3.6 Todennäköisyyden laskusääntöjä Onneksi ennalta arvaamaton todennäköisyys noudattaa täsmällisiä sääntöjä. Tutustutaan niistä keskeisimpiin.

Transkriptio

1 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Oesi ealta arvaamato todeäöisyys oudattaa täsmällisiä säätöjä. Tutustutaa iistä eseisimpii. Kertolasusäätö Tarastellaa esi tilaetta, jossa o asi sellaista satuaista tapahtumaa, jota umpiaa eivät vaiuta siihe, miä vaihtoehto toisessa toteutuu. Ne ovat siis asi toisistaa täysi riippumatota tapahtumaa. Normaalistiha me oletamme ilma muuta, että jos Sipi ja Sippo heittävät tiaa, ii toise oistumie ei saa toista hermostumaa eiä toise epäoi rohaise toista. Tämä oletus tehdää ysiertaisuude taia. Mutta tutitaa yt tapausta, joa asi vaihetta ovat riippumattomat jo periaatetasolta lähtie. Esimeri 9 Otetaa paasta ysi ortti, atsotaa se ja palautetaa taaisi. Otetaa toie ortti. Millä todeäöisyydellä molemmat ortit ovat patoja ( )? Rataisu Kosa esimmäiseä oleva ortti palautettii meillä o lupa olettaa, että satuaisee ohtaa paassa ii toise osto tulos ei riipu esimmäise osto tulosesta. Piirretää tilateesta uva. Kosa orttipaassa o eljä maata ja joaista maata o yhtä mota paa aiiaa 5 ortista, riittää u aavioo otetaa vai maat. Eri vaihtoehtoja tulee yhteesä 4 = 6 appaletta, miä o siis aiie tapauste luumäärä. Kute oheie tauluoi osoittaa, molemmat ortit ovat patoja vai yhdessä tapausessa oo 6 vaihtoehdo jouossa. Täte suotuisie tapauste määrä o ysi ja ysytty todeäöisyys o siis 6. Toisaalta, u esimmäie ortti vedetää, todeäöisyys sille, että saadaa pata, o 4. Kosa ortti palautettii, esimmäie tulos ei vaiuta toisee, jote todeäöisyys, että myös toie ortti o pata, o sama ja = Vastaus: TN(Molemmat ortit patoja) = 6. Jos Esimeri 9 orttia ei olisi palautettu, olisi paassa ysi ortti vähemmä toista ostoa varte, miä muuttaisi tulose. Esimeri 9 säätö o voimassa aia, u tehdää asi tai useampi toisistaa riippumato oe. Sitä saotaa riippumattomie tapauste ertolasusääösi. Tiivistetää tämä säätö vielä yhtälösi. (5)

2 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Oloo tapause A todeäöisyys p(a) ja tapause B todeäöisyys p(b). Tapause A ja B todeäöisyys o erilliste tapauste A ja B tulo. Riippumattomie tapauste ertolasusäätö: P(A ja B) = P(A) P(B). Kertolasusäätöä voi usei soveltaa perääisii tapausii, vaia aiemmat tapauset vaiuttaisivati myöhempii tulosii. Seuraavaa eräs tyypillie tapaus. Esimeri 0 Otetaa orttipaasta olme orttia ysitelle ja palauttamatta. Millä todeäöisyydellä aii olme orttia ovat ruutuja? Rataisu Kysymys voidaa esittää myös muodossa Millä todeäöisyydellä esimmäie paasta vedetty ortti o ruutu JA toie paasta vedetty ortti o ruutu JA olmas paasta vedetty ortti o ruutu, u ortteja ei palauteta. Kosa esitetty ysymys o siis ja muotoa, ertolasusäätö pätee. Ku 3 esimmäie ortti vedetää, todeäöisyys, että saadaa ruutu o =. Ku toie ortti 5 4 vedetää eiä esimmäistä palautettu, jäljellä o 5 orttia. Jos esimmäie ortti oli ruutu, jäljellä o ruutua. Nyt päättelemme, jos esimmäie oli ruutu, todeäöisyys, että toiei o ruutu o ja todeäöisyys, että esimmäie ja toie ovat ruutuja o äitte 5 3 todeäöisyysie tulo: P(. ja. ortti o ruutu) =. 5 5 Kolmae orti todeäöisyys lasetaa vastaavalla tavalla. Todeäöisyys, että olmasi 3 ortti o ruutu, o. Täte todeäöisyys, että aii olme ovat ruutuja o tulo Se liiarvo 0,03. Vastaus: Todeäöisyys, että olme perääi palauttamatta otettua orttia ovat patoja, o 0,03. Esimeri Jäätelöä myydää purissa, tötterössä, tuutissa ja laatiossa. Maut ovat vailja, sulaa, masia, pääryä, appelsiii ja sametti. Oletetaa, että aii maut ja paausmuodot ovat yhtä suosittuja. Millä todeäöisyydellä satuaisesti valittu asiaas valitsee samettijäätelö purii laitettua? Rataisu Kosa puri todeäöisyys o 4 ja sameti todeäöisyys o 6, ii puri ja sameti todeäöisyys o = Vastaus: Todeäöisyys, että satuaie asiaas valitsee samettia purissa, o 0,04. (5)

3 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Esimeri Sateri heittää oppaa, joa o paiotettu site, että yöe tulee asi ertaa ii suurella todeäöisyydellä ui miä tahasa muista viidestä silmäluvusta, joilla puolestaa ullai o sama todeäöisyys. Millä todeäöisyydellä Sateri saa perääisistä heitoista tuloset, ja 3? Rataisu Yöse todeäöisyys o siis 7 ja ui muu silmäluvu todeäöisyys o 7. Kysytty todeäöisyys o siis p(esimmäisellä ja toisella ja olmaella 3) = = 0, Vastaus: P(esimmäisellä ja toisella ja olmaella 3) = 0,006. Esimeri 3 Kesilaatiossa o tähdemuotoisia ja pyöreitä esejä yhteesä 69 appaletta. Todeäöisyys sille, että asi perääi umpimähää valittua esiä ovat molemmat pyöreitä, o. Kuia 46 mota pyöreää esiä laatiossa o? Rataisu Meritää pyöreitte esie luumäärää x:llä, jolloi todeäöisyys, että esimmäie esi o pyöreä, o 69 x. Jos esimmäie valittu esi oli pyöreä, toiei o pyöreä todeäöisyydellä x. Kosa P(. esi o pyöreä ja. esi o pyöreä) = x, saadaa yhtälö x = Tämä yhtälö rataisu o x = 34 tai x = 33. Kosa esejä ei voi olla egatiivista määrää, aioasi rataisusi jää x = 34. Taristetaa Jos pyöreitä esejä o 34 appaletta, ii tähdemuotoisia o 35 appaletta ja P(asi pyöreää esiä perääi) = =, ute piti Vastaus: Laatiossa o 34 pyöreää esiä. Yhteelasusäätö Missä tilateissa todeäöisyysiä voi lasea yhtee ja millä tavalla liittyy rataisevasti siihe, ovato tapauset jouo-opi mielessä erilliset vai ei. Sisi haluat ehä errata MAB: jouoopi osuude viimeistää yt ee ui jatat tätä urssia. Ajatellaa ahta tapausta A ja B. Ne o määritelty joi ehdo avulla, joa rajaa iitte suotuisie tapauste jouot aiie tapauste jouosta. Meritää tapause A suotuisie tapauste jouoa {A}:lla ja vastaavasti B: suotuisie tapauste jouoa {B}:llä. Silloi saotaa, että tapauset A ja B ovat erilliset eli toisesa poissulevat, jos iitte suotuisie tapauste jouoilla ei ole yhteisiä alioita eli jos { A } { B} = φ. Tämä taroittaa sitä, että jos A tapahtuu, ii B ei tapahdu ja päivastoi. 3(5)

4 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Tapauset A ja B ovat toisesa poissulevat eli erilliset, jos { A } { B} = Φ Esimerisi opaheitossa seuraavissa ahdessa tilateessa tapauset A ja B ovat erilliset A = {saadaa parillie silmäluu}, B = {saadaa parito silmäluu} A = {saadaa tai 3}, B = {saadaa tai 4}, mutta seuraavissa ahdessa tilateessa A ja B eivät ole erilliset A = {silmäluu o jaollie olmella}, B = {saadaa parillie silmäluu}: tapaus silmäluu A B = 6 6 o molempie suotuisie tapauste jouossa eli { } { } { } A = {,4,5}, B = {saadaa parito silmäluu}: { A } { B} = { 5}. Palataa hippihyppiäiste parii tutimaa heidä heilöohtaisia omiaisuusiaa. Saamme erätysi tiedot, jota esitellää ja joita sovelletaai aiai heti Esimerissä 4. Esimeri 4 Kaiista hippihyppiäisistä 55% o vastaarvaisia ja loput 45% ovat tauarvaisia. Vastaarvaisista hippihyppiäisistä 30% o hitaita, u taas tauarvaiste hippihyppiäiste jouossa ei ole hitaita olleaa. Lisäsi vastaarvaisista hippihyppiäisistä 40% o iharaturisia, samoi tauarvaisista hippihyppiäisistä 40% o iharaturisia. Kuia suuri osa aiista hippihyppiäisistä o a) hitaita tai tauarvaisia? b) iharaturisia c) tauarvaisia tai iharaturisia? Rataisu Piirretää tilateesta aavio, joa lieee helpompi mieltää ui luettelo. Huomaa uitei, että oheise uvio eri osie aloje suhteet eivät ole mittaaavassa yllä lueteltuje omiaisuusie osuusie assa. Vastaarvaiset Kaii hippihyppiäiset Tauarvaiset Hitaat Kiharaturiset 4(5)

5 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Lasetaa vielä muutama luuarvo ee ui vastataa esitettyihi ysymysii. Vastaarvaiset 55% aiista Tauarvaiset 45% aiista Vastaarvaiset hitaat: 0,30 55% = 6,5% aiista. Vastaarvaiset iharaturiset: 0,40 55% = % aiista. Tauarvaiset iharaturiset: 0,40 45% = 8,0% aiista. Seuraavissa laselmissa prosettiosuudet samaistetaa asiaomaise jouo alioide luumäärällä. a) Kosa hitaita hippihyppiäisiä löytyy vai vastaarvaiste hippihyppiäiste jouosta, 30% aiista hippihyppiäisistä sisältää aii hitaat tai tauarvaiset hippihyppiäiset. Vastaus: Hitaita tai tauarvaisia hippihyppiäisiä 30% aiista hippihyppiäisistä. b) Kute aavioo o jo lasettu, vastaarvaisia iharaturisia hippihyppiäisiä o % aiista hippihyppiäisistä ja tauarvaisia iharaturisia hippihyppiäisiä o 8% aiista hippihyppiäisistä eivätä ämä asi jouoa leiaa, o iharaturisia hippihyppiäisiä yhteesä %-ys + 8%-ys = 40% aiista hippihyppiäisistä. Vastaus: Kiharaturisia hippihyppiäisiä o 40% aiista hippihyppiäisistä. c) Tauarvaisia hippihyppiäisiä o 45% aiista hippihyppiäisistä. Tämä luu sisältää myös tauarvaiset iharaturiset hippihyppiäiset. Kosa vastaarvaisia iharaturisia hippihyppiäisiä o % aiista hippihyppiäisistä, o iitä hippihyppiäisiä, jota ovat tauarvaisia tai iharaturisia yhteesä %-ys + 45%-ys = 67%. Toie tapa rataista tämä ohta perustuu suoraa jouo-opi tietoihi eli urssi MAB tietoihi. Jouo-opista tiedämme, että ahde jouo vaiapa jouot A ja B uioi alioitte luumäärä ei ole sama ui äitte jouoje alioitte summa. Tämä johtuu siitä, että lasemalla A: ja B: alioitte summa tulemme laseeesi iitte yhteiset aliot eli jouo A B aliot ahtee ertaa. Oiea tulose saamisesi äitte yhteiste alioitte luumäärä täytyy vähetää summasta. Meritää yt tauarvaiste hippihyppiäiste jouoa irjaimella A ja iharaturiste hippihyppiäiste jouoa irjaimella B. Silloi {x x o tauarvaie hippihyppiäie TAI x o iharaturie hippihyppiäie} = B # A B = #A + #B - # A B = A ja ( ) ( ) 5(5)

6 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä 45%-ys + 40%-ys 8%-ys = 67%. Kosa A B = {Tauarvaiset iharaturiset # A B = 8% aiista hippihyppiäisistä. hippihyppiäiset}, ii ( ) Vastaus: Tauarvaisia tai iharaturisia hippihyppiäisiä o 67% aiista hippihyppiäisistä. Huomaa, että äseisessä esimerissä lasettii yhtee esiäi prosettiysiöitä ja toisesi imeomaa yhteismitallisia prosettiysiöitä. Taroita tässä yhteismitallisuudella sitä, että yhteelasettavat osuudet olivat osuusia samasta jouosta, joa tällä ertaa oli aiie hippihyppiäiste jouo. Äseie esimeri motivoi yhdessä jouo-opi assa seuraavat lasusääöt. Oloot A ja B asi tapahtumaa. Tapahtumie todeäöisyysie yhteelasusäätö: P(A tai B) = P(A) + P(B) P(A ja B) eli P( A B ) = P(A) + P(B) P( A B ) Jos A ja B ovat asi erillistä tapahtumaa eli jos B = Φ 0 ja P( A B ) = P(A) + P(B) P( A B ) = P(A) + P(B). A, ii ( A B) # = 0, jote P( A B ) = Erilliste tapahtumie yhteelasusäätö: P(A tai B) = P(A) + P(B) Huomaa, että u saotaa, että tapahtuu A tai B, ii silloi tapahtuu pelästää A tai tapahtuu pelästää B tai 6(5)

7 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä tapahtuu seä A että B Esimeri 5 Korttipaasta otetaa asi orttia palauttamatta. Millä todeäöisyydellä a) esimmäie ortti o puaie tai ymppi b) esimmäie tai toie ortti o ymppi? Rataisu a) Puaisia o orttipaa orteista puolet eli 6 appaletta ja ymppejä o eljä. Siis P(puaie tai ymppi) = P(puaie) + P(ymppi) P(puaie ymppi) = = Vastaus: P(puaie tai ymppi) 0,56. b) Jaetaa tilae osii. Esimmäie tai toie ortti o ymppi o sama asia ui esimmäie ortti o ymppi ja toie ortti o joi muu tai toie ortti o ymppi ja esimmäie o joi muu tai molemmat ortit ovat ymppejä, jote: P(esimmäie tai toie ortti o ymppi) = P(esimmäie ortti o ymppi ja toie ortti o joi muu tai toie ortti o ymppi ja esimmäie joi muu tai molemmat ortit ovat ymppejä). Lasetaa ui todeäöisyys erisee. Esimmäie ortti o ymppi ja toie ortti o joi muu: P(esimmäie ortti o ymppi ja toie ortti o joi muu) = P(esimmäie ortti o ymppi) P(toie ortti o joi muu) = =. 5 5 Toie ortti o ymppi ja esimmäie o joi muu: P(toie ortti o ymppi ja esimmäie o joi muu) = P(toie ortti o ymppi) P(esimmäie o joi muu) = =. 5 5 Molemmat ortit ovat ymppejä: P(esimmäie ortti o ymppi ja toie ortti o ymppi) = P(esimmäie ortti o 4 3 ymppi) P(toie ortti o ymppi) = =. 5 5 Kaii olme tapausta ovat erilliset, sillä esimerisi jouo {esimmäie ortti o ymppi ja toie ortti o joi muu} {toie ortti o ymppi ja esimmäie o joi muu} o tyhjä. Kysytty todeäöisyys saadaa silloi lasemalla eri tapauste todeäöisyydet yhtee, jote ysytty todeäöisyys o + + = 0, 5. Vastaus: P(esimmäie tai toie ortti o ymppi) 0,5. Esimeri 6 Jos satee todeäöisyys o huomea ja ylihuomea, uai päivää erisee 70%, ii millä todeäöisyydellä a) vai toisea päivää sataa b) ei sada umpaaaa päivää? Rataisu 7(5)

8 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä a) Vai toisea päivää sataa o sama asia ui, että sataa joo huomea ja ylihuomea ei sada tai ylihuomea sataa ja huomea ei sada. Nämä tapahtumat ovat erilliset. Kosa P(huomea sataa ja ylihuomea ei sada) = 0,7 0,3 = 0,. P(huomea ei sada ja ylihuomea sataa) = 0,7 0,3 = 0,. ii P(vai toisea päivää sataa) = 0, + 0, = 0,4. Vastaus: P(vai toisea päivää sataa) = 0,4. b) Ei sada umpaaaa päivää tapahtuu tarallee silloi, u ei sada huomea ja ei sada ylihuomea tapahtuu. Siis P(ei sada umpaaaa päivää) = P(ei sada huomea) P(ei sada ylihuomea) = 0,3 0,3 = 0,09. Esimeri 7 Millä todeäöisyydellä satuaisesti valittu olmiumeroie luoollie luu o a) parillie b) jaollie olmella c) jaollie ahdella tai olmella? Rataisu Piei olmiumeroie luoollie luu o 00 ja suuri 999. Niitä o 900 appaletta. a) Joa toie luoollie luu o parillie, jote välillä [00;999] iitä o 450 appaletta. Kaiie tapauste jouossa o siis 900 aliota ja suotuisie tapauste jouossa 450 aliota, 450 jote ysytty todeäöisyys o eli 0, Vastaus: TN(parillie olmiumeroie luoollie luu aetulla välillä) = 0,5. b) Piei olmella jaollie, olmiumeroie luoollie luu o 0, seuraava o 05 ja ii edellee ues suuri olmella jaollie, olmiumeroie luoollie luu o 999. Niitä 300 o siis 300 appaletta, jote ysytty todeäöisyys o = Vastaus: TN(olmella jaollie olmiumeroie luoollie luu aetulla välillä) = 0,33. c) Kosa o olemassa aetut ehdot täyttäviä luuja, jota ovat jaollisia seä ahdella että olmella, ei todeäöisyysiä voi lasea suoraa yhtee, vaa summasta o väheettävä yhteiste alioitte todeäöisyys. Luu, joa o jaollie seä ahdella että olmella, o jaollie uudella. Piei ehdot täyttävä olmiumeroie luu o 0 ja suuri 996, jote iitä o 50 appaletta. Tästä 50 saadaa, että P(ahdella ja olmella jaollie) = P(uudella jaollie) = =, josta edellee P(ahdella tai olmella jaollie) = + = Vastaus: TN(jaollie ahdella tai olmella) = 0,67. Esimeri 8 8(5)

9 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Kasaivälise oouse osallistuu 00 heilöä eri asallisuusista. Näistä 00 heilöstä 56 aattaa alastusiitiöide pieetämistä maailmalaajuisesti. Samoista 00 oousedustajasta 6 o tullut valitusi puheejohtajisi eri valioutii ja äistä uudesta asi uuluu jouoo, joa aattaa alastuse vähetämistä. Millä todeäöisyydellä satuaisesti valittu oousedustaja aattaa alastuse vähetämistä tai o valioua puheejohtaja? Rataisu Kosa jouoissa aattaa alastuse vähetämistä ja valioua puheejohtaja o yhteisiä jäseiä maiitut asi heeä o äytettävä yleisempää tapahtumie todeäöisyysie yhteelasusäätöä. Saadaa P(aattaa pieempiä iitiöitä tai o valioua puheejohtaja) = P(aattaa pieempiä iitiöitä) + P(o valioua puheejohtaja) P (aattaa pieempiä iitiöitä ja o valioua puheejohtaja) = + = = 0, Vastaus: Satuaisesti valittu oousedustaja aattaa alastuse vähetämistä tai o valioua puheejohtaja todeäöisyydellä 0,30. Komplemeti todeäöisyys Ku oripalloilija heittää vapaaheittoa, häellä o asi mahdollisuutta: hä joo saa ori tai ei saa oria. Tilae, jossa hä seä saa ori että ei saa oria yhdellä heitolla uulostaa absurdilta; ii ei tapahdu. Kosa varma tapause todeäöisyys o, ii tapause oripalloilija saa ori tai ei saa oria vapaaheitossa todeäöisyys o. Kosa ämä asi vaihtoehtoa ovat myös erilliset, saadaa yhtälö TN(saa ori) + TN(ei saa oria) =. Sovelletaa tätä ajatusta seuraavassa esimerissä. Esimeri 9 Kolme oripalloilijaa, heilöt A, B ja C, heittävät vapaaheito ohi todeäöisyysillä vastaavasti 5%, 0% ja 5%. Heitetää ysi ierros. Millä todeäöisyydellä a) uaa ei oistu b) vai ysi oistuu c) aiai ysi oistuu? Rataisu Jos oripalloilija A todeäöisyys heittää ohi o 5%, ii todeäöisyys, että hä oistuu heitossa, o edellä oleva päättely ojalla 00% 5% = 95% = 0,95. Vastaavalla tavalla pelaajat B ja C oistuvat heitossa todeäöisyysillä 0,90 ja 0,85. a) Kuaa ei oistu tapahtuu tarallee silloi, u aii heittävät ohi eli A heittää ohi ja B heittää ohi ja C heittää ohi. P(A heittää ohi ja B heittää ohi ja C heittää ohi) = P(A heittää ohi) P(B heittää ohi) P(C heittää ohi) = 0,05 0,0 0,5 = 0, Vastaus: Todeäöisyys, että aii heittävät ohi o oi 0,00075 eli luultavasti aii eivät heitä ohi. b) Tapaus vai ysi oistuu toteutuu, u tapaus A oistuu tai B oistuu tai C oistuu toteutuu ja tämä puolestaa, u tapaus A oistuu ja B ja C eivät oistu tai B oistuu ja A ja C eivät oistu tai C oistuu ja A ja B eivät oistu toteutuu. Tapauset, jota tuossa listassa erotetaa tai - oetiivilla ovat erilliset, jote TN(A oistuu ja B ja C eivät oistu tai B oistuu ja A ja C eivät oistu tai C oistuu ja A ja B eivät oistu) = 0,95 0,0 0,5 + 0,05 0,90 0,5 + 0,05 0,0 0,85 = 0,055. Vastaus: TN(vai ysi oistuu) = 0,055 eli oi 0,03. 9(5)

10 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä c) Tapaus aiai ysi oistuu toteutuu tarallee silloi, u tapaus uaa ei oistu ei toteudu. Nämä tapauset ovat erillise ja lisäsi iistä toie toteutuu joa tapausessa. Siis TN(aiai ysi oistuu) = TN(uaa ei oistu) = 0,055 = 0, Vastaus: TN(aiai ysi oistuu) = 0,97. Tapahtumat A saa ori ja A heittää ohi ovat toistesa vastatapahtumat eli toistesa egaatiot eli e ovat erilliset, mutta toie iistä tapahtuu. Jouo-opillisesti tapahtuma ja se vastatapahtuma ovat toistesa omplemetit. Meritää tapahtuma A ieltoa (tai se omplemettia tai se egaatiota ) symbolilla A. Silloi, ute edellä oieastaa jo saottii, o p( A A) = p( A ) + p( A ) p( A A) = p( A ) + p( A ) p( Φ ) = p( A ) + p( A ) 0 = p( A ) + p( A ), osa tyhjä jouo Φ todeäöisyys eli p( Φ ) o olla. Lisäsi p( A ) + p( A ) =. Tapahtuma A ja se omplemeti eli iello A välillä o yhteys p(a) + p( A ) = Yleesä tätä yhtälöä sovelletaa aava p(a) = p( A ) avulla. Esimeri 30 Heitetää olioa olme ertaa. Millä todeäöisyydellä saadaa aiai ysi ruua? Rataisu Tapause aiai ysi ruua egaatio o ei saada yhtää ruuaa, joa puolestaa tapahtuu tarallee silloi, u tapahtuu esimmäisellä laava ja toisella laava ja olmaella laava. Siis TN(aiai ysi ruua) = TN(esimmäisellä laava ja toisella laava ja olmaella laava) = 3 = 8 = 8 7. Vastaus: TN(aiai ysi ruua) = 8 7. Esimeri 3 Kolmea päivää säätilae o seuraava uai päivää: 0(5)

11 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Sataa todeäöisyydellä 0,5 O tihusadetta todeäöisyydellä 0,4 O poutaa todeäöisyydellä 0, Millä todeäöisyydellä joa päivä sataa tai o tihusadetta? Rataisu Tapahtuma sataa tai o tihua omplemetti o o poutaa. Siis TN(sataa tai o tihua) = 0, 3 = 0,. TN(o poutaa) = 0,, jote TN(päivä sataa tai o tihua) = ( ) 79 Vastaus: TN(sataa tai o tihua) = 0,73. Esimeri 3 Laatiossa o 6 palloa. Niistä puolet o puaisia ja puolet siisiä. Otetaa olme satuaista palloa. Millä todeäöisyydellä a) ysiää puaie pallo ei tule valitusi b) valitusi tulee aiai ysi puaie pallo? Rataisu Tämä rataisu voidaa rataista raa alla työllä eli laatimalla tauluo. Lase harjoitustehtävää tehtävä tauluo avulla ja vertaa tulosiasi äihi miu tulosiii, jota saa toisella tavalla. a) p(esimmäie ei ole puaie ja toie ei ole puaie ja olmas ei ole puaie) = 3 p(esimmäie o siie ja toie o siie ja olmas o siie) = = b) Tapause valitusi tulee aiai ysi puaie omplemetti o valitusi ei tule ysiää puaie pallo. Viimesi maiittu tapahtuu, jos aii valitut pallot ovat siiset. Siis TN(aiai ysi puaie) = TN(aii valitut pallot ovat siiset) = TN(. o 9 siie) TN(. o siie) TN(3. o siie) = =. 0 0 Esimeri 33 Tuotatoerästä valitaa satuaisesti asi tuotetta. Todeäöisyys, että iistä vähitää toie o viallie, o %. Kuia mota prosettia tuotatoerästä o viallisia? Rataisu Tapause vähitää toie o viallie omplemetti o umpiaa ei ole viallie. Meritää irjaimella x todeäöisyyttä, jolla ysittäise tuote o virheetö. Silloi p(molemmat ovat virheettömät) = x ja p(vähitää toie o virheellie) = x, jote saadaa yhtälö x = % = 0,0. Se rataisut ovat x = 0, 995 tai x = 0, 995. Kosa todeäöisyys o aia vähitää olla, egatiivie rataisu hylätää. Saatii siis tulos, että ysittäie tuote o virheetö todeäöisyydellä 0,995, josta edellee todeäöisyys sille, että ysittäie tuote o virheellie, o 0,995 = 0,005 = 0,5%. Tuloperiaate ja ombiaatiot Olemme jo äsitelleet esimerejä, joissa o ollut ysymys perääiste valitoje teemisestä. Vaihtoehtoje ooaismäärä saatii iissä aiissa ertomalla ysittäiste, perääi tehtävie (5)

12 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä valitoje vaihtoehdot eseää. Tätä periaatetta saotaa tuloperiaatteesi. Aiai Esimerissä 9 tätä periaatetta sovellettii. Esimerie 9 ja 0 välissä määriteltii ertoma futio. Sitä sovellettii Esimereissä 0. Otetaa vielä ysi ertoma äyttöö liittyvä esimeri. Esimeri 34 Toilla o uusi mappia, eljä siistä ja asi puaista. Kiireissää hä heittää mapit hyllyy satuaisee järjestysee. Millä todeäöisyydellä molemmat puaiset tulevat hyllyy perääi? Rataisu Kosa erilaisia mappie järjestysiä o olemassa 6 appaletta, ii aiie tapauste jouossa o 6 aliota. Siiset mapit voidaa järjestää rivii 4 eri tavalla ja molemmat puaiset riaai viitee eri paiaa siiste mappie välii tai rivi jompaaumpaa päähä. Kosa puaisilla mapeilla o eri esiäistä järjestystä, suotuisie tapauste luumäärä o 4 5. Täte 5 4 ysytty todeäöisyys o = = 0, Vastaus: Puaiset ovat perääi todeäöisyydellä 0,33. Saastoa Ku jouosta valitaa osajouoja, ute Esimerissä 3, missä äsiteltii ahde alio osajouoje valitsemista eljä alio jouosta ja missä järjestysellä o väliä, vaihtoehtoja saotaa edellee Esimeri3 tilatee muaisesti ahde alio permutaatioisi. Kahde alio permutaatioita huomattii appaletta. Silloi, u alioide järjestysestä ei välitetä, vaihtoehtoja saotaa ombiaatioisi ja Esimerissä 3 siis ahde alio ombiaatioisi. Esimerissä 3 ahde alio ombiaatioita löydettii uusi appaletta. Valtauallisessa lottoarvoassa o ysymys seitsemä alio siis seitsemä pallo ombiaatiosta. Lotossaha arvotaa 7 palloa 39 pallosta. Näitte äsitteitte eglaiieliste imie arvaamie ei ole vaieaa: permutatio ja combiatio. Matematiia alaa, joa tutii vaihtoehtoje määriä, saotaa ombiatoriiasi. Käsitteellä ombiaatio taroitetaa osajouo valitsemista site, että alioitte valitsemise järjestysee ei iiitetä huomiota. Esimerisi, u valitaa 0 aliosta 3 eiä järjestysellä ole väliä, valitaa 0 alio 3 alio ombiaatio. Yleisesti : alio jouo : alio ombiaatio ottamie taroittaa sitä, että jouosta, jossa o aliota, valitaa : alio osajouo. Lasuaava johtamista varte palataa iha hetesi äseistä tilaetta edeltävä tilateesee, eli tilateesee, jossa järjestysellä vielä o väliä. Oloo meillä siis jouo N, jossa o aliota eli #N =. Otetaa tästä jouosta ysi alio. Vaihtoehtoja o appaletta. Valitaa sitte toie alio, jolloi vaihtoehtoja o appaletta. Jatetaa äi ues aii maiitut aliota o valittu. Vaihtoehtoja o aiiaa tähä meessä siis ( ) ( ) ( + ). Jatetaa tätä tuloa eli laveetaa se luvulla ( ): (5)

13 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä 3(5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) laveetaa = = = + + = Huomaa tässä, luu + = ( ) o yhtä suurempi ui luu, joa puolestaa o yhtä suurempi ui luu. Kaii olme ovat siis perääisiä luuja, ute pitäisii, jotta ertoma futio määritelmä ehdot täyttyisivät. Tämä aava johtamie aloitettii toteamalla, että järjestysellä o väliä. Hylätää yt tämä ja palataa äi lopultai tilateesee, joho alu peri piti: alioitte järjestysellä ei ole väliä. Tämä tapahtuu site, että poistetaa alioitte järjestysestä johtuvat ylimääräiset vaihtoehdot jaamalla oitte ylimääräiste järjestyste määrällä, joa o, osa aliota voidaa järjestää eri järjestysee. Tulos o ( ). Tämä luu ilmoittaa siis luumäärä, uia moella tavalla : alio jouosta voidaa ottaa : alio osajouo. Sille o olemassa iha oma meritäsäi: ( ) =. Meritä luetaa yli :. Luu o myös biomierroi eli ( ) = = + i i i b a i b a 0. Huomaa, että meriässä ei ole tavuviivaa : ja : välissä. Saatii siis tulos: Jouosta, jossa o aliota, voidaa ottaa : alio osajouo ( ) = eri tavalla.

14 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Huomaa, että moet lasimet atavat suoraa futio yli :. Sitä meritää lasimissa usei Cr:llä. Jos siu lasimessasi o tämä toimito, et joudu turvautumaa määritelmää ja siiä esiityvää ertoma futioo. Seuraavassa esimerissä jouue Pea, Matti, Jua, Juhai ja Hau o luoollisesti sama ui jouue Hau, Matti, Jua, Juhai ja Pea. Jouo-opista muistat, että myösää ja imeomaa jouo alioide järjestysellä ei ole väliä. Esimeri 35 Luoassa o 8 oppilasta. Heistä valitaa viide hege jääieojouue oulujevälisee turausee. Kuia moella eri tavalla jouue voidaa valita, jos aii ovat ehdoaia? Rataisu Kysymys o siis viide hege osajouo valitsemisesta 8 oppilaa jouosta. Se voidaa tehdä 8 yli viidellä eri tavalla eli 8 8 = = 5 5 ( 8 5 ) = 8568 eri tavalla. Vastaus: Jouue voidaa valita 8568 eri tavalla. Esimeri 36 Lotossa arvotaa 39 umeroidusta pallosta seitsemä palloa ja lisäsi ylimääräiset olme palloa. Näitä ylimääräisiä palloja utsutaa lisäumeroisi. Lottoaja yrittää arvata seitsemä varsiaista umeroa. Lisäumerot arvotaa tässä mielessä irjaimellisesti ylimääräisiä. Millä todeäöisyydellä lottoaja saa a) 7 oiei b) uusi ja yhde lisäumero? Rataisu 39 a) Kosa 7 palloa voidaa valita 39 pallosta eri tavalla, ii 7 oiei todeäöisyys o 7 8 = = 6,5 0 eli oi 6,5 sadasmiljooasosaa Vastaus: 7 oiei todeäöisyys o 6, b) Kaiie tapauste jouossa o aliota. Kosa uusi umeroa voidaa valita seitsemästä umerosta ja osa arvottavat olme lisäumeroa - ertaistavat eli 6 olmiertaistavat voito mahdollisuude ja samalla pieetävät voittosummaa ii 7 suotuisia tapausia o 3 appaletta. Todeäöisyys saada uusi ja lisäumero o siis 6 4(5)

15 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä = = = 0, Vastaus: TN(uusi ja lisäumero) = 0, (5)