MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

Transkriptio

1 MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A24 Kevät / 18

2 Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa 1/5 Tutkitaan funktiota F: D G, missä D ja G ovat R n :n osajoukkoja ja n 2. Tällaista funktiota kutsutaan myös vektorikentäksi. Oletetaan, että funktion F kaikki osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia. Lisäksi oletetaan, että F on bijektio, jokaista pistettä y G vastaa yksikäsitteinen piste x D, jolle F(y) = x. Tällöin G = F(D). v y u x F(u, v) = ( x(u, v), y(u, v) ). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A24 Kevät / 18

3 Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa 2/5 Tutkitaan aluksi muuttujanvaihtoa tasointegraalin tapauksessa: f (x, y) dx dy =??? du dv. D Tarvitaan tieto siitä, miten pinta-ala skaalautuu funktiossa F = (u, v). v v+dv u u+du G v+dv b v (u,v) u a u+du Kuvassa a (vast. b) sijaitsee käyrällä, jolla v (vast. u) on vakio. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A24 Kevät / 18

4 Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa 3/5 Koska funktiolla F on jatkuvat osittaisderivaatat, käyrät ovat sileitä. Vektorien a ja b ei tarvitse olla keskenään kohtisuorassa, vaikka sovelluksissa näin usein onkin. Kirjoitetaan formaalisti a = dx i + dyj, ja myös dx = x du + x dv ja dy = du + dv. Edettäessä vektorin a suuntaan, koordinaati v on vakio ja siten dv =. Saadaan a x du i + du j. Samaan tapaan voidaan päätellä, että b x dv i + dv j. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A24 Kevät / 18

5 Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa 4/5 Approksimaatiokaava pinta-alaelementin da muutokselle siis on i j k da a b = x du du x dv dv Käytetään merkintää (huom. neliömatriiseille det A = det A T ) x x du dv := det J F (x, y) du dv. Determinantti det J F (x, y) on funktion F: R n R n Jacobin determinantti. Sille käytetään myös merkintää det J F (x, y) = (x, y) (u, v), kun F(x, y) = ( u(x, y), v(x, y) ). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A24 Kevät / 18

6 Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa 5/5 Olkoon F: D R n R n, n 2. Matriisi F 1 F 1 x 1 x n J F (x) =..... F n F n, x = (x 1,..., x n ), x 1 x n on funktion F Jacobin matriisi. Jacobin determinantin itseisarvo kertoo pinta-alan (yleisemmin n-ulotteisen tilavuuselementin) muutoksen, joten f (x, y) det J F (x, y) dx dy = g(u, v) du dv, D missä g(u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) ja G = F(D). Etumerkki kertoo, onko F suunnistuksen säilyttävä vai kääntävä. Itseisarvo tarvitaan, koska pinta-alalla (tilavuudella) ei ole suuntaa. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A24 Kevät / 18 G

7 Esimerkki 1 1/3 Lasketaan neljän paraabelin y = x 2, y = 2x 2, x = y 2 ja x = 3y 2 rajoittamaan alueen D pinta-ala. Huomataan, että karteesiseen koordinaatistoon päästään muunnoksella F = ui + vj, u(x, y) = x2 y 2, v(x, y) = y x. y v 1 1/3 x 1/2 1 u Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A24 Kevät / 18

8 Esimerkki 1 2/3 Halutaan kuitenkin muunnos F 1 : G D, joka vie karteesiset koordinaatit alkuperäiseen tilanteeseen. Lineaarialgebran perusteella det J F 1(u, v) = 1 det J F (x, y). Lasketaan Saadaan myös x = 2x y, x = y2 x 2, = x2 y 2. = 2y x. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A24 Kevät / 18

9 Esimerkki 1 3/3 Lasketaan edelleen det J F (x, y) = x x = 2x y y 2 x 2 x2 y 2 2y x Tulokseksi siis saadaan 1 dx dy = = 4 1 = 3, eli det J F 1(u, v) = 1 3. D G 1 3 du dv = = 1 9. Tavallisimmat sovelluksissa esiintyvät muuttujanvaihdot ovat suoraviivaisempia kuin tämän esimerkin tapaus. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A24 Kevät / 18

10 Napakoordinaatit 1/2 y (x,y) r θ x Piste (x, y) R 2 voidaan kirjoittaa muodossa (r, θ), missä r > ja θ < 2π. Alkeisgeometriasta saadaan kaavat { x = r cos θ y = r sin θ, kun r 2 = x 2 + y 2. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A24 Kevät / 18

11 Napakoordinaatit 2/2 Jacobin determinantille saadaan kaava (x, y) (r, θ) = x x r θ = cos θ sin θ Siten r θ r sin θ r cos θ = r. dx dy = (x, y) (r, θ) dr dθ = r dr dθ. Integraali napakoordinaateissa voidaan siis laskea f (x, y) dx dy = g(r, θ)r dr dθ, missä g(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ). D G Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A24 Kevät / 18

12 Esimerkki 2 Olkoon D = {(x, y) R 2 : 1 < x 2 + y 2 < 4}. Lasketaan napakoordinaateissa integraali 1 I = x 2 dx dy. + y 2 Saadaan I = ˆ 2π ˆ 2 1 D = 2π ln r ˆ r dr dθ = 2π r 2 1 r dr 2 r=1 = 2π ln 2. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A24 Kevät / 18

13 Esimerkki 3 1/2 Integraali ˆ e x2 dx on erittäin tärkeä mm. todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä. Tämä integraali on vaikea, koska integraalifunktiota ei ole mahdollista kirjoittaa alkeisfunktioiden avulla. Ylläoleva integraali on kuitenkin mahdollista laskea seuraavan tempun avulla: Huomataan aluksi, että Nyt I = ˆ ˆ I = ˆ 2π ˆ ( ˆ e x2 y 2 dx dy = e r 2 r dr dθ = 2π 2 e dx) x2. ˆ re r 2 dr. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A24 Kevät / 18

14 Esimerkki 3 2/2 Sijoittamalla t = r 2, dt = 2r dr, saadaan ˆ re r 2 dr = 1 ˆ e t dt = e t + C = 1 2 e r 2 + C. Siten I = 2π lim R e r 2 R r= = π. Näin ollen, alkuperäisen integraalin arvo on ˆ e x2 dx = π. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A24 Kevät / 18

15 Muuttujanvaihto avaruusintegraalissa Yleinen idea: Muunnoskaavat x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w). Tällöin missä dx dy dz = (x, y, z) (u, v, w) du dv dw, (x, y, z) (u, v, w) = x z x z x w w z w Jos siis g(u, v, w) = f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), niin f (x, y, z) dx dy dz = g(u, v, w) (x, y, z) (u, v, w) du dv dw. D G. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A24 Kevät / 18

16 Sylinterikoordinaatit Koordinaatit (r, θ, z), missä < r, θ < 2π, z R. z v (x,y,z) θ r y Muunnoskaavat: x x = r cos θ, y = r sin θ, z = z. Muunnoksen Jacobin determinantiksi saadaan dx dy dz = (x, y, z) (r, θ, z) dr dθ dz = r dr dθ dz. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A24 Kevät / 18

17 Pallokoordinaatit Koordinaatit (r, θ, φ), missä < r, θ < 2π, φ < π. z v (x,y,z) φ r θ y Muunnoskaavat: x x = r sin φ cos θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos φ. Muunnoksen Jacobin determinantiksi saadaan dx dy dz = (x, y, z) (r, θ, φ) dr dθ dφ = r 2 sin φ dr dθ dφ. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A24 Kevät / 18

18 Esimerkki 4 Lasketaan R-säteisen pallon B 3 (R) tilavuus: = B 3 (R) ˆ R ˆ 2π = 1 dx dy dz = r 2 cos φ ˆ R ˆ R ˆ 2π ˆ π π φ= dθ dr = 4πr 2 dr = 4πr 3 3 R r= r 2 sin φ dφ dθ dr ˆ R ˆ 2π = 4πR3 3. 2r 2 dθ dr Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A24 Kevät / 18