7 Jäykän kappaleen dynamkka (Rgd-body dynamcs) 7. Jäykät kappaleet (rgd bodes) Jäykkä kappale: sellanen monesta hukkasesta koostuva kappale, jossa hukkasten välset etäsyydet pysyvät muuttumattomna kappaleen lketlasta ta kappaleeseen vakuttavsta vomsta huolmatta. Kappaleen lketlan määräävät ulkosen voman vakutus sekä ulkosen voman momentt dp dt = F ulk dl dt = M ulk Jos kappaleen massa on M, on sen nopeus F ulk = M dv cm dt Jos kappale jaetaan penn hukkasn, ja kuhunkn nstä vakuttaa panovoma F = m g, on voman momentt orgon suhteen M netto = r m g Jäykän kappaleen massakeskpsteen pakkavektor R cm on m r R cm = = m r m M Hukkasen pakkavektor on r = R cm + r ja voman momentt on tällön M netto = r m g = (R cm + r ) m g = R cm m g + r m g = R cm g ( ) m + m r g Massakeskpstekoordnaatstossa m r = jollon M netto = R cm Mg
7.2 Jäykken kappaleden tasapano (Rgd bodes n equlbrum) Levossa olevalle jäykälle kappaleelle pätee v =. Tästä seuraa P = ja L =. Jäykän kappaleen tasapanoehdot ovat: F ulk = ja T ulk = Tarkastellaan muutamaa tasapanoesmerkkä ) palkk 2) senään nojaavat tkkaat (harjotus) 7.3 Voman momentt (Torque) Koostukoon kappale hukkassta, joden massat ovat m, m 2,..., john kohdstuu vomat F, F 2,... Tällön kappaleeseen vakuttava voman momentt psteen O suhteen on ja psteen O suhteen M netto = M netto = r F r F Koska hukkasen pakkavektor O:n suhteen on r = R + r, saadaan M netto = r F = (R + r ) F =... = M netto + R F netto Seuraus: Jos F netto =, pätee M netto = M netto. Jos ss kappaleeseen vakuttaven vomen summa on nolla, on nettovomen momentt rppumaton koordnaatston valnnasta! Pelkkä ehto F ulk = e takaa, että kappale ols tasapanossa: Jos kappaleeseen vakuttaa kaks yhtä suurta, mutta vastakkasta vomaa, nden summa on nolla. Van jos vomat vakuttavat samalla suoralla on voman momentt myös nolla, muuten e. 7.4 Jäykken kappaleden dynamkka (Dynamcs of rgd bodes) Olkoon C jäykän kappaleen massakeskpste ja O koordnaatstomme orgo. Samme edellä lausekkeen M ulk = M ulk + R cm F ulk 2
mssä M ulk = r F on vomen momentten summa psteen C suhteen. Tällön dl dt = M ulk + R cm F ulk = M ulk + R cm M dv cm dt Sten jäykän kappaleen lke koostuu a) M-massasen hukkasen lkkeestä ulkosen voman F ulk alasena sekä b) pyörmslkkeestä massakeskpsteen suhteen momentn M ulk alasena! Voman momentta merktään myös T:llä ta τ:lla T = r F = M ulk Lke massakeskpsteen suhteen saadaan lausekkeesta dl dt = T ulk Esmerkknä voman vakutus pyörään, jossa on aksel keskellä. Mllon voman momentt on suurmmllaan? 7.5 Voman momentn mttaamnen: torso tasapano Mm. Cavendshn torsovaa alla vo mtata ylesen gravtaatovakon G arvon. Lue tse läp 7.6 Pyörmnen knteän akseln suhteen Jäykän kappaleen pyöressä knteän akseln ympär kaklla kappaleen osaslla on sama kulmanopeus ω ja ne lkkuvat ympyräratoja ptkn akseln ympär. Olkoon kappaleessa olevan hukkasen massa m ja sen kohtsuora etäsyys pyörmsakselsta r. Tällön sen tangentaalnen nopeus on v = ωr ja lkemäärämomentt akseln suhteen L = r m v. Ylesemmn valtaan koordnaatsto jossa hukkasen m pakkavektor on r. Tällön Edelleen L = r p = r m v L = r m ωr = ωm r 2 3
ja Saadaksemme koko kappaleen lkemäärämomentn, medän täytyy summata hukkaset L = ( ) ωm r 2 = ω m r 2 Tätä summalauseketta sanotaan htausmomentks (moment of nerta) akseln A suhteen ja I A = m r 2 Lkemäärämomentt vodaan myös krjottaa L = I A ω Lkemäärämomentt vodaan myös laskea kullekn hukkselle erkseen ja kokonaslkemäärämomentt on L = L + L 2 + L 3 +... = L Vektorna myös lkemäärämomentt on L = I A ω Musta: sekä ω että L ovat vektoreta! Ne evät välttämättä ole myöskään yhdensuuntasa! Htausmomentn I ykskkö on [I] = [m][r] 2 = kg m 2 7.7 Yhdensuuntasten akselen teoreema Stenern sääntö: Tarkastellaan jäykkää kappaletta ja snä kahta yhdensuuntasta aksela. Tonen käyköön massakeskpsteen C kautta ja tonen vakka psteen A kautta. Tällön hukkasen pakkavektor r kahdella lalla on kosnlauseen avulla ρ 2 = r 2 + l 2 2r lcosγ mssä l on akselen A ja C väl, r ja ρ kohtsuorat etäsyydet akselehn C ja A ja kulma γ on ρ :n vastanen kulma. (HUOM! Krjassa tämä on tehty väärn! Sellä kulma CAm = β ) Kerrotaan lauseke massalla m ja summataan kakken :den yl, jollon saadaan m ρ 2 = m r 2 + m l 2 m 2r lcosγ 4
= m r 2 + l 2 m 2l m r cosγ Merktään r cosγ = x, jollon saadaan m r cosγ = m x = koska tällanen massakeskpsteen suhteen otettu summa menee nollaks. Sten m ρ 2 = m r 2 + l 2 m = m r 2 + l 2 M Nän saadaan yhdensuuntasten akselen teoreema el Stenern sääntö ta Stenern teoreema I A = I C + Ml 2 Jäyklle kappalelle htausmomentt lasketaan yleensä ntegroden. Tällön pen massa m korvataan dm:llä ja summa ntegronnlla ja saadaan I = r 2 dm = r 2 ρdv ja laskut palautuvat yleensä massa-alkon ta tlavuusalkon löytymseen. Usen myös htausmomentt estetään muodossa I = MK 2 mssä K:ta kutsutaan pyörähdyssäteeks, sllä K:n dmenso on m. Usen myös erlasten kappaleden K 2 -arvoja on taulukotu. Käydään läp erlasa esmerkkejä. Ne ovat hukan vastaava kun massakeskpstelaskussa olleet esmerkt. Onhan peraate nässä sama. Koordnaatstoja Karteesnen koordnaatsto Tlavuuselementt karteessessa suorakulmasessa koordnaatstossa on dv = dx dy dz = dxdydz mssä pen ptuudenmuutos otetaan kunkn koordnaattakseln suuntaan Napakoordnaatsto ta sylnterkoordnaatsto Tässä radaalnen etäsyys r ja suuntakulma φ (x-akselsta postvseen kertosuuntaan) ovat kaks koordnaatta ja kolmas on sylntern akseln suuntanen koordnaatt. Olkoot kaks ensmmästä vakka xy-tasossa. Tällön kolmas on z-suuntaan 5
Tällön x = rcosφ, y = rsnφ ja z = z Tässä koordnaatstossa tlavuuselementt on dv = dr rdφ dz = rdrdφdz Pallokoordnaatsto Tässä radaalnen etäsyys r ja suuntakulma φ ovat kaks koordnaatta ja kolmas on ns. leveysaste θ Verrataan tlannetta maapallolla. Olkoot kaks ensmmästä vakka päväntasaajan tasossa. Tällön kolmas koordnaatt on leveysaste ta stten 9 - leveysaste. Jos θ on leveysaste, saadaan Tällön x = r cosθ cosφ, y = r cosθ snφ ja z = r snθ tosessa tapauksessa x = r snθ cosφ, y = r snθ snφ ja z = r cosθ Tässä koordnaatstossa tlavuuselementt on dv = dr rdφ rsnθdθ = r 2 snθdrdφdθ Prtäkää ana tlanne ja järkelkää koordnaatsto! Sylntern htausmomentt pyörähdysakseln suhteen Olkoon sylntern säde R ja ptuus L. Akseln x suhteen I = R r 2 dm Jälleen massaelementn (ta tlavuuselementn) valnta on oleellnen dm = ρdv = ρrdrdφl Ja saadaan 2π R R I = dφ r 2 rρdrl = 2πρL r 3 dr = 2πρL R4 4 = 2 πρlr4 Koska sylntern massa on M = ρv = ρπr 2 L saadaan I = 2 MR2 Sylntern pyörähdysakseln suuntaselle sylntern reunan kautta käyvälle aksellle y saadaan htausmomentt Stenern säännöllä: I = 2 MR2 + MR 2 = 3 2 MR2 Htausmomentteja er tlantessa ) l:n ptusen ja m-massasen tangon htausmomentt 6
2) r-sätesen, l-ptusen ja m-massasen sylntern htausmomentt 3) puolympyrän htausmomentt Homogeensen kuulan htausmomentt Tässä on esmerkk pallokkoordnaatston käytöstä. Sen vo ratkasta myös mulla tavolla. Olkoon massaelementt dm = ρ dr rsnθdφ rdθ = ρdrr 2 snθdφdθ. Integraalks esm. z-akseln suhteen tulee tällön Integraallle I z = R (rsnθ) 2 dm = r 2 sn 2 θρdrrsnθrdφdθ = 2π π R ρ dφ sn 3 θdθ r 4 dr π sn 3 θdθ tehdään muuttujan vahto λ = cosθ, jollon dλ = snθdθ Kun mustataan, että sn 2 θ = cos 2 θ, saadaan π π sn 3 θdθ = sn 2 θ( snθdθ) π = ( cos 2 θ)( snθdθ) = ( λ 2 )dλ = ( λ 2 )dλ = = 2 dλ 2 λ 2 dλ = 2 2/3 = 4/3 Htausmomentt-ntegraalsta tulee nän 2π π R I z = ρ dφ sn 3 θdθ r 4 dr = ρ 2π 4 3 R 5 5 = 4 3 πr3 ρ 2R2 5 = 2 5 MR2 Levymäsen kappaleen htausmomentt 7
Tarkastellaan melvaltasta levymästä kappaletta, joka on x-y-tasossa. Sen htausmomentt z-akseln suhteen saadaan I z = m r 2 = m (x 2 + y 2 ) = m x 2 + m y 2 = I x + I y Levymäselle kappaleelle saadaan ss I z = I x + I y 7.8 Jäykän kappaleen lkemäärämomentn sälymnen Jos ulkonen voma vakuttaa jäykkään kappaleeseen, sen momentt T ulk = dl dt = d(iω) dt = I dω dt = Iα mssä α on jäykän kappaleen kulmakhtyvyys. Jos puolestaan ulkonen voma e vakuta kappaleeseen, on α = jollon T ulk = = L = Iω = vako Htausmomentt vo muuttua. Jos se muuttuu, sälyy lkemäärämomentt edelleen vakona ja L = I ω = I 2 ω 2 Pyörmslkkeen Newtonn laks saadaan T ulk = Iᾱ 7.9 Jäykän kappaleen mekaansen energan sälymnen Jäykän kappaleen hukkaselle saadaan kneettseks energaks K = 2 m v 2 = 2 m r 2 ω 2 8
ja koko jäykän kappaleen pyörmslkkeen lke-energaks saadaan summaamalla K = 2 m r 2 ω 2 = 2 ω2 = 2 I Aω 2 m r 2 mssä jäykän kappaleen pyörmsaksel käy melvaltasen psteen A kautta. Jos sovelletaan yhdensuuntasten akselen teoreemaa, ja srrytään akselsta A massakeskpsteen kautta käyvään akseln, jonka etäsyys on l, on K = 2 I Aω 2 = 2 (I cm + Ml 2 )ω 2 = 2 I cmω 2 + 2 M(l2 ω 2 ) = 2 I cmω 2 + 2 MV 2 cm Mekaansen energan sälymnen etenevän ja pyörvän kappaleen tapauksessa on E = 2 MV 2 cm + 2 Iω2 + U(R cm ) = vako mssä vopeus ja pakka on otettu massakeskpsteen suhteen. Vastaava Hamltonn funkto on H(p, L, r) = p2 2M + L2 + U(r) = vako 2I Esmerkknä kaltevaa tasoa alaspän pyörvä kappale sekä fyskaalnen helur. Katso krjasta s. 6 ja 6. 7. Voman momentn tekemä työ Fyskaalen työ dw = F ds. Vastaavast voman momentn voma vo tehdä työtä pyörvään kappaleeseen. Tarkastellaan tlannetta tarkemmn. Vakuttakoon pyörvään kappaleeseen kaks yhtä suurta, mutta vastakkassuuntasta vomaa F kuva 7.23 tavalla. Olkoon tosen voman etäsyys pyörmsakselsta R ja tosen R 2. Voman F tekemä mekaannen työ on mssä d on vomen välnen etäsyys. Sten dw = F s 2 F s = F (R 2 R )cosφ θ = F d θ W = T θ Ylesemmn työ saadaan ntegraalna 9
W = T dθ Potentaalenerga saadaan esm. torson tapauksessa U(θ) = θ T dθ = θ cθdθ θ = c θdθ = 2 cθ2 joka vastaa jousen tapauksessa potentaalenergaa U(x) = /2kx 2 Torsovärähtelyt Torsovärähtelyjä saadaan akaan kun torsolankaan rpustetaan jäykkä kappale, jota pokkeutetaan heman kertämällä kappaletta ja stten päästetään vapaast lkumaan Kertokulmalla θ voman monett T = cθ ja T = dl dt = d dω (Iω) = I dt dt = Iα = I d2 θ dt 2 = cθ Tässä I on jäykän kappaleen htausmomentt torsolangan kautta käyvän akseln suhteen. Saamme lkeyhtälön d 2 θ dt 2 + c I θ = joka on harmonsen lkeyhtälön tyyppnen Saamme helahduksen jaksonajaks I T = 2π c Torsohelurssakn mekaannen energa sälyy ja E = 2 Iω2 + 2 cθ2 = vako edellyttäen, ette systeemssä ole vamentava voma Pyörmsteho Teho on akasemmn ollut P = dw/dt el työ akaykskössä, joten P = dw dt = T dθ dt = T ω P = T ω Tämä vastaa translaatolkkeen lauseketta P = F v
7. Gyroskoopp Olemme nähneet, että pyörmslkkeessä lkemäärämomentt L on L = I A ω ja että voman momett T on T ulk = I A ᾱ Mutakaa: I A :ta vodaan kästellä skalaarna van ns. pääakselmuodossa. Ylesest I A tensor! on Jos pyörmsakseln suunta muuttuu, puhutaan hyrrälkkeestä. Vakka kulmanopeus pysyy vakona, sen suunnan muutos aheuttaa kulmakhtyvyyttä. Olkoon mellä karteesnen koordnaatsto, jossa x ja y ovat vaakatasossa ja z pystysuoraan ylöspän. Olkoon hyrrän aksel el vektor ω vaakasuoraan y-suuntaan. Pyörköön hyrräkekko x-z-tasossa. Tällön voman momentt pyörmsakseln vääntää ω:aa ω :ks, jollon ω = ω ω Hyrrään muodostuu voman momentt T = r W mssä r on hyrrän massakeskpsteen pakkavektor ja W hyrrän pano sen massakeskpsteessä. Nän voman momentt vakuttaa hyrrään sten, että se rupeaa prekessomaan z- akseln ympär. Olkoon hyrrän pyörmsakseln kaltevuus z-akseln nähden θ. Tällön saadaan T = mg d snθ mssä m on hyrrän massa ja d on massakeskpsteen etäsyys orgosta. Lkemäärämomenttvektorn kärk kertää sten ympyrää z-akseln ympär. Kertäköön se kulman dφ ajassa dt el ω P = dφ dt Tällön dl = (Lsnθ)(ω P dt) saadaan Mutta koska dl = Tdt ω P Lsnθ = T
Prekesson kulmanopeudeks ω P saadaan ω P = T Lsnθ = mgdsnθ Iωsnθ = mgd Iω mssä I on hyrrän htausmomentt hyrrän pyörmsakseln suhteen. Tarkkaan ottaen kulma θ e pysy vakona prekessossa, vaan helahtelee penessä rajassa. Tätä helahtelua kutsutaan nutaatoks. Gyroskooppeja käytetään avaruuslatteden stablontn sekä mm lentokoneden navgontlattessa. Pyörvä kappale kaltevalla tasolla Tarkastellaan kaltevalla tasolla m-massaseen kappaleeseen vakuttava voma: ) panovoma = mg 2) pnnan tukvoma N 3) pnnan suuntanen ktkavoma F k Saadaan lkeyhtälöt: mgsnθ F k = ma x mgcosθ N = ma y Koska y cm on vako v y =, a y = N = mgcosθ saadaan pyörmslkkeen lkeyhtälöks T = F k r = I cm α Ehto slle, että kappale pyör lukumatta on F k < µ s N ja saadaan Sjotetaan ylemmäks ja F k = I cmα r = I cma x r 2 ma x = mgsnθ I cma r 2 Massakeskpsteen khtyvyydeks a x saadaan sten a x = gsnθ + I cm mr 2 Sten a x = vako ja samon α = vako el kappale ver vakokulmakhtyvyydellä alas kaltevaa tasoa. Samalla sen massakeskpsteen khtyvyys x-suuntaan on vako. Lsäys htausmomenttn: Lke kolmulottesest 2
Htausmomentt melvaltasen suuntasen akseln suhteen saadaan I = m r 2 mssä r on hukkasen kohtsuora etäsyys pyörmsakselsta Olkoon n pyörmsakseln ω suuntanen ykskkövektor, r hukkasen pakkavektor ja v sen nopeusvektor ja θ pakkavektorn ja pyörmsakseln välnen kulma Tällön r = r n ja Olkoon r = x + y j + z k n = cosα + cosβj + cosγk mssä α on x-akseln ja pyörmsakseln ω välnen kulma, β on y-akseln ja ω:n välnen kulma ja γ on z-akseln ja ω:n välnen kulma. r :n nelöks saadaan = r 2 = r n 2 j k x y z cosα cosβ cosγ 2 = (y cosγ z cosβ) 2 + (z cosα x cosγ) 2 + (x cosβ y cosα) 2 Tästä saadaan kertomalla massalla ja termejä järjestelemällä I = m (y 2 + z 2 )cos 2 α + m (x 2 + z 2 )cos 2 β + m (x 2 + y 2 )cos 2 γ+ 2 m y z cosβcosγ 2 m x z cosαcosγ 2 m x y cosαcosβ Lausekkeen nelötermt ovat htausmomentteja kolmen pääakseln suhteen el I xx = m (y 2 + z 2 ) I yy = I zz = m (x 2 + z 2 ) m (x 2 + y 2 ) Sekatermt ovat htaustuloja I xy = m x y = I yx 3
I xz = m x z = I zx I yz = m y z = I zy Htausmomentt melvaltasen akseln suhteen on sten I = I xx cos 2 α + I yy cos 2 β + I zz cos 2 γ+ 2I xy cosαcosβ + 2I xz cosαcosγ + 2I yz cosβcosγ ja Jos merktään Ī = n = I xx I xy I xz I yx I yy I yz I zx I zy I zz cosα cosβ cosγ saadaan I = n T Īn mssä n T on matrsn n transponotu matrs (vaakarvt on vahdettu pystyrveks). Lkemäärämomentt L, ta sen komponentt saadaan ylesest L x L y L z = I xx I xy I xz I yx I yy I yz I zx I zy I zz ω x ω y ω z Lopuks katsotaan jokn esmerkk Esm. Laske ohuen suorakulmasen levyn htausmomentttensor. Olkoon levyn svujen ptuudet a ja b ja olkoon levyn massa m. Olkoon velä levyn paksuus ja theys ρ. I xx = a y 2 dm = a y 3 3 bpρ = 3 ma2 I xy = a b xydm =... = 4 mab muut vastaavast. Lopuks saadaan htausmomentks tensor 4
3 ma2 mab 4 Ī = mab 4 3 mb2 3 m(a2 + b 2 ) = m 3 a2 ab 4 ab 4 3 b2 3 (a2 + b 2 ) Esm. Olkoon pyörmsakseln suunta sellanen, että α = 6, β = 3 ja γ = 9 Tällön n = (/2 3/2 ) ja saamme htausmomentks Ī = m ( 2 3 2 ) 3 a2 ab 4 ab 4 3 b2 3 (a2 + b 2 ) 2 3 2 ( a 2 = m 2 + b2 4 ab ) 3 8 Jos akselt käyvät massakeskpsteen kautta, menevät htaustulot nollks ja htausmomentttensor yksnkertastuu muotoon Ī = m 2 a2 2 b2 2 (a2 + b 2 ) 5