Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot

Transkriptio

1 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, operaatiotutkimuksessa, peli- ja päätösteoriassa sekä todennäköisyyslaskennassa. Tässä liitteessä tarkastelemme miten puumaisia verkkoja voidaan käyttää todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen havainnollistamiseen. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot Esitiedot: ks. seuraavia lukuja: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Kokonaistodennäköisyys ja ayesin kaava iite: Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 3 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 4 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit >> vainsanat lkutila Juuri oppupiste opputila Piste Puu Puudiagrammi Puutodennäköisyys Reitti Särmä Tapahtumajono Tapahtumavaihtoehto Tulosääntö puutodennäköisyyksille Verkko Verkkodiagrammi Yhteenlaskusääntö puutodennäköisyyksille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 6

2 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 7 Puudiagrammien käyttö todennäköisyyslaskennassa Periaatteessa jokainen alkeistodennäköisyyslaskennan tehtävä voidaan ratkaista käyttämällä apuna ns. puudiagrammeja. Tällöin tehtävään liittyvä satunnaisilmiö on ensin osattava kuvata puudiagrammilla. Jos tehtävän satunnaisilmiötä osataan kuvata puudiagrammilla, tehtävän ratkaisemisessa tarvittavat puutodennäköisyydet saadaan määrätyksi käyttämällä kahta yksinkertaista laskusääntöä, tulosääntöä ja yhteenlaskusääntöä. Puudiagrammin konstruointi 1/2 Satunnaisilmiö voidaan kuvata puudiagrammilla, jos ilmiö osataan esittää seuraavassa muodossa: (i) Ilmiöllä on yksi alkutila ja yksi tai useampia lopputiloja. (ii) Ilmiö koostuu vaihtoehtoisista tapahtumajonoista. (iii) Tapahtumajonoissa edetään vaiheittain tapahtumasta toiseen lähtien ilmiön alkutilasta ja päätyen johonkin ilmiön lopputiloista. (iv) Jokaisessa vaiheessa kohdataan yksi tai useampia tapahtumavaihtoehtoja, joista yksi realisoituu ja johtaa uusin tapahtumavaihtoehtoihin. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 8 Puudiagrammin konstruointi 2/2 Puudiagrammin konstruointi: Esimerkki 1/3 Satunnaisilmiötä vastaavan puudiagrammin konstruointi: (i) setetaan puun juuri vastaamaan ilmiön alkutilaa. (ii) setetaan puun loppupisteet ( oksien kärjet ) vastaamaan ilmiön lopputiloja. (iii) setetaan puun pisteet ( oksien haarautumiskohdat ) vastaamaan ilmiön tapahtumia. (iv) Viedään puun jokaisesta pisteestä särmä ( oksa ) kaikkiin sellaisiin pisteisiin, joita vastaavat tapahtumavaihtoehdot ovat ilmiön siinä vaiheessa mahdollisia. (v) iitetään jokaiseen pisteestä lähtevään särmään siinä vaiheessa mahdollisten tapahtumavaihtoehtojen todennäköisyydet. Puudiagrammin konstruointia voidaan havainnollistaa viereisellä kaaviolla. Tarkastellaan satunnaisilmiötä vaiheessa, jossa tapahtuma on sattunut. Olkoot :n sattumisen jälkeen mahdolliset tapahtumavaihtoehdot i, i = 1, 2,, m 1 k m TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 9 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 10 Puudiagrammin konstruointi: Esimerkki 2/3 Puudiagrammin konstruointi: Esimerkki 3/3 Viedään pisteestä särmä jokaiseen pisteistä i, i = 1, 2,, m iitetään jokaiseen särmään (, i ), i = 1, 2,, m ehdollinen todennäköisyys pi = Pr( i ) jossa p 1 p k on tapahtumajono, 1 k joka on tuonut pisteeseen. p m m Koska :n sattumisen jälkeen ei ole muita mahdollisia tapahtumavaihtoehtoja kuin i, i = 1, 2,, m, pitää todennäköisyyksien p i, i = 1, 2,, m toteuttaa ehto m m p = Pr( ) = 1 i i= 1 i= 1 i 1 p 1 k p k p m m TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 11 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 12

3 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 13 Puudiagrammin konstruointi: Kommentteja Puudiagrammi piirretään tavallisesti joko niin, että sen alkupiste on ylhäällä ja loppupisteet ovat alhaalla tai niin, että sen alkupiste on vasemmalla ja loppupisteet ovat oikealla. Useat puun pisteet voivat vastata samaa tapahtumaa. Mistä tahansa puun pisteestä lähtevien särmien todennäköisyyksien summa on 1. Puutodennäköisyydellä tarkoitetaan todennäköisyyttä päästä puun alkupisteestä yhden tai useamman muun puun pisteen määräämään yhdistettyyn tapahtumaan. Pisteen todennäköisyys saadaan määräämällä alkupisteestä ko. pisteeseen vievän reitin todennäköisyys. Reitin todennäköisyys saadaan soveltamalla reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksiin tulosääntöä. Usean pisteen määräämän yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys saadaan soveltamalla ko. pisteisiin vievien reittien todennäköisyyksiin yhteenlaskusääntöä. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 14 : Tulosääntö 1/4 Reitin todennäköisyys saadaan määräämällä reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksien tulo. Sääntöä kutsutaan tulosäännöksi. Tulosäännön perustelu: (1) Reitti on tapahtumajono, jonka muodostavat reitin pisteet. (2) Reitin muodostava tapahtumajono sattuu, jos jokainen jonon tapahtumista sattuu. (3) Todennäköisyyslaskennan yleisen tulosäännön mukaan reitin todennäköisyys saadaan määräämällä reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksien tulo. : Tulosääntö 2/4 Olkoon, 1, 2, 3,, k yksi niistä vaihtoehtoisista tapahtumajonoista, joista satunnaisilmiö muodostuu. Tällöin parit (, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, 3 ),, ( k 1, k ) muodostavat satunnaisilmiön alkutilasta satunnaisilmiön (loppu-) tilaan k vievän reitin särmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 15 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 16 : Tulosääntö 3/4 iitetään reitin (, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, 3 ),, ( k 1, k ) särmiin todennäköisyydet seuraavalla tavalla: (, 1 ) Pr( 1 ) = p 1 ( 1, 2 ) Pr( 2 1 ) = p 2 ( 2, 3 ) Pr( ) = p 3 ( k 1, k ) Pr( k k 1 ) = p k : Tulosääntö 4/4 Reitin (, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, 3 ),, ( k 1, k ) todennäköisyys on yleisen tulosäännön nojalla: Pr( k ) = Pr( 1 ) Pr( 2 1 ) Pr( ) Pr( k k 1 ) = p 1 p 2 p 3 p k TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 17 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 18

4 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 19 : Tulosäännön havainnollistus Puutodennäköisyyksien tulosääntöä voidaan havainnollistaa viereisellä puudiagrammilla. Reitin k todennäköisyys on tulosäännön mukaan Pr(Reitti k) = p 1 p 2 p 3 p k p 1 p p 3 3 p k 1 k k Reitti k : Yhteenlaskusääntö 1/2 Jos useita (loppu-) tiloja yhdistetään yhdeksi tapahtumaksi, näin saadun yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys saadaan määräämällä ko. tiloihin vievien reittien todennäköisyyksien summa. Sääntöä kutsutaan yhteenlaskusäännöksi. Yhteenlaskusäännön perustelu: (1) Puun eri pisteisiin vievät reitit ovat toisensa poissulkevia. (2) Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan useista (loppu-) pisteistä yhdistämällä saatavan tapahtuman todennäköisyys saadaan määräämällä ko. pisteisiin vievien reittien todennäköisyyksien summa. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 20 : Yhteenlaskusääntö 2/2 : Yhteenlaskusäännön havainnollistus Yhdistetään satunnaisilmiön (loppu-) tilat 1, 2,, k yhdeksi tapahtumaksi C = 1 2 k Olkoot tiloja 1, 2,, k vastaavat reitit Reitti 1, Reitti 2,, Reitti k Koska puun eri pisteisiin vievät reitit ovat toisensa poissulkevia, tapahtuman C todennäköisyys on toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön nojalla: Pr(C) = Pr(Reitti 1 tai Reitti 2 tai tai Reitti k) = Pr(Reitti 1) + Pr(Reitti 2) + + Pr(Reitti k) Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntöä voidaan havainnollistaa viereisellä puudiagrammilla: Pr(C) = Pr(Reitti 1) + Pr(Reitti 2) + Pr(Reitti k) k Reitti: k C TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 21 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 22 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen havainnollistaminen >> vainsanat Puudiagrammi Puutodennäköisyyksien tulosääntö Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntö Todennäköisyyslaskennan laskusäännöt erotustapahtuman todennäköisyys kokonaistodennäköisyyden kaava komplementtitapahtuman todennäköisyys tulosääntö riippumattomille tapahtumille yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille yleinen tulosääntö yleinen yhteenlaskusääntö TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 23 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 24

5 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 25 Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen havainnollistaminen puudiagrammilla Komplementtitapahtuman todennäköisyys 1/2 Tarkastellaan seuraavien todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen havainnollistamista puudiagrammilla: (i) Komplementtitapahtuman todennäköisyys. (ii) Yleinen tulosääntö ja tulosääntö riippumattomille tapahtumille. (iii) Yleinen yhteenlaskusääntö ja yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille. (iv) Erotustapahtuman todennäköisyys. (v) Kokonaistodennäköisyyden kaava. Puun juurta eli alkupistettä on merkitty diagrammeissa kirjaimella ( satunnaisilmiön lähtötila). Olkoon S jokin otosavaruuden S tapahtuma. Olkoon tapahtuman komplementtitapahtuma c = eisatu Tällöin c = S, c = Pr() + Pr( c ) = Pr(S) = 1 viereisellä Venndiagrammilla. c S TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 26 Komplementtitapahtuman todennäköisyys 2/2 Yleinen tulosääntö 1/2 myös viereisellä puudiagrammilla. Yhdistetyn tapahtuman c = S todennäköisyys on yhteenlaskusäännön nojalla Pr(S) = Pr() + Pr( c ) = 1 Pr() Pr( c ) c Olkoot S ja S otosavaruuden S tapahtumia. Yleisen tulosäännön mukaan Pr( ) = Pr()Pr( ) viereisellä Venndiagrammilla. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 27 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 28 Yleinen tulosääntö 2/2 Tulosääntö riippumattomille tapahtumille myös viereisellä puudiagrammilla. Yhdistetyn tapahtuman = jasattuu todennäköisyys on tulosäännön nojalla Pr( ) = Pr()Pr( ) Pr() Pr( ) Olkoot S ja S otosavaruuden S riippumattomia tapahtumia. Koska tällöin Pr( )= Pr() yhdistetyn tapahtuman = jasattuu todennäköisyys on tulosäännön nojalla Pr( ) = Pr()Pr() Pr() Pr() TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 29 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 30

6 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 31 Yleinen yhteenlaskusääntö 1/8 Yleinen yhteenlaskusääntö 2/8 Olkoot S ja S otosavaruuden S tapahtumia. Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan Pr( ) = Pr() + Pr() Pr( ) viereisellä Venndiagrammilla. Yleisen yhteenlaskusäännön todistus voidaan perustaa siihen, että joukot \ = c \ = c muodostavat joukon osituksen, sekä yhtälöihin (\) ( ) = (\) ( ) = (\) ( ) = (\) ( ) = TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 32 Yleinen yhteenlaskusääntö 3/8 Yleinen yhteenlaskusääntö 4/8 Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön nojalla Pr()= Pr(\) + Pr( ) Pr() = Pr(\) + Pr( ) Edellisen kalvon yhtälöiden ja toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön nojalla Pr( ) = Pr(\) + Pr(\) + Pr( ) = Pr(\) + Pr( ) + Pr(\) + Pr( ) Pr( ) = Pr() + Pr() Pr( ) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 33 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 34 Yleinen yhteenlaskusääntö 5/8 Yleinen yhteenlaskusääntö 6/8 Yleistä yhteenlaskusääntöä voidaan havainnollistaa myös viereisellä puudiagrammilla. Yhdistettyä tapahtumaa = taisattuu vastaa reitit 1, 2 ja 3 yhdistämällä saatava tapahtuma, koska niissä sattuu tai sattuu tai molemmat sattuvat. Pr() Pr( c ) c Pr( ) Pr( c ) Pr( c ) Pr( c c ) Reittien 1, 2 ja 3 todennäköisyyksiksi saadaan tulosääntöä soveltamalla: Pr(Reitti 1) = Pr()Pr( ) Pr(Reitti 2) = Pr()Pr( c ) Pr(Reitti 3) = Pr( c )Pr( c ) Pr() Pr( c ) c Pr( ) Pr( c ) Pr( c ) Pr( c c ) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 35 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 36

7 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 37 Yleinen yhteenlaskusääntö 7/8 Yleinen yhteenlaskusääntö 8/8 Soveltamalla yhteenlaskusääntöä saadaan: Pr( ) = Pr(Reitti 1 tai Reitti 2 tai Reitti 3) = Pr()Pr( ) + Pr()Pr( c ) + Pr( c )Pr( c ) Pr() Pr( c ) c Pr( ) Pr( c ) Pr( c ) Pr( c c ) Ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä ja kalvon 3/8 kaavoista seuraa: Pr( ) = Pr()Pr( ) + Pr()Pr( c ) + Pr( c )Pr( c ) = Pr( ) + Pr( c ) + Pr( c ) = Pr() + Pr() Pr( ) Pr( ) Pr() Pr( c ) c c Pr( c ) Pr( c ) Pr( c c ) c TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 38 tapahtumille 1/6 tapahtumille 2/6 Olkoot S ja S otosavaruuden S toisensa poissulkevia tapahtumia. Tällöin = ja Pr( ) = 0 Siten Pr( ) = Pr() + Pr() viereisellä Venndiagrammilla. S Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusääntöä voidaan havainnollistaa myös viereisellä puudiagrammilla. Yhdistettyä tapahtumaa = taisattuu vastaa reitit 2 ja 3 yhdistämällä saatava tapahtuma, koska niissä sattuu tai sattuu, mutta eivät molemmat. Pr() Pr( c ) c Pr( ) Pr( c ) Pr( c ) Pr( c c ) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 39 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 40 tapahtumille 3/6 tapahtumille 4/6 Reittien 2 ja 3 todennäköisyyksiksi saadaan tulosääntöä soveltamalla: Pr(Reitti 2) = Pr()Pr( c ) Pr(Reitti 3) = Pr( c )Pr( c ) Pr() Pr( c ) c Pr( ) Pr( c ) Pr( c ) Pr( c c ) Soveltamalla yhteenlaskusääntöä saadaan: Pr( ) = Pr(Reitti 2 tai Reitti 3) = Pr()Pr( c ) + Pr( c )Pr( c ) Pr() Pr( c ) c Pr( ) Pr( c ) Pr( c ) Pr( c c ) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 41 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 42

8 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 43 tapahtumille 5/6 tapahtumille 6/6 Koska ja ovat toisensa poissulkevia tapahtumia, ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä ja aikaisemmin esitetyistä kaavoista seuraa: Pr( ) = Pr()Pr( c ) + Pr( c )Pr( c ) = Pr( c ) + Pr( c ) = Pr() + Pr() Pr() Pr( c ) c Pr( ) Pr( c ) Pr( c ) Pr( c c ) Koska ja ovat toisensa poissulkevia, Pr( ) = 0 Siten Pr( ) = Pr( )/Pr() = 0 Reitin 1 todennäköisyydeksi saadaan siis Pr(Reitti 1) = Pr()Pr( ) = 0 kuten pitääkin. Pr() Pr( c ) c Pr( ) Pr( c ) Pr( c ) Pr( c c ) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 44 Erotustapahtuman todennäköisyys 1/4 Erotustapahtuman todennäköisyys 2/4 Olkoot S ja S otosavaruuden S tapahtumia. Erotustapahtuman \ = c todennäköisyys on Pr(\) = Pr( c ) = Pr() Pr( ) viereisellä Venndiagrammilla. myös viereisellä puudiagrammilla. Erotustapahtumaa \ = sattuu, mutta ei vastaa reitti 2. Pr() Pr( c ) c Pr( ) Pr( c ) Pr( c ) Pr( c c ) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 45 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 46 Erotustapahtuman todennäköisyys 3/4 Erotustapahtuman todennäköisyys 4/4 Reitin 2 todennäköisyys on tulosäännön ja ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella Pr()Pr( c ) = Pr( c ) Pr() Pr( c ) c Pr( ) Pr( c ) Pr( c ) Pr( c c ) c c Koska ( c ) ( ) = ( c ) ( ) = saadaan Pr() = Pr( c ) + Pr( ) Siten Pr(\) = Pr( c ) = Pr()Pr( c ) = Pr() Pr( ) Pr() Pr( c ) c Pr( ) Pr( c ) Pr( c ) Pr( c c ) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 47 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 48

9 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 49 Kokonaistodennäköisyyden kaava 1/7 Kokonaistodennäköisyyden kaava 2/7 Olkoot S ja S otosavaruuden S tapahtumia. Olkoot lisäksi joukko ja sen komplementti c epätyhjiä. Kokonaistodennäköisyyden kaavan mukaan: Pr() = Pr()Pr( ) + Pr( c )Pr( c ) Kaava on hyödyllinen tilanteessa, jossa todennäköisyys Pr() ja ehdolliset todennäköisyydet Pr( ) ja Pr( c ) tunnetaan. Kokonaistodennäköisyyden kaavan todistus perustuu siihen, että tapahtuma ja sen komplementtitapahtuma c muodostavat otosavaruuden S osituksen: (i) ja c (ii) c = (iii) S = c Otosavaruuden S ositus {, c } indusoi osituksen {, c } tapahtumaan : (i) tai c (ii) ( ) ( c ) = (iii) = ( ) ( c ) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 50 Kokonaistodennäköisyyden kaava 3/7 Kokonaistodennäköisyyden kaava 4/7 Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan: Pr() = Pr( ) + Pr( c ) (1) Yleisen tulosäännön mukaan: Pr( ) = Pr()Pr( ) (2) Pr( c )= Pr( c )Pr( c ) (3) Sijoittamalla lausekkeet (2) ja (3) kaavaan (1) saadaan kokonaistodennäköisyyden kaava Pr() = Pr()Pr( ) + Pr( c )Pr( c ) Kaavaa voidaan havainnollistaa seuraavan kalvon Venndiagrammilla. c c S TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 51 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 52 Kokonaistodennäköisyyden kaava 5/7 Kokonaistodennäköisyyden kaava 6/7 Kokonaistodennäköisyyden kaavaa voidaan havainnollistaa myös viereisellä puudiagrammilla. Tapahtumaa = sattuu vastaa reitit 1 ja 3 yhdistämällä saatava tapahtuma. Pr() Pr( c ) c Pr( ) Pr( c ) Pr( c ) Pr( c c ) Reittien 1 ja 3 todennäköisyyksiksi saadaan tulosääntöä soveltamalla: Pr(Reitti 1) = Pr()Pr( ) Pr(Reitti 3) = Pr( c )Pr( c ) Pr() Pr( c ) c Pr( ) Pr( c ) Pr( c ) Pr( c c ) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 53 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 54

10 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 55 Kokonaistodennäköisyyden kaava 7/7 Soveltamalla yhteenlaskusääntöä saadaan: Pr() = Pr(Reitti 1 tai Reitti 3) = Pr()Pr( ) + Pr( c )Pr( c ) Pr() Pr( c ) c Pr( ) Pr( c ) Pr( c ) Pr( c c )