Rubikin kuutio ja ryhmäteoria
|
|
- Aurora Kinnunen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Rubikin kuutio ja ryhmäteoria Pro Gradu -tutkielma Jani Luokkanen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2018
2 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoria Perusteet Erilaisia ryhmiä Isomorsmit Ryhmien välisiä operaatioita Suora tulo ja ryhmän toiminta Kranssitulo Rubikin kuutio Kuution rakenne Kääntöjen ryhmä Rubikin kuution yleinen ryhmä Reunapalat Kulmapalat Yleisen ryhmän rakenne Yleisen ryhmän ketjutusoperaatio Rubikin kuution ratkeava ryhmä x2x2-kuutio 55 Lähdeluettelo 61 1
3 Johdanto Tässä tutkielmassa selvitetään Rubikin kuution matemaattinen tausta. Tutkielma koostuu neljästä luvusta. Ensimmäisessä luvussa määritellään Rubikin kuution ryhmärakenteen määrittämisen kannalta tarpeelliset ryhmäteoreettiset peruskäsitteet ja osoitetaan tarvittavia lauseita. Toisessa luvussa määritellään Rubikin kuution matemaattisen tarkastelun kannalta oleelliset algebralliset rakenteet; suora tulo, ryhmän toiminta joukossa ja kranssitulo, jonka avulla Rubikin kuution ryhmärakenne esitetään, sekä todistetaan niihin liittyviä tuloksia. Kolmas luku on tutkielman pääaihe, eli Rubikin kuution matemaattinen tarkastelu. Tässä luvussa määritellään kuutioon liittyvät peruskäsitteet, johdetaan Rubikin kuution ryhmän rakenne ja määritellään sen ryhmäoperaatio, sekä todistetaan Rubikin kuution kannalta oleelliset lauseet. Neljäs luku on lyhyt katsaus 2x2x2-kuutioon, ja sen yhtäläisyyksiin ja eroavuuksiin Rubikin kuutioon verrattuna. Luettuaan ja sisäistettyään tutkielman lukija ymmärtää Rubikin kuution toimintaperiaatteen matemaattisen taustan ja osaa esimerkiksi päätellä sekoitettua kuutiota katsomalla, onko se ratkaistavissa. Lisäksi tutkielma tarjoaa erään lauseen todistuksen yhteydessä täysin toimivan, vaikkakin vaivalloisen, Rubikin kuution ratkaisumenetelmän. 2
4 1 Ryhmäteoria Tässä luvussa määritellään tarvittavia ryhmäteorian käsitteitä, tapoja konstruoida eräitä ryhmiä sekä todistetaan tarvittavia lauseita. 1.1 Perusteet Määritelmä Olkoon G joukko, johon on liitetty operaatio ( ), jolle : G G G, (g 1, g 2 ) g 1 g 2. Tällöin (G, ) on ryhmä, jos seuraavat ehdot toteutuvat: 1) (a b) c = a (b c) kaikilla a, b, c G eli ( ) on assosiatiivinen. 2) Joukossa G on olemassa sellainen alkio e, että a e = e a = a kaikilla a G. Tällöin alkiota e kutsutaan neutraalialkioksi. 3) Kaikilla a G on olemassa sellainen alkio a 1 G, että a a 1 = a 1 a = e. Tällöin alkiota a 1 kutsutaan alkion a käänteisalkioksi. Ryhmää (G, ) voidaan merkitä G, mikäli operaatiosta ( ) ei ole epäselvyyttä. Tällöin merkitään myös a b = ab. Ryhmää G kutsutaan Abelin ryhmäksi, jos ab = ba kaikilla a, b G. Lause Olkoon G ryhmä. Tällöin 1) neutraalialkio e on yksikäsitteinen, 2) käänteisalkio on yksikäsitteinen kaikille a G. Todistus. 1) Olkoot e ja e neutraalialkioita. Tällöin e = ee = e eli e = e. 2) Olkoot a 1 1 ja a 1 2 alkion a G käänteisalkioita. Tällöin Siis a 1 1 = a 1 2. a 1 1 = a 1 1 e = a 1 1 (aa 1 2 ) = (a 1 1 a)a 1 2 = ea 1 2 = a 1 2. Jos a G ja n Z +, asetetaan a n = a a... a ja a n = a 1 a 1... a 1, missä operandeja on n kappaletta. Lisäksi a 0 = e. Määritelmä Ryhmän G alkioiden lukumäärää eli ryhmän G mahtavuutta eli kertalukua merkitään G. Ryhmä G on äärellinen ryhmä, jos G <. Ryhmän alkion a kertaluku a = n, jos n on pienin positiivinen kokonaisluku, jolla a n = e. 3
5 Määritelmä Olkoot A 1, A 2,..., A m epätyhjiä joukkoja. Tällöin joukkojen A 1, A 2,..., A m karteesinen tulo on joukko A 1 A 2 A m = {(a 1, a 2,..., a m ) a i A i kaikilla 1 i m}. Lemma Jos A 1, A 2,..., A m ovat äärellisiä joukkoja, niin A 1 A 2 A m = A 1 A 2 A m. Todistus. Nyt A 1 A 2 A m = {(a 1, a 2,..., a m ) a i A i }. Nyt paikalle a 1 voidaan valita A 1 eri alkiota, paikalle a 2 vastaavasti A 2 eri alkiota jne. Tällöin edellisen päättelyn, eli kombinatoriikan tuloperiaatteen nojalla A 1 A 2 A m = A 1 A 2 A m. Määritelmä Jos (G, ) on ryhmä, H G ja (H, ) on myös ryhmä, niin tällöin sanotaan, että (H, ) on ryhmän (G, ) aliryhmä ja merkitään (H, ) (G, ) tai H G. Tällöin myös e H = e G, sillä neutraalialkio on yksikäsitteinen. Huomaa, että G G ja {e G } G. Nämä ovat ryhmän G triviaalit aliryhmät. Lause (Kaksiosainen aliryhmäkriteeri.) Olkoon G ryhmä ja = H G. Tällöin H G jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat: 1) a, b H ab H, 2) a H a 1 H. Todistus. Oletetaan, että H G. Tällöin ehdot 1) ja 2) ovat voimassa. Oletetaan, että ehdot 1) ja 2) ovat voimassa. Tällöin i) ehdosta 1) seuraa, että H on suljettu operaation ( ) suhteen; ii) koska ( ) on assosiatiivinen joukossa G, se on assosiatiivinen joukossa H; iii) ehdoista 1) ja 2) seuraa, että aa 1 = e H. Näin ollen ryhmän ehdot ovat voimassa joukolle H. Tällöin (H, ) on ryhmä ja H G. Lause [6]. (Yksiosainen aliryhmäkriteeri.) Olkoon G ryhmä ja H G. Tällöin H G jos ja vain jos kaikilla a, b H pätee ab 1 H. Todistus. Oletetaan, että H G. Tällöin H on ryhmä ja ab 1 H. Oletetaan, että ab 1 H. Tällöin, jos a H, niin aa 1 = e H. Tästä seuraa, että ea 1 = a 1 H. Nyt Lauseen ehto 2) on voimassa. Jos a, b H, niin tällöin b 1 H ja ab = a(b 1 ) 1 H. Nyt myös ehto 1) on voimassa. Tällöin Lauseen nojalla H G. 4
6 Osoitetaan vielä yksi aliryhmäkriteeri äärellisille osajoukoille. Tämä osoittautuu erittäin hyödylliseksi tarkasteltaessa Rubikin kuution ryhmää ja sen aliryhmiä. Lause Olkoon G ryhmä ja H ryhmän G äärellinen osajoukko. Tällöin H G jos ja vain jos kaikilla a, b H pätee ab H. Todistus. Oletetaan, että H G. Tällöin yllä oleva ehto on voimassa, sillä H on ryhmä. Oletetaan nyt, että ab H kaikilla a, b H. Tällöin Lauseen ehto 1) on voimassa. Selvästi a n H kaikilla n Z +. Koska H on äärellinen, niin tällöin myös alkion a kertaluku on äärellinen, sillä on mahdotonta, että alkio a i olisi eri kaikilla i Z, sillä Z =. Tällöin on olemassa sellaiset i 1, i 2 Z, että a i 1 = a i 2. Tästä seuraa, että a i 2 i 1 = e. Olkoon a = m. Tällöin a m = e a m a 1 = ea 1 a m 1 = a 1 H. Näin ollen Lauseen ehto 2) on voimassa. Täten Lauseen nojalla H G. Määritelmä Olkoon H G ja a G. Tällöin joukko ah = {ah h H} on alkion a määräämä aliryhmän H vasen sivuluokka. Vastaavasti määritellään oikea sivuluokka Ha. Lause Olkoon G ryhmä ja H G. Tällöin joukossa G määritelty relaatio arb b 1 a H on ekvivalenssirelaatio ja jos a G, niin ekvivalenssiluokka [a] = ah. Todistus. 1) Selvästi e = a 1 a H eli ara. 2) Olkoon arb eli b 1 a H. Tällöin, koska H on ryhmä, myös (b 1 a) 1 = a 1 b H eli bra. 3) Olkoon arb ja brc eli b 1 a, c 1 b H. Tällöin myös c 1 bb 1 a = c 1 a H, sillä H on ryhmä. Näin ollen arc. Kohdista 1)-3) seuraa, että R on ekvivalenssirelaatio ja G jakaantuu pistevieraisiin ekvivalenssiluokkiin. Nyt alkion a määräämä ekvivalenssiluokka [a] = {b G bra}. Oletetaan, että y [a] eli yra eli a 1 y H. Tällöin y = a(a 1 y) ah, joten [a] ah. Oletetaan, että y ah. Tällöin y = ah jollakin h H ja siten a 1 y = h H eli yra eli y [a]. Siis ah [a]. Näin ollen [a] = ah. Ekvivalenssiluokan ominaisuuksista seuraa, että G = i a i H, a i H a j H = kaikilla i j ja b ah ah = bh. Nyt tiedetään, että kaikki sivuluokat ovat erillisiä. 5
7 Lemma Olkoon G ryhmä, H G ja a G. Tällöin H = ah. Todistus. Olkoon f : H ah, f(h) = ah. Tällöin f(h) = {ah h H} = ah ja joukon ah alkukuva on funktion f määrittelyjoukko H. Selvästi, jos f(h 1 ) = f(h 2 ), niin h 1 = h 2. Tällöin f on sekä surjektio että injektio, eli bijektio ja siten H = ah. Lause (Lagrangen lause.) Olkoot G äärellinen ryhmä ja H G. Tällöin G = n H, missä n on aliryhmän H vasempien sivuluokkien lukumäärä ryhmässä G. Todistus. Lauseen nojalla G = i a i H, a i H a j H = kaikilla i j. Lemman nojalla a i H = H kaikilla 1 i n. Näin ollen G = n a i H = i=1 n H = n H. i=1 Lauseesta seuraa, että aliryhmän mahtavuus jakaa ryhmän mahtavuuden. Määritelmä Olkoon G ryhmä ja H G. Tällöin aliryhmän H indeksi ryhmässä G on [G : H] = G H. Lauseen nojalla indeksi on yhtä suuri kuin vasempien sivuluokkien lukumäärä. Määritelmä Olkoon G ryhmä ja H G. Jos ah = Ha kaikilla a G, niin H on normaali aliryhmä ja merkitään H G. Lause H G jos ja vain jos aha 1 H kaikilla a G. Todistus. Oletetaan, että H G. Tällöin ah = Ha kaikilla a G. Olkoon nyt y aha 1. Tällöin y = aha 1 jollakin h H. Nyt ah ah = Ha. Siten ah = h a ja y = aha 1 = h aa 1 = h H. Siis aha 1 H. Oletetaan seuraavaksi, että aha 1 H kaikilla a G. Olkoon y ah. Tällöin y = ah jollakin h H. Nyt y = aha 1 a Ha, sillä aha 1 H. Siis ah Ha. Olkoon y Ha. Tällöin y = ha jollakin h H. Nyt y = ha = aa 1 ha = a(a 1 h(a 1 ) 1 ) ah. Siis Ha ah. Näin ollen ah = Ha kaikilla a G. 6
8 Lause Olkoon (H, ) (G, ). Tällöin sivuluokkien joukossa {ah a G} voidaan määritellä operaatio ( ) siten, että ah bh = (a b)h. Tällöin ( ) on hyvin määritelty ja ({ah a G}, ) on ryhmä. Todistus. Olkoon ah = a H ja bh = b H. Nyt a ah, joten a = ax jollakin x H ja b bh, joten b = by jollakin y H. Tällöin a b = axby. Koska H G, niin bh = Hb, jolloin xb bh ja edelleen xb = bz jollakin z H. Tästä seuraa, että a b = axby = abzy abh. Siis a b H = abh. Näin ollen ( ) on hyvin määritelty. Osoitetaan ryhmärakenne. Nyt 1) Selvästi ( ) on suljettu operaatio. 2) (ah bh) ch = abh ch = abch = ah bch = ah (bh ch). 3) e G H {ah a G} ja e G H ah = ah = ah e G H kaikilla a G. 4) a G a 1 G ja ah a 1 H = e G H = a 1 H ah. Kohdista 1)-4) seuraa, että ({ah a G}, ) on ryhmä. Tätä ryhmää kutsutaan ryhmän G tekijäryhmäksi normaalin aliryhmän H suhteen ja merkitään ryhmää G/H. Lagrangen lauseen nojalla jos G on äärellinen. G/H = G H, Lause Indeksin 2 aliryhmä on normaali. Todistus. Olkoon H G siten, että [G : H] = 2. Tällöin ryhmässä G on kaksi vasenta (ja oikeaa) sivuluokkaa. Jos g H, niin gh = H = Hg, sillä H on ryhmä. Jos g H, niin on oltava gh = G \ H = Hg Lauseen nojalla. Siis gh = Hg. Näin ollen H G. 7
9 1.2 Erilaisia ryhmiä Olkoon G ryhmä ja a G. Tällöin H = {a k k Z} G. Jos x, y H, niin x = a m ja y = a n joillakin m, n Z. Lisäksi xy 1 = a m a n = a m n H ja Lauseen nojalla H on ryhmä. Määritelmä Ryhmää H = {a k k Z} kutsutaan alkion a generoimaksi sykliseksi ryhmäksi, ja merkitään H = a. Alkiota a kutsutaan generoijaksi. Syklistä ryhmää, jonka kertaluku on n, merkitään C n. Määritelmä Olkoon X joukko ja kuvaus α : X X bijektio. Tällöin α on joukon X permutaatio. Määritelmä Olkoon X epätyhjä joukko, jolle X = n. Tällöin kaikkien joukon X permutaatioiden joukkoa merkitään S n. Määritelmä Olkoot α, β S n ja i X. Tällöin permutaatioiden tulo vasemmalta oikealle määritellään (i)(α β) = ((i)α)β. Toisin sanoen, kuvataan jokainen i X permutaatiolla α, jonka jälkeen jokainen uusi alkio (i)α kuvataan permutaatiolla β. Tässä tutkielmassa permutaatioiden tulo määritellään näin päin. Tavallisesti käytetään tuloa oikealta vasemmalle, mutta erään luvussa 3 esiintyvän ryhmärakenteen operaation määrittelyn selkeyden vuoksi tulo määritellään nyt vasemmalta oikealle. Lause Olkoon S n kuten Määritelmässä ja ( ) kuvausten yhdistämisoperaatio. Tällöin (S n, ) on ryhmä. Todistus. Nyt 1) α, β S n α β S n, sillä bijektioiden yhdiste on bijektio. 2) α, β, γ S n (α β) γ = α (β γ). 3) Identiteettipermutaatio id S n määritellään siten, että (x)id = x kaikilla x X, jolloin α id = id α = α kaikilla α S n. Alkiota id S n merkitään (1). Siis (1) on joukon S n neutraalialkio. 4) Olkoon α S n. Koska α on bijektio X X, niin on olemassa käänteiskuvaus α 1. Käänteiskuvaus on myös bijektio X X eli α 1 S n. Lisäksi α α 1 = id = α 1 α. Kohdista 1)-4) seuraa, että (S n, ) on ryhmä ja sitä kutsutaan symmetriseksi ryhmäksi astetta n. 8
10 Huomaa, että S n = n! tuloperiaatteen nojalla, sillä koska permutaatio on bijektio, niin tätä bijektiota rakentaessa alkio 1 voidaan kuvata n eri alkioksi, alkio 2 voidaan kuvata n 1 eri alkioksi,... ja alkio n voidaan kuvata vain yhdeksi alkioksi. Tällöin ryhmässä S n on kombinatoriikan tuloperiaatteen nojalla n (n 1) 2 1 = n! eri permutaatiota. Määritelmä Olkoon X = {1, 2,..., n}. Joukon X permutaatio on sykli, jos sille pätee x 1 x 2... x k x 1, missä x i X kaikilla i sekä x i x j kaikilla i j, ja muut alkiot pysyvät paikoillaan. Tällaista sykliä merkitään (x 1 x 2 x 3... x k ) ja sen pituus on k. Sykliä, jonka pituus on k, kutsutaan k-sykliksi. Huomaa, että (x 1 x 2 x 3... x k ) = (x 2 x 3... x k x 1 ) = (x 3 x 4... x k x 1 x 2 ) =... = (x k x 1... x k 3 x k 2 x k 1 ). Määritelmä Jos α S n ja i X, niin 1) α säilyttää alkion i, jos (i)α = i ja 2) α siirtää alkion i, jos (i)α i. Syklit ovat erillisiä, jos ne eivät siirrä yhtään samaa alkiota. Esimerkki permutaatioiden tulosta. Olkoon α = ( ), β = ( ) S 7. Tällöin tarkastellaan jokainen alkio joukosta X = {1,..., 7} erikseen seuraavasti: Aloitetaan alkiosta 1. Nyt (1)α = 5 ja (5)β = 5 (1)(αβ) = 5, (5)α = 7 ja (7)β = 7 (5)(αβ) = 7, (7)α = 2 ja (2)β = 3 (7)(αβ) = 3, (3)α = 3 ja (3)β = 1 (3)(αβ) = 1. Koska päädyttiin alkioon 1, sykli suljetaan ja jatketaan tarkastelua pienimmästä sykliin kuulumattomasta alkiosta, eli luvusta 2. Nyt (2)α = 1 ja (1)β = 4 (2)(αβ) = 4, (4)α = 4 ja (4)β = 2 (4)(αβ) = 2. Päädyttiin alkioon 2, jolloin sykli suljetaan. Kuvaamatta on alkio 6, mutta koska (6)α = (6)β = 6, niin αβ säilyttää alkion 6. Tällöin αβ = ( )( ) = ( )(2 4)(6) = ( )(2 4). 1-syklit jätetään merkitsemättä, sillä (i) = e Sn kaikilla i X. 9
11 Määritelmä Olkoon G S n, α G ja i X. Tällöin alkion i rata ryhmässä G Orb G (i) = {(i)α α G} X. Toisin sanoen, alkion i rata permutaatioryhmässä G sisältää kaikki ne joukon X alkiot, joihin i voidaan siirtää ryhmän G permutaatioilla. Lause Jos α S n, niin α voidaan esittää erillisten syklien tulona. Todistus. Olkoon α S n. Tällöin permutaation α generoima syklinen ryhmä α permutoi joukon X = {1, 2,..., n} alkioita. Olkoon relaatio O joukossa X siten, että xox jos, ja vain jos x Orb α (x). Selvästi O on ekvivalenssirelaatio radan määritelmän nojalla. Tällöin joukko X jakaantuu pistevieraisiin ekvivalenssiluokkiin, ja kukin rata vastaa sykliä permutaatiossa α. Näin ollen väite pätee. Lemma Olkoon α S n. Tällöin α voidaan kirjoittaa 2-syklien tulona. Todistus. Olkoon α = (α 1 α 2 α 3 tulon määritelmästä seuraa, että... α k ) S n k-sykli. Tällöin permutaatioiden (α 1 α 2 α 3... α k ) = (α k 1 α k )(α k 2 α k 1 ) (α 2 α 3 )(α 1 α 2 ). Lauseen nojalla jokainen permutaatio voidaan esittää erillisten syklien tulona. Edellisen nojalla nämä syklit voidaan purkaa 2-syklien tuloksi. Näin ollen kaikilla permutaatioilla on esitys 2-syklien tulona. Määritelmä Olkoon α S n ja k sen Lemman mukaisen tuloesityksen 2-syklien lukumäärä. Permutaation α merkki { 1, k parillinen sgn(α) = 1, k pariton. Permutaation α pariteetti on parillinen, jos sgn(α) = 1 ja pariton, jos sgn(α) = 1. Määritelmä Olkoon α S n. Permutaation α merkki voidaan määritellä myös sgn(α) = ( 1) k, missä k on Lemman mukaisen tuloesityksen 2-syklien lukumäärä. Lause Määritelmät ja ovat yhtäpitävät. Todistus. Olkoon permutaatiolla α S n esitys k 2-syklin tulona Lauseen mukaisesti. Tällöin 1) jos k on parillinen, niin sgn(α) = 1, jolloin myös ( 1) k = 1, 2) jos k on pariton, niin sgn(α) = 1, jolloin myös ( 1) k = 1. 10
12 Siis määritelmät ovat yhtenevät. Määritelmä Olkoot S n ja X kuten Määritelmässä Tällöin joukon X alternoiva ryhmä A n on kaikkien joukon X parillisten permutaatioiden joukko. Toisin sanoen A n = {α S n sgn(α) = 1}. Loput joukon A n lopussa. keskeisistä ominaisuuksista todistetaan seuraavan kappaleen 1.3 Isomorsmit Isomorsmin käsite on erittäin tärkeä, sillä sen avulla ryhmiä voidaan käsitellä samoina objekteina. Jos kaksi ryhmää ovat keskenään isomorset, niillä on täysin sama rakenne. Tätä ominaisuutta käyttäen saadaan selville Rubikin kuution ryhmän rakenne. Määritelmä Olkoot (G, ) ja (H, ) ryhmiä. Kuvaus f : G H on ryhmähomomorsmi, jos f(a b) = f(a) f(b) kaikilla a, b G. Lause Olkoon f : (G, ) (H, ) ryhmähomomorsmi ja olkoot e G ja e H ryhmien G ja H neutraalialkiot. Tällöin f(e G ) = e H ja f(a 1 ) = f(a) 1 kaikilla a G. Todistus. e G G f(e G ) H. Tällöin f(e G ) f(e G ) = f(e G e G ) = f(e G ). Siten f(e G ) f(e G ) f(e G ) 1 = f(e G ) f(e G ) 1 f(e G ) = e H. Näin ollen f(a) f(a 1 ) = f(e G ) = e H = f(e G ) = f(a 1 ) f(a) kaikilla a G. Lause Olkoon sgn : S n ({1, 1}, ) määritelty kuten edellä. Tällöin sgn on ryhmähomomorsmi. Todistus. Olkoon α, β S n. Nyt Lemman nojalla α ja β voidaan esittää 2-syklien tuloina. Olkoon permutaation α 2-sykliesityksessä k 2-sykliä, ja permutaation β esityksessä l 2-sykliä. Tällöin sgn(αβ) = ( 1) k+l = ( 1) k ( 1) l = sgn(α) sgn(β). 11
13 Lause Olkoon α S n k-sykli. Tällöin sgn(α) = ( 1) k 1. Todistus. Nyt Lemman nojalla α = (i 1 i 2 i 3... i k ) = (i k 1 i k )(i k 2 i k 1 ) (i 2 i 3 )(i 1 i 2 ). Esityksessä on k 1 kappaletta 2-syklejä. Lauseen nojalla sgn(α) = sgn(i k 1 i k ) sgn(i k 2 i k 1 ) sgn(i 2 i 3 ) sgn(i 1 i 2 ) = ( 1)( 1) ( 1)( 1) = ( 1) k 1. }{{} k 1 kpl Määritelmä Olkoon f : G H ryhmähomomorsmi. Tällöin homomorsmin f kuva on joukko ja homomorsmin f ydin on joukko Im(f) = f(g) = {f(x) x G} Ker(f) = {x G f(x) = e H }. Lause Olkoon f : (G, ) (H, ) ryhmähomomorsmi. Tällöin Im(f) H. Todistus. Lauseen nojalla f(e G ) = e H Im(f). Olkoot a, b Im(f). Tällöin on olemassa sellaiset a, b G, että f(a ) = a ja f(b ) = b. Koska G on ryhmä, niin a b 1 G, jolloin Lauseen nojalla f(a b 1 ) = f(a ) f(b 1 ) = f(a ) f(b ) 1 = a b 1 Im(f). Lauseen nojalla Im(f) H. Määritelmä Olkoon f : G H ryhmähomomorsmi. Jos f on bijektio, niin f on ryhmäisomorsmi. Tällöin merkitään G = H. Jos G on äärellinen ryhmä, niin G = H. Määritelmä Olkoon G ryhmä ja f : G G ryhmäisomorsmi. Tällöin f on automorsmi. Merkitään Aut(G) = {f f automorsmi ryhmällä G}. 12
14 Lause Olkoon f : G H ryhmähomomorsmi. Tällöin Ker(f) G ja G/Ker(f) on ryhmä. Todistus. Selvästi Ker(f). Olkoon a, b Ker(f). Tällöin f(a) = f(b) = e H. Siten f(ab 1 ) = f(a)f(b 1 ) = f(a)f(b) 1 = e H e 1 H = e H. Näin ollen ab 1 Ker(f) ja Lauseen nojalla Ker(f) G. Olkoon nyt g G ja k Ker(f). Tällöin f(gkg 1 ) = f(g)f(k)f(g) 1 = f(g)e H f(g) 1 = e H. Siten gkg 1 Ker(f) ja näin ollen Ker(f) G. Tällöin tekijäryhmän määritelmän nojalla G/Ker(f) on ryhmä. Lause [6]. (Homomorsmien peruslause.) Olkoon f : (G, ) (H, ) ryhmähomomorsmi. Tällöin G/Ker(f) = Im(f). Todistus. Lauseen nojalla Im(f) on ryhmä. Olkoon nyt Ker(f) = K ja F : G/K Im(f), F (ak) = f(a). On tarkistettava, että F on hyvin määritelty. Olkoon siis a K = ak. Tällöin a = a k jollakin k K. Siten F (a K) = f(a ) = f(a k) = f(a) f(k) = f(a) e H = f(a) = F (ak). Siis F on hyvin määritelty. Nyt Siten F on injektio. F (ak) = F (bk) f(a) = f(b) e H = f(b) 1 f(a) = f(b 1 ) f(a) = f(b 1 a) b 1 a K K = b 1 K ak bk = ak. Olkoon f(b) Im(f). Tällöin bk G/K ja F (bk) = f(b), joten F on surjektio. Olkoon ak, bk G/K. Tällöin F (ak bk) = F ((a b)k) = f(a b) = f(a) f(b) = F (ak) F (bk). Näin ollen F on isomorsmi ja G/Ker(f) = Im(f). 13
15 Lause Olkoon A n kuten Määritelmässä Tällöin A n S n. Todistus. Tapaus n = 1 on triviaali. Olkoon siis n > 1. Lauseen nojalla kuvaus sgn : S n ({1, 1}, ) on ryhmähomomorsmi. Selvästi kuvaus sgn on surjektiivinen, eli Im(sgn) = {1, 1}. Tällöin, koska A n = {α S n sgn(α) = 1 = e Im(sgn) }, niin A n = Ker(sgn). Siten Lauseen nojalla A n S n. Homomorsmien peruslauseen nojalla S n /A n = {1, 1}, jolloin Lagrangen lauseen nojalla S n /A n = S n A n = {1, 1} = 2 eli A n = S n 2. Lause Kaikkien ryhmän S n 3-syklien joukko generoi ryhmän A n. Todistus. Lemman nojalla kaikille α S n on olemassa esitys 2-syklien tulona. Lisäksi 2-sykli on pariton. Tällöin jokainen parillinen permutaatio voidaan esittää tulona parillisesta määrästä 2-syklejä. Toisin sanoen, jos α A n, niin α = α 1 α 2k, missä k Z + ja α i on 2-sykli kaikilla 1 i 2k. Tarkastellaan kahden peräkkäisen 2-syklin tuloa α i α i+1, missä i on pariton luku. Huomaa, että (a b) = (b a). Jos α i = α i+1, niin ne ovat muotoa (a b). Tällöin Jos α i = (a b) ja α i+1 = (a c), niin Jos α i = (a b) ja α i+1 = (c d), niin α i α i+1 = (a b)(a b) = (1) = (a b c) 3. α i α i+1 = (a b)(a c) = (a b c). α i α i+1 = (a b)(c d) = (a b d)(d a c). Siis kaikissa tapauksissa kahden 2-syklin tulo voidaan esittää 3-syklien tulona. Näin ollen kaikille ryhmän A n permutaatioille α löytyy esitys 3-syklien tulona. Lisäksi, koska (a b c) = (a b)(a c), niin sgn(a b c) = sgn((a b)(a c)) = sgn(a b) sgn(a c) = ( 1) ( 1) = 1 Lauseen nojalla. Tällöin (a b c) A n eli kaikki 3-syklit ryhmästä S n ovat ryhmässä A n. Näin ollen 3-syklien joukko generoi ryhmän A n. 14
16 Lause A n on ainoa ryhmän S n indeksin 2 aliryhmä, kun n 2. Todistus. Jos n = 2, niin selvästi A 2 on ainoa indeksin 2 aliryhmä ryhmässä S 2. Olkoon nyt n > 2. Tällöin on olemassa 3-sykli σ S n. Olkoon H ryhmän S n indeksin 2 aliryhmä, eli ryhmällä S n on täsmälleen kaksi sivuluokkaa normaalin aliryhmän H suhteen. Oletetaan, että σ H. Tällöin σ 1 H. Koska σ on 3-sykli, niin σ 1 = σ 2. Koska sivuluokkia on vain kaksi, niin H σh = σ 1 H = σ 2 H = σh σh = σh σ 1 H = (σσ 1 )H = (1)H = H, mikä on ristiriita. Tällöin on oltava σ H. Näin ollen H sisältää kaikki 3-syklit ryhmästä S n, jolloin Lauseen nojalla H = A n, sillä H = A n. 15
17 2 Ryhmien välisiä operaatioita Ryhmistä on mahdollista konstruoida uusia ryhmiä erinäisillä ryhmien välisillä tuloilla. Tässä luvussa tarkastellaan suoraa tuloa, ryhmän toimintaa joukossa ja kranssituloa. 2.1 Suora tulo ja ryhmän toiminta Määritelmä Olkoot G 1 ja G 2 ryhmiä. Tällöin ryhmien G 1 ja G 2 suora tulo on karteesinen tulo G 1 G 2 varustettuna operaatiolla (g 1, g 2 ) (g 1, g 2) = (g 1 g 1, g 2 g 2), missä g 1, g 1 G 1 ja g 2, g 2 G 2. Lause Olkoot G 1, G 2 ryhmiä. Tällöin (G 1 G 2, ), missä ( ) on kuten Määritelmässä 2.1.1, on ryhmä. Todistus. 1) Operaation ( ) määritelmän nojalla joukko G 1 G 2 on suljettu operaation ( ) suhteen. 2) Jos (g 1, g 1), (g 2, g 2), (g 3, g 3) G 1 G 2, niin ( (g1, g 1) (g 2, g 2) ) (g 3, g 3) = (g 1 g 2, g 1g 2) (g 3, g 3) = (g 1 g 2 g 3, g 1g 2g 3) = (g 1, g 1) (g 2 g 3, g 2g 3) = (g 1, g 1) ((g 2, g 2) (g 3, g 3) ). Täten ( ) on assosiatiivinen joukossa G 1 G 2. 3) Jos (g 1, g 2 ) G 1 G 2, niin (g 1, g 2 ) (e G1, e G2 ) = (g 1, g 2 ) = (e G1, e G2 ) (g 1, g 2 ). Siten (e G1, e G2 ) on joukon G 1 G 2 neutraalialkio. 4) Jos (g 1, g 2 ) G 1 G 2, niin (g 1 1, g 1 2 ) G 1 G 2. Tällöin (g 1, g 2 ) (g 1 1, g 1 2 ) = (e G1, e G2 ) = (g 1 1, g 1 2 ) (g 1, g 2 ). Siten alkion (g 1, g 2 ) käänteisalkio joukossa G 1 G 2 on alkio (g 1 1, g 1 2 ). Kohdista 1)-4) seuraa, että (G 1 G 2, ) on ryhmä. 16
18 Määritelmä Olkoon G ryhmä ja X joukko. Olkoon lisäksi kuvaus φ : X G X, (x, g) φ(x, g). Merkitään φ(x, g) = x.g. Tällöin kuvaus φ on ryhmän G oikea toiminta joukossa X, jos 1) x.e = x kaikilla x X, 2) x.(gh) = (x.g).h kaikilla g, h G, x X. Lause Olkoon g G kiinnitetty. Tällöin kuvaus φ(x, g) = x.g on bijektio joukossa X. Todistus. Olkoon x, y X. Tällöin missä g G. Lisäksi φ(x, g) = φ(y, g) x.g = y.g (x.g).g 1 = (y.g).g 1 x.(gg 1 ) = y.(gg 1 ) x.e = y.e x = y, x = x.e = x.(g 1 g) = (x.g 1 ).g = z.g = φ(z, g), missä z = x.g 1 X ja g G. Näin ollen väite pätee. Lauseen nojalla ryhmän toiminta määrittää bijektion joukossa X. Toisin sanoen, jokainen g G määrää permutaation joukossa X. Tästä permutaatiosta käytetään jatkossa merkintää (x)φ g = φ(x, g). Määritelmä Olkoon G ryhmä, X joukko ja Sym(X) joukon X permutaatioiden ryhmä. Ryhmän G permutaatioesitys on ryhmähomomorsmi ryhmältä G ryhmälle Sym(X). Määritelmä Olkoon G ryhmä, X joukko, Sym(X) joukon X permutaatioiden ryhmä ja ψ : G Sym(X) ryhmän G permutaatioesitys. Ryhmän G oikea toiminta ryhmän permutaatioesityksestä ψ on sellainen ryhmän G oikea toiminta ψ : X G X, jolle ψ(x, g) = (x)ψ(g). Huomaa, että koska φ g on permutaatio, käytetään Määritelmän mukaista merkintätapaa, eli permutoitava alkio on permutaation vasemmalla puolella. Osoitetaan, että Määritelmien ja mukaiset ryhmän toiminnot ovat samat. 17
19 Lause Ryhmän toimintojen ja permutaatioesitysten välillä on yksikäsitteinen vastaavuus. Todistus. ( ) Olkoon ryhmän toiminta φ määritelty kuten Määritelmässä ja φ : G Sym(X) sellainen kuvaus, että φ(g) = φ g. Tällöin Lauseen nojalla φ määrää bijektion φ g joukossa X. Tällöin φ g on permutaatio joukossa X eli φ g Sym(X), g G. Olkoon nyt g, h G. Määritelmän ehdon 1) nojalla Lisäksi (x)φ g = φ(x, g) = x.g X kaikilla (x, g) X G. (x)(φ g φ h ) = ((x)φ g )φ h = (x.g).h = x.(gh) = (x)φ gh. Tällöin φ(g) φ(h) = φ(gh), eli φ on ryhmähomomorsmi. Tällöin voidaan asettaa φ = ψ, missä ψ on kuten Määritelmässä Siis ryhmän toimintaa φ vastaa ryhmähomomorsmi eli permutaatioesitys ψ : G Sym(X), ψ(g) = φ g. ( ) Olkoon G ryhmä, X joukko, Sym(X) joukon X permutaatioiden ryhmä ja ψ : G Sym(X) ryhmän G permutaatioesitys kuten Määritelmässä Olkoon myös g, h G ja x X. Tällöin Määritelmän nojalla permutaatioesitys ψ määrää kuvauksen ψ, jolle ψ(x, g) = (x)ψ(g). Siis x.g = ψ(x, g) = (x)ψ(g) X kaikilla (x, g) X G. Jos e on ryhmän G neutraalialkio, niin Lisäksi x.e = (x)ψ(e) = (x)id (Lause 1.3.2, id on identiteettipermutaatio) = x. (x.g).h = ((x)ψ(g))ψ(h) = (x)(ψ(g) ψ(h)) = (x)ψ(gh) (ψ on homomorsmi) = x.(gh). Näin ollen Määritelmän määräämä ryhmän toiminto ψ toteuttaa Määritelmän ehdot. Tästä seuraa, että määritelmät ovat yhtäpitäviä. Lauseen nojalla ryhmän G toiminnossa joukossa X ryhmän G alkio g kuvataan Määritelmän homomorsmilla ψ joukon X permutaatioksi ψ(g) = φ g, jolla joukon X alkio x kuvataan joksikin toiseksi joukon X alkioksi (x)φ g = x. 18
20 Esimerkki. Olkoon G = S 3 ja X = {1, 2, 3}. Tällöin ryhmän S 3 toimintoja joukolla X ovat esimerkiksi 2.(1 3 2) = 1, missä permutaatio (1 3 2) kuvataan bijektioksi 1 3 ψ(1 3 2) = 3 2, 2 1 jolloin (2)ψ(1 3 2) = 1. Vastaavasti 3.(2 1)(1 3)(2 3) = 1 ja 2.(2 3) = 3. Käytännössä kuvaus φ g kuvaa joukon X alkion permutaatiolla g S 3 joukon X alkioksi permutaation määritelmän mukaisesti, sillä tässä G = S 3 = Sym(X). Esimerkki. Olkoon G = D 4, missä D 4 on neliön diedriryhmä, eli neliön symmetrioiden ryhmä. Siis kukin ryhmän D 4 alkio on sellainen tason kierto, peilaus tai niiden yhdistelmä, joka kuvaa neliön takaisin itselleen. Merkitään neliön kulmia kuten oheisessa kuvassa. Tällöin muodostuu kulmien joukko X = {1, 2, 3, 4}. Neliön diedriryhmään kuuluu nyt neljä kiertoa ja neljä peilausta. Kierrot tapahtuvat neliön keskipisteen ympäri myötäpäivään ja peilaukset merkittyjen akselien suhteen. Nyt D 4 voidaan esittää joukon X permutaatioiden avulla. Merkitään 1 C A D B R 0 = 0 asteen kierto, R 1 = 90 asteen kierto, R 2 = 180 asteen kierto, R 3 = 270 asteen kierto, P A = peilaus suoran A suhteen, P B = peilaus suoran B suhteen, P C = peilaus suoran C suhteen, P D = peilaus suoran D suhteen. Tällöin R 0 = (1), P A = (1 3), R 1 = ( ), P B = (2 4), R 2 = (1 3)(2 4), P C = (1 2)(3 4), R 3 = ( ), P D = (1 4)(2 3). Huomataan, että D 4 S 4 = Sym(X). Tällöin voidaan määritellä sellainen kuvaus ψ, että ψ : D 4 S 4, ψ(α) = α kaikilla α D 4. 19
21 Olkoon α, β D 4. Tällöin ψ(αβ) = αβ = ψ(α)ψ(β). Siis ψ on ryhmähomomorsmi. Lauseen nojalla ψ määrää ryhmän D 4 oikean toiminnan joukossa X. Kyseinen toiminta on permutaatio ψ(α) = α. Käytännössä tämä toimii täysin samoin kuin edellinen esimerkki. Havainnollistetaan ryhmän toimintaa vielä sellaisella esimerkillä, jossa toimiva ryhmä ja käsiteltävän joukon permutaatioryhmä ovat erilliset. Esimerkki. Tarkastellaan tasasivuisen kolmion rotaatioiden muodostamaa ryhmää. Kyseessä on siis diedriryhmän D 3 aliryhmä, joka koostuu vain ryhmän D 3 rotaatioalkioista. Merkitään kolmion kulmia kuten oheisessa kuvassa. Tällöin muodostuu joukko X = {1, 2, 3}. Kolmion rotaatioita myötäpäivään kuvaavat permutaatiot ovat (1), (1 2 3) sekä (1 3 2). Selvästi nähdään, että nämä muodostavat ryhmän. Merkitään siis R 3 = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} Selvästi R 3 S 3. Olkoon G = (Z 3, +). Määritellään kuvaus Jos [n], [m] Z 3, niin ψ : Z 3 R 3, ψ([n]) = (1 2 3) n. ψ([n])ψ([m]) = (1 2 3) n (1 2 3) m = (1 2 3) n+m = ψ([n + m]) = ψ([n] + [m]). Siis ψ on ryhmähomomorsmi. Näin ollen Lauseen nojalla kuvaus ψ määrää ryhmän Z 3 oikean toiminnan joukossa X. Kyseessä on kuvaus φ : X Z 3 X, joka kuvaa kunkin kolmion kulman siirtymistä n rotaatiossa. 20
22 2.2 Kranssitulo Olkoot G ja H ryhmiä, joista H toimii joukolla X = {1, 2,..., n}, missä X = n. Siis on olemassa kuvaus φ : H Sym(X) = S n, joka kuvaa jokaisen ryhmän H alkion h joukon X permutaatioksi φ h. Olkoon nyt G n ryhmän G suora tulo itsensä kanssa n kertaa. Tällöin joukko X indeksoi tämän suoran tulon siten, että G n = G G G = {(g 1 1, g 2 2,..., g n n) g i G kaikilla 1 i n}. Merkinnässä alaindeksit erottavat alkiot toisistaan, ja yläindeksi merkitsee alkion paikkaa monikossa. Tällöin alkioiden aito järjestys määräytyy pelkästään yläindeksien perusteella, eikä alkioiden kirjoitusjärjestyksellä monikossa sinänsä ole merkitystä. Koska ryhmä H toimii ryhmän G n indeksoivalla joukolla X, niin ryhmän H toiminta voidaan laajentaa luonnollisesti ryhmään G n siten, että joukon H alkio h kuvataan ensin kuvauksella φ joukon X permutaatioksi φ h, jonka jälkeen ryhmän G n alkion, eli n-monikon alkioiden yläindeksejä, eli järjestystä kuvataan permutaatiolla φ h. Kuvauksessa paikalla j oleva alkio siirtyy paikalle (j)φ h. Siis ryhmä H toimii ryhmässä G n permutoimalla monikkojen alkioiden paikkoja eli alkioiden yläindeksejä. Nyt, kun kuvaus φ on tunnettu, voidaan määritellä kuvaus ψ : G n H G n, ψ(g, h) = g.h = (g (1)φ h 1, g (2)φ h 2,..., g (n)φ h n ), missä g G n, h H. Kuvauksen jälkeen alkiot järjestetään monikon sisällä uudelleen niin, että uusien yläindeksien järjestys on 1, 2,..., n. Jos yläindeksejä ei ole merkitty alkioihin, oletetaan niiden olevan luonnollisessa järjestyksessä 1, 2,..., n. Esimerkiksi (g 1, g 2, g 3, g 4 ) = (g 1 1, g 2 2, g 3 3, g 4 4). Osoitetaan, että näin määritelty kuvaus ψ on ryhmän toiminto. Lause Edellä määritelty kuvaus ψ on ryhmän H toiminto ryhmässä G n. Todistus. Tarkastetaan ryhmän toiminnon määritelmän ehdot. 1) Olkoon g G n ja e H neutraalialkio. Tällöin φ e = (1) S n ja siten g.e = (g (1)φe 1, g (2)φe 2,..., g (n)φe n ) = (g 1 1, g 2 2,..., g n n) = g. 2) Olkoon h, h H. On osoitettava, että g.(hh ) = (g.h).h. Koska ryhmän H toiminta joukolla X, eli φ, on ryhmähomomorsmi, niin missä i X. Tällöin (i)φ(hh ) = ((i)φ(h))φ(h ), g.(hh ) = (g (1)φ hh 1, g (2)φ hh 2,..., g (n)φ hh n ) = (g ((1)φ h)φ h 1, g ((2)φ h)φ h 2,..., g ((n)φ h)φ h n ) = (g (1)φ h 1, g (2)φ h 2,..., g (n)φ h n ).h = (g.h).h. Kohdista 1) ja 2) seuraa, että ψ on ryhmän H toiminto ryhmässä G n. 21
23 Määritelmä Ryhmien G n ja H kranssitulo on rakenne, jossa H toimii ryhmällä G n sen alkioiden yläindeksien suhteen samalla toiminnolla kuin joukolla X = {1, 2..., n}. Toisin sanoen, ryhmien G n ja H kranssitulo on karteesinen tulo G n H, jossa H toimii ryhmällä G n edellä määritellyn toiminnon ψ : G n H G n mukaisesti. Tätä kranssituloa merkitään G n H. Kranssitulo toimii siis permutoimalla ryhmän G n monikkojen alkioiden paikkoja jonkin alkion h H määräämän permutaation φ h mukaisesti, eli käytännössä vain vaihtaa monikon alkioiden paikkoja monikossa, mutta ei vaihda itse monikon alkioita toisiin. Kranssitulon G n H taustajoukkona on karteesinen tulo G n H, sillä kranssitulon rakenteen muodostaa ryhmän toiminta ψ, eli alkion g.h määräämiseen tarvitaan alkiot g G n ja h H. Tämä tarkoittaa, että alkion g.h määrää alkio (g, h) karteesisesta tulosta G n H. Lisäksi kaikki joukon G n H alkiot määräävät jonkin alkion g.h. Jos (g, h), (g, h ) G n H, niin alkioiden välille voidaan määritellä ryhmän oikeaa toimintoa mukaileva operaatio (g, h) (g, h ) = ((g.h )g, hh ), missä (g.h )g G n, hh H ja alkioiden väliset operaatiot tehdään ryhmien omilla operaatioilla. Tämä rakenne voidaan osoittaa ryhmäksi, ja Rubikin kuution suhteen osoitus tehdään tätä operaatiota muistuttavan Rubikin kuutiolle luonnollisen ryhmäoperaation avulla luvussa 3. Esimerkki. Olkoon G = Z 2, H = S 3 ja X = {1, 2, 3}. Tällöin ryhmien G 3 ja H kranssitulo on Z 3 2 S 3 ={((0, 0, 0), α), ((0, 0, 1), α), ((0, 1, 0), α), ((0, 1, 1), α), ((1, 0, 0), α), ((1, 0, 1), α), ((1, 1, 0), α), ((1, 1, 1), α) α S 3 } ={(g, α) g Z 3 2, α S 3, missä α toimii kolmikkoon g kuvauksen ψ mukaisesti}. Lopputuloksena on tällöin jokin ryhmän Z 3 2 alkio, kuten seuraavassa esimerkissä. Tarkastellaan alkiota ((0, 1, 0), α). Jos α = (1) = e S3, niin (0, 1, 0).α = (0, 1, 0). Jos α = (2 3), niin (0, 1, 0).α = (0, 0, 1). Jos α = (2 3)(3 1), niin (0, 1, 0).α = (1, 0, 0). Tarkastellaan seuraavaksi kahta alkiota, ((1, 0, 1), (1 2)) ja ((0, 0, 1), (2 3)). Tällöin kranssitulorakenteen operaation mukaisesti ((1, 0, 1), (1 2)) ((0, 0, 1), (2 3)) = ((1, 0, 1).(2 3) + (0, 0, 1), (1 2)(2 3)) = ((1, 1, 0) + (0, 0, 1), (1 2)(2 3)) = ((1, 1, 1), (1 3 2)) Z 3 2 S 3. 22
24 Lemma Olkoot (G n, ), H ja ψ kuten edellä sekä x, y G n, h H. Tällöin (x y).h = (x.h) (y.h). Todistus. Koska ψ : G n H G n ja x.h, y.h G n, niin (x y).h = ψ(x y, h) = ψ((x 1 1, x 2 2,..., x n n) (y 1 1, y 2 2,..., y n n), h) = ψ(((x 1 y 1 ) 1, (x 2 y 2 ) 2,..., (x n y n ) n ), h) = ((x 1 y 1 ) (1)φ h, (x 2 y 2 ) (2)φ h,..., (x n y n ) (n)φ h ) = (x (1)φ h 1 y (1)φ h 1, x (2)φ h 2 y (2)φ h 2,..., x (n)φ h n y (n)φ h n ) = (x (1)φ h 1, x (2)φ h = ψ(x, h) ψ(y, h) = (x.h) (y.h). 2,..., x (n)φ h n ) (y (1)φ h 1, y (2)φ h 2,..., y (n)φ h n ) 23
25 3 Rubikin kuutio Tässä luvussa tarkastellaan Rubikin kuutiota ryhmäteoreettisesta näkökulmasta edellisten lukujen tietojen perusteella. Ensin on määriteltävä kuution rakenteelle käsitteet, joita käyttämällä Rubikin kuution ryhmän konstruointi etenee. 3.1 Kuution rakenne Määritelmä Rubikin kuutio koostuu kolmesta eri palatyypistä. Nämä ovat keskuspala, reunapala ja kulmapala. Kukin palatyyppi on esitetty alla olevassa kuvassa. Kulmapala Reunapala Keskuspala Kuva 1: Kuution palatyypit Nähdään, että kuutiossa on kuusi keskuspalaa, 12 reunapalaa ja kahdeksan kulmapalaa. Kuution sisällä ei ajatella olevan palaa, jolloin kaikkia paloja on yhteensä 26. Lisäksi huomataan, että keskuspalat eivät siirry minkään sivun käännöllä. Tällöin niiden keskinäisiä sijainteja ei voi muuttaa. Tästä seuraa, että liikkuvia paloja on 20 kappaletta. Pala voi esiintyä ainoastaan sen tyypin kanssa samantyyppisen palan paikoilla. Esimerkiksi kulmapala ei voi koskaan olla reunapalan kohdalla. Määrätään lisäksi, että koko kuutiota ei voi pyörittää. Määritelmä Tarra on kunkin palan kunkin näkyvän sivun väri, ja värejä on Rubikin kuutiossa yhteensä kuusi. Tarrat ovat pysyvästi kiinnitettyjä paloihinsa. Tarroja on 54 kappaletta. Määritelmä Kuutio on ratkaistu, mikäli kunkin kuuden sivun tarrat ovat keskenään samanvärisiä. Rubikin kuutiossa on kuusi eri väriä, jolloin kukin sivu on omanvärisensä. 24
26 Määritelmä Kuution keskuspalat ovat pysyvästi kiinnitettyjä suhteessa toisiinsa. Tämä tarkoittaa sitä, että keskuspaloja ei voi irrottaa kuutiosta. Kun tämä yhdistetään Määritelmään 3.1.1, vain kuution reuna- ja kulmapalat voidaan irrottaa kuutiosta, ja asettaa vain kyseisen palatyypin mukaisille paikoille. Tämä on kuution kokoonpanorajoitus. Määritelmä Kääntö on minkä tahansa kuution sivun kääntö 90 asteen monikerroissa myötä- tai vastapäivään. Käännöt määritellään tarkemmin myöhemmin. Määritelmä Kääntöjono on jokin äärellinen jono kääntöjä. Jos K 1,..., K n ovat kääntöjä, niin K 1 K 2... K n on kääntöjono, joka suoritetaan vasemmalta oikealle, ts. ensin kääntö K 1, seuraavaksi K 2 jne., ja lopuksi kääntö K n. Tästä syystä permutaatio ja ryhmän toiminta on määriteltävä kuten Määritelmissä ja Lisäksi sanotaan, että edellisen kääntöjonon pituus on n. Kääntöjonoja suoritettaessa kuutio pysyy aina samassa asennossa. Tämä tarkoittaa, että keskuspalat osoittavat koko kääntöjonon ajan samoihin suuntiin. Määritelmä Kombinaatio eli järjestys on jokin tapa irrottaa ratkaistusta kuutiosta kaikki kulma- ja reunapalat ja asettaa ne kokoonpanorajoituksen mukaisesti takaisin kuutioon. Merkitään kaikkien kombinaatioiden joukkoa K. Määritelmä Kombinaatio on ratkeava jos ja vain jos se voidaan saavuttaa ratkaistusta kuutiosta jollakin kääntöjonolla. Lisäksi kaikkien ratkeavien kombinaatioiden joukkoa merkitään R. Määritelmä Kuution permutaatiotila sisältää tiedon kaikkien kuution palojen sijainnista kuutiossa. Edelleen, kuution permutaatiotila koostuu reunapalojen permutaatiotilojen ja kulmapalojen permutaatiotilojen yhdisteestä. Reunapalojen permutaatiotila sisältää tiedon reunapalojen sijainnista kuutiossa, ja vastaavasti kulmapaloille. Permutaatiotilat eivät ota kantaa palojen asentoon. Määritelmä Kuution orientaatiotila sisältää tiedon kaikkien kuution palojen asennosta kuutiossa verrattuna ratkaistuun kuutioon. Tehdään ratkaistuun kuutioon seuraavan kuvan mukaiset merkinnät. U L F R B D Kuva 2: Orientaatiomerkit [3] Kuution orientaatiotila saadaan selville vertaamalla kullakin paikalla olevan palan merkin sijaintia ratkaistussa kuutiossa samalla paikalla olevan palan merkin sijaintiin. Reunapalalla on kullakin reunapaikalla kaksi eri asentoa ja kulmapalalla on kullakin kulmapaikalla kolme eri asentoa. Asennot ovat kuten seuraavissa kuvissa, joissa värillinen tahko kuvaa merkkiä. 25
27 Reunapalat; 0, 1 Kulmapala, tila 0 Kulmapala, tila 1 Kulmapala, tila 2 Vastaavasti kuin kuution permutaatiotiloilla, kuution orientaatiotila koostuu reunapalojen orientaatiotilojen ja kulmapalojen orientaatiotilojen yhdisteestä. Orientaatiotilat eivät ota kantaa palojen sijaintiin. Määritelmä Järjestely on sellainen kuution kombinaation vaihto, joka noudattaa kokoonpanorajoitusta. 3.2 Kääntöjen ryhmä Koska Rubikin kuutiossa on 54 tarraa ja kombinaatiot ovat tässä joukossa, on Rubikin kuution ratkeava joukko symmetrisen ryhmän S 54 osajoukko. Mutta kokoonpanorajoituksen nojalla keskuspaloja ei voi siirtää. Tällöin kuutiossa on 48 liikkuvaa tarraa, ja siten ratkeavan joukon on oltava myös symmetrisen ryhmän S 48 osajoukko. Nyt kuutio voidaan esittää seuraavasti: Kuva 3: Tarrojen indeksointi ratkaistussa kuutiossa (Lähteestä [5].) Kuvassa U, L, F, R, B ja D ovat yläsivun, vasemman sivun, etusivun, oikean sivun, takasivun ja alasivun tunnukset suuntia vastaavien englannin kielen sanojen mukaisesti. Nähdään, että käännöt operoivat joukkoa {1, 2,..., 48}. Otetaan käännöille käyttöön Singmasterin merkintätapa. 26
28 Määritelmä Singmasterin merkintätavassa sivujen tunnukset ovat kuten edellä, ja kääntöjä merkitään seuraavan taulukon mukaisesti: 90 astetta myötäpäivään 90 astetta vastapäivään 180 astetta Etusivu F F 1 F 2 Takasivu B B 1 B 2 Vasen sivu L L 1 L 2 Oikea sivu R R 1 R 2 Yläsivu U U 1 U 2 Alasivu D D 1 D 2 Käännön suunta on kyseisen sivun suunnalta katsottaessa. Huomaa, että jos K on jokin näistä käännöistä, niin KKK = K 1. Tällöin saadaan käännöille F, B, L, R, U ja D seuraavat esitykset erillisten syklien tulona: F = ( )( )( )( )( ), B = ( )( )( )( )( ), L = ( )( )( )( )( ), R = ( )( )( )( )( ), U = ( )( )( )( )( ), D = ( )( )( )( )( ). Määritelmä Olkoon S = {F, B, L, R, U, D}. Tällöin kaikki ratkeavat kombinaatiot voidaan Määritelmän mukaan saavuttaa joukon S alkioiden jonoilla. Näin muodostuva joukko on kaikkien kääntöjonojen joukko, jota merkitään S. Erilaisia äärellisiä kääntöjonoja on ääretön määrä, mutta Rubikin kuution kombinaatioita on selvästi äärellinen määrä. Ennen kuin edetään pidemmälle, on mielekästä osoittaa, että R on ryhmärakenne. Tämä tapahtuu seuraavasti: osoitetaan, että joukko S voidaan jakaa ekvivalenssiluokkiin, joista kukin vastaa täsmälleen yhtä kombinaatiota joukosta R. Tämän jälkeen osoitetaan joukko S ryhmäksi. Käyttäen tätä ominaisuutta joukko R osoitetaan ryhmäksi. On tärkeää huomata, että kääntöjono toimii ratkeavaan kombinaatioon täsmälleen samalla tavalla kuin ratkeamattomaan kombinaatioon. Lisäksi ryhmän R rakenne on vaikea selvittää kääntöjen permutaatioesityksistä. Tarvitaan toisenlainen esitys. 27
29 Lemma Ratkeavat kombinaatiot ovat ekvivalenssiluokkia, joiden alkiot ovat kääntöjonoja, jotka suoritetaan ratkaistuun kombinaatioon. Todistus. Olkoon e ratkaistu kuutio, S = {F, B, L, R, U, D} ja f, g, h S. Kääntöjono f, suoritettuna ratkaistuun kuutioon e, tuottaa kombinaation r f. Olkoon nyt sellainen relaatio joukossa S, että Tällöin 1) r f = r f f f. f g r f = r g. 2) f g r f = r g r g = r f g f. 3) (f g g h) (r f = r g r g = r h ) r f = r h f h. Kohdista 1)-3) seuraa, että S jakaantuu erillisiin ekvivalenssiluokkiin [f] = {x S r x = r f } = {x S e.x = r f }, missä e.x on kääntöjonon x toiminta ratkaistuun kuutioon. Näin ollen väite pätee. Ekvivalenssiluokkien ominaisuuksien nojalla kaikki kääntöjonot kuuluvat täsmälleen yhteen ekvivalenssiluokkaan, ja saman luokan kääntöjonot tuottavat saman kombinaation. Siis kukin ekvivalenssiluokka vastaa täsmälleen yhtä ratkeavaa kombinaatiota. Lisäksi, jos r on ratkeava kombinaatio, niin on olemassa jokin kääntöjono M, joka tuottaa ratkaistusta kuutiosta kombinaation r. Tällöin kombinaatiota r vastaa vain ekvivalenssiluokka [M]. Tällöin kaikkia ratkeavia kombinaatioita vastaa täsmälleen yksi ekvivalenssiluokka. Näin ollen ekvivalenssiluokkien joukko ja ratkeavien kombinaatioiden joukko voidaan samaistaa, ja kukin ratkeava kombinaatio voidaan esittää jollakin kääntöjonolla sitä vastaavasta ekvivalenssiluokasta. Ratkeavien kombinaatioiden joukkoa voidaan siis merkitä R = {[f] f S }. Osoitetaan seuraavaksi joukon S olevan ryhmä. Lause Olkoon S = {F, B, L, R, U, D} ja : S S S sellainen operaatio, että jos f S ja g S, niin f g on kääntöjono, joka saadaan suorittamalla ratkaistuun kuutioon kääntöjono f g. Tällöin ( S, ) on ryhmä ja alkiota f g = fg sanotaan kääntöjonojen f ja g ketjuksi ryhmässä S. Todistus. Tarkastetaan ryhmän ehdot. 1) f g S operaation ( ) määritelmän nojalla. 2) f E = f = E f, missä E on tyhjä kääntö. 28
30 3) Jos f, g, h S ja P on jokin kuution pala, niin (f (g h))(p ) = (g h)(f(p )) = h(g(f(p ))) ((f g) h))(p ) = h((f g)(p )) = h(g(f(p ))) f (g h) = (f g) h. Edellä kääntöjonot vaikuttavat järjestyksessä vasemmalta oikealle. 4) Olkoon T = S {K 1 K S} ja f = K 1 K 2...K n, missä K i T kaikilla 1 i n. Määritelmän nojalla T = S. Jos g = Kn 1 Kn 1...K 1 1 S, niin f g = (K 1 K 2...K n ) (Kn 1 Kn 1...K 1 1 ) ( assosiatiivinen) = K 1 K 2...K n 1 EKn 1...K 1 1 = E n = E. Vastaavasti saadaan g f = E. Näin ollen g = f 1 S. Kohdista 1)-4) seuraa, että ( S, ) todella on ryhmä. Lause Olkoon R = {[f] f S } ratkeavien kombinaatioiden joukko ja tässä joukossa määritelty operaatio [f] [g] = [f g] kaikilla [f], [g] R, missä ( ) on kuten edellä. Osoitetaan, että operaatio on hyvin määritelty ja että R on ryhmä. Todistus. Olkoot f ja f sellaiset kääntöjonot, että ne tuottavat saman kombinaation r f sekä g ja g sellaiset kääntöjonot, että ne tuottavat saman kombinaation r g. Tästä seuraa, että f g = f g, sillä tarkastellessa kombinaatiossa tapahtunutta muutosta prosessilla ei ole väliä, vain ainoastaan alku- ja lopputilojoen erolla. Lisäksi ekvivalenssiluokkien ominaisuuksien nojalla [f] = [f ] ja [g] = [g ]. Näin ollen [f] [g] = [f g] = [f g ] = [f ] [g ]. Siis ketjutusoperaatio joukossa R on hyvin määritelty. Osoitetaan nyt ryhmärakenne. Olkoon f, g, h, E S, missä E on tyhjä kääntö. 1) Lauseen nojalla f g S, joten [f] [g] = [f g] R. 2) [f] [E] = [f E] = [f] = [E f] = [E] [f]. ( ) 3) [f] [g] [h] = [f] [g h] = [f g h] = [f g] [h] = ( ) [f] [g] [h]. 4) Lauseen nojalla kaikilla f S on olemassa käänteisalkio f 1 S. Tällöin [f] [f 1 ] = [f f 1 ] = [E] = [f 1 f] = [f 1 ] [f]. Nyt on todistettu, että kaikki ratkeavat kombinaatiot varustettuna ketjutusoperaatiolla on ryhmä, jolloin on mahdollista löytää kyseisen ryhmän rakenne. 29
31 Lemma Olkoot [f], [g] R joillekin kääntöjonoille f ja g. Tällöin on olemassa sellainen kääntöjono h, että [fh] = [g]. Todistus. Lauseen nojalla on olemassa sellainen kääntöjono f 1, että ff 1 = E, jolloin [ff 1 ] = [E]. Siis Eg = ff 1 g [ff 1 g]. Toisaalta Eg = g [g]. Näin ollen [ff 1 g] = [g], joten fh = ff 1 g = g ja etsitty kääntöjono on siten h = f 1 g. 3.3 Rubikin kuution yleinen ryhmä Rubikin kuution yleinen ryhmä on joukko K varustettuna kombinaatioiden yhdistämisoperaatiolla. Ennen operaation määrittelyä täytyy konstruoida joukon K rakenne. Määritelmien 3.1.7, ja nojalla mielivaltaisen kombinaation konstruoimiseen tarvitaan tiedot palojen paikoista ja asennoista, eli permutaatiotiloista ja orientaatiotiloista. Tarkastellaan kumpaakin palatyyppiä erikseen. Merkitään ensin reuna- ja kulmapaloja luvuilla seuraavien kuvien mukaisesti: Kuva 4: Reuna- ja kulmapalojen indeksointi Näin jokaiseen reuna- ja kulmapalan paikkaan voidaan viitata luvulla. Eri palatyyppejä ei käsitellä yhtä aikaa näillä luvuilla, jolloin sekaannusta ei synny. Ennen palojen tarkastelua on todistettava lause, joka antaa keinon edellämainitun mielivaltaisen kombinaation konstruoimiseen. Lause [3]. (Kuutioteorian ensimmäinen peruslause.) Olkoon k K jokin kombinaatio. Olkoon lisäksi ratkaistuun kuutioon tehty kuvan 2 mukaiset merkinnät. Tällöin kombinaatio k on määrätty yksikäsitteisesti, jos tiedetään: 30
32 U L F R B D 1) Mikä on keskuspalojen permutaatiotila? 2) Mikä on reunapalojen permutaatiotila? 3) Mikä on kulmapalojen permutaatiotila? 4) Mitkä reunapalojen merkeistä kohdalla i ovat kääntyneet verrattuna ratkaistun kuution kohdan i merkkeihin? 5) Mitkä kulmapalojen merkeistä kohdalla j ovat kääntyneet verrattuna ratkaistun kuution kohdan j merkkeihin, ja jos ne ovat kääntyneet, ovatko ne kääntyneet 120 astetta myötä- vai vastapäivään? Todistus. Nähdään, että kaikissa paloissa, paitsi keskuspaloissa, on yksi merkki. Kysymyksen 1) vastaus kertoo, miten päin kuutio on. Kysymysten 2) ja 3) vastaukset antavat Määritelmän nojalla tietoon kuution permutaatiotilan. Kysymysten 4) ja 5) vastaukset antavat Määritelmän nojalla tietoon kuution orientaatiotilan. Näin ollen Määritelmän nojalla nyt on tiedossa kaikki tiedot, jotka vaaditaan kombinaation konstruoimiseen. Lisäksi, jos jonkin palan permutaatiotai orientaatiotila muuttuu, koko kombinaatio muuttuu. Tällöin kombinaatio on yksikäsitteinen. Jos palan merkki jollakin kohdalla on samalla paikalla kuin ratkaistun kuution merkki samalla kohdalla, niin sanotaan, että pala on oikein päin. Jos palan merkki on eri paikalla kuin ratkaistussa kuutiossa, niin sanotaan, että pala on kääntynyt. Kullakin reuna- ja kulmapalan asennolla on sitä vastaava lukuarvo. Jos reunapala tai kulmapala on oikein päin, sen lukuarvo on 0. Jos reunapala on kääntynyt tai kulmapala on kääntynyt myötäpäivään, sen lukuarvo on 1. Jos kulmapala on kääntynyt vastapäivään, sen lukuarvo on 2. Reunapalat; 0, 1 Kulmapala, tila 0 Kulmapala, tila 1 Kulmapala, tila 2 Kaikissa tapauksissa kuutio on samoin päin. Jos vasemmanpuoleinen reunapala on tilassa 0, niin oikeanpuoleinen on sama pala tilassa 1. Reunapalat Olkoon K r yleinen reunapalojen orientaatio- ja permutaatiotilojen joukko. Joukko K r kuvaa siis täydellisesti reunapaloja ja vain reunapaloja. Joukon alkiosta selviää reunapalojen sijainnit sekä niiden asennot. Koska reunapaloja on 12 kappaletta, permutaatio σ f S 12 kuvaa järjestyksen f aiheuttamaa reunapalojen siirtymistä. Esimerkiksi käännölle F saadaan kuvasta 3 permutaatioesitys σ F = ( ). 31
33 Koska kukin reunapala voi olla kahdessa eri asennossa, 0 tai 1, on reunapalan i orientaatiotilaa kuvaava alkio ω i Z 2. Koska reunapaloja on 12, reunapalojen orientaatiotilaa kuvaa joukko Z Tällöin K r = {(ω, σ) ω Z 12 2, σ S 12 }. Kulmapalat Olkoon K k yleinen kulmapalojen orientaatio- ja permutaatiotilojen joukko. Joukko K k kuvaa täydellisesti kulmapaloja ja vain kulmapaloja. Joukon alkiosta selviää kulmapalojen sijainnit sekä niiden asennot. Koska kulmapaloja on kahdeksan kappaletta, permutaatio ρ f S 8 kuvaa järjestyksen f aiheuttamaa kulmapalojen siirtymistä. Esimerkiksi kääntöä F vastaa permutaatio ρ F = ( ). Koska kukin kulmapala voi olla kolmessa eri asennossa, 0, 1 tai 2, on kulmapalan i orientaatiotilaa kuvaava alkio ν i Z 3. Koska kulmapaloja on kahdeksan, kulmapalojen orientaatiotilaa kuvaa joukko Z 8 3. Tällöin K k = {(ν, ρ) ν Z 8 3, ρ S 8 }. Yleisen ryhmän rakenne Kuution permutaatio- ja orientaatiotilojen määritelmien nojalla jokainen kombinaatio joukossa K koostuu reunapalojen ja kulmapalojen permutaatioja orientaatiotilojen yhdistelmästä. Näin ollen muodostuu kahden karteesisen tulon karteesinen tulo K = K r K k = (Z 12 2 S 12 ) (Z 8 3 S 8 ). Huomaa, että tämä on vielä vain joukko. Tällöin, jos x K, niin x = (ω x, σ x, ν x, ρ x ), missä kukin nelikön alkio vastaa järjestelyn x ratkaistuun kuutioon tekemää muutosta. Siten näiden alkioiden muodostama nelikkö muodostaa järjestelyn x kokonaisvaikutuksen. Järjestelyn permutaatiovaikutus, eli permutaatiot σ x ja ρ x, ovat yksiselitteisiä. Ne siirtävät paloja itsensä mukaisesti, kun käytetään kuvan 4 indeksointia. Orientaatiotiloja tulkitaan seuraavasti. Olkoon x jokin kombinaatio. Tällöin monikot ω x Z 12 2 ja ν x Z 8 3 kuvaavat orientaatiotiloja, johon palat kääntyvät, kun ratkaistuun kuutioon suoritetaan järjestely x. Tällöin ω x = (ω x,1, ω x,2, ω x,3, ω x,4, ω x,5, ω x,6, ω x,7, ω x,8, ω x,9, ω x,10, ω x,11, ω x,12 ), missä ω x,i = 0, 1 kaikilla 1 i 12 ja ν x = (ν x,1, ν x,2, ν x,3, ν x,4, ν x,5, ν x,6, ν x,7, ν x,8 ), 32
Rubikin kuution matematiikan tiivistelmä
Rubikin kuution matematiikan tiivistelmä LuK-tutkielma Jani Luokkanen 2372781 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 3 1.1 Kuution perusrakenne......................
LisätiedotTekijäryhmät ja homomorsmit
Tekijäryhmät ja homomorsmit LuK-tutkielma Henna Isokääntä 1953004 henna.isokaanta@gmail.com Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto Kevät 2019 Sisältö Johdanto 1 1 Tekijäryhmät 1 2 Homomorsmit 3 Lähdeluettelo
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
LisätiedotRatkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä
Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Pro Gradu-tutkielma Lauri Kangas 2192712 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2015 Sisältö 1 Perusteita 3 1.1 Ryhmät ja aliryhmät.......................
LisätiedotLuupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014
Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Perusteita 3 1.1 Kuvauksista............................ 3 1.2 Relaatioista............................
LisätiedotSymmetristen ja alternoivien ryhmien yksinkertaisuus ja ratkeavuus
Symmetristen ja alternoivien ryhmien yksinkertaisuus ja ratkeavuus Pro gradu Tuomo Holma 2379771 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Permutaatiot 3 2 Ryhmistä
LisätiedotEräitä ratkeavuustarkasteluja
Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................
LisätiedotMikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin
LisätiedotTekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.
3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää
LisätiedotHN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
LisätiedotCauchyn ja Sylowin lauseista
Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotH = H(12) = {id, (12)},
7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen
LisätiedotLuuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006
Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotTransversaalit ja hajoamisaliryhmät
Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä,
LisätiedotRyhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua)
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) 10.12.2012 Tehtävä 1. Osoita, että tuloryhmän R np R sp indeksi Rubikin paikkaryhmässä R p on täsmälleen kaksi. (Tarkkaan
LisätiedotTIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta
Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala
LisätiedotTekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}.
Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa suuriin, helpommin käsiteltäviin osiin. Tämän jälkeen voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 8,
Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen
Lisätiedot6. Tekijäryhmät ja aliryhmät
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotLaitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014
Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn
LisätiedotSyklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016
Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................
LisätiedotPermutaatioiden ominaisuuksista
Permutaatioiden ominaisuuksista Pro gradu -tutkielma Ville-Antero Valpas 1732513 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2015 Sisältö Johdanto................................ 2 1 Esitietoja
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
LisätiedotSymmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin
Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin 16. marraskuuta 2006 1 Symmetrisistä ryhmistä... Bijektiivistä kuvausta {1,..., n} {1,..., n} kutsutaan n-permutaatioksi. Merkitään n-permutaatioden joukkoa S n.
Lisätiedot1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
Lisätiedot4. Ryhmien sisäinen rakenne
4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos meillä
LisätiedotAlternoivien ryhmien ominaisuuksista
Alternoivien ryhmien ominaisuuksista Pro gradu -tutkielma Anssi Aska 2257068 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Peruskäsitteitä 3 2.1 Ryhmä ja aliryhmä........................
LisätiedotLineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016
Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................
LisätiedotJarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori
Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos
Lisätiedot3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2
3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 Olen valinnut kunkin luvun teemaksi yhden ryhmän. Ensimmäisen luvun teema on pienin epätriviaali ryhmä, eli ryhmä, jossa on kaksi alkiota. Merkitsen
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
Lisätiedot802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä
802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian
LisätiedotEsimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Matti
LisätiedotPermutaatioryhmien radoista. Tero Suokas
Permutaatioryhmien radoista Tero Suokas Pro Gradu -tutkielma Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä 3 2.1 Ryhmistä............................. 3 2.2 Homomorsmeista........................
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
LisätiedotApprobatur 3, demo 5, ratkaisut
Approbatur 3, demo 5, ratkaisut 51 Tehtävänä on luetella kaikki joukon S 4 alkiot eli neljän alkion permutaatiot Tämä tarkoittaa kaikkia eri tapoja kuvata joukko {1, 2, 3, 4} bijektiivisesti itselleen
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
LisätiedotRyhmän P SL(2, K) yksinkertaisuus
Ryhmän P SL(2, K) yksinkertaisuus Pro gradu -tutkielma Antti Eronen 2187183 Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteitä ja tarpeellisia lauseita 3 11
LisätiedotSylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Aleksi Heiskanen Sylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Marraskuu 2017 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta
Lisätiedot800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä
800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1,
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, 15.9.2014 1. Hahmottele tasossa seuraavat relaatiot: a) R 1 = {(x, y) R 2 : x y 2 } b) R 2 = {(x, y) R 2 : y x Z} c) R 3 = {(x, y) R 2 : y > 0 and x 2
Lisätiedot2 Permutaatioryhmät. 2.1 Permutaation olemus. 2.2 Permutaatioilla laskeminen
2 Permutaatioryhmät Rubikin kuution siirrot ovat tietynlaisia permutaatioita Permutaatiot muodostavat ryhmiä, ja tällä tavoin ryhmäteorian työkaluja päästään käyttämään kuutio-ongelman selvittämiseen Tässä
Lisätiedot2 Permutaatioryhmät. 2.1 Permutaation olemus
2 Permutaatioryhmät Rubikin kuution siirrot ovat tietynlaisia permutaatioita Permutaatiot muodostavat ryhmiä, ja tällä tavoin ryhmäteorian työkaluja päästään käyttämään kuutioongelman selvittämisessä Tässä
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
Lisätiedotsitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
Lisätiedotπ πρ = ρ, π πρ 3 = ρ 3, πρ 2 πρ = ρ 3 πρ 2 πρ 3 = ρ.
Rhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 4, ratkaisuehdotus (5 sivua) 26.11.2012 Tehtävä 1. Etsi neliön smmetriarhmän D 8 kaikki alirhmät. Mitkä niistä ovat normaaleja? Ratkaisu. Rhmää D 8
LisätiedotRyhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta
Ryhmäteoriaa 2. Ryhmän toiminta Permutaatiot kuvaavat jonkin perusjoukon alkioita toisikseen. Eräät permutaatiot jättävät joitain alkioita paikalleen, toiset liikuttavat kaikkia joukon alkioita. Kaikki
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotIdeaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat
Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotHieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).
Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotTietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. syyskuuta 2016 Sisällys vs Ovat eri asioita! Älä sekoita niitä. Funktiot Funktio f luokasta A luokkaan B, merkitään
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
Lisätiedot5.6 Yhdistetty kuvaus
5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
LisätiedotFrobeniuksen lauseesta ja sen yleistyksistä
Frobeniuksen lauseesta ja sen yleistyksistä Pro Gradu-tutkielma Mikko Korhonen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perustuloksia 4 2.1 Lukuteoriaa............................
Lisätiedotx gxg 1 Esimerkin 3-sykli saatiin siis konjugoimalla siirretyksi toimimaan lukujen 1, 2 ja 3 sijasta luvuilla 5, 8 ja 6.
4 Konjugointi 4.1 Konjugoinnin määritelmä Usein ryhmän alkiot kuvaavat operaatioita jossain joukossa. Permutaatiot ovat tästä hyvä esimerkki. Tällaisessa tapauksessa voidaan konjugoinnilla siirtää jossain
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
LisätiedotAlgebra kl Tapani Kuusalo
Algebra kl. 2010 Tapani Kuusalo Sisältö Luku 1. Luonnolliset luvut 1 Luku 2. Laskutoimitukset 4 1. Laskutoimitusten yleiset ominaisuudet 4 2. Neutraali- ja käänteisalkiot 6 3. Indusoidut laskutoimitukset,
Lisätiedot15. Laajennosten väliset homomorfismit
15. Laajennosten väliset homomorfismit Rakenteiden väliset homomorfismit auttavat selvittämään rakenteiden suhteita toisiinsa. Rakenteen sisäiset isomorfismit niin sanotut automorfismit auttavat vastaavasti
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Matti
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotPermutaatioista alternoivaan ryhmään
Permutaatioista alternoivaan ryhmään Pro Gradu-tutkielma Sini-Susanna Fetula Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 3 Permutaatioista. 6 3.1 Symmetrinen
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
LisätiedotToisin sanoen kyseessä on reaalitason vektoreiden relaatio. v w v =k w jollakink R\{0}.
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Harjoitus 7 Ratkaisuehdotus (5 sivua) JR 1. Määritellään reaalilukuparien relaatio seuraavasti: (x,y) (x,y ) x =kx jay=ky jollakink R\{0}. Toisin sanoen
LisätiedotMAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
LisätiedotRollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
LisätiedotVieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.
Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
Lisätiedot