Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Transkriptio

1 MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx, b) π e x sin x dx. Vihje: b-kohdassa on tarkoitus saada alkuperäinen integraali ilmestymään myös oikealle puolelle, jolloin sen voi ratkaista yhtälöstä. Ratkaisu : ja saadaan b) Valitaan nyt a) Osittaisintegroidaan valinnoilla { f (x) = sin(x) f(x) = cos(x) g(x) = x g (x) = π π x sin(x) dx = x ( ) cos(x) π π ( ) cos(x) dx = (π cos(π) ) + cos(x) dx = π + π sin(x) = π 4 + (sin π sin ) 4 = π. { f (x) = sin x f(x) = cos x g(x) = e x g (x) = e x. Integroimalla osittain kerran saadaan π π e x sin x dx = e x ( cos x) π = (e π cos π e cos ) + = e π + + π e x cos x dx. e x ( cos x) dx π e x cos x dx

2 MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 sovelletaan osittaisintegrointia vielä kerran valinnoilla { f (x) = cos x f(x) = sin x g(x) = e x g (x) = e x. Merkitään tehtävän alkuperäistä integraalia symbolilla I. Näin ollen pätee ja saadaan yhtälö I =e π + + π e x cos x dx π =e π + + e x sin x π e x sin x dx =e π + + e sin e π sin π I I = e π + I. Ratkaisemalla tästä I saadaan π e x sin x dx = eπ + Tehtävä : Normaalijakautuneen satunnaismuuttujan varianssin laskemiseksi tarvitaan integraalia x e x dx. Laske tämä osittaisintegroimalla, kun tiedetään, että Vihje: x e x = x xe x. e x dx = π. Ratkaisu : Integroidaan osittain. Merkitään { f (x) = xe x f(x) = e x g(x) = x g (x) =. Integraalille saadaan arvo x xe x dx = = ( π =. xe x ( ) e x dx ) lim x xe x lim x xe x + π

3 MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Yllä molemmat raja-arvot ovat nollia. Tämä seuraa siitä, että e x > x kaikilla x R. Nyt pätee arvio x xe x = < x e x x = x, joten kun x ±, pätee xe x. Tehtävä 3: Laske integraalit 4 sijoittamalla x = t ja 5y + 4 = u. e x dx ja y 5y + 4 dy Ratkaisu 3: Sijoitetaan ensimmäiseen integraaliin x = t. Uudeksi differentiaaliksi saadaan dx dt = d dt t = t dx = t dt ja muuttujan t integroimisrajoiksi = ja 4 =. Integraali on täten 4 e x dx = e t t dt = te t dt. Yllä itseisarvot voitiin poistaa, sillä muuttuja t on epänegatiivinen integroimisvälillä. Integroidaan nyt osittain merkitsemällä { f (x) = e t f(x) = e t ja saadaan te t dt = te t g(x) = x g (x) = e t dt = 4e e t = 4e e + = e +. Tehtävän toisessa integraalissa huomataan ensiksi, että integroimisvälillä ei ole nimittäjän nollakohtia, joten integraali on määritelty tavallisessa mielessä. Differentiaaliksi saadaan dy du = d du 5 (u 4) = 5 u dy = 5 u du Integroimisrajat muuttujalle u ovat = ja = 3 (molemmissa valittiin positiivinen neliöjuuri). Integraali on täten y 3 dy = 5y + 4 u 4 5 u 5 u du = u 4 du = u3 4u = = 4 75

4 MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Tehtävä 4: Laske integroimalla R-säteisen ympyrän pinta-ala tulkitsemalla se käyrien y = ± R x väliin jääväksi pinta-alaksi. Vihje: sijoitus x = R sin t ja trigonometrian kaava cos t = ( + cos(t)). Ratkaisu 4: Laskettava integraali on R R R x ( R R R x ) dx = R x dx = 4 R x dx Tehdään vihjeen mukainen muuttujanvaihto. Integroimisen alarajaksi saadaan arcsin R ylärajaksi arcsin R = arcsin = π. Lasketaan vielä muuttujaa t vastaava differentiaali. R Integraaliksi saadaan 4 R dx dt R x dx = 4 π/ R = R cos t dx = R cos t dt R R sin t R cos t dt = 4 π/ π/ π/ = 4R cos t, dt = 4R ( + cos t) dt π/ π/ = R + cos t dt = R t + sin t = R ( π + sin sin π ) = R π = πr. R cos t R cos t dt = ja Tehtävä 5: Oletetaan tunnetuksi, että e t dt = π. Osoita muuttujanvaihtoa t = (x µ)/(σ ) käyttämällä, että normaalijakauman N(µ, σ ) tiheysfunktiolle f(x) = σ /σ e (x µ) π pätee f(x) dx = ja (x µ) f(x) dx = σ. Huom: Voit oikaista ilman tarkkaa epäoleellisen integraalin määritelmää. Ratkaisu 5: Muuttujanvaihdossa alarajaksi tulee ja ylärajaksi. Muuttujaa t vastaava differentiaali saadaan helpoiten lausumalla ensin muuttuja x muuttujan t avulla. Muuttujan t lausekkeesta voidaan ratkaista x = σ t + µ ja differentiaaliksi saadaan dx dt = σ dx = σ dt 4

5 MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7. Ensimmäinen integraali: σ π Toinen integraali: σ π e (x µ) /σ dx = σ π Integroimalla osittain saadaan e t σ dt = π (x µ) e (x µ) /σ dx = π σ π t e t dt = σ π π = σ. σ = σ π e t dt = π π =. t e t dt. Tässä näytettiin, että normaalijakauman varianssi on tiheysfunktiossa esiintyvä luku σ. Tehtävä 6: Laske osamurtohajotelmaa käyttäen a) x + x + x dx, b) 3 x x 3 x + x dx. Ratkaisu 6: a) Nimittäjällä on nollakohdat x = ja x =. Hajotetaan integroitava lauseke osamurtohajotelmalla: x + x + x = A x + B x + = A(x + ) + Bx x(x + ) = (A + B)x + A x + x Osoittajien on oltava samat, joten kertoimille A ja B saadaan yhtälöpari { { A + B = A = / A = B = /. Lasketaan integraali sijoittamalla saatu hajotelma x + x + x dx = x + x + dx = x dx + x + dx = ln x dx + ln x + dx = (ln ln + ln 4 ln 3) = ln 8 3 b) Nimittäjän nollakohdat ovat nyt x = ja x =, missä x = on kaksinkertainen nollakohta. Osamurtohajotelmalla lauseke saadaan muotoon x x 3 x + x =A x + B x + C (x ) = A(x ) + Bx(x ) + Cx x(x ) = (A + B)x + (C A B)x + A B x 3 x + x 5

6 MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Kertoimille saadaan yhtälöryhmä A + B = C A B = A = A = B = C =. Lasketaan integraali sijoittamalla saatu hajotelma 3 x 3 x 3 x + x dx = x + x + (x ) dx = 3. kertaluvun differentiaaliyhtälö ln x + ln x ( ) x = ln 3 + ln + ln ln + / = ln 6 9. Palautettava tehtävä 7: Alla olevassa kuviossa on differentiaaliyhtälöön y = ( x)y liittyvä suuntakenttä (= ratkaisukäyrien tangenttivektoreita). a) Määritä suuntakentän pisteeseen (, ) liittyvä vektori suoraan differentiaaliyhtälöstä päättelemällä (ts. ratkaisematta yhtälöä). b) Määritä kuvion perusteella alkuarvoa y() = vastaavalle ratkaisulle likiarvo y(,5) ja alkuarvoa y() = vastaavalle likiarvo y(3) (esim. puolen yksikön tarkkuudella). c) Osoita (yhtälöä ratkaisematta), että kaikilla ratkaisuilla on maksimi kohdassa x =. 6

7 MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Ratkaisu 7: a) Derivaatan arvo pisteessä x =, y = voidaan laskea suoraan differentiaaliyhtälön avulla y = ( ) = Pisteeseen liittyvä (yksikkö-)suuntavektori on täten (, )/ b) Suuntakenttää seuraillen alkuarvoa y() = vastaava ratkaisu on likimain y(, 5) ja alkuarvolle y() = pätee y(3), 5. Tarkat ratkaisut on piirretty oheiseen kuvaan c) Yhtälöstä nähdään suoraan, että kun x =, tai y(x) = derivaatta y (x) on nolla. Koska y on aina positiivinen (poislukien tapaus y(x) = ), määrää tekijä x derivaatan merkin. Derivaatta on siis positiivinen (funktio kasvaa), kun x < ja negatiivinen (funktio vähenee), kun x >, joten x = on jokaisen ratkaisukäyrän maksimikohta. Palautettava tehtävä 8: a) Ratkaise separoituva differentiaaliyhtälö y = e x+y alkuehdolla y() =. Millä välillä ratkaisu on määritelty? b) Ratkaise differentiaaliyhtälö y = (x y) +. Huomioi myös erikoisratkaisu. Vihje: Käytä apufunktiota u(x) = x y(x), jolle yhtälön saa separoituvaan muotoon. Ratkaisu 8: a) Ratkaistaan separoimalla. Yhtälöllä ei ole erikoisratkaisuja, sillä e y on aina positiivinen. y = e x+y e y y = e x e y dy = e x dx e y = e x + C y = ln( e x C) 7

8 MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Ratkaistaan kerroin C alkuarvon y() = avulla. y() = ln( e C) = C = C = Yhtälön ratkaisu on täten y(x) = ln( e x ) ja tämä ratkaisu on määritelty, kun e x > eli kun x < ln. b) Käytetään apufunktiota u(x) = x y(x). Derivaatta tälle on u = y eli voidaan lausua ratkaisun y derivaatta muodossa y = u. Sijoitetaan nämä differentiaaliyhtälöön. y = (x y) + u = u + u = u Jotta voidaan jakaa funktio u yhtälöstä, on oletettava, että u(x). Tapauksessa u(x) = saadaan erikoisratkaisu, jota tarkastellaan jäljempänä. u u = u du = dx u = x + C u = x + C Sijoitetaan tähän funktion y lauseke y(x) = x u(x) ja saadaan yleiseksi ratkaisuksi y(x) = x x + C Erikoisratkaisu saadaan, kun u(x) = eli kun y(x) = x. Palautettava tehtävä 9: Veden korkeus säiliössä on h. Hetkellä t = säiliön pohjassa oleva hana avataan, jolloin (Bernoullin lain mukaan) veden korkeus h = h(t) alkaa laskea differentiaaliyhtälön h = c h mukaisesti. Tässä c > on vakio. a) Johda separointimenetelmää käyttämällä ratkaisu h(t) = ( h c t/ ). b) Oletetaan, että minuutin kuluttua veden korkeus on laskenut arvoon h /4. Määritä säiliön tyhjenemisaika T, jolle siis h(t ) =. 8

9 MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Ratkaisu 9: a) Ratkaistaan yhtälö separoimalla. Jos h(t), pätee h h = c h = c h h / dh = c dt h = ct + C h(t) = (C/ ct/). Vakio C saadaan alkuehdosta h() = (C/ ) = h C = h. Ratkaisu on nyt h(t) = ( h ct/ ). Yhtälölle on myös olemassa erikoisratkaisu h(t) =. b) Lisätiedolla h() = h /4 voidaan määrittää vakion c arvo: h /4 = h() = ( h c /) c = h /. Säiliö on tyhjä, kun h(t) = eli kun ( h ) h t/4 = t = 4. Palautettava tehtävä : a) Kappale pudotetaan hetkellä t =, jolloin sen nopeus v = v(t) = y (t) toteuttaa (sopivissa yksiköissä) differentiaaliyhtälön v = v ja alkuehdon v() =. Määritä v(t). (Vastaus: v(t) = (e t )/(e t + ) = tanh(t)) b) Oikea yhtälö on F = ma mg kv = mv, kun k on kappaleesta ja väliaineesta riippuva ilmanvastuskerroin, m on kappaleen massa ja g on putoamiskiihtyvyys. Määritä tämän yhtälön erikoisratkaisu, joka vastaa kappaleen rajanopeutta. Ratkaisu : a) Yhtälö on separoituva v v = v v = v dv = dt 9

10 MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Lasketaan vasemman puolen integraali osamurtohajotelmalla v = A v + B + v Saadaan yhtälöpari = ( + v)a + ( v)b v = (A B)v + A + B v { A B = A + B = { A = / B = /. Integraaliksi saadaan v dv = v + + v dv = ( ln v + ln + v ) = ln + v v Differentiaaliyhtälön ratkaisulle pätee nyt ln + v v = t + C. Huomioidaan alkuehto v() =, jonka seurauksena C =. Ratkaistaan nopeuden lauseke: ln + v v = t + v v = et + v = e t ( v) v( + e t ) = e t v = et e t +. Yllä oletettiin, että v <. Alkuperäisellä yhtälöllä on myös erikoisratkaisut v(t) = ±. Tosin jos v tulkitaan nopeudeksi pudotushetken jälkeen, ainoa mielekäs erikoisratkaisu on v(t) = (rajanopeus). b) Tässä tapauksessa erikoisratkaisu saadaan, kun mg kv = v = mg k, missä otettiin huomioon ainoastaan positiivinen neliöjuuri (nopeus alaspäin)