I o pidetään vakiona ja lähtöjännite voi vaihdella nollan ja maksimijännitteen U o _ max välillä. Virtalähteitä käytetään sovellksissa, joissa tarvitaan sojas ylikormitksen varalta ja tarkka virtasäätö. Virtasäätö voidaan totettaa käyttämällä pelkkää virtatietoa takaisinkytkennässä, jolloin saadaan vakiovirtalähde. Virtasäätöön voidaan lisätä myös jännitesäätäjä kaskadikytkentään. Kaskadikytkennässä sisempi virtasäätö määrää teholähteen dynamiikan lähtöjännitteen ollessa arvoa U o _ max pienempi. ähtöjännitteen ollessa o _ max U arvossa vaikttaa myös lompi jännitesäätö silmkka teholähteen dynamiikkaan. Tässä työssä ttkitaan ACM(average crrent mode)-säädettyä teholähdettä toimintapisteessä, jossa virtasäätö määrää dynamiikan. Kva 1. Tyypillinen virtalähteen virta-jännitekvaaja. 4

12 2.2 Sora plssishdeohjas Teholähteissä ohjastapa eli säätö on olennainen osa systeemiä, sillä säädön snnittellla on sri vaikts teholähteen dynamiikkaan. Säädön snnittel perst pääasiassa piensignaalimallinnkseen, jonka edellyttävä tehoasteen tilayhtälöiden keskiarvoistamismenetelmä (state space averaging, SSA) kehitettiin 70-lvn polivälissä [2]. Tämä menetelmä mahdollistaa soraan plssishdeohjakseen, eli jännitemotoiseen säätöön (voltage mode control, VMC) perstvan katkojan siirtonktioiden johtamisen, kn toimitaan jatkvan kelavirran aleella (continos condction mode, CCM). Vasta 90-lvlla kehitettiin mallit, jotka toimivat hyvin epäjatkvalla kelavirralla (discontinos condction mode, DCM) [3][4]. Keskiarvoistamisesta johten tlokset pätevät riittävällä tarkkdella kytkentätaajden poleenväliin s / 2 sekä jatkvalla että epäjatkvalla kelavirralla. Soran jännitesäädön yksinkertaistett kytkentäkaavio on esitetty kvassa 2. Takaisinkytkennässä on käytetty jännitetietoa o, joten kyseessä on jännitelähde. Jännitemotoisessa säädössä katkojan plssishdetta ohjataan vertaamalla lostlojännitteen oloarvoa jännitteen asetsarvoon. Asetsarvon ja oloarvon erosignaali viedään komparaattorille, jonka toiseen tloon todaan kiinteätaajinen sahalaitajännite. Sahalaitasignaalin kasvaessa yhtä sreksi kin erovahvistimen lähtösignaali co nollaa komparaattori kiikkpiirin, joka ohjaa tehopolijohteen estotilaan. Tarkasteltaessa soraa plssishdeohjasta voidaan homata, että ohjas perst lähtö- o ja vertailjännitteen r väliseen eroon. Soraan jännitesäätöön perstvan katkojan dynamiikka on resonanssityyppinen. Toisin sanoen tehoasteen siirtonktion karakteristinen polynomi on toista astetta. Tehoasteen resonanssitaajdella vaihe kääntyy 180 º, mikä on kompensoitava erovahvistimella. Erovahvistimena käytetään sein PID(proportional-integral-derivative)-säätäjää, joka sisältää kaksi napaa eli mahdollistaa 180 º vaiheenjohdon. Kvan 2 erovahvistinkytkentä on PID-säätäjä. 5

13 Kva 2. Soran jännitesäädön periaatekaavio. 2.3 Hippvirtasäätö Hippvirtasäädön (peak crrent mode, PCM) etja verrattna jännitesäätöön ovat aktiivinen virranrajoits, srempi tlon kohinavaimenns, dynamiikan yksinkertaistminen ja mahdolliss kytkeä seampi teholähde rinnakkain. Haittoja polestaan ovat kompensointijännitteen tarve sekä takaisinkytkentäsilmkan herkkyys häiriölle. Hippvirtasäädössä virtasilmkan takaisinkytkentäsignaali sisältää kytkentätaajisen komponentin. Tämän lisäksi signaaliin smmat sritaajisia häiriöitä kytkentähetkellä, mitkä johtvat komponenttien sekä piirilevyjohtimien epäideaalisksista. Sritaajisia häiriötä voidaan sodattaa esimerkiksi RCalipäästösodattimella. Sodattimen napa on kitenkin asetettava kytkentätaajtta ylemmäksi ettei kytkentätaajinen virtatieto vaimene. 6

14 Hippvirtasäädetyn laskevan katkojan periaatekaavio on esitetty kvassa 3. Säätöjärjestelmä modost kahdesta silmkasta, joista lompi vertaa jännitteen oloarvoa o ohjearvoon mtetaan jännitetason signaaliksi r. Kyseessä on siis jännitelähde. Indktanssin virta i sarjavastksen tai virtamntajan avlla. Sisemmässä virtasäätösilmkassa verrataan indktanssin virtatietoa i erosreeseen co, josta on vähennetty kompensointijännite comp. Usi kytkentäjakso alkaa kn ajastspiiri asettaa kiikkpiirin, jolloin virta kommtoi diodilta tehopolijohteella ja indktanssin virta srenee. Kn indktanssin virtasignaali i kasvaa yhtä sreksi kin kompensoit erojännite co comp nollataan kiikkpiiri ja ohjataan tehopolijohde estotilaan. Kva 3. Hippvirtasäädön periaatekaavio. 7

15 co co - comp i kt s dt s (k+1)t s Kva 4. Plssishteen modosts hippvirtasäädössä. Kvassa 4 on esitetty plssishteen modosts hippvirtasäädössä. Erojännitteeseen on lisättävä tai indktanssin virtasignaalista vähennettävä kompensointijännite. Ilman kompensointia teholähde ajat aliharmoniseen värähtelyyn (sbharmonic oscillation). Ilmiötä on pidetty epästabiilina tilana, jonka on selitetty aihetvan virheestä indktanssin virrassa i n, joka kertat seiden kytkentäjaksojen aikana, eli kn yhtälössä (1) n ja plssishde d on srempi kin 0,5. Myöhemmin päätelmä on osoitett virheelliseksi, koska kelavirran klmakerroin riipp tlo- ja lähtöjännitteestä, eikä plssishteesta kten johdettaessa yhtälöä (1) oletettiin [13]. Myös aliharmonisten tilojen on osoitett olevan stabiileja, vaikka plssishteen modosts ei toimi normaalisti [14]. i i d = n n 1 d ' n (1) Hippvirtasäädön teoria ja ensimmäinen dynaaminen malli kehitettiin 70-lvn loplla [5][6]. Tämän mallin ongelmana oli epätarkks, eikä se kyennyt ennstamaan aliharmonista värähtelyä. 90-lvn alssa ratkaisksi esitettiin näytteistysilmiötä (sampling eect), jossa teholähteen siirtonktion takaisinkytkentään lisättiin toisen asteen termi siten, että vahvists 0,5 plssishteella kasvoi äärettömäksi [7][8]. Menetelmää pidettiin pitkään tarkimpana, vaikka sen tlokset olivat hieman ristiriidassa mittasten kanssa. Vasta 2000-lvlla teoria kyettiin osoittamaan virheelliseksi [9], ja johdettiin malli, joka ennstaa havaitt ilmiöt ja vastaa hyvin mitattja tloksia. 8

16 Dynamiikan hyvin kvaava teoria perst plssishteen modostamiseen. Hippvirtasäädössä plssishde ei ole riippmaton mttja, kten sorassa plssishdeohjaksessa, vaan plssishde totetaan vertaamalla kelavirran nosevaa jaksoa ohjearvoon. Kelavirran nosnopes riipp tlo- ja lähtöjännitteestä sekä tehoasteen piirielementeistä. Tämän takia hippvirtasäädön mallinnksessa on johdettava ohjasmttjan ja miden piirielementtien välinen dynaaminen riippvs (dty-ratio constraints). Tämä voidaan tehdä esimerkiksi käyttämällä hyväksi kelavirran geometriaa [10]. 2.4 Indktanssin virran keskiarvosäätö Indktanssin virran keskiarvosäätö kehitettiin 1990-lvn alssa. ACM-säädössä plssishteen tottaminen lainaa ideoita sekä VMC- että PCM-säädöstä. Kvasta 5 nähdään, että virran takaisinkytkennässä käytetään erovahvistinta. PI(proportionalintegral)-tyypin erovahvistimella on hyvin sri vahvists matalilla taajksilla, joka nopettaa virran säätöä asetsarvoon. Erovahvistimen lostlosignaalia ca verrataan vakiotaajiseen sahalaitasignaalin. Plssinleveysmodlaattori kytkee tehopolijohteen johtamattomaan tilaan kn sahalaitasignaali leikkaa signaalin ca. ACM katkojan plssishteen modosts ei ole yhtä herkkä sritaajisille häiriölle kin PCM säätö, eikä se vaadi kompensointia 0,5 sremmilla plssishteilla [11]. Keskiarvosäädössä kelavirran keskiarvo seraa ohjearvoa r. ACM säätöä käytetäänkin sein tehokertoimen korjaksessa. askevan katkojan tapaksessa indktanssin virran keskiarvo on yhtä sri kin lähtövirta, joten ACM-säätö toimii yhden silmkan vakiovirtalähteenä. 9

17 Kva 5. Keskiarvovirtasäädön periaatekaavio Kvassa 5 on esitetty tässä työssä tarkasteltavan teholähteen yksinkertaistett kytkentä. Teholähteessä ei ole lompaa jännitteensäätösilmkkaa, eli se toimii vakiovirtalähteenä, toisin kin aiemmin läpikäydyt VMC ja PCM ovat jännitelähteitä. Myös keskiarvovirtasäätöön voidaan lisätä lompi jännitteensäätösilmkka, joka ohjaa virtasäädön vertailjännitettä r lostlojännitteen mkaan, jolloin teholähde toimii virtarajoitettna jännitelähteenä. Teholähteen dynamiikka mtt oleellisesti riippen siitä toimiiko teholähde virta- vai jännitelähteenä. Snniteltaessa ACMsäädettyä teholähdettä esimerkiksi litim-ioni-akkjen lataspiiriksi, on tärkeää tarkastella kmpikin toimintatila erikseen. Talkossa 1 on esitetty teholähteen keskeiset arvot, joita on käytetty seraavien kappaleiden mallinnksissa, ellei mta ole mainitt. 10

18 Talkko 1. Työssä käsiteltävän teholähteen oleelliset arvot. Komponentti Arvo U in 12 V E o 0 V I o 1 A I 1 A r ds 200 mω U d 300 mv 100 µh r 300 mω r C 25 mω C 330 µf R 4 Ω R in 10 kω R 10 kω C p 150 pf C 22 nf 100 khz s 11

19 3 Piensignaalimalli 3.1 Tehoasteen mallinns Teholähteen tarkastelssa hyödyllinen työkal on piensignaalimalli. Piensignaalimalli voidaan johtaa epälineaarisille tehoasteille keskiarvoistamalla ja linearisoimalla tilayhtälöt. Piensignaalimallin avlla voidaan tarkastella tehoasteen toimintaa valitn toimintapisteen läheisyydessä käyttämällä jatkvan tilan yhtälöitä. Tässä kappaleessa johdetaan piensignaalimalli laskevan vakiovirtakatkojan tehoasteelle sen toimiessa jatkvan kelavirran aleella. Tässä tapaksessa kelan virta ei ehdi saavttaa arvoa nolla kytkentäjakson aikana. Näin ollen tehoasteella voidaan ajatella olevan kaksi eri tilaa kytkentäjakson aikana. Epäjatkvan kelavirran tapaksessa näitä tiloja olisi kolme. Teholähteen silmkkavahvistksen mallinnksessa tarvitaan siirtonktio lostlovirran i ja plssishteen d välille. Yhtälöiden johtaminen voidaan tehdä kahdella tavalla, jotka eroavat hieman toisistaan lopptloksen ollessa lonnollisesti sama. Toisessa tavassa tilayhtälöiden keskiarvosts tehdään persmodossa oleville tilayhtälöille ja piirianalyysissä käytetyt sreet sijoitetaan vasta loppvaiheessa siirtonktioihin. Toisessa tavassa ongelmaa lähestytään enemmän piirianalyysin näköklmasta ja siinä käytetään alsta lähtien piiritekniikan merkintöjä. Jälkimmäinen tapa antaa paremman kvan tilayhtälöiden johtamisesta, joten se on valitt käytettäväksi tässä työssä. Yhtälöissä (2) nähdään tilaesitys persmodossa ja (3) valitt tilamttjat x ( t), ohjassreet eli herätteet ( t) ja lähtösreet eli vasteet y ( t) matriisimodossa. Mttjien valinnassa käytetään hyväksi indktanssin ( di dt) ic ( ) = ja kapasitanssin = C d dt yhtälöitä. Otetaan käyttöön myös neljä apmttjaa K1 K4 (4), tilayhtälöiden yksinkertaistamiseksi. xɺ ( t) = Ax( t) + B( t) y( t) = Cx( t) + D( t) (2) 12

20 i i in in x = e o = y = C i (3) o d R Z Z R K = K = K = K = C C R + ZC R + ZC R + ZC R + ZC 1 (4) Kva 6. Tehoasteen sijaiskytkentä tehopolijohteen johtaessa. Tehoasteen kytkentä on esitetty kvassa 5. Kytkennässä on kaksi eri tilaa riippen onko tehopolijohde johto- vai estotilassa. Kvasta 6 nähdään tehoasteen sijaiskytkentä tehopolijohteen johtaessa, jolle saadaan piiriteorian avlla ( ) = i r + r + K e K in ds 1 o 2 i = i K + e K C 3 o 4 i in = i i = i K e K o 2 o 4 (5) 13

21 Kva 7. Tehoasteen sijaiskytkentä diodin johtaessa. Tehopolijohteen slketessa virta kommtoi diodille. Tässä tapaksessa kvan 7 mkaisesti pätee ( ) = i K + r e K U 1 o 2 d i = i K + e K C 3 o 4 i in = 0 i = i K e K o 2 o 4 (6) Seraavaksi mokataan yhtälöitä (5) ja (6), siten että ne sopivat paremmin tilaesityksen persmotoon käyttämällä indktanssin ja kapasitanssin ominaisksia. di in i K = ds o dt dc K3 K4 = i + eo dt C C i = i in i = i K e K o 2 o 4 2 ( r r K ) e (7) di i K2 Ud = ( r + K1 ) eo dt dc K3 K4 = i + eo dt C C i = 0 in i = i K e K o 2 o 4 (8) 14

22 Yhtälöt (7) ja (8) voidaan yhdistää ottamalla niistä keskiarvo (9) yhden kytkentäjakson yli ja käyttämällä plssishteen ominaistta d ' = 1 d, koska 1 T s Ts dt + dt = d + d ' dts dts on o on o (9) 0 Tästä saadaan yhden kytkentäjakson yli keskiarvostett tilayhtälöt di dr + r + K d K U U = i + e + d dt dc K3 K4 = i + eo dt C C i = di in i = i K e K o 2 o 4 ds 1 in 2 d d o (10) Saadt yhtälöt (10) ovat epälineaarisia, koska niissä on kahden mttjan tloja. Ne voidaan kitenkin linearisoida ottamalla osittaisderivaatat jokaisen mttjan shteen, kten yhtälössä (11) on esitetty. inearisoidt yhtälöt (12) ovat piensignaaliyhtälöitä, eli niiden käyttämiseen tarvitaan pysyvän tilan yhtälöt (13), jotka saadaan helposti keskiarvostetista tilayhtälöistä asettamalla derivaattatermit nolliksi ja sijoittamalla pysyvän tilan sreet. Myös apmttjien K1 K4 sisältämät kondensaattorien impedanssit on ratkaistava tasajännitteellä sijoittamalla Z = r + 1 sc ja s 0. C C n ˆ ( xi, X 2,..., X n ) = x ˆ i i= 1 xi dx dt (11) diˆ ˆ Dr + r + R D K ˆ ˆ ˆ U + U I r = i + e + d dt dˆ C ˆ K3 K4 = i ˆ + eo dt C C iˆ = iˆ D + di ˆ in o iˆ = iˆ K eˆ K ds 2 in d o ds in o o 2 o 4 (12) 15

23 I I in = I o = D I o ( ) I R + r + E + U D = U + U I r o o d in d o ds (13) inearisoidista tilayhtälöistä voidaan siirtyä siirtonktioesitykseen aplacemntamalla tilayhtälöt ja soveltamalla matriisialgebraa. Tloksena saadaan siirtonktiot ohjassreista tilamttjiin (14-17) ja ohjassreista lähtösreisiin (18-21). Teholähteen säätösnnitteln kannalta mielenkiintoisin siirtonktio on ohjasshteesta kelavirtaan. Myös mt siirtonktiot ovat käyttökelpoisia ttkittaessa teholähteen soritskykyä. Drds + r + K1 D K2 Uin + Ud Iords 0 ˆin ˆ ˆ i i s = + eˆ o ˆ K3 ˆ K C 4 0 C 0 0 dˆ x C x C A B (14) ( ) 1 xɺ ( s) = si A B( s) (15) iˆ ˆ ˆ i i ˆ ( ) ( ) 1 ˆ ˆ in eo d H s = si A B = (16) ˆ ˆ ˆ c c c ˆ ˆ ˆ in eo d D K2 U d + Uin Iords DK3 K2K K 3 3 ( U d + Uin Iords ) ( s) sc sc sc H = + K (17) 4 K1 + s + Drds + r 0 0 sc 16

24 ˆ in iˆ 0 ˆ 0 0 in D i Io eˆ o ˆ = i K2 0 + ˆ 0 K4 0 o C dˆ y C x D (18) ( ) 1 y ( s) = s + ( s) C I A B D (19) iˆ ˆ ˆ in iin i in ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 1 in eo d G s = C si A B + D = (20) iˆ ˆ ˆ o io i o ˆ ˆ ˆ in eo d ( d in o ds ) ( ) G ( s) = + (21) 2 D DK2 D U + U I r 2 DK2 K2 K2 Ud + Uin Iords 0 0 Io K1 + s + Drds + r 0 K4 0 Yhtälöissä (17) ja (21) on esitetty tehoasteen loplliset siirtonktiot matriisimodossa. Nimittäjässä esiintyvä polynomi det ( si ) A on kaikille siirtonktiolle yhteinen karakteristinen polynomi, jonka nollakohdat ovat järjestelmän napoja. Sijoitetaan siirtonktiohin (22-23) apmttjat K1 K4 ja sievennetään ne motoon, josta napojen ja nollien määrä on helpommin nähtävissä. Siirtonktioiden karakteristinen polynomi on sama, joten niiden navat sijaitsevat aplace-tason samoissa pisteissä. Kompleksiset napaparit sijaitsevat vasemmassa politasossa. Kmmallakin siirtonktiolla on yksi nolla vasemmassa politasossa. G = c (22) iˆ Uin + Ud Iords = = dˆ RZC + s + Drds + r R + Z C ( sc ( rc + R ) + 1)( Uin + U d Iords ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) 2 s C R + rc + s + C R rc + r + rc r + Drds rc + R + r + R + Drds 17

25 G = co (23) ZC iˆ o R + ZC = = dˆ RZC + s + Drds + r R + Z C ( U + U I r ) d in o ds ( scrc + 1)( Uin + U d Iords ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) s C R rc s C R rc r rc r Drds rc R r R Drds Kvassa 8 on esitetty tehoasteen siirtonktio plssishteesta indktanssin virtaan G c (22) kolmella eri kondensaattorin arvolla. Boden diagrammin tlostamiseen käytetty Matlab komentojono on esitetty liitteessä 2. Kondensaattorin impedansilla on sri vaikts siironktioon matalilla taajksilla, mtta erot pienenevät lähestyttäessä rajataajtta. Rajataajs on jokaisessa tapaksessa likimain sama. Vaihevara on kaikissa tapaksissa vähintään 90 astetta, joten erovahvistimen ei tarvitse tottaa vaiheenjohtoa stabiilisden saavttamiseksi. Kva 8. Siirtonktio G kondensaattorin eri arvoilla. C = 0 F (jatkva viiva), cl C = 330 µ F (katkoviiva) ja C = 47 mf (katkopisteviiva) 18

26 Tehoasteen siirtonktio plssishteesta kormavirtaan G co (23) on esitetty kvassa 9. Homataan, että rajataajs riipp voimakkaasti kondensaattorin impedanssin ja kormaresistanssin shteesta. Tämä voidaan päätellä myös siirtonktiosta (23), jossa srempi kapasitanssi aihettaa vahvistksen pienenemisen matalammalla taajdella. Tlos on looginen, koska kondensaattorin impedanssin ollessa kormaimpedanssia pienempi srempi osa virrasta klkee kondensaattorin katta. On selvää, että kormavirran käyttäminen takaisinkytkentätietona on haastavampaa verrattna indktanssin virran takaisinkytkentään. Kva 9. Siirtonktio G kondensaattorin eri arvoilla. C = 0 F (jatkva viiva), co C = 330 µ F (katkoviiva) ja C = 47 mf (katkopisteviiva) ähtökondensaattorin sarjaresistanssin nollaa voidaan käyttää säädön kompensoimiseen teholähteissä, joissa silmkkavahvistkseen tarvitaan 180 º vaiheenjohtoa. Kondensaattorin sarjaresistanssin aihettama nolla voi käytännön sovellksissa siirtyä helposti sremmalle tai pienemmälle taajdelle komponenttiarvojen vaihdellessa. Säätösnnittela tehtäessä tämä riski on hyvä tiedostaa, jos kondensaattorin sarjaresistanssin nollaa käytetään hyväksi stabiiliden takaamisessa. 19

27 Tehoasteen käyttäytymistä voidaan tarkastella myös hyvyyskriteereillä, jotka kvaavat järjestelmän soritskykyä. Toisen kertalvn kompleksinen napapari aihettaa taajstasoon resonanssitaajden ja Boden diagrammiin resonanssipiikin. Toisen kertalvn karakteristinen polynomi voidaan esittää modossa 2 2 s + s 2ζωn + ωn, jossa ω n on ominaisklmataajs eli resonanssiklmataajs ja ζ vaimennsshde. Vaimennsshteen arvon persteella systeemi voidaan lokitella seraavasti: 0 < ζ < 1, systeemi on alivaimennett. ζ = 1, systeemi on kriittisesti vaimennett. ζ > 1, systeemi on ylivaimennett. Alivaimennett systeemi värähtelee sitä voimakkaammin, mitä pienempi vaimennsshteen arvo on. Kriittisesti vaimennett ja ylivaimennett systeemi ei värähtele. Tämän työn tehoasteen vaimennsshteeksi saadaan yhtälöstä (25) ζ = 0, 42, eli systeemi on alivaimennett. Kvasta 10 nähdään kinka vaimennsshteen mttminen vaikttaa Boden diagrammiin. n = r + R + Dr ds 2 ( 2π ) C ( r + R ) (24) ζ = ( ( C ) C ds ( C )) + C R r + r + r r + Dr r + R 2C r ( + R ) C r + R + Dr C r ds ( + R ) C (25) 20

28 Kva 10. Vaimennsshde taajstasossa. Aikatasossa pieni vaimennsshde näkyy sriamplitdisena värähtelynä ja hitaana asettmisaikana. Kvassa 10 on havainnollistett kinka vaimennsshde vaikttaa systeemin käyttäytymiseen aikatasossa. On homioitava että kvissa 10 ja 11 esitettyjen systeemien resonanssitaajdet eivät ole samoja. Kva 11. Vaimennsshde aikatasossa. 21

29 Tehoasteen G c vaimennsshteen yhtälöstä (25) voidaan päätellä komponenttien sarjaresistanssien kasvattavan vaimennsshdetta. Kvassa 12 on havainnollistett sarjaresistanssien r, r ja C rds vaiktsta vaimennsshteeseen mttamalla yhden arvoa kerrallaan ja pitämällä mt vakiona. Vaimennsshde kasvaa sarjaresistanssin nktiona, mikä on looginen tlos koska resistanssit tyypillisesti vaimentavat resonanssikäyttäytymistä. Teholähteissä sarjaresistanssit honontavat hyötyshdetta, joten ne pyritään pitämään mahdollisimman pieninä piirilevysnnittellla ja komponenttivalinnoilla. Kva 12. Komponenttien sarjaresistanssien vaikts vaimennsshteeseen. Kondensaattori r = 25 mω (jatkva viiva), indktanssi r = 300 mω (katkoviiva) ja C tehopolijohde r = 200 mω (pistekatkoviiva). Merkityt pisteet osoittavat tässä ds työssä käytettyjä arvoja. 22

30 3.2 Virranmittas Työn teholähteessä indktanssin virtaa käytetään takaisinkytkentätietona. Indktanssin virta aihettaa jännitteen irs virranmittasvastksen yli, joka vahvistetaan operaatiovahvistimella. Operaatiovahvistinkytkentänä käytetään kvan 13 mkaista erotsvahvistinta, jonka lähtöjännitteen i vertailpiste on maa. Kva 13. Virranmittaskytkentä. Kvan 12 merkintöjä käyttäen virranmittaskytkennälle saadaan yhtälö R = R i = A R i (26) 2 i s s R1 Yhtälöstä (26) homataan, että kytkennän vahvists saadaan vaststen R2 R1 shteena. Tässä työssä vahvistkseksi on valitt A = 10 ja virranmittasvastkseksi on valitt R s = 0,1 Ω. Virranmittaksessa käytettävän operaatiovahvistimen avoimen piirin vahvistksen tlisi olla vähintään 20 db 100 khz taajdella, jotta indktanssin virran moto ei vääristyisi. Tässä työssä käytetty operaatiovahvistin on integroit UC3886 teholähdeohjainpiiriin [15]. Piirin datalehdessä operaatiovahvistimen rajataajdeksi annetaan minimissään 2 MHz. Näin ollen operaatiovahvistimen soritskyky on riittävä, jos oletetaan että avoimen silmkan vahvists pienenee 20 db dekadia kohti. 23