Kuva 1: Tehtävä 1a. = 2π. 3 x3 1 )

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Kuva 1: Tehtävä 1a. = 2π. 3 x3 1 )"

Jaana Koskinen
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 BMA58 - Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 3, Kevät 6 = Kuva : Tehtävä a. a Slinterinkuorelle tässä h = ja r = ja kä läpi välin [,], joka johtaa lausekkeeseen: V = π 6 / 3 d = 3 Kuva : Tehtävä b b Slinterinkuorelle tässä h = 3 ja r = ja kä läpi välin [,], joka johtaa lausekkeeseen:

2 V 3 d / = 6 5 π a TAPA, alkuperäisestä tilannekuvasta: 3 d Slinterinkuorelle tässä h = ja r = ja kä läpi välin [,], joka johtaa lausekkeeseen: TAPA, koordinaatiston siirto: V = π d. = = = = a Tehtävä a, TAPA = Kuva 3: Tehtävä a = = 3 b Tehtävä a, TAPA Muunnetaan funktiota ja rajoja niin, että saadaan pörähdsakseliksi -akseli ks. kuva 3b. V / 3 = 67 6 π 8 d d

3 b TAPA, alkuperäisestä tilannekuvasta: Slinterinkuorelle tässä h = ja r = ja kä läpi välin [,], joka johtaa lausekkeeseen: V = TAPA, koordinaatiston siirto: π d. = = 5 = 3 = = a TAPA b TAPA Kuva : Tehtävä b Muutetaan funktioita ja rajoja niin, että pörähdsakseliksi saadaan -akseli. 5 V 3 d d d

4 = 3 + = 3 Kuva 5: Tehtävä 3 3. Levjen metodi: kä läpi välin [,] ja levn säde on joka siis periaatteessa ratkaistaan lausekkeesta = 3 + joka johtaa lausekkeeseen: V = π d = π 3 3d = π = π / = 7 π Kuorien metodi: Slinterinkuorelle tässä h = ja säde r = ja kä läpi välin [,3], joka johtaa lausekkeeseen: V / 3 = 7 π d d d. a Slinterinkuorimenetelmä, TAPA :

5 Slinterinkuorelle tässä h = ja r = 6 ja kä läpi välin [,], joka johtaa lausekkeeseen: V = Slinterinkuorimenetelmä TAPA : π6 d. = = 6 = = 6 = 6 a TAPA b TAPA Kuva 6: Tehtävä a Muokataan funktiota ja rajoja niin, että pörähdsakseliksi tulee -akseli. 6 V 6 d Levjen metodi, TAPA : Tässä kä läpi välin [, ] ja kappaleen voidaan ajatella muodostuvan ohuista paksuus d levrenkaista joiden ulkokehän säde on r = 6 joka saadaan htälöstä = ja sisäkehän säde on r = 6 =. Tälläisen renkaan tilavuus on dv = πr d πr d = πr r d. Tilavuus on siis V = πr r d = π6 d. Levjen metodi, TAPA: Muokataan funktiota ja rajoja niin, että pörähdsakseliksi tulee -akseli. V = π = π d 6 d

6 = = + 3 Kuva 7: Tehtävä b 5. a b Levjen metodi: Muodostetaan tilavuus kaden kappaleen tilavuuksien erotuksena. Toisessa säde r = + ja kä läpi välin [,3] ja toisessa r = ja kä läpi välin [,3]: V = π = π + d π d + d π d Kuorien metodi: kä läpi välin [,], säde r = ja korkeus h = +, josta saadaan V + d s = ds = 3 + d = ln = = d = d = + d ds = + d = / + ln = 6 + ln

7 b { t = e t/ cost t = e t/ sint { t = e t/ sint + et/ cost t = e t/ cost et/ sint ds = t + t dt = e t/5 sin t 5 sintcost + cos t + cos t + 5 sintcost + = e t/5 + dt = s = et/ dt et/ dt = / e t/ = e e sin t Huom! Jos huomaisi kärän olevan n.k. polaarikärä niin voisi kättää valmiiksi sievennettä versiota ds:lle. dt 6. a v = 8 =. b TAPA : Jos ajanhetkellä t ollaan pisteessä t niin tällöin tietsti t = vt, eli t = vtdt = 5 t 5/ 3 t3/ +C. Koska =, saadaan C =. Nt saadaan suoraan sijoittamalla mitä on ja. TAPA: Voimme ajatella että kuljettu matka s eteenpäin positiivisena, taaksepäin negatiivisena muuttuu ajan mötä, ja merkitä ds dt = vt, josta ds = vtdt. Nt kun t kä läpi välin [,] niin matkaa kert vtdt verran. Koska hetkellä t = olimme kohdassa, on uusi paikkamme hetkellä t = summa =

8 + s, eli = + vtdt = + = + / = = 5 Samoin laskien saataisiin paikka hetkellä t = : = + vtdt = + = + / t 3/ t / dt 5 t5/ 3 t3/ t 3/ t / dt 5 t5/ 3 t3/ c Jos ajateltaisiin kohdan TAPA, laskutapaa niin joutuisimme jakamaan tätä integraalia niin moneen osaan kuin missä vt vaihtaa merkkiään ja laskemaan sitten lopputuloksia hteen, pakittaessa kun matkamittarimme ei vähene. TAPA on ehkäpä intuitiivisempi: matkamittarin nättämälle matkalle m pätee dm dt = vt, eli aikavälillä [, 3] matkamittariin tulee lisää vt dt verran, eli m = / 3 t 3/ t / dt = 5 t5/ 3 t3/ = d s = t 3/ t / dt

9 b 3 = = = 9 a Kuva 8: Tehtävä 7 a ja 7 b 7. a Pinta-ala-alkio ds rds. Nt ds kannattaa antaa :n avulla ja r = ja kä läpi välin [,9]: ds = + f d = + d = + d S ds / 9 + d + / d + 3/ 3 = 3 π 9 + 3/ = π d + 3/ b Muuten sama kuin edellä mutta nt r =, eli 9 S ds + d + d c Muuten sama kuin edellä mutta nt r =, eli 9 S ds + d

10 d Muuten sama kuin edellä mutta nt r = 3, eli S + 3ds d = = 3, = Kuva 9: Tehtävä 8a 8. a Tämä ei eroa edellisestä tehtävästä mitenkään muutein kuin että kä läpi välin [, ] ja säde on r = 3. ds = + f d = + 3 d = + 9 d S d d + π d Itseisarvojen poistaminen ei ole kovinkaan oleellista, jollei nt käsin näitä joutuisi loppuun vääntämään. r = + cosθ Kuva : Tehtävä 8b

11 b Kärä { = cosθ + cosθ = θ = sinθ + cosθ = θ on itseasiassa niinkutsuttu polaarikärä, mutta eipä se ole nt niin oleellista, muutoin kuin siinä suhteessa että sen huomaamalla olisi helppo varmistaa ettei kärä piirr kahteen kertaan missään vaiheessa. Laskemalla :n ja :n arvot muutamilla θ:n arvoilla, saadaan oheisen kaltainen kuva hahmoteltua. Luennolla esitettn tapaan, kärän pituusalkioksi saadaan tarvittavat derivaatat laskemalla ja sitten sieventämällä: ds = θ + θ dθ = + cosθ dθ. Sieventäminen tosin ei ole tässä mitenkään vaadittua huom! jos tunnistaisit kärän polaarikäräksi niin sille ds:lle lötisi jo valmiiksi sievennett versio. Siten pörähdspinnan ala on θ=π S ds θ= π missä toki sieventämätönkin ds:n lauseke kelpaisi. sinθ + cosθ + cosθ dθ,

Samankaltaiset tiedostot

a(t) = v (t) = 3 2 t a(t) = 3 2 t < t 1 2 < 69 t 1 2 < 46 t < 46 2 = 2116 a(t) = v (t) = 50

a(t) = v (t) = 3 2 t a(t) = 3 2 t < t 1 2 < 69 t 1 2 < 46 t < 46 2 = 2116 a(t) = v (t) = 50 BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 1, Syksy 015 1. (a) Kiihtyvyys on nopeuden derivaatta, eli a(t) v (t) 3 t 1 + 1 Nyt on siis selvitettävä, milloin kiihtyvyys kasvaa itseisarvoltaan