Luku kahden alkuluvun summana

Transkriptio

1 Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008

2 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun summana. Tämä on hyvin olennainen ysymys, un selvitetään Goldbachin onjetuurin totuutta. Goldbachin onjetuuri sanoo, että joainen neljää suurempi parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun summana. Lisäsi tutielmassa oetettiin rataista seuraavaa ongelmaa: joainen mielivaltaisen suuri parillinen luu voidaan esittää ahden aluluvun summana. Tutielman tuloset raennetaan niiden tietojen pohjalta, joita esiintyy luion pitässä matematiiassa ja irjassa: Fundamentals of Number Theory [1]. Tutielmassa löydetään ombinatoristinen formula, joa lasee uina monella eritavalla luu voidaan esittää luua suurempien ahden eri aluluvun summana. Lisäsi tutielmassa osoitetaan, että jos asi tutielmassa esitettyä onjetuuria pitävät paiaansa, niin joainen mielivaltaisen suuri parillinen luu voidaan esittää ahden aluluvun summana.

3 Sisällysluettelo 1. Johdanto 1. Muutamia peruslauseita ja määritelmiä 1 3. Tuloset ja niiden todistuset 3.1 Seula 3 3. Funtio v(d; Funtio h(d; Funtio H( ja funtio V( 8 4. Tulosten arviointi 9 Lähdeluettelo 10 Liite 1 11

4 1 1. Johdanto Vuonna 174 Christian Goldbach lähetti Leonhard Eulerille yhdelle aiien aiojen tunnetuimmalle matemaatiolle irjeen, joa sisälsi seuraavan väittämän: Joainen viittä suurempi oonaisluu voidaan esittää olmen aluluvun summana. Euler iinnostui ovasti ongelmasta ja vastasi Goldbachille onjetuurilla, että joainen ahta suurempi parillinen luu voidaan esittää ahden aluluvun summana []. Tämä on ysi aiamme tunnetuimpia avoimia matematiian ongelmia. Tietooneiden avulla on voitu taristaa, että joainen luua pienemmistä parillisista luvuista voidaan esittää ahden aluluvun summana []. Goldbachin onjetuurin sisältö on helppo ymmärtää, mutta sen todellinen sisäistäminen vie paljon aiaa. Monet matemaatiot ovat aiojen uluessa esineet uusia ja uusia työaluja äydäseen tämän hienon ongelman imppuun, mutta se on estänyt aii hyöäyset uin allio. On paljon mahdollista, että me emme tule näemään sitä päivää jolloin tämä ongelma rataistaan. Ennen varsinaisen tutielman alua esitetään muutamia olennaisia lauseita ja määritelmiä, joita ei esiinny luion pitässä matematiiassa. Tutielma alaa seulan muodostamisella, jona avulla saadaan selville uina monella eri tavalla luu voidaan esittää ahden eri suuren luua suurempien aluluujen summana(t(. Sen jäleen muodostetaan tämän seulan pohjalta aava, joa antaa tulosesi T(:n arvon. Seuraavassa olmessa luvussa siitä eteenpäin puretaan T( osiin, joita on helpompi äsitellä. Lopusi osoitetaan, että jos asi tutielmassa esitettyä onjetuuria pitävät paiaansa, niin joainen mielivaltaisen suuri parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun summana.. Muutamia peruslauseita ja määritelmiä Tässä luvussa esitetään muutamia yleisesti tunnettuja lauseita ja määritelmiä, jota ovat olennaisia tutielman tulosten todistamisesi. Lauseet ja määritelmät on pääosin poimittu irjasta: Fundamentals of Number Theory [1]. Myös lauseiden todistuset löytyvät yseisestä irjasta, enä sen tähden esitä niitä tutielmassa.

5 Määritelmä 1 Funtio f: N -> R on multipliatiivinen, jos aiilla syt(a, b = 1 pätee f(af(b = f(ab (Huom. Toimin aina oonaisluualueessa ellen eriseen toisin mainitse. Määritelmä (iso O f(x = O(g(x, jos on olemassa vaio M, että suurilla x:n arvoilla. Määritelmä 3 f ( x g( x Oloon A jouo. Silloin #A on jouon A alioiden luumäärä. Määritelmä 4 [ x] on suurin sellainen oonaisluu, että [ x ] x < [ x] + 1 Määritelmä 5 ω (n < M aiilla mielivaltaisen, missä x on reaaliluu. on positiivisen oonaisluvun n erilaisten aluteijöiden luumäärä. Määritelmä 6 1, jos n = 1 µ ( n = 0, jos nei ole neliövapaa. n ( 1 ω(, muuten Luu on neliövapaa, jos sillä ei ole teijöitä muotoa m. (Huom. µ (n on multipliatiivinen funtio. Lause 1 Jos funtio f on multipliatiivinen, niin ( d f ( d = ( 1 f ( p d n µ, missä p on aluluu. (Huom. Kun meritsen jotain luua p:llä, taroitan aina poieusetta aluluua. p n Lause (Inluusio-Eluusio periaate Oloon S jouo, jossa on N erilaista aliota, ja oloon osajouoja, joissa on vastaavasti oloon S ij... l jouojen S,..., N,..., N S,..., S 1 r mielivaltaisia S:n 1 r aliota. Kaiille i < j <... < l r 1, i, S j Sl leiausjouo. Ja oloon N ij... l jouon alioiden luumäärä. Silloin jouon S S... S alioiden luumäärä on: ( 1 r K N Ni + Nij r Nij ( 1 N1... r. 1 i r 1 i< j r 1 i< j< r S ij... l

6 3 Lause 3 (Kiinalainenjäännös lause Jos n,..., 1, n n ovat suhteellisia aluluuja, suurempia uin 1, ja a 1, a,..., a ovat oonaisluuja, niin on olemassa ysiäsitteinen a mod a a1(mod n1 a a (mod n M a a (mod n n1 n n, että Lause 4 On olemassa vaiot c1 ja c, että x x c1 < π ( x < c aiilla x, missä π (x on luua x pienempien ln x ln x aluluujen luumäärä. 3. Tuloset ja niiden todistuset 3.1 Seula Lähdemme liieelle ouluurssilla opetetusta Erasthoneen seulasta ja näytämme uina sitä voidaan soveltaa niin, että saadaan selville, uina monella eri tavalla luu voidaan esittää ahden aluluvun summana. Mutta ensin muutama määritelmä: Määritelmä 7 P( = uina monella eri tavalla luu voidaan esittää ahden eri aluluvun summana. T( = uina monella eritavalla luu voidaan esittää luua suurempien ahden eri aluluvun summana. (Funtio sisällyttää myös luvun 1 aluluujen jouoon. R( = p p Määritelmä 8 { } M(d = # t 1 t < t 0( mod d yleensä R(:n teijänä. (Huom. Tutielmassa äsittelen d:tä

7 4 Kirjoitetaan alleain aii eri mahdollisuudet esittää luu ahden positiivisen oonaisluvun summana ja sen viereen summatermien luua pienemmät aluteijät. (Huom. M(d on niiden summaparien luumäärä, että d jaaa summaparin termien tulon ja summaparin termit ovat erisuuria. Esim. Tarastellaan luua = 50. Teijät 5-50 Summa Teijät 0-5 d M(d, ,3,5, , , *3 9 3, * ,3 * *5 4,3, * *7, ,5 *3* *3* ,3 *5* *5*7, ,7 *3*5*7 1 5, , P(50 = 4 T(50 = , ,3, , ,7, , Tiedetään, että jos luvulla ei ole aluteijöitä, niin luu on aluluu. Ellei luu ole jou näistä aluteijöistä, jolloin luu on myös aluluu. Yllä olevaan aavioon on meritty luujen vierelle niiden aluteijät, jota ovat pienempiä tai yhtä suuria uin 50. Nyt helposti nähdään mitä luvuista ovat aluluuja ja mitä eivät. (Sellaiset parit, joista molemmat luvut ovat aluluuja, on alleviivattu.

8 5 Lause 5 T ( = µ ( d M ( d d R( Kosa M(d on niiden summaparien luumäärä, että d jaaa summaparin termien tulon, niin Inluusio-Eluusio periaatteen muaan T( sisältää aii ne summaparit, joiden umpiaan termi ei ole jaollinen millään aluluvulla. Täten annettu väite on tosi. Esim. Käyttämällä aiemmin esiintynyttä esimeriä voidaan lauseen 5 perusteella irjoittaa. T(50 = =, miä selvästi pitää paiaansa. Seuraavien ahden luvun aiana on taroitus piloa M(d osiin ja saattaa se ysinertaisempaan muotoon. 3. Funtio v(d; Voidaan selvästi tehdä seuraava jao. Määritelmä 9 M(d = v(d; + h(d;, missä v(d; = # t 1 t d t 0 ( mod d d { } ja h(d; = # t 1 t mod d t 0( mod d ( { } (1 Alusi syvennymme tarastelemaan funtiota v(d;. Lemma 1 syt ( t, + t = syt(, t, jos ei jaa t :tä. Selvästi syt ( t, + t = syt( t,( t + t = syt(, t, sillä jos p jaaa a:n ja ei jaa b:tä, niin se ei myösään jaa a+b:tä. Täten annettu väite on tosi. Lause 6 v(d; = ω( d ω( syt(, d

9 6 Tiedetään, että t = ( t( + t ja syt ( t, + t = syt(, t jos ei jaa t :tä. Siten joainen aluluu p joa ei jaa :ta ja jaaa d:n seä t :n, jaaa jommanumman luvuista ( t tai ( + t ja siten aii yhtälön (1 rataisut toteuttavat ehdon t ±(mod p,(huom. jos p=, niin t 1(mod. Ja jos q jaaa :n ja d:n seä t :n, niin q jaaa molemmat luvut ( t : n, että ( + t : n mistä seuraa, että aii yhtälön (1 rataisut toteuttavat ehdon t 0(mod q. Jos u i {, }, niin joainen yhtälön (1 rataisu a toteuttaa seuraavan ongruenssi ryhmän: a 0(mod q1 M a a 0(mod qn u1(mod p1 M a um (mod pm Ja q 1 Lqn p 1 L pm = d Nyt huomataan Kiinalaisen jäännöslauseen perusteella, että joainen erilainen u i :n valinta tuottaa erilaisen rataisun modulo d. Kiinalainen jäännöslause myös sanoo, että joainen ongruenssi ryhmä tuottaa ysiäsitteisen rataisun modulo d. Siten tuloperiaatteen muaan rataisujen luumäärä on m ω( d ω( syt(, d =. Täten annettu väite on tosi. Lemma Jos syt(a, b = 1, niin ω ( a + ω( b = ω( ab Väite seuraa suoraan funtion ω (n määritelmästä. Täten annettu väite on tosi. Lause 7 Jos syt(a, b = 1, niin Funtio v(d; on multipliatiivinen. ω( a ω( syt(, a ω( b ω( syt(, b ω ( a + ω( b ( ω( syt(, a + ω( syt(, b =, joa on lemma muaan: ω( ab ω( syt(, ab. Täten annettu väite on tosi.

10 7 3.3 Funtio h(d; Funtio h(d, on paljon monimutaisempi. Esitämme seuraavasi joitain funtiota h(d; osevia lauseita. Lause 8 Jos syt(d, a = 1, niin h(ad; a = h(d; Kosa syt(ad, a = a, niin a jaaa aii yhtälön ( a x 0(mod ad rataisut. Yhtälö voidaan siis irjoittaa muotoon: a ( y 0(mod da y 0(mod d, missä ay = x. Ja yhtälön määrittelyjouo voidaan irjoittaa muotoon: 1 x a mod ad 1 y mod d. Täten annettu väite on tosi. Lause 9 Jos p on pariton aluluu ja 1 a < p, niin h(p; a = 1, jos a ( p 1 /, jos a > ( p 1 / Huomataan, että a toteuttaa aina yhtälön: a x, 1 x a. Täten h(p; a 1. Kun yhtälö irjoitetaan muotoon: a x = ( a x( a + x, niin nähdään, että toinen rataisu on p a = b jos ja vain jos b < a. Täten annettu väite on tosi. Seuraavat asi lausetta seuraavat suoraan funtion h(d; :n määritelmästä. Lause 10 Jos < Lause 11 d, niin h(d; = 1 Jos d jaaa :n, niin h(d; = 0 Lause 1 h(d; d-a = v(d; d-a ja a<d, jos < Tutitaan milloin d ei jaa luua ( d a ( d b luua d ja 0 b < a. Huomataan, että silloin d ei jaa a b ja 0 b < a. Täten lauseen 6 ja h(d; :n määritelmän muaan annettu väite on tosi. Lauseiden 10 ja 1 pohjalta voidaan saada yleisempi tulos:

11 8 Lause 13 h(d; a + h(d; d-a = v(d; a +1, 1 a < { } { t :1 t < a mod d a t 0 mod d } d h(d; a = # t :1 t < a mod d a t 0( mod d d +1 määritelmän muaan ja h(d; d-a = v(d; a - # (, sillä ( a ( d t a t (mod d d t > d a. Täten annettu väite on tosi lauseen 6 muaan. ja 3.4 Funtio H( ja funtio V( Otetaan äyttöön seuraavat uudet merinnät: V ( = µ ( d v( d; d ja d R( H ( ( d h( d; = µ. Huomataan helposti, että T( = V( + H(. d R( Konjetuuri 1 H( = O( π ( Määritelmä 10 a b a a = +, missä b b a a on luvun desimaaliosa. b b Määritelmän 10 avulla V( voidaan irjoittaa muodossa: V ( = µ ( d v( d; - d µ ( d v( d;. Ottamalla teijäsi ensimmäisestä d d R( d R( summasta nähdään, että summan sisään jää jäljelle funtio, joa on multipliatiivinen, sillä multipliatiivisten funtioiden tulo on multipliatiivinen. Täten lauseen 1 perusteella saamme seuraavan lauseen: Lause 14 t( p E( = µ ( d v( d; = d 1, missä d R( d R( p, jos syt(, p = 1 t(p = 1, jos syt(, p 1

12 9 d R( [ ] n= Lause 15 8 n 1 = n E( t( p 1 p d R( [ ] Täten annettu väite on tosi. Otasumme seuraavaa: Konjetuuri d R( 1 / 1 = p 8 ( d v( d; d d R( / µ = O( π ( p 1 p 1 Lause 16 Jos onjetuurit 1 ja ovat tosia, niin joainen mielivaltaisen suuri parillinen luu voidaan esittää ahden aluluvun summana. Konjetuurien perusteella voidaan irjoittaa T( = E( + O( π ( Lim c ln ln = Lim 4c perusteella voidaan päätellä, että = Lim 1 4 ln c. Huomataan, että =, missä c on vaio. Täten lauseiden 4 ja 15 E( Lim =, mistä väite seuraa. O( π ( 4. Tulosten arviointi Tavoitteena oli selvittää uina monella eri tavalla luu voidaan esittää luua ahden eri aluluvun summana. Saimme seulamenetelmällä ombinatoristisen aavan T ( ( d M ( d d R( suurempien = µ. Puramalla sen osiin ja tutimalla niitä saimme paljon arvoasta tietoa

13 10 sen raenteesta. Tutielmassa ei saada aiaisesi mitään ihmeellisiä tulosia, mutta se tosin ei ole ihme, sillä aihein on suhteellisen haastava. Konjetuureille, joita tutielmassa esitetään, ei ole mitään unnon selitystä misi näin pitäisi olla. On paljon mahdollista, että ne ovat epätosia. Tietooneiden avulla voitaisiin taristaa niiden totuutta hyvin pitälle, mutta ei todistaa. Kosa en hallitse tietooneohjelmointia, minulla ei ole edes numeerisia todistusaineistoja onjetuurien tuesi. Tutielma on osoitus siitä, uina vaieaain aihetta voidaan tutia ysinertaisilla työaluilla. Kun tutimus aiheen parissa vielä etenee, joudutaan todennäöisesti ottamaan äyttöön paljon monimutaisempia työaluja, joita ovat esim. omplesianalyysi ja algebrallinen luuteoria. Lähdeluettelo [1] LeVeque, William J., 1977, Fundamentals of Number Theory, Dover Publications [] Päivitetty: lo 19.1, luettu:

14 11 Liite 1 n P(n T(n H(n E(n n µ ( d v( d; n d d R(n / -1/ /6-1/ /6-5/ /3 -/ /3 / /6-1/ /10 3/ /5 / /5 -/ /10 --3/ /5 -/ /10-3-1/ /3-1-1/ /5-4/ /5-4/ /10-1-7/ /5-1-1/5 Tauluossa olevat arvot on lasettu ynällä ja paperilla, äyttämällä apuna tutielmassa esitettyjä lauseita ja menetelmiä.