Nuo mainiot binomikertoimet

Transkriptio

1 Nuo maiiot biomiertoimet Osasto A umeroista osa a aii osasto B umerot o varustettu tähdellä Tällaisissa umeroissa esitety väittee todistus tai tehtävä rataisu esitetää osastossa C A Kertoimet a biomiaava Biomiertoimet liitetää tavallisesti rasalaisee Blaise Pascalii (63 6 a häe olmioosa Pascali olmio tusivat o iialaiset a useat eurooppalaiset ee Pascalia Jos o positiivie ooaisluu, ii! ( Lisäsi! Jos o positiivie! ooaisluu a, ii biomierroi o luu O tapaa luea :!(! yli (eglaisi choose Biomiertoimie perusomiaisuus o Pascali olmiosta äyvä muodostusperiaate eli yhteelasuaava, ( : määritelmästä seuraa ( a (3 Idutiolla o melo helppo todistaa biomiaava x y (x y (4 Selvästi (x y y x x y (x y (x y(x y x y Jos(4pätee ollai, ii x y x y

2 x y ( ( x y Ku otetaa huomioo ( a se, että x y x y (x y x y, x y, sadaa a idutioasel o otettu Biomiertoimie meritys ombiatoriiassa ( a todeäöisyydessä perustuupitälti siihe, että os ouossa o aliota, sillä o sellaista osaouoa, ossa o aliota Tämä voi perustella lasemalla ahdella eri tavalla, uia mota erilaista : alio ooa :stä alioista voi muodostaa Toisaalta tämä luumäärä o( ( (esimmäie oo äse voidaa valita :llä tavalla, seuraava eää ( :llä e, mutta os osaouoa o x appaletta, ii ooe määrä ox! (ooäseet voidaa valita x:llä tavalla a sitte paa! eri( tavalla ooo Ku yhtälöstä ( ( x! rataistaa x, saadaa x Ku osaouo syoyymia o äytetty saaa ombiaatio, o saatu meritä C ( a voivat siaita toisii C: ympärillä; tässä C viittaa ombiaatio-saaa Lasimissa äppäi, oa alla biomiertoimet ovat, o usei tuistettavissa C-iraimesta Josus o muavaa ulottaa meritä tapausii, oissa < tai<; tällöi sovitaa, että Todista oieisi yhteelasuaavat, 3 Edelliset yhteelasuaavat ovat äteviä, u yritetää lasea( perääiste ooaisluue potessie summia Esimmäie havaito o, että,ote

3 (Tämä aava sisällö äee ivasti, u aaa -ruuduo ahtee yhteevää osaa pylväillä, oide oreudet ovat,,, Jotta saataisii määritetysi, todetaa esi, että os, ii ( Näi olle 3 ( ( ( 6 4 Osoita, että summa voi myös lasea äyttämällä hyväsi aavaa Kesitö vielä muita tapoa? 3 5 Lase summat 3 a 4 6 Edellä äsitellyt summat olivat täreitä myös itegraalilasea aluvaiheissa 6- luvulla Käyrä y x p, x, a x-aseli välii äävä pita-ala eli x p dx, o isoilla : arvoilla suuillee sama ui summa Määritä edelliste umeroide tuloste avulla 7 Biomiaava perusteella o selvää, että p x p dx, p,, 3, 4 ( Samaa ideaa äyttäe voi ohtaa muita aavoa Esimerisi ( 3

4 4 Kaava (3 avulla saadaa Samalla tavoi voidaa lasea (5 (6 8 Kaavoe (5 a (6 tapaisia relaatioita voi ohtaa aiva toisellai teiialla, äyttämällä s geeroivia futioita a esimerisi differetiaali- a itegraalilasetaa Ku esimerisi ( x x derivoidaa, saadaa ( x a u tähä sioitetaa x, saadaa (5 9 Johda (6 itegroimalla biomiaava Määritä x, Biomiertoimille saa vielä uude merityse a samalla eio löytääseomi- aisuusia seuraavasta havaiosta Aatellaa polua, ota alavat xy-taso origosta (, a eteevät ysiö pituisi aseli, ota otetaa aia oo ylös tai oiealle, siis oo (p, q ( (p,qtai(p, ( q (p, q Osoittautuu, että pisteesee (, ohtavia polua o Todistetaa tämä idutiolla : suhtee Väite o ilmeie, u : pisteisii (, a (, vie umpaai vai ysi polu Oletetaa, että väite pätee arvolla Pisteesee (, ohtavat polut voi aaa ahdesi erillisesi ouosi, (, : autta ulevii a (, : autta ulevii Jos tai, toie ouoista o tyhä; muissa tapausissa ( äihi pisteisii ( tulevie polue luumäärät ovat idutio-oletuse muaa a Yhteelasuaava ( ohtaa väitteesee

5 5 Osoita, että 3 Vielä ysi tapa löytää a todistaa biomiertoimia osevia relaatioita o osaouoe luumäärä lasemie Oloo A ouo, ossa o aliota Oloo vielä A B C, missä B o ouo, ossa o aliota a C o ouo, ossa o aliota (ote B C Jos D A o -alioie ouo, ii D (B D (C D, a B D o r-alioie, C D ( r-alioie ollai r, r Toisaalta oaie B: r-alioise osaouo a C: ( r-alioise osaouo yhdiste o A: -alioie osaouo Ku r saa aii arvot ollasta :hi, saadaa aii A: -alioiset osaouot Niitä o siis ( ( (Jos >tai ( >, osa ertoimista o ollia Toisaalta A: -alioiste osaouoe määrä o Siis (8 r r r 4 Biomiaava (4 o puhtaasti algebrallie relaatio Se o site voimassa myös, u x a y ovat omplesiluua Ku aavaa valitaa sopivia omplesiluua, saadaa yllättäviä reaalisia yhteysiä Ku äytetää hyväsi relaatiota i, saadaa heti ( i Toisaalta De Moivre aava äyttöä ataa ( i ( i i 4 (cos x i si x cos(xi si(x ( ( cos π 4 i si π ( cos π 4 4 ( 3 π i si 4 Site cos π 4, si π 4

6 6 5 Biomiaavalle o palo äyttöä matemaattisessa aalyysissä O esimerisi yleisesti tuettu tosiasia, ettäosa > a o iiteä positiivie luu, ii espoettifutio a aia päihittää potessifutio,u asvaa tarpeesi suuresi Mutta misi? Asetetaa a b, b>, a valitaa > or >, a verrataa a :ää vai yhtee ( b : biomiehitelmä termii: a (b > b ( ( ( b b >b >!! Ku valitaa suuremmasi ui!, saadaa a > Kosa b a > vaio, pätee a lim 6 Mitä tapahtuisi, os espoetti biomiaavassa (4 ei olisi positiivie ooaisluu? Koeillaa luua Jos olisi pitäisi olla ( x A Bx Cx Dx 3 Ex 4, x (A Bx Cx Dx 3 Ex 4 A ABx (AC B x (AD BCx 3 (AE BD C x 4 Varma tapa saada edellie yhtälö toteutumaa, o valita ertoimet ii, että molemmilla puolilla x : erroi o sama Valitaa A Silloi o oltava B,AC B C 4 eli C,AD BC D 8 6 eli D 6,AE BD C E 6 64 eli E 5 8 e 7 Mite mahtaisivat alaa samalla periaatteella muodostetut summaehitelmät futioille ( x 3 a ( x? 8 Itse asiassa (4 pätee muodollisesti mille tahasa espoetille a: ( x a ax a(a x! a(a (a x 3 3!

7 Mutta yt o huolehdittava siitä, että vasemma puole lauseee määritelmä o uossa a että oiea puole mahdollisesti äärettömä mota yhteelasettavaa sisältävä summa o ymmärretty oiei Itse asiassa äy ii, että aava pätee aia, u x < Tulos voidaa todistaa matemaattise aalyysi meetelmi, mutta ohitetaa yt O uitei hausa tietää, että u Isaac Newto poisteli ohti differetiaali- a itegraalilasetaa, hä suoritti moia edelliste umeroide laselmie altaisia oeilua Newtoille biomiaava oli eemmii differetiaalilasea perusta ui se seuraus 7 B Vielä muutamaerroi 9 Osoita, että osp o aluluu a <<p, ii p o aollie p:llä Johda aava (8 äyttämällä umero polulasetameetelmää Lase ( Lase 3 ( ( 3 3 Lase 3 ( 4 Lase ( ( 5 Oloo S(, Pascali olmio :e rivi oa olmae alio summa, alettua :esta luvusta (,, 3 Johda S(, : lausee 6 Fiboacci luuoo (F määrittelevät yhtälöt F F af F F, u Osoita, että F 7 Lase Miltä äyttäisi biomiaava vastie lauseee (x y z tapausessa?

8 8 C Tähdet ertovat Kaava ( perusteella riittää todistaaaavoistaesimmäie oieasi Käytetää idutiota : suhtee Kaava o tosi, u Idutioasel: os aava o tosi arvolla, ii ( 3 3 ( 3 ( 3 ( 3 3 Tästa rataistaa 5 a ( 6 ( ( ( Numero 3 muaiset lasut ovat hiua työläitäaeotehtävä huolellisesti 6 Numeroide 3 a 5 tulosia hyödytämällä saadaa x p dx p, u p,, 3, 4 Atamalla,ähdää, että -meri o tosiasiassa yhtäläisyysmeri 9 ( x dx a / ( x x

9 Derivoidaa ahdesti: ( x ( ( x x ( x Sioitetaa x a otetaa huomioo (5 Sieveyse älee saadaa ysytysi summasi ( Origosta pisteesee, o aiiaa umerossa määritelly altaista polua Polua origosta pisteesee (, o appaletta a polua pisteestä(, ( pisteesee (, oyhtä mota ui origosta pisteesee (, eli ( appaletta Polua origosta pisteesee (, pistee (, autta o siis appaletta Joaie polu origosta pisteesee (, uleetäsmällee yhde pistee (, autta Tästä seuraaväite 7 Jos olisi ( x 3 3 x x A Bx Cx Dx 3, ii pitäisi olla (ABxCx Dx 3 3 A 3 3A Bx3(AB A Cx (3A D3B CB 3 x 3 x x Vertaamalla x: potessie ertoimia saadaa rataistua A,B 3, C 9, D 4 7 e Jälimmäise ehitelmä muodostamisee voisi äyttää geometrise sara summa lauseetta: ( x ( x x x 3 x 3x 4x 3 9 Aluluu p ei ole luvu!eiä luvu (p! teiä Sitä ei siis voi supistaa osamäärästä p!!(p! Kaava vase puoli o umero muaiste origosta pisteesee (, ohtavie polue määrä Joaie tällaie polu ulee ( oi pisteistä ( r, r, r autta Polua origosta pisteesee ( r, r o appaletta Pisteestä r ( r, r pisteesee (, ohtavissa poluissa o ( (( r r aselta a iistä r o otettava ylöspäi Tällaisia polua o siis appaletta r Väite seuraa 9

10 ( ( Jos, summa arvo o Jos 3, havaitaa, että lausee o polyomi ( x ( x toie derivaatta, u x Summa o siis 3 Summa o sama ui 4 ( x y Ku sioitetaa x y, saadaa Mutta ( ( x dx (x y ( ( 3 ( ( x y (Tämä ieltämättä epähavaiollie asia perustuu uitei suoraa osittelulaii: a b a b a b a b a 3 b 3 a b a b a 3 b 3 a 4 b 4 a b a 3 b 3 a 4 b 4 a 5 b 5 a b a (b b a (b b b a b 5 Tässä o muava aatella laaeusta,u < tai > a tulita S(, p lasetusi aiie tällaiste ertoimie parissa Silloi ähdää, että S(, S(, 3 S(,, S(, S(, S(, a S(, 3 S(, S(, 3 Lisäsi biomiertoimie summaomiaisuude (umero 7 perusteella S(, S(, S(, 3 Kosa S(, S(, a S(, 3, o S(,, S(, as(, 3, S(3,, S(3, 3, S(3, 3 3, S(4, 5, S(4, 5, S(4, 3 6, S(5,, S(5,, S(5, 3, S(6,, S(6,, S(6, 3 a S(7, 43, S(7, 43, S(7, 3 4 e Idutiolla voidaa todistaa, että luvuista S(,, S(,, S(, 3 aia asi o samaa a ysi eroaa muista yhdellä ysiöllä; alaspäi, u o parito a ylöspäi, u o parillie; asetelma toistuu uude asoissa

11 6 Tehtävässä esiityvä summa, oloo se S, saa arvo, u a Biomiertoimie yhteelasuaava perusteella 3 3 S S 3 3 S 3, ysytty summa o aiie biomiertoi- p 7 Kosa ( p p mie p, p summa, eli 8 Ku (x y z errotaa aui, saadaa termeä, ota ovat muotoa x y z ( Aatellaa tulo :ää teiää Joaie :sta äide osaouosta tuotaa potessi x lopuista :sta teiästä oaie : valita tuottaa teiä y Lopuista o otettava z Termi x y z saadaa ertolasussa aiiaa!!(! (!!(!!!!(! ertaa Luua!!!!,, utsutaa multiomiertoimisi Niitä meritää osus (,,,