Vauhti = nopeuden itseisarvo. Nopeuden itseisarvon keskiarvo N:lle hiukkaselle määritellään yhtälöllä

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Vauhti = nopeuden itseisarvo. Nopeuden itseisarvon keskiarvo N:lle hiukkaselle määritellään yhtälöllä"

Reino Mattila
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 S-4.35, Fysiikka III (ES) entti Laske nopeuden itseisarvon keskiarvo v ave ja nopeuden neliöllinen keskiarvo v rms seuraaville 6 molekyylien nopeusjakaumille: a) kaikkien vauhti 0 m/s, b) kolmen vauhti 5 m/s ja kolmen 0 m/s, c) neljän vauhti 5 m/s ja kahden 0 m/s, d) kolme molekyyliä on levossa ja kolmen vauhti 0 m/s ja e) yhden vauhti 5 m/s, kahden vauhti 7 m/s, kahden 5 m/s ja yhden 0 m/s? auhti = nopeuden itseisarvo. opeuden itseisarvon keskiarvo :lle hiukkaselle määritellään yhtälöllä vave Ç vi () i ja nopeuden neliöllinen keskiarvo yhtälöllä vrms / Ç vi i. () Jaetaan hiukkaset aliryhmään. Olkoon hiukkasten lukumäärä aliryhmässä n j, j,,..,, jolloin Ç nj. Kuhunkin aliryhmään kuuluvalla hiukkasella on sama nopeus v j. j Yhtälöt () ja () voidaan tällöin kirjoittaa painotettuina keskiarvoina; kutakin nopeuden arvoa painotetaan ao. ryhmään kuuluvien hiukkasten lukumäärällä: Ç nv j j j vave nv Ç j j (3) n j Ç j j ja / Ç nv j j j vrms nv Ç j j (3) n j j Ç j Sijoittamalla saadaan seuraavat tulokset: v ave m/s v rms m/s a) 0,0 0,0 b),5 4,6 c) 0,0, d) 0,0 4, e),5,7

2 Kaasusäiliö sisältää,4 g typpeä 800 K lämpötilassa. Säiliön tilavuus on 5,0 l. Laske paine säiliössä ottamalla huomioon, että tässä lämpötilassa 0,4 g typpimolekyyleistä, on hajonnut typpiatomeiksi. Sovella Daltonin lakia ideaalikaasulle. olekyylityppi ja atominen typpi ovat kaasun kaksi komponenttia. yppiatomin massa on 4 amu. a) Jos typpi olisi kokonaan molekylääristä paine saataisiin ideaalikaasun tilanyhtälöstä R, 4 R p= p= ν = mol,74bar = 8,0. b) Daltonin lain mukaan kokonaispaine on eri tyypin molekyyleistä koostuvien kaasujen osapaineiden summa. ässä tapauksessa kaasut ovat molekyläärinen typpi ja atominen typpi. Olkoon kaasu () seuraavassa molekylääristä ja kaasu () atomista typpeä. Daltonin lain mukaan: p νr () p νr olekylääristä typpeä on 07. 4, g = 0.98g ja atomista g = 0,4g. oolimassat ovat vastaavasti :lle 8, 0g/ mol ja typpiatomille puolet tästä 4, 0g/ mol. Ratkaisemalla yhtälöstä () paineiden summa ja sijoittamalla moolimäärät, tilavuus ja lämpötila: R , R p p p ν ν6 mol 94, bar. 8, 0 4, 0 Huomaamme, että paine on suurempi kuin silloin jos vastaava määrä typpeä olisi pelkästään molekyläärisessä muodossa. 3. Eräässä termodynaamisessa tasapainossa olevassa systeemissä, joka noudattaa axwell- Boltzmann statistiikkaa, saatiin kokeellisesti tilojen energioille ja niiden suhteellisille miehitystodennäköisyyksille arvot:.3 me (63%), 0.9 me (3%), 9.5 me (8,5%) ja 8. me (3.%) vastaavasti. Arvioi systeemin lämpötila näiden kokeellisten tulosten perusteella. Olkoon tilat,, 3, 4. Suhteellinen todennäköisyys ensimmäisen ja toisen tilan välillä on n n 03 6/ e E E k ästä seuraa E E À E E ln k k ln K.

3 astaavasti muille tiloille saadaan E E3 k ln K E E4 k ln K. 0 5 Lämpötilat eivät ole tarkalleen samat sillä miehitystodennäköisyydet on määritelty kokeellisesti, jolloin niihin sisältyvän epätarkkuuden takia suhteelliset todennäköisyydet eivät anna tarkalleen samaa lämpötilaa. Eräs tapa parantaa tarkkuutta on laskea esimerkiksi näin saatujen lämpötilojen keskiarvo, jolloin osa satunnaisista mittausvirheistä eliminoituu. Lämpötilojen keskiarvoksi saadaan K. 4. Osoita, että ideaalikaasun kvasistaattisessa isotermisessä laajenemisessa tilavuudesta tilavuuteen entropian muutos voidaan lausua muodossa I p S = d. b) Laske entropian muutos, kun,0 mol ideaalikaasua laajenee isotermisesti siten, että sen tilavuus kaksinkertaistuu. a) Entropian määritelmästä saadaan. pääsääntöä käyttäen δ Q ds = = ( du + pd ). () Kun lämpötila ja tilavuus ovat riippumattomia muuttujia, on sisäenergian kokonaisdifferentiaali U U du = d + d. () Sijoittamalla ():een saadaan U U ds = d + + p d. (3) oisaalta S: kokonaisdifferentiaali voidaan kirjoittaa ():n tapaan muotoon S S ds = d + d. (4) Koska ja ja niinollen d ja d ovat riippumattomia, on niiden kertoimien yhtälöissä (3) ja (4) oltava yhtä suuria: S U S U = ja = + p. (5) oidaan osoittaa, että S:n ja U:n toiset osittaisderivaatat :n ja :n suhteen (ns. ristiderivaatat) ovat riippumattomia derivointijärjestyksestä: S S S S = eli =.

4 Yhtälöistä (5) saadaan täten U U p U = + p +, josta edelleen sieventämällä U p = p. (6) U = νc, Yhtälöistä (5) ja (6) saadaan ottamalla lisäksi huomioon, että ( ) S νc S p = ja =. (7) Sijoittamalla S:n kokonaisdifferentiaalin lausekkeeseen (4) saadaan vihdoin νc p ds = d + d. (8) Isotermiselle prosessille d = 0 ja yhtälön (8) ensimmäinen termi häviää. (arkastelun rajaaminen reversiibeleihin prosesseihin on tarpeen (itse asiassa kvasistaattisuus riittää), jotta voidaan käyttää entropian termodynaamista määritelmää ds = δq/.) ällöin siis p ds = d ja p S = d, (9) kuten väitettiin. b) ν =,0 mol, =. Ideaalikaasun tilanyhtälöstä ν R p ν R p = =. Yhtälöstä (9): d J J ν ln,0 mol 8,344 ln,5. mol K K S = ν R = R 5. ikä on ekvipartitioperiaatteen mukaan hyvin korkeissa lämpötiloissa a) ammoniakkimolekyylin H 3 (ei-lineaarinen molekyyli) ja b) hiilidioksidimolekyylin CO (tiedetään lineaariseksi) keskimääräinen energia.

5 H 3 on ei lineaarinen molekyyli. Atomien paikan ilmaisemiseen tarvitaan 3x4 = koordinaattia. äistä 3 massakeskipisteen liikkeelle (ei potentiaalienergiaa) siis etenemisliikkeen energia keskimäärin (3/) k. Pyörimiseen tarvitaan kolme kulmakoordinaattia, jälleen potentiaalienergia on 0, joten keskimääräinen pyörimisenergia (3/) k. Loput 6 koordinaattia kuvaavat värähtelyä. iihin liittyy sekä liike että potentiaalienergiaa. Siis värähtelyenergiaa yhteensä 6 k ja yhden ammoniakkimolekyylin keskimääräinen kokonaisenergia on ((3/)+(3/)+6) k =9k. Hiilidioksidissa on kolme atomia ja siis 3x3 = 9 koordinaattia. Etenemisliike samoin kuin yllä (3/) k, lineaarinen molekyyli, joten pyöriminen vain kaksi koordinaattia siis energiaa x k ja loput 4 koordinaattia värähtelyyn 4 k yhteensä saadaan siis ((3/)+(/)+4) k =6,5k. 6. Kilo vettä, jonka lämpötila on 0 0 C asetetaan kosketukseen suuren 00 0 C asteisen kappaleen kanssa. a) Kun veden lämpötila on noussut 00 0 C, mitkä ovat veden, kappaleen ja universumin entropian muutokset? b) Oletetaan seuraavaksi, että veden kuumentaminen 00 0 C tapahtuu saattamalle se ensin kosketukseen suuren 50 0 C asteisen kappaleen kanssa ja sitten 00 0 C asteisen kappaleen kanssa. ikä ovat nyt veden ja universumin entropian muutokset? c) Selitä miten vesi voidaan kuumentaa 0 0 C asteesta 00 0 C asteeseen ilman, että universumin entropia kasvaa. eden moolimassa on 8g ja ominaislämpö vakiopaineessa c p = 8,0cal K mol. oit lausua entropian muutoksen myös jouleissa; cal = 4,86 J. että on 55,6 moolia ja veden ominaislämpökapasiteetti on c p = 8,0cal K mol (a) Lasketaan lämpömäärät ominaislämpöjen avulla. asoittuminen tapahtuu vakiopaineesssa (ilmakehän paine), joten vesi saa lämpömäärän ( ) Qvesi = νcp = 00,0 kcal Kappale luovuttaa vastaavan lämpömäärän Qbody = Qvesi. eden entropiamuutos lasketaan isobaariselle prosessille vrt luennot: Svesi = ν cp ln, josta = 3,calK. Kappaleen entropiamuutos lasketaan isotermiselle prosessille sillä kappaleen lämpötilan muutos on äärettömän pieni: Q body S S = Sbody = = 68,calK entropian kokonaismuutos on siis S = S + S =+. O vesi body 44,calK (b) Oletetaan, että prosessi tapahtuu nyt kahdessa vaiheessa. edelle saadaan ( = 50 C ) i 0

6 S = νc + νc = νc vesi i pln pln pln i ts. veden entropian lisäys on sama kuin edellä. Sen sijaan kappaleelle saadaan Qvesi / Qvesi / Sbody = = 88,9calK ja entropian kokonaismuutos edellä. i = 3,3calK. Entropian lisäys on siis pienempi kuin S O (c) Rajatapauksena voidaan ajatella veden saattamista kontaktiin äärettömän monen kappaleen kanssa, joista kunkin lämpötila on vain hieman veden lämpötilaa korkeampi. Entropian muutos lähenee tällöin nollaa ts. kyseessä on rajalla S = 0 reversiibeli prosessi. AKIOIA me 9, 09 0 kg mp, kg mn, kg amu, kg e, 60 0 C c, m / s =, Js µ B 9, 73 0 J ε0 8, C m Ke / 4πε 0 µ 0, mkgc Km µ 0 / 4π γ 6, m kg A 6, 05 0 mol R 8, 343 JK mol k =, JK HUO. Uusittujen välikokeiden pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 ennen kuin tulos lasketaan yhteen aiempien kerättyjen vk pisteiden kanssa.

Samankaltaiset tiedostot

. Veden entropiamuutos lasketaan isobaariselle prosessille yhtälöstä

. Veden entropiamuutos lasketaan isobaariselle prosessille yhtälöstä LH- Kilo vettä, jonka lämpötila on 0 0 asetetaan kosketukseen suuren 00 0 asteisen kappaleen kanssa Kun veden lämpötila on noussut 00 0, mitkä ovat veden, kappaleen ja universumin entropian muutokset?