Simplex-menetelm. S ysteemianalyysin. 11. luento: Duaali-simplex. 1. vaiheen duaali-simplex. Hinnoittelu. Pivot-rivin laskeminen. Degeneroituneisuus

Samankaltaiset tiedostot
menetelmän laskennalliset tekniikat

Mat Lineaarinen ohjelmointi

menetelmän laskennalliset tekniikat Epäkäyvän kantaratkaisun parantaminen

Kokonaislukuoptimointi

Kokonaislukutehtävien formulointeja ( ) 1.4) Mirko Ruokokoski S ysteemianalyysin. Laboratorio. Mirko Ruokokoski

4. A priori menetelmät

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely)

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)

ER-kaaviot. Ohjelmien analysointi. Tilakaaviot. UML-kaaviot (luokkakaavio) Tietohakemisto. UML-kaaviot (sekvenssikaavio) Kirjasto

Tchebycheff-menetelmä ja STEM

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT

Yrityksen teoria ja sopimukset

BL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.

Tuotteiden erilaistuminen: hintakilpailu

Mat Lineaarinen ohjelmointi

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

Jaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä

T p = 0. λ n i T i B = Käytetään kohdan (i) identiteetin todistamiseen induktiotodistusta. : Oletetaan, että väite on totta, kun n = k.

3.5 Generoivat funktiot ja momentit

U missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A

6. Stokastiset prosessit (2)

Painotetun metriikan ja NBI menetelmä

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU

Painokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät

Monte Carlo -menetelmä

4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt

3. Datan käsittely lyhyt katsaus

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta

11. Vektorifunktion derivaatta. Ketjusääntö

b g / / / / H G I K J =. S Fysiikka (ES) Tentti

Tarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä

Geneettiset algoritmit ja luonnossa tapahtuva mikroevoluutio

Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO

ler-modern isaatio * d *r n ax* *neäemw & rffi rffi # Sch ind Schindler {4ssxisä tu\*vmisu a**r3 \mj**nt rei

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt

Jäykän kappaleen liike

Eräs Vaikutuskaavioiden ratkaisumenetelmä

5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman

Sähköstaattinen energia

MO-teoria ja symmetria

Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto

Mittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?

1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on

Reaaliarvoinen funktio f : on differentioituva pisteessä x, jos f:lle on siinä voimassa kehitelmä. h h. eli. Silloin

Pyörimisliike. Haarto & Karhunen.

PRS-xPxxx- ja LBB 4428/00 - tehovahvistimet

Kuluttajahintojen muutokset

Taustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon

7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset.

Tchebycheff-menetelmä ja STEM

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ

Galerkin in menetelmä

Yrityksen teoria. Lari Hämäläinen S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu

Uuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan

Lineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!

AquaPro Bedienungsanleitung Operating instructions Gebruiksaanwijzing Käyttöohje FIN Rev.0607

Venymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan dl = α LdT + df = df AE AE Ulkoisen voiman tekemä työ saadaan integroimalla δ W = FdL :

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut

1, x < 0 tai x > 2a.

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.

KOKONAISRATKAISUT YHDESTÄ PAIKASTA

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi

Kanoniset muunnokset

3.3 Hajontaluvuista. MAB5: Tunnusluvut

LIGNIININ RAKENNE JA OMINAISUUDET

Työssä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa

LIITE 2 SUORAN SOVITTAMINEN HAVAINTOPISTEISIIN

Automaattinen 3D - mallinnus kalibroimattomilta kuvasekvensseiltä

Esitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos.

Ilmanvaihdon lämmöntalteenotto lämpöhäviöiden tasauslaskennassa

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

S , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon

Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

PUTKIKELLON SUUNNITTELU 1 JOHDANTO 2 VÄRÄHTELEVÄN PALKIN TEORIAA. dm Q dx = (1) Matti A Ranta

Tasapainojen määrittäminen tasapainovakiomenetelmällä

KlapiTuli-palotila. KlapiTuli-palotilan osat, kokoamis- ja turvaiiisuusohje. Sormikiinnikkeet. 1. Nuppi

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

Este- ja sakkofunktiomenetelmät

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Venymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan AE AE

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Tilastollisen fysiikan luennot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4

Valmistelut INSTALLATION INFORMATION

Rahastoonsiirtovelvoitteeseen, perustekorkoon ja vakuutusmaksukorkoon liittyvät laskentakaavat ja periaatteet

Transkriptio:

Smlex-menetelm menetelmän laskennallset teknkat. luento: Duaal-smlex Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 /. vaheen duaal-smlex Duaal-smlex Hnnottelu Pvot-rvn laskemnen Degenerotunesuus Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 2

Käyyysehdot duaalssa Prmaaln raotteet yhtälömuodossa, oten duaalmuuttuat y ana käyä Duaaln loogsten muuttuen käyyysehdot: x :n tyy 0 2 3 4 Arvo x 0 x 0 x u x 0 x 0 x u d Merktyksetön 0 0 0 0 0 Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 3 Indeksoukkoa eäkäyvlle muuttulle Alaraan rkkoven muuttuen oukko M : x 0 a d < 0 { } Yläraan rkkoven muuttuen oukko P : x u a d > 0 ta tye x 3 a d > 0 { ( ) ( ( ) )} Ylhäältä raotetut muuttuat saadaan helost käyvks Määrtellään tyyn eäkäyvlle muuttulle ndeksoukot T + a T - : T T + { : tye( x ) a x P } { : tye( x ) a x M } Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 4 2

Raotettuen muuttuen raanvahto Raanvahto: β : β u + u B + T a T Raanvahto vodaan suorttaa yhdellä FTRANoeraatolla: β : β B a a β B u + u + T T ~ a Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 5 Yksnkertastetut käyyysehdotk Jos duaaln käyyys korattu raanvahdolla, käyyysehtoa vodaan yksnkertastaa: M P { : tye( x ) { 2,3} a d < 0 } { : tye( x ) 3 a d > 0 } Jos tehtävässä van tyyn muuttua, mkä tahansa kanta vodaan tehdä käyväks raanvahdolla Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 6 3

Duaalmuuttuan arvon muuttamnen Eäkäyyyden mtta f d d 0 M P. vaheen tavotteena maksmoda f Rvn ostuessa kannasta d :n arvo muuttuu d d t Duaaln kohdefunkto muuttuu f ( t) f ( 0) t M P Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 7 Merktään v Kohdefunkton arantumnen M P Kohdefunkton f arvon muutos: f tv Jos v > 0, nn t < 0 Jos v < 0, nn t > 0 Duaaln kohdefunktota vodaan arantaa nn tkään, kun löytyy v 0 a tye(β ) 3 Ehdokkaden oukosta valtaan sova v hnnottelulla Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 8 4

Ehdokkaat suhdetestn Kannasta ostuva muuttua β tulee duaalkäyväks Muuttuan käyyys saavutetaan muutossteessä t d, R Kantaan tuleva muuttua q Mahdollset vot-alkot valtulla rvllä: Jos v > 0, nn t q < 0, d q a ermerkksä Jos v < 0, nn t q > 0, d q a q saman merkksä, mahdollsta van tyyn muuttulle Jos v 0 a β :n tyy on 0, d q :n merkllä e ole välä Kohdefunkto alottan lneaarnen q Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 9 Duaaln tateste Kannasta ostuu muuttua yläraalla > t 0 Taaus : > 0, d (t) enenee Taaus a: d (0) > 0 Taaus a(): d (0) eäkäyä, P d ( t) d ( 0) t 0 d d (0) t > d (0) t < d (0) Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 0 5

Duaaln tateste Kannasta ostuu muuttua yläraalla > t 0 Taaus : > 0, d (t) enenee Taaus a: d (0) > 0 Taaus a(): d (0) käyä d ( t) d ( 0) t d käyä 0 d d (0) t > d (0) t d (0) Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / Duaaln tateste Kannasta ostuu muuttua yläraalla > t 0 Taaus : > 0, d (t) enenee Taaus b: d (0) 0 d ( t) d ( 0) t d (0) 0 d t > 0 Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 2 6

Duaaln tatesteet suhdetestssä > 0 < 0 t 0 d < 0 - d d 0 d - > 0 < 0 t 0 d < 0 d - d 0 - d Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 3 Palottan lneaarnen kohdefunkto f(t) Järestetään tatesteden tsesarvot kasvavaan ärestykseen: 0 t L t Q Q > 0, koska vähntään yks tateste määrtetty f(t):n kulmakerron alussa: s 0 v P M Rekursokaavat kulmakertomelle a f(t):lle s k f k s k f k + s k k ( t t ) k k Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 4 7

Palottan lneaarnen kohdefunkto f(t) f(t) t t 2 t 3 t 4 t Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 5 Generalzed Dual Phase- (GDPO) menetelmä Askel : Määrtä oukot M a P. Jos molemmat ovat tyhä, suortetaan käyyyskoraus. Ratkasu on tämän älkeen duaalkäyä. ~ Askel 2: Lasketaan auvektor a Askel 3: Lasketaan redusodut kustannukset v B ~ a Askel 4: Duaaln hnnottelu, valtaan vot-rv. Jos yhtään arantavaa ehdokasta e löydy, tehtävä on duaaleäkäyä. Askel 5: Lasketaan ävtetty vot-rv Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 6 8

Generalzed Dual Phase- (GDPO) menetelmä Askel 6: Duaaln suhdetest sovlle muuttulle, a ärestetään tatesteet kasvavaan onoon: 0 t L t Q Askel 7: Käydään tatesteet lä. Vmenen tateste, olle kulmakerron ol e-negatvnen, määrttää kantaan tulevan muuttuan x q. Askel 8: Pävtetään ratkasu. Kannasta ostuvan muuttuan arvo asetetaan ala- ta yläraallensa. Pävtetään kantaratkasu sekä duaaln loogset muuttuat, samon B a U. Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 7 GDPO a degenerotunesuus Degenerotuneessa kannassa d 0 yhdellä ta useammalla e-kanta muuttualla Nämä muuttuat aheuttavat monnkertasen muutossteen, kun t 0 0 t L t < t + L l l Olkoon kohdefunkton maksmova muutosste t k sten, että sk > 0 a s k + 0 Jos k > l, vodaan suorttaa ostvnen askel koht käyyyttä t Q Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 8 9

GDPO vs. erntenen DPO Yhdellä vot-rvn ävtyksellä vodaan tehdä monta askelta Perntenen menetelmä käyttää enntä tatestettä, GDPO vo ohttaa monta tatestettä yhdellä teraatokerroksella Tom manost kaken tyysllä muuttulla Valnnan vaaus kantaan tulevan muuttuan suhteen arantaa numeersta stablutta Kokemusten erusteella GDPO:lla vähemmän teraatota, kun erntesllä menetelmllä Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 9 Rvn valnta duaal-smlexss smlexssä Määrtellään vektor ω: β os β < 0, tye( β) 3 ω β υ os β > υ 0 muuten Prmaaln ratkasua yllädetään ekslsttsest, oten duaaln redusodut kustannukset koko aan saatavlla Normalsotu hnnottelu yksnkertasemaa duaalssa. vaheen redusodut kustannukset v 2. vaheen redusodut kustannukset ω Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 20 0

Dantzg-hnnottelu Valtaan enten raaansa rkkova rv Valtaan oko kaksta rvestä ta sovasta rven osaoukosta Pvot-rv määrtetään sten, että ω max { } ω Jos ω 0, ratkasu on rmaalkäyä a otmaalnen Muuton on valttu vot-rv a x k on kannasta ostuva muuttua Muuttua x k ostuu kannasta oko ala- ta yläraallaan Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 2 Jyrkmmän n särms rmän n hnnottelu Johdetaan menetelmä LP-tehtävälle, ossa van enegatvsa muuttua: T Prmaal : mn c x : Ax b, x 0 T T Duaal : max b y : A y c Olkoon B duaalkäyä kanta a A ostettu A [B R] Duaaln ratkasu on y t y + tρ, y B { } { } T T ( ) cb, ρ B e Kannan kääntesmatrsn rvt ovat särmen suunta T ρ e B,, K, m Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 22

Särmän n suunnat y 2 b ρ ρ 2 b ρ 2 ρ y Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 23 Kannasta ostuvan muuttuan valnta Kohdefunkton gradentt on b Kannasta ostuvan muuttuan valnta vastaa särmän suunnan valntaa Valttavan suunnan tulee muodostaa terävä kulma kohdefunkton gradentn kanssa: T T ρ b e B b x < 0 Jyrkmmälle suunnalle b T ρ ρ T b ρ mn m ρ, δ ρ ρ T ρ 2,, K, m Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 24 2

Särmän n suunten ävtys Kantaan tuleva muuttua x q B q a q Kannan kääntesmatrsn rvt ävtetään: ρ ρ ρ ρ q ρ q q,, K, m, Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 25 δ ρ ρ δ ρρ Normen ävtys 2 δ q δ 2 ρ q q q ρ + δ q 2 Krttnen term on stetulo ρ ρ T ρ ρ ρρ e B ρ :s rv ρ lasketaan oka taauksessa Ylmääränen FTRAN kannan kääntesmatrsn :nnen rvn kanssa Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 26 3

Devex-hnnottelu Jyrkmmän särmän menetelmän aroksmaato Särmän suunnat samat kun yrkmmän särmän menetelmässä Suunten normt korvataan aroksmovlla anolla Panot kasvavat teraatoden akana, oten ne täytyy aka aon nollata Devex-norm määrtellään aluks nykysten kantamuuttuen ndeksoukon H avulla Rvanot ävtetään teratvsest Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 27 Rvanoen ävtt vttämnen Merktään h:lla arvotua rvanoa Jokanen h alustetaan :ks Rvanoen ävtyskaava: h h max max {, ˆ / q } { h, q q ˆ } m, mssäˆ on ävtetyn vot-rvn ne alkot, otka kuuluvat tämänhetkseen vtekehykseen Koska ävtetty vot-rv lasketaan oka taauksessa, nn anoen ävtys on noeaa Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 28 4

Pvot-rvn laskemnen Duaal-smlexssä vot-rvn ävttämnen vaatvn oeraato T e B A Tallennetaan A myös rvettän, a lasketaan sen avulla: r M R r M m r R r M m [ ] ρ L ρ L ρm r M r Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 29 m ρ r Degenerotunesuus duaal-smlexss smlexssä Prmaal-smlexn degenerotunesuus-teknkota vodaan soveltaa myös duaalssa Toleranss huomotava myös duaaln degenerotunesuudessa Degenerotunesuus vodaan huomoda hnnottelussa Duaal-smlexssä tomva teknkota: EXPAND Wolfen ad hoc -menetelmä Heurstset härö- a shftaus-menetelmät Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 30 5

Yhteenveto Duaal-smlexn. vaheen GDPOssa maksmodaan alottan lneaarsta kohdefunktota GDPO monella taaa erntesä. vaheen menetelmä arem Hnnottelussa vodaan käyttää vastaava menetelmä kun rmaal-smlexssä Normalsodut hnnottelumenetelmät tehokkaama duaal-smlexssä kun rmaal-smlexssä Kannan degenerotumsen kästtelyyn käytettävssä samat menetelmät kun rmaalssakn Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 3 Krallsuutta Dantzg, G. (963). Lnear Programmng and Extensons. Prnceton Unversty Press, Prnceton. Forrest, J. and Goldfarb, D. (992). Steeest edge smlex algorthms for lnear rogrammng. Mathematcal Programmng 57(3), 34-374. Harrs, P. (973). Pvot Selecton Method of the Devex LP Code. Mathematcal Programmng 5, -28. Maros, I. (2002). A Pecewse Lnear Dual Phase- Algorthm for the Smlex Method Wth All Tyes of Varables. Comutatonal Otmzaton and Alcatons. To aear. Wolfe, P. (963). A technque for resolvng degeneracy n lnear rogrammng. SIAM Journal of Aled Mathematcs, 205-2. Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 32 6