ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)"

Transkriptio

1 ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 8. marraskuuta 2016

2 Tasoaallot, osa 1 (Ulaby 7.1, 7.2, 7.4) Kenttäosoittimet Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Tasoaaltoratkaisu Tasoaaltoyhtälöt ja yleinen etenemissuunta Tasoaalto häviöllisessä aineessa Hyvä johde ja hyvä eriste 2 (18)

3 Aikaharmoniset kentät ja osoittimet Kun oletetaan cos(ωt)-aikariippuvuus, voidaan esittää E = Re {Ẽ } e +jωt missä E = E(x, y, z; t) = hetkellinen kenttä (aina reaalinen) Ẽ = Ẽ(x, y, z) = vektorimuotoinen osoitin (kompleksivektori) Aikaderivaatta vastaa osoitinalueessa jω:lla kertomista (miksi?) t jω 3 (18)

4 Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Osoitinmuodossa saadaan Ẽ = jω B H = J + jω D D = ρ v B = 0 D = ε Ẽ B = µ H J = σ Ẽ Kaikki (ko)sinimuotoisesti ajasta riippuvat suureet korvataan vastaavilla osoittimilla ja aikaderivaatat jω:lla. (Ole tarkkana :n kanssa!) 4 (18)

5 Aaltoyhtälö (Helmholtz) Lähteettömässä ( J = 0, ρ v = 0) ja häviöttömässä (σ = 0) avaruudessa saadaan Ẽ = jωµ H, Ẽ = 0, H = jωε Ẽ, H = 0, mistä edelleen, ottamalla roottori Faradayn laista, ( ) ( ) Ẽ = jωµ H ( ) ( ) Ẽ 2 Ẽ = jωµ jωε Ẽ = ω 2 µεẽ, saadaan sähkökentälle aikaharmoninen aaltoyhtälö (Helmholtzin yhtälö) 2 Ẽ + k 2 Ẽ = 0 k 2 = ω 2 µε 5 (18)

6 Tasoaaltoratkaisu Oletetaan, että Ẽ = Ẽ(z), jolloin aaltoyhtälöstä saadaan minkä yleinen ratkaisu on d 2 Ẽ dz 2 + k2 Ẽ = 0, Ẽ(z) = Ẽ + e jkz + Ẽ e +jkz. Tällä ratkaisulla ei voi olla z-komponenttia (Gaussin laki). Valitaan prototyyppiratkaisuksi sähkökenttäosoitin Ẽ = x E 0 e jkz 6 (18)

7 Tasoaaltoratkaisu (jatkoa) Ratkaistaan prototyyppitasoaallon magneettikenttäosoitin Faradayn lain avulla: 1 H = jωµ Ẽ = j x ŷ ẑ ωµ x y z E x 0 0 = j [ ŷ (E 0 e jkz)] = ŷ k ωµ z ωµ E 0 e jkz = ŷ E 0 η e jkz, missä η = ωµ/k on väliaineimpendanssi. Kenttävektorit: E = x E 0 cos (ωt kz), H = ŷ E 0 η cos (ωt kz) Animaatio: Module 7.2 Plane Wave 7 (18)

8 Prototyyppitasoaalto Tasoaalto on TEM-aalto, eli sekä E- että H-kenttä (ja niiden osoittimet) ovat kohtisuorassa etenemissuuntaa vastaan. Ẽ = x E 0 e jkz H = ŷ E 0 η e jkz k = ẑ k k = ω µε k = k k η = ωµ k = λ = 2π k µ ε u p = ω k = 1 µε = etenemissuunta = aaltoluku = aaltovektori = väliaineimpedanssi = aallonpituus = vaihenopeus Tyhjiössä (ilmassa) u p = c m/s ja η = η 0 377Ω. Sähkö ja magnetismi: E max = cb max E 0 = u p B 0 = ηh 0. 8 (18)

9 Tasoaaltoyhtälöt Oletetaan, että kenttäosoittimien paikkariippuvuus on muotoa e jk R k = aaltovektori R = paikkavektori Tällöin Maxwellin yhtälöissä voidaan korvata Ẽ = jωµ H H = jωε Ẽ jk k Ẽ = ωµ H k H = ωε Ẽ Tasoaalto-osoittimille riittää kaksi yhtälöä, jossa ei esiinny lainkaan derivaattoja. (Entä divergenssiyhtälöt, mihin ne hävisivät?) 9 (18)

10 Tasoaaltoyhtälöt Tasoaaltoyhtälöistä k Ẽ = ωµ H, k H = ωε Ẽ näkee, että Ẽ, H ja k muodostavat (tässä järjestyksessä) oikeakätisen ortogonaalisen kannan. Lisäksi saadaan ehto ( ) ( ) k k Ẽ = k ωµ H ( ) k k Ẽ Ẽ (k k) = ω 2 µεẽ k k = k 2 = ω 2 µε Tasoaaltoyhtälöt voidaan myös (kuten oppikirjassa) esittää etenemissuunnan k ja väliaineimpendanssin η avulla: H = 1 η k Ẽ Ẽ = η k H 10 (18)

11 Kompleksinen permittiivisyys Entä jos materiaalissa on johtavuutta (häviöitä)? Hävitetään johtavuusvirta Ampèren laista ( ) σ H = J + jωεẽ = σ Ẽ + jωεẽ = jω jω + ε Ẽ määrittelemällä kompleksinen permittiivisyys ε c = ε jε = ε j σ ( ω = ε 0 ε r j σ ) ωε 0 Tämä toimii yleisesti aikaharmonisessa tapauksessa ja erityisesti tasoaallon tapauksessa. 11 (18)

12 Tasoaalto häviöllisessä aineessa Häviöllisessä tapauksessa (σ > 0) käytetään kompleksista permittiivisyyttä ε c, jolloin +z-suuntaan etenevä prototyyppitasoaalto on Ẽ = x E 0 e γz = x E 0 e }{{ αz, γ = α + jβ = jω µε }}{{} c, amplitudi vaihe e jβz missä γ = (kompleksinen) etenemiskerroin α = vaimennuskerroin > 0 β = vaihekerroin > 0 ja väliaineimpedanssi on kompleksinen η c = µ/ε c. Tunkeutumissyvyys δ s = 1/α. 12 (18)

13 Vaihe- ja vaimennuskerroin yleisessä tapauksessa Yleisessä tapauksessa ( ) 2 α + jβ = ω 2 µε c = ω 2 µ ( ε jε ) α 2 β 2 = ω 2 µε 2αβ = ω 2 µε mistä raa asti laskemalla saadaan ( ) β = ω µε ε ε + 1 ( ) α = ω µε ε ε 1 13 (18)

14 Erikoistapauksia Ideaalieristeessä (ε = 0) aalto etenee vaimentumatta. Hyvässä (tai vähähäviöisessä) eristessä (ε ε ) aalto etenee kuten ideaalieristeessä mutta pienellä vaimennuksella. Hyvässä johteessa (ε ε ) aalto vaimenee nopeasti. Ideaalijohteessa (ε = ) ei ole kenttiä. Oppikirjan (hieman mielivaltaiset) nyrkkisäännöt: Hyvä eriste: ε < ε /100 Hyvä johde: ε > 100 ε 14 (18)

15 Hyvä eriste (ε /ε 1) Taylor-approksimaation 1 x 1 x/2, x 1, avulla saadaan etenemiskertoimeksi γ = jω µε c = jω µ(ε jε ) = jω µε ) jω µε (1 j ε 2ε = ωε 2 1 j ε ε µ ε + jω µε = α + jβ. α σ 2 ε < ε 100 µ µ ε, β k = ω µε, η c η = ε σ > ωε 100 δ s = 1 α > 100 λ π 32λ Aalto vaimenee siis varsin hitaasti aallonpituuteen nähden.

16 Hyvä johde (ε ε ) Approksimaation ε c jε avulla saadaan ja γ 2 = ω 2 µε c jω 2 µε = (α + jβ) 2 = α 2 + j2αβ β 2 η c = α β ω 2 µε 2 ωµσ = = 2 α β ω 2 µε 2αβ πf µσ µ j µ µ ωµ ε c ε = (1 + j) = (1 + j) 2ε 2σ. α β πf µσ, η c (1 + j) α σ 16 (18)

17 Hyvä johde (ε ε ) Hyvässä johteessa: 2π λ = β α = 1 δ s δ s λ 2π Esim: E(z, t) = E 0 e z/δ s cos (ωt z/δ s ) E 0 ωt = 0 δ s e z/δ s ωt = π/2 λ z Kompleksinen väliaineimpedanssi η c = η c vaihe-ero sähkö- ja magneettikentän välillä. 17 (18)

18 Yhteenveto Oletukset Sinimuotoinen aikariippuvuus (e +jωt) Lähteetön ja homogeeninen alue Tasoaaltotyyppinen paikkariippuvuus (e jk R) Maxwellin yhtälöt diff. muodossa t jω Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt jk (Matemaattisemmin olisi voinut ajatella, että Fourier-muunnettiin Maxwellin yhtälöt ajassa ja paikassa.) Tasoaaltoyhtälöt ε ε c = ε j σ ω 18 (18)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 8 / versio 3. marraskuuta 2015 Tasoaallot, osa 1 (Ulaby 7.1, 7.2, 7.4) Kenttäosoittimet Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Tasoaaltoratkaisu

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 9 / versio 9. marraskuuta 2015 Tasoaallot, osa 2 (Ulaby 7.3, 7.5, 7.6) Tasoaallon polarisaatio Virranahtoilmiö Tehotiheys ja Poyntingin vektori

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 17. marraskuuta 2016 Tasoaallot, osa 2 (Ulaby 7.3, 7.5, 7.6) Tasoaallon polarisaatio Virranahtoilmiö Tehotiheys ja Poyntingin vektori 2 (18)

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 11 / versio 23. marraskuuta 2015 Aaltojohdot ja resonaattorit (Ulaby 8.6 8.11) TE-, TM- ja TEM-aaltomuodot Suorakulmaisen aaltoputken perusaaltomuoto

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 21. marraskuuta 2016 Tasoaaltojen heijastus ja läpäisy (Ulaby 8.1 8.5) Kohtisuora heijastus ja läpäisy Tehon heijastus ja läpäisy Snellin laki

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähkömagneettiset aallot Aikaharmoniset kentät

Lisätiedot

Scanned by CamScanner

Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner ELEC-C414 Kenttäteoria ESIMERKKIRATKAISUT 2. välikoe: 13.12.216 4. (a) Ominaisimpedanssi (merkitään Z ) on siirtojohdon ominaisuus. Se on siis eri asia kuin tasoaaltojen yhteydessä

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 1 / versio 8. syyskuuta 2015 Johdanto (ti) Merkinnät ja yksiköt Kenttä- ja lähdesuureet Maxwellin yhtälöt ja väliaineyhtälöt Aallot ja osoittimet

Lisätiedot

Aaltoputket ja mikroliuska rakenteet

Aaltoputket ja mikroliuska rakenteet Aaltoputket ja mikroliuska rakenteet Luku 3 Suorat aaltojohdot Aaltojohdot voidaan jakaa kahteen pääryhmääm, TEM ja TE/TM sen mukaan millaiset kentät niissä etenevät. TEM-aallot voivat edetä vain sellaisissa

Lisätiedot

Aaltoputket analyyttinen ratkaisu. Palataan takaisin aaltoputkitehtäv än analy y ttiseen ratkaisuun.

Aaltoputket analyyttinen ratkaisu. Palataan takaisin aaltoputkitehtäv än analy y ttiseen ratkaisuun. Palataan takaisin aaltoputkitehtäv än analy y ttiseen ratkaisuun. Lähd etään hakem aan ratkaisua y htälöistä (2 ) ja (3 ), kuten T E M -siirtolinjojen y htey d essä. N y t aaltoputkien tapauksessa z-kom

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviiko 7 / versio 26. lokakuuta 2016 Aallot ja osoittimet (Ulaby, 1.4 1.7) Etenevät (sinimuotoiset) aallot Osoittimet ja notaatiovertailu Piirianalyysiin

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 7 / versio 28. lokakuuta 2015 Dynaamiset kentät (Ulaby, luku 6) Maxwellin yhtälöt Faradayn induktiolaki ja Lenzin laki Muuntaja Moottori ja

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 8 Sähkömagneettiset aallot (YF 32) Maxwellin

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO SATE.2010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE 2: AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT

VAASAN YLIOPISTO SATE.2010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE 2: AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT VAAAN YLIOPITO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA ÄHKÖTEKNIIKKA Maarit Vesapuisto ATE.010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE : AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT Opetusmoniste (Raaka

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviikko 5 / versio 7. lokakuuta 2016 Luentoviikko 5 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset

Lisätiedot

Ideaalinen dipoliantenni

Ideaalinen dipoliantenni Ideaalinen dipoliantenni Ideaalinen dipoli on säh k öisesti p ieni lank a-antenni ( z λ), jossa v irralla v ak io am p litu d i ja v aih e. Id eaalinen d ip oliantenni on k äy tännön antennina h arv inainen.

Lisätiedot

SATE2010 Dynaaminen kenttäteoria syksy /6 Laskuharjoitus 6 / Siirtojohdot ja transientit häviöttömissä siirtojohdoissa

SATE2010 Dynaaminen kenttäteoria syksy /6 Laskuharjoitus 6 / Siirtojohdot ja transientit häviöttömissä siirtojohdoissa ATE2010 Dynaaminen kenttäteoria syksy 2011 1 /6 Tehtävä 1. 0,67 m pitkä häviötön siirtojohdon (50 Ω) päässä on kuorma Z L = (100 - j50) Ω. iirtojohtoa syötetään eneraattorilla (e (t) = 10sin(ωt + 30º)

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 13. lokakuuta 2016 Luentoviikko 7 Dynaamiset kentät (Ulaby, luku 6) Maxwellin yhtälöt Faradayn induktiolaki ja Lenzin laki Muuntaja Generaattori

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 12 / versio 1. joulukuuta 2015 Antennit (Ulaby 9.1 9.6, 9.9) Hertzin dipoli Kaukokenttä Säteilykuvio ja suuntaavuus Antennin vahvistus ja

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset

Lisätiedot

= ωε ε ε o =8,853 pf/m

= ωε ε ε o =8,853 pf/m KUDOKSEN POLARISOITUMINEN SÄHKÖKENTÄSSÄ E ε,, jε r, jε, r i =,, ε r, i r, i E Efektiivinen johtavuus σ eff ( ω = = ωε ε ε o =8,853 pf/m,, r 2πf ) o Tyypillisiä arvoja radiotaajuukislla Kompleksinen permittiivisyys

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot

Lisätiedot

Kenttäteoria. Viikko 10: Tasoaallon heijastuminen ja taittuminen

Kenttäteoria. Viikko 10: Tasoaallon heijastuminen ja taittuminen Kenttäteoria Viikko 10: Tasoaallon heijastuminen ja taittuminen Tämän viikon sisältöä Todellinen aalto vai tasoaalto Desibelit Esitehtävä Kohtisuora heijastus metalliseinästä Kohtisuora heijastus ja läpäisy

Lisätiedot

Aaltoputket ja resonanssikaviteetit

Aaltoputket ja resonanssikaviteetit Luku 13 Aaltoputket ja resonanssikaviteetit Kerrataan ensin ajasta riippuvan sähkömagneettisen kentän käyttäytyminen ideaalijohteessa ja sen pinnalla. Äärettömän hyvän johteen sisällä ei ole sähkökenttää,

Lisätiedot

XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II

XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II Silja Pohjolainen Kaj Wiik Tuorlan observatorio Kevät 2014 Osa kuvista on lainattu kirjasta Wilson, Rohlfs, Hüttemeister: Tools of Radio astronomy XFYS4336 Havaitseva

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Johdanto (Ulaby 1.2 1.3) Merkinnät ja yksiköt Kenttä- ja lähdesuureet Maxwellin yhtälöt ja väliaineyhtälöt Vektorit ja koordinaatistot

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Esimerkki: Kun halutaan suojautua sähkömagneettisia

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 7 Tavoitteet Sähkömagneettinen induktio Siirrosvirta ja Maxwellin yhtälöt Sähkömagneettiset aallot Maxwellin yhtälöt ja

Lisätiedot

Onteloresonaattorit. Onteloresonaattori saadaan aikaan, kun metallisen aaltop utken molemmat suljetaan metalliseinällä ja sen

Onteloresonaattorit. Onteloresonaattori saadaan aikaan, kun metallisen aaltop utken molemmat suljetaan metalliseinällä ja sen Onteloresonaattori saadaan aikaan, kun metallisen aaltop utken molemmat suljetaan metalliseinällä ja sen sisään sy ötetään teh oa. a b d syöttö Oikealle etenev ä aalto h eijastuu p utken lop p up äästä,

Lisätiedot

9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit

9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit 9 Maxwellin yhtälöt 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet 9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä 9.5.2 Potentiaaliesitys 9.5.3 Viivästyneet potentiaalit 9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio 9.6 Mittainvarianssi Typeset

Lisätiedot

Aaltoputket ja resonanssikaviteetit

Aaltoputket ja resonanssikaviteetit Luku 12 Aaltoputket ja resonanssikaviteetit Tässä luvussa tutustutaan ohjattuun aaltoliikkeeseen. Kerrataan ensin ajasta riippuvan sähkömagneettisen kentän käyttäytyminen ideaalijohteessa ja sen pinnalla.

Lisätiedot

Pieni silmukka-antenni duaalisuus. Ratkaistaan pienen silmukka-antennin kentät v ielä käy ttämällä d uaalisuud en periaatetta.

Pieni silmukka-antenni duaalisuus. Ratkaistaan pienen silmukka-antennin kentät v ielä käy ttämällä d uaalisuud en periaatetta. Pieni silmukka-antenni duaalisuus Ratkaistaan pienen silmukka-antennin kentät v ielä käy ttämällä d uaalisuud en periaatetta. S amalla saamme my ö s silmukan läh ikentät. Käy tämme h y v äksi sitä, että

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

Sähkömagneettiset aallot

Sähkömagneettiset aallot Luku 11 Sähkömagneettiset aallot Tämä luku käsittelee monokromaattisten sähkömagneettisten aaltojen etenemistä erilaisissa homogeenisissa väliaineissa (RMC luku 17; CL käsittelee aaltoliikettä luvussa

Lisätiedot

Sähkömagneettiset aallot

Sähkömagneettiset aallot Luku 10 Sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettisten aaltojen spektri on erittäin laaja. Esimerkkejä löytyy hyvin matalista taajuuksista aina gammasäteisiin, joiden taajuudet ovat suuruusluokkaa 10 20 10

Lisätiedot

Tfy Fysiikka IIB Mallivastaukset

Tfy Fysiikka IIB Mallivastaukset Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama

Lisätiedot

SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Kriteerit tenttiin Suuriniemi

SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Kriteerit tenttiin Suuriniemi SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Kriteerit tenttiin 26.1.2009. Suuriniemi 1. Ilman perusteluja ei annettu pisteitä. Jos vastaus on oikein ja perustelu liittyy aiheeseen mutta ei mennyt ihan puikkoihin,

Lisätiedot

9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO

9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO 09 9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO Edellisissä kappaleissa olemme tutkineet valon heijastumista peileissä ja taittumista linsseissä geometrisen optiikan approksimaation avulla Approksimaatiossa valon aaltoluonnetta

Lisätiedot

Sähkömagneettiset aallot

Sähkömagneettiset aallot Luku 10 Sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettisten aaltojen spektri on erittäin laaja. Esimerkkejä löytyy hyvin matalista taajuuksista aina gammasäteisiin, joiden taajuudet ovat suuruusluokkaa 10 20 10

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä

Lisätiedot

Aaltoputket ja resonanssikaviteetit

Aaltoputket ja resonanssikaviteetit Luku 12 Aaltoputket ja resonanssikaviteetit Tässä luvussa tutustutaan ohjattuun aaltoliikkeeseen. Kerrataan ensin ajasta riippuvan sähkömagneettisen kentän käyttäytyminen ideaalijohteessa ja sen pinnalla.

Lisätiedot

Luento 15: Mekaaniset aallot. Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot

Luento 15: Mekaaniset aallot. Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot Luento 15: Mekaaniset aallot Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot 1 / 40 Luennon sisältö Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa

Lisätiedot

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 51384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 1. Tutkitaan mikroliuskajohtoa, jonka substraattina on kvartsi (ε r 3,8) ja jonka paksuus (h) on,15 mm. a) Mikä on liuskan leveyden w oltava, jotta ominaisimpedanssi

Lisätiedot

PIENTAAJUISET SÄHKÖ- JA MAGNEETTIKENTÄT HARJOITUSTEHTÄVÄ 1. Pallomaisen solun relaksaatiotaajuus 1 + 1

PIENTAAJUISET SÄHKÖ- JA MAGNEETTIKENTÄT HARJOITUSTEHTÄVÄ 1. Pallomaisen solun relaksaatiotaajuus 1 + 1 Aalto-yliopisto HARJOITUSTEHTÄVIEN Sähkötekniikan korkeakoulu RATKAISUT Sähkömagneettisten kenttien ja optisen säteilyn biologiset 8.1.016 vaikutukset ja mittaukset ELEC-E770 Lauri Puranen Säteilyturvakeskus

Lisätiedot

+ 0, (29.20) 32 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) i c+ ε 0 dφ E / dt ja silmukan kohdalla vaikuttavan magneettivuon tiheyden

+ 0, (29.20) 32 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) i c+ ε 0 dφ E / dt ja silmukan kohdalla vaikuttavan magneettivuon tiheyden 5 3 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) Mitä valo on? Tämä kysymys on askarruttanut ihmisiä vuosisatojen ajan. Nykykäsityksen mukaan valo on luonteeltaan kaksijakoinen eli dualistinen. Valoa

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

Aikariippuva Schrödingerin yhtälö

Aikariippuva Schrödingerin yhtälö Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin

Lisätiedot

Johdantoa antenneihin

Johdantoa antenneihin Johdantoa antenneihin A ntenni Laite, jonka avulla säh köm ag neettia aaltoja void aan (tarkoituksella) läh ettää tai vastaanottaa. E li se m uuntaa oh jatun aallon (aaltop utki/ siirtolinja) vap aan tilan

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

d+tv 1 S l x 2 x 1 x 3 MEI Mallintamisen perusteet Harjoitus 6, kevät 2015 Tuomas Kovanen

d+tv 1 S l x 2 x 1 x 3 MEI Mallintamisen perusteet Harjoitus 6, kevät 2015 Tuomas Kovanen MEI-55100 Mallintamisen perusteet Harjoitus 6, kevät 2015 Tuomas Kovanen Tehtävä 1: Tarkastellaan luentojen esimerkkiä, jossa johepalkki liikkuu kahen johelevyn välissä homogeenisessä magneettikentässä,

Lisätiedot

4. Gaussin laki. (15.4)

4. Gaussin laki. (15.4) Luku 15 Maxwellin yhtälöt 15.1 iirrosvirta Voidaan osoittaa, että vektorikenttä on yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnetaan sen divergenssi, roottori ja reunaehdot. Tämän vuoksi sähkö- ja magneettikenttien

Lisätiedot

Häiriöt kaukokentässä

Häiriöt kaukokentässä Häiriöt kaukokentässä eli kun ollaan kaukana antennista Tavoitteet Tuntee keskeiset periaatteet radioteitse tapahtuvan häiriön kytkeytymiseen ja suojaukseen Tunnistaa kauko- ja lähikentän sähkömagneettisessa

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

jonka peruslait tiivistyvät neljään ns. Maxwellin yhtälöön.

jonka peruslait tiivistyvät neljään ns. Maxwellin yhtälöön. 71 4. SÄHKÖMAGNEETTINEN AALTO Sähköön ja magnetismiin liittyvät havainnot yhdistettiin noin 1800luvun puolessa välissä yhtenäiseksi sähkömagnetismin teoriaksi, jonka peruslait tiivistyvät neljään ns. Maxwellin

Lisätiedot

SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Kriteerit tenttiin Lehti, Niemimäki, Suuriniemi

SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Kriteerit tenttiin Lehti, Niemimäki, Suuriniemi SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Kriteerit tenttiin 27.11.2008. Lehti, Niemimäki, Suuriniemi Ensimmäinen tehtävä tuli arvostelluksi melko tiukasti, mikä näkyi pistekeskiarvossa 3.16: Kyllä/Ei-vastauksiin

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2017 Tämä luentomateriaali on pääosin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 8 Tavoitteet Sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettisten

Lisätiedot

LUT, Sähkötekniikan osasto. 1. Ilmassa etenevällä tasoaallolla on sähkökentän voimakkuus z. d) vaihekerroin

LUT, Sähkötekniikan osasto. 1. Ilmassa etenevällä tasoaallolla on sähkökentän voimakkuus z. d) vaihekerroin SÄHKÖMAGNETISMI LUT, Sähkötekniikan osasto LH5/216 P.I. Ketausta: 1. Ilassa etenevällä tasoaallolla on sähkökentän voiakkuus z t E cos t z Ex,. Aallon taajuus on 2 MHz. Kuvassa 1 on esitetty tasoaallon

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2

Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2 Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2 1 Seuraavat tarkastelut nojaavat trigonometrisille funktioille todistettuihin kaavoihin. sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ (1) cos(α + β) = cosα cosβ sinα

Lisätiedot

E y. 14. helmikuuta 2008

E y. 14. helmikuuta 2008 Impedanssin sovitus Samalla tavalla kuin siirtolinjoillakin, aaltoputken imped anssi h alutaan sovittaa kuorman imped anssiin. A altoputkillakin epäsovitus aih euttaa h eijastuksia. K uormana aaltoputken

Lisätiedot

RG-58U 4,5 db/30m. Spektrianalysaattori. 0,5m. 60m

RG-58U 4,5 db/30m. Spektrianalysaattori. 0,5m. 60m 1. Johtuvia häiiöitä mitataan LISN:n avulla EN55022-standadin mukaisessa johtuvan häiiön mittauksessa. a. 20 MHz taajuudella laite tuottaa 1.5 mv suuuista häiiösignaalia. Läpäiseekö laite standadin B-luokan

Lisätiedot

Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus

Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus värähtelytiheyden. 1 Funktiot ja aallot Aiemmin käsiteltiin funktioita ja miten niiden avulla voidaan kuvata fysiikan

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018

Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018 Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018 Seuraavista 30 tehtävästä viisi tulee Elektrodynamiikka I:n loppukokeeseen 6.3.2018. Koska nämä tehtävät ovat kurssin koetehtäviä, vihjeitä niiden ratkaisemiseen

Lisätiedot

HÄVIÖLLISEN PYÖREÄN AALTOJOHDON SIMULOINTI

HÄVIÖLLISEN PYÖREÄN AALTOJOHDON SIMULOINTI VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jukka Hautala j82212 Toni Takalo n86196 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria HÄVIÖLLISEN PYÖREÄN AALTOJOHDON SIMULOINTI Sivumäärä: 13 Jätetty tarkastettavaksi:

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio Sähkömagneettinen induktio Vuonna 1831 Michael Faraday huomasi jotakin, joka muuttaisi maailmaa: sähkömagneettisen induktion. ( Magneto-electricity ) M. Faraday (1791-1867) M.Faraday: Experimental researches

Lisätiedot

Antennin impedanssi. Z A = R A + jx A, (7 2 ) jossa R A on sy öttöresistanssi ja X A sy öttöreak tanssi. 6. maaliskuuta 2008

Antennin impedanssi. Z A = R A + jx A, (7 2 ) jossa R A on sy öttöresistanssi ja X A sy öttöreak tanssi. 6. maaliskuuta 2008 Antennin impedanssi Antennin sy ö ttö impedanssi on se impedanssi, jolla antenni näk y y sen sy öttöpisteisiin. S y öttöimpedanssiin v aik u ttav at k aik k i antennin läh istöllä olev at rak enteet ja

Lisätiedot

= ( 1) 2 u tt (x, t) = u tt (x, t)

= ( 1) 2 u tt (x, t) = u tt (x, t) Harjoitukset 6, syksy 017 1. Osoita, ettei ajan suunnalla ole merkitystä aaltoyhtälössä: Jos u on ratkaisu, niin U(x, t) = u(x, t) on myös ratkaisu (toisin kuin lämpöyhtälön tapauksessa). Todistus. Funktion

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän

Lisätiedot

SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Arvostelukriteerit tenttiin 28.11.2007 Tentistä oli tällä kertaa hyvin vaikea saada täysiä pisteitä (osasyynä T3), mutta jonkin verran pisteitä oli puolestaan melko helppo

Lisätiedot

Luku 14. z L/2 y L/2. J(r,t)=I(t)δ(x)δ(y)θ(L/2 z)θ(z + L/2) e z (14.1) Kuva 14.1: Yksinkertainen dipoliantenni.

Luku 14. z L/2 y L/2. J(r,t)=I(t)δ(x)δ(y)θ(L/2 z)θ(z + L/2) e z (14.1) Kuva 14.1: Yksinkertainen dipoliantenni. Luku 14 Säteilevät systeemit Edellisessä luvussa käsiteltiin vain yhden varauksellisen hiukkasen säteilykenttiä. Nyt tutustutaan esimerkinomaisesti yksinkertaisiin antenneihin ja varausjoukon aiheuttamaan

Lisätiedot

25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto

25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto 5 INTERFEROMETRI 5.1 Johdanto Interferometrin toiminta perustuu valon interferenssiin. Interferenssillä tarkoitetaan kahden tai useamman aallon yhdistymistä yhdeksi resultanttiaalloksi. Kuvassa 1 tarkastellaan

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Aineaaltodynamiikkaa

Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset

Lisätiedot

Magneettikenttä ja sähkökenttä

Magneettikenttä ja sähkökenttä Magneettikenttä ja sähkökenttä Gaussin laki sähkökentälle suljettu pinta Ampèren laki suljettu käyrä Coulombin laki Biot-Savartin laki Biot-Savartin laki: Onko virtajohdin entisensä? on aina kuvan tasoon

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä

Lisätiedot

Säteilevät systeemit. Luku 15. z L/2 y L/2

Säteilevät systeemit. Luku 15. z L/2 y L/2 Luku 15 Säteilevät systeemit Edellisessä luvussa käsiteltiin vain yhden varauksellisen hiukkasen säteilykenttiä. Nyt tutustutaan esimerkinomaisesti yksinkertaisiin antenneihin ja varausjoukon aiheuttamaan

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 2

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 2 5384A RADIOTKNIIKAN PRUSTT Hajots. Radoaallon tnketssyvyys attn MHz:n taajdella on,6. Laske: a) atn johtavs b) atka, jonka akana taajdella GHz atssa etenevän aallon teho on vaentnt 3 db. Gatn vo olettaa

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Maarit Vesapuisto SATE.2010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 3: SÄHKÖMAGNEETTISET TASOAALLOT

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Maarit Vesapuisto SATE.2010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 3: SÄHKÖMAGNEETTISET TASOAALLOT VAASAN YLIOPISTO TKNILLINN TIDKUNTA SÄHKÖTKNIIKKA Maat Vsapusto SAT. DYNAAMINN KNTTÄTORIA: KAPPAL 3: SÄHKÖMAGNTTIST TASOAALLOT Optusmonst (Raaka vso Vaasassa 8..9 SISÄLLYSLUTTLO 3. SÄHKÖMAGNTTIST TASOAALLOT

Lisätiedot

1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria

1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.

Lisätiedot

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0

Lisätiedot

Liikkuvan varauksen kenttä

Liikkuvan varauksen kenttä Luku 13 Liikkuvan varauksen kenttä Tässä luvussa tutustutaan liikkuvan varauksen aiheuttamaan kenttään. Jokaisen sähködynaamikon on laskettava ainakin kerran elämässään Liénardin ja Wiechertin potentiaalit

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 9 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Dispersio Lähde: https: //www.flickr.com/photos/fastlizard4/5427856900/in/set-72157626537669172,

Lisätiedot

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9 Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 5 1.4 Pari sanaa laskennasta......................

Lisätiedot

Säh k ö isesti pien i an ten n ik in v o i o lla m atalilla taaju u k silla fy y sisesti h y v in su u ri.

Säh k ö isesti pien i an ten n ik in v o i o lla m atalilla taaju u k silla fy y sisesti h y v in su u ri. Kä y tä n n ö n sä h k ö ise sti p ie n e t d ip o lit Säh k ö isesti pien en an ten n in k o k o o n alle λ/1 0. Säh k ö isesti pien i an ten n ik in v o i o lla m atalilla taaju u k silla fy y sisesti

Lisätiedot

Projektin arvon aleneminen

Projektin arvon aleneminen Projektin arvon aleneminen sivut 99-07 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Arvon aleneminen Jatketaan projektin arvon tutkimista. Nyt huomioidaan arvon aleneminen. Syitä esimerkiksi: kaluston vanheneminen

Lisätiedot

1 Johdanto Mikä tämä kurssi on Hieman taustaa Elektrodynamiikan perusrakenne Kirjallisuutta... 8

1 Johdanto Mikä tämä kurssi on Hieman taustaa Elektrodynamiikan perusrakenne Kirjallisuutta... 8 Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 6 1.4 Kirjallisuutta...........................

Lisätiedot

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1 Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012

Lisätiedot

Diracin yhtälö Björkenin ja Drellin formulaation mukaan on I 0. 0 i 1 0

Diracin yhtälö Björkenin ja Drellin formulaation mukaan on I 0. 0 i 1 0 Diracin spinorit. Määritelmiä Diracin yhtälö Björkenin ja Drellin formulaation mukaan on γ µ (i µ ea µ ψ = mψ, ψ C 4, missä matriisit γ µ ovat ( γ = γ = I I, γ k = γ k = ( σ k σ k missä edelleen I on 2

Lisätiedot

Elektrodynamiikka, kevät 2008

Elektrodynamiikka, kevät 2008 Elektrodynamiikka, kevät 2008 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Sivunumerot viittaavat vuoden 2007 luentomonisteeseen. Sivun 18 loppu: Vaikka esimerkissä

Lisätiedot

SATE2010 Dynaaminen kenttäteoria syksy /8 Laskuharjoitus 7 / Smithin-kartan käyttö siirtojohtojen sovituksessa

SATE2010 Dynaaminen kenttäteoria syksy /8 Laskuharjoitus 7 / Smithin-kartan käyttö siirtojohtojen sovituksessa SATE2010 Dynaaminen kenttäteoria syksy 2010 1 /8 Tehtävä 1. Häviötön linja (70 Ω), joka toimii taajuudella 280 MHz, on päätetty kuormaan Z = 60,3 /30,7 Ω. Käytä Smithin karttaa määrittäessäsi, kuinka suuri

Lisätiedot

Liikkuvan varauksen kenttä

Liikkuvan varauksen kenttä Luku 14 Liikkuvan varauksen kenttä Tässä luvussa tutustutaan liikkuvan varauksen aiheuttamaan kenttään. Asiaa on käsitelty RMC:n luvussa 21 ja CL:n luvussa 13. Jokaisen sähködynaamikon on laskettava ainakin

Lisätiedot

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä

Lisätiedot

E p1 = 1 e 2. e 2. E p2 = 1. Vuorovaikutusenergian kolme ensimmäistä termiä on siis

E p1 = 1 e 2. e 2. E p2 = 1. Vuorovaikutusenergian kolme ensimmäistä termiä on siis 763343A IINTEÄN AINEEN FYSIIA Ratkaisut 3 evät 2017 1. Tehtävä: CsCl muodostuu Cs + - ja Cl -ioneista, jotka asettuvat tilakeskeisen rakenteen vuoropaikoille (kuva). Laske tämän rakenteen Madelungin vakion

Lisätiedot