Eulerin φ-funktion ominaisuuksia

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Jua Peltola Eulerin φ-funtion ominaisuusia Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Marrasuu 2013

2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PELTOLA, JUKKA: Eulerin φ-funtion ominaisuusia Pro gradu -tutielma, 50 s. Matematiia Marrasuu 2013 Tiivistelmä Eulerin φ-funtio on ysi luuteorian tunnettuja funtioita. Se ertoo jotain luua pienempien tämän luvun anssa esenään jaottomien luujen luumäärän. Tässä tutielmassa äydään läpi erilaiset luuteorian perusteet φ-funtiota lähestyen. Tämän jäleen osoitetaan funtion äytännöllisiä ja mieleniintoisia ominaisuusia, minä jäleen tutitaan erilaisia funtion φ sisältäviä yhtälöitä. 1

3 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Alustavat tarastelut Jaollisuus ja aluluvut Kongruenssi Perusominaisuusia Modulaariaritmetiian saloja Kiinalainen jäännöslause Aritmeettisista funtioista Möbiusen funtio ja äänteisaava Jaajien luumäärä ja jaajien summa Eulerin φ-funtio Määritelmä Multipliatiivisuus Funtion arvo Eulerin φ ja ongruenssi Eulerin φ yhtälöissä ja identiteettejä Viitteet 50 2

4 1 Johdanto Luuteoria on matematiian osa-alue, joa osee luujen välisiä suhteita ja niiden ominaisuusia. Luuteoria on vanha matematiian haara ja siihen voidaan luea erilaisia alahaaroja. Alahaaroja ovat esimerisi analyyttinen luuteoria, lasennallinen luuteoria, jossa ehitetään uusia tietoonealgoritmeja yhä tehoaampaan ongelmanrataisuun, tai algebrallinen luuteoria, jossa esiössä ovat algebralliset luvut. C.F. Gauss totesi aianaan, että luuteoria on matematiian uningatar, miä on sinällään eseliäästi sanottu, sillä luuteorian ongelmat saattavat vaiuttaa ysinertaisilta, mutta ovatin mitä mutiaampia ja osa on vielä vailla todistusta; parhaana esimerinä on väite, että erittäin suuren luvun jaaminen aluteijöihin on vaieaa (miä siis tietooneiden nyyisellä teholla ja parhailla tunnetuilla teijöidenhaualgoritmeilla pitääin paiansa). Tämä tutielma uppoaa oonaisluujen ja siellä lisäsi aluluujen maailmaan. Aritmeettiset funtiot ovat positiivisten oonaisluujen jouossa määriteltyjä funtioita. Eulerin φ-funtio on ysi aritmeettinen funtio ja luemasi tutielman aihe. Eulerin φ-funtio ertoo jotain luua pienempien ja tämän luvun anssa esenään jaottomien luujen luumäärän. Funtio φ on multipliatiivinen, miä on ysi sen täreimpiä ominaisuusia. Funtioon liittyy luuisia jaollisuusominaisuusia, joista ysi on yhä avoin. Osa Eulerin funtioon liittyvistä ongelmista on siis yhä vailla rataisua. Ks. esim. [4]. Ysi φ-funtion sovellus on erinomainen juliseen avaimeen perustuva tiedonsalausmenetelmä ja funtion avulla voi todistaa muita siihen liittymättömiäin tulosia. Tutielma raentuu ahdesta osasta. Ensimmäisessä osassa äydään läpi tutielman seuraamisessa vaadittavia perusteita. Aluosio perustuu pääosin lähteisiin [6] ja [10]. Ensimmäisessä osiossa tehdään myös hieman laajempi atsaus luuteoriaan ja äsitellään ongruenssi seä muita aritmeettisia funtioita, uten Möbiusen funtio seä funtiot, jota lasevat jaajien 3

5 luumäärän ja summan. Toisessa osiossa pureudutaan Eulerin φ-funtioon ja osoitetaan sen luuteoreettisessa mielessä elegantteja ominaisuusia alaen multipliatiivisuudesta ja summafuntiosta. Selvitämme, miten funtion arvo voidaan lasea mille tahansa positiiviselle oonaisluvulle ja miä on Eulerin-Fermat'n lause. Myös muita ongruenssiominaisuusia tarastellaan. Aritmeettisilla funtioilla on esinäisiä yhteysiä ja näistä selvitämme joitain, lähinnä funtioon φ liittyviä. Viimeisenä tutimme erityyppisiä Eulerin φ-funtion yhtälöitä, joista ysymme, millä φ-funtion arvoilla ne ovat tosia, jos millään. 4

6 2 Alustavat tarastelut 2.1 Jaollisuus ja aluluvut Määritelmä 2.1 (Jaollisuus). Oloot a, b Z. Luu a jaaa luvun b, jos on olemassa sellainen c Z, että b = ac. Meritään a b. Tällöin sanotaan, että a jaaa b:n tai a on b:n teijä. Josus sanotaan myös, että b on a:n monierta. Jos a ei jaa b:tä, meritään a b. Määritelmä 2.2 (Aluluu). Aluluu on sellainen luua 1 suurempi positiivinen oonaisluu, joa on jaollinen vain itsellään ja luvulla 1. Jos oonaisluu n ei ole aluluu, se on yhdistetty luu. Yhdistetyllä luvulla on vähintään asi teijää a ja b, 1 < a, b < n. Esimeri , 3, 5, 7, 11, 13 ovat uusi ensimmäistä aluluua. Luu 6 on yhdistetty luu ja sen teijät ovat 2 ja 3. Huomautus. Vastiään löydettiin uusi aluluu , joa on suurin tunnettu aluluu. Siinä on numeroa ja tara löytöpäivä oli [2]. Lause 2.3. Joaisella oonaisluvulla n > 1 on aluluuteijä. Todistus. Todistetaan lause äyttäen hyväsi indutiota. Jos n = 2, niin väitös pätee, sillä 2 on aluluu ja itsensä teijä. Tehdään indutio-oletus, että väitös on tosi, un 2 n. Jos + 1 on aluluu, lause on todistettu. Jos + 1 ei ole aluluu, sillä on vähintään asi teijää. Oloon siis + 1 = ab. Tällöin a, b, eli indutio-oletusen perusteella vähintään toinen on aluluu tai molemmilla on aluluuteijä. Täten siis luvulla + 1 on aluluuteijä ja indutioperiaatteen nojalla väitös pätee joaisella oonaisluvulla n > 1. 5

7 Lause 2.4 (Jaoalgoritmi). Jos a, b Z ja b > 0, niin on olemassa sellaiset ysiäsitteiset oonaisluvut q ja r, että a = bq + r, missä 0 r < b. Todistus. Vrt. [6, s. 38]. Osoitetaan ensin ysiäsitteisyys teemällä vastaoletus, että on olemassa myös luvut q q ja r r, joilla a = bq +r, 0 r < b. Jos nyt vähennetään luvun a esityset toisistaan, saadaan bq + r (bq + r ) = b(q q ) + (r r ) = 0 (r r ) = b(q q) eli b r r. Kosa 0 r < b ja 0 r < b, niin b < r r < b. Jotta tässä tilanteessa b r r, pitäisi olla r r = 0 eli r = r. Täten myös q = q selvästi. Olemassaolo seuraa siitä, että jouo S = {a bs : s Z, a bs 0} on epätyhjänä ei-negatiivisten luujen jouona hyvinjärjestetty. Tällöin jouossa on pienin alio, joa oloon r = a bq. Jouon määrittelyn perusteella r 0. Toisaalta r b = (a bq) b = a b(q +1) < 0 eli r < b. Ehdot yhdistämällä saadaan 0 r < b ja lause on todistettu. Lause 2.5 (Aritmetiian peruslause). Joainen positiivinen oonaisluu voidaan jaaa ysiäsitteisesti aluluuteijöihin. Toisin sanottuna joainen luu n > 2 voidaan esittää aluluujen tulona. Saadaan luvun n aluteijähajotelma: n = p 1 p 2...p, missä p i on aluluu ja 1 i. Todistus. Vrt. [10, s. 82]. Tehdään vastaoletus, että on olemassa pienin sellainen oonaisluu n = p 1 p 2 p = q 1 q 2 q l,, l > 1, jolle väitös ei päde. Jos olisi p i = q j jollain 1 i ja 1 j l, niin yhtälön voisi jaaa luvulla p i. Tällöin saataisiin luvulle n p i < n asi erillistä muotoa, miä on ristiriita, osa n on pienin tällainen luu. Oletetaan siis, että p 1 < q 1. Oloon sitten m = (q 1 p 1 )q 2 q l = q 1 q 2 q l p 1 q 2 q l = p 1 p 2 p p 1 q 2 q l = p 1 (p 2 p q 2 q l ). Nyt selvästi m < n ja luvulle m on asi erillistä aluteijähajotelmaa. Tämä on myös ristiriita, osa n on pienin tällainen luu. 6

8 Kosa vastaoletus johtaa ristiriitaan, niin ei voi olla olemassa pienintä luua, jolle ei olisi ysiäsitteistä aluteijähajotelmaa ja väitös on todistettu. Aluteijähajotelma voidaan irjoittaa myös muodossa n = p a 1 1 p a p a, a i Z +, p i p j, un i j, jolloin on yseessä anoninen aluteijähajotelma. Lause 2.6. Oloon n Z + yhdistetty luu. Tällöin sillä on aluteijä p 0 n. Todistus. Vrt. [6, s. 71]. Oloon n = p 1 p 2, 1 p 1 p 2 n. Jos olisi p 1 > n, niin olisi p 1 p 2 > n n = n, miä on ristiriita. Pitää siis olla p 1 n. Lauseen 2.3 perusteella joaisella oonaisluvulla n > 1 on aluteijä, joten väitös seuraa ja haettu p 0 = p 1. Koeellinen aparaatti nimeltään Eratostheneen seula äyttää hyväseen lausetta 2.6. Siinä tutitaan aii luua n pienemmät aluluvut ja seia, jaavato ne luua n pienemmät luvut. Tällä tavalla saadaan selvitettyä, mitä ovat luua n pienemmät aluluvut. Havainnollistetaan seulan toimintaa esimerillä ja ysytään, mitä ovat luua 25 pienemmät aluluvut? Esimeri 2.2. Nyt siis aluluvut, jota ovat pienempiä tai yhtäsuuria uin 25 = 5 ovat 2, 3 ja 5. Seulotaan ensin aii parilliset luvut eli 4, 6,..., 24 pois, osa niiden teijänä on 2. Seulotaan sitten pois jäljelle jääneistä ne, joiden teijänä on 3 eli 9, 15, 21. Kaiista jäljellä olevista luvuista seulotaan vielä luvun 5 monierrat eli 25. Jäljelle ovat jääneet luvut 7, 11, 13, 17, 23. Määritelmä 2.7 (Suurin yhteinen teijä). Oloot a, b Z +. Luujen a ja b suurin yhteinen teijä on suurin sellainen luu c, joa jaaa molemmat luvuista a ja b. Meritään c = (a, b). Esimeri 2.3. (8, 4) = 4, (115, 110) = 5. 7

9 Huomautus. Nollalle pätevät seuraavat säännöt (0, 0) = 0 ja (a, 0) = a, a Z. Määritelmä 2.8 (Kesenään jaottomat luvut). Luvut a ja b ovat esenään jaottomat, jos (a, b) = 1. Lause 2.9. Oloon (a, b) = d ja ainain toinen luvuista a ja b poietoon nollasta. Tällöin d on pienin niistä luvuista, jota voidaan esittää luujen a ja b positiivisena lineaariombinaationa. Todistus. Vrt. [10, s. 59]. Oloon T = {ax + by : x, y Z ja ax + by > 0}. Hyvinjärjestysperiaatteen muaan jouossa T on pienin alio, joa oloon e = a + bl. Jaoalgoritmin nojalla on olemassa sellaiset q ja r, että a = eq + r, 0 r < e. Nyt siis r = a eq = a (a + bl)q = a(1 q) + b( lq) eli, jos r 0, niin r on luujen a ja b lineaariombinaatio ja jouossa T. Kosa r on pienempi uin jouon T pienin alio, pitää uitenin olla r = 0. Tämä siis taroittaa, että a = eq eli e a. Vastaavasti voidaan päätellä, että e b. Kosa e jaaa molemmat luvuista a ja b ja d = (a, b) on oltava e d. Lisäsi, osa d a ja d b, niin d a +b = e eli d e. Siis d = e on jouon T pienin alio. Seuraus Oloot a, b Z ja (a, b) = d. Tällöin on olemassa sellaiset x, y Z, että d = ax + by. Lause Oloot a, b Z. Tällöin (a, b) = 1, jos ja vain jos on olemassa sellaiset x, y Z, että ax + by = 1. Todistus. Lause seuraa suoraan edellisestä. 8

10 Todistetaan seuraavasi joitain jaollisuuteen liittyviä lauseita. Ks. esim. [6]. Lause Oloot a, b, c Z seä a b ja b c. Tällöin a c. Todistus. Oletusen perusteella on olemassa sellaiset oonaisluvut ja l, että b = a ja c = bl. Nyt siis c = (a)l = a(l) eli a c. Lause Oloot a, b, c, m, n Z seä c a ja c b. Tällöin c ma + nb. Todistus. Oletusen perusteella on olemassa sellaiset oonaisluvut ja l, että a = c ja b = lc. Nyt ma + nb = mc + nlc = (m + nl)c eli c ma + nb. Lause Oloot a, b Z + seä a b. Tällöin a b. Todistus. Oletusen perusteella on olemassa sellainen oonaisluu > 0, että b = a. Todistetaan lause indutiolla. Oletetaan siis ensin, että = 1. Tällöin b = a a. Oletetaan sitten, että väite on tosi, un = n eli b = an a. Jos = n + 1, niin b = a(n + 1) = an + a a + a a. Indutio-oletusella perustellaan toisesi viimeinen erisuuruus ja viimeinen on itsestään selvää. Tulos seuraa indutioperiaatteen nojalla. Lause Oloot a, b, c Z + seä (a, b) = 1 ja a bc. Tällöin a c. Todistus. Kosa (a, b) = 1, niin lause 2.11 osaa ertoa, että on olemassa sellaiset x, y Z, että ax + by = 1. Kerrotaan yhtälöön c, jolloin saadaan axc + byc = c. Kosa a a seä a bc, niin lauseen 2.13 nojalla a a(xc) + bc(y) = c. Lause Oloot a, b, c Z + seä (a, b) = 1, a c ja b c. Tällöin ab c. Todistus. Oletusen perusteella on olemassa sellaiset, l Z, että a = bl = c. Kosa a ja b ovat esenään jaottomia, niin lauseen 2.9 perusteella 9

11 on olemassa sellaiset x, y Z, että ax + by = 1. Kerrotaan taas c yhtälöön ja saadaan c = axc + byc = ax(bl) + by(a) = ab(xl) + ab(y) = ab(xl + y) eli ab c. Todistetaan seuraavasi lause, jona avulla on mahdollista löytää ahden luvun suurin yhteinen teijä. Siinä äytetään toistuvasti lauseessa 2.4 esiteltyä jaoalgoritmia ja lause ulee nimellä Euleideen algoritmi. Todistetaan vielä ennen varsinaisen Euleideen algoritmin todistusta tarpeellinen apulause. [6, s. 103]. Apulause Oloot a, b, q, r Z ja a = bq + r. Tällöin (a, b) = (b, r). Todistus. Meritään (a, b) = ja (b, r) = l. Osoitetaan, että l ja l eli = l. Nyt siis a ja b eli on olemassa sellaiset oonaisluvut d ja e, että a = d ja b = e. Saadaan d = eq + r r = d eq = (d eq) eli r. Kosa (b, r) = l, niin on oltava l. Toisaalta l b ja l r, joten on olemassa sellaiset oonaisluvut f ja g, että b = fl ja r = gl. Saadaan a = flq + gl = (fq + g)l eli l a. Edellä todettiin, että myös l b, mutta osa (a, b) =, niin pitää olla l. Pitää siis paiansa, että (a, b) = (b, r). Lause 2.18 (Euleideen algoritmi). Oloot a, b Z ja 0 < b a. Oloot lisäsi q 1, q 2,..., q n+1 osamääriä ja r 1, r 2,..., r n+1 jäännösiä, jota saadaan 10

12 jaoalgoritmia äyttämällä seuraavasti a = bq 1 + r 1, 0 r 1 < b, b = r 1 q 2 + r 2, 0 r 2 < r 1, r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 r 3 < r 2, r n 2 = r n 1 q n + r n, 0 r n < r n 1 ja r n 1 = r n q n+1 + r n+1 ja r n+1 = 0. Tällöin (a, b) = r n. Todistus. Sovelletaan apulausetta Saadaan (a, b) = (b, r 1 ) = (r 1, r 2 ) =... = (r n 2, r n 1 ) = (r n 1, r n ) = (r n, 0) = r n. Siis (a, b) = r n. Lause Oloot d, m, n Z + seä (m, n) = 1. Jos d mn, niin on olemassa sellaiset ysiäsitteiset d 1, d 2 Z +, että d 1 m, d 2 n ja d = d 1 d 2. Toisaalta myös, jos d 1 m ja d 2 n, niin d = d 1 d 2 mn. Todistus. Vrt. [6, s. 117]. Oloot m = p m 1 1 p m 2 2 p ms s ja n = q n 1 1 q n 2 2 q nt t. Kaii p 1, p 2,..., p s ovat esenään jaottomia luujen q 1, q 2,..., q t anssa, osa (m, n) = 1. Tällöin siis mn = p m 1 1 p m 2 2 p ms s q n 1 1 q n 2 2 q nt t. Oletetaan sitten, että d mn, jolloin saadaan d = p e 1 1 p e 2 2 p es s q f 1 1 q f 2 2 q ft t, missä 0 e i m i, aiilla i = 1, 2,..., s ja 0 f j n j, aiilla j = 1, 2,..., t. Nyt oletetaan lisäsi, että d 1 = (d, m) ja d 2 = (d, n), jolloin d 1 =p e 1 1 p e 2 2 p es s d 2 =q f 1 1 q f 2 2 q ft t. 11

13 Selvästi d = d 1 d 2 ja osa (m, n) = 1, niin (d 1, d 2 ) = 1. Löydetyt luvut d 1 ja d 2 ovat myös ysiäsitteiset, sillä luujen m ja n aluteijähajotelmat ovat ysiäsitteiset seä d 1 ja d 2 äsittävät aii luvun d aluluupotenssit. Edelleen d 1 äsittää vain aii ne aluluupotenssit, jota ovat luvun m teijöitä ja vastaavasti d 2 äsittää potenssit, jota ovat luvun n teijöitä. Osoitetaan väitös vielä toiseen suuntaan. Oletetaan, että d 1 m ja d 2 n. Tällöin d 1 =p e 1 1 p e 2 2 p es s, missä 0 e i m i, aiilla i = 1, 2,..., s d 2 =q f 1 1 q f 2 2 q ft t, missä 0 f j n j, aiilla j = 1, 2,..., t. Selvästi d = d 1 d 2 = p e 1 1 p e 2 2 p es s q f 1 1 q f 2 2 q ft t jaaa luvun mn, osa minään aluteijähajotelmassa esiintyvän aluluvun potenssi ei ylity. 2.2 Kongruenssi Kongruenssin äsite on luuteoriassa fundamentaali. Se mahdollistaa aritmetiian altaisen ongelmanrataisun jaollisuuteen liittyvissä ongelmissa. Tarastellaan ongruenssin äsitettä seuraavasi hieman taremmin lähteitä [6] ja [10] seuraillen Perusominaisuusia Määritelmä 2.20 (Kongruenssi). Oloon n > 1. Luvut a ja b ovat ongruentteja modulo n, jos n a b. Meritään a b (mod n). Esimeri 2.4. Suuri osa ihmisistä äyttää tietoisesti tai tiedostamattaan ongruenssia arielämässään. Nimittäin ello tai viioalenteri ovat oivia esimerjä äytännön ongruenssista. Kun ello on yhdesäntoista, sen voidaan sanoa olevan seitsemän: 19 7 (mod 12). Numeroidaan viionpäivät maanantaista sunnuntaihin yhdestä seitsemään. Yhdesäntoista päivää maanantaista on lauantai: = 20 6 (mod 7). 12

14 Lause Oloot a, b Z seä a b (mod n). Tällöin on olemassa sellainen Z, että a = b + n. Vastaavasti, jos a = b + n, niin a b (mod n). Todistus. Oletetaan siis ensin, että a b (mod n). Tällöin n a b, miä taas taroittaa, että on olemassa sellainen, että n = a b, mistä seuraa, että a = b + n. Oletetaan sitten, että a = b + n. Tapaus menee vastaavasti uin edellinen, mutta äänteisesti eli oletusen perusteella n = a b, miä taroittaa, että n a b eli a b (mod n). Lause Oloon n Z +. Kongruenssi modulo n on oonaisluujen jouossa määritelty evivalenssirelaatio eli ongruenssilla modulo n on seuraavat ominaisuudet: (i) Reesiivisyys; Jos a Z, niin a a (mod n). (ii) Symmetrisyys; Jos a, b Z ja a b (mod n), niin b a (mod n). (iii) Transitiivisuus; Jos a, b, c Z seä a b (mod n) ja b c (mod n), niin a c (mod n). Todistus. (i) Kaiilla luvuilla a Z pätee a = a + 0 n eli n a a. Siis a a (mod n). (ii) Nyt on olemassa sellainen Z, että a = b + n eli b = a + ( )n. Siis b a (mod n). (iii) Nyt on olemassa sellaiset, l Z, että a = b + n ja b = c + ln, mistä saadaan a = c + ln + n = c + (l + )n. Siis a c (mod n). 13

15 Evivalenssirelaatio jaaa jouon evivalenssiluoiin. Huomataan, että lauseen 2.22 perusteella ongruenssi modulo n jaaa oonaisluvut evivalenssiluoiin, joita on yhteensä n appaletta. Tässä yhteydessä evivalenssiluoia utsutaan jäännösluoisi modulo n. Esitellään vielä ennen ongruenssin lasusääntöjä lineaarinen ongruenssiyhtälö seä ongruenssin äänteisluvun äsite. Kongruenssi, joa on muotoa ax b (mod n), on yhden muuttujan lineaarinen ongruenssiyhtälö. Joainen jäännössysteemin modulo n alio on ongruenssiyhtälön rataisu, jos ysiin sen alioista on rataisu. Lause Oloot a, b, n Z, n > 0 ja (a, n) = d. Jos d b, niin ongruenssiyhtälöllä ax b (mod n) ei ole rataisua. Jos sen sijaan d b, niin ongruenssiyhtälöllä ax b (mod n) on täsmälleen d rataisua modulo n. Todistus. Ks. [6, s. 158]. Seuraus Oloot a, b, n Z, n > 0 ja (a, n) = 1. Tällöin ongruenssiyhtälöllä ax b (mod n) on ysiäsitteinen rataisu modulo n. Todistus. Väite seuraa suoraan lauseesta Jos ongruenssiyhtälössä ax b (mod n), jolla on ysiäsitteinen rataisu modulo n, on b = 1, niin yseessä on seuraava erioistapaus. Määritelmä Oloon a Z ja (a, n) = 1. Kongruenssiyhtälön ax 1 (mod n) rataisu x Z on luvun a äänteisluu modulo n Modulaariaritmetiian saloja Kongruenssiyhtälö muistuttaa aritmeettista yhtälöä. Yhteys ei lopu uloiseen olemuseen, nimittäin ongruenssiyhtälöä voi operoida puolittain aritmeettisilla operaatioilla. Tätä utsutaan modulaariaritmetiiasi. Osoitetaan seuraavasi, että ongruenssi säilyy yhteen-, vähennys- ja ertolasussa seä potenssiin orotusessa. 14

16 Lause Oloot a, b, c, n, s Z ja n, s > 0 seä a b (mod n). Tällöin (i) a ± c b ± c (mod n), (ii) ac bc (mod n) ja (iii) a s b s (mod n). Todistus. (i) Oletusen perusteella on olemassa sellainen Z, että a = b + n eli n a b = a + c (b + c). Tästä saadaan a + c = b + c + n, joten a + c b + c (mod n). Vähennyslasun tapaus on täysin vastaava. (ii) Kertolasun tapausessa analogia on vastaavaho, nimittäin ac bc = c(a b). Edellä on todettu, että n a b, joten myös n c(a b) = ac bc eli ac bc (mod n). (iii) Nyt a s b s = (a b)(a s 1 + a s 2 b ab s 2 + b s 1 ) eli a b a s b s. Kuten on mainittu, oletusen muaan n a b, joten lauseen 2.12 perusteella n a s b s eli a s = b s + n eli a s b s (mod n). Todistetaan jatoa silmällä pitäen vielä seuraava ertolasuun liittyvä lause [10, s. 152]. Lause Jos a i b i (mod n), aiilla 1 i s, niin s s a i (mod n). b i Todistus. Todistetaan lause indutiolla luvun s suhteen. Oloon s = 1. Tällöin a 1 b 1 (mod n), miä on tosi, sillä a i b i (mod n), aiilla 1 i s. Tehdään sitten indutio-oletus, että väitös pätee, un s = 1 eli 1 1 a i b i 15 (mod n),

17 miä siis taroittaa, että 1 1 n a i b i. Oletetaan sitten, että s =. Oletusen perusteella n a b, joten lauseen 2.13 perusteella 1 n a i (a b ) + b ( 1 ) 1 a i b i = = 1 1 a i b a i + b a i a i eli a i b i (mod n), joten lause on tosi indutioperiaatteen nojalla. Kongruenssin jaaminen ei ole aivan yhtä suoraviivaista uin ertominen tai yhteenlasu. Esimerisi 2 2 = 4 10 = 2 5 (mod 6) ei ole jaettavissa ahdella ertolasun tapaan, vaia siltä näin ensialuun saattaain näyttää. Nimittäin 2 5 (mod 6). Osoitetaan seuraavasi, että ongruenssi voidaan uitenin jaaa taremmin ottaen yse on yhteisen teijän eliminoinnista tietyissä tilanteissa [6, s. 149]. Lause Oloot a, b, c, n Z ja n > 0. Jos (c, n) = d ja ac bc (mod n), niin a b (mod n d ). Todistus. Oletetaan, että ac bc (mod n). Tällöin n ac bc = c(a b), joten on olemassa sellainen oonaisluu, että n = c(a b). Kun jaetaan puolittain oonaisluvulla d, saadaan n d = c (a b). d Kosa (c, n) = d, niin ( c, n) = d d 1, joten lauseen 2.15 perusteella n a b eli d a b (mod n ) ja lause on todistettu. d Seuraus Oloon ac bc (mod n) ja (c, n) = 1. Tällöin a b (mod n). b i b i 16

18 Esimeri 2.5. Jaetaan edellinen esimeri ahdella. Nyt 2 2 = 4 10 = 2 5 (mod 6) ja (2, 6) = 2, joten 2 5 (mod 3). Jos ongruenssiyhtälön molempien puolien yhteinen teijä on jaoton modulin anssa, voidaan sillä jaaa, uten seurauslause 2.29 toteaa: 2 2 = 4 18 = 2 9 (mod 7) ja osa (2, 7) = 1, niin 2 9 (mod 7). Määritelmä Koonaisluujen jouo on täydellinen jäännössysteemi modulo n, jos joainen oonaisluu on ongruentti täsmälleen yhden tämän jouon luvun anssa modulo n. Määritelmä Luujouo {0, 1, 2,..., n 1} on pienimpien ei-negatiivisten jäännösten systeemi modulo n. Määritelmä Luumäärältään suurin sellainen täydellisen jäännössysteemin modulo n osajouo, jona luvut ovat jaottomia luvun n anssa, on supistettu jäännössysteemi modulo n. Myöhemmin tutielmassa selviää, montao aliota supistetussa jäännössysteemissä modulo n on Kiinalainen jäännöslause Ennen aritmeettisten funtioiden esittelyä, todistetaan vielä ysi ongruensseihin liittyvä tulos. Kyseessä on lineaarisen ongruenssiyhtälöryhmän rataiseminen. Joaisessa ongruenssiyhtälössä moduli on eri ja yseessä on iinalainen jäännöslause. Lause 2.33 (Kiinalainen jäännöslause). Oloot m 1, m 2,..., m Z pareittain esenään jaottomia. Tällöin ongruenssiyhtälöryhmällä x a i (mod m i ), missä 1 i on ysiäsitteinen rataisu modulo M = m i. Todistus. Vrt. [10, s. 173]. Oloon M j = M m j, missä 1 j ja M = m i. Nyt osa m 1, m 2,..., m ovat pareittain esenään jaottomia, niin 17

19 m l M j ja (m j, m l ) = 1, aiilla l j. Kun olemme määritelleet luvun M j tällä tavalla, niin (m j, M j ) = 1, jolloin ongruenssiyhtälöllä M j y 1 (mod m j ) on seurauslauseen 2.24 perusteella ysiäsitteinen rataisu y eli äänteisluu b j modulo m j. Siis joaiselle j on olemassa sellainen b j, että M j b j 1 (mod m j ). Muodostetaan sitten summa x j=1 M jb j a j (mod M). Summattavissa M j b j a j a j (mod m j ), osa M j b j 1 (mod m j ), ja M j 0 (mod m l ), un j l. Tällöin siis x a j (mod m j ). Siis x on ongruenssiyhtälöryhmän rataisu. Ysiäsitteisyyden modulo M osoitamme olettamalla ensin, että x 0 ja x 1 ovat erilliset ongruenssiyhtälöryhmän rataisut, jolloin saadaan x 0 x 1 a j (mod m j ), aiilla 1 j. Tällöin on olemassa sellaiset 0, 1 Z, että x 0 = a j + 0 m j ja x 1 = a j + 1 m j ja yhtälöt yhdistämällä saadaan x 1 = x 0 0 m j + 1 m j x 1 x 0 = ( 1 0 )m j eli m j x 1 x 0 aiilla 1 j. Kosa joainen m j x 1 x 0, niin myös M x 1 x 0, joten x 0 x 1 (mod M) ja myös ysiäsitteisyys on osoitettu. 2.3 Aritmeettisista funtioista Aritmeettiset funtiot on määritelty oonaisluujen jouossa. Eulerin φ- funtio on eräs aritmeettinen funtio. Toinen eseinen funtio, nimittäin Möbiusen funtio, esitellään myös. Se osoittautuu oivasi avusi myöhemmin, un osoitamme φ-funtioon liittyviä tulosia. Lisäsi lyhyen esittelyn saavat sellaiset aritmeettiset funtiot uin jaajien luumäärä seä jaajien summa. Koonaisuus tai sen osia löytyy useammastain lähteestä, mutta notaatiot ja todistusten analogia noudattelevat lähdettä [6]. Määritelmä 2.34 (Aritmeettinen funtio). Funtio, jona määrittelyjouo on Z +, on aritmeettinen funtio. 18

20 Määritelmä 2.35 (Multipliatiivinen funtio). Aritmeettinen funtio f on multipliatiivinen, jos f(mn) = f(m)f(n), un (m, n) = 1, ja täydellisesti multipliatiivinen, jos f(mn) = f(m)f(n), m, n Z +. Esimeri 2.6. Vaiofuntio f(n) = 1 on täydellisesti multipliatiivinen. Jos f on aritmeettinen funtio, niin F (n) = d n f(d) on sen summafuntio. Ennen uin osoitetaan, että multipliatiivisen funtion summafuntio on multipliatiivinen, tarastellaan sitä hieman taremmin lyhyen esimerin autta. Esimeri 2.7. Oloon f(n) = n. Sen summafuntio on tällöin F (n) = d n f(d) = d n d. Lasetaan summa, un n = 4: F (4) = f(1) + f(2) + f(4) = = 7. Lause Jos f on multipliatiivinen, niin on myös F (n) = d n f(d). Todistus. Oloot m ja n esenään jaottomia positiivisia oonaisluuja. Tällöin F (mn) = d mn f(d). Kosa (m, n) = 1, niin lauseen 2.19 perusteella on olemassa sellaiset esenään jaottomat luvut a ja b, että a m, b n ja ab = d. Nyt siis F (mn) = f(ab). a m,b n 19

21 Kosa f on multipliatiivinen, niin F (mn) = f(ab) = a m,b n a m,b n f(a)f(b) = a m f(a) b n f(b) = F (m)f (n). Lause Jos f ja g ovat multipliatiivisia, niin on myös F (n) = d n f(d)g( n d ). Todistus. Jos m ja n ovat esenään jaottomia, niin d mn, jos ja vain jos d = l, missä m ja l n seä (, l) = 1 ja ( m, n ) = 1. Täten l F (mn) = f(d)g( mn d ) = f(l)g( mn l ) d mn d d l = f()f(l)g( m )g(n l ) d d l = d f()g( m ) d l f(l)g( n ) = F (m)f (n). l Huomautus. Kun meritään lauseen 2.37 summafuntiota F = f g, niin muotoa sanotaan myös Dirichlet'n onvoluutiosi. 2.4 Möbiusen funtio ja äänteisaava Möbiusen funtio on äyttöelpoinen apu Eulerin φ-funtion osoittamisessa multipliatiivisesi. Määritelmä 2.38 (Möbiusen funtio). Möbiusen funtio µ(n) määritellään seuraavasti 1, jos n = 1, µ(n) = ( 1), jos n = p 1 p 2...p, missä p i p j, un i j, 0, muulloin. 20

22 Osoitetaan ensin, että Möbiusen funtio on multipliatiivinen. Lause Möbiusen funtio on multipliatiivinen. Todistus. Oloon (m, n) = 1. Osoitetaan multipliatiivisuus olmessa osassa määritelmän osoittamassa järjestysessä. Oletetaan siis ensin, että m = 1. Tällöin µ(mn) = µ(n) = µ(m)µ(n). Viimeinen ohta pätee, osa µ(m) = 1. Tapaus n = 1 menee vastaavasti. Oletetaan seuraavasi, että m = p 1 p 2...p, missä p i p j, un i j ja n = q 1 q 2...q l, missä q i q j, un i j. Nyt µ(m)µ(n) = ( 1) ( 1) l = ( 1) +l. Kosa (m, n) = 1, niin q i p j, i, j. Tällöin µ(mn) = ( 1) +l, miä todistaa tapausen. Muissa tapausissa µ(m) = 0 tai µ(n) = 0 eli myös µ(mn) = 0 = µ(m)µ(n) ja lause on todistettu. Lause Möbiusen funtion summafuntio on F (n) = d n µ(d) = { 1, jos n = 1, 0, jos n > 1. Todistus. Oletetaan ensin, että n = 1. Tällöin F (n) = d n µ(d) = µ(1) = 1 ja ensimmäinen vaihe on todistettu. Oletetaan sitten, että n > 1. Kosa Möbiusen funtio on multipliatiivinen, niin lauseen 2.36 nojalla myös F (n) on multipliatiivinen. Lisäsi lauseen yhtälön oiean puolen funtio on multipliatiivinen. Tällöin riittää tarastella tapausta, että n = p, missä on miä tahansa positiivinen oonaisluu. Oloon siis n = p, missä ensin = 1. Silloin F (n) = F (p) = d p µ(d) = µ(1) + µ(p) = 1 + ( 1) = 0. 21

23 Oloon sitten n = p, missä > 1. Silloin F (n) = F (p ) = d p µ(d) = µ(1) + µ(p) + µ(p 2 ) µ(p ) = 1 + ( 1) = 0. Kummassain tapausessa lauseen yhtälön oiean puolen funtio on myös nolla, sillä n > 1. Näin myös toinen vaihe ja täten oo lause on todistettu. Lause 2.41 (Möbiusen äänteisaava). Oloon f aritmeettinen funtio ja F (n) = d n f(d), n Z +. Tällöin f(n) = d n µ(d)f ( n d ), n Z +. Todistus. Nyt µ(d)f ( n d ) = d n d n µ(d) n d f() = d n µ(d)f(). n d Kosa d n ja n d, niin on olemassa sellainen a, että n = a. Tästä saadaan d n = ad ja n = ad eli n ja d n. Voidaan siis orvata pari d n ja n d parilla n ja d n, jolloin ääntämällä samalla summausjärjestysen saadaan f()µ(d) = n n d n f() d n µ(d) = f(n) 1 = f(n). Viimeinen ohta seuraa siitä, että d µ(d) = n 0, un n > 1, joten pitää olla n = 1 eli n =, jolloin d µ(d) = 1 n ja n f() = f(n). Möbiusen äänteisaavalla voidaan osoittaa lauseen 2.36 pätevän myös toiseen suuntaan. Lause Jos F on multipliatiivinen ja F (n) = d n f(d), niin myös f on multipliatiivinen. 22

24 Todistus. Oloon (m, n) = 1. Möbiusen äänteisaavan nojalla voidaan irjoittaa f(mn) = d mn µ(d)f ( mn d ), missä µ ja F ovat multipliatiivisia. Tällöin lauseen 2.37 perusteella myös d n µ(d)f ( n ) on multipliatiivinen, siis d µ(d)f ( mn d ) = µ(d)f ( m d ) µ(d)f ( n d ) = f(m)f(n). d mn d m d n 2.5 Jaajien luumäärä ja jaajien summa Eulerin φ-funtiolle löytyy monta yhteyttä jaajien luumäärä - ja jaajien summa -funtioihin, joten esitellään ne myöhempiä tulosia varten tässä vaiheessa. Aloitetaan funtioiden määritelmillä. Määritelmä 2.43 (Jaajien luumäärä). Kaiille n Z + τ(n) = {d Z + : d n} = d n 1. Määritelmä 2.44 (Jaajien summa). Kaiille n Z + σ(n) = d n d, missä d Z +. Huomautus. Luua n utsutaan täydellisesi luvusi, jos σ(n) = 2n. Osoitetaan seuraavasi, että edellä esitellyt funtiot ovat multipliatiivisia. Möbiusen funtion yhteydessä viimeisenä todistettu lause 2.42 osoittaa voimansa jo nyt. Lisäsi todistetaan lauseeet, joilla funtioiden arvot voidaan lasea mille tahansa positiiviselle oonaisluvulle. Lause Jaajien luumäärä -funtio τ on multipliatiivinen. 23

25 Todistus. Oloon f(n) = 1. Nyt f on täydellisesti multipliatiivinen ja τ(n) = d n f(d). Tulos seuraa lauseen 2.42 nojalla. Lause Jaajien summa -funtio σ on multipliatiivinen. Todistus. Oloon f(n) = n. Nyt f on täydellisesti multipliatiivinen ja σ(n) = d n f(d). Tämäin tulos seuraa nyt lauseesta Apulause Oloon p aluluu ja oloon a Z +. Tällöin τ(p a ) = a + 1. Todistus. Luvun p a jaajat ovat 1, p, p 2,..., p a 1, p a. Jaajia on selvästi a + 1 appaletta, joten τ(p a ) = a + 1. Apulause Oloon p aluluu ja oloon a Z +. Tällöin σ(p a ) = pa+1 1 p 1. Todistus. Selvästi σ(p a ) = d p a d = a i=0 p i ja operoidaan yhtälöä puolittain ertomalla luvulla p. Saadaan a pσ(p a ) = p p i = i=0 a p i+1. i=0 Nyt, un muutetaan indesointia siten, että j = i + 1, saadaan a a+1 p i+1 = p j = i=0 j=1 a p j + p a+1 1. j=0 24

26 Viimeinen ohta perustellaan seuraavasti: osa summa alaa j-indesistä nolla, pitää indesiä j = 0 vastaava summattava vähentää, sillä sellaista ei ole aluperäisessä summassa. Samaten pitää lisätä indesiä j = a + 1 vastaava termi, osa se jää pois summasta, jossa summataan vain indesiin j = a asti. Huomataan, että a j=0 pj = σ(p a ), joten yhtälöstä saadaan pσ(p a ) σ(p a ) = p a+1 1 ja lause on todistettu. σ(p a )(p 1) = p a+1 1 σ(p a ) = pa+1 1 p 1 Näiden apulauseiden avulla seuraavat asi lausetta ovat helppoja todistettavia. Lause Oloot n = pa i i τ(n) = ja a Z. Tällöin (a i + 1). Todistus. Kosa luvun n teijät ovat esenään jaottomia, voidaan hyödyntää funtion τ multipliatiivisuutta. Siis ( ) τ(n) = τ p a i i = τ(p a i i ) = (a i + 1). Lause Oloot n = pa i i σ(n) = ja a Z. Tällöin p a i+1 i 1 p i 1. Todistus. Vastaavasti uin edellä saadaan funtion σ multipliatiivisuuden nojalla ( σ(n) = σ p a i i ) = σ(p a i i ) = p a i+1 i 1 p i 1. 25

27 3 Eulerin φ-funtio 3.1 Määritelmä Määritelmä 3.1 (Eulerin φ-funtio). Kaiille n > 0 φ(n) = {1 a n : (a, n) = 1}, eli Eulerin φ-funtio palauttaa luvun n anssa esenään jaottomien luujen, jota eivät ole sitä suurempia, luumäärän. Käytännöllisyyden vuosi on sovittu, että φ(1) = 1. Voidaan todeta, että φ(n) on supistetun jäännössysteemin modulo n alioiden luumäärä. Esimeri 3.1. Ohessa on lueteltu φ-funtion arvoja joillain syötteillä. x φ(x) x φ(x) Luuteoreettisessa mielessä monet φ-funtion ominaisuusista ovat varsin mieleniintoisia, joten atsastetaan, millaisia ominaisuusia funtio sisäänsä ätee. 3.2 Multipliatiivisuus Eräs täreimpiä φ-funtion ominaisuusia on sen multipliatiivisuus. Eulerin φ-funtion summafuntio on erittäin elegantti ja se esitellään ensin, osa tulosta tarvitaan multipliatiivisuuden todistusessa. Lause 3.2. Oloon n Z +. Tällöin φ(d) = n. d n 26

28 Todistus. Vrt. [6, s. 244]. Jaetaan luvut 1, 2,..., n jouoihin n d = {m Z : 1 m n, (m, n) = d} eli joainen luvuista 1, 2,...n on täsmälleen yhdessä jouossa n d. Kosa (m, n) = d, niin ( m d, n d ) = 1. Joaisen jouon alioiden luumäärä on siis n d = φ( n d ) eli luvun n d anssa esenään jaottomien luujen luumäärä. Kosa luuja on aiiaan n appaletta, on aiien jouojen alioiden luumäärien summa n. Siis φ(d) = d n d n φ( n d ) = n. Tämän jäleen Möbiusen funtion yhteydessä esitettyjen tulosten avulla multipliatiivisuus on helppo todistaa ja se tehdään seuraavassa lauseessa. Lause 3.3. Eulerin φ-funtio on multipliatiivinen eli φ(mn) = φ(m)φ(n), un (m, n) = 1. Todistus. Vrt. [10, s. 163]. Oloon g(n) = n. Funtio g on tällöin täydellisesti multipliatiivinen. Lauseen 3.2 perusteella n = d n φ(d). Nyt siis g(n) = d n φ(d) ja tulos seuraa lauseen 2.42 nojalla. 3.3 Funtion arvo Seuraavasi todistetaan lause, jossa φ-funtio yteytyy aluluuihin. Funtion φ avulla voidaan siis antaa ehto, milloin luu on aluluu. Lause 3.4. Jos p on aluluu, niin φ(p) = p 1. Käänteisesti, jos φ(p) = p 1, niin p on aluluu. 27

29 Todistus. Vrt. [6, s. 240]. Oletetaan ensin, että p on aluluu, jolloin joainen luua p pienempi positiivinen oonaisluu on jaoton luvun p anssa. Kosa tällaisia luuja on p 1, niin φ(p) = p 1. Oletetaan sitten, että φ(p) = p 1. Nyt jos p ei ole aluluu, niin joo p = 1 tai luvulla p on aidot teijät. Jos p = 1, niin φ(p) p 1, osa φ(1) = 1. Jos luvulla p on aidot teijät, niin sillä on oltava jaaja d : 1 < d < p ja (p, d) > 1. Nyt siis tiedetään, että jos join luvuista 2,..., p 1 eli d ei ole luvun p anssa jaoton, niin φ(p) p 2. Tämä on ristiriita, joten jos φ(p) = p 1, niin luvun p on oltava aluluu. Lause 3.5. Kaiille n 2 φ(n) n 1. Todistus. Tulos seuraa funtion φ määritelmästä ja lauseesta 3.4. Lause 3.6. Oloon p aluluu ja Z. Tällöin φ(p ) = p p 1. Todistus. Vrt. [6, s. 241]. Kaii luua p pienemmät tai yhtäsuuret luvut, joiden suurin yhteinen teijä luvun p anssa on suurempi uin 1, ovat p, 2p, 3p,..., p 1 p. Näitä luuja on selvästi p 1. Siis luvun p anssa esenään jaottomia luuja on p p 1 eli φ(p ) = p p 1. Viimeisimmän lauseen avulla voidaan osoittaa muun muassa seuraava φ- funtion mieleniintoista luonnetta uvaava tulos. Lause 3.7. Oloon n Z +. Tällöin φ(n) on parillinen, jos n > 2, ja φ(n) = 1 muulloin. Todistus. Oloon n = p a 1 1 p a 2 2 p a. Kosa φ on multipliatiivinen funtio, niin φ(n) = φ(p a i i ) = p a i 1 i (p i 1). Nyt φ(n) on parillinen, jos join sen teijöistä on parillinen. Jos miä tahansa p i on pariton, niin p i 1 on parillinen ja edelleen φ(n) on parillinen. Jos sen 28

30 sijaan join p i on parillinen, niin tällöin pitää olla p i = 2. Kosa n > 2, niin joo vähintään ysi p i > 2 ja pariton, jolloin tilanne palautuu edelliseen, tai p a i i = 2 a i, a i > 1, jolloin p a i 1 i aina, joten φ(n) on parillinen, un n > 2. on siis parillinen. Join näistä ehdoista täyttyy Väitteen loppuosa eli tapauset n = 1 ja n = 2 voidaan todistaa lasemalla funtion arvot näissä ohdissa φ(1) = 1 = φ(2). Seuraus 3.8. Jos n Z + on pariton, niin φ(n) = φ(2n) Todistus. Kosa n on pariton, niin (2, n) = 1, joten φ(2n) = φ(2)φ(n) = 1 φ(n) = φ(n). Todistetaan lauseen 3.6 avulla aava, jolla φ-funtion arvon voi lasea mille tahansa oonaisluvulle. Lause 3.9. Oloon n = p a 1 1 p a 2 2 p a, missä p i p j, i, j, 1 i, j. Tällöin ) φ(n) = n (1 1pi. Todistus. Vrt. [6, s. 242]. Kosa φ on multipliatiivinen, niin φ(n) = φ(p a 1 1 )φ(p a 2 2 ) φ(p a ). Lauseen 3.6 perusteella joainen φ(p a i i ) = pa i i ) (1 1p2 φ(n) =p a 1 1 (1 1p1 ) p a 2 2 =p a 1 1 p a 2 2 p a =n ) (1 1pi p a i 1 i p a (1 1p1 ) (1 1p2 ) = p a i i ) (1 1p ) (1 1pi, joten (1 1p ) 29

31 Esitellään seuraavasi tulos, jolla voi varsin meaanisesti lasea φ-funtion arvon. Ks. [9, s. 84]. Lause Oloon n = pa i i. Jos { 1, jos pi j e j (p i ) = 0, muulloin, niin φ(n) = n (1 e j (p i )). j=1 Todistus. Tulonteijät ovat nollasta poieavia vain, jos e j (p i ) = 0. Tulo jollain indesillä j 0 puolestaan poieaa nollasta vain, jos e j0 (p i ) = 0, aiilla 1 i. Tämä toteutuu, un (j 0, n) = 1, sillä jos (j 0, n) > 1, niin p i j 0, jollain i, ja tällöin 1 e j0 (p i ) = 0 ja edelleen (1 e j 0 (p i )) = 0. Nyt huomataan, että { 1 1, jos (j, n) = 1 = (j, n) 0, muulloin, joten (1 e j(p i )) = 1 ja tulos seuraa tästä. (j,n) Osoitetaan vielä asi tulosta Eulerin φ-funtion ja Möbiusen funtion yhteydestä. Lause Oloon n Z +. Tällöin φ(n) = n d n µ(d) d. Todistus. Todistetaan tulos äyttäen hyväsi Möbiusen äänteisaavaa. Nyt siis F (n) = d n f(d) = d n φ(d) = n ja f(n) = φ(n) = d n µ(d)f ( n d ) = d n µ(d) n d = n d n µ(d) d, miä todistaa lauseen. 30

32 Lause Oloon n Z +. Tällöin n φ(n) = d n µ 2 (d) φ(d). Todistus. Vrt. [1, s. 8]. Jos n = 1, niin väite pätee. Meritään sitten n = p a 1 1 p a, jolloin φ(n) = n ) (1 1pi = n Yhtälön vasen puoli saa muodon n φ(n) = n n = p i 1 p i p i 1 p i. p 1 p (p 1 1) (p 1). Käsitellään sitten yhtälön oieaa puolta. Muistetaan, että µ(n) = 1, jos n = 1, µ(n) = ( 1), jos n = p 1 p ja µ(n) = 0 muulloin. Täten siis µ 2 (e) φ(e) = { 1, φ(e) jos e on neliövapaa luvun n jaaja eli muotoa p i, 0, muulloin, joten tällaisten termien summa on sama uin nollasta poieavien termien summa. Saadaan µ 2 (d) φ(d) = d n e n 1 φ(e) = φ(p 1 ) + 1 φ(p 2 ) φ(p ) + 1 φ(p 1 p 2 ) φ(p 1 p 2 p ) = p p p (p 1 1)(p 2 1) (p 1) = (p 1 1)(p 2 1) (p 1) + (p 2 1) (p 1) (p 1) + 1. (p 1 1)(p 2 1) (p 1) Tässä vaiheessa huomataan, että yhtälön molemmilla puolilla on sama nimittäjä. Siirrytään tarastelemaan osoittajia. Summausjärjestystä muuttamalla yhtälön oiealle puolelle saadaan 1 + (p 1 1) + (p 2 1) (p 1) (p 1 1)(p 2 1) (p 1) =φ(1) + φ(p 1 ) + φ(p 2 ) φ(p ) + φ(p 1 p 2 ) φ(p 1 p 2 p ) = e p 1 p 2 p φ(e) = p 1 p 2 p. 31

33 Viimeinen yhtäsuuruus pätee lauseen 3.2 nojalla. Kosa myös osoittajat yhtälön molemmin puolin ovat samat, on lause todistettu. Kosa φ ei ole täydellisesti multipliatiivinen, sen arvon laseminen ahden luvun tulolle ei ole aivan suoraviivaista, jos näillä luvuilla on yhteisiä teijöitä. Muistamme, että φ(mn) = φ(m)φ(n) vain silloin, jos m ja n ovat esenään jaottomia. Todistetaan seuraavasi lause, jolla selviämme tilanteesta, jossa luvut eivät ole esenään jaottomia, [9, s. 84]. Lause Oloot a, m, n Z + ja (m, n) = a. Tällöin φ(mn) = a φ(a) φ(m)φ(n). Todistus. Lasetaan aui φ(mn). Jätetään indesit selvyyden vuosi pois eli saadaan φ(mn) = mn p mn ( 1 1 ). p Nyt p mn ( 1 1 ) = p ( p m ( ) 1 p) 1 p n 1 1 p ( ). 1 1 p p m,p n Kosa ne luvut p, jota jaavat seä luvun m että luvun n, ovat ne luvut p, jota jaavat luvun a, saadaan ( 1 1 ) = p p m,p n p a a p a a ( 1 p)m 1 p m ( 1 1 ). p Palataan aluperäiseen lauseeeseen ja errotaan muaan yönen. Saadaan φ(mn) = mn ( 1 1 ) p p mn ( ( ) p m 1 p) 1 p n 1 1 p = mn ( ) a p a 1 1 a p ( = 1 1 ( 1 1 ) p p = a φ(a) φ(m)φ(n) ) n p n 32

34 ja lause on todistettu. 3.4 Eulerin φ ja ongruenssi Lause Jos {a 1, a 2,..., a φ(n) } on supistettu jäännössysteemi modulo n ja (c, n) = 1, niin {ca 1, ca 2,..., ca φ(n) } on myös supistettu jäännössysteemi modulo n. Todistus. Oloon {a 1, a 2,..., a φ(n) } supistettu jäännössysteemi modulo n ja (c, n) = 1. Nyt osa (c, n) = 1 ja (a i, n) = 1, niin (ca i, n) = 1, un i = 1, 2,..., φ(n). Sovelletaan seuraavasi ontrapositiota. Jos ca i ca j (mod n) joillain 1 i < j φ(n), niin seurausen 2.29 perusteella a i a j (mod n).täten siis {ca 1, ca 2,..., ca φ(n) } on supistettu jäännössysteemi modulo n. Jatetaan ohti merittävää tulosta, joa on Eulerin-Fermat'n lause (vrt. [10, s. 165]. Lause 3.15 (Eulerin-Fermat'n lause). Oloon (a, n) = 1. Tällöin a φ(n) 1 (mod n). Todistus. Oloon {a 1, a 2,..., a φ(n) } supistettu jäännössysteemi modulo n. Kosa (a, n) = 1, niin lauseen 3.14 nojalla myös {a a 1, a a 2,..., a a φ(n) } on supistettu jäännössysteemi. Tällöin joaiselle i, 1 i φ(n) on olemassa sellainen oonaisluu j, 1 j φ(n), että a a i a j (mod n). Kosa ongruenssi säilyy ertolasussa lauseen 2.27 perusteella, niin voidaan ertoa unin jäännössysteemin aliot esenään. Tästä seuraa, että φ(n) (a a i ) φ(n) a φ(n) a i φ(n) j=1 φ(n) j=1 a j (mod n) a j (mod n). 33

35 Kosa ( φ(n) a i, n) = 1, niin tulos a φ(n) 1 (mod n) seuraa seurausen 2.29 perusteella. Kosa φ(n) > 0 aiilla n Z +, niin Eulerin-Fermat'n lauseen perusteella on olemassa vähintään ysi sellainen oonaisluu x, että a x 1 (mod n). Annetaan tällaiselle luvulle tara määritelmä. [3]. Määritelmä 3.16 (Koonaisluvun ertaluu modulo n). Oloot a Z, n Z + seä (a, n) = 1. Tällöin luvun a ertaluu modulo n on pienin sellainen positiivinen oonaisluu x, että a x 1 (mod n). Meritään x = ord n a. Todistetaan eräs oonaisluvun ertaluuun liittyvä tulos, jona seurausen voimme yteä Eulerin φ-funtion ominaisuusiin [3]. Lause Oloot a Z, n Z + seä (a, n) = 1. Tällöin a x 1 (mod n) ord n a x. Todistus. Oletetaan ensin, että ord n a x eli on olemassa sellainen oonaisluu, että x = (ord n a). Nyt a x = (a ordna ) 1 = 1 (mod n). Ensimmäinen vaihe on täten todistettu, joten oletetaan, että a x 1 (mod n). Jaoalgoritmin muaan x = (ord n a)q + r, missä 0 r < ord n a. Nyt siis a x = a (ordna)q+r = a (ordna)q a r a r (mod n). Kosa a x 1 (mod n), niin a r 1 (mod n). Täten epäyhtälön 0 r < ord n a ja oonaisluvun ertaluvun määritelmän perusteella r = 0. Näin ollen x = (ord n a)q + r = (ord n a)q eli ord n a x. 34

36 Seuraus Jos a Z, n Z + seä (a, n) = 1, niin ord n a φ(n). Lause Oloon p aluluu, a Z ja p a. Tällöin a p 1 1 (mod p). Todistus. Kosa (a, p) = 1, niin lauseen 3.15 nojalla a p 1 = a φ(p) 1 (mod p). Lause Oloon n Z ja n > 2. Tällöin φ(n) 0 (mod 2). Todistus. Lauseessa sanotaan ongruenssin einoin, että φ(n) on parillinen, un n > 2. Todistus on siis annettu lauseessa 3.7. Seuraavan tulosen on lähteiden muaan ensimmäisenä esittänyt Umberto Scarpis. Todistetaan italialaisen löytämä ominaisuus. Lause Oloot a Z, n Z +. Tällöin φ(a n 1) 0 (mod n) eli n φ(a n 1). Todistus. Vrt. [8, s. 202]. Meritään A = a n 1, jolloin siis a n = A + 1. Tällöin selvästi a n 1 (mod A) ja (a, A) = 1. Seurausen 3.18 perusteella n = ord A a φ(a) = φ(a n 1). Eulerin φ-funtiolla on mieleniintoisia yhteysiä luuihin, joiden luumäärän se lasee. Katsotaan muutama lause, joissa supistetun jäännössysteemin termien avulla saadaan funtiota φ osevia tulosia. [5]. Lause Oloot a 1,..., a φ(n), n Z +, a i n ja (a i, n) = 1 aiilla 1 i φ(n). Tällöin, jos n 2, niin a 1 + a a φ(n) = nφ(n). 2 35

37 Todistus. Kosa (a i, n) = 1, niin lauseen 2.17 perusteella myös (n a i, n) = 1. Tämän seurausena voidaan irjoittaa {a 1, a 2,..., a φ(n) } = {n a 1, n a 2,..., n a φ(n) }. Kosa jouojen aliot ovat samat (oieanpuoleisessa alioiden järjestys on äänteinen), ovat myös jouojen alioiden summat samat eli a 1 + a a φ(n) = (n a 1 ) + (n a 2 ) (n a φ(n) ) = nφ(n) (a 1 + a a φ(n) ), mistä saadaan a 1 + a a φ(n) = nφ(n). 2 Lause Oloon n 3 ja oloot a 1,..., a φ(n) Z +, a i n ja (a i, n) = 1 aiilla 1 i φ(n). Tällöin a 1 + a a φ(n) 0 (mod n). Todistus. Lauseen 3.22 perusteella a 1 + a a φ(n) = nφ(n) 2. Lisäsi, un n 3, lause 3.7 ertoo, että φ(n) on parillinen. Meritään φ(n) = 2, missä Z +. Nyt a 1 + a a φ(n) = nφ(n) 2 = n2 2 = n 0 (mod n). Lause Oloot a 1,..., a φ(n), n Z +, a i n ja (a i, n) = 1 aiilla 1 i φ(n). Tällöin aiilla i {1, 2,..., φ(n)} a i = n a φ(n) i+1. Todistus. Nyt a 1 < a 2 <... < a φ(n) 1 < a φ(n). Tällöin selvästi n a φ(n) < n a φ(n) 1 <... < n a 2 < n a 1. Vastaavat termit ovat yhtäsuuria, joten saadaan a 1 = n a φ(n), a 2 = n a φ(n) 1,..., a φ(n) 1 = n a 2, a φ(n) = n a 1, mistä tulos seuraa eli a i = n a φ(n) i+1. 36

38 Lause Oloot a 1,..., a φ(n), n Z +, a i n ja (a i, n) = 1 aiilla 1 i φ(n). Kaiille n 3 a a a 2 φ(n) (a 1 a φ(n) + a 2 a φ(n) a φ(n) a φ(n) +1) = n2 φ(n) Todistus. Aloitetaan todistus toteamalla asi seiaa. Ensinnä φ(n) on parillinen, un n 3, eli φ(n) 2 Z. Toiseseen lauseen 3.24 perusteella a i = n a φ(n) i+1, mistä seuraa, että a φ(n) i+1 = n a i. Tällöin φ(n) a i a φ(n) i+1 = a 1 a φ(n) + a 2 a φ(n) a φ(n) 1 a φ(n) (φ(n) 1)+1 + a φ(n) a 1. Huomataan, että uin termi on ahteen ertaan, joten saadaan φ(n) a i a φ(n) i+1 = 2(a 1 a φ(n) + a 2 a φ(n) a φ(n) a φ(n) ) = φ(n) Sijoitetaan summalausee väitteen aavaan, jolloin saadaan a i (n a i ). φ(n) φ(n) φ(n) φ(n) φ(n) φ(n) a 2 i + a i (n a i ) = a 2 i + n a i a 2 i = n a i. Lause 3.22 osaa ertoa, että φ(n) a i = nφ(n), 2 joten ja tulos seuraa tästä. n nφ(n) 2 = n2 φ(n) 2 Seuraavan tulosen esitti ensimmäisenä D. H. Lehmer, joa esitti ysymysen, ono olemassa yhdistettyä luua n, joa toteuttaisi ehdon φ(n) n 1 vai ono tällainen luu aina aluluu. Tällaista yhdistettyä luua ei ole vielä löydetty ja ysymys on yhä avoin. Todistetaan seuraavasi Lehmerin tulos, joa osee tämän ehdon täyttäviä luuja. [8, s. 212]. 37

39 Lause Oloon n Z +. Jos φ(n) n 1, niin n on aluluu tai n on neliövapaa ja pariton yhdistetty luu. Todistus. Jos n on aluluu, niin 1 φ(n) = φ(n) = n 1, joten aluluu toteuttaa aina ehdon φ(n) n 1. p a i i Oletetaan sitten, että n ei ole aluluu, joten oloon n = pa i i. Tällöin n ja myös p a i 1 i n aiilla 1 i. Nyt φ(n) = p a i 1 i (p i 1) eli p a i 1 i Kosa p a i 1 i φ(n) ja edelleen oletusen perusteella φ(n) n 1, joten p a i 1 i n 1. n ja p a i 1 i n 1, on oltava a i = 1. Luu n on siis neliövapaa. Oletetaan sitten, että n on parillinen. Meritään n = 2q, missä q = p > 2 on join pariton luu (indesointi on seleyden vuosi jätetty pois). Nyt φ(n) = φ(2)φ(q) = (p 1) n 1 eli (p 1) on parittoman luvun n 1 teijä. Lauseen 3.7 perusteella φ(q) on uitenin parillinen, joten seuraa ristiriita. Tästä syystä luvun n on oltava pariton ja lause on todistettu. Lause Oloot m, n Z + ja m n. Tällöin φ(m) φ(n). Todistus. Oloon m = pa i i seä oloot q = p i m pb i i, missä b i a i, ja r Z +, (m, r) = 1 sellaisia, että n = qr. Nyt osa q attaa vain ne aluluvut, jota ovat luvun m teijöitä, ja (m, r) = 1, niin (q, r) = 1. Tällöin φ(n) φ(m) = φ(qr) φ(m) = φ(q)φ(r) φ(m) = pb i 1 i (p i 1) pa i 1 i (p i 1) φ(r) = p b i a i i φ(r) Z taroittaen sitä, että φ(n) voidaan esittää tulona, jossa toinen teijä on φ(m) ja toinen join oonaisluu, eli φ(m) φ(n). 38

40 3.5 Eulerin φ yhtälöissä ja identiteettejä Olemme osoittaneet tulosia, joilla φ-funtion arvon pystyy lasemaan. Osoitimme myös joitain funtion ominaisuusia muun muassa ongruenssiin liittyen. Entä jos yseessä ei oleaan aiilla oonaisluvuilla tosi yhtälö? Toteutuuo yhtälö millään oonaisluvuilla? Tarastellaan siis seuraavasi, uten Sándor teee, millä arvoilla tietyt yhtälöt, joissa φ esiintyy, ovat tosia [7, ss ]. Ks. myös [8, s. 230]. Meritään jatossa n P silloin, jos n on aluluu. Tässä appaleessa todistetaan myös muita vastaavia tulosia seä funtion φ ja muita aritmeettisia funtioita sisältäviä identiteettejä. Lause Yhtälön τ(n) + φ(n) = n + 1 ainoat rataisut ovat n = 1, n = 4 ja n P. Muulloin τ(n) + φ(n) < n + 1. Todistus. Todetaan ensin, että n = 1, n = 4 ja n P ovat rataisuja. τ(1) + φ(1) = 1 + 1, τ(4) + φ(4) = = 4 + 1, τ(p) + φ(p) = (1 + 1) + (p 1) = p + 1. Oletetaan sitten, että n > 4 ja että n on yhdistetty luu. Meritään d D τ (n), jos d n. Eli luvut d ovat luvun n jaajia, jota siis τ määritelmänsä muaisesti lasee, joten τ(n) = D τ (n). Meritään vastaavasti e D φ (n), jos (e, n) = 1. Jäljelle jääneistä luvuista φ siis lasee luvut e ja yösen ja φ(n) = D φ (n). Loppuja luuja ei lase umpiaan. Meritöön D 0 (n) näiden luujen jouoa. Kosa yhteensä lasettavia luuja on oreintaan n appaletta seä τ ja φ molemmat lasevat yösen, niin D τ (n) + D φ (n) + D 0 (n) n + 1. Osoitetaan, että D 0 (n) 1. Jos n = 2, missä 3, niin 6 D 0 (n). Jos taas n = ap, missä p P, p 2 ja a > 1, niin a(p 1) D 0 (n). Siis D 0 (n) 1. Kosa siis D 0 (n) 1, niin τ(n) + φ(n) < n

41 Lause Yhtälön φ(n) = τ(n) ainoat rataisut ovat n {1, 3, 8, 10, 18, 24, 30}. Lisäsi, jos n > 30, niin φ(n) > τ(n). Todistus. Selvästi n = 1 on rataisu. Oletetaan sitten, että n = pa i i, missä a i > 0, on rataisu. Tällöin funtioiden multipliatiivisuudesta seuraa, että φ(n) τ(n) = φ(pa i i ) τ(pa i i ) = 1. Riittää tutia ysittäistä aluluupotenssia (jätetään indesit seleyden vuosi pois) eli φ(p a ) τ(p a ) = pa 1 (p 1). a + 1 Todistetaan seuraavasi indutiolla, että un p = 3, niin p a 1 (p 1) a + 1. Kun a = 1, niin (3 1) = 2 = 1+1. Väite on siis tosi, un a = 1 ja lisäsi n = 3 on rataisu. Tehdään indutio-oletus, että väite pätee, un a = m eli 3 m 1 2 m + 1. Osoitetaan sitten, että väite pätee, un a = m + 1. Nyt 3 m = 3 3 m 1 2. Indutio-oletusen nojalla saadaan 3 3 m (m + 1) m = m + 2. Indutioperiaatteen nojalla väitteemme on tosi. Selvästi p a 1 (p 1) a + 1 pätee, un p > 3, a 1. Siis jos n 3 ja n on pariton, niin φ(n) τ(n). Tutitaan sitten, mitä tapahtuu, un n on parillinen. Oloon siis n = 2 a q, missä q on join pariton luu. Nyt φ(2 a q) = φ(2 a )φ(q) = 2 a 1 (2 1)φ(q) 2 a 1 τ(q), missä äytettiin φ-funtion multipliatiivisuutta ja äseistä välitulosta. Tässä epäyhtälössä yhtäsuuruus voidaan saada vain, jos q = 1 tai q = 3 ja jos 2 a 1 = τ(2 a ) = a + 1. Nyt jos a = 3, niin 2 2 = 4 = eli n = 2 a q generoi rataisun, jos a = 3 ja q {1, 3}. Täten siis φ(n) = τ(n), jos n on parillinen ja a = 3 eli 2 3 = 8 n. Rataisuja ovat siis n = 1 8 ja n = 3 8: φ(8) = φ(2 3 ) = = 4 τ(8) = τ(2 3 ) = = 4 φ(24) = φ(2 3 )φ(3) = = 8 τ(24) = τ(2 3 )τ(3) = (3 + 1) 2 = 8. 40

42 Vastaavasti uin edellä, voidaan indutiolla osoittaa, että 2 a 1 > a + 1, un a > 3. Analogia on täsmälleen vastaava, joten todistusen aui irjoittaminen sivuutetaan. Siis eli Vielä on selvitettävä tapauset, joissa a = 1 tai a = 2. Kun a = 1, niin φ(2q) = φ(2)φ(q) = φ(q) τ(2q) = τ(2)τ(q) = 2τ(q). φ(n) τ(n) = φ(2q) τ(2q) = φ(q) 2τ(q) = 1 φ(q) τ(q) = 2. Oloon nyt q = p 3 pb (indesit on selvyyden vuosi jätetty pois), jolloin saadaan φ(q) τ(q) = p b 1 (p 1) b + 1 p 3 = 2. Tarastellaan taas ysittäistä aluluupotenssia. Nyt jos p = 3 ja b = 1, niin 3 0 (3 1) = 2 2 = 1, joa ei ysinään tuota rataisua. Tarastellaan sitten tapausta b = 2. Saadaan = 6 3 = 2, jolloin on löydetty ysi rataisu lisää. Siis a = 1, q = 3, b = 2 eli n = = 18. Sándor jättää jostain syystä tämän rataisun pois ensimmäisessä edellä mainituista lähteistä. Indutiolla voidaan aiemmin esitetyllä tavalla todistaa, että jos b 3, niin 3 b 1 2 > 2(b + 1). Tutitaan seuraavasi tilannetta, jossa p = 5. Jos b = 1, niin 5 0 (5 1) = = 2. Saadaan siis rataisu, jos q = 5. Täten, jos b = 1, saadaan toinenin rataisu, un q = 3 p 5 p1, nimittäin 3 p 5 p 1 1 (p 1) = = = 2. 41

43 Löydetyt rataisut ovat siis n = 2 5 = 10 ja n = = 30. Jälleen indutiolla voidaan todistaa edellisiä vastaavasti, että jos p = 5 ja b 2, niin 5 b 1 4 > 2(b + 1). Edelleen vastaavaan tapaan voidaan todistaa, että jos p 7 ja b 1, niin p b 1 (p 1) > 2(b + 1). Viimeisenä tutitaan tilanne, un a = 2. Tällöin φ(2 2 q) = φ(2 2 )φ(q) = 2φ(q) τ(2 2 q) = τ(2 2 )τ(q) = 3τ(q). Vastaavasti uin edellä saadaan tarasteltavasi yhtälö Tähän mennessä on todettu, että φ(q) τ(q) = pb 1 (p 1) b + 1 = b 2 b + 1 > 3, jos b > 1 seä 2 p b (p 1) 2, jos p 5, b 1. b + 1 Jos n on parillinen ja a = 2, niin yhtään rataisua ei ole. Kaien edellä esitetyn päättelyn perusteella voidaan siis todeta, että jos n {1, 3, 8, 10, 18, 24, 30}, niin φ(n) = τ(n), ja jos n > 30, niin φ(n) > τ(n). Lause φ(n)τ(n) = φ(n) + n 1, jos n P tai n = 1, ja muulloin φ(n)τ(n) φ(n) + n 1. 42