TKK (c) Ila Melli (004) Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia Klassie todeäöisyys Multiomiertoimet Johdatus todeäöisyyslasetaa Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia TKK (c) Ila Melli (004) Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia: Mitä opimme? / Tarastelemme tässä luvussa lassise todeäöisyyde määritelmää liittyvie aleistapahtumie luumäärie lasemista ombiatoriia avulla. Opimme uia ombiatoriia perusogelmat, äärellise jouo alioide muodostamie jooje, osajooje ja osajouoje luumäärie lasemie, voidaa rataista ombiatoriia perusperiaatteide, yhteelasuperiaattee ja ertolasuperiaattee, avulla. Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia: Mitä opimme? / Opimme myös seuraavat äsitteet: (i) Äärellise jouo alioide jooja utsutaa alioide permutaatioisi. (ii) Äärellise jouo alioide osajooja utsutaa alioide variaatioisi tai -permutaatioisi. (iii) Äärellise jouo alioide osajouoja utsutaa alioide ombiaatioisi. Näemme mite aiie mahdolliste permutaatioide luumäärä voidaa ilmaista ertomafutio avulla. Näemme mite aiie mahdolliste ombiaatioide luumäärä voidaa ilmaista biomiertoimie avulla. TKK (c) Ila Melli (004) 3 TKK (c) Ila Melli (004) 4 Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia: Esitiedot Esitiedot: s. seuraavia luuja: Todeäöisyyslasea perusäsitteet Todeäöisyyslasea peruslasusääöt Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia >> Klassie todeäöisyys Multiomiertoimet TKK (c) Ila Melli (004) 5 TKK (c) Ila Melli (004) 6
TKK (c) Ila Melli (004) 7 Klassie todeäöisyys Avaisaat Klassie todeäöisyys Kombiatoriia Suotuisa aleistapahtuma Symmetriset aleistapahtumat Tapahtuma Äärellie otosavaruus Klassie todeäöisyys Klassie todeäöisyys: Määritelmä Oloo S = {s, s,, s } äärellie otosavaruus. Oletetaa, että Pr( si ) =, aiille i =,,, Tällöi saomme, että aleistapahtumat s i ovat symmetrisiä. Tarastellaa tapahtumaa A S, joho uuluu aleistapahtumaa, joita utsutaa tapahtumalle A suotuisisi. Tällöi tapahtuma A lassie todeäöisyys o Pr( A) = TKK (c) Ila Melli (004) 8 Klassie todeäöisyys Klassie todeäöisyys: Kommetteja /3 Uhapelit muodostavat lassise todeäöisyyde määritelmä täreimmä sovellusohtee. Useimmissa uhapeleissä pelii liittyvät aleistapahtumat ovat symmetrisiä peli säätöje muaa. Jos satuaisilmiö aleistapahtumat ovat symmetrisiä, erilaiste tapahtumie todeäöisyydet voidaa määrätä päättelemällä äyttämällä apua ombiatorisia lasutoimitusia. Todeäöisyyslaseta sai alusa eräide uhapelie voitomahdollisuusia oseeista ogelmista 600- luvulla. Klassie todeäöisyys Klassie todeäöisyys: Kommetteja /3 Pitääö oletus aleistapahtumie symmetrisyydestä paiaasa myös reaalimaailmassa, o empiirie ysymys. Jos satuaisilmiöstä o havaitoja, voidaa symmetriaoletusta testata tilastollisilla testeillä. Otosavaruutee ja se tapahtumii uuluvie aleistapahtumie luumäärie lasemie o usei epätriviaali tehtävä, jossa voidaa äyttää apua ombiatoriiaa. TKK (c) Ila Melli (004) 9 TKK (c) Ila Melli (004) 0 Klassie todeäöisyys Klassie todeäöisyys: Kommetteja 3/3 Klassise todeäöisyyde määritelmä o liia rajoittava ollasee äyttöelpoie todeäöisyyde yleiseä määritelmää: (i) Määritelmä ei aa mahdollisuutta puhua todeäöisyysistä sellaisissa tilateissa, joissa satuaisilmiöö liittyvä otosavaruude aleistapahtumat eivät ole symmetrisiä. (ii) Määritelmä ei aa mahdollisuutta puhua äärettömii otosavaruusii liittyvie tapahtumie todeäöisyysistä. Matemaattisesti elvollise määritelmä todeäöisyydelle atavat s. Kolmogorovi asioomat. Klassie todeäöisyys Esimeri Heitetää oppaa. Tällöi otosavaruus o S = {,, 3, 4, 5, 6}. Oletetaa, että oppa o virheetö eli Pr( i) =, aiille i =,, 3, 4, 5, 6 6 Oloo tapahtuma A = {5, 6} S. Tapahtumalle A suotuisie aleistapahtumie luumäärä =. Site tapahtuma A todeäöisyys o Pr( A ) = = 0.333 6 3 TKK (c) Ila Melli (004) TKK (c) Ila Melli (004)
TKK (c) Ila Melli (004) 3 Klassie todeäöisyys Jouo alioide luumäärä lasemie ja ombiatoriia Perusjouo (otosavaruude) ja se osajouoje (tapahtumie) alioide (aleistapahtumie) luumäärie lasemisessa tarvitaa apua jotai järjestelmällistä meetelmää. Järjestelmällise meetelmä jouo alioide luumäärä lasemisee tarjoaa ombiatoriiasi utsuttu matematiia osa-alue. Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia Klassie todeäöisyys >> Multiomiertoimet TKK (c) Ila Melli (004) 4 Kombiatoriia perusperiaatteet / Avaisaat Joo Jouo Kertolasuperiaate Kombiatoriia perusogelmat Kombiatoriia perusperiaatteet Kombiatoriia Operaatio Osajoo Osajouo Riippumattomat operaatiot Toisesa poissulevat operaatiot Yhteelasuperiaate Kombiatoriia aavoje johtamisee ja perustelemisee tarvitaa usei vai ahta ysiertaista periaatetta, joita saotaa ombiatoriia perusperiaatteisi: () Yhteelasuperiaate () Kertolasuperiaate TKK (c) Ila Melli (004) 5 TKK (c) Ila Melli (004) 6 Kombiatoriia perusperiaatteet / Tarastellaa operaatioita M ja N. Tehdää seuraavat oletuset: () Operaatio M voidaa suorittaa m eri tavalla. () Operaatio N voidaa suorittaa eri tavalla. Operaatiot M ja N voidaa yhdistää uudesi, yhdistetysi operaatiosi seuraavilla tavoilla: (i) Suoritetaa MtaiN (ii) Suoritetaa MjaN Kombiatoriia perusperiaatteet liittyvät äide ahde yhdistety operaatio suoritustapoje luumäärie lasemisee. Toisesa poissulevat operaatiot ja yhteelasuperiaate Saomme, että operaatiot M ja N ovat toisesa poissulevia, jos operaatioita M ja N ei voisuorittaa yhtäaiaa eli samaaiaisesti. Oloot operaatiot M ja N toisesa poissulevia. Oletetaa lisäsi, että operaatio M voidaa suorittaa m eri tavalla ja operaatio N voidaa suorittaa eri tavalla. Tällöi yhdistetty operaatio (i) Suoritetaa M tain voidaa suorittaa m + eri tavalla. TKK (c) Ila Melli (004) 7 TKK (c) Ila Melli (004) 8
TKK (c) Ila Melli (004) 9 Riippumattomat operaatiot ja ertolasuperiaate Kombiatoriia perusperiaatteet: Esimeri /3 Saomme, että operaatiot M ja N ovat riippumattomia, jos se, miä vaihtoehtoisista tavoista suorittaa operaatio M valitaa, ei vaiuta siihe, miä vaihtoehtoisista tavoista suorittaa operaatio N valitaa ja äätäe. Oloot operaatiot M ja N riippumattomia. Oletetaa lisäsi, että operaatio M voidaa suorittaa m eri tavalla ja operaatio N voidaa suorittaa eri tavalla. Tällöi yhdistetty operaatio (ii) Suoritetaa M jan voidaa suorittaa m eri tavalla. Kaupuie X ja Y välillä o suoraa letoa. X:stä Y:hy pääsee myös aupugi Z autta: (i) Kaupuie X ja Z välillä o 3 letoa. (ii) Kaupuie Z ja Y välillä o letoa. Oletetaa lisäsi, että letoje valiat voidaa tehdä toisistaa riippumatta. Kuia moella eri tavalla voidaa letää X:stä Y:hy? X Z Y TKK (c) Ila Melli (004) 0 Kombiatoriia perusperiaatteet: Esimeri /3 Kombiatoriia perusperiaatteet: Esimeri 3/3 Kosa letoje valiat voidaa tehdä toisistaa riippumatta, Z: autta tapahtuvii letoihi voidaa soveltaa ombiatoriia ertolasuperiaatetta. Se muaa X:stä Y:hy pääsee letämää Z: autta 3 = 6 eri tavalla. X Z Y Kosa suoraa letoa X:stä Y:hy ja 6 eri tapaa letää X:stä Y:hy Z: autta ovat toisesa poissulevia, letoje ooaisluumäärä saadaa soveltamalla ombiatoriia yhteelasuperiaatetta. Se muaa X:stä Y:hy pääsee letämää + 6 = 8 eri tavalla. X Z Y TKK (c) Ila Melli (004) TKK (c) Ila Melli (004) Kombiatoriia perusogelmat / Kombiatoriia perusogelmat / Oloo S = {s, s,, s } äärellie jouo, joa alioide luumäärä o = S = (S), jossa S = (S) o luumääräfutio, joa ertoo jouo S alioide luumäärä. Kombiatoriia perusogelmat liittyvät jouo S alioide muodostamie osajooje ja osajouoje luumäärie lasemisee. Kombiatoriia perusogelmat: (a) Kuia moella erilaisella tavalla jouo S aliot voidaa järjestää jooo? (b) Kuia moella erilaisella tavalla jouo S alioista voidaa muodostaa : alio osajoo? () Kuia moella erilaisella tavalla jouo S alioista voidaa muodostaa : alio osajouo? TKK (c) Ila Melli (004) 3 TKK (c) Ila Melli (004) 4
TKK (c) Ila Melli (004) 5 Jouo Jouoje samuus Palautetaa mielee, että jouo o täysi määrätty, jos se aliot tuetaa. Oloot äärellise jouo A aliot a, a,, a. Tällöi meritää A = {a, a,, a }. Jouot A ovat samat, jos iissä o täsmällee samat aliot: A = B, jos ja vai jos x A x B. TKK (c) Ila Melli (004) 6 Joo Jooje samuus Palautetaa mielee, että joo o täysi määrätty, jos se aliot ja iide järjestys tuetaa. Oloo a joo, joa i. alio o a i, i =,,,. Tällöi meritää a = (a, a,, a ). -umeroiste ei-egatiivisiste ooaisluuje muodostamia jooja meritää usei irjoittamalla umerot perääi ilma sulumerejä ja piluja ute moiumeroisissa luvuissa. Esimeri: 649 = (6, 4, 9, ) Joot a = (a, a,, a ) ja b = (b, b,, b ) ovat samat, jos iissä o samat aliot samassa järjestysessä: a = b, jos ja vai jos a i = b i, i =,,,. TKK (c) Ila Melli (004) 7 TKK (c) Ila Melli (004) 8 Jouo vs joo: Esimeri Jouot {,, 3} {, 3, } {3,, 3, } ovat jouoia samat: {,, 3} = {, 3, } = {3,, 3, } Joot 3 3 ovat eri jooja: (,, 3) (, 3, ) Jouo osajouot: Esimeri Oloo S = {,, 3} Kaii jouo S alioide muodostamat osajouot: Kolme alio osajouot: {,, 3} pl Kahde alio osajouot: {, }, {, 3}, {, 3} 3 pl Yhde alio osajouot: {}, {}, {3} 3 pl Kaii jouo S: osajouot: {,, 3}, {, }, {, 3}, {, 3}, {}, {}, {3}, 8 pl TKK (c) Ila Melli (004) 9 TKK (c) Ila Melli (004) 30
TKK (c) Ila Melli (004) 3 Jouo osajoot: Esimeri Oloo S = {,, 3} Kaii jouo S alioide muodostamat osajoot: Kolme alio osajoot: 3, 3, 3, 3, 3, 3 6 pl Kahde alio osajoot:,, 3, 3, 3, 3 6 pl Yhde alio osajoot:,, 3 3 pl Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia Klassie todeäöisyys Kombiatoriia perusogelmat ja perusperiaatteet >> Multiomiertoimet TKK (c) Ila Melli (004) 3 Permutaatio Avaisaat Joo Jouo Kertoma Kombiatoriia perusogelmat -permutaatio -ertoma Osajoo Permutaatio Permutaatioide luumäärä Symmetriset aleistapahtumat Variaatio Variaatioide luumäärä Miä tahasa äärellise jouo S aiie alioide muodostama joo o jouo S alioide permutaatio. TKK (c) Ila Melli (004) 33 TKK (c) Ila Melli (004) 34 Permutaatioide luumäärä Oloo jouo S alioide luumäärä = (S). Tällöi jouo S alioide aiie mahdolliste permutaatioide luumäärä o! = ( ) jossa! o s. -ertoma. Tulos rataisee ombiatoriia perusogelma (a): Kuia moella erilaisella tavalla jouo S aliot voidaa järjestää jooo? Permutaatioide luumäärä: Perustelu /3 Käytetää permutaatioide luumäärä aava johdossa apua s. loeromallia. Oloo jouo S alioide luumäärä. Oletetaa, että äytettävissä o loerio, jossa o loeroa. Asetetaa jouo S aliot loerioo ysi errallaa ii, että joaisee loeroo tulee täsmällee ysi alio. TKK (c) Ila Melli (004) 35 TKK (c) Ila Melli (004) 36
TKK (c) Ila Melli (004) 37 Permutaatioide luumäärä: Perustelu /3 Loeroide täyttämie voidaa tehdä vaiheittai. Vaiheessa =,,, : (i) Loeroista o täytetty ( ) pl. (ii) Jouossa S o jäljellä ( + ) aliota. (iii) Suoritetaa operaatio Valitaa jouo S jäljellä olevista alioista ysi loeroo (iv) Operaatio voidaa tehdä ( + ) eri tavalla: = : Jouosta S voidaa valita alio tavalla. = : Jouosta S voidaa valita alio ( ) tavalla. = : Jouosta S voidaa valita alio tavalla. = : Jouosta S voidaa valita alio tavalla. Permutaatioide luumäärä: Perustelu 3/3 Tarastellaa yhdistettyä operaatiota, jossa aii vaiheet =,,, äydää läpi perääi. Kysymys: Kuia moella eri tavalla tämä yhdistetty operaatio voidaa suorittaa? Kosa joaie valitaoperaatio voidaa suorittaa edellisistä vaiheista riippumatta, ombiatoriia ertolasuperiaatteesta seuraa, että loeroide täyttämie voidaa tehdä ( ) =! eri tavalla. TKK (c) Ila Melli (004) 38 -ertoma Variaatio eli -permutaatio -ertoma voidaa lasea seuraavalla palautusaavalla:! = ( )!, =,, Määritellää: 0! = Palautusaavasta:! = 0! = =! =! = = 3! = 3! = 3 = 6 4! = 4 3! = 4 3 = 4 5! = 5 4! = 5 4 3 = 0 TKK (c) Ila Melli (004) 39 Oloo äärellise jouo S alioide luumäärä = (S). Miä tahasa jouo S alioide osajoo, jossa o aliota, o jouo S alioide variaatio eli - permutaatio. Meritä: P(, ) =: alio jouo -permutaatioide luumäärä Jos =, saadaa jouo S alioide permutaatio. TKK (c) Ila Melli (004) 40 Variaatioide eli -permutaatioide luumäärä Oloo jouo S alioide luumäärä = (S). Tällöi jouo S alioide aiie mahdolliste -permutaatioide luumäärä o! P(, ) = ( )! Tulos rataisee ombiatoriia perusogelma (b): Kuia moella erilaisella tavalla jouo S alioista voidaa muodostaa : alio osajoo? Jos =, utistuu ombiatoriia perusogelma (b) perusogelmasi (a), jote P(, ) =! Variaatioide eli -permutaatioide luumäärä: Perustelu Oloo jouo S alioide luumäärä. Jouo S aiie alioide permutaatioide luumäärää osevasta todistusesta ähdää, että :stä aliosta voidaa valita aliota :ho esimmäisee loeroo ( ) ( +) eri tavalla. Lavetamalla saadaa ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( )! = ( )!! = ( )! TKK (c) Ila Melli (004) 4 TKK (c) Ila Melli (004) 4
TKK (c) Ila Melli (004) 43 Permutaatioide luumäärä: Esimeri /4 Kuia mota erilaista 3-umeroista ooaisluua voidaa muodostaa umeroista 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? Meritää luuja muodostettaessa etuollat äyvii. Esimerejä: 5 = 005 ja 9 = 09 Kaii äi saatavat 3-umeroiset ooaisluvut ovat muotoa xyz olevia jooja, joissa umerot x, y ja z valitaa jouosta {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Numeroide x, y ja z valita jooo xyz voidaa tehdä ahdella eri tavalla: (i) Aiaisemmi valitu umero saa valita uudellee. (ii) Aiaisemmi valittua umeroa ei saa valita uudellee. Permutaatioide luumäärä: Esimeri /4 Tarastellaa esi tapausta (i) Aiaisemmi valitu umero saa valita uudellee. Käytetää apua loeromallia. Kooaisluu xyz muodostuu olmesta loerosta, joista joaie voidaa täyttää toisistaa riippumatta 0:llä erilaisella objetilla. Kertolasuperiaattee muaa loerot xyz voidaa täyttää 0 0 0 = 000 eri tavalla. Site erilaisia 3-umeroisia luuja, joissa saa olla samoja umeroita, o 000 pl. Tulos o tietysti sopusoiussa se assa, että ooaisluuje 000, 00, 00,, 00, 0, 0,, 00, 0, 0,, 999 luumäärä o 000. TKK (c) Ila Melli (004) 44 Permutaatioide luumäärä: Esimeri 3/4 Tarastellaa seuraavasi tapausta (ii) Aiaisemmi valittua umeroa ei saa valita uudellee. Käytetää apua loeromallia. Kooaisluu xyz muodostuu olmesta loerosta, jota voidaa täyttää vaiheittai seuraavalla tavalla: (). loero x voidaa täyttää 0 erilaisella objetilla. (). loero y voidaa täyttää vaiheesta () riippumatta 9 erilaisella objetilla, osa objeteista o äytetty. (3) 3. loero z voidaa täyttää vaiheesta () riippumatta 8 erilaisella objetilla, osa objeteista o äytetty. Kertolasuperiaattee muaa loerot xyz voidaa täyttää 0 9 8 = 70 eri tavalla. Permutaatioide luumäärä: Esimeri 4/4 Site erilaisia 3-umeroisia luuja, joissa sama umero ei saa esiityä ui erra, o 70 pl. Huomaa, että sama tulos saadaa huomaamalla, että tapausessa (ii) o määrättävä jouo {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 3-permutaatioide luumäärä. 3-permutaatioide luumääräsi saadaa 0! P(0,3) = = 0 9 8 = 70 7! miä tietysti yhtyy edellä saatuu tulosee. TKK (c) Ila Melli (004) 45 TKK (c) Ila Melli (004) 46 Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia Klassie todeäöisyys Kombiatoriia perusogelmat ja perusperiaatteet >> Multiomiertoimet Avaisaat Biomi Biomiaava Biomierroi Joo Jouo Kombiaatio Kombiaatioide luumäärä Kombiatoriia perusogelmat -ertoma Osajouo Osajouoje luumäärä Pascali olmio Permutaatio TKK (c) Ila Melli (004) 47 TKK (c) Ila Melli (004) 48
TKK (c) Ila Melli (004) 49 Kombiaatio Kombiaatioide luumäärä Oloo äärellise jouo S alioide luumäärä = (S). Miä tahasa jouo S osajouo, jossa o aliota, muodostaa jouo S alioide aliota sisältävä ombiaatio. Meritä: C(, ) =: alio jouo aliota sisältävie ombiaatioide luumäärä Oloo jouo S alioide luumäärä = (S). Tällöi jouo S alioide aiie mahdolliste aliota sisältävie ombiaatioide luumäärä o! C(, ) =!( )! jossa! = ( ) o s. -ertoma. Tulos rataisee ombiatoriia perusogelma (): Kuia moella erilaisella tavalla jouo S alioista voidaa muodostaa : alio osajouo? TKK (c) Ila Melli (004) 50 Kombiaatioide luumäärä ja biomiertoimet Kombiaatioide luumäärää C(, ) meritää usei s. biomiertoimella joa luetaa yli :. Biomiertoime määrittely ja imityse tausta: s. >. Kombiaatioide luumäärä: Perustelu /3 Oletetaa, että jouossa S o (S) = aliota. Kombiaatioide luumäärää oseva aava voidaa perustella määräämällä jouo S alioide aliota sisältävie permutaatioide luumäärä ahdella eri tavalla ja meritsemällä tuloset yhtä suurisi. Jouo S, jossa o aliota, -permutaatioide luumäärä o aiaisemma tulose perusteella! P(, ) = ( )! TKK (c) Ila Melli (004) 5 TKK (c) Ila Melli (004) 5 Kombiaatioide luumäärä: Perustelu /3 Toisaalta jouo S alioide permutoiti voidaa tehdä ahdessa vaiheessa: () Valitaa jouo S alioista aliota sisältävä osajouo. Tämä voidaa tehdä tehdä C(, ) eri tavalla, jossa C(, ) o toistaisesi tutemato luu. () Järjestetää valitu osajouo aliota jooo. Tämä voidaa voidaa tehdä! eri tavalla. Vaiheet () ja () voidaa suorittaa toisistaa riippumatta. Kombiaatioide luumäärä: Perustelu 3/3 Kombiatoriia ertolasuperiaattee muaa jouo S alioide aliota sisältävie permutaatioide luumäärä o siis P(, ) = C(, )! Sijoittamalla tähä permutaatioide luumäärä lausee! P(, ) = ( )! saadaa yhtälö! C(, )! = ( )! josta C(, ) rataisemalla saadaa haluttu tulos. TKK (c) Ila Melli (004) 53 TKK (c) Ila Melli (004) 54
TKK (c) Ila Melli (004) 55 Kombiaatioide luumäärä: Esimeri /3 Edellä o äsitelty esimeriä, jossa tarasteltii 3-umeroiste luuje muodostamista, u äytössä o umerot 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Tällöi todettii seuraavaa: (i) Jos sama umero saa esiityä luvussa useamma erra, erilaisia luuja o 000 pl. (ii) Jos sama umero ei saa esiityä luvussa useammi ui erra, erilaisia luuja o 70 pl. Kummassai tapausessa 3-umeroisia luuja äsiteltii umeroide 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 muodostamia jooia. Määrätää yt uia moella eri tavalla umeroide 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 muodostamasta jouosta {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} voidaa valita osajouo, jossa o 3 aliota. Kombiaatioide luumäärä: Esimeri /3 Rataisu ataa biomierroi C(0, 3): 0 0! 0 9 8 C(0,3) = 0 3 = = = 3!7! 3 Site jouosta {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} voidaa valita 3: alio osajouo 0:llä eri tavalla. TKK (c) Ila Melli (004) 56 Kombiaatioide luumäärä: Esimeri 3/3 Huomaa asetettuje ehtoje vaiutus luumäärii: (i) Numeroista 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 voidaa muodostaa 000 pl 3-umeroisia luuja, joissa sama umero saa esiityä useamma erra. (ii) Jouosta {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} voidaa muodostaa 70 pl 3: umero osajooja. (iii) Jouosta {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} voidaa muodostaa 0 pl 3: umero osajouoja. Permutaatiot vs ombiaatiot Jouo alioide permutaatioissa alioide järjestysellä o meritystä. Jouo alioide ombiaatioissa alioide järjestysellä ei ole meritystä. TKK (c) Ila Melli (004) 57 TKK (c) Ila Melli (004) 58 Permutaatiot vs ombiaatiot: Esimerejä Opiselijaravitola ruoajoo muodostaa siiä seisovie opiselijoide permutaatio, jossa opiselijoide järjestysellä o meritystä joottaville opiselijoille. Lotossa oiea rivi atavat 7 voittoumeroa muodostavat 39: umero jouo erää 7: alio ombiaatio, jossa umeroide arvotajärjestysellä ei ole meritystä. Biomierroi Kerroita! C(, ) = =!( )! utsutaa biomiertoimesi. Biomierroi luetaa yli :. Kosa 0! =, ii!! 0 = = = = 0!!!0! TKK (c) Ila Melli (004) 59 TKK (c) Ila Melli (004) 60
TKK (c) Ila Melli (004) 6 Pascali olmio Pascali olmio muodostamissäätö Biomiertoimet voidaa muodostaa äyttäe apua s. Pascali olmiota (5 esimmäistä riviä): 3 3 4 6 4 Luuu ottamatta olmio reuoilla olevia yösiä, Pascali olmio luvut saadaa lasemalla yhtee asi edeltävä rivi luua uolte suutaa. Biomiertoimet C(, 0), C(, ), C(, ),, C(, ), C(, ) muodostavat Pascali olmio ( + ). rivi luvut. Site Pascali olmio muodostamissäätö voidaa ilmaista biomiertoimie avulla seuraavasti: = + Saoi: Pascali olmio. rivi. luu saadaa lasemalla yhtee ( ). rivi ( ). luu ja. luu. TKK (c) Ila Melli (004) 6 Pascali olmio muodostamissäätö: Perustelu Pascali olmio muodostamissäätö voidaa perustella seuraavalla tavalla: (! ) (! ) + = + ( )!(( ) ( ) )!! (( ) )! (! ) (! ) = + (! ) ( )!! (! ) (! ) ( )(! ) = +! ( )!! ( )! ( + ( ) )(! ) =! ( )!! = =! ( )! Pascali olmio symmetrisyys Pascali olmio o symmetrie olmio rivie esiohda suhtee:! = =!( )! TKK (c) Ila Melli (004) 63 TKK (c) Ila Melli (004) 64 Pascali olmio symmetrisyys: Perustelu Pascali olmio symmetrisyys olmio rivie esiohda suhtee voidaa perustella seuraavalla tavalla:! =! ( )!! = ( )!( ( ) )! = Biomiaava Biomiaava muaa :s potessi biomille x + y voidaa esittää muodossa ( x + y) = x y = 0 = x x y x y 0 + + + + xy + y TKK (c) Ila Melli (004) 65 TKK (c) Ila Melli (004) 66
TKK (c) Ila Melli (004) 67 Biomiaava: Perustelu /3 Ku biomi x + y orotetaa potessii, saadaa summalausee, joa aii termit ovat muotoa x y, = 0,,,, Yhdistetää sellaiset termit, joissa esiityy sama x: potessi ja järjestetää äi saadut termit x: aleevie potessie muaisee järjestysee. Yhdistämise tulosea saadaa ( +) termiä sisältävä summalausee, joa ( + ). termi o muotoa D(, ) x y, = 0,,,, jossa D(, ) o muotoa x y olevie termie luumäärä. Tehtävää o määrätä D(, ) eli se uia moella eri tavalla muotoa x y oleva termi sytyy orotettaessa biomi x + y potessii. Biomiaava: Perustelu /3 Käytetää tehtävä rataisemisessa loeromallia. Täytetää loerio, jossa o loeroa, tyyppiä x ja tyyppiä y olevilla objeteilla, u tyyppiä x olevia objeteja o ( ) pl ja tyyppiä y olevia objeteja o pl. Kuia moella eri tavalla tämä täyttöoperaatio voidaa suorittaa? Huomaa, että tyyppiä y olevie objetie paiat o määrätty se jälee, u tyyppiä x olevat objetit o saatu sijoitetusi loeroihi. Sisi riittää tarastella sitä, uia moella eri tavalla ( ) pl tyyppiä x olevaa objetia voidaa sijoittaa loerioo, jossa o loeroa. TKK (c) Ila Melli (004) 68 Biomiaava: Perustelu 3/3 Tämä tehtävä voidaa formuloida myös seuraavassa, vaihtoehtoisessa muodossa: Kuia moella eri tavalla jouosta, jossa o aliota, voidaa valita osajouo, jossa o ( ) aliota? Tämä o ombiatoriia perusogelma (). Site ysyty luumäärä D(, ) ataa biomierroi C(, ) = = Biomiaava: Esimeri / Biomiaava muaa 4. potessi biomille x + y voidaa esittää muodossa 4 4 4 4 ( x+ y) = x y 0 = 4 4 4 3 4 4 3 4 4 = x xy xy xy y 0 + + + 3 + 4 4 3 3 4 = x + 4x y+ 6x y + 4xy + y Tulos o sopusoiussa se assa, että Pascali olmio 5. rivi luvut ovat, 4, 6, 4, TKK (c) Ila Melli (004) 69 TKK (c) Ila Melli (004) 70 Biomiaava: Esimeri / Tarastellaa esimeriä, mite tyyppiä x y olevat termit sytyvät. Kaii mahdolliset muotoa x y olevat tulot ovat xxyy xyxy xyyx yxxy yxyx yyxx Tuloja o siis 6 appaletta. Kosa tässä = 4 ja =, biomiertoime aavasta saadaa tämä tulose assa yhtäpitävästi 4 4! 4 3 C(4,) = 6 = = =!! Osajouoje luumäärä Oloo jouo S alioide luumäärä = (S). Jouo S osajouoje luumäärä o Luumäärässä ovat muaa: () Tyhjä jouo () Kaii yhde alio osajouot (3) Kaii ahde alio osajouot (4) Kaii olme alio osajouot () Kaii ( ): alio osajouot ( + ) Jouo S TKK (c) Ila Melli (004) 7 TKK (c) Ila Melli (004) 7
TKK (c) Ila Melli (004) 73 Osajouoje luumäärä: Perustelu / Oloo jouo S alioide luumäärä = (S). Jouolla S o aliota sisältävie ombiaatioide luumäärää oseva tulose muaa C(, ) = osajouoa, jossa o aliota, = 0,,,,. Jouo S osajouoje ooaisluumäärä N saadaa lasemalla aii biomiertoimet C(, ), = 0,,,, yhtee: N = 0 + + + + + Toisaalta biomiaavasta saadaa sijoittamalla x = y = : (+ ) = = + + + + + 0 Osajouoje luumäärä: Perustelu / Yhdistämällä ämä tuloset saadaa jouo S, jossa o = (S) aliota, aiie osajouoje luumääräsi N = = 0 + + + + + jossa biomierroi ertoo jouo S sellaiste osajouoje luumäärä, joissa o aliota, = 0,,,,. TKK (c) Ila Melli (004) 74 Kombiatorisia lasutoimitusia: Esimeri Lotossa ruuduo lototaa valitsemalla 7 umeroa 39:stä. Motao erilaista lottoruuduoa o olemassa? Toie muotoilu: Kuia mota erilaista 7 alio osajouoa voidaa valita 39 alio jouosta? Vastause ataa ombiaatioide luumäärää oseva tulos: 39 39! = = 5 380 937 7 7!3! Kombiatorisia lasutoimitusia: Esimeri Motao sellaista lottoruuduoa o olemassa, joissa o täsmällee 5 oiei? 5 oiei saadaa, jos o valittu 5 oieata umeroa 7 oiea umero jouosta ja väärää umeroa 3 väärä umero jouosta. Valiat voidaa tehdä toisistaa riippumatta. Kertolasuperiaattee muaa 5 oiei sisältävie rivie luumäärä o 7 3 7! 3! 496 0 46 5 = = = 5!!!30! TKK (c) Ila Melli (004) 75 TKK (c) Ila Melli (004) 76 Kombiatorisia lasutoimitusia: Esimeri 3 Korttipelit: poeri Motao erilaista 5 orti ättä o olemassa? Kombiaatioide luumäärää oseva tulose muaa: 5 598 960 5 = Korttipelit: bridge Motao erilaista 3 orti ättä o olemassa? Kombiaatioide luumäärää oseva tulose muaa: 5 = 635 03559 600 3 Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia Klassie todeäöisyys Kombiatoriia perusogelmat ja perusperiaatteet >> Multiomiertoimet TKK (c) Ila Melli (004) 77 TKK (c) Ila Melli (004) 78
TKK (c) Ila Melli (004) 79 Multiomiertoimet Multiomiertoimet Multiomierroi / Avaisaat Biomierroi Multiomi Multiomierroi Ositus Oloo äärellise jouo S alioide luumäärä = (S). Oletetaa, että positiiviset ooaisluvut i, i =,,, toteuttavat ehdo = + + + Ositetaa jouo S pistevieraisii osajouoihi A i, i =,,, site, että jouossa A i o (A i ) = i aliota. Kuia moella tavalla jouo S voidaa osittaa pistevieraisii osajouoihi ii, että osajouoje alioide luumäärät toteuttavat ym. ehdot? TKK (c) Ila Melli (004) 80 Multiomiertoimet Multiomierroi / Jouo S, jossa o = (S) aliota, voidaa osittaa! =!!! tavalla pistevieraisii osajouoihi A i, i =,,,, joide alioide luumäärät toteuttavat ehdot: (i) (A i ) = i, i =,,,, (ii) = + + +. Luumäärä atavaa lauseetta utsutaa multiomiertoimesi. Multiomiertoimet Multiomierroi: Kommetteja Epätyhjät jouot A i S, i =,,, muodostavat jouo S osituse, jos i i j i= S = A ja A A =, u i j Multiomierroi ertoo uia moella eri tavalla jouo S, jossa o aliota, voidaa osittaa pistevieraisii osajouoihi A i, i =,,, ii, että osajouossa A i o i aliota ja = + + +. TKK (c) Ila Melli (004) 8 TKK (c) Ila Melli (004) 8 Multiomiertoimet Multiomierroi: Kommetteja Multiomiertoimet ovat multiomi ( x+ x + + x ) ehitysaavassa tuloje x x x ertoimia. Biomierroi saadaa multiomiertoime erioistapausea, u =. Multiomiertoimet Multiomierroi:. esimeri / Saassa asa o 4 irjaita, joide jouossa o 3 erilaista irjaita: pl a pl s pl Kuia mota erilaista eljä irjaime mittaista saaa voidaa muodostaa permutoimalla irjaimia, a, a ja s? Erilaiste saoje luumäärä ataa multiomierroi 4 4! = =!!! TKK (c) Ila Melli (004) 83 TKK (c) Ila Melli (004) 84
TKK (c) Ila Melli (004) 85 Multiomiertoimet Multiomierroi:. esimeri / Tässä tapausessa erilaiset saat o helppo luetella: a-aluiset saat: aas aas aas asa asa asa -aluiset saat: aas asa saa s-aluiset saat saa saa saa Saoja o todellai pl ute edellä todettii. Multiomiertoimet Multiomierroi:. esimeri Korttipeli: poeri Oletetaa, että pelii osallistuu 4 pelaajaa. Jaetaa 5 orttia joaiselle pelaajalle. Kuia mota erilaista jaoa o olemassa? Korttipaa (5 orti paa) jaetaa siis 5 osaa, joissa o 5, 5, 5, 5 ja 3 orttia. Erilaiste jaoje luumäärä ataa multiomierroi 5 5! 4 = =.47 0 5 5 5 5 3 5!5!5!5!3! TKK (c) Ila Melli (004) 86