TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemanalyysn laboratoro Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Uuden eläkelatoslan vakutus allokaatovalntaan Tmo Salmnen 58100V Espoo, 14. Toukokuuta 2007
Ssällysluettelo Johdanto... 3 Vakavarasuusrajan laskenta... 3 Vranomasten tuotto- ja rskodotukset... 4 Lambda-kertomen vakutus... 7 Vakavarasuuslaskennan yhdstämnen sjotustomntaan... 10 Johtopäätökset... 10 Lte 1 vraomasen odotukset... 12 Krjallsuusvtteet... 13 2
Johdanto Normaal sjottaja joutuu sjotuspäätöksä tehdessään keskttyen anoastaan päätöksen aheuttamn muutoksn sjotussalkun tuotto-rskproflssa. Eläkesjottajan on lsäks tedettävä, mten sjotuspäätökset vakuttavat eläkelatoksen vakavarasuuteen sjotusrskn mukaan määräytyvän vakavarasuusrajan kautta. Johtuen akasempen vakavarasuussäännösten puutteellsuudesta vranomanen on määrännyt uuden vakavarasuusrajan laskentakehkon, jossa sjotukset jaetaan kahteenkymmeneen luokkaan, jota erottavat er tuotto-, rsk- ja korrelaatoodotukset. Tämän työn tarkotuksena on analysoda uuden vakavarasuuslaskennan tuotto-, -rsk ja korrelaato-odotuksa ja löytää nden kautta vranomasten tehokkana ptämät sjotusportfolot. Tehokkaden portfoloden löytämnen auttaa ennen kakkea ymmärtämään, mnkälaslla allokaatopäätöksllä saavutetaan eläkelatoksen kannalta edullnen vakavarasuusraja. Tutknnan kohteena on lsäks uutena elementtnä vakavarasuusrajan laskentaan otettu dynaamsest muuttuva korjauskerron (λ), jonka tarkotuksena on mahdollstaa eläkelatokslle nykystä suuremman osakerskn ottamnen. Vakavarasuusrajan laskenta Vranomaset jakavat kakk eläkelatoksen sjotukset vteen pääryhmään: rahamarkkna sjotukset, joukkovelkakrjat, kntestöt, osakkeet ja muut sjotukset. Kukn ryhmä on jaettu edelleen 3-5 alaryhmään nn, että ryhmä tulee yhteensä 20. Ryhmät on estetty taulukossa 1. Kullekn ryhmälle on annettu oma tuotto-odotuksensa, joka kuvaa kysesen sjotusluokan odotettua vuotusta %-tuottoa sjotetulle pääomalle. Rskllä tarkotetaan kysesen sjotusluokan tuoton odotettua vuotusta keskhajontaa. Pääryhmen ssällä alaluokken oletetaan korrelovan täydellsest keskenään, mkä tarkottaa, ette hajautushyötyä pysty tavottelemaan pääryhmän ssällä. Vranomasen määräämät pääryhmen välset korrelaatot on estetty taulukossa 2. Sjotusluokken tuotto-, rsk-, ja korrelaato-odotusten anoa tehtävä on eläkesäätön vakavarasuusrajan laskennassa. Vakavarasuusraja (p-luku) lasketaan seuraavalla kaavalla: t p m a 2 2 s s r S, j j j j 100, 3
mssä t on tuottovaade, β sjotusryhmän pano, m sjotusryhmän tuotto-odotus, a rskkerron (1.96), s sjotusryhmän odotettu rsk, r j ryhmen ja j välnen korrelaato, λ korjauskerron ja S osaketuottojen keskpokkeama (vako). P-luvun kaavaa tarkastelemalla havataan sen kasvavan sjotussalkun rskn mukana. Intutvsest tulkttuna p-luku on maksmpokkeama alaspän (97.5% luottamustasolla) vranomasten tuottovaateesta t. Tähän tulokseen päädytään, kun huomataan, että term m on portfolon odotettu tuotto, jollon term t m on odotettu tuottovaateen altus. Nelöjuuren alla oleva term puolestaan kuvaa portfolon tuoton keskhajontaa ja nelöjuuren edessä oleva kerron 1.96 saadaan normaaljakauman omnasuudesta, jonka mukaan yl 1.96 keskhajonnan pokkeaman yhteen suuntaan todennäkösyys on 2.5%. Tulknta edellyttää ss tuottojen normaalsuuden olettamsta. Portfolon odotettua tuottoa ja keskhajontaa kästellään tarkemmn esmerkks Luenbergerssä (1998). P-luvun el vakavarasuusrajan ykskkönä on prosenttosuus eläkelatoksen vastuuvelasta. Tomakseen eläkelatoksella on katettaven vastuden lsäks oltava vähntään p-luvun verran tomntapääomaa rskpuskurna. Vranomanen on rakentanut p-luvun laskennan nn, että mnmtomntapääomalla eläkelatoksen omasuus ylttää sen velat vuoden horsontlla 97.5% todennäkösyydellä. Eläkelatoksen katsotaan olevan hyvässä kunnossa, jos tomntapääoma ylttää vakavarasuusrajan 1.5-kertaseks. Tätä rajaa lähellä olevlle eläkelatokslle on ensarvosen tärkeää tetää, mten ne vovat ptää p-luvun mahdollsmman penenä samalla tavotellen rttävää sjotustomnnan tuottoa. Vranomasten tuotto- ja rskodotukset Äskesessä kappaleessa todettn vranomasten säännösten noudattavan perntestä portfoloteoraa. Tällä oletuksella vodaan portfolo-optmonnn kenon tutka, mnkälaset salkut ovat vranomasen melestä tehokkata. Tehokkaden salkkujen avulla vodaan selvttää mnkälassta sjotusluoksta ongelmssa olevan eläkelatoksen tuls enssjasest hakea tuottoa, jotta se sas p-luvun pdettyä mahdollsmman alhasena. Modernn portfoloteoran mukaan sjottajan tuls valta kullakn tuottotasolla vähärsksn portfolo (Markowtz, 1952). Normaaltlanteessa kaks sjotuskohdetta e (anakaan ndekstasolla) korrelo täydellsest, jollon kahta sjotuskohdetta yhdstämällä saavutetaan ana penemp rsk 4
Tuotto kun nden rsken panotettu keskarvo (pos luken rsktön korko). Vranomasen oletusten mukaan yläryhmen ssällä alaryhmen välnen korrelaato on kutenkn 1, mkä tarkottaa, että yläryhmän ssällä e voda hajauttaa, jollon yläryhmän rsk määräytyy ana alaryhmen rskn panotettuna keskarvoa, kuten yläryhmän tuotto-odotuskn. Tällön, jos jokn yhden yläryhmän sjotusluoksta jää kahden samaan ryhmään kuuluvan sjotusluokan väln prretyn vvan alapuolelle tuotto-rskastekolla, on sjotusluokka västämättä tehoton, ekä shen vranomasten odotuksen mukaan kannata sjottaa lankaan. Eräs esmerkk tällasesta luokasta on joukkovelkakrjat-ryhmän alaluokka valtonlanat (kuva 1). 7.5% 7.0% Joukkovelkakrjat Lstaamattomat 6.5% 6.0% 5.5% 5.0% 4.5% Eläkelatoksen myöntämät lanat Muu Valto / Yrtyslanat Valtonlanat 4.0% 0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% Rsk kuva 1 - Joukkovelkakrjojen tuotto- ja rskodotukset Vranomasen odotuksa tarkemmn tarkastelemalla havataan, että jokasesta yläryhmästä, osakkeet pos luken, löydetään yks tehoton sjotusluokka (kuva 2). Velä havatsemalla, että joukkovelkakrjat-ryhmässä on kaks denttstä luokkaa: muut valtonlanat ja yrtyslanat, jäljelle jää kolme tehokasta sjotusluokkaa kuhunkn yläryhmään. Nämä kolme sjotusluokkaa muodostat kussakn ryhmässä nuolenkärjen muotosen kuvon, jossa rskllä mtattuna keskmmänen sjotusluokka on tuotto-rsk koordnaatstossa rsksmmän ja rskttömmmän luokan väln prretyn vvan yläpuolella. Nän ollen näden kolmen luokan tehokkaat yhdstelmät löytyvät 5
Tuotto keskmmäsen luokan ja latmmasten luokken välssä olevlta kahdelta vvalta. Esmerkks kuvassa 1 tehokas yhdstelmä saadaan yhdstämällä Muu valto / yrtyslanoja joko eläkelatoksen myöntämen lanojen ta lstaamattomen lanojen kanssa. Kunkn ryhmän ssällä kannattaa ss ana sjottaa korkentaan kahteen sjotusluokkaan. Nän ollen kerrallaan kannattaa sjottaa korkentaan kymmeneen (5x2) sjotusluokkaan, mkä on anoastaan puolet sjotusluokken kokonasmäärästä. 14.0% 12.0% 10.0% 8.0% 6.0% Tehokkaat salkut Rahamarkknat Joukkovelkakrjat 4.0% 2.0% Tehottomat sjotusluokat Kntestöt Osakkeet Muut 0.0% 0.00% 5.00% 10.00% 15.00% 20.00% 25.00% 30.00% 35.00% 40.00% Rsk kuva 2 - Kakken sjotusluokken tuotto- ja rskodotukset Nällä tedolla vodaan muodostaa optmonttehtävä, jossa mnmodaan rskä kullakn tuottotasolla m 0 : mn, s. e. 1 0 1 j s s m m j k j r j 6
Vahtoehtosest tehtävä ols votu krjottaa vektornotaatolla, mutta tässä päädyttn käyttämään samaa notaatota laktekstn kanssa ymmärrettävyyden parantamseks. Optmonnn tuottama tehokas rntama on estetty kuvassa 2 ja stä vastaavat sjotusluokken panot kuvassa 3. Kuvasta 3 ensmmänen tehtävä havanto on, että tehokkasn salkkuhn e vranomasten odotuksa noudattamalla tuls ottaa osakketa juur lankaan. Tämä pätee ertysest, jos tavotellaan eläkesäätölle omnasta 5%-7% tuottoa. Tällön osakketa tulee salkkuun anoastaan muutama prosentt. Tällä hetkellä eläkelatosten keskmääränen osakepano on non 40%. 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 1 4 7 14 15 11 8 12 9 5 2 6 3 Tuotto 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Muut EI euromääräset jvk - sjotukset (EMD $) EI euromääräset rm-sjotukset Muut osakkeet (EM $) ETA/OECD - lstaamattomat osakkeet ETA/OECD - lstatut osakkeet Muut kntestöt ETA/OECD - lkekntestöt ETA/OECD - asunkntestöt Lstaamattomat lanat Muu valto / Lstatut yrtyslanat Eläkelatoksen myöntämät lanat ETA/OECD - lstattu yrtys ETA/OECD - vakuutusyhtö/luottolatos ETA/OECD - valto ja takasnlanat kuva 3 - Tehokkaat allokaatot Kuvasta 3 on havattavssa muutenkn, että erttän eksoottset sjotusluokat saavat erttän korketa panoja. Nätä ovat mm. eläkelatoksen myöntämät lanat sekä lstaamattomat lanat. Itse asassa eläkelatosten ylesmmn käyttämä sjotusluokka, ETA/OECD-lstattuja osakketa ja valtonlanoja, e ole optmaalsssa salkussa lankaan. Yhteenvetona vodaan sanoa, että ongelmssa oleva säätö vo parantaa vakavarasuuttaan hakemalla tuottoa ertysest eksoottsemmsta sjotusluoksta. Lambda-kertomen vakutus P-luvun kaavassa korjauskertomen λ tarkotus on lsätä eläkelatosten osakersknottokykyä vuosttan. On melenkntosta tutka, kunka kerron vakuttaa todellsuudessa. P-luvun kaavassa λ-kertomelle on kolme er vakutusta: 7
1. Tuottovaade 2. Ryhmän 4 (osakkeet) panosta vähennetään λ 3. Salkun varanssn lsätään luku Korjauskerron saa vuonna 2007 arvon 0.02 ja arvo kasvaa vuosttan 0.02, kunnes se saavuttaa arvon 0.1 vuonna 2011. On melekästä tutka kahta asaa: kunka kerron vakuttaa p-luvun mnmovaan osakeallokaaton kullakn tuottotasolla, ja kunka mnmaalnen p-luku muuttuu kullakn tuottotasolla. Nyt optmonttehtävä on ss muotoa: t mn s. e. 1 0 1 m m m k a, j 100 s s j j r j 2 S 2 Kysenen optmonttehtävä vodaan ratkasta jollan soveltuvalla numeersella algortmlla. Tässä työssä on turvauduttu käyttämään Matlabn fmncon-funktota, joka on osottautunut käytössä tomvaks usemmssa tlantessa. Optmonnn tuloksa on estetty kuvssa 4 ja 5. 8
Osakepano Tuotto Lambda = 0% Lambda = 2% Lambda = 10% 14% 12% 10% 8% 1.75% 0.36% 6% 4% 2% 0% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% Vakavarasuusraja (p-luku) kuva 4 - Mnmaalnen p-luku er λ:n arvolla 60% Lambda = 0% Lambda = 2% Lambda = 10% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Tuotto kuva 5 - P-lukua mnmovat osakepanot er λ:n arvolla 9
Kuvassa 5 on estetty p-luvun mnmova osakepano kullakn korjauskertomen tasolla. Tulokssta havataan, että optmaalnen osakepano kasvaa lkman yhtä paljon kun λ tse. Tulos pätee anakn eläkelatoksen tuottotason (5%-7%) salkulla. Kuvasta 4 nähdään, että nällä tuottotasolla mnmaalnen p-luku vähenee non 0.36% λ:n noustessa nollasta 0.02:en. Vastaavast λ:n kasvaessa vsnkertaseks arvoon 0.10 myös mnmaalsen p-luvun ero alkuperäseen kasvaa non vsnkertaseks (1.75%). Koska p-luvun ykskkönä on % eläkelatoksen vastuuvelasta, 1.75% vodaan ptää jo merkttävänä. Vakavarasuuslaskennan yhdstämnen sjotustomntaan Vranomasten tuotto-, rsk- ja korrelaato-odotukset pätevät anoastaan p-luvun laskentaan. Jokasella sjottajalla on omat näkemyksensä er sjotusluokken odotukssta sjottajan tulee käyttää enssjasest nätä odotuksa sjotuspäätöksä tehdessä. Vähäsellä tomntapääomalla tomven eläkelatosten on otettava sjotuspäätöksssä huomoon sekä vranomasen määrttämä rskbudjett (p-luku) että okeat tulevasuuden näkymät (sjottajan omat odotukset). Eräs tomvaks todettu keno on maksmoda jotan hyötyfunktota (esm. odotettua tuottoa) samalla rajottaen säätön vakavarasuusrskä (Gyllng et al. 2006). Vakavarasuusrskllä tarkotetaan rskä, että eläkelatoksen tomntapääoma alttaa p-luvun määräämän mnmtason. Tällä tavalla optmonnssa huomodaan sekä vranomasten määräämä rskbudjett että todellset odotukset sjotusluokken performansslle. Johtopäätökset Työssä tutkttn vranomasen asettama tuotto-, rsk- ja korrelaato-odotuksa er sjotusluoklle. Päädyttn tulokseen, että vranomasten odotusten mukasssa tehokkassa salkussa e ole lankaan ntä nstrumentteja, john eläkelatokset pääosn sjottavat. Tämä löydös asettaa vranomasen odotukset kyseenalasks ertysest, koska uusen säännösten yks päämäärä ol motvoda eläkelatoksa ottamaan lsää osakerskä. Optmodut tehokkaat salkut antavat kutenkn hyvän kuvan stä, mnkälasn nstrumenttehn sjottamalla vodaan ptää eläkelatoksen vakavarasuusraja matalana. Tutkttaessa korjauskertomen λ vakutusta eläkesäätölle optmaalsen (p-lukua mnmovaan) osakerskn havattn korjauskertomen tomvan täysn odotusten mukasest. Eläkelatokslle 10
tavanomaslla tuottotasolla optmaalnen osakersk vähen lkman korjauskertomen arvon verran ja p-luvun vähen merkttäväst ertysest korjauskertomen suurmmalla arvolla. Vakavarasuusmelessä korjauskerron tom hyvänä lsämotvojana eläkelatoksen osakerskn ottoon. Muuten uus vakavarasuuskehkko odotettune tuottoneen ja rskeneen e saa osakketa näyttämään houkuttelevalta sjotuskohteelta. Eläkelatoksen haasteeks jää vakavarasuuslaskennan yhdstämnen todellsn tuotto-, rsk- ja korrelaato-odotuksn ja nden mplkomn optmaalsn allokaatohn. 11
Lte 1 vraomasen odotukset Taulukko 1 - Vranomasen tuotto- ja rskodotukset Ryhmä Tuotto Rsk 1 Rahamarkknavälneet ( ) (alle vuos) 1.1 ETA/OECD-valto ja takasnlanat 3.0 0.8 1.2 ETA/OECD-vakuutusyhtö/luottolatos 3.5 1.5 1.3 ETA/OECD-lstattu yrtys 4.0 2.5 1.4 Muut euromääräset rm ja saamset 3.5 3.0 2 Joukkovelkakrjalanat ( ) (yl vuos) 2.1 Eläkelatoksen myöntämät lanat 4.5 2.0 2.2 ETA/OECD-valto 5.0 5.0 2.3 Muu valto (EMD ) 6.0 6.0 2.4 Lstatut yrtyslanat 6.0 6.0 2.5 Lstaamattomat lanat 7.0 9.0 3 Kntestöt 3.1 ETA/OECD-asunkntestöt 6.0 7.0 3.2 ETA/OECD-lkekntestöt 7.0 10.0 3.3 ETA/OECD muut kntestöt 7.0 11.0 3.4 Muut kntestöt 8.5 15.0 4 Osakkeet 4.1 ETA/OECD-lstatut osakkeet 8.0 18.0 4.2 ETA/OECD-lstaamattomat osakkeet 10.0 24.0 4.3 Muut osakkeet (EM $) 11.0 28.0 5 Ernäset sjotukset 5.1 EI euromääräset rm-sjotukset 4.0 4.5 5.2 EI euromääräset jvk-sjotukset (EMD $) 6.5 7.5 5.3 Raaka-aneet 8.0 20.0 5.4 Muut 12.0 34.0 Taulukko 2 - Pääryhmen välset korrelaatot Ryhmen välset korrelaatot 1 2 3 4 5 1 1.0 0.3 0.2 2 0.3 1.0 0.2 3 1.0 0.4 4 0.4 1.0 5 0.2 0.2 1.0 12
Krjallsuusvtteet Gyllng, M.; Konttnen, M.; Nousanen, J.; Pynnä, J. ja Salmnen, T. (2006). Eläkelatoksen optmontmalln rakentamnen, tutkmusraportt Markowtz, H. M. (1952). Portfolo Selecton, Journal of Fnance, Vol. 7, Iss. 1, p. 77-91 Luenberger, D.G. (1998). Investment Scence, Oxford unversty press, New York Halltuksen estys Eduskunnalle laeks eläkelatoksen vakavarasuusrajan laskemsesta ja vastuuvelan kattamsesta sekä eräden shen lttyven laken muuttamsesta (HE 79/2006 vp) 13