MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

Transkriptio

1 MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa! Kirjoita selvästi jokaiseen paperiin minkä kokeen suoritat. Tentin tehtävät ovat, 4, 5, 7 ja 8. Uusintavälikokeiden tehtävät ovat:. vk: 4, 2. vk: (a) Osoita, että lim (x,y) (0,0) xy 2 x 4 + y 2 = 0. (b) Löytyykö funktio f(x, y, z) jonka osittaisderivaatat x:n ja z:n suhteen ovat 2xy + z + y 2 ja y 2 + 2x? Perustele! Ratkaisu: (a) Jos y 0 niin xy 2 x 4 + y 2 x y2 y 2 x, koska x 4 + y 2 y 2 ja jos y = 0 niin xy2 x 4 +y 2 = 0 x. Nyt lim (x,y) (0,0) x = lim x 0 x = 0 ja xy kuristusperiaatteen nojalla seuraa, että lim 2 (x,y) (0,0) = 0. x 4 +y 2 (b) Jos f x (x, y, z) = 2xy + z + y 2 niin f xz (x, y, z) = ja jos f z = y 2 + 2x niin f zx (x, y, z) = 2 jolloin f xz f zx mikä on mahdotonta koska kaikki osittaisderivaatat ovat tässä tapauksessa jatkuvia. Näin ollen tällaista funktiota ei löydy. 2. (a) Osoita, että funktio u(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) toteuttaa differentiaalyhtälön u xx + u yy = 0 joukossa { (x, y) R 2 : (x, y) (0, 0) }. (b) Funktio u(t, x) toteuttaa osittaisdifferentiaaliyhtälön u t = 2u xx. Määritä positiivinen vakio c siten, että funktio v(s, y) = u(2s, cy) toteuttaa osittaisdifferentiaaliyhtälön v s = v yy.

2 Ratkaisu: (a) josta seuraa, että u x (x, y) = 2x x 2 + y, 2 u y (x, y) = 2y x 2 + y, 2 u xx (x, y) = 2(x2 + y 2 ) 4x 2 (x 2 + y 2 ) 2, u yy (x, y) = 2(x2 + y 2 ) 4y 2 (x 2 + y 2 ) 2, u xx (x, y)+u yy (x, y) = 2(x2 + y 2 ) 4x 2 + 2x(x 2 + y 2 ) 4y 2 (x 2 + y 2 ) 2 = 4(x2 + y 2 ) 4x 2 4y 2 (x 2 + y 2 ) 2 = 0. (b) Ketjusäännön nojalla pätee v s (s, y) = 2u t (2s, cy) ja v yy (s, y) = c 2 u xx (2s, cy). Koska u t (t, x) = 2u xx (t, x) niin pätee myös u t (2s, cy) = 2u xx (2s, cy) eli 2 v s(s, y) = 2 c 2 v yy(s, y) eli v s (s, y) = 4 c 2 v yy(s, y). Tästä näemme, että jos valitsemme c = 2 niin pätee v s = v yy.. Funktiosta f tiedetään, että f(2, ) =.57, f(2., 2.9) =.55 ja f(.9, 2.8) =.56. Määritä derivaatan avulla luvun f(2.2,.) approksimaatio. Ratkaisu: Koska f(x + x, y + y) f(x, y) f x (x, y) x + f y (x, y) y niin saamme eli = f(2 + 0., 0.) f(2, ) f x (2, ) 0. + f y (2, ) ( 0.), = f(2 0., 0.2) f(2, ) f x (2, ) ( 0.) + f y (2, ) ( 0.2), 0.2 f x (2, ) f y (2, ), 0. f x (2, ) 2f y (2, ). Tästä seuraa f y (2, ) 0. ja f x (2, ) 0. jolloin f(2.2,.) f(2, ) + f x (2, ) f y (2, ) = Esitä miten Newtonin menetelmällä voidaan approksimatiivisesti ratkaista yhtälösysteemi x 2 = y +, y 2 = x + 2. Laske yksi iteraatiokierros alkuarvoilla x 0 =, y 0 = tai selitä millä Matlab/Octaven komennoilla voisit laskea monta iteraatiokierrosta. Ratkaisu: Kirjoitamme [ x f(x) = 2 y x y 2, x =, x 2 y]

3 joten Nyt meidän pitää laskea ja samme [ x = ] [ 2 2 Jos jatkamme saamme.8202 x 2 =, x = 2x f (x) =. 2y x n+ = x n f (x n ) f(x n ), ] [ 2 ] [ [ 2 = ].75, x.9 4 = Matlab/Octavea varten määrittelemme ensin funktion f: f=@(x)[x()ˆ2-x(2)-;x(2)ˆ2-x()-2] sitten derivaatan fp=@(x)[2*x(),-;-, 2*x(2)] ja alkuarvon x=[;] jonka jälkeen voimme toistaa komennon x=x-fp(x)\f(x) riittävän monta kertaa. 2 ] = 2.707, x = [ 7 ] Yhtälösysteemi y 4 z 2 uy vz =, z + u 2 2y v =, määrittää y:n ja z:n muuttujien u ja v funktioina siten että y(, ) = ja z(, ) =. Laske z v (, ). Ratkaisu: Derivoimalla molemmat yhtälöt muuttujan v suhteen saamme 4y(u, v) z(u, v) 2 y v (u, v) + 2y(u, v) 4 z(u, v)z v (u, v) uy v (u, v) z(u, v) vz(u, v) 2 z v (u, v) = 0, z v (u, v) 2y v (u, v) = 0. Koska y(, ) = ja z(, ) = niin saamme sijoittamalla u = v = yhtälösysteemin y v (, ) z v (, ) =, 2y v (, ) + z v (, ) =. Laskemalla yhteen saamme y v (, ) = 2 ja sijoittamalla tämän tuloksen toiseen yhtälöön saamme z v (, ) = 5.

4 6. Kahden muuttujan funktiosta f : R 2 R tiedetään, että se on derivoituva kaikissa pisteissä, derivaatan ainoat nollakohdat ovat (, 2) ja (, ) ja funktion arvoista on laskettu seuraavat: f(0, 0) = 0, f(4, 0) = 6, f(4, 4) = 5, f(2, 0) = 9, f(, 2) = 7, f(, ) =. Mitä voit tämän tiedon perusteella sanoa funktion suurimmasta arvosta joukossa Ω = { (x, y) : 0 x 4, 0 y x }? Mitä sinun pitäisi tehdä jotta voisit määrittää funktion pienimmän arvon joukossa Ω? Ratkaisu: Piste (, ) ei ole joukossa Ω mutta kaikki muut pisteet, joissa funktion arvo on laskettu, kuuluvat joukkoon Ω. Näin ollen voimme vetää johtopäätöksen, että funktion suurin arvo on vähintään 9. Funktion pienimmän arvon määrittämiseksi meidän pitää laskea funktion arvo niissä reunan Ω pisteissä missä pienin arvo mahdollisesti saavutetaan, eli tässä tapauksessa funktioiden f(x, 0), 0 < x < 4, f(4, y), 0 < y < 4 ja f(x, x), 0 < x < 4 derivaattojen nollakohdat. 7. Määritä funktion x + 2y suurin arvo kun x 2 + 2y 2 = 9 käyttämällä Lagrangen kerrointa. Ratkaisu: Olkoon Ehdosta L = 0 saamme yhtälösysteemin L(x, y, λ) = x + 2y + λ(x 2 + 2y 2 9). + 2xλ = yλ = 0 x 2 + 2y 2 9 = 0. Kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä seuraa, että xλ = yλ ja siten x = y (koska jos λ = 0 niin 2xλ = 0 ). Kolmannesta yhtälöstä seuraa silloin, että x 2 = 9 eli x = y = ±. Jos x = y = niin x + 2y = ja jos x = y = niin x + 2y =. Funktiot f(x, y) = x + 2y ja g(x, y) = (x 2 + 2y 2 9 ovat jatkuvasti derivoituvia ja jälkimmäisen funktion derivaatta [ 2x 4y ] on nolla ainostaan origossa, joka ei ole käyrällä g(x, y) = 0. Lisäksi joukko { (x, y) : x 2 +2y 2 = 9 } on suljettu ja rajoitettu joten jatkuva funktio f saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa Lagrangen funktion derivaatan nollakohdassa. Suurin arvo on siis ja se saavutetaan pisteessä x = y =. 8. Laske integraali y dx dy kun Ω = { (x, y) : x 2 + y 2 9, 0 y x } käyttämällä napakoordinaatteja. Ω Ratkaisu: Kun käytämme napakoordinaatteja, eli x = r cos(θ), y = r sin(θ),

5 niin dx dy = rdr dθ. Koska x 2 + y 2 9 kun 0 r, y 0 kun 0 θ π ja y x kun π θ 7π niin näemme, että (x, y) Ω jos ja vain jos 0 r ja π θ π. Näin ollen π ( ) ( π / ) y dx dy = r sin(θ)r dr dθ = r sin(θ) dθ Ω = π 27 sin(θ) dθ = 0 / π 0 ( 27 cos(θ)) = 27 cos(π) + 27 cos( 27 π) =