Vektorilaskenta. Luennot / 66. Vektorilaskenta Lineaarikuvauksen vaikutus mittaan Sijoitus integraaliin.

Save this PDF as:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Vektorilaskenta. Luennot / 66. Vektorilaskenta Lineaarikuvauksen vaikutus mittaan Sijoitus integraaliin."

Transkriptio

1 Luennot / 66

2 Mitta Yleistä Laatikko Venytys Venytys, 2 Rivin lisääminen toiseen Rivien vaihto 2 / 66

3 Mitta Mitta Yleistä Laatikko Venytys Venytys, 2 Rivin lisääminen toiseen Rivien vaihto Aiemmin määrittelimme mitan avaruuden R n väleille yksinkertaisesti säännöllä m([a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ]) = m (b i a i ). Yleisemmin rajoitetun joukon A R n mitta voidaan määritellä vakiofunktion 1 integraalina yli joukon A (mikäli ko. integraali on olemassa), ks. Esimerkki 4.E. Tällöin itse asiassa joukkoa A approksimoidaan sen sisäja ulkopuolilta välien unioneilla (mieti, miten nämä liittyvät funktion 1 A ylä- ja alasummiin). Mitta- ja integrointiteorian kursseilla mittojen käsitteeseen ja niiden ominaisuuksiin perehdytään laajemmin. Tällä kurssilla riittää ajatella avaruuden R 2 mitan kertovan joukon A pinta-alan, ja avaruuden R 3 mitta puolestaan kertoo osajoukon tilavuuden. i=1 3 / 66

4 Yleistä Mitta Yleistä Laatikko Venytys Venytys, 2 Rivin lisääminen toiseen Rivien vaihto Olkoon T : R n R n lineaarikuvaus ja A sen matriisi. Jatkoa varten tarvitsemme tuloksen, jonka mukaan osajoukon I R n mitta muuntuu lineaarikuvauksessa seuraavan yksinkertaisen säännön mukaisesti: m(t(i)) = det(a) m(i). Approksimointi ja suppiloperiaate johtavat siihen, että riittää perustella tämä sääntö kun I on väli. Koska kaikki matriisit saadaan alkeismatriisien tuloina, niin riittää perustella tämä, kun A on alkeismatriisi. 4 / 66

5 Laatikko Mitta Yleistä Laatikko Venytys Venytys, 2 Rivin lisääminen toiseen Rivien vaihto PSfrag replacements b A = I 2 a Identiteettikuvaus tietenkin pitää laatikon pinta-alan ennallaan. Tämä referenssinä. 5 / 66

6 Venytys Mitta Yleistä Laatikko Venytys Venytys, 2 Rivin lisääminen toiseen Rivien vaihto PSfrag replacements b A = ( c ) a Diagonaalimatriisi, jossa yksi kerroin c 1 venyttää alueen c-kertaiseksi. Myös det A = c. 6 / 66

7 Venytys, 2 Mitta Yleistä Laatikko Venytys Venytys, 2 Rivin lisääminen toiseen Rivien vaihto PSfrag replacements b A = ( c ) a On samantekevää, minkä akselin suuntaan venytys tehdään. Pinta-ala joka tapauksessa c-kertaistuu. 7 / 66

8 Rivin lisääminen toiseen Mitta Yleistä Laatikko Venytys Venytys, 2 Rivin lisääminen toiseen Rivien vaihto PSfrag replacements b A = ( 1 c 0 1 ) a Alkeismatriisi, jossa yksi rivi on lisätty toiseen vakiolla kerrottuna kuvaa suorakaiteen suunnikkaaksi, jolla on sama kanta ja korkeus. Tässä det A = 1, joten pinta-alan pitikin säilyä. 8 / 66

9 Rivien vaihto Mitta Yleistä Laatikko Venytys Venytys, 2 Rivin lisääminen toiseen Rivien vaihto PSfrag replacements b A = ( ) a Kahden koordinaatin roolien vaihtaminen ei tietenkään muuta pinta-alaa. Geometrisesti kyse on peilauksesta det A = 1 on itseisarvoltaan yksi. 9 / 66

10 Yleistä Jacobi Mitta-alkio Tulos 10 / 66

11 Yleistä Yleistä Jacobi Mitta-alkio Tulos Muunnetaan funktion f integraali yli joukon U integraaliksi yli joukon V tekemällä sijoitus x = g(y), missä g : V U on bijektio (ainakin), kun se rajoitetaan funktioksi g : V U. Uudeksi integroitavaksi funktioksi tulee f g, mutta... lisäksi on otettava huomioon, että sijoitus muuttaa joukon V osavälien I mittoja. Yhden muuttujan tapauksessa sijoitusfunktio g muuttaa pisteen y lähistöllä olevan välin, pituus dy, väliksi jonka pituus on g (y) dy. Tällöin U f(x) dx = V (f g)(y) g (y) dy. Tässä usein (lukio, Analyysi II) derivaatan g (y) mahdollinen negatiivisuus otetaan huomioon vaihtamalla integroimisrajat keskenään. 11 / 66

12 Jacobin determinantti Yleistä Jacobi Mitta-alkio Tulos Jos tässä g onkin differentioituva kuvaua R n :n osajoukosta toiseen, niin: "Lokaalisti"g:n muutoksia voidaan arvioida sen lineaarisen derivaatan avulla. Näin ollen pisteen y lähellä "pienen"alueen I mitta tulee kerrottua lineaarisen derivaatan D(g)(y) determinantilla, ns. Jacobin determinantilla: g 1 g y 1 (y) 1 g y 2 (y) 1 y n (y) g 2 g y 1 (y) 2 g y 2 (y) 2 y n (y) g n g y 1 (y) n g y 2 (y) n y n (y) Siitä käytetään merkintää J g (y) = (x 1, x 2,..., x n ) (y 1, y 2,..., y n ). 12 / 66

13 Mitta-alkio Yleistä Jacobi Mitta-alkio Tulos Kun tehdään sijoitus x = g(y), niin lähtöavaruuden pieni väli I = [y 1, y 1 + dy 1 ] [y 2, y 2 + dy 2 ] [y n, y n + dy n ], mitaltaan m(i) = dy 1 dy 2 dy n kuvautuu hieman vääristyneeksi joukoksi g(i). Kun välin mittasuhteet ovat kaikki pieniä, niin kuvajoukkoa voidaan approksimoida n-särmiöllä, jonka reunoina ovat vektorit Dg(y)(dy i e i ), i = 1, 2,..., n. Tämän laatikon, ns. tilavuusalkion mitta on siten m(g(i)) = J g (y) m(i). Näitä vastaavat kuvat helpottavat (ainakin Jyrkin mielestä) muistamista, vaikka jättävätkin epätäsmällisen vaikutelman. Esittelen näitä alla usein vastaan tulevissa yhteyksissä. 13 / 66

14 Tulos Yleistä Jacobi Mitta-alkio Tulos Lause: ( ). Oletetaan, että B, A R n ja g : B A on differentioituva funktio (joka on nollajoukon ulkopuolelle bijektio). Oletetaan, että f : A R on integroituva funktio. Tällöin f(x) dx 1 dx 2 dx n = f(g(y)) J g (y) dy 1 dy 2 dy n. A B Todistus: Sivuutetaan. Idea on että ala- ja yläsummien pylväiden korkeudet eivät muutu, mutta niiden pohjien mitat skaalataan Jacobin determinantilla. Oletus funktion g bijektiivisyydestä tarvitaan, jotta x käy läpi alueen A tasan yhden kerran kun y käy läpi alueen B. Sallimme bijektiivisyyden särkyvän nollajoukossa, koska nollajoukon jättäminen huomiotta ei muuta integraalin arvoa. 14 / 66

15 Polaari Pinta-alkio Esimerkki 5.A1 Esimerkki 5.A2 Esimerkki 5.A3 Esimerkki 5.A4 Esimerkki 5.A5 Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5.B3 15 / 66

16 Polaari Pinta-alkio Esimerkki 5.A1 Esimerkki 5.A2 Esimerkki 5.A3 Esimerkki 5.A4 Esimerkki 5.A5 Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5.B3 Usein esiintyvät sijoitukset ovat koordinaatistomuunnoksia. Tasossa on luontevaa käyttää usein napakoordinaatteja, jolloin x = r cos φ, y = r sin φ. Tällöin x 2 + y 2 = r 2, ja tan φ = y/x. Osittaisderivoimalla saadaan koordinaatistonvaihtofunktion g(r, φ) = (r cos φ, r sin φ) Jacobin matriisiksi Dg(r, φ) = ( cos φ r sin φ sin φ r cos φ mistä laskemalla saadaan Jacobin determinantiksi (x, y)/ (r, φ) = r. ), 16 / 66

17 Pinta-alkio Polaari Pinta-alkio Esimerkki 5.A1 Esimerkki 5.A2 Esimerkki 5.A3 Esimerkki 5.A4 Esimerkki 5.A5 Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5.B3 PSfrag replacements y dφ da r dφ dr r x Kätevä sääntö Jacobin determinantin muistamiseksi on käyttää ns. pinta-alkioita. Kapeiden pylväiden pohjien ala da, mikä karteesisissa koordinaateissa on da = dx dy, saa nyt muodon da = r dr dφ. Oheisen kuvan da on (pinkki) suorakaide, jonka toinen sivu on dr ja toinen r dφ. 17 / 66

18 Esimerkki 5.A1 Polaari Pinta-alkio Esimerkki 5.A1 Esimerkki 5.A2 Esimerkki 5.A3 Esimerkki 5.A4 Esimerkki 5.A5 Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5.B3 Uskon vahvistamiseksi lasketaan R-säteisen puolipallon tilavuus napakoordinaatti-integraalin avulla. Origokeskisen pallon yhtälö on x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Tästä ratkaisemme z = f(x, y) = R 2 (x 2 + y 2 ). Puolipallon tilavuus saadaan siis integraalista V = R 2 (x 2 + y 2 ) dx dy, A missä A on R-säteinen origokeskinen ympyrä. 18 / 66

19 Esimerkki 5.A2 Polaari Pinta-alkio Esimerkki 5.A1 Esimerkki 5.A2 Esimerkki 5.A3 Esimerkki 5.A4 Esimerkki 5.A5 Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5.B3 Kuva integroimisalueesta A PSfrag replacements y R R x 19 / 66

20 Esimerkki 5.A3 Polaari Pinta-alkio Esimerkki 5.A1 Esimerkki 5.A2 Esimerkki 5.A3 Esimerkki 5.A4 Esimerkki 5.A5 Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5.B3 Tehdään napakoordinaattisijoitus x = r cos φ, y = r sin φ, x 2 + y 2 = r 2, dx dy = r dr dφ. Tässä sijoituksessa rφ-tason väli B = {(φ, r) 0 r R, 0 φ 2π} kuvautuu alkuperäiseksi integroimisalueeksi A. 20 / 66

21 Esimerkki 5.A4 Polaari Pinta-alkio Esimerkki 5.A1 Esimerkki 5.A2 Esimerkki 5.A3 Esimerkki 5.A4 Esimerkki 5.A5 Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5.B3 Kuva uudesta integroimisalueesta B PSfrag replacements r R 2π φ 21 / 66

22 Esimerkki 5.A5 Polaari Pinta-alkio Esimerkki 5.A1 Esimerkki 5.A2 Esimerkki 5.A3 Esimerkki 5.A4 Esimerkki 5.A5 Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5.B3 Napakoordinaateissa integroimisalue on siis väli, joten iteroitu integraali on suoraviivainen V = r R 2 r 2 dr dφ B ( 2π ) R = r(r 2 r 2 ) dr dφ = = φ=0 2π φ=0 2π φ=0 = 2πR3 3 R r=0 R 3 r=0 ( 3 dφ. 1 2 (R2 r 2 ) 3/2 3/2 Tämä on tietenkin koulusta tuttu puolipallon tilavuus. ) dφ 22 / 66

23 Esimerkki 5.B1 Polaari Pinta-alkio Esimerkki 5.A1 Esimerkki 5.A2 Esimerkki 5.A3 Esimerkki 5.A4 Esimerkki 5.A5 Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5.B3 Olkoon A ympyrän r = cos φ, 0 φ π/2, sisäosa (vrt. demotehtävä III/1). Lasketaan integraali I = A x 3 dx dy. Ratkaisu: Tällä kertaa levyn A pisteet käydään läpi, kun napakoordinaatit käyvät läpi joukon B = {(φ, r) π/2 φ φ, 0 r cos φ}. 23 / 66

24 Esimerkki 5.B2 Polaari Pinta-alkio Esimerkki 5.A1 Esimerkki 5.A2 Esimerkki 5.A3 Esimerkki 5.A4 Esimerkki 5.A5 Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5.B3 Kuva uudesta integroimisalueesta B. Edelleen φ vaaka-akselilla ja r pystyakselilla Koska x 3 = r 3 cos 3 φ, kysytty integraali saadaan siis iteroituna integraalina I = π/2 φ= π/2 ( ) cos φ (r 3 cos 3 φ)r dr dφ r=0 24 / 66

25 Esimerkki 5.B3 Polaari Pinta-alkio Esimerkki 5.A1 Esimerkki 5.A2 Esimerkki 5.A3 Esimerkki 5.A4 Esimerkki 5.A5 Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5.B3 I = = = = 2 5 π/2 φ= π/2 π/2 φ= π/2 π/2 φ= π/2 π/2 φ=0 cos 3 φ cos 3 φ ( ( cos φ r=0 cos φ r=0 1 5 cos8 φ dφ cos 8 φ dφ = π 2 = 7π/128. r 5 5 r 4 dr Lopussa käytimme kosinin parillisuutta ja kaava-arkin kaavaa integraalille π/2 0 cos 8 x dx. ) ) dφ dφ 25 / 66

26 Esimerkki 5.C1 Esimerkki 5.C2 Esimerkki 5.C3 Esimerkki 5.C4 Esimerkki 5.D1 Esimerkki 5.D2 Esimerkki 5.D3 Esimerkki 5.D4 Esimerkki 5.D5 Esimerkki 5.D6 Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 26 / 66

27 Esimerkki 5.C1 Selitä, miksi napakoordinaattiyhtälö r(φ) = sin 2φ vastaa oheisen kuvan neliapilaa. Laske neliapilan yhden terälehden pinta-ala. Y Esimerkki 5.C1 Esimerkki 5.C2 Esimerkki 5.C3 Esimerkki 5.C4 Esimerkki 5.D1 Esimerkki 5.D2 Esimerkki 5.D3 Esimerkki 5.D4 Esimerkki 5.D5 Esimerkki 5.D6 Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E X 27 / 66

28 Esimerkki 5.C2 Esimerkki 5.C1 Esimerkki 5.C2 Esimerkki 5.C3 Esimerkki 5.C4 Esimerkki 5.D1 Esimerkki 5.D2 Esimerkki 5.D3 Esimerkki 5.D4 Esimerkki 5.D5 Esimerkki 5.D6 Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Kyseisen käyrän pisteitä (x, y) saadaan sijoittamalla suuntakulman φ arvoja yhtälöihin x = r cos φ = sin 2φ cos φ y = r sin φ = sin 2φ sin φ. Kun tässä φ kasvaa 0 π/4, niin sin 2φ kasvaa 0 1, eli sektorissa φ [0, π/4] käyrä vähitellen etääntyy origosta etäisyydelle 1. Kun φ edelleen kasvaa π/4 π/2, niin sin 2φ vähenee 1 0. Sektorissa φ [π/4, π/2] käyrä siis palaa takaisin origoon kuvan mukaisesti. Kun φ [π/2, π] funktio sin 2φ muuttuu Erityisesti sen arvot ovat tällä välillä negatiivisia. Yo. kaavat tuottavatkin sitten 4. neljänneksessä muodoltaan samanlaisen lehden. Kun φ käy läpi välin [0, 2π] saadaan koko neliapila. 28 / 66

29 Esimerkki 5.C3 Esimerkki 5.C1 Esimerkki 5.C2 Esimerkki 5.C3 Esimerkki 5.C4 Esimerkki 5.D1 Esimerkki 5.D2 Esimerkki 5.D3 Esimerkki 5.D4 Esimerkki 5.D5 Esimerkki 5.D6 Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Olkoon L ensimmäisen neljänneksen terälehti. Sen koko reunakäyrä saadaan, kun φ [0, π/2], ja joukossa L 0 r sin 2φ. Tämä onkin räätälöity Fubinin lauseen käyttöä varten napakoordinaateissa! Alueen L pinta-ala saadaan siis integraalista. L 1 = = = π/2 φ=0 π/2 φ=0 π/2 φ=0 ( sin 2φ r=0 sin 2φ r=0 r dr r 2 2 dφ 1 2 sin2 2φ dφ. ) dφ 29 / 66

30 Esimerkki 5.C4 Esimerkki 5.C1 Esimerkki 5.C2 Esimerkki 5.C3 Esimerkki 5.C4 Esimerkki 5.D1 Esimerkki 5.D2 Esimerkki 5.D3 Esimerkki 5.D4 Esimerkki 5.D5 Esimerkki 5.D6 Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Käytetään kaavaa sin 2φ = 2 sin φ cos φ. Integroitavaksi jää 1 2 sin2 2φ = 2 sin 2 φ cos 2 φ = 2 sin 2 φ 2 sin 4 φ. Kaava-arkin mukaan π/2 0 sin 2 x dx = π/4 ja π/2 0 sin 4 x dx = 3π/16, joten vastaukseksi saadaan A(L) = 2 π 4 2 3π 16 = π / 66

31 Esimerkki 5.D1 Esimerkki 5.C1 Esimerkki 5.C2 Esimerkki 5.C3 Esimerkki 5.C4 Esimerkki 5.D1 Esimerkki 5.D2 Esimerkki 5.D3 Esimerkki 5.D4 Esimerkki 5.D5 Esimerkki 5.D6 Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Tehtävä: Kuvasta näemme (tai harjoitustehtävänä), että ellipsillä x 2 + xy + y 2 = molemmat koordinaatit on rajattu välille x, y [ 2, 2]. Näin ollen ellipsin sisällä ja reunalla funktio z = z(x, y) = 4 x 2 saa vain ei-negatiivisia arvoja, joten sen kuvaaja ellipsin sisäalueen päällä rajaa erään kappaleen. Laske sen tilavuus. 31 / 66

32 Esimerkki 5.D2 Esimerkki 5.C1 Esimerkki 5.C2 Esimerkki 5.C3 Esimerkki 5.C4 Esimerkki 5.D1 Esimerkki 5.D2 Esimerkki 5.D3 Esimerkki 5.D4 Esimerkki 5.D5 Esimerkki 5.D6 Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 32 / 66

33 Esimerkki 5.D3 Esimerkki 5.C1 Esimerkki 5.C2 Esimerkki 5.C3 Esimerkki 5.C4 Esimerkki 5.D1 Esimerkki 5.D2 Esimerkki 5.D3 Esimerkki 5.D4 Esimerkki 5.D5 Esimerkki 5.D6 Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Olkoon E ellipsin sisäalue reunoineen. Kysytty tilavuus on V = (4 x 2 ) dx dy. E On monta tapaa edetä. Yksi on yksinkertaistaa integroimisalue helpommin käsiteltävään muotoon. Diagonalisoidaan ensin sen määrittelevä neliömuoto. Viime viikolla näimme, että muuttujien u = (x + y)/ 2 ja v = (x y)/ 2 avulla kirjoitettuna x 2 + xy + y 2 3 3u 2 + v 2 6. Tässä x = (u + v)/ 2 ja y = (u v)/ / 66

34 Esimerkki 5.D4 Esimerkki 5.C1 Esimerkki 5.C2 Esimerkki 5.C3 Esimerkki 5.C4 Esimerkki 5.D1 Esimerkki 5.D2 Esimerkki 5.D3 Esimerkki 5.D4 Esimerkki 5.D5 Esimerkki 5.D6 Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Näin ollen ( ( (x, y) (u, v) = det )) Jacobin determinantti on siis vakio 1, itseisarvoltaan 1. Jos merkitsemme E :lla ellipsin 3u 2 + v 2 = 6 sisäaluetta, niin saimme ( ) (u + v)2 V = 4 du dv. 2 E Skaalataan seuraavaksi ellipsi ympyräksi sijoituksella 3u = w. Tällöin u = w/ 3, joten du = dw/ 3, ja V = 1 3 w 2 +v 2 6 ( 4 w2 6 vw v ) dw dv. 34 / 66

35 Esimerkki 5.D5 Esimerkki 5.C1 Esimerkki 5.C2 Esimerkki 5.C3 Esimerkki 5.C4 Esimerkki 5.D1 Esimerkki 5.D2 Esimerkki 5.D3 Esimerkki 5.D4 Esimerkki 5.D5 Esimerkki 5.D6 Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Lopuksi siirrytään napakoordinaatteihin sijoituksella w = r cos φ, v = r sin φ, v 2 + w 2 = r 2, jolloin (v, w)/ (r, φ) = r. Integroimisalue on vw-tason origokeskinen ympyrä, joten φ [0, 2π] muuttujan r arvosta riippumatta: V = r=0 2π φ=0 ( 4 r 2 ( sin 2 φ 2 + sin φ cos φ 3 )) + cos2 φ r dφ dr 6 Tässä sisäintegraaleina esiintyvä trigonometriset integraalit ovat tunnetusti 2π 2π 2π cos 2 φ dφ = π = sin 2 φ dφ, sin φ cos φ dφ = / 66

36 Esimerkki 5.D6 Esimerkki 5.C1 Esimerkki 5.C2 Esimerkki 5.C3 Esimerkki 5.C4 Esimerkki 5.D1 Esimerkki 5.D2 Esimerkki 5.D3 Esimerkki 5.D4 Esimerkki 5.D5 Esimerkki 5.D6 Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Saadaan siis seuraava suoraviivainen ulompi integraali, joka antaa vastaukseksi V = 1 ( ) 6 π 8r 2r3 dr = 6 3π. 3 3 r=0 Jälkitarkastelu: Vaiheita oli useita, joten virheriskin pienentämiseksi tehdään lopuksi suuruusluokka-arvio. Ellipsin puoliakselit olivat pituudeltaan a = 6 ja b = 2, joten sen ala on A = πab = π 12 = 2 3π. Jos siis sen päällä oleva kappale olisikin lieriö, jonka korkeus on h = 3, niin senkin tilavuus olisi V 2 = Ah = 6 3π. Kuvan perusteella on hyvin uskottavaa, että tarkasteltavan kappaleen keskimääräinen korkeus on kolme. Saamamme vastaus on siis ainakin järkevää suuruusluokkaa. 36 / 66

37 Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.C1 Esimerkki 5.C2 Esimerkki 5.C3 Esimerkki 5.C4 Esimerkki 5.D1 Esimerkki 5.D2 Esimerkki 5.D3 Esimerkki 5.D4 Esimerkki 5.D5 Esimerkki 5.D6 Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Perustellaan todennäköisyyslaskennassa usein tarvittava epäoleellinen integraali e x2 dx = π napakoordinaattien avulla. Ratkaisu: Olkoon M > 0 parametri (joka myöhemmin ). Merkitään I(M) = M M e x2 dx. Y (M) = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 M 2 }. S(M) = {(x, y) R 2 x, y [ M, M]}. 37 / 66

38 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.C1 Esimerkki 5.C2 Esimerkki 5.C3 Esimerkki 5.C4 Esimerkki 5.D1 Esimerkki 5.D2 Esimerkki 5.D3 Esimerkki 5.D4 Esimerkki 5.D5 Esimerkki 5.D6 Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Tässä siis Y (M) on tason origokeskinen ympyrälevy, säde M. Vastaavasti S(M) on origokeskinen neliö, jonka sivun pituus on 2M. Lähtökohtana on havainto, joka perustuu vakion siirtosäännön käyttöön ja Fubinin lauseeseen: I(M) 2 = = = = ( M M x= M x= M M x= M e x2 dx e x2 ( M ( M (x,y) S(M) y= M ) ( M y= M y= M e y2 dy e x2 e y2 dy e (x2 +y 2) dy dx. e y2 dy ) ) dx dx ) 38 / 66

39 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.C1 Esimerkki 5.C2 Esimerkki 5.C3 Esimerkki 5.C4 Esimerkki 5.D1 Esimerkki 5.D2 Esimerkki 5.D3 Esimerkki 5.D4 Esimerkki 5.D5 Esimerkki 5.D6 Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Koska funktio f(x, y) = e (x2 +y 2) > 0 kaikkialla, ja Y (M) S(M) Y ( 2M) saamme epäyhtälöketjun (x,y) Y (M) f < (x,y) S(M) 39 / 66 f < (x,y) Y ( 2M) Laskemme seuraavaksi napakoordinaattien avulla integraalin Y (M) f. Tässä f(x, y) = e x2 y 2 = e r2, dx dy = r dr dφ. Alue Y (M) tulee käytyä läpi, kun 0 r M ja 0 φ 2π. Siis Y (M) f = = = 2π φ=0 2π φ=0 2π φ=0 M r=0 M r=0 re r2 dr dφ ( 1 2 e r2 ) dφ f. 1 2 (1 e M 2 ) dφ = π(1 e M 2 ).

40 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.C1 Esimerkki 5.C2 Esimerkki 5.C3 Esimerkki 5.C4 Esimerkki 5.D1 Esimerkki 5.D2 Esimerkki 5.D3 Esimerkki 5.D4 Esimerkki 5.D5 Esimerkki 5.D6 Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Tässä käytimme määräämätöntä integraalia xe x2 dx = 1 2 e x2, minkä voi helposti tarkistaa derivoimalla ketjusäännön avulla. Tuloksestamme seuraa, että Y (M) f π kun M. Näin ollen Sandwich-periaatteen nojalla lim I(M) = π. M 40 / 66

41 Cylinder Tilavuusalkio 1 Tilavuusalkio 2 Esimerkki 5.F1 Esimerkki 5.F2 41 / 66

42 Cylinder Tilavuusalkio 1 Tilavuusalkio 2 Esimerkki 5.F1 Esimerkki 5.F2 Sylinterikoordinaatteja (r, φ, z) käytettäessä avaruuden R 3 pisteitä parametrisoidaan siten, että xy-koordinaatit korvataan napakoordinaateilla, mutta z-koordinaatin annetaan olla ennallaan. Koordinaatistonmuunnosfunktion g(r, φ, z) = (r cos φ, r sin φ, z) Jacobin matriisiksi saadaan osittaisderivoimalla cos φ r sin φ 0 Dg = sin φ r cos φ Kehittämällä viimeisen vaakarivin mukaan saadaan Jacobin determinantiksi (x, y, z)/ (r, φ, z) = r. 42 / 66

43 Tilavuusalkio 1 Cylinder Tilavuusalkio 1 Tilavuusalkio 2 Esimerkki 5.F1 Esimerkki 5.F2 3-kertaisissa integraaleissa pinta-alkion Jacobin determinantin visualisointina korvaa tilavuusalkio. Karteesisissa koordinaateissa tilavuusalkio (=väli) on suorakulmainen särmiö dv = dx dy dz, mikä sylinterikoordinaateissa korvautuu hieman vääristyneellä laatikolla, jonka sivut ovat pituudeltaan dr, r dφ ja dz. Demotehtävässä III/3 näimme, että napakoordinaatteja käytettäessä pinta-alkion sivut ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Sama pätee siis sylinterikoordinaateille, joten seuraavan kalvon tilavuusalkion mitta on dv = r dr dφ dz. 43 / 66

44 Tilavuusalkio 2 Cylinder Tilavuusalkio 1 Tilavuusalkio 2 Esimerkki 5.F1 Esimerkki 5.F2 44 / 66

45 Esimerkki 5.F1 Cylinder Tilavuusalkio 1 Tilavuusalkio 2 Esimerkki 5.F1 Esimerkki 5.F2 Napa- tai sylinterikoordinaattien käyttö on usein indikoitu, kun suure x 2 + y 2 esiintyy integroimisalueen määrittelyssä. Tehtävä: Laske funktion f(x, y, z) = y + z integraali yli alueen A, jota rajaavat putkipinta x 2 + y 2 = 1, taso z = 0 ja pinta z = 1 + (x 2 + y 2 )/4. Ratkaisu: Käytetään sylinterikoordinaatteja. Selvästi muuttujan z vaihteluväli on 0 z 1 + r 2 /4. Kulmamuuttujaa φ ei rajaa mikää, joten annetaan sen käydä läpi väli [0, 2π] (jotta koko alue A tulee käytyä läpi tarkalleen kerran). Putki rajaa muuttujan r vaihteluväliksi 0 r 1. Integroitava funktio on sylinterikoordinaateissa f(r, φ, z) = y + z = z + r sin φ. 45 / 66

46 Esimerkki 5.F2 Cylinder Tilavuusalkio 1 Tilavuusalkio 2 Esimerkki 5.F1 Esimerkki 5.F2 Kysytty integraali on siis Fubinin lauseen nojalla A f = = = 2π φ=0 2π φ=0 2π φ=0 = 61π r=0 1 r=0 1+r 2 /4 z=0 (z + r sin φ)r dz dr dφ ( r 2 + r3 4 + r r2 sin φ r4 sin φ) dr dφ ( sin φ) dφ 46 / 66

47 Pyöräysympyrä Pallo 1 Pallo 2 Tilavuusalkio Esimerkki 5.G1 Esimerkki 5.G2 Esimerkki 5.G3 Esimerkki 5.G4 47 / 66

48 Pyöräysympyrä Pyöräysympyrä Pallo 1 Pallo 2 Tilavuusalkio Esimerkki 5.G1 Esimerkki 5.G2 Esimerkki 5.G3 Esimerkki 5.G4 Kun xz-tason piste (x 0, z 0 ), x 0 0, (tai 3-ulotteisessa maailmassa ehkä pikemminkin (x 0, 0, z 0 )) pyörähtää z-akselin ympäri, se piirtää ympyrän tasossa z = z 0. Ympyrällä ovat ne pisteet, jotka ovat etäisyydellä x 0 z-akselista. Jos φ on kiertokulma, niin ko. pisteen koordinaatit ovat (x, y, z) = (x 0 cos φ, x 0 sin φ, z 0 ), ja parametri φ [0, 2π). Yhtä hyvin voidaan valita φ joltakin muulta 2π:n mittaiselta väliltä, kuten napakoordinaattikulma aina muulloinkin. 48 / 66

49 1 Pyöräysympyrä Pallo 1 Pallo 2 Tilavuusalkio Esimerkki 5.G1 Esimerkki 5.G2 Esimerkki 5.G3 Esimerkki 5.G4 Parametrisoitu käyrä x(θ) = r sin θ, z(θ) = r cos θ, 0 θπ on xz-tason puoliympyrä x 2 + z 2 = r 2, x 0. Kun θ = 0 ollaan pohjoisnavalla (x, z) = (0, r), ja kun θ = π ollaan etelänavalla (x, z) = (0, r). Tämän käyrän pyörähtäessä z-akselin ympäri syntyy origokeskinen r-säteinen pallopinta, jolla x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. Tässä φ on pallopinnan pituuspiiri (=meridiaani). Pohjoiset pallonpuoliskolla θ [0, π/2), päiväntasaajalla θ = π/2, ja eteläisellä pallonpuoliskolla θ (π/2, π]. Kun r [0, ), niin pallopinnat täyttävät koko avaruuden R / 66

50 2 Pyöräysympyrä Pallo 1 Pallo 2 Tilavuusalkio Esimerkki 5.G1 Esimerkki 5.G2 Esimerkki 5.G3 Esimerkki 5.G4 Kuvauksen (x, y, z) = g(r, θ, φ) derivaatan matriisi on Dg(r, θ, φ) = sin θ cos φ r cos θ cos φ r sin θ sin φ sin θ sin φ r cos θ sin φ r sin θ cos φ cos θ r sin θ 0 Kehittämällä tämä alimman vaakarivin suhteen saadaan Jacobin determinantiksi (x, y, z) (r, θ, φ) = r2 sin θ.. Pallokoordinaattien käyttö on jossain määrin indikoitu silloin, kun suure r 2 = x 2 + y 2 + z 2 ilmenee joko integroitavan funktion tai integroimisalueen määrittelyssä. 50 / 66

51 Tilavuusalkio Pallokoordinaatiston tilavuusalkioksi tulee hieman vääristynyt suorakulmainen koppi, jonka särmien pituudet ovat dr, r sin θ dφ ja r dθ. Pyöräysympyrä Pallo 1 Pallo 2 Tilavuusalkio Esimerkki 5.G1 Esimerkki 5.G2 Esimerkki 5.G3 Esimerkki 5.G4 51 / 66

52 Esimerkki 5.G1 Pyöräysympyrä Pallo 1 Pallo 2 Tilavuusalkio Esimerkki 5.G1 Esimerkki 5.G2 Esimerkki 5.G3 Esimerkki 5.G4 Tehtävä: Erään planeetan (pallomainen, säde R) tiheys sen pinnalla on ρ 0. Planeetan painovoiman ansioista tiheämpi aines on painunut sen keskelle. Oletetaan, että tiheys planeetan sisälle mentäessä kasvaa lineaarisesti syvyyden funktiona siten, että planeetan keskipisteessä se on 3ρ 0. Laske planeetan massa. Ratkaisu: Asetetaan origo planeetan keskipisteeseen. Tehtävässä annettiin, että tiheys riippuu vain etäisyydestä r ρ = ρ(r) = A + Br, missä A, B ovat vakioita. Yhtälöistä ρ(0) = 3ρ 0 ja ρ(r) = ρ 0 saadaan A = 3ρ 0, B = 2ρ/R. 52 / 66

53 Esimerkki 5.G2 Pyöräysympyrä Pallo 1 Pallo 2 Tilavuusalkio Esimerkki 5.G1 Esimerkki 5.G2 Esimerkki 5.G3 Esimerkki 5.G4 Keskipisteestä etäisyydellä r = x 2 + y 2 + z 2 olevan tilavuusalkion dv = dx dy dz massa on siten dm = ρ( x 2 + y 2 + z 2 ) dv = ρ 0 (3 2 x 2 + y 2 + z 2 ) dv. R Planeetan massa m saadaan laskemalla nämä yhteen m = ρ 0 (3 2 x 2 + y 2 + z 2 ) dx dy dz. x 2 +y 2 +z 2 R 2 R Tässä on ilmeistä siirtyä pallokoordinaatteihin, jolloin x 2 + y 2 + z 2 = r ja dx dy dz = r 2 sin θ dr dθ dφ. 53 / 66

54 Esimerkki 5.G3 Pyöräysympyrä Pallo 1 Pallo 2 Tilavuusalkio Esimerkki 5.G1 Esimerkki 5.G2 Esimerkki 5.G3 Esimerkki 5.G4 Näin ollen vastaukseksi saadaan m = ρ 0 R r=0 = 2πρ 0 R π r=0 2π θ=0 φ=0 π θ=0 (3 2r R )r2 sin θ dφ dθ dr (3 2r R )r2 sin θ dθ dr R = 2 2πρ 0 (3 2r r=0 R )r2 dr ( ) R 3 = 2 2πρ 0 = 2πR 3 ρ / 66

55 Esimerkki 5.G4 Pyöräysympyrä Pallo 1 Pallo 2 Tilavuusalkio Esimerkki 5.G1 Esimerkki 5.G2 Esimerkki 5.G3 Esimerkki 5.G4 Jälkitarkastelu: Koska planeetan tilavuus on V = 4πR 3 /3, niin sen keskimääräinen tiheys on ρ average = m V = 3ρ 0/2. Tämä on välillä (ρ 0, 3ρ 0 ), joten ainakin jossain määrin järkevä. Suuri osa planeetan tilavuudesta on lähellä sen pintaa, joten on luonnollista, että tiheys pinnalla on merkitsevämpi kuin tiheys keskellä. 55 / 66

56 Yleistä Kertausta Esimerkki 5.H Suunnattu toinen derivaatta (1/2) Suunattu toinen derivaatta (2/2) Laskuja (1/2) Laskuja (2/2) Esimerkki 5.I1 Esimerkki 5.I2 Esimerkki 5.I3 56 / 66

57 Yleistä Yleistä Kertausta Esimerkki 5.H Suunnattu toinen derivaatta (1/2) Suunattu toinen derivaatta (2/2) Laskuja (1/2) Laskuja (2/2) Esimerkki 5.I1 Esimerkki 5.I2 Esimerkki 5.I3 Sanotaan, että funktiolla f : A R, A R n, on lokaali minimi (vast. maksimi) pisteessä a = (a 1, a 2,..., a n ) A, jos löytyy sellainen r > 0, että f(a) < f(y) (vast. f(a) > f(y)) kaikille y B(a, r), y a. Oletetaan, että funktio f on vähintään luokkaa C 2 (eli kaikki sen toisen kertaluvun derivaatat ovat jatkuvia A:ssa). Tässä tapauksessa yhden muuttujan funktiolla g i (x i ) = f(a 1, a 2,..., a i 1, x i, a i+1,..., a n ) on vastaava lokaali ääriarvo kohdassa x i = a i. Lukiotietojen (tai Analyysi I:n) perusteella tällöin välttämättä derivaatta g i (a i) = f/ x i (a) = 0. Sama päättely voidaan toistaa jokaisen koordinaatin osalta, eli voimme päätellä, että f(a) = (0,..., 0). Sanomme tällaista pistettä a funktion f kriittiseksi pisteeksi. 57 / 66

58 Kertausta Yleistä Kertausta Esimerkki 5.H Suunnattu toinen derivaatta (1/2) Suunattu toinen derivaatta (2/2) Laskuja (1/2) Laskuja (2/2) Esimerkki 5.I1 Esimerkki 5.I2 Esimerkki 5.I3 Derivaatan (tai yleisemmin gradientin) häviäminen pisteessä ei takaa, että kyseessä olisi lokaali ääriarvokohta. Ehto on välttämätön mutta ei riittävä. Yhden muuttujan tapauksessa käyttökelpoinen työkalu lisätutkimuksiin saatiin käyttämällä toista derivaattaa: Oletetaan, että (yhden muuttujan) funktion f(x) derivaatta kohdassa x = x 0 häviää, f (x 0 ) = 0. Tällöin: Jos f (x 0 ) < 0, voimme päätellä, että x 0 on lokaali minimikohta. Jos f (x 0 ) > 0, voimme päätellä, että x 0 on lokaali maksimikohta. Jos f (x 0 ) = 0, emme voi päätellä mitään. Tavoitteenamme on yleistää tämä työkalu usean muuttujan funktioille. 58 / 66

59 Esimerkki 5.H Yleistä Kertausta Esimerkki 5.H Suunnattu toinen derivaatta (1/2) Suunattu toinen derivaatta (2/2) Laskuja (1/2) Laskuja (2/2) Esimerkki 5.I1 Esimerkki 5.I2 Esimerkki 5.I3 Tarkistetaan, että origo on funktion f(x, y) = x 2 + 3xy + y 2 kriittinen piste. Tutkitaan origon ääriarvoluonnetta. Ratkaisu: Osittaisderivoimalla näemme, että f x (x, y) = 2x + 3y ja f y (x, y) = 3x + 2y molemmat häviävät origossa. Näin ollen origo on kriittinen piste. Toinen derivaatta f xx (x, y) = 2 on positiivinen, joten funktiolla g 1 (x) = f(x, 0) on origossa lokaali minimi. Samoin toinen derivaatta f yy (x, y) = 2 on positiivinen origossa, joten myös funktiolla g 2 (y) = f(0, y) on origossa lokaali minimi. Kuitenkin f(t, t) = t 2 3t 2 + t 2 = t 2, joten funktio f saa mielivaltaisen lähellä origoa myös negatiivisia arvoja. Suoralla y = x funktiolla f onkin origossa lokaali maksimi. Näin ollen origo ei ole lokaali minimikohta. 59 / 66

60 Suunnattu toinen derivaatta (1/2) Yleistä Kertausta Esimerkki 5.H Suunnattu toinen derivaatta (1/2) Suunattu toinen derivaatta (2/2) Laskuja (1/2) Laskuja (2/2) Esimerkki 5.I1 Esimerkki 5.I2 Esimerkki 5.I3 Esimerkin 5.H opetus on, ettei funktiolla f välttämättä ole lokaalia ääriarvoa kriittisessä pisteessä a, vaikka kaikilla sellaisilla funktioilla, jotka saadaan rajoittamalla f a:n kautta kulkevalle koordinaattiakselin suuntaiselle suoralle olisikin lokaali ääriarvo ko. kohdassa. On nimittäin mahdollista, että rajoittamalla f jollekin toiselle pisteen a kautta kulkevalle suoralle saadaankin vastakkaisella tavalla käyttäytyvä funktio. Jos u = (u 1, u 2,..., u n ) on jokin nollasta eroava vektori, niin voimme rajoittaa funktion f u:n suuntaiselle suoralle: g(t) = f(a + tu), jolloin parametrin arvo t = 0 vastaa kriittistä pistettä a. 60 / 66

61 Suunattu toinen derivaatta (2/2) Yleistä Kertausta Esimerkki 5.H Suunnattu toinen derivaatta (1/2) Suunattu toinen derivaatta (2/2) Laskuja (1/2) Laskuja (2/2) Esimerkki 5.I1 Esimerkki 5.I2 Esimerkki 5.I3 Kutsumme derivattaa g (t) funktion f suunnatuksi toiseksi derivaataksi (vektorin u suuntaan) pisteessä a, D 2 uf(a). Yhden muuttujan tapauksen kanssa analoginen tulos on (todistus vaatii Taylorin sarjojen käyttöä, ja sivuutetaan siksi): Oletetaan, että a on funktion f kriittinen piste. Jos kaikki suunnatut toiset derivaatat Duf(a), 2 u 0, ovat positiivisia, on a lokaali minimikohta. Jos kaikki suunnatut toiset derivaatat Duf(a), 2 u 0, ovat negatiivisia, on a lokaali maksimikohta. Jos suunnattujen toisten derivaattojen joukossa esiintyy sekä positiivisia että negatiivisia, a on ns. satulapiste, eikä se tällöin ole lainkaan lokaali ääriarvokohta. Jos suunnattujen toisten derivaattojen on vain toista etumerkkiä ja lisäksi arvo nolla, emme voi sanoa mitään. 61 / 66

62 Laskuja (1/2) Yleistä Kertausta Esimerkki 5.H Suunnattu toinen derivaatta (1/2) Suunattu toinen derivaatta (2/2) Laskuja (1/2) Laskuja (2/2) Esimerkki 5.I1 Esimerkki 5.I2 Esimerkki 5.I3 Johdetaan kaava suunnatulle toiselle derivaatalle kahden muuttujan tapauksessa. Oletetaan, että f(x, y) on luokkaa C 2, ja että u = (u 1, u 2 ). Tällöin u:n suuntaan rajoitettu funktio on g(t) = f(x 0 + tu 1, y 0 + tu 2 ). Koska d dt (x 0 + tu 1 ) = u 1 ja d dt (y 0 + tu 2 ) = u 2, niin ketjusäännön avulla saadaan g (t) = f x (x 0 + tu 1, y 0 + tu 2 )u 1 + f y (x 0 + tu 1, y 0 + tu 2 )u 2, ja edellee ketjusääntöä vielä kahdesti soveltaen 62 / 66

63 Laskuja (2/2) Yleistä Kertausta Esimerkki 5.H Suunnattu toinen derivaatta (1/2) Suunattu toinen derivaatta (2/2) Laskuja (1/2) Laskuja (2/2) Esimerkki 5.I1 Esimerkki 5.I2 Esimerkki 5.I3 g (t) = f xx (x 0 + tu 1, y 0 + tu 2 )u f xy (x 0 + tu 1, y 0 + tu 2 )u 1 u 2 + f yx (x 0 + tu 1, y 0 + tu 2 )u 2 u 1 + f yy (x 0 + tu 1, y 0 + tu 2 )u 2 2. Toiseksi suunnatuksi derivaataksi saadaan lopulta Duf(x 2 0, y 0 ) = f xx (x 0, y 0 )u f xy (x 0, y 0 )u 1 u 2 + f yy (x 0, y 0 )u / 66

64 Esimerkki 5.I1 Yleistä Kertausta Esimerkki 5.H Suunnattu toinen derivaatta (1/2) Suunattu toinen derivaatta (2/2) Laskuja (1/2) Laskuja (2/2) Esimerkki 5.I1 Esimerkki 5.I2 Esimerkki 5.I3 Määrätään funktion f(x, y) = x 3 + y 3 3xy kriittiset pisteet, ja selvitetään niiden luonne (= lokaali minimi/maksimi, satulapiste). Ratkaisu: Osittaisderivoimalla saadaan f(x, y) = (3x 2 3y, 3y 2 3x). Kriittisissä pisteessä siis on voimassa yhtälöt x 2 = y ja y 2 = x. Sijoittamalla ensimmäinen jälkimmäiseen saadaan yhtälö x 4 = x, mistä ratkeaa x = 0 tai x = 1 (muut ratkaisut eivät ole reaalisia). 64 / 66

65 Esimerkki 5.I2 Yleistä Kertausta Esimerkki 5.H Suunnattu toinen derivaatta (1/2) Suunattu toinen derivaatta (2/2) Laskuja (1/2) Laskuja (2/2) Esimerkki 5.I1 Esimerkki 5.I2 Esimerkki 5.I3 Kriittisiksi pisteiksi saadaan siis a 1 = (0, 0) ja a 2 = (1, 1). Tutkitaan suunnattuja toisia derivaattoja näissä pisteissä tarkemmin. Olkoon u = (u 1, u 2 ) jokin nollasta eroava vektori. Funktion f toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat f xx = 6x, f xy = 3, f yy = 6y. Pisteessä a 1 = (0, 0) saamme laskukaavamme perusteella suunnatuksi toiseksi derivaataksi D 2 uf(0, 0) = 0 u u 1 u u 2 2 = 6u 1 u 2. Valinnalla u = (1/ 2, 1/ 2) (normeerasin tämän yksikkövektoriksi, mutta se ei ole välttämätöntä), saadaan D 2 uf(a 1 ) = 6(1/ 2) 2 = 3 < 0. Valinnalla u = (1/ 2, 1/ 2) puolestaan saadaan D 2 uf(a 1 ) = 3 > 0. Molemmat etumerki esiintyvät, joten a 1 on satulapiste. 65 / 66

66 Esimerkki 5.I3 Yleistä Kertausta Esimerkki 5.H Suunnattu toinen derivaatta (1/2) Suunattu toinen derivaatta (2/2) Laskuja (1/2) Laskuja (2/2) Esimerkki 5.I1 Esimerkki 5.I2 Esimerkki 5.I3 Pisteessä a 2 = (1, 1) sitä vastoin f xx (a 2 ) = 6, f xy (a 2 ) = 3 ja f yy (a 2 ) = 6, joten suunnatuksi toiseksi derivaataksi tulee Neliöksi täydentämällä D 2 uf(a 2 ) = 6(u 2 1 u 1 u 2 + u 2 2). u 2 1 u 1 u 2 + u 2 2 = u 2 1 2u 1 ( 1 2 u 2) u u2 2 = (u u 2) u2 2. Näemme heti, että tämä on aina 0. Se on nolla sjvsk u 2 = 0 ja u u 2 = 0, jolloin välttämättä (u 1, u 2 ) on nollavektori. Näin ollen D 2 uf(a 2 ) > 0 kaikille u (0, 0). Voimme siis päätellä, että piste a 2 on lokaali minimikohta. 66 / 66

Sijoitus integraaliin

Sijoitus integraaliin 1 / 32 Muunnetaan funktion f integraali yli joukon U integraaliksi yli joukon V tekemällä sijoitus x = g(y), missä g : V U on bijektio (ainakin), kun se rajoitetaan funktioksi g : V U. Uudeksi integroitavaksi

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

Vektorilaskenta, tentti

Vektorilaskenta, tentti Vektorilaskenta, tentti 27102017 Tentin kesto n 3 tuntia Vastaa NELJÄÄN tehtävään Jos vastaat kaikkiin, niin neljä PARASTA otetaan huomioon Kuvat vievät tilaa, joten muista kurkistaa paperin toiselle puolelle

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät

Lisätiedot

Vektorilaskenta Luennot / 42. Vektorilaskenta Napakoordinaatit

Vektorilaskenta Luennot / 42. Vektorilaskenta Napakoordinaatit Luennot 19.09.-21.09. 1 / 42 Määritelmä (1/3) Määritelmä (2/3) Määritelmä (3/3) 2 / 42 Määritelmä (1/3) Määritelmä (1/3) Määritelmä (2/3) Määritelmä (3/3) Tason pisteen P sijainti voidaan karteesisten

Lisätiedot

4.3.7 Epäoleellinen integraali

4.3.7 Epäoleellinen integraali Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?

Lisätiedot

(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G:

(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G: 7 VEKTORIANALYYSI Luento 11 7. Tilavuusintegraalit A 14.5 Funktion f( xyz,, ) tilavuusintegraali yli kolmiulotteisen alueen V on raja-arvo summasta V f( xyz,, ) V kun tilavuusalkiot V =. Tarkastellaan

Lisätiedot

Täydennetään ja kerrataan Fitzpatrickin lukujen 18 ja 19 esitystä.

Täydennetään ja kerrataan Fitzpatrickin lukujen 18 ja 19 esitystä. 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 009 Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa Täydennetään ja kerrataan Fitzpatrickin lukujen 18 ja 19 esitystä. Tasointegraali Tasointegraali f voidaan laskea kaksinkertaisena

Lisätiedot

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

Vektorilaskenta, tentti

Vektorilaskenta, tentti Vektorilaskenta, tentti 26.0.208 Vastaa NELJÄÄN tehtävään. Jos vastaat kaikkiin, niin neljä PARASTA otetaan huomioon. Kuvat vievät tilaa, joten muista kurkistaa paperin toiselle puolelle. Tentin kesto

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä

Lisätiedot

Vektorilaskenta. Luennot / 54

Vektorilaskenta. Luennot / 54 Luennot 22.09.-27.09.2017 1 / 54 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 2 / 54 Välin mitta

Lisätiedot

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2 LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

Gaussin lause eli divergenssilause 1

Gaussin lause eli divergenssilause 1 80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin

Lisätiedot

4 (x 1)(y 3) (y 3) (x 1)(y 3)3 5 3

4 (x 1)(y 3) (y 3) (x 1)(y 3)3 5 3 . Taylorin polynomi; funktion ääriarvot.1. Taylorin polynomi 94. Kehitä funktio f (x,y) = x 2 y Taylorin polynomiksi kehityskeskuksena piste ( 1,2) a) laskemalla osittaisderivaatat, b) kirjoittamalla muuttujat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 217 Alkuviikon harjoituksissa ratkaistaan kolme tehtävää assistentin avustuksella (läsnäololaskarit).

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R. Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =

Lisätiedot

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä? BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2. 13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x

Lisätiedot

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30 DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia

Lisätiedot

Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018

Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Ylimääräisiä harjoitustehtäviä 1. Osoita, että normin neliö f : R n R, f(x) = x 2 on differentioituva pisteessä a R n ja, että sen derivaatalle on voimassa 2.

Lisätiedot

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - avoin yliopisto 28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

kaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ

kaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ 58 VEKTORIANALYYSI Luento 9 Ortogonaaliset käyräviivaiset koordinaatistot Olemme jo monta kertaa esittäneet karteesiset x, y ja z koordinaatit uusia koordinaatteja käyttäen: x= xuvw (,, ), y= yuvw (,,

Lisätiedot

Todista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus. λ f = λ f,

Todista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus. λ f = λ f, 7. Taso- ja avaruusintegraali 7.1. Tasointegraalin määrittely 205. Tarkastellaan funktiota f (x,y) = x+y neliössä {(x,y) 0 x 1, 0 y 1}. Neliö jaetaan suorilla x = a ja y = b neljään osasuorakulmioon; 0

Lisätiedot

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1 Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 +

Lisätiedot

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8, TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

f(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2

f(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu:

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

= + + = 4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa

= + + = 4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa 30 VEKTORIANALYYSI Lento 4 4. Derivointi seammassa lottvdessa Osittaisderivaatta. Kerrataan alksi osittaisderivaatan käsite. Fnktio f= f( r) = f( xyz,, ) on kolmen mttjan fnktio, jonka arvo yleensä mtt,

Lisätiedot

Determinantti 1 / 30

Determinantti 1 / 30 1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Tilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R,

Tilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R, Vektorianalyysi Harjoitus 9, Ratkaisuehdotuksia Anssi Mirka Tehtävä 1. ([Martio, 3.4:1]) Millä suoralla sylinterillä, jonka tilavuus on V > on pienin vaipan ja pohjan yhteenlaskettu pinta-ala? Ratkaisu

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R

Lisätiedot

12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa

12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 17 1. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( k ) + 5 k, b) k 1 x 5 dx, e) ( ln(k + 1) k ), c) k 1 cos(πx) dx, f) k e x dx, 1 k e k k kx dx.. Olkoon

Lisätiedot

4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa

4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa 6 VEKTORIANALYYSI Lento 3 4. Derivointi seammassa lottvdessa Osittaisderivaatta. Kerrataan alksi osittaisderivaatan käsite. Fnktio f f ( r) f ( x, y, z) on kolmen mttjan fnktio, jonka arvo yleensä mtt,

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )

Lisätiedot

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida: 15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot