saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?

Transkriptio

1 ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Funktion raja-arvo 4. Määritelmä. Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: f) A < ε aina, kun 0 < a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto δ > 0: ε > 0: f) A < ε aina, kun 0 < a < δ. Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä? 2. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c U bd): fc) / U a e), missä a, b, c, d, e R. Mitä funktion f raja-arvosta tällöin väitetään? Kirjoita väite myös käyttäen tavanomaisia kirjainsymboleja ε, δ jne. 3. Olkoon f välillä ]a, b[ määritelty funktio ja ]a, b[. Tarkastellaan ehtoja i) ii) f + h) f) = 0, h 0 f + h) f h) = 0. h 0 Osoita, että ehto ii) seuraa ehdosta i), mutta ehto i) ei välttämättä seuraa ehdosta ii). 4. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että ) = 23, 7 5) = 9, c) ) =. 5. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että kaikilla a, b R. 6 + b) = 6a + b, 6. Voidaan helposti osoittaa, että f) 5, kun f) = 2 + ja 2. Määritä jokin sellainen luku δ > 0, että f) 5 < 0,0 aina, kun 0 < 2 < δ.

2 7. Määritä jokin sellainen luku M > 0, että M 3 ]2, 4[, ja osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen yllä olevaa tulosta hyödyntäen), että ) = Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että 3 2 = 9, ) = 25, ) = Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että ) = 4, ) =. 0. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että ) = 3, 4 + ) = 2.. Etsi sellainen funktio g ja sellainen δ > 0, että g on rajoitettu ja 2 3 = g) 3 kaikilla ]3 δ, 3 + δ[. 2. Määritä jokin sellainen h > 0, että ]2 h, 2 + h[, ja osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen yllä olevaa tulosta hyödyntäen), että = Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että = 5 4, = 5, c) = Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että =, ) 2 = 4.

3 5. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että =, = 3, c) =. 6. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että kaikilla a R = 2a a Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että π 3π ) cos π 2 ) = Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että = 3, = 5, c) = Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että jos a > 0, niin =. a 20. Olkoon A R ja f sellainen funktio, että kaikilla n Z + on olemassa sellainen n 0 Z +, että aina, kun 0 < < n 0. Osoita, että 4.2 Perustuloksia f) A < n f) = A. 0. Todista, että jos funktion raja-arvo on olemassa, se on yksikäsitteinen. 2. Olkoon b > 0, I = ] b, b[ ja f jokin sellainen välillä I määritelty funktio, että f) = A. Osoita todeksi tai vastaesimerkillä) epätodeksi, että 0 a) jos f) > 0 kaikilla I \ {0}, niin A > 0, b) jos f) 0 kaikilla I \ {0}, niin A Todista, että jos f) = A, niin jokaista positiivilukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen δ > 0, että f ) f 2 ) < ε aina, kun, 2 U δa).

4 4. Osoita täsmällisesti perustellen, että funktiolla {, kun 0, f) =, kun < 0, ei ole raja-arvoa pisteessä = Osoita täsmällisesti perustellen, että funktiolla ei ole raja-arvoa pisteessä = 0. f) = cos 3 0) 6. Olkoon f) = {, kun Q,, kun R \ Q. Tutki täsmällisesti perustellen, onko funktiolla f raja-arvo pisteessä a, kun a) a =, b) a. 7. Todista,että jos raja-arvo f) on olemassa, niin on olemassa sellainen δ > 0, että f on rajoitettu puhkaistussa ympäristössä U δa). 8. Oletetaan, että f) = 2 ja g) = 3. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että 9. Oletetaan, että f)g) = 6. f) = A 0. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että 0. Oletetaan, että f) = A. f) = A 0. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että f)) 2 = A 2.

5 . Osoita lausetta 4.2 käyttäen, että funktiolla f) = sin 0) ei ole raja-arvoa pisteessä = Määritä 3. Olkoon 0. Määritä , h 0 h 0 + h) 2 2 ).. 4. Määritä 5. Olkoon Määritä 0 f) π 2 ) cos + π. f) = { 2, kun Q, 0, kun R \ Q. 6. Olkoon f sellainen funktio, että < f) < 3 R. Määritä 0 sin 2 f). 7. Olkoon f sellainen funktio, että f) 2, kun 0 < <. Mitä voidaan sanoa raja-arvosta 0 f), f) f), c)? Määritä tan 3 0 2, 0 tan 3 sin 2, 0 sin p sin q q 0). 9. Määritä 20. Määritä sin 2 sin + sin )., 0 + a sin b b 0).

6 4.3 Toispuoleiset raja-arvot. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c ]0, b[ : fc) ] a, a[, missä a, b, c R. Mitä funktion f toispuoleisesta raja-arvosta tällöin väitetään? Kirjoita väite myös käyttäen tavanomaisia kirjainsymboleja ε, δ, jne. 2. Osoita suoraan funktion oikean- ja vasemmanpuoleisten raja-arvojen määritelmiin nojautuen, että a) = 7, 2 = Osoita suoraan funktion vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen määritelmiin nojautuen, että a) 2 = 0, 2 = Tutki, onko funktiolla f) = 2 ) raja-arvo pisteessä =. Entä onko funktiolla f vasemman- tai oikeanpuoleista raja-arvoa pisteessä =? Myönteisessä tapauksessa määritä raja-arvot. 5. Tutki, onko funktiolla f) = sin 3) 3 3) raja-arvo pisteessä = 3. Entä onko funktiolla f vasemman- tai oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä = 3? Myönteisessä tapauksessa määritä raja-arvot. 6. Olkoon f) = + ). Määritä tai osoita, että raja-arvoa ei ole olemassa. 7. Määritä tai osoita, että raja-arvoa ei ole olemassa. f) ja f) 0 sin π 2 ja sin π 2

7 8. Tutki, missä pisteissä a R raja-arvo ) on olemassa. Myönteisissä tapauksissa määritä raja-arvo. 9. Määritä 0. Määritä a) 0. sin,. 0+ sin Monotoniset funktiot. Osoita täsmällisesti perustellen, että funktio f) = 2 + on aidosti kasvava välillä ], 0] ja aidosti vähenevä välillä [0, [. 2. Osoita täsmällisesti perustellen, että funktio on aidosti vähenevä, kun > 5. f) = ) 3. Tutki, onko yhdistetty funktio g f välillä I aidosti kasvava, aidosti vähenevä vai ei välttämättä kumpaakaan, kun a) f on välillä I aidosti kasvava ja g on välillä I aidosti vähenevä, b) f on välillä I aidosti vähenevä ja g on välillä I aidosti kasvava, c) f ja g ovat välillä I molemmat aidosti väheneviä. 4. Olkoon I jokin reaalilukuväli. Osoita, että jos funktio f : I R on aidosti monotoninen, niin f on injektio. Onko mahdollista, että f on injektio, vaikka f ei ole aidosti monotoninen? 5. Olkoon f : [a, b] R sellainen aidosti kasvava funktio, että fa) = A ja fb) = B. Osoita todeksi tai vastaesimerkillä) epätodeksi, että funktio f : [a, b] [A, B] on bijektio. 6. Anna esimerkki bijektiosta f : R R, joka ei ole monotoninen millään reaalilukuvälillä [a, b].

8 7. Olkoon f : R R sellainen kasvava funktio, että f) < fy) aina, kun < y ja, y Q. Osoita, että f on aidosti kasvava. 8. Olkoot f : R R ja g : R R sellaisia aidosti kasvavia funktioita, että f) = g) R \ Q. Osoita todeksi tai vastaesimerkillä) epätodeksi, että f) = g) R. 9. Olkoon f : R + R sellainen aidosti kasvava funktio, että Osoita, että f) > 0 kaikilla R +. f) = Todista, että jos f on välillä ]a, b[ kasvava ja alhaalta rajoitettu funktio, niin raja-arvo f) on äärellisenä olemassa Raja-arvokäsitteen laajentaminen. Tarkastellaan väitettä a > : b > 0: c > 0: d > c: fd) / U b a), missä a, b, c, d R. Mitä funktion f raja-arvosta tällöin väitetään? Kirjoita väite myös käyttäen tavanomaisia kirjainsymboleja ε, δ, M jne. 2. Osoita suoraan raja-arvon määritelmään nojautuen, että a) sin = 0, = 3, c) 3 + cos = Osoita suoraan raja-arvon määritelmään nojautuen, että jos f) > 0 > 0 ja f) = a > 0, niin + f) 2f) = + a 2a. 4. Osoita suoraan raja-arvon määritelmään nojautuen, että =, ) ) 2 =.

9 5. Osoita todeksi tai vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos niin 6. Tarkastellaan väitettä f) = ja g) = A g f)) = A. A R), a > 0: b > 0: c > 0: d ]a c, a[ : fd) b, missä a, b, c, d R. Kertooko väite jotakin järkevää funktion f raja-arvosta ja jos kertoo, niin mitä? Kirjoita väite myös käyttäen tavanomaisia kirjainsymboleja ε, δ, M jne. 7. Kirjoita täsmällinen määritelmä sille, että f) =, ja osoita tätä määritelmää + käyttäen, että 4+ 4 =, 3+ 3 =, c) =. 8. Kirjoita täsmällinen määritelmä sille, että f) =, ja osoita tätä määritelmää käyttäen, että a) =, 3 2 =. 9. Kirjoita täsmällinen määritelmä sille, että f) =, ja osoita tätä määritelmää käyttäen, + että a) =, + 0. Osoita suoraan raja-arvon määritelmään nojautuen, että + =. a) ) 4 =, 4 =. 3. Osoita suoraan raja-arvon määritelmään nojautuen, että a) =, =. 2. Osoita todeksi tai vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos f) = b b R) ja gy) =, y b niin g f)) =.

10 3. Määritä funktion 2 f) = 2 2 raja-arvo pisteissä = 0 ja = sekä kun. 4. Määritä vakio a R siten, että a 2 + ) = 0, ja todista tulos suoraan raja-arvon määritelmään nojautuen. 5. Määritä a) sin, ) sin 3, c) tan sin ) Määritä a) sin + ), 5 tan2/). 7. Olkoon f sellainen funktio, että Määritä 8. Määritä 9. Määritä < f) < 3 R. tai osoita, että raja-arvoa ei ole olemassa. 20. Määritä tai osoita, että raja-arvoa ei ole olemassa. f).. sin + ) sin ) ) π 2 2 cos + ) cos ) ) π 2 2