S Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta

Transkriptio

1 S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen, vai suoritatko tentin Välikokeen alue Kuutiossa, jonka sivu on a = 0 cm, on heliumkaasua NTP olosuhteissa Arvioi kuinka monta molekyyliä osuu sekunnissa kuution seiniin NTP olosuhteissa p = 035 Pa ja T = 73,5 K Helium molekyylin massa on m= 4,003u Molekyylivuo aika- ja pinta-alayksikköä kohden on dntot = nv, missä 4 ave Adt 8kT N p vave = ja n= = π m V kt Törmäysten lukumääräksi saadaan siis (yhtä kuution tahkoa kohden) p 8kT N nv 4 ave At = a t 4 kt π m pa t 5 = 8, 0 ktπ m Systeemissä hiukkasten mahdolliset tilat ovat E = 0, E = ε ja E 3 = ε Oletetaan, että g i =, i =,,3 Miehitysluvut ovat n = 000, n = 800 ja n 3 = 00 a) Mikä on jakauman todennäköisyyden muutos, kun ylimmältä ja alimmalta tilalta siirretään yksi hiukkanen keskimmäiselle tilalle? b) Laske systeemin todennäköisin jakauma annetulle kokonaishiukkasmäärälle ja sisäenergialle Opastus: kokonaishiukkasmäärän ja sisäenergian säilyminen antaa kaksi side-ehtoa tuntemattomille suureille n, n ja n 3 Systeemissä on yhteensä N = 3000 hiukkasta Alkuperäisen partition todennäköisyys on 000! 800! 00! P = Hiukkasten siirtämisen jälkeen Jakaumien todennnäköisyyksien suhde on P 999! 80! 99! P = 000! 800! 00! = =,6 P = 999! 80! 99! Siis alkuperäinen partitio oli,6 kertaa todennäköisempi Koska pienellä miehitysluvun muutoksella saadaan suuri mikrotilojen lukumäärän muutos, systeemi on ilmeisesti hyvin kaukana termodynaamisesta tassapaainosta b) Todennäköisimmän partition määrääminen Maxwell Boltzman jakauma on N 0/ kt N ε / kt N ε / kt n = e, n = e, n3 = e

2 missä partitiofunktio Systeemissä on 3000 hiukkasta joiden kokonaisenergia on 00 ε Merkitään / kt e ε x=, jolloin n = xn ja n n + nx+ nx = 3000 ja energian säilyminen ( nx) ε + ( nx )( ε) = 00ε 3 x n Supistamalla ε jälkimmäisestä yhtälöstä saamme yhtälöparin n ( + x+ x ) = 3000 () n ( x+ x ) = 00 = Hiukkasmäärän säilyminen voidaan tällöin kirjoittaa Jakamalla puolittain ja supistamalla n saadaan kelpaa) Sijoittamalla yhtälöön () 8x + 3x = 0, josta x = 0,3465 (vain positiivinen juuri n = 046, n = 708 n 3 = 46 (tulos pyöristetty) Huomaa, että jos näihin miehityslukuihin tehdään muutos n n n n + ja n 3 n 3 on partition todennäköisyyden muutos varsin pieni (Periaatteessa äärettömän pieni jos hiukkasia on tarpeeksi) 3 a) Yksiulotteinen potentiaaliaskel on määritelty seuraavasti: 0, kun x < 0 Ep ( x) = E0, kunx> 0 Hiukkanen, jonka energia on E = 4E0, tulee x-akselin negatiivisesta suunnasta potentiaaliaskeleen kohdalle Mikä on todennäköisyys, että se heijastuu takaisin? Lähestyvän hiukkasen energia on siis neljä kertaa kynnyksen korkeus Heijastumistodennäköisyyden ilmaisee heijastumiskerroin k k R = k + k, missä k = me ħ on aaltovektorin itseisarvo alueessa x < 0 ja itseisarvo alueessa x 0 Sijoitetaan nämä R:n lausekkeeseen k = ( ) m E E 0 ħ on aaltovektorin Sijoitetaan E ( 0 ) me E E 0 0 me m E E E E R = = = me + m E E0 me + E0 E + E0 E

3 E0 4E 0 4 R = 0,005 0,005 + E0 4E Välikokeen alue 4 Vastaa lyhyesti: a) Mitä tarkoitetaan elektronin gyromagneettisella suhteella? Elektronin sisäisen massan ja varauksen erilaisesta jakautumisesta aiheutuvaa korjaustekijää elektronin spin-kulmaliikemäärän ja siihen liittyvän magneettisen momentin väliseen suhteeseen b) Miten pitkäaaltoisten akustisten ja optisten fononien energiat eroavat toisistaan? Akustisten pitkäaaltoisten fononien energia lähestyy nollaa Optisten fononien energia saa vakioarvon (n 30 mev ) pitkäaaltorajalla c) Mikä on spin-ratavuorovaikutus? Elektronin rataliikkeen magneettisen momentin ja spin-magneettisen momentin vuorovaikutus d) Mitä kertoo Ehrenfestin teoreema? Suureiden kvanttimekaaniset odotusarvot toteuttavat (tietyin ehdoin)newtonin liikeyhtälön e) Mitkä ovat vedyn p elektronin kokonaiskulmaliikemäärävektorin mahdolliset pituudet? p tilalle l =, joten j = l ± s= ± / = 3/ tai / Kokonaiskulmaliikemäärävektorin pituus on j( j + ) ħ Sijoittamalla kokonaiskulmaliikemäärän kvanttiluvut saamme kaksi vaihtoehtoa () "oikotilalle" j( j + ) ħ= 5 ħ / ja "linkkutilalle" j( j + ) ħ= 3 ħ / f) Mikä on LCAO menetelmä? Molekyyliorbitaalien likimääräinen kuvaaminen molekyyliin kuuluvien atomien orbitaalien avulla Linear Combination of Atomic Orbitals menetelmä 5 Hiukkasen kulmaliikemäärän kvanttiluku l = (a) Mitkä ovat L z :n mahdolliset arvot? (b) Mikä on L:n suuruus? (c) Mikä on L :n ja z-akselin välisen kulman pienin mahdollinen arvo? (a) Kulmaliikemäärän z-komponentin mahdolliset arvot ovat Lz = mħ, missä m= 0, ±,, ± l = 0, ±, ± Mahdolliset arvot ovat siten: L z = ħ, ħ,0, + ħ, + ħ (b) Kulmaliikemäärän itseisarvo on L= l( l + ) ħ= 6ħ (c) Kulmaliikemäärän ja z-akselin välinen kulma on

4 Lz Lz m m cosθ = = = = L L ll ( + ) ll ( + ) θmin = cos 35, 3 6, 6 Hiukkanen voi liikkua äärettömän kovassa potentiaaliboksissa x-akselin välillä [x = 0, x = a] Sen πx πx aaltofunktio ajanhetkellä t = 0 on Ψ ( xt, = 0) = 8/5a + cos sin a a) Mikä on hiukkasen a aaltofunktio myöhempinä ajanhetkinä? b) Mikä on hiukkasen keskimääräinen energia ajanhetkinä t = 0 ja t = t 0 (ts jonain mielivaltaisena ajanhetkenä)? Apuneuvo: sin α = sinα cosα Lisähelpotus: boksin aaltofunktiot ovat / asin ( n x/ a) π Ratkaisu Hiukkanen liikkuu yksiulotteisessa potentiaalikuopassa, jonka ominaisenergiat ovat n π ħ En = ; ma n=,,3,, () ja normitetut ominaisfunktiot φ n = nπ x sin a a () Tehtävässä annettu aaltofunktio hetkellä t = 0 ei selvästikään ole mikään ominaistiloista, vaan kyseessä on ns ei-stationäärinen tila eli sationääristen tilojen superpositio Puretaan annettu aaltofunktio stationääristen tilojen sarjakehitelmäksi käyttäen hyväksi ominaistilojen ortonormeerausominaisuutta: πx πx πx πx Ψ ( xt, = 0) = 8/5a + cos sin 8/5a sin sin a = a + = a a = φ + φ 5 5 (3) missä käytettiin tehtävässä annettua trigonometrian apuneuvoa Huomaa myös, että tilojen kertoimien neliöiden summa =, ts voimme tulkita yhtälön (3) siten, että hiukkanen on todennäköisyydellä 4/5 perustilassa ja todennäköisyydellä /5 ensimmäisessä viritetyssä tilassa Hiukkasen aaltofunktio kyseisessä ei-stationäärisessä tilassa on ajan funktiona iet / iet / Ψ ( xt, ) e ħ ħ = φ + e φ 5 5 b) Hiukkasen keskimääräinen energia = energian odotusarvo = perustilan energia x 4/5 ja ensimmäisen virittetyn tiaaln energia x /5 ts:

5 4 8 π ħ E = E + E = ma VAKIOITA me = 9, 09 0 kg mp =,675 0 kg mn =, kg amu =, kg e =,60 0 C c =, m/s ħ =, Js µ B = 9,73 0 JT ε0 = 8, C N m Ke = / 4πε 0 µ 0 =,566 0 mkgc Km = µ 0 / 4π γ = 6,670 0 Nm kg NA = 6,05 0 mol R = 8,343 JK mol k =, JK