Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta
|
|
- Jalmari Lahtinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta
2 Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia: max/min f(x 1,, x n ) Totesimme, että funktion ääriarvo löytyy gradientin nollakohdasta: f x 1,, x n Ääriarvo on Minimi, jos funktion Hessen matriisi on siinä positiividefiniitti Maksimi, jos funktion Hessen matriisi on siinä negatiividefiniitti Definiittisyys voitiin määrittää matriisin ominaisarvoista (ominaisarvot neg./pos. matriisi neg./pos-definiitti) Kahden muuttujan tapauksessa myös: o Jos det H x > ja 2 f 2 >, H on positiividefiniitti pisteessä x o Jos det H x > ja 2 f 2 <, H on negatiividefiniitti pisteessä x 2
3 Tällä luennolla Tarkastelemme usean muuttujan funktioiden yhtälörajoitettua optimointia max/min f(x 1,, x n ) siten, että g 1 x 1,, x n g m x 1,, x n m kpl yhtälörajoituksia 3
4 Rajoitettu optimointi: Yksi yhtälörajoitus Esim. Synteettisen kalanrehun tuotannossa käytetään kemikaaleja A (x kg/t) ja B (y kg/t). Tuotantoprosessissa rehuun jää lievästi myrkyllistä ainetta, jonka määrän (g/t) riippuvuutta kemikaalimääristä x ja y kuvaa funktio f: R + R + R +, f x, y 17.8x y 2 89.x 32.4y Millä A:n ja B:n määrillä myrkyn määrä on pienin mahdollinen, kun kemikaaleja tarvitaan yhteensä 7 kg/t? 4
5 Rajoitettu optimointi: Yksi yhtälörajoitus Kyseessä on kahden muuttujan rajoitettu optimointitehtävä, jossa on yksi yhtälörajoitus: min f(x, y) siten, että g x, y, missä f x, y 17.8x y 2 89.x 32.4y g x, y x + y 7 Tällainen tehtävä voidaan ratkaista Lagrangen menetelmällä 5
6 Lagrangen mentelemä Tehtävän min/max f(x 1,, x n ), g x 1,, x n L: R n+1 R Lagrangen funktio on L x 1,, x n, v f x 1,, x n + vg x 1,, x n Alkuperäinen kohdefunktio f + Lagrangen kerroin v Yhtälörajoitusfunktio g Pätee: (x 1,, x n, v ) on tehtävän min/max L x 1,, x n, v optimiratkaisu (x 1,, x n ) on tehtävän min/max f(x 1,, x n ), g x 1,, x n optimiratkaisu 6
7 Lagrangen menetelmä Rajoitetun optimointitehtävän min/max f(x 1,, x n ), g x 1,, x n ratkaisu saadaan siis ratkaisemalla rajoittamaton optimointitehtävä min/max L x 1,, x n, v Rajoittamattoman funktion L x 1,, x n, v ääriarvo löytyy gradientin nollakohdasta (x 1,, x n, v ) : L x 1,, x n, v Funktion L ääriarvokohdan (x 1,, x n, v ) laatu (minimi/maksimi) voidaan päätellä reunustetusta Hessen matriisista: ഥH v, x 1,, x n v 2 v x n v v 2 x n v x n x n x n 2 x n 2 x n x n x n x n 2 7
8 Lagrangen menetelmä Reunustettu Hessen matriisi on aina indefiniitti, eli ei tässä kerro ääriarvon laadusta Gradientin nollakohdassa on funktion lokaali maksimi, jos ഥH 1 <, ഥH 2 >, ഥH 3 <, ഥH 4 >, missä ഥH 1 2, ഥH 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 jne. Gradientin nollakohdassa on funktion lokaali minimi, jos ഥH 1 <, ഥH 2 <, ഥH 3 <, ഥH 4 <,
9 Lagrangen menetelmä Ehto ഥH 1 2 < toteutuu aina, joten Kahden muuttujan ja yhden yhtälörajoitteen tehtävässä gradientin v, x 1, x 2 nollakohdassa on lokaali Minimi, kun det ഥH v, x 1, x 2 < Maksimi, kun det ഥH v, x 1, x 2 >
10 Lagrangen menetelmä Esim. On minimoitava myrkyn määrää, kun A:ta ja B:tä on yhteensä 7 kg: min f x, y 17.8x y 2 89.x 32.4y s. e. g x, y x + y 7 Lagrangen funktio: L: R 3 R, L x, y, v 17.8x y 2 89.x 32.4y v x + y 7 Gradientin nollakohta: L x, y, v D x (L x, y, v ) D y (L x, y, v ) D v (L x, y, v ) 35.6x v 142.4y v x + y 7 x y v
11 Lagrangen menetelmä Reunustettu Hessen matriisi: ഥH v, x, y x y x x 2 y x y x y y D x (35.6x v) D y (35.6x v) 1 D x (142.4y v) D y (142.4y v) ഥH det ഥH < (esim. Excelissä) Rajoitettu funktio f x, y saavuttaa pisteessä x, y (4.3, 2.7) minimiarvonsa f 4.3, g/t Vrt. Viime luennolla laskettu rajoittamaton minimi: f 2.5, g/t 11
12 Lagrangen menetelmä Esim. Tuotannon arvon riippuvuutta työvoimasta x 1 (M ) ja fyysisestä pääomasta x 2 (M ) kuvaa Cobb- Douglas-tuotantofunktio f: f: R + R + R +, f x 1, x x 1.38 x 2.62 Miten 3 M kannattaa jakaa työvoiman ja pääoman kesken, jotta tuotannon arvo maksimoituisi? 12
13 Lagrangen menetelmä Maksimoidaan siis funktiota f x 1, x 2 g x 1, x 2 x 1 + x x 1.38 x 2.62 siten, että Lagrangen funktio: L x 1, x 2, v 2.28x 1.38 x v(x 1 + x 2 3) Gradientin nollakohta: L x 1, x 2, v D x1 (L x 1, x 2, v ) D x2 (L x 1, x 2, v ) D v (L x 1, x 2, v ) x 1.62 x v x 1.38 x v x 1 + x
14 Lagrangen menetelmä Kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä: x 1.62 x x 1.38 x 2.38 x x 1 Sijoitetaan kolmanteen yhtälöön: x x 1 3 x Tällöin x ja v Lagrangen funktion gradientin nollakohta on siis pisteessä x 1, x 2, v 11.4, 18.6, Mahdollinen ääriarvokohta funktiolle f x 1, x 2 on x 1, x ,
15 Lagrangen menetelmä Muodostetaan reunustettu Hessen matriisi: ഥH v, x 1, x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x D x1 (.8664x.62 1 x v) D x2 (.8664x.62 1 x v ) 1 D x1 (1.4136x 1.38 x v ) D x2 (1.4136x 1.38 x v ) ഥH v, x 1, x x x x x x 1.62 x x 1.38 x det ഥH v, x 1, x > maksimi Pisteessä x 1, x , 18.6 saavutetaan tuotannon maksimiarvo f x 1, x M 15
16 Presemo-kysymys Määritä funktion f x, y x 2 + y 2 2xy ääriarvokohta, kun x + y x, y,2 2. x, y 1,1 3. x, y 2,
17 Presemo-kysymys Määritä funktion f x, y x 2 + y 2 2xy reunustettu Hessen matriisi, kun x + y ഥH v, x, y 2. ഥH v, x, y 3. ഥH v, x, y Laske reunustetun Hessen matriisin determinantti (esim. Excelin MDETERMfunktiolla). Onko ääriarvokohdassa (1,1) funktion minimi vai maksimi?
18 Lagrangen funktion ja alkuperäisen funktion optimiarvot Huomaa, että ehto D v L x 1,, x n, v varmistaa rajoitteen g x 1,, x n toteutumisen: D v L x 1,, x n, v D v f x 1,, x n + vg x 1,, x n g x 1,, x n Ensimmäisessä esimerkissä: D v L x, y, v D v 17.8x y 2 89.x 32.4y v x + y 7 x + y 7. Toisessa esimerkissä: D v L x 1., x 2, v D v 2.28x.38 1 x v x 1 + x 2 3 x 1 + x 2 3. Tästä syystä alkuperäisen funktion ja Lagrangen funktion optimiarvot ovat samat: L x 1,, x n, v f x 1,, x n + v g x 1,, x n f x 1,, x n
19 Lagrangen kerroin ja varjohinta Usein yhtälörajoitteen voi kirjoittaa muotoon: g x 1,, x n g x 1,, x n c, missä c on jokin vakio Ensimmäisessä esimerkissä g x, y x + y 7 g x, y 7 missä g x, y x + y Toisessa esimerkissä g x 1, x 2 x 1 + x 2 3 g x 1, x 2 3, missä g x 1, x 2 x 1 + x 2 Tällöin L x 1,, x n, v f x 1,, x n + v( g x 1,, x n c), jolloin L c v Lagrangen kertoimen optimiarvon vastaluku v kuvaa siis Lagrangen funktion muutosnopeutta rajoitteen side-ehdon c suhteen Kuinka paljon funktion optimiarvo muuttuu, jos c c + 1? Lagrangen kertoimen vastaluku v on toisin sanoen rajoitteen g x 1,, x n c varjohinta 19
20 Lagrangen kerroin ja varjohinta Ensimmäisen esimerkin tapauksessa tehtävä oli minimoida myrkyn määrää, kun A:ta ja B:tä oli yhteensä 7 kg: min f x, y 17.8x y 2 89.x 32.4y s. e. g x, y x + y 7 Optimissa x, y, v (4.3, 2.7, 64.8) Varjohinta v 64.8: Myrkyn määrä kasvaa 64.8 g/t, kun side-ehto (A:n ja B:n yhteismäärä) muuttuu 7 kg/t 8 kg/t 2
21 Lagrangen kerroin ja varjohinta Toisen esimerkin tapauksessa tehtävänä oli maksimoida tuoton arvoa, kun työvoimaan ja pääomaan investoitiin yhteensä 3 M max f x 1, x x 1.38 x 2.62 s. e. g x 1, x 2 x 1 + x 2 3 Optimissa x 1, x 2, v 11.4, 18.6, 1.17 Varjohinta v 1.17: Tuotannon arvo kasvaa 1.17 M, kun kokonaisinvestointi kasvaa 3 M 31 M 21
22 Rajoitettu optimointi: Monta yhtälörajoitusta Esim. Tutkimuksen perusteella virvoitusjuoman kysynnän riippuvuutta sokerin x (kg/l), sitruunamehun y (mg/l) ja aromivahventeen z (g/l) määristä kuvaa funktio f: R 3 R, f x, y, z 4x 2 y 2 z 2 +.1xy.2xz +.22x y z Mitkä määrät sokeria, sitruunamehua ja aromivahvennetta maksimoivat kysynnän, kun 1. Sokeria ja aromivahvennetta tulee olla yhteensä 15 g/l ja 2. Sitruunamehua ja aromivahvennetta tulee olla yhteensä 6 mg/l? Optimointitehtävä: max f x, y, z 4x 2 y 2 z 2 +.1xy.2xz +.22x y z s.e. g 1 x, y, z 1x + z 15 g 2 x, y, z y + 1z 6 22
23 Lagrangen mentelemä Tehtävän min/max f(x 1,, x n ), g i x 1,, x n funktio L: R n+m R on i 1,, m Lagrangen L x 1,, x n, v 1,, v m f x 1,, x n + v i g i x 1,, x n m i1 Pätee: (x 1,, x n, v 1,, v m ) on tehtävän min/max L x 1,, x n, v 1,, v m optimiratkaisu (x 1,, x n ) on tehtävän min/max f(x 1,, x n ), g i x 1,, x n i 1,, m optimiratkaisu 23
24 Lagrangen menetelmä Esimerkkimme Lagrangen funktio L: R 5 R: L x, y, z, v 1, v 2 4x 2 y 2 z 2 +.1xy.2xz +.22x y z + +v 1 1x + z 15 + v 2 (y + 1z 6) Gradientin nollakohta (yhtälöryhmän ratkaisu jollakin ohjelmistolla): L x, y, z, v 1, v 2 8x +.1y.2z v 1 2y +.1x v 2 2z.2x v 1 + 1v 2 1x + z 15 y + 1z 6 x y z v 1 v Mahdollinen ääriarvokohta funktiolle f x, y, z on x, y, z.1494,7.474,
25 Lagrangen menetelmä Funktion L ääriarvokohdan (x 1,, x n, v 1,, v m ) laatu (minimi/maksimi) funktion f näkökulmasta voitaisiin päätellä reunustetusta Hessen matriisista: ഥH x 1,, x n ; v 1,, v m 1 m 1 m x n x n 1 1 x n m m x n 2 x n x n x 2 1 x n Tämä aihe jätetään kuitenkin tällä kurssilla käsittelemättä 25
26 Lagrangen menetelmä Virvoitusjuomaesimerkin funktion voidaan todeta saavuttavan ääriarvokohdassa maksiminsa sillä perusteella, että funktio on kunkin muuttujansa suhteen alaspäin aukeava paraabeli f x, y, z 4x 2 y 2 z 2 +.1xy.2xz +.22x y z Pisteessä x, y, z.1494,7.474,.5926 saavutetaan siis kysynnän maksimiarvo f x, y, z miljoonaa litraa/päivä Rajoittamaton optimi Rajoitettu optimi Sokeri (g/l) Sitruunamehu (mg/l) Aromivahvenne (mg/l) Kysyntä (Ml/päivä) Rajoitusten hinta: 1 litraa/päivä 26
27 Lagrangen funktion ja alkuperäisen funktion optimiarvot Huomaa, että ehdot D vi L x 1,, x n, v 1,, v m g i x 1,, x n toteutumisen: i varmistavat rajoitteiden D vi L x 1,, x n, v 1,, v m D vi f x 1,, x n + v i g i x 1,, x n g i x 1,, x n m i1 Tästä syystä alkuperäisen funktion ja Lagrangen funktion optimiarvot ovat samat: L x 1,, x n, v 1,, v m f x 1,, x n + v i g x 1,, x n m i1 f x 1,, x n 27
28 Lagrangen kerroin ja varjohinta Usein yhtälörajoitteet voi kirjoittaa muotoon: g i x 1,, x n g i x 1,, x n c i, missä c i on jokin vakio Esimerkin 1. rajoite: g 1 x, y, z 1x + z 15 g 1 x, y, z 15 missä g 1 x, y, z 1x + z Esimerkin 2. rajoite: g 2 x, y, z y + 1z 6 g 2 x, y, z 6, missä g 2 x, y, z y + 1z Tällöin L x 1,, x n, v 1,, v m f x 1,, x n + σ m i1 v i ( g i x 1,, x n c i ), jolloin L c i v i Lagrangen kertoimen optimiarvon vastaluku v i kuvaa siis Lagrangen funktion muutosnopeutta i. rajoitteen side-ehdon c i suhteen Kuinka paljon funktion optimiarvo muuttuu, jos c i c i + 1? Lagrangen kertoimen vastaluku v i on toisin sanoen rajoitteen g i x 1,, x n c i varjohinta 28
29 Lagrangen kerroin ja varjohinta Esimerkin tapauksessa tehtävänä oli maksimoida kysyntää, kun 1. Sokeria ja aromivahvennetta tuli olla yhteensä 15 g/l ja 2. Sitruunamehua ja aromivahvennetta tuli olla yhteensä 6 mg/l. max f x, y, z 4x 2 y 2 z 2 +.1xy.2xz +.22x y z s.e. g 1 x, y, z 1x + z 15 g 2 x, y, z y + 1z 6 Optimissa x, y, z, v 1, v , 7.474,.5926, , Varjohinta v : Päiväkysyntä vähenee 353 l, kun sokerin ja aromivahventeen yhteismäärä kasvaa 15 g/l 151 g/l Varjohinta v : Päiväkysyntä kasvaa 94.7 l, kun sitruunamehun ja aromivahventeen yhteismäärä kasvaa 6 mg/l 61 mg/l 29
30 Yhteenveto Kahden muuttujan ja yhden yhtälörajoitteen optimointitehtävä min/max f(x 1, x 2 ), g x 1, x 2 ratkaistaan 1. Muodostamalla Lagrangen funktio L x 1, x 2, v f x 1, x 2 + vg x 1, x 2 2. Määrittämällä Lagrangen funktion gradientin nollakohta x 1, x 2, v : L x 1, x 2, v 3. Muodostamalla reunustettu Hessen matriisi ഥH v, x 1, x 2 x 2 x2 1 x 2 x 2 x 2 x Tarkistamalla ääriarvon laatu reunustetun Hessen matriisin determinantin avulla: o Jos det ഥH v, x 1, x 2 >, funktio f saavuttaa maksiminsa pisteessä x 1, x 2 o Jos det ഥH v, x 1, x 2 <, funktio f saavuttaa miniminsä pisteessä x 1, x 2 Lagrangen kertoimen vastaluku v on rajoitteen varjohinta: kuinka paljon kohdefunktion arvo muuttuu, jos rajoitteen side-ehtoa kasvatetaan 1 yksiköllä?
31 Yhteenveto Yhtälörajoitteinen optimointitehtävä min/max f(x 1,, x n ), g i x 1,, x n i 1,, m ratkaistaan 1. Muodostamalla Lagrangen funktio L x 1,, x n, v 1,, v m f x 1,, x n + σ m i1 v i g i x 1,, x n 2. Ratkaisemalla Lagrangen funktion gradientin nollakohta L x 1,, x n, v 1,, v m 3. Tarkistamalla f:n mahdollisen ääriarvokohdan x 1,, x n laatu reunustetun Hessen matriisin avulla (ei käsitelty tarkasti) Lagrangen kertoimen vastaluku v i on i. rajoitteen varjohinta: kuinka paljon kohdefunktion arvo muuttuu, jos i. rajoitteen side-ehtoa kasvatetaan 1 yksiköllä? Usean rajoitteen tehtävää ei välikokeessa/tentissä tarvitse osata ratkaista, mutta periaatteet tulee ymmärtää 31
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia:
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
Lisätiedot5 Usean muuttujan differentiaalilaskentaa
5 Usean muuttujan differentiaalilaskentaa Edellä on jo käsitelty monia funktioita, joissa lähtö- (ja/tai) maalijoukko on useampi- kuin 1-ulotteinen: Esim. A-, B- ja C-raaka-ainemäärien yhdistelmien x =
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to
Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40 Alkuviikolla harjoitustehtäviä lasketaan harjoitustilaisuudessa. Loppuviikolla näiden harjoitustehtävien tulee olla ratkaistuina harjoituksiin
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta ja gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta ja gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto Aiemmilla luennoilla Tähän mennessä olemme tarkastelleet Erilaisia
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
Lisätiedotb 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 18. Kertaus luennoista 11-17
Talousmatematiikan perusteet: Luento 18 Kertaus luennoista 11-17 Luennon sisältö Kertausluennolla käydään lyhyesti läpi kunkin 2. välikoealueeseen kuuluvan luennon ydinsisältö Täydellinen valmistautuminen
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 12. Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta Gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta Gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto Aiemmilla luennoilla Tähän mennessä olemme tarkastelleet Erilaisia
LisätiedotMatriisit ja optimointi kauppatieteilijöille P
Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille 802160P Luentomoniste Kari Myllylä Niina Korteslahti Topi Törmä Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Kevät 2017 Sisältö 1 Matriisialgebra 3 11 Määritelmä
LisätiedotMatriisit ja optimointi kauppatieteilijöille P
Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille 802160P Luentomoniste Kari Myllylä Niina Korteslahti Topi Törmä Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Kevät 2018 Sisältö 1 Matriisialgebra 3 11 Määritelmä
Lisätiedot1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100
HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotMatematiikkaa kauppatieteilijöille
Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 5A Vastaukset alkuviikolla
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion
LisätiedotPiiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R
Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x
Lisätiedotf(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu:
LisätiedotMalliratkaisut Demo 1
Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,
LisätiedotFunktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,
Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman
LisätiedotHarjoitus 8: Excel - Optimointi
Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotLuento 4: Lineaarisen tehtävän duaali
Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea
LisätiedotTilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R,
Vektorianalyysi Harjoitus 9, Ratkaisuehdotuksia Anssi Mirka Tehtävä 1. ([Martio, 3.4:1]) Millä suoralla sylinterillä, jonka tilavuus on V > on pienin vaipan ja pohjan yhteenlaskettu pinta-ala? Ratkaisu
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMalliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotOptimaalisuusehdot. Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0
Optimaalisuusehdot Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0 i = 1,..., m j = 1,..., l missä f : R n R, g i : R n R kaikilla i = 1,..., m, ja h j : R n R kaikilla j = 1,..., l
LisätiedotMikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.
4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa
LisätiedotLuento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja
LisätiedotLuento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli Esimerkki. Maalitehdas valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M1 ja M2. Sisämaalin maksimikysyntä on 2 tonnia/päivä. Sisämaalin
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina
Taloustieteen mat.menetelmät syksy27 materiaali II-2 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina. Tuotanto Yritys valmistaa yhtä tuotetta n:stä tuotannontekijästä/panoksesta
LisätiedotOsakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.
LisätiedotÄänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
LisätiedotLuento 6: Monitavoitteinen optimointi
Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f
Lisätiedotja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
Lisätiedot6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 6. Luennon sisältö Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa työkalu ratkaisun analysointiin Jälki- ja herkkyysanalyysiä mitä tapahtuu optimiratkaisulle, jos tehtävän vakiot hieman muuttuvat
LisätiedotLuento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento : Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli simerkki: Maalifirma Sateenkaari valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M ja M. Sisämaalin maksimikysyntä on tonnia/päivä.
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Johdanto. Kurssin tavoitteet Käytännön järjestelyt Suosituksia suorittamiseen
Talousmatematiikan perusteet: Johdanto Kurssin tavoitteet Käytännön järjestelyt Suosituksia suorittamiseen Kurssin tavoitteet Matematiikkaa hyödynnetään monilla kauppa- ja taloustieteen osaalueilla Esim.
Lisätiedot= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.
HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi III - epäyhtälörajoitteet, teoriaa
Taloustieteen mat.menetelmät syksy27 materiaali II-3 Rajoitettu optimointi III - epäyhtälörajoitteet, teoriaa. Perustehtävä Maksimoi f(x) ehdoilla g i (x), i = ; : : : ; k tässä f; g i : R n 7! R, i =
Lisätiedot3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?
Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
Lisätiedotx = (1 t)x 1 + tx 2 x 1 x 2
4 Konveksisuus ja ääriarvot Palautan mieliin, että R:n välillä I derivoituvaa funktiota sanottiin konveksiksi (alaspäin kuperaksi), jos käyrä y = f(x) on välillä I jokaisen tangenttisuoransa yläpuolella
LisätiedotMalliratkaisut Demot 6,
Malliratkaisut Demot 6, 19.2.21 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös
LisätiedotJuuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x
Lisätiedot4 (x 1)(y 3) (y 3) (x 1)(y 3)3 5 3
. Taylorin polynomi; funktion ääriarvot.1. Taylorin polynomi 94. Kehitä funktio f (x,y) = x 2 y Taylorin polynomiksi kehityskeskuksena piste ( 1,2) a) laskemalla osittaisderivaatat, b) kirjoittamalla muuttujat
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 2.2.217 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös muotoon
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 3. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän sallittu alue Optimointitehtävien muunnoksia Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisut Lineaarisen optimointitehtävän
LisätiedotMat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
LisätiedotVektorilaskenta, tentti
Vektorilaskenta, tentti 27102017 Tentin kesto n 3 tuntia Vastaa NELJÄÄN tehtävään Jos vastaat kaikkiin, niin neljä PARASTA otetaan huomioon Kuvat vievät tilaa, joten muista kurkistaa paperin toiselle puolelle
Lisätiedotja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)
LisätiedotTEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio. Kimmo Berg. Mat Optimointioppi. 9. harjoitus - ratkaisut
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 9. harjoitus - ratkaisut 1. a) Viivahakutehtävä pisteessä x suuntaan d on missä min f(x + λd), λ f(x + λd) = (x
LisätiedotMAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 10.4.2017 Tehtävä 1 x 2 7 0,7 9,8 6 5 4 x 1 x 2 7 x 1 x 2 1 3 2 x 1 0 4,3 x 1 9 1 0,0 x 2 0 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S Optimointitehtävän sallittu
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
LisätiedotLuento 9: Newtonin iteraation sovellus: optimointiongelma
Luento 9: Newtonin iteraation sovellus: optimointiongelma ilman rajoitusehtoja Optimointiongelmassa tehtävänä on löytää annetun reaaliarvoisen jatkuvan funktion f(x 1,x,,x n ) maksimi tai minimi jossain
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotMatematiikka B1 - avoin yliopisto
28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan
LisätiedotINFO / Matemaattinen Analyysi, k2016, L0
INFO / Matemaattinen Analyysi, k2016, L0 orms1010, Aikataulu 1 kevät 2016 ORMS1010 Matemaattinen analyysi, luennot Ke 14-16 Viikot 09-10 salissa F119 Ke 14-16 Viikot 11 salissa F140 Ke 14-16 Viikot 13-18
LisätiedotMalliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) () = 2+1. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että minimoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) () = (suurin kokonaisluku
LisätiedotMatriisit ja optimointi kauppatieteilijöille
Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille Harjoitus 4, kevät 2019 1. a) f(x) = x 3 6x 2 + 9x + 1, 3 x 3 Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva. Funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) vasemman puolen
Lisätiedot1. Lineaarinen optimointi
0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on
LisätiedotDuaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen
Lisätiedotlnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0
BM0A580 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 05. (a) (b) ln = sin(t π ) t π t π = = 0 = = cos(t π = ) = 0 t π (c) e [ = ] = = e e 3 = e = 0 = 0 (d) (e) 3 3 + 6 + 8 + 6 5 + 4 4 + 4
LisätiedotOptimointi. Mitri Kitti
Optimointi Mitri Kitti Kevät 2013 Sisältö 1 Johdanto 4 1.1 Peruskäsitteet.................................. 4 1.1.1 Optimointitehtävä........................... 4 1.1.2 Optimi.................................
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle.
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 9 1. Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle. Tilayhtälö on x k+1 = f k (x k, u k ), k = 1,..., N 1 alkuehdolla
LisätiedotLineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
Lisätiedot