Ryhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät

Transkriptio

1 Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017

2 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät Ryhmä Aliryhmä Syklie ryhmä Symmetrie ryhmä Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä 4 3 Vapaat ryhmät 8 Lähdeluettelo 11 1

3 Johdato Tutkielma käsittelee ryhmäteoriaa ja siiä määritellää yleisellä tasolla ryhmä osajouko geeroima aliryhmä sekä vapaa ryhmä. Lukijalla tulisi olla riittävä matemaattie perustietämys ja varsiki ryhmä käsittee tutemie o hyödyksi, vaikka kaikki tutkielmassa tarvittavat ryhmät määritellääki tutkielma esimmäisessä luvussa. Tutkielmassa o käytetty pääasiassa teosta [1], mutta esimmäise luvu määritelmie lähteeä o käytetty teosta [2]. Erilaiste tutkielmassa tarvittavie ryhmie määrittelemise jälkee siirrytää toisessa luvussa käsittelemää ryhmä osajouko geeroimaa aliryhmää. Luvussa esitellää ryhmä osajouko geeroima aliryhmä määritelmä ja johdetaa erilaisia esitystapoja kyseiselle aliryhmälle. Aihetta havaiollistetaa kahdella esimerkillä, joide ratkaisut ole keksiyt itse. Kolmaessa luvussa esitellää vapaa ryhmä käsite. 1 Ryhmät ja aliryhmät 1.1 Ryhmä Määritelmä 1.1. Olkoot G ja ( ) jouko G operaatio. Pari (G, ) o ryhmä, mikäli seuraavat ehdot ovat voimassa: 1. ( ) o biäärie joukossa G eli aia, ku a,b G. a b G 2. ( ) o assosiatiivie eli aia, ku a,b,c G. (a b) c = a (b c) 3. Joukossa G o sellaie alkio e, että a e = e a = a aia, ku a G. Alkiota e kutsutaa eutraali- eli ykkösalkioksi. 4. Aia, ku a G, o olemassa sellaie alkio a 1 G, että a a 1 = a 1 a = e. Alkiota a 1 kutsutaa alkio a kääteisalkioksi. Jos lisäksi ( ) o kommutatiivie eli a b = b a aia, ku a, b G, ii kyseessä o Abeli ryhmä eli kommutatiivie ryhmä. 2

4 1.2 Aliryhmä Määritelmä 1.2. Olkoo (G, ) ryhmä ja H G,H. Jos (H, ) o ryhmä, sitä saotaa ryhmä (G, ) aliryhmäksi ja merkitää (H, ) (G, ) tai lyhyemmi H G. Huomautus. Jos H G, ii aia ryhmä G eutraalialkio e G H. Käytetää jatkossa ryhmälle (G, ) lyhyempää merkitää G ja ryhmä kahde alkio a ja b väliselle operaatiolle a b merkitää ab. Esitellää seuraavaksi vielä aliryhmäkriteeri ja se seuraus, jota hyödyetää myöhemmi osoitettaessa ryhmä osajoukkoa tämä aliryhmäksi. Lemma 1.3 (Aliryhmäkriteeri). Olkoot G ryhmä ja H G,H. Nyt H G jos ja vai jos seuraavat ehdot toteutuvat: 1. a,b H ab H; 2. a H a 1 H. Seuraus 1.4. Olkoot G ryhmä ja H G,H. Tällöi H G jos ja vai jos ehto 3. a,b H ab 1 H o voimassa. 1.3 Syklie ryhmä Olkoo (G, ) ryhmä ja a G. Ku Z +, ii määritellää a = a a... a }{{} ja a = } a 1 a 1 {{... a 1 }. Lisäksi asetetaa a 0 = e. Tällöi joukko H = {a k k Z} o jouko G osajoukko. Määritelmä 1.5. Olkoo a G ja H = {a k k Z}. Tällöi (H, ) o ryhmä (G, ) aliryhmä ja ryhmää H kutsutaa alkio a geeroimaksi sykliseksi ryhmäksi. 3

5 1.4 Symmetrie ryhmä Määritelmä 1.6. Symmetrie ryhmä S o jouko N = {1,2,...,} kaikkie permutaatioide muodostama ryhmä, jossa laskutoimituksea o kuvauste yhdistämie. 2 Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä Tiety ryhmä syklise aliryhmä muodostamisee käytettävä meetelmä o erikoistapaus yleisemmästä meetelmästä, joka avulla voidaa muodostaa ryhmä mielivaltaise osajouko geeroima aliryhmä. Syklise ryhmä tapauksessa geeroivaa osajoukkoa o ryhmä G yhde alkio x muodostama joukko {x}. Tässä osiossa määritellää aliryhmä, joka geeroijaa toimii yhde alkio sijaa mielivaltaie ryhmä G osajoukko A. Oletetaa, että G o mikä tahasa ryhmä ja joukko A o ryhmä G mielivaltaie osajoukko. Esiksi osoitetaa aliryhmäkriteeri seuraukse avulla, että mikä tahasa leikkaus ryhmä G aliryhmistä o myös ryhmä G aliryhmä. Tästä seuraa, että jouko A geeroima aliryhmä o yksikäsitteisesti piei ryhmä G aliryhmä, joka sisältää jouko A. Lause 2.1. Jos A o mielivaltaie ryhmä G aliryhmistä koostuva epätyhjä joukko, ii kaikkie jouko A alkioide leikkaus o myös ryhmä G aliryhmä. Todistus. Olkoo G ryhmä ja olkoo A mielivaltaie ryhmä G aliryhmistä koostuva epätyhjä joukko. Olkoo lisäksi K = H. H A Koska ryhmä G jokaie aliryhmä H A o ryhmä G osajoukko, ii myös äide aliryhmie leikkaus K o ryhmä G osajoukko eli K G. Koska jokaie H A o ryhmä G aliryhmä, ii ryhmä G eutraalialkio e H ja täte e K. Siis K. Olkoo a,b K. Tällöi a,b H kaikilla H A ja koska jokaie H o ryhmä, ii ab 1 H eli ab 1 K. Seuraukse 1.4 ojalla K G. 4

6 Määritelmä 2.2. Jos A o ryhmä G mielivaltaie osajoukko, ii jouko A geeroima ryhmä G aliryhmä o A = H. A H H G Siis A o leikkaus kaikista ryhmä G aliryhmistä, jotka sisältävät jouko A. Lausee 2.1 ojalla A o ryhmä G aliryhmä, sillä yt A = {H G A H} ja A o epätyhjä, sillä A G ja G G eli G A. Koska joukko A sisältyy jokaisee aliryhmää H, ii joukko A sisältyy myös äide aliryhmie leikkauksee eli A A. Aliryhmä A o yt yksikäsitteisesti piei jouko A alkio, sillä A o ryhmä G aliryhmä ja A A eli A A, mikä lisäksi kaikki jouko A alkiot sisältävät kaikkie jouko A alkioide leikkaukse eli kaikki jouko A alkiot sisältävät aliryhmä A. Toisi saoe kaikki jouko A sisältävät ryhmä G aliryhmät sisältävät aliryhmä A ja myös kyseie A kuuluu tähä aliryhmie joukkoo, jote se o aliryhmistä piei. Edellä esitetty määritelmä osoittaa ryhmä G jouko A sisältävä pieimmä aliryhmä olemassaolo ja yksikäsitteisyyde, mutta se ei kerro, millaisia alkioita tämä aliryhmä sisältää. Jotta päästää saa varsiaisessa merkityksessä geeroimaa ryhmä G osajouko A alkioista ryhmä G aliryhmää, määritellää joukko, joka koostuu osajouko A alkioide ja iide kääteisalkioide välisistä tuloista. Tämä jälkee osoitetaa, että kyseisellä meetelmällä muodostettu joukko o itseasiassa sama kui joukko A. Olkoo Ā = {a ɛ1 1 aɛ2 2 aɛ Z, 0, a i A ja ɛ i = ±1 jokaisella ideksillä i}, missä Ā = {e}, jos A =. Joukko Ā koostuu siis kaikista jouko A alkioide ja iide kääteisalkioide keskeäiste operaatioide muodostamista äärellisistä tuloista, joita kutsutaa saoiksi. Huomaa, että alkioide a i ei tarvitse olla erillisiä, eli jouko Ā määrittelyssä käytetyssä merkiässä esimerkiksi a2 kirjoitetaa muodossa aa. Lause 2.3. Jos A o ryhmä G mielivaltaie osajoukko ja joukot o määritelty kute edellä, ii Ā = A. Ā ja A Todistus. Olkoo G mikä tahasa ryhmä ja A se mielivaltaie osajoukko. Osoitetaa esi, että Ā A. Koska A o ryhmä, joka sisältää jouko A, se sisältää myös jokaise muotoa a ɛ1 1 aɛ2 2 aɛ oleva alkio, missä jokaie a i A. Nyt jokaie jouko Ā alkio o muotoa aɛ1 1 aɛ2 2 aɛ, jote jokaie jouko Ā alkio sisältyy joukkoo A. Siis Ā A. 5

7 Osoitetaa sitte, että A Ā. Tähä riittää osoittaa, että A Ā ja että Ā o ryhmä G aliryhmä. Tällöi Ā lukeutuu aliryhmii H ja jouko A määritelmä ojalla kaikki jouko A alkiot kuuluvat jokaisee aliryhmää H, jote kaikkie jouko A alkioide täytyy kuulua myös joukkoo Ā. Osoitetaa siis, että A Ā. Olkoo a jouko A mielivaltaie alkio. Ku = 1, ɛ 1 = 1 ja a 1 = a, ii a Ā. Siis A Ā. Osoitetaa vielä, että Ā G. Nyt Ā o epätyhjä, sillä kute edellä todettii, jos a A, ii a Ā ja jos A =, ii Ā = {e} =. Koska G o ryhmä, joka sisältää jouko A, ii Ā G. Olkoo a,b Ā, missä a = aɛ1 1 aɛ2 2 aɛ kääteisalkio o b 1 = b δm m b δm 1 m 1 b δ1 1, jote ab 1 = a ɛ1 1 aɛ2 2 aɛ bm δm b δm 1 m 1 b δ1 1. ja b = bδ1 1 bδ2 2 bδm m. Nyt alkio b Nyt ab 1 o tulo jouko A alkioista korotettua potessii ±1, jote ab 1 Ā. Seuraukse 1.4 ojalla Ā G. Siis Ā A ja A Ā, jote Ā = A. Käytetää jatkossa merkiä Ā tilalla merkitää A, sillä äitä määritelmiä voidaa yt pitää yhtäpitäviä. Nyt esimerkiksi tulot aa, aaa ja aa 1 voidaa kirjoittaa yksikertaisemmi muodossa a 2, a 3 ja e, jote A voidaa kirjoittaa muodossa A = {a α1 1 aα2 2 aα Z +, a i A, α i Z jaa i a i+1 jokaisella ideksilläi}. Ku A = {x}, tämä o myös syklise ryhmä määritelmä. Tämä osoitetaa Esimerkissä 2.4. Esimerkki 2.4. Olkoo G ryhmä ja A = {x} se osajoukko eli x G. Määritetää jouko A geeroima aliryhmä A. Koska joukossa A o vai yksi alkio, ii a i = x kaikilla idekseillä i. Jouko A geeroima aliryhmä A määritelmä ojalla a i a i+1, jote kaikki aliryhmä A alkiot ovat muotoa x α, missä α Z. Siis A = {x α α Z}, mikä o täsmällee sama kui alkio x geeroima syklise ryhmä määritelmä. Jos G o Abeli ryhmä eli kommutatiivie ryhmä, voidaa kaikki tiety alkio a i eri potessit koota yhtee. Tällöi esimerkiksi Abeli ryhmä G äärellise osajouko A = {a 1,a 2,...,a k } geeroima aliryhmä o A = {a α1 1 aα2 2 aα k k α i Z kaikilla idekseillä i}. 6

8 Lemma 2.5. Ryhmä (R 2,+) o Abeli ryhmä. Esimerkki 2.6. Olkoo G = (R 2,+) ja A = {(1,0), (0,1)} se osajoukko. Määritetää jouko A geeroima aliryhmä A. Nyt Lemma 2.5 ojalla G o Abeli ryhmä, jote voidaa käyttää viimeksi esitettyä määritelmää aliryhmälle A. Merkitää a 1 = (1,0) ja a 2 = (0,1). Yhtälailla voitaisii tehdä alkioide järjestykse valita toisipäi, sillä kommutatiivisuude vuoksi tällä järjestyksellä ei ole väliä. Jouko A geeroima aliryhmä A alkiot ovat siis muotoa (1,0) α1 +(0,1) α2, missä α 1,α 2 Z. Olkoo Z +. Nyt ja vastaavasti (1,0) = (1,0)+(1,0)+...+(1,0) }{{} = ( , ) }{{}}{{} = (,0) (0,1) = (0,). Ryhmä G eutraalialkio o e = (0,0) = (1,0) 0 = (0,1) 0. Alkio (1,0) kääteisalkio o (1,0) 1 = ( 1,0), sillä ( 1,0)+(1,0) = ( 1+1,0+0) = (0,0) = e ja kommutatiivisuudesta seuraa, että (1,0)+( 1,0) = e. Vastaavasti alkio (0,1) kääteisalkio o (0,1) 1 = (0, 1). Nyt 7

9 ja vastaavasti (1,0) = (1,0) 1 +(1,0) (1,0) 1 }{{} = ( 1,0)+( 1,0)+...+( 1,0) }{{} = ( 1+( 1)+...+( 1), ) }{{}}{{} = ( ,0) }{{} = (,0) (0,1) = (0, ). Näi olle (1,0) α1 = (α 1,0) kaikilla α 1 Z ja (0,1) α2 = (0,α 2 ) kaikilla α 2 Z, jote jouko A geeroima aliryhmä A alkiot ovat muotoa (1,0) α1 +(0,1) α2 = (α 1,0)+(0,α 2 ) = (α 1,α 2 ). Siis A = {(α 1,α 2 ) α 1,α 2 Z} = Z 2. 3 Vapaat ryhmät Tässä osiossa esitellää lyhyesti vapaa ryhmä F(S), joka geeroi täysi mielivaltaie joukko S. Edellisessä luvussa geeroiva joukko oli joki tiety ryhmä osajoukko, mutta vapaa ryhmä geeroiva jouko ei tarvitse toteuttaa mitää tällaisia ehtoja, eli joukko S o vapaa relaatioista. Vapaa ryhmä F(S) koostuu jouko S alkioide ja iide kääteisalkioide yhdessä muodostamista saoista. Huomaa, että yt saoje muodostamisessa ei käytetä mitää ryhmäoperaatiota, vaa saoje muodostamie tapahtuu vai asettamalla geeroija-alkioita peräkkäi. Jos S o esimerkiksi joukko {a, b}, ii se geeroima vapaa ryhmä F(S) alkioita ovat esimerkiksi a,aa,ab,ab 1 a ja ba 1 ba ja kaikkia äitä saoja pidetää erillisiä. Jos yhdistetää peräkkäiset samakataiset potessit, saadaa esimerkiksi alkiot aa ja abb 1 muotoo a 2 ja a. Muodostettuja saoja voidaa myös ketjuttaa, jolloi esimerkiksi saat ab 3 a ja b 5 a 2 muodostavat yhdistettyä saa ab 3 ab 5 a 2. 8

10 Seuraavaksi lähdetää määrittelemää tarkemmi mielivaltaise jouko S geeroimaa vapaata ryhmää F(S). Aioa ogelma ryhmä F(S) muodostamisessa o osoittaa, että saoje ketjuttamisoperaatio o hyvi määritelty ja assosiatiivie. Tätä varte palataa määritelmää, jossa kaikki saoissa esiityvät ekspoetit ovat joko 1 tai 1. Olkoo S mielivaltaie joukko ja S 1 joki sellaie joukosta S erillie joukko, että o olemassa bijektio joukolta S joukolle S 1. Käytetää jokaiselle alkiota s S vastaavalle jouko S 1 alkiolle merkitää s 1 ja vastaavasti jokaista alkiota t S 1 vastaa joukossa S alkio t 1, jolloi (s 1 ) 1 = s. Olkoo {1} yhde alkio muodostama joukko, joka ei sisälly joukkoo S S 1. Määritellää ss 1 = s 1 s = 1 ja 1s = s1 = s kaikilla s S. Olkoo lisäksi 1 1 = 1 ja x 1 = x kaikilla x S S 1 {1}. Merkitää saaa jooa (s 1,s 2,s 3,...), missä s i S S 1 {1} ja s i = 1 kaikilla riittävä suurilla idekseillä i. Tällöi jokaiselle saalle o olemassa sellaie ideksi N, että s i = 1 kaikilla idekseillä i N. Site saoja voidaa ajatella myös jouko S alkioide ja iide kääteisalkioide äärellisiä tuloia. Saoje yksikäsitteisyyde varmistamiseksi otetaa huomioo vai saat, joissa ei esiiy peräkkäisiä termeiä alkiota ja se kääteisalkiota. Esimerkiksi saa baa 1 b sieveee siis muotoo bb. Määritelmä 3.1. Saa (s 1,s 2,s 3,...) o sieveetty, jos 1. s i+1 s 1 i kaikilla idekseillä i, joilla s i 1, ja 2. jos s k = 1 jollaki ideksillä k, ii s i = 1 kaikilla idekseillä i k. Sieveettyä saaa (1, 1, 1,...) kutsutaa tyhjäksi saaksi ja sille käytetää merkitää1. Yksikertaistetaa seuraavaksi saoje merkitätapaa käyttämällä sieveetylle saalle (s ɛ1 1,sɛ2 2,...,sɛ,1,1,1,...), missä s i S ja ɛ i = ±1, merkitääs ɛ1 1 sɛ2 2...sɛ. Olkoo F(S) jouko S alkioista muodostettuje sieveettyje saoje joukko, jolloi S o jouko F(S) osajoukko. Huomaa, että jos S =, ii F(S) = {1}. Nyt voimme esitellä biäärise operaatio joukossa F(S). Operaatio määrittelyssä o varmistettava, että kahde sieveety saa välie tulo o edellee sieveetty saa. Tällöi esimerkiksi saoje ab 1 a ja a 1 ba välise tulo tulee sievetyä muotoo aa. Olkoo r δ1 1 rδ2 2...rδm m ja sɛ1 1 sɛ2 2...sɛ sieveettyjä saoja ja oletetaa esi, että m. Olkoo k sellaie piei kokoaisluku välillä 1 k m + 1, että s ɛ k k r δ m k+1 m k+1. Tällöi äide sieveettyje saoje tuloksi määritellää 9

11 r δ1 1...rδ m k+1 m k+1 sɛ k k...s ɛ, jos k m (r δ1 1 rδ2 2...rδm m )(s ɛ1 1 sɛ2 2...sɛ ) = s ɛm+1 m+1...sɛ, jos k = m+1 1, jos k = m+1 ja m =. Tulo määritellää vastaavasti, jos m, jote molemmissa tapauksissa kahde sieveety saa tulo o sieveetty saa. Lause 3.2. suhtee. Joukko F(S) o ryhmä edellä määritelly biäärise operaatio Todistus. Nyt F(S), sillä s F(S), jos s S ja F(S) = {1}, jos S =. Alkio 1 F(S) o eutraalialkio, sillä 1s = s1 = s kaikilla s F(S). Sieveety saas ɛ1 1 sɛ2 2...sɛ F(S) kääteisalkio o sieveetty saa s ɛ s ɛ s ɛ1 1 F(S), sillä (s ɛ1 1 sɛ2 2...sɛ )(s ɛ s ɛ s ɛ1 1 ) = (s ɛ s ɛ s ɛ1 1 )(s ɛ1 1 sɛ2 2...sɛ ) = 1. Eää täytyy osoittaa, että jouko F(S) operaatio o assosiatiivie. Tätä varte määritellää kaikille s S S 1 {1} kuvaus σ s : F(S) F(S), missä σ s (s ɛ1 1 sɛ2 2...sɛ ) = { s s ɛ 1 1 s ɛ2 2...sɛ, jos s ɛ1 1 s 1 s ɛ2 2 sɛ3 3...sɛ, jos s ɛ1 1 = s 1. Nytσ s 1(s s ɛ1 1 sɛ2 2...sɛ ɛ1 ) = s 1 s s1 sɛ2 2...sɛ = s ɛ1 1 sɛ2 2...sɛ, kus ɛ1 1 s 1 ja σ s 1(s ɛ2 2 sɛ3 3...sɛ ) = s 1 s ɛ2 2 sɛ3 3...sɛ = s ɛ1 1 sɛ2 2...sɛ, ku s ɛ1 1 = s 1, jote yhdistetty kuvaus σ s 1 σ s o idettie kuvaus joukolta F(S) itsellee. Kuvaus σ s o siis bijektio ja täte jouko F(S) permutaatio. Olkoo A(S) joukolla F(S) määritelly symmetrise ryhmä aliryhmä, joka geeroi joukko {σ s s S}. Tällöi aliryhmä A(S) kaikki alkiot ovat luvu 2 mukaa muotoa σs ɛ1 1 σs ɛ σs ɛ. Nyt kuvaus s ɛ1 1 sɛ2 2...sɛ σs ɛ1 1 σs ɛ σs ɛ o bijektio joukolta F(S) joukolle A(S) ja o yhteesopiva biäärioperaatioide suhtee. Koska A(S) o ryhmää assosiatiivie, myös F(S) o assosiatiivie. Siis F(S) o ryhmä. 10

12 Esimerkki 3.3. Olkoo S = {a, b}. Kahde alkio geeroima vapaa ryhmä F({a, b}) alkiot ovat tällöi alkioide a ja b sekä iide kääteisalkioide muodostamia äärellisiä saoja. Siis kaikki vapaa ryhmä F({a, b}) alkiot ovat muotoa a α1 b α2 a α3 b α4...a α 1 b α, missä α i Z, ku i {1,} ja α i Z\{0}, ku i / {1,}. Lähdeluettelo [1] David S. Dummit, Richard M. Foote: Abstract Algebra, Secod Editio. Joh Wiley & Sos, Ic., New York, [2] Markku Niememaa, Kari Myllylä, Topi Törmä: A Algebra perusteet, Luetoruko, Kevät