Suhteellisuusteorian perusteet 2017

Transkriptio

1 Suhteellisuusteorian perusteet 017 Harjoitus 5 esitetään laskuharjoituksissa viikolla Tarkastellaan avaruusaikaa, jossa on vain yksi avaruusulottuvuus x. Nollasta poikkeavat metriikan komponentit alueessa t 0, x > 0) ovat g 00 = c t/ ) ja g 11 = 4t/ c on valonnopeus). a) Etsi valon ratakäytä xt). b) Etsi jokin koordinaattimuunnos t, x) t, x ), jolla metriikka tulee paikallisesti ja hetkellisesti Minkowskin metriikaksi ds = c dt dx. Mikä on valon nopeus tässä hetkellisessä koordinaatistossa?. Tarkastellaan Schwarzschildin metriikkaa radiaalisuunnassa, jossa ds = c 1 r s /r)dt dr 1 r s /r, missä r s on Schwarzschildin säde kts. luennot). Miten etäisyydellä r 1 oleva havaitsija näkee etäisyydellä r olevan aikaintervallin? Vihje: paikalliset havaitsijat ovat aina Minkowskin avaruudessa). 3. Tarkastellaan metriikkaa ) dr ds = c dt a t) 1 r + r dω, missä at) = a 0 t/ ) p ja 1/ < p < 1. Mikä on ajanhetkellä t = liikkeelle lähetetyn fotonin rata? Miten se käyttäytyy, kun t? Tämä metriikka on ns. suljetun maailmankaikkeuden metriikka. 4. GPS-satelliitit kiertävät 0 00 km:n korkeudella maanpinnasta. Laske Schwarzschildin metriikkaa hyödyntäen GPS-satelliitin kellon käynnin ero maanpinnan vertailukelloon. Lisää tähän satelliitin liikkeestä aiheutuva suppean suhteellisuusteorian aikadilataatio olettaen, että kiertonopeus on vakio.) Montako mikrosekuntia GPS-satelliitin kellon käynti eroaa kaikkiaan maanpinnan kanssa levossa olevan kellon käynnistä yhden vuorokauden aikana? Maapallon säde on km ja massa kg.

2 Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 5 April 4, 017 Tehtävä 1 a) Annetussa metriikassa pätee ) t ds = c dt 4 t dx. 1) Valo kulkee nollageodeettia pitkin eli valolle pätee ds = 0. Tämän perusteella voidaan laskea ) t ds = c dt 4 t dx = 0, ) t c dt = 4 t dx, t c dt = dx, josta integroimalla puolittain saadaan x = c t t 1/ dt = c t0 3 Valon ratakäyrän ratkaisu tässä metriikassa on siis x t) = 1 3 c jossa voidaan tulkita valon lähtöhetkeksi. t 3 t 3,. b) Metriikka tulee paikallisesti ja hetkellisesti Minkowskin metriikaksi, kun löydetään sellaiset hetki ja paikka, joilla g 00 = c ja g 11 = 1 ja ds = g 00dt + g 11dx = c dt dx. Haluttu muoto saadaan esimerkiksi valitsemalla ajan hetki t = ja x = 1 x. Koska valo kulkee nollageodeettia pitkin, on valon nopeus paikallisesti ds = c dt dx = 0 1

3 dx dt = c, kuten odotettavaa oli litteässä aika-avaruudessa. Tehtävä Paikalliset havaitsijat ovat aina Minkowski avaruudessa. Tällöin niiden mittaama aika on itseisaika τ. Havaitsija 1 on paikallaan, jolloin Schwarzschildin metriikassa dr 1 = 0 ja havaitsijan paikallisessa Minkowskin metriikassa dx = dy = dz = 0. Näin ollen paikallisessa Minkowskin avaruudessa pätee ds = dτ1 ja Schwarzschildin metriikassa ds = c 1 r s /r 1 ) dt. Siispä havaitsijan 1 mittaamalle ajalle pätee dτ 1 = 1 r s dt. r 1 Vastaavasti paikallaan olevalle havaitsijalle pätee ds = dτ ja dr = 0. Tällöin havaitsijan mittaamalle ajalle pätee dτ = 1 r s dt. r Koska koordinaattiaika t Schwarzschildin metriikassa on sama molemmille havaitsijoille, pätee havaitsijalle 1 dτ 1 = 1 r s 1 rs /r 1 dt = dτ. r 1 1 rs /r Näin ollen integroimalla itseisajan suhteen puolittain saadaan ratkaisuksi havaitsijan 1 ja väliselle aikadilataatiolle 1 rs /r 1 τ 1 = τ. 1 rs /r Tehtävä 3 Fotoni lähtee liikkeelle radiaalisesti hetkellä t = ja fotonin radalla avaruuskulman muutokselle pätee dω = 0. Selvitetään fotonin rata rt). Fotoni kulkee nollageodeettia pitkin, jolloin Integroimalla puolittain, saadaan ds = 0 c dt = a t) dr 1 r, t c a dt = 1 1 r dr. p ct0 t ) p dt = a 0 r r dr

4 ctp 0 1 a 0 1 p r t) = sin { t 1 p t 1 p 0 c a 0 1 p) ) = arcsin r) [ ) 1 p t 1]}. Kun t kasvaa, r oskilloi edes takaisin: valonsäde kulkee suljetun maailmankaikkeuden poikki uudelleen ja uudelleen, palaten aina takaisin lähtöpisteeseen. Kun t, yhteen kierrokseen kuluva aika kasvaa rajatta. Tarkkaan ottaen ratkaisu pätee vain kun r < 1; piste r = 1 on ongelmallinen. Tarkempi analyysi ja yksinkertaisin topologia - suljettu hyperpallo - johtaa edellä kuvattuun tapaukseen, jossa valonsäde kuljettuaan tarpeeksi kauan suoraan eteenpäin palaa alkupisteeseensä. Tehtävä 4 Maan pinnalla olevan havaitsijan lepokoordinaatistossa pätee ds = c dτ, ja Schwarzschildin metriikan koordinaatistossa ds = c F R) dt R dϕ, jossa Maan säde R = 6400 km, dϕ = ω 1 dt, kiertonopeus Maan ympäri ω 1 = π/t ja jaksonaika T = 4 60 s. Tällöin Maan päällisen havaitsijan mittaama aika on dτ 1 = F R) R c ω 1dt. ) Vastaavasti satelliitisa olevan havaitsijan näkökulmasta dτ = F r) r c ω dt, 3) jossa r = 6600 km on satelliitin etäisyys Maan keskipisteestä ja satelliitin kiertonopeus maanympäri ω. Ratkaistaan ω Newtonin mekaniikalla: F = mmg r = ma = mv r = ω r ω = MG r 3. Nyt voidaan laskea havaitsijoiden välinen aika ero kaavojen ja 3 perusteella τ = τ 1 F r) MG/c r) F R) R ω 1 /c 3

5 = τ 1 1 3MG/c r) 1 MG/c r) R ω 1 /c. Tälle saadaan approksimaatioksi τ τ 1 1 3MG c r + MG c R + R ω1 ) c + korkeampia korjauksia τ , ). Siispä, kun τ 1 = T = 4 60 s, on aika satelliitissa silloin noin 4, τ 1 = 3, s 38 µs. 4