Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r

Transkriptio

1 Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta. Kappaleen paikkavektori Ñrˆt voidaan ilmaista Ñrˆt rˆcosˆϕˆt î sinˆϕˆt ĵ Todetaan, että tämän vektorin itseisarvo (magnitudi) on koko ajan r. SÑrS» r2 cos 2ˆϕ r 2 sin 2ˆϕ» r2ˆcos 2ˆϕ sin 2ˆϕ º r 2 r Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r dñr dñr d 2 Ñr 2 r dϕ sinˆϕˆt î r dϕ cosˆϕˆt ĵ rω sinˆϕˆt î rω cosˆϕˆt ĵ Ña r ω 2 rˆcosˆϕˆt î sinˆϕˆt ĵ a r ω 2 rê r Kiihtyvyysvektorin suunta osoittaa siis aina origoon (vastakkaissuuntainen Ñr-vektorin kanss ja magnitudi on ω 2 r. Kehävauhti v voidaan ilmaista kulmanopeuden ja säteen avulla: Vakiokulmanopeudella ω ϕ t. Kertomalla molemmat puolet säteellä r saadaan ωr d t v ja ω v r. Keskeiskiihtyvyyden suuruus voidaan nyt ilmaista ratavauhdin avulla a Ù ω 2 r v2 r. Tähden havaittiin kiertäneen puolet radastaan 9 vuoden aikana. Ratavauhti saadaan esim. jakamalla kuljettu matka käytetyllä ajalla: 2 2πR t π m ˆ d 24h 3600s m s m s Tämä on noin puoli prosenttia valon nopeudesta (.5 06 m s m s 0, 005.

2 b) Koska tähti pysyy ympyräradalla, vaikuttaa siihen ilmeisesti gravitaatiovoima F Ñ g GMm R ˆr. 2 Tämä voima aiheuttaa aiemmin lasketun keskeiskiihtyvyyden. Sijoitellaan lukuja... S Ñ FS g m GM v 2 Ð R 2 R M v2 R G M ˆ.5 06 m s m m 3 kg s kg Linnunradan keskellä oleva mörkö on massaltaan viisi miljoonaa kertaa suurempi kuin Aurinko kg kg 2

3

4 Vuorovaikutukset ja kappaleet - syksy 207 Laskuharjoitus 4 - Tehtävä 4 - Malliratkaisu Ratkaisuehdotus: mÿ = ky(t) Tällaisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu voidaan esittää muodossa y(t) = A cos(ωt φ), missä A on värähtelyn amplitudi, ω kulmataajuus ja φ vaihekulma. Ratkaisun toinen aikaderivaatta antaa värähtelijän kiihtyvyyden: Kun puupala on tasapainoasemassa on se myös levossa, joten siihen kohdistuvien voimien summa on nolla. Merkitään puupalan tiheyttä ρ p ja olkoon muut symbolit tehtävänannon mukaisia. Näin ollen dynamiikan toisen pääsäännön mukaan: Σ F = 0 N + G = 0 ρ 0 Ayg = ρ p Ahg y = ρ p ρ 0 h muutetaan skalaariksi Tulos vaikuttaa järkevältä, koska kun ρ p < ρ 0 = y < h, jolloin kappale kelluu. Ja vastaavasti kun ρ p > ρ 0 = y > h, jolloin kappale uppoaa. a = ÿ = ω 2 A cos(ωt φ) = ω 2 y(t) Josta saadaan kätevästi yhteys värähtelijän kiihtyvyyden ja värähdyksen kulmanopeuden välille. Merkitään puupalan poikkeutuksen suuruutta tasapainoasemasta muuttujalla y 0. Tasapainoasema on johdettu a-kohdassa. Kun puupalaa painetaan alaspäin kohdistuu siihen lisää nostetta. Tämän suuruus on muotoa: F = ρ 0 gay 0 (t) Kun puupalasta päästetään irti, saa ylimääräinen noste dynamiikan toisen pääsäännön mukaisesti palan kiihtyvään liikkeeseen: b) Laskemisen helpottamiseksi harmonisesti värähtelevälle systeemille voidaan johtaa kiihtyvyyden ja kulmataajuden välille relaatio. Tarkastellaan yksinkertaista harmoonista systeemiä, jossa kappale poikkeutetaan y-suunnassa. Tällöin kappaleen liikeyhtälö on muotoa F = ma ρ 0 gay 0 (t) = ρ p Aha ρ 0g ρ p h y 0(t) = a ρ 0 g ρ p h = ω2 ρ0 g ω = ρ p h a = ω 2 y(t)

5 Vuorovaikutukset ja kappaleet - syksy 206 Laskuharjoitus 4 - Tehtävä 0 - Malliratkaisu Ympyräliikettä tarkasteltiin luennolla koordinaatistossa, jossa yksikkövektori û r on paikkavektorin r suuntainen ja jossa yksikkövektori û t on nopeusvektorin suuntainen. Esitetään yksikkövektorit û r ja û t (x, y)-koorinaatistossa, kun r-vektorin kulma x-akselin kanssa on ϕ. Vektorit saadaan ilmaistua hyvin yksinkertaisesti käyttäen hyödyksi tietoa yksikköympyrän trigonometriasta. Sovitaan, että û x ja û y ovat akselien suuntaiset yksikkövektorit. Tällöin pätee û r = cos (ϕ) û x + sin (ϕ) û y () ja û t = cos (ϕ + π/2) û x + sin (ϕ + π/2) û y = sin (ϕ) û x + cos (ϕ) (2) b) Osoitetaan yksikkövektoreihin liittyvät relaatiot derivoimalla. ja dû r dϕ = sin (ϕ) û x + cos (ϕ) û y = û t (3) dû t dϕ = cos (ϕ) û x + sin (ϕ) û y = (cos (ϕ) û x + sin (ϕ) û y ) = û r (4)