Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat
|
|
- Elisabet Siitonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
2 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Klassinen todennäköisyys, suhteellinen frekvenssi ja ehdollinen todennäköisyys Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 2
3 Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden naiivit määritelmät Luvussa Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet todennäköisyydelle on esitetty kolme naiivia määritelmää: (i) Tapahtuman klassinen todennäköisyys on tapahtumalle suotuisien tulosvaihtoehtojen suhteellinen frekvenssi. (ii) Tapahtuman empiirinen todennäköisyys on tapahtuman (tilastollisesti stabiili) suhteellinen frekvenssi. (iii) Todennäköisyys on tapahtuman sattumisen mahdollisuuden mitta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 3
4 Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden naiivit määritelmät: Kommentteja Kuten näemme, yksikään todennäköisyyden naiiveista määritelmistä (i)-(iii) ei täytä hyvän matemaattisen määritelmän tunnusmerkkejä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 4
5 Todennäköisyyden määritteleminen Klassinen todennäköisyys Tarkastellaan satunnaiskoetta, johon liittyy n yhtä todennäköistä tulosvaihtoehtoa. Tarkastellaan ko. satunnaiskokeessa tapahtumaa A, johon liittyy k yhtä todennäköistä tulosvaihtoehtoa, joita sanotaan tapahtumalle A suotuisiksi. Tapahtuman A klassinen todennäköisyys on tapahtumalle suotuisien tulosvaihtoehtojen suhteellinen frekvenssi k n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 5
6 Todennäköisyyden määritteleminen Klassinen todennäköisyys: Esimerkki Heitetään kahta virheetöntä noppaa. Mikä on tapahtuman A = Silmälukujen summaksi saadaan 11 tai 12 todennäköisyys? Kahden virheettömän nopan heitossa mahdolliset tulosvaihtoehdot muodostuvat 6 6 = 36 lukuparista (i, j), i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 joiden kaikkien todennäköisyys on 1/36. Tapahtumalle A suotuisia tulosvaihtoehtoja on 3 kpl: (5,6), (6,5), (6,6) Siten tapahtuman A klassinen todennäköisyys on k 3 1 Pr( A) = = = n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 6
7 Todennäköisyyden määritteleminen Klassinen todennäköisyys: Kommentteja Klassisen todennäköisyyden määritelmä soveltuu vain sellaisten satunnaisilmiöiden tapahtumille, joissa tulosvaihtoehdot ovat symmetrisiä eli yhtä todennäköisiä. Klassisen todennäköisyyden määritelmää ei voida soveltaa sellaisiin satunnaiskokeisiin, joilla on äärettömän monta tulosvaihtoehtoa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 7
8 Todennäköisyyden määritteleminen Empiirinen todennäköisyys Toistetaan jotakin satunnaiskoetta n kertaa. Oletetaan, että tapahtuma A sattuu koetoistojen aikana f kertaa. Jos tapahtuman A suhteellinen frekvenssi f n lähestyy jotakin kiinteätä lukua p koetoistojen lukumäärän n kasvaessa rajatta, on p tapahtuman A empiirinen todennäköisyys. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 8
9 Todennäköisyyden määritteleminen Empiirinen todennäköisyys: Esimerkki 1/3 Eräässä kyselytutkimuksessa selvitettiin miten suomalaiset suhtautuvat Suomen mahdolliseen NATO-jäsenyyteen. Tutkimus perustui satunnaisotokseen, johon poimittiin arpomalla 1800 suomalaista. Otoksessa 1080 henkilöä ilmoitti vastustavansa NATO-jäsenyyttä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 9
10 Todennäköisyyden määritteleminen Empiirinen todennäköisyys: Esimerkki 2/3 Tutkimusta voidaan kuvata satunnaisilmiönä seuraavalla tavalla: Satunnaiskoe: Poimitaan yksi suomalainen arpomalla otokseen. Koetoistojen lukumäärä (otoskoko): n = 1800 Tapahtuma A: Otokseen poimittu suomalainen vastustaa Suomen NATOjäsenyyttä. Tapahtuman A frekvenssi koetoistojen joukossa: f = 1080 Tapahtuman A suhteellinen frekvenssi: f n = 1800 = TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 10
11 Todennäköisyyden määritteleminen Empiirinen todennäköisyys: Esimerkki 3/3 Jos otoksen poiminnassa käytettiin arvontaa, voidaan olettaa, että tapahtuman A suhteellinen frekvenssi säilyy stabiilina, jos otoskokoa kasvatetaan tai otantaa toistetaan. Jos oletus tapahtuman A suhteellisen frekvenssin stabiiliudesta pätee, havaittua suhteellista frekvenssiä 0.6 on järkevää kutsua todennäköisyydeksi, että satunnaisesti valittu suomalainen vastustaa Suomen NATO-jäsenyyttä. Siten tapahtuman A empiirinen todennäköisyys on Pr(A) = 0.6 otoksesta saatujen tietojen perusteella. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 11
12 Todennäköisyyden määritteleminen Empiirinen todennäköisyys: Kommentteja Empiirisen todennäköisyyden määritelmä edellyttää sitä, että tapahtuman suhteellinen frekvenssi käyttäytyy koetoistojen lukumäärän kasvaessa tilastollisesti stabiilisti. Empiiristä todennäköisyyttä ei voida liittää sellaisiin satunnaisilmiöihin, joista ei ole havaintoja. Tapahtuman empiiristä todennäköisyyttä ei voida nimestään huolimatta määrätä kokeellisesti, koska äärettömän monen koetoiston tekeminen ei ole käytännössä mahdollista. Mikään ei takaa, että empiirisen todennäköisyyden määritelmässä esiintyvä raja-arvo on olemassa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 12
13 Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyys mittana Todennäköisyyttä voidaan kutsua mitaksi, joka mittaa satunnaisilmiön tapahtumavaihtoehtojen sattumisen mahdollisuuksia. Venn-diagrammien käyttö todennäköisyyslaskennan peruslaskutoimitusten havainnollistamisessa perustuu juuri siihen, että todennäköisyydellä on mittana samantapaiset ominaisuudet kuin pinta-alamitalla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 13
14 Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyys mittana: Kommentteja Todennäköisyyden kutsuminen mitaksi sisältää jotakin hyvin olennaista todennäköisyyden luonteesta. Todennäköisyydellä on samantapaiset ominaisuudet kuin esimerkiksi pinta-ala- tai tilavuusmitalla paitsi, että tapahtuman todennäköisyydellä on ylärajana varman tapahtuman todennäköisyys 1. Todennäköisyyden kutsuminen sattumisen mahdollisuuden mitaksi on kuitenkin kehämääritelmä: Sattumisen mahdollisuus tarkoittaa suunnilleen samaa kuin todennäköisyys. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 14
15 Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksiomaattinen määrittely 1/2 Yksikään todennäköisyyden naiiveista määritelmistä ei täytä hyvän matemaattisen määritelmän tunnusmerkkejä. Matemaattisesti kelvollisen yleisen määritelmän todennäköisyydelle esitti venäläinen matemaatikko A. N. Kolmogorov 1930-luvun alussa. Kolmogorovin aksioomien mukaan todennäköisyyslaskenta on matemaattisen mittateorian osa. Todennäköisyyden naiivit määritelmät voidaan sijoittaa sopivasti muotoiltuina Kolmogorovin aksioomajärjestelmään todennäköisyyden käsitteen tulkintoina tai kuvauksina. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 15
16 Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksiomaattinen määrittely 2/2 Seuraavissa kappaleissa tarkastellaan todennäköisyyden aksiomaattista määrittelyä. Tarkastelu on jaettu kahteen osaan: (i) Todennäköisyyden määrittely äärellisissä otosavaruuksissa. (ii) Todennäköisyyden määrittely äärettömissä otosavaruuksissa. Samalla tarkastellaan todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen todistamista aksioomista lähtien. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 16
17 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen >> Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Klassinen todennäköisyys, suhteellinen frekvenssi ja ehdollinen todennäköisyys Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 17
18 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Boolen algebra: Määritelmä 1/2 Olkoon S joukko. Olkoon F jokin joukon S osajoukkojen muodostama joukkoperhe. Jos siis joukko A on joukkoperheen F alkio, niin A on joukon S osajoukko: A F A S TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 18
19 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Boolen algebra: Määritelmä 2/2 Joukkoperhe F on Boolen algebra, jos (i) Tyhjä joukko on joukkoperheen Falkio: F (ii) Jos joukko A on joukkoperheen F alkio, niin sen komplementti A c on joukkoperheen F alkio: c A F A F (iii) Jos joukot A ja B ovat joukkoperheen F alkioita, niin niiden yhdiste A B on joukkoperheen F alkio: A F, B F A B F TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 19
20 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Boolen algebrat ja joukko-opin operaatiot 1/2 Olkoon F joukossa S määritelty Boolen algebra. Olkoot A F ja B F Suoraan Boolen algebran aksioomien mukaan tyhjä joukko, komplementtijoukot A c ja B c sekä yhdiste A B kuuluvat joukkoperheeseen F : c c, A, B, A B F Lisäksi voidaan osoittaa, että perusjoukko S, leikkaus A B sekä erotukset A\B ja B\A kuuluvat joukkoperheeseen F: S, A B, A\ B, B\ A F TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 20
21 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Boolen algebrat ja joukko-opin operaatiot 2/2 Boolen algebrat ovat siis suljettuja tavanomaisten joukkoopin operaatioiden suhteen. Tällä tarkoitetaan siitä, että tavanomaiset joukko-opin operaatiot eivät vie Boolen algebran ulkopuolelle: Jos Boolen algebran F joukkoihin sovelletaan korkeintaan äärellinen määrä tavanomaisia joukko-opin operaatioita komplementti, yhdiste, leikkaus ja erotus, niin tuloksena saatavat joukot kuuluvat edelleen Boolen algebraan F. Vrt. yllä sanottua lukujoukkojen ominaisuuksiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 21
22 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Joukko-opin operaatiot Olkoon F joukossa S määritelty Boolen algebra. Todistetaan seuraavat joukko-opin tulokset: (i) Joukko S F (ii) Jos A F, B F, niin A B F (iii) Jos A F, B F, niin A \ B F TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 22
23 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Joukko-opin operaatiot: Perusjoukko 1/2 Olkoon F joukossa S määritelty Boolen algebra. Tällöin perusjoukko S kuuluu joukkoperheeseen F : S F TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 23
24 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Joukko-opin operaatiot: Perusjoukko 2/2 Väite seuraa, siitä että c S = Todistetaan siis, että c F Aksiooman (i) mukaan F Aksiooman (ii) mukaan c = S F TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 24
25 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Joukko-opin operaatiot: Leikkausjoukko 1/2 Olkoon F joukossa S määritelty Boolen algebra. Olkoot A F, B F Tällöin joukkojen A ja B leikkaukselle pätee: A B F TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 25
26 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Joukko-opin operaatiot: Leikkausjoukko 2/2 Väite seuraa siitä, että DeMorganin lain mukaan c c c A B = ( A B ) Todistetaan siis, että A F, B F ( A c B c ) c F Aksiooman (ii) mukaan, c c A F B F A F, B F Aksiooman (iii) mukaan c c c c A F, B F A B F Vihdoin aksiooman (ii) mukaan c c c c c A B F ( A B ) F TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 26
27 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Joukko-opin operaatiot: Erotusjoukko 1/2 Olkoon F joukossa S määritelty Boolen algebra. Olkoot A F, B F Tällöin joukkojen A ja B erotukselle pätee: A \ B F TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 27
28 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Joukko-opin operaatiot: Erotusjoukko 2/2 Väite seuraa siitä, että c A \ B = A B Todistetaan siis, että c A F, B F A B F Aksiooman (ii) mukaan c B F B F Leikkausjoukkoa koskevan tuloksen mukaan c c A F, B F A B F TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 28
29 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Boolen algebra: Esimerkki Olkoon S mielivaltainen joukko. Olkoon A S mielivaltainen joukon S osajoukko. Tällöin joukkoperhe F = {, A, A c, S} muodostaa Boolen algebran joukossa S, koska (i) (ii) F B B c F (iii) B F, C F B C F F c Tässä B ja C voivat olla mitkä tahansa kaksi joukoista, A, A, S. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 29
30 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Boolen algebra tapahtuma-algebrana 1/2 Olkoon F otosavaruudessa S määritelty Boolen algebra. Kutsutaan Boolen algebraan F kuuluvia otosavaruuden S osajoukkoja tapahtumiksi. Jos siis A F, niin A S ja A on tapahtuma. Kutsutaan Boolen algebraan F kuuluvien otosavaruuden S osajoukkojen alkioita alkeistapahtumiksi. Jos siis s A F jollekin A F, niin s on alkeistapahtuma. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 30
31 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Boolen algebra tapahtuma-algebrana 2/2 Olkoon F otosavaruudessa S määritelty Boolen algebra. Olkoot otosavaruuden S osajoukot A ja B tapahtumia eli A F ja B F Tällöin siis myös A c, B c, A B, A B, A\B, B\A ovat tapahtumia. Siten otosavaruuden tapahtumista voidaan johtaa uusia tapahtumia soveltamalla niihin tavanomaisia joukko-opin operaatioita. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 31
32 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Äärelliset otosavaruudet Olkoon S äärellinen otosavaruus, jossa on n alkiota. Olkoon F= { A A S} otosavaruuden S kaikkien osajoukkojen perhe, joten joukkoperheessä F on n ( F) = 2 n alkiota. Otosavaruuden S kaikkien osajoukkojen perhe F muodostaa triviaalin Boolen algebran joukossa S. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 32
33 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Todennäköisyyden aksioomat 1/2 Olkoon S äärellinen otosavaruus ja F jokin sen osajoukkojen muodostama Boolen algebra. Olkoon Pr joukkofunktio, joka liittää jokaiseen Boolen algebraan F kuuluvaan otosavaruuden S osajoukkoon A reaaliluvun Pr(A). Jos siis A F, niin Pr( A). TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 33
34 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Todennäköisyyden aksioomat 2/2 Joukkofunktio Pr on todennäköisyys, jos (i) Pr( S) = 1 (ii) 0 Pr( A) 1 kaikille A F (iii) A F, B F, A B= Pr( A B) = Pr( A) + Pr( B) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 34
35 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Todennäköisyyden aksioomat: Kommentteja 1/2 Äärellisen otosavaruuden todennäköisyyden aksioomien (i)-(iii) mukaan todennäköisyys Pr on positiivinen, äärellisesti additiivinen ja normeerattu mitta. Aksioomat (i) ja (ii), normeeraus ja positiivisuus: A S 0 Pr(A) Pr(S) = 1 Aksiooma (iii), äärellinen additiivisuus: A B = Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Aksiooma (iii) on toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusääntö. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 35
36 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Todennäköisyyden aksioomat: Kommentteja 2/2 Aksioomien (i)-(iii) olennaisena sisältönä on siis se, että todennäköisyys on mitta matematiikan tarkoittamassa mielessä. Todennäköisyyslaskentaa voidaan pitää matemaattisen mittateorian osana. Aksioomien (i)-(iii) mukaan todennäköisyysmitalla on samat ominaisuudet kuin pinta-alamitalla paitsi, että todennäköisyysmitta on normeerattu niin, että sen yläraja on 1. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 36
37 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Tapahtumien todennäköisyydet äärellisessä otosavaruudessa Äärellisen otosavaruuden tapahtumista voidaan muodostaa uusia tapahtumia soveltamalla Boolen algebran aksioomia ja niistä johdettuja joukko-opin laskusääntöjä. Uusien tapahtumien todennäköisyydet saadaan soveltamalla äärellisen otosavaruuden todennäköisyyden aksioomia ja niistä johdettuja todennäköisyyslaskennan laskusääntöjä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 37
38 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Äärelliset todennäköisyyskentät Kolmikko ( S, F,Pr) muodostaa äärellisen todennäköisyyskentän, jos seuraavat ehdot pätevät: (i) Otosavaruus S on äärellinen. (ii) Joukkoperhe F on jokin joukon S osajoukkojen muodostama Boolen algebra. (iii) Joukkofunktio Pr on Boolen algebraan F kuuluville otosavaruuden S osajoukoille määritelty äärellisen otosavaruuden todennäköisyysmitta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 38
39 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen todistaminen Todistetaan seuraavat todennäköisyyslaskennan laskusäännöt todennäköisyyden aksioomista lähtien: (i) Mahdottoman tapahtuman todennäköisyys. (ii) Komplementtitapahtuman todennäköisyys. (iii) Osajoukon todennäköisyys. (iv) Yleinen yhteenlaskusääntö. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 39
40 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Mahdottoman tapahtuman todennäköisyys Olkoon S äärellinen otosavaruus. Olkoon mahdoton tapahtuma. Tällöin Pr( ) = 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 40
41 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Mahdottoman tapahtuman todennäköisyys: Perustelu Olkoon F otosavaruuden S osajoukoille määritelty Boolen algebra. Olkoon mahdoton tapahtuma. Tällöin F Joukot ja S muodostavat otosavaruuden S osituksen: S = S S = Todennäköisyyden aksioomien (i) ja (iii) mukaan 1 = Pr( S) = Pr( S) = Pr( ) + Pr( S) = Pr( ) + 1 josta välttämättä seuraa Pr( ) = 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 41
42 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Komplementtitapahtuman todennäköisyys Olkoon A äärellisen otosavaruuden S tapahtuma. Tällöin tapahtuman A komplementtitapahtuman A c todennäköisyydelle pätee: c Pr( A ) = 1 Pr( A) A A c S TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 42
43 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Komplementtitapahtuman todennäköisyys: Perustelu 1/2 Olkoon F otosavaruuden S osajoukoille määritelty Boolen algebra. Väite: c A F Pr( A ) = 1 Pr( A) Boolen algebran aksiooman (ii) mukaan c A F A F Joukot A ja A c muodostavat otosavaruuden S osituksen: A A c = S A A c = A c A S TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 43
44 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Komplementtitapahtuman todennäköisyys: Perustelu 2/2 Todennäköisyyden aksioomien (i) ja (iii) mukaan 1= Pr( S) c = Pr( A A ) c = Pr( A) + Pr( A ) josta väite seuraa. A A c S TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 44
45 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Osajoukon todennäköisyys Olkoot A ja B äärellisen otosavaruuden S tapahtumia. Olkoon B A. Tällöin pätee: Pr(B) Pr(A) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 45
46 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Osajoukon todennäköisyys: Perustelu 1/2 Olkoon F otosavaruuden S osajoukoille määritelty Boolen algebra. Väite: A F, B F, B A Pr( B) Pr( A) Leikkaus- tai erotusjoukkoa koskevan tuloksen mukaan A F, B F c A\ B = A B F TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 46
47 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Osajoukon todennäköisyys: Perustelu 2/2 Koska B A, joukot B ja A\B muodostavat joukon A osituksen: B (A\B)= A B (A\B) = Aksioomien (ii) ja (iii) mukaan Pr( A) = Pr( B) + Pr( A\ B) Pr( B) mikä oli todistettava väite. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 47
48 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Yleinen yhteenlaskusääntö Olkoot A ja B äärellisen otosavaruuden S tapahtumia. Tällöin pätee yleinen yhteenlaskusääntö: Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A B) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 48
49 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Yleinen yhteenlaskusääntö: Perustelu 1/3 Olkoon F otosavaruuden S osajoukoille määritelty Boolen algebra. Väite: A F, B F Pr( A B) = Pr( A) + Pr( B) Pr( A B) Boolen algebran aksiooman (iii) sekä leikkaus- ja erotusjoukkoja koskevien tuloksien mukaan A F, B F A B F, A B F A\ B F, B\ A F TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 49
50 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Yleinen yhteenlaskusääntö: Perustelu 2/3 Joukot A ja B\A muodostavat joukon A B osituksen: (1) A B = A (B\A) A (B\A) = Joukot A B ja B\A muodostavat joukon B osituksen: (2) B = (A B) (B\A ) (A B) (B\A) = TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 50
51 Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Yleinen yhteenlaskusääntö: Perustelu 3/3 Osituksesta (1) ja aksioomasta (iii) seuraa: (3) Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B\A) Osituksesta (2) ja aksioomasta (iii) seuraa: (4) Pr(B) = Pr(A B) + Pr(B\A) Ratkaisemalla Pr(B\A) yhtälöstä (4) ja sijoittamalla ratkaisu yhtälöön (3) saadaan väite: Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A B) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 51
52 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa >> Klassinen todennäköisyys, suhteellinen frekvenssi ja ehdollinen todennäköisyys Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 52
53 Klassinen todennäköisyys ja suhteellinen frekvenssi Klassinen todennäköisyys ja suhteellinen frekvenssi todennäköisyyksinä Osoitamme, että klassinen todennäköisyys ja suhteellinen frekvenssi toteuttavat sopivasti määriteltyinä äärellisen otosavaruuden todennäköisyyden aksioomat. Siten klassista todennäköisyyttä ja suhteellista frekvenssiä voidaan pitää todennäköisyyden tulkintoina. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 53
54 Klassinen todennäköisyys Klassinen todennäköisyys: Määritelmä 1/2 Olkoon S = {s 1, s 2,, s n } johonkin satunnaiskokeeseen liittyvä äärellinen otosavaruus, jossa on n = n(s) alkeistapahtumaa. Oletetaan, että otosavaruuden S alkeistapahtumat ovat symmetrisiä eli yhtä todennäköisiä. Tällöin 1 Pr( si ) =, i= 1,2, K, n n Olkoon A = { s } i, s tapahtuma, jossa on 1 i, K, s 2 i k S k = n(a) alkeistapahtumaa, joita sanotaan tapahtumalle A suotuisiksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 54
55 Klassinen todennäköisyys Klassinen todennäköisyys: Määritelmä 2/2 Määritellään tapahtuman A klassinen todennäköisyys Pr c (A) kaavalla k Pr c ( A) = n jossa siis k = n(a) n = n(s) Klassinen todennäköisyys Pr c (A) toteuttaa todennäköisyyden aksioomat (i)-(iii), joten klassinen todennäköisyys on todennäköisyys. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 55
56 Klassinen todennäköisyys Klassisen todennäköisyyden määritelmä: Perustelu Olkoon A = { si, s } { } 1 i, K, s 2 i S = s1, s2, K, s k n Tällöin A = { si} { s } { } 1 i L s 2 ik ja lisäksi alkeistapahtumat si j, j = 1,2, K, k ovat pareittain toisensa poissulkevia. Koska alkeistapahtumat s 1, s 2,, s n on oletettu symmetrisiksi, todennäköisyyden aksioomasta (iii) seuraa: 1 1 k Pr( A) = Pr( si ) + Pr( s ) Pr( ) Pr ( ) 1 i + L+ s 2 i = + L+ = = k c A n n n k kpl TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 56
57 Klassinen todennäköisyys Klassinen todennäköisyys on todennäköisyys: Perustelu 1/2 Todistetaan, että klassinen todennäköisyys Pr c ( ) toteuttaa todennäköisyyden aksioomat. Aksiooma (i): Koska n(s) = n, niin Pr c (S) = n/n = 1 Aksiooma (ii): Kaikille tapahtumille A S pätee 0 n(a) = k n = n(s) Siten 0 Pr c (A) = k/n 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 57
58 Klassinen todennäköisyys Klassinen todennäköisyys on todennäköisyys: Perustelu 2/2 Aksiooma (iii): Jos tapahtumat A ja B ovat toisensa poissulkevia eli, jos A B =, niin k A B = k A + k B Tällöin ka B ka + kb Pr c ( A B) = = n n ka kb = + n n = Pr ( A) + Pr ( B) c c TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 58
59 Suhteellinen frekvenssi Suhteellinen frekvenssi: Määritelmä Olkoon S johonkin satunnaiskokeeseen liittyvä äärellinen otosavaruus. Olkoon A S tapahtuma otosavaruudessa S. Toistetaan satunnaiskoetta n kertaa. Olkoon f A tapahtuman A frekvenssi koetoistojen joukossa. Tällöin f A n on tapahtuman A suhteellinen frekvenssi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 59
60 Suhteellinen frekvenssi Suhteellinen frekvenssi on todennäköisyys Käytetään tapahtuman A suhteelliselle frekvenssille f A /n merkintää: f A Pr f ( A) = n Suhteellinen frekvenssi Pr f (A) toteuttaa todennäköisyyden aksioomat (i)-(iii), joten suhteellinen frekvenssi on todennäköisyys. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 60
61 Suhteellinen frekvenssi Suhteellinen frekvenssi on todennäköisyys: Perustelu 1/2 Todistetaan, että suhteellinen frekvenssi Pr f ( ) toteuttaa todennäköisyyden aksioomat. Toistetaan satunnaiskoetta n kertaa. Aksiooma (i): Koska otosavaruus S on varma tapahtuma eli S sattuu jokaisessa koetoistossa, niin Siten f S = n Aksiooma (ii): Pr f (S) = f S /n = n/n = 1 Kaikille tapahtumille A S pätee 0 f A n. Siten 0 Pr f (A) = f A /n 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 61
62 Suhteellinen frekvenssi Suhteellinen frekvenssi on todennäköisyys: Perustelu 2/2 Aksiooma (iii): Jos tapahtumat A ja B ovat toisensa poissulkevia eli, jos A B =, niin f A B = f A + f B Tällöin f A B fa + fb Pr f ( A B) = = n n fa fb = + n n = Pr ( A) + Pr ( B) f f TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 62
63 Suhteellinen frekvenssi Empiirinen todennäköisyys Jos tapahtuman A suhteellinen frekvenssi f A Pr f ( A) = n lähestyy toistokokeiden lukumäärän n rajatta kasvaessa jotakin kiinteätä lukua p, sanotaan lukua p tapahtuman A empiiriseksi todennäköisyydeksi. Jos siis p on tapahtuman A empiirinen todennäköisyys, niin f A Pr f ( A) = p, kun n + n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 63
64 Suhteellinen frekvenssi Todennäköisyyden frekvenssitulkinta Oletetaan, että tapahtuman A todennäköisyys on p. Toistetaan sitä satunnaiskoetta, johon tapahtuma A liittyy, n kertaa. Todennäköisyyden frekvenssitulkinnan mukaan tapahtuman A suhteellinen frekvenssi f A Pr f ( A) = n vaihtelee satunnaisesti koetoistosta toiseen, mutta saa keskimäärin tapahtuman A todennäköisyyttä p lähellä olevia arvoja. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 64
65 Ehdollinen todennäköisyys Ehdollinen todennäköisyys todennäköisyytenä Seuraavassa osoitetaan, että ehdollinen todennäköisyys toteuttaa äärellisen otosavaruuden todennäköisyyden aksioomat. Siten ehdollista todennäköisyyttä voidaan pitää todennäköisyyden käsitteen laajennuksena. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 65
66 Ehdollinen todennäköisyys Ehdollinen todennäköisyys: Määritelmä Olkoon S johonkin satunnaiskokeeseen liittyvä äärellinen otosavaruus. Olkoot A S ja C S tapahtumia ja Pr(C) 0. Määritellään tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys Pr(A C) kaavalla Pr( AC) = Pr( A C) Pr( C) Ehdollinen todennäköisyys Pr(A C) toteuttaa todennäköisyyden aksioomat (i)-(iii), joten ehdollinen todennäköisyys on todennäköisyys. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 66
67 Ehdollinen todennäköisyys Ehdollinen todennäköisyys on todennäköisyys: Perustelu 1/3 Todistetaan, että ehdollinen todennäköisyys Pr( ) toteuttaa todennäköisyyden aksioomat. Aksiooma (i): Kaikille tapahtumille C S pätee S C = C. Siten Pr( S C) Pr( C) Pr( SC) = = = 1 Pr( C) Pr( C) Aksiooma (ii): Kaikille tapahtumille A S ja C S pätee A C C, joten 0 Pr(A C) Pr(C). Siten Pr( A C) Pr( C) 0 Pr( AC) = = 1 Pr( C) Pr( C) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 67
68 Ehdollinen todennäköisyys Ehdollinen todennäköisyys on todennäköisyys: Perustelu 2/3 Aksiooma (iii): Kaikille joukoille A, B ja C pätee distribuutiolaki (A B) C = (A C) (B C) Jos tapahtumat A ja B ovat toisensa poissulkevia eli, jos A B =, niin kaikille C S pätee (A C) (B C) = TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 68
69 Ehdollinen todennäköisyys Ehdollinen todennäköisyys on todennäköisyys: Perustelu 3/3 Tällöin Pr ( A B C) = = ( A B C) Pr ( ) Pr( C) ( A C B C ) Pr ( ) ( ) Pr( C) Pr( A C) Pr( B C) = + Pr( C) Pr( C) = Pr + ( AC) Pr( BC) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 69
70 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa Klassinen todennäköisyys, suhteellinen frekvenssi ja ehdollinen todennäköisyys >> Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 70
71 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Äärettömät otosavaruudet Äärellisille otosavaruuksille esitetyt aksioomat eivät sellaisenaan kelpaa äärettömille otosavaruuksille: Tämä johtuu seuraavista seikoista: (i) Äärettömän otosavaruuden tapauksessa kaikki otosavaruuden osajoukot eivät välttämättä kelpaa tapahtumiksi. (ii) Äärellisen otosavaruuden aksiooma (iii) on äärettömän otosavaruuden tapauksessa korvattava aksioomalla, joka sallii äärettömän monen pareittain toisensa poissulkevan tapahtuman tarkastelun. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 71
72 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa σ-algebra: Määritelmä 1/2 Olkoon S joukko. Olkoon F jokin joukon S osajoukkojen muodostama joukkoperhe. Jos siis joukko A on joukkoperheen F alkio, niin A on joukon S osajoukko: A F A S TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 72
73 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa σ-algebra: Määritelmä 2/2 Joukkoperhe F on σ-algebra, jos (i) Tyhjä joukko on joukkoperheen F alkio: F (ii) Jos joukko A on joukkoperheen F alkio, niin sen komplementti A c on joukkoperheen F alkio: A c F A F (iii) Jos joukot A 1, A 2, A 3, ovat joukkoperheen F alkioita, niin niiden yhdiste A i on joukkoperheen alkio: A1, A2, A3, K F Ai F U i= 1 F TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 73
74 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa σ-algebrat ja joukko-opin operaatiot 1/2 Olkoon F joukossa S määritelty σ-algebra. Olkoot Ai F, i = 1,2,3, K Suoraan σ-algebran aksioomien mukaan joukkojen A i komplementit ja niiden yhdiste A i ovat joukkoperheen F alkioita: c A F, i= 1,2,3, K ja A F i Lisäksi voidaan osoittaa, että joukkojen A i leikkaus A i on joukkoperheen F alkio: I i= 1 A i F TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 74 U i= 1 i
75 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa σ-algebrat ja joukko-opin operaatiot 2/2 σ-algebrat ovat siis suljettuja numeroituvan monen tavanomaisen joukko-opin operaation suhteen. Tällä tarkoitetaan siitä, että numeroituva määrä tavanomaisia joukko-opin operaatioita ei vie σ-algebran ulkopuolelle: Jos σ-algebran F joukkoihin sovelletaan korkeintaan numeroituva määrä tavanomaisia joukko-opin operaatioita komplementti, yhdiste, leikkaus ja erotus, niin tuloksena saatavat joukot kuuluvat edelleen σ-algebraan F. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 75
76 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa σ-algebrat ja Boolen algebrat Jos joukon S osajoukkojen perhe F toteuttaa σ-algebran aksioomat, niin se toteuttaa myös Boolen algebran aksioomat. Jokainen Boolen algebran aksioomista johdettu joukkoopin sääntö pätee myös σ-algebroille. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 76
77 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Kolmogorovin aksioomat todennäköisyydelle 1/2 Olkoon S otosavaruus ja F jokin joukon S osajoukkojen perhe, joka muodostaa σ-algebran. Olkoon Pr joukkofunktio, joka liittää jokaiseen σ-algebraan F kuuluvaan otosavaruuden S osajoukkoon A reaaliluvun Pr(A). Jos siis A F, niin Pr( A). TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 77
78 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Kolmogorovin aksioomat todennäköisyydelle 2/2 Joukkofunktio Pr on todennäköisyys, jos (i) Pr( S) = 1 (ii) 0 Pr( A) 1 kaikille A F (iii) A, A, A, K F ja A A =, i j Pr( U Ai) = Pr( Ai) i= 1 i j i= 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 78
79 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Kolmogorovin aksioomat: Kommentteja 1/2 Kolmogorovin aksioomien (i)-(iii) mukaan todennäköisyys Pr on positiivinen, täydellisesti additiivinen ja normeerattu mitta. Aksioomat (i) ja (ii), normeeraus ja positiivisuus: A F 0 Pr(A) Pr(S) = 1 Aksiooma (iii), täydellinen additiivisuus: Jos A i F, i = 1, 2, 3, ja A i A j =, i j, niin Pr( A i ) = Pr(A i ) Aksiooma (iii) on pareittain toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusääntö. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 79
80 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Kolmogorovin aksioomat: Kommentteja 2/2 Aksioomien (i)-(iii) olennaisena sisältönä on siis se, että todennäköisyys on mitta matematiikan tarkoittamassa mielessä. Todennäköisyyslaskentaa voidaan pitää matemaattisen mittateorian osana. Aksioomien (i)-(iii) mukaan todennäköisyysmitalla on samat ominaisuudet kuin pinta-alamitalla paitsi, että todennäköisyysmitta on normeerattu niin, että sen yläraja on 1. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 80
81 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Kolmogorovin aksioomat ja äärellisen otosavaruuden aksioomat Jos joukkofunktio Pr toteuttaa todennäköisyyden aksioomat äärettömille otosavaruuksille, niin se toteuttaa todennäköisyyden aksioomat myös äärellisille otosavaruuksille. Jokainen äärellisen otosavaruuden todennäköisyyden aksioomista johdettu todennäköisyyden laskusääntö pätee myös äärettömille otosavaruuksille. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 81
82 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Mitallisuus 1/2 Jos S on äärellinen otosavaruus, kaikille otosavaruuden S osajoukoille A S voidaan määritellä todennäköisyys. Siten äärellisen otosavaruuden S tapauksessa kaikki otosavaruuden osajoukot A S kelpaavat tapahtumiksi. Jos S on ääretön otosavaruus, kaikille otosavaruuden S osajoukoille A S ei voida välttämättä määritellä todennäköisyyttä. Siten äärettömän otosavaruuden S tapauksessa kaikki otosavaruuden osajoukot A S eivät välttämättä kelpaa tapahtumiksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 82
83 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Mitallisuus 2/2 Sellaisia otosavaruuden S osajoukkoja A S, joille voidaan määritellä todennäköisyys sanotaan mitallisiksi. Sellaisia otosavaruuden S osajoukkoja A S, joille ei voida määritellä todennäköisyyttä sanotaan epämitallisiksi. Voidaan osoittaa, että otosavaruuden S mitallisten osajoukkojen perhe muodostaa σ-algebran. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 83
84 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Mitallisuus ja reaalilukujen joukko 1/2 Jos otosavaruutena S on reaalilukujen joukko, mm. kaikki reaaliakselin välit sekä avoimet ja suljetut joukot ovat mitallisia ja kelpaavat tapahtumiksi. Voidaan osoittaa, että reaalilukujen joukolla on todennäköisyysmitan suhteen epämitallisia osajoukkoja, jotka eivät kelpaa tapahtumiksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 84
85 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Mitallisuus ja reaalilukujen joukko 2/2 Kaikki reaalilukujen joukon todennäköisyysmitan suhteen mitalliset osajoukot saadaan tyyppiä (,b] = { x < x b} olevista puoliavoimista väleistä soveltamalla niihin korkeintaan numeroituva määrä komplementti-, yhdisteja leikkausoperaatiota. Muotoa (, b] olevat reaaliakselin välit virittävät reaalilukujen joukon mitallisten osajoukkojen muodostaman σ-algebran. Tähän tulokseen perustuu kertymäfunktion keskeinen asema matemaattisessa tilastotieteessä; ks. lukua Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 85
86 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Tapahtumien todennäköisyydet äärettömässä otosavaruudessa Otosavaruuden mitallisista osajoukoista eli tapahtumista voidaan muodostaa uusia mitallisia osajoukkoja eli tapahtumia soveltamalla σ-algebran aksioomia ja niistä johdettuja joukko-opin sääntöjä. Uusien tapahtumien todennäköisyydet saadaan soveltamalla Kolmogorovin aksioomia ja niistä johdettuja todennäköisyyslaskennan laskusääntöjä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 86
87 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Todennäköisyyskentät Kolmikko ( S, F,Pr) muodostaa todennäköisyyskentän, jos seuraavat ehdot pätevät: (i) S on joukko. (ii) Joukkoperhe F muodostaa σ-algebran joukossa S. (iii) Joukkofunktio Pr on σ-algebraan F kuuluville joukon S osajoukoille määritelty todennäköisyysmitta, joka toteuttaa Kolmogorovin aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 87
88 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Lause 1 Olkoon ( S, F,Pr) todennäköisyyskenttä ja A1, A2, A3, K F. Tällöin pätee: (i) Jos A A A L, niin Pr U Ai = lim Pr( An) n + i= 1 (ii) Jos A A A L, niin Pr I Ai = i= 1 lim Pr n + ( A ) n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 88
89 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Lause 1: Todistus kohdalle (i) 1/4 Määritellään B0 = A0 = B1 = A1 B2 = A2 \ A1 B3 = A3 \ A2 L ja yleisesti B = A \ A = A A, i= 1,2,3, K c i i i 1 i i 1 Joukot B i, i = 0, 1, 2, 3, ovat pareittain toisensa poissulkevia, koska oletuksen mukaan A i 1 A i, i = 1, 2, 3,... B i A i 1 A i TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 89
90 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Lause 1: Todistus kohdalle (i) 2/4 Oletuksesta A i 1 A i, i = 1, 2, 3, seuraa: Pr( Bi) = Pr( Ai \ Ai 1) = Pr( A ) Pr( A ) i = 1, 2,3, K Lisäksi on selvää, että U Siten Pr U A i 1 i = = i= 1 i B i i 1 ( ) ( U A Pr ) i 1 i = B = Ui= 1 i B i A i 1 A i TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 90
91 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Lause 1: Todistus kohdalle (i) 3/4 Koska joukot B i, i = 0, 1, 2, 3, ovat pareittain toisensa poissulkevia, Kolmogorovin aksioomasta (iii) seuraa: ( ) n U B ( ) ( ) i 1 i = Bi = Bi Pr Pr lim Pr = n + i= 1 i= 1 Sijoittamalla tähän Pr( B) = Pr( A) Pr( A ), i= 1,2,3, K saadaan n i= 1 ( B ) = ( A ) + ( A ) ( A ) lim Pr i lim Pr Pr Pr n + = i i i 1 n + lim Pr n + ( A ) n ( A ) Pr( A ) + Pr L + Pr Pr 3 2 ( An 1) Pr( An 2) ( A ) Pr( A ) + n n 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 91
92 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Lause 1: Todistus kohdalle (i) 4/4 Yhdistämällä edellä johdetut tulokset saadaan lopulta: ( ) ( U A ) ( ) 1 i = U B 1 i = An Pr Pr lim Pr i= i= n + TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 92
93 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Lause 1: Todistus kohdalle (ii) 1/3 Määritellään C C C C 0 c 1 1 c 2 2 c 3 3 ja yleisesti c C = A, i= 1,2,3, K i = = = = L S A A A i Oletuksesta A i 1 A i, i = 1, 2, 3, seuraa: c c Ci 1 = Ai 1 Ai = Ci, i= 1,2,3, K TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 93
94 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Lause 1: Todistus kohdalle (ii) 2/3 Sovelletaan joukkoihin C i, i = 1, 2, 3, Lauseen 1 kohtaa (i): Pr ( U C ) lim Pr( ) i 1 i = Cn = n + c Koska C = A, i= 1,2,3, K, niin i i Pr( C ) Pr( c i = Ai ) = 1 Pr( Ai), i= 1,2,3, K DeMorganin lain mukaan ( ) c ( ) c c U U I C = A = A i= 1 i i= 1 i i= 1 i Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan mukaan Pr = 1 Pr ( ) c ( U C ) i 1 i C = Ui= 1 i TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 94
95 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Lause 1: Todistus kohdalle (ii) 3/3 Yhdistämällä edellä johdetut tulokset saadaan lopulta: Pr ( ) ( I A Pr ) i 1 i = C = Ui= 1 i = 1 Pr = 1 lim Pr n + ( U C ) i= 1 i ( A ) ( C ) = 1 lim 1 Pr n + = lim Pr n + n c n ( A ) n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 95
96 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Lause 2 Olkoon ( S, F,Pr) todennäköisyyskenttä ja A1, A2, A3, K F. Jos A A A L, niin ( A ) lim Pr = 0 n + n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 96
97 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Lause 2: Todistus Jos A A A L, niin Siten I A i= 1 i = Lauseen 1 kohdan (ii) mukaan Pr ( I A ) ( ) i= 1 i Pr = Pr = 0 ( I A ) lim Pr( ) i 1 i = An = n + Yhdistämällä nämä tulokset saadaan: ( A ) lim Pr = 0 n + n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 97
98 Todennäköisyyden aksioomat äärettömissä otosavaruuksissa Lause 2 ja Kolmogorovin aksioomat Voidaan osoittaa, että Kolmogorovin aksiooma (iii) A, A, A, K F ja A A =, i j on yhtäpitävä aksioomien kanssa Pr( UA ) = Pr( A ) Aksioomaa (iv) kutsutaan usein todennäköisyyden jatkuvuusaksioomaksi. i j ( ) ( ) ( ) ( ) (iii) A A = Pr A A = Pr A + Pr A (iv) A A A L lim Pr A = n + i n i TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 98
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt
Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt - Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat - Todennäköisyyden määritteleminen KE (2014) 1 Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Todennäköisyyslaskennan käsitteitä Satunnaisuus ja deterministisyys Deterministisessä ilmiössä alkutila määrää lopputilan yksikäsitteisesti. Satunnaisilmiö puolestaan arpoo - yhdestä alkutilasta voi päätyä
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
M-0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 1: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet; Todennäköisyyden aksioomat; Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt; Kokonaistodennäköisyyden
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
LisätiedotB. Siten A B, jos ja vain jos x A x
Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,
LisätiedotMiten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.
Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot
Lisätiedot(x, y) 2. heiton tulos y
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen
LisätiedotJoukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet
TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Joukko-oppi Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot ja funktioiden
LisätiedotVarma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt >> Uusien tapahtumien muodostaminen
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Johdanto: Deterministisyys ja satunnaisuus Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet TKK (c)
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt
Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt 1. Johdanto 2. Joukko-opin peruskäsitteet 3. Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet 4. Todennäköisyyslaskennan
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyys ja sen määritteleminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyys ja sen määritteleminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyys ja sen määritteleminen Deterministisyys ja satunnaisuus Todennäköisyyden määritteleminen
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen
LisätiedotLiite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit >> Puutodennäköisyydet
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt Tapahtumat Peruslaskusäännöt todennäköisyydelle Ehdollinen todennäköisyys
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Olkoon S = {s 1,s 2,...,s n } äärellinen otosavaruus. Oletetaan, että Pr(s i ) = 1, kaikille i = 1, 2,...,n n Tällöin alkeistapahtumat
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 13. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 13. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Klassinen todennäköisyys 2 Kombinatoriikkaa Kombinatoriikan perusongelmat Permutaatiot
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskennan
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys
Lisätiedot1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut
1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta: Liitteet. Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Ilkka Mellin (2006) 449
Liitteet Todennäköisyyslaskenta: Liitteet Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK @ Ilkka Mellin (2006) 449 Liitteet TKK @ Ilkka Mellin (2006) 450 Liitteet Sisällys 1.
LisätiedotA = B. jos ja vain jos. x A x B
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Avainsanat: Bayesin kaava, Binomikaava, Binomikerroin,
LisätiedotTodennäköisyys (englanniksi probability)
Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,
LisätiedotA. Jos A on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x) on tosi, niin merkitsemme
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen todennäköisyys
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I
β versio Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I TKK @ Ilkka Mellin (2006) II Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot todennäköisyyslaskennasta.
LisätiedotD ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]
Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat
LisätiedotTodennäköisyys. Antoine Gombaud, eli chevalier de Méré?.? Kirjailija ja matemaatikko
Todennäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Todennäköisyyslaskennan juuret ovat ~1650-luvun uhkapeleissä. Kreivi de Mérén noppapelit: Jos noppaa heitetään 4 kertaa, niin kannattaako lyödä vetoa sen puolesta,
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotValitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikan perusperiaatteet
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
Lisätiedot&idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
20.10.2015/1 MTTTP5, luento 20.10.2015 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
25.10.2016/1 MTTTP5, luento 25.10.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi
Lisätiedot3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen
LisätiedotLuku 1. Johdanto. 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede. 1.2 Havaitut frekvenssit ja empiiriset jakaumat
Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Tämä kurssi käsittelee sekä todennäköisyyslaskentaa että tilastotiedettä. Uhkapelurien ongelmat inspiroivat todennäköisyyslaskennan uranuurtajien ajattelua,
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 14. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 14. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Otosavaruuden ositus Kokonaistodennäköisyyden
Lisätiedot1. Matkalla todennäköisyyteen
1. Matkalla todennäköisyyteen Wovon man nicht sprechen kann, darüber muss man schweigen (Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus 1921) Miten ihmeessä tämä liittyy tähän kurssiin????!?? 1.1
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Verkot ja todennäköisyyslaskenta >> Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa:
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotJoukot. Georg Cantor ( )
Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista
LisätiedotVerkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa
Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta
Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I Ilkka Mellin II Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot todennäköisyyslaskennasta. Monisteen ensisijaisena tavoitteena on
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävä 1 on klassikko. 1. Tässä tehtävässä tapahtumat A ja B eivät välttämättä
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta
Todennäköisyyslaskenta Syksy 2017 Kerkko Luosto 14. syyskuuta 2017 Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 14. syyskuuta 2017 1 / 26 Johdanto Johdantoesimerkki Esimerkki Hannu Huijari ostaa Keijo Kelmiltä
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotLause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat
jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 2019 / Hytönen 2. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 019 / Hytönen. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Kurssilla on 0 opiskelijaa, näiden joukossa Jutta, Jyrki, Ilkka ja Alex. Opettaja aikoo valita umpimähkään opiskelijan
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka >> Klassinen
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Verkot ja todennäköisyyslaskenta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Verkot ja todennäköisyyslaskenta TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Verkot ja todennäköisyyslaskenta Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa: Johdatteleva esimerkki Todennäköisyyslaskenta
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta
Todennäköisyyslaskenta Syksy 2017 Kerkko Luosto 3. lokakuuta 2017 Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta 2017 1 / 33 Johdanto Johdantoesimerkki Esimerkki Hannu Huijari ostaa Keijo Kelmiltä Hämärätorilla
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto
Todennäköisyyslaskenta /7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, n laskeminen, käsite Hakemisto Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennassa tarkastelun kohteena ovat satunnaisilmiöt.esimerkkejä
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op)
031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yleinen todennäköisyys Kertausmateriaalissa esiteltiin koulusta tuttuja todennäköisyysmalleja. Tällä kurssilla todennäköisyys on
LisätiedotRatkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
Lisätiedot5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
Lisätiedot8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä
1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotKurssin puoliväli ja osan 2 teemat
Kurssin puoliväli ja osan 2 teemat Kurssin osa 1 keskittyi mittaukseen, tiedonkeruuseen ja kuvailevaan tilastotieteeseen. Osassa 2 painottuu tilastollinen päättely, joka puolestaan rakentuu voimakkaasti
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Lisätiedotd ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 207 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus, ratkaisuehdotukset. Kokeet ja Ω:n hahmottaminen. Mitä tarkoittaa todennäköisyys on? Olkoon satunnaiskokeena yhden nopan
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta I
Todennäköisyyslaskenta I Ville Hyvönen, Topias Tolonen 1 Kesä 2017 1 Luentomateriaali alun perin Villen käsialaa kesältä 2016, materiaalia muokataan kesän 2017 luentojen mukana ajan tapaa ja luennoitsijan
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta I. Ville Hyvönen
Todennäköisyyslaskenta I Ville Hyvönen Kesä 2016 Sisältö 1 Todennäköisyys 3 1.1 Klassinen todennäköisyys............................ 3 1.2 Kombinatoriikkaa................................ 6 1.2.1 Tuloperiaate...............................
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op)
031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Käytännön asioita Luennot (yht. 11 4 h) ti 12-14 ja to 8-10 (ks. tarkempi opetusohjelma Oodista tms.) Harjoitukset (yht. 11 2 h)
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
Lisätiedot