. g = 0,42g. Moolimassat ovat vastaavasti N 2 :lle 28, 02g/ mol ja typpiatomille puolet tästä 14, 01g/ mol.

Samankaltaiset tiedostot
S , Fysiikka III (ES) Tentti

Venymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan dl = α LdT + df = df AE AE Ulkoisen voiman tekemä työ saadaan integroimalla δ W = FdL :

b g / / / / H G I K J =. S Fysiikka (ES) Tentti

Tilastollisen fysiikan luennot

Venymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan AE AE

( ) ( ) on nimeltään molekyylisironnan mikroskooppinen vaikutusala). Sijoittamalla numeroarvot saadaan vapaaksi matkaksi

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt

Pyörimisliike. Haarto & Karhunen.

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT

S , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä

DEE Polttokennot ja vetyteknologia

r i m i v i = L i = vakio, (2)

Sähköstaattinen energia

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt

Vauhti = nopeuden itseisarvo. Nopeuden itseisarvon keskiarvo N:lle hiukkaselle määritellään yhtälöllä

Kanoniset muunnokset

Painotetun metriikan ja NBI menetelmä

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

S , Fysiikka III (S) I välikoe Malliratkaisut

a) Oletetaan, että happi on ideaalikaasu. Säiliön seinämiin osuvien hiukkasten lukumäärä saadaan molekyylivuon lausekkeesta = kaava (1p) dta n =

Luvun 8 laskuesimerkit

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO

Monte Carlo -menetelmä

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2009

S Fysiikka III (EST 6 op) S Modernin fysiikan tietokoneharjoitukset (Sf, 2 op )

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Tarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi

5. KVANTTIMEKANIIKKAA

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Tietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta

3.5 Generoivat funktiot ja momentit

10.5 Jaksolliset suoritukset

m h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0,

( ) ( ) Tällöin. = 1 ja voimme laskea energiatason i. = P n missä

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5)

on määritelty tarkemmin kohdassa 2.3 ja pi kohdassa 2.2.

Rahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6)

T p = 0. λ n i T i B = Käytetään kohdan (i) identiteetin todistamiseen induktiotodistusta. : Oletetaan, että väite on totta, kun n = k.

n = = RT S Tentti

Kuorielementti hum

MODERNIN FYSIIKAN LUENNOT KEVÄT 2007 OSA I TILASTOLLINEN MEKANIIKKA

Kuntoilijan juoksumalli

Rahastoonsiirtovelvoitteeseen, perustekorkoon ja vakuutusmaksukorkoon liittyvät laskentakaavat ja periaatteet

Integroimalla ja käyttämällä lopuksi tilanyhtälöä saadaan T ( ) ( ) H 5,0 10 J + 2,0 10 0,50 1,0 10 0,80 Pa m 70 kj

Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:

1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.

S Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman

Kokonaislukuoptimointi

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

3.3 Hajontaluvuista. MAB5: Tunnusluvut

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä

Raja-arvot. Osittaisderivaatat.

1, x < 0 tai x > 2a.

Uuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan

Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit

III KLASSINEN TILASTOLLINEN MEKANIIKKA... 48

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli

Harjoitukset (KOMPRIMOINTI)

Ekvipartitioperiaatteen mukaisesti jokaiseen efektiiviseen vapausasteeseen liittyy (1 / 2)kT energiaa molekyyliä kohden.

Luento Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit

3. Datan käsittely lyhyt katsaus

Mittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa

Puupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:


MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Lähdemateriaalina käytetty Pertti Louneston kirjaa Clifford Algebras and spinors [1]

Sähkökiukaan kivimassan vaikutus saunan energiankulutukseen

Koodausteoria, Kesä 2014

BL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka

kertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma

9.1 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapani Jokinen, luonnos 9. LÄMMÖNSIIRTO

Yleistä. Teräsrakenteiden liitokset. Liitos ja kiinnitys

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT P

5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman

Galerkin in menetelmä

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

W Hz. kohinageneraattori. H(f) W Hz. W Hz. ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät Laskuharjoitukset. LASKUHARJOITUS 5 Sivu 1/7

4. A priori menetelmät

Jäykän kappaleen liike

III KLASSINEN TILASTOLLINEN MEKANIIKKA... 48

6. Stokastiset prosessit (2)

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017

11. Vektorifunktion derivaatta. Ketjusääntö

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit

Transkriptio:

LH-1 Kaasusälö ssältää 1, g typpeä 1800 K lämpötlassa Sälön tlavuus on 5,0 l Laske pane sälössä ottamalla huomoon, että tässä lämpötlassa 30 % typpmolekyylestä, on hajonnut atomeks Sovella Daltonn laka Daltonn lan mukaan kokonaspane on er tyypn molekyylestä koostuven kaasujen osapaneden summa Tässä tapauksessa kaasut ovat molekyläärnen typp ja atomnen typp Olkoon kaasu (1) seuraavassa molekyläärstä ja kaasu () atomsta typpeä Daltonn lan mukaan: pv= n RT 1 1 pv= n RT (1) Molekyläärstä typpeä on 07 1, g = 098g ja atomsta 03 1 g = 0,g Moolmassat ovat vastaavast :lle 8, 0g/ mol ja typpatomlle puolet tästä 1, 01g/ mol Ratkasemalla yhtälöstä (1) paneden summa ja sjottamalla moolmäärät, tlavuus ja lämpötla: 1 6 = RT 098 0, p= p1+ p = n1+ n = + V 8, 0 1, 01 RT mol 19, bar V Huomaamme, että pane on suuremp kun sllon jos vastaava määrä typpeä ols pelkästään molekyläärsessä muodossa

LH- Kuutonmuotosessa sälössä, jonka särmä on 0,1 m on 3,0 10 molekyylä happea ( O ) 300 K lämpötlassa Kunka monta kertaa kukn molekyyl törmää astan senämään sekunnssa? Mkä on astan senämään kohdstuva pane? Molekyylen keskmääränen kneettnen energa on 1 3 mvrms = kt Ratkasemalla nopeuden suhteen saadaan 1 6 = 8 m/s vrms = 3 1 / kt / m - Tässä molekyyln massaks oletettn 3 amu ( 1amu =166 10 7 kg) Oletetaan, että keskmäärn molekyyl kulkee 0,1 m (tämä on van arvo) matkan ennen törmäystä Törmäystaajuudeks saadaan v rms 01, m 50, 10 3 törmäystä sekunnssa Pane saadaan deaalkaasun tlanyhtälöstä p = V kt = nkt = 1 kpa

LH-3 Kunka monta lmamolekyylä törmää keskmäärn sekunnssa yhden nelösenttmetrn suuruseen pelln palaan astassa, jossa pane on 1 bar ja lämpötla 300K Ilman keskmääränen moolmassa on 9 g 0 5 Oletamme lman deaalkaasuks Käyttämällä molekyylvuon lauseketta j = 1/ nv saadaan pntaan A ajassa t osuven molekyylen lukumääräks = ja t = A,Dt D nv ADt, (1) kt mssä nopeuden tsesarvon keskarvo deaalkaasulle on v = 1 / 8 Kaasun theydeks pm p saamme pv = kt à n = Sjottamalla saamme ( t = 1s ja A = 1,0 10 m ) kt 1 / 1 A, Dt = jadt = padt -3 8 10 () pmkt = Tonen, tosn van lkmääränen, ratkasu perustuu deaalkaasun tlanyhtälöön Oletamme, että pnnan A normaal on x-akseln suuntanen Jos v x on molekyylen nopeuden keskmääränen x-komponentt, yksttäsen pntaan A törmäävän molekyyln lkemäärän muutos on mv x Pnnan A saama mpulss ajassa t on tällön padt FDt = padt = A, Dt m vx à A, Dt = mv x (3) Oletamme nyt, että lkman 38 38 /, vx v v v kt m x = 1 1 = rms = 3 3 mssä käytmme keskmääräsen lke-energan lauseketta Huomaa, että nopeuden x- komponentn tsesarvon keskarvo e ole tarkalleen sama kun nepeuden x-komponentn nelön keskarvon nelöjuur! Pnta-alaan A ajassa Dt osuven molekyylen lukumääräks saadaan ss padt = = 35 10 3, ktm A, Dt mkä on varsn lähellä yhtökön (1) antamaa tulosta

LH- Ohutsenämäsestä astasta, jonka tlavuus on V ja jossa on molekyylä, vuotaa kaasua penen reän (pnta-ala A) kautta Aukon kautta e vrtaa kaasua takasn astaan Lämpötlaa vodaan ptää astassa vakona Laske kunka kauan (suuressa A, V, ja v lausuttuna) kestää, ennenkun molekyylen määrä astassa on laskenut puoleen Aukosta postuven molekyylen määräks ajassa dt saadaan molekyylvuon lausekkeen avulla dtot = 1 Adtnv el d TOT dt = 1 Anv Tosaalta, jos sälössä oleven molekyylen kokonasmäärää merktään = (), t nn aukosta postuven molekyylen määrä on astassa olevan molekyylen määrän muutoksen (dfferentaaln) vastaluku ts d =- d TOT Sjottamalla n = saadaan ss d V dt =- 1 Av V, josta ntegromalla puolttan = e -( Av / V ) t 0 Tässä 0 on molekyylen määrä purkauksen alussa kun t = 0 Molekyylen määrä on penentynyt puoleen kun eksponentttekjä saa arvon 1/ joten -( Av / V ) t e = 1/ Ã- ( Av / V) t = -ln Puolntumsajaks saadaan ss ln t = ( Av / V )

LH-5 Tarkastellaan -ulottesta deaalkaasua Sen molekyylt vovat lkkua van tasossa, jonka ladalla ne tärmäävät elastsest reunukseen Molekyylt evät näe tosaan, tosn sanoen nden välsä voma e oteta huomoon Johda samalla menettelyllä kun 3-ulottesen kaasun tapauksessa molekyylen reunukseen kohdstama -ulottenen pane ( = voma / ptuusykskkö) ja stä vastaava -ulottesen deaalkaasun tlanyhtälö Molekyylt sjatsevat laatkossa, jonka pnta-ala on S Tehtävä ratkasu vodaan muodostaa helpost opetusmonsteen luvun 3-ulotteseen tarkasteluun pohjautuen Tarkasteltaessa dfferentalsen kaasualkon törmäystä astan senään, pnta-ala A kuvassa 1 korvautuu nyt laatkon svun osan ptuudella L ks ohesta : kuvaa Kuvan 1 sylnter korvautuu ss suunnkkaalla, jonka svun ptuudet ovat L ja vdt ja pnta-ala S Tässä suunnkkaassa on L@J vdtlcosθ nx = Lvxdtnx molekyylä, jolla nopeuden x-komponentn tsesarvo on v x Theys n x lmottaa nyt nden molekyylen lukumäärän pnta-alaykskköä kohden jolla on nopeuden tsesarvo v x Lkemäärä ennen törmäystä on P = ( 1/ ) mn DSv x x x ja jälkeen törmäyksen ' ' Px = ( 1/ ) mnxdsvx = -( 1/ ) mnxd Svx Senän saama mpulss on lkemäärän muutos : ' Fdt = DPx = Px - Px = - mnxdsvx = mnxlvxdt (1) ( F > 0 )ja ss pnta-alaan A kohdstuva D-pane p = F/L: pd = mnxvx () Krjotamme paneelle alandeksn D, jotta mustamme että kyseessä on voma ptuusykskköä kohdenseuraavaks summaamme paneen () yl kakken nopeuden x- komponentten: p = mê n v (3) D x x

Summaus suortetaan nopeuden x- komponentn tsesarvojen yl Samon kun 3-ulottesessa tarkastelussa keskarvo nopeuden x-komponentn nelöstä määrtellään: x x x x () ( v ) n v / n 1 joten pd = m( n)( vx), mssä n= n x on molekyylen kokonastheys pntaalaykskköä kohden opeus vektorn nelölle pätee v = vx + vy, joten D-nopeuden keskarvolle saadaan ( v ) = ( vx ) + ( vy ) Symmetran perusteella ( vx) = ( vy) 1 ts ( vx) = ( v ) Merktään ( v ) vrms Voma ptuusykskköä kohden el Dpane on ss 1 pd = mnvrms (5) Vastaava tlanyhtälö saadaan kertomalla D-pane molekyylt ssältävän laatkon pnta-alalla S 1 1 pda= manvrms = mvrms Sulussa oleva lauseke on (myös) D-kaasun kokonasenerga Koska molekyylellä on kaks lkkeen vapausastetta, sen on oltava ekvparttoperaateen mukaan = (1/) kt D-deaalkaasun tlanyhtälö on ss pd A= kt