SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

Transkriptio

1 SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka

2 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän voimakkuus Ensimmäinen johdonmukainen havainto sähköstä: Coulombin laki F q 1 q 2 Ω F 12 (r 1 ) = q 1q 2 4πɛ 0 r 1 r 2 r 1 r Argumenttina vektori (koordinaatit) ja paluuarvona myös vektori 2

3 2. Sisältää paikallaan pysyvien varausten välisen vuorovaikutuksen Useita varauksia: asetetaan testivaraus q 3 ja lasketaan voimat F 12 F 13 yhteen. F F 13 q 3 F 12 q 1 q 2 Ω F(r 1 ) = F 12 (r 1 ) + F 13 (r 1 ). Sähkökentän idea: voima varausta kohti tarkastelualueen Ω jokaisessa pisteessä, q 1 E(r 1 ) = F(r 1 ). Yleistyy varausjakaumille, dipoleille, etc. 3

4 Kenttien integraalit Käyrä-, pinta- ja tilavuusintegraalit Varaukseen liikuttamiseen käyrällä C tarvittava työ: q 1 C q 2 W = q 1 C E dl Virta pinnan läpi S n J I = S J nda 4

5 Tilavuudessa oleva kokonaisvaraus: V ρ Q = V ρ dv 5

6 Sähkövuon tiheys Tarkastellaan tyhjössä olevaa varausta q: Integroidaan sen aiheuttama E kenttä pienen pallopinnan yli. S q x n S q r r 4πɛ 0 r r 3 n da. Jokaisella säteelle x, pätee, että r r = x ja r r r r = n, jolloin saamme S q 1 4πɛ 0 x 2 da = q 4πɛ 0 x 2 S da = q 4πɛ 0 x 2 4πx2 = q ɛ 0. 6

7 Pinnan muodolla ei ole väliä (kunhan se rajaa varauksen), vain sisäpuolella olevan varauksen suuruudella, jolloin tyhjössä ɛ 0 E nda = q i, V i missä q i on pistevaraukset tilavuudessa V. Yleistyy myös muille varausjakaumille, ɛ 0 E nda = V V ρ dv. Mutta entäpä muunlaiset materiaalit? 7

8 Eristeessä jokaiselle tilavuudelle V pätee, ɛ 0 E nda + P nda = (ɛ 0 E + P) nda = V V tai div (ɛ 0 E + P) = ρ. Kenttä D = ɛ 0 E + P on sähkövuon tiheys. V V ρ dv, Yleensä ɛ 0 ja χ e yhdistetään, D = ɛ 0 E + P = (ɛ 0 + χ e )E = ɛe. Suuretta ɛ kutsutaan materiaalin permittiivisyydeksi. Sähköstatiikan lainalaisuudet ovat siis curl (E) = 0 div (D) = ρ ja ne kytkee toisiinsa väliaineyhtälö D = ɛe. 8

9 Magnetostatiikka Keskeinen havainto on voima kahden virtasilmukan välillä. F 12 S 2 I 2 I 1 S 1 Virtajohdin luo aina ympärilleen magneettikentän Biot-Savartin lain mukaan: B(r) = µ J(r ) (r r ) 4π V r r 3 dv. (1) Pitkälle suoralle johtimelle (ilmassa) voidaan johtaa yhtälö 9

10 (peräisin Ampère-Maxwellista) B = µ 0I 2πr. (2) Voidaan näyttää, että div(b) = 0 pätee magneettivuon tiheydelle B. 10

11 Magneettikentän voimakkuus H toteuttaa Ampèren lain H dl = J n da S S S J tai curl(h) = J, missä J on virrantiheys. 11

12 Monet materiaalit reagoivat magneettikenttään, vastaavalla tavalla monet materiaalit reagoivat sähkökenttään. Magnetoituvien materiaalien mallintamisessa käytetään yksinkertaista dipolimallia. Magneettisia dipoleita merkitään m:lla ja niiden jakaumaa, magnetisaatiota, M:lla. Magneettinen suskeptibiliteetti χ m kuvaa magnetisaation voimakkuuden H funktiona, M = χ m H. Väliaineyhtälö magneettikentälle on B = µ 0 (H + M) = µ 0 (1 + χ m )H, tai B = µh, missä µ on materiaalin permeabiliteetti. Lineaarisessa väliaineessa µ on vakio (oletetaan vakioksi) H:n suhteen. 12

13 Faradayn laki Faradayn lain mukaan: B n S S magneettivuon Φ = B n da aikamuutos pinnan S läpi on S miinus sähkömotorinen voima V = E dl pinnan reunan yli S S, V = dφ tai E dl = d B n da. dt S dt S Pätee kaikille pinnoille S! 13

14 Huomaa, että integraali kentästä, joka on nolla, on nolla. Jos B muuttuu ajan suhteen, myös vuo muuttuu, jolloin integraali E:sta ei ole nolla E ei ole nolla kenttä. Faradayn laki differentiaalimuodossa: Oletetaan, että S ei liiku. Tällöin B E dl = S S t n da. pätee. Tämä voidaan esittää Stokesin lauseen avulla muodossa: B curl (E) n da = t n da. S Pätee kaikille pinnoille S, joten seuraavan lain täytyy toteutua: curl (E) = B t. MUISTA! Integraalimuoto pätee myös jos S liikkuu, mutta differentiaalimuoto vaatii tällöin extra termejä E kentaän lisäksi, kuten v B. S 14

15 Ampère-Maxwellin laki Tarkastellaan alla olevaa tapausta. Ampèren lain mukaan H:n integraali S:n yli on yhtä suuri kuin pinnan S 1 läpi menevä nettovirta I. S S 1 J n Mutta S 1 ei ole ainoa pinta, jota käyrä S rajaa. 15

16 S on myös pinnan S 2 reuna, mutta nettovirta S 2 : läpi on nolla! S S 1 J n n S 2 Mitä tässä oikein tapahtuu? 16

17 Varausten säilymisen perusteella, varausten virta lisää kondensaattorin levyllä olevaa varausta. Niinpä levyllä olevan kokonaisvarauksen (ja siten varaustiheyden) täytyy muuttua. Ts. tämä ei voi olla staattinen tapaus. Koetetaan hyödyntää virranjatkuvuusyhtälöä J n da = d ρ dv = dq dt dt. V Paikallaan olevalle tilavuudelle V pätee ρ J n da = t dv. V Gaussin lain perusteella div (J) dv = V V V V ρ t dv ja koska tämä toteutuu kaikille mahdollisille tilavuuksille V, 17

18 saamme: div (J) = ρ t. Tarkastellaan V J n da = d dt ρ dv tilavuudessa, jonka V reuna pinta S 1 + S 2 on. Tällöin J n da = d ρ dv. S 1 +S 2 dt V S S 1 J n n S 2 18

19 Varaustiheyden ja sähkökentän liittää toisiinsa Gaussin laki ρ dv = D n da. V V Nämä yhdistämällä voidaan muodostaa yhtälö J n da = d D n da = S 1 +S 2 dt V tilavuudelle V, joka ei liiku. S 1 +S 2 D t n da S S 1 J n n S 2 19

20 Tästä voimme päätellä, että S 1 (J + D t ) n da = S 2 (J + D t ) n da. Itse Maxwell teki olettamuksen, että ainoastaan J ei yksin riitä vaan, että tarvitaan molemmat termit eli J + D t. Olemme siis muodostaneet nk. Ampère-Maxwell lain H dl = (J + D D ) n da, tai curl (H) = J + t t. S S 20

21 Maxwellin yhtälöt Integraali muodossa Differentiaali muodossa S H dl = D (J + S t ) n da D curl (H) = J + t S E dl = d dt S B n da B curl (E) = t B n da = 0 div (B) = 0 V V D n da = V ρ dv div (D) = ρ D = ɛe J = σe B = µh Muista myös virranjatkuvuusyhtälö, joka voidaan johtaa Ampère-Maxwellin yhtälöstä. 21

22 Esimerkki:Virrallisen johdinparin aiheuttama sähkömotorinen voima (häiriöjännite) silmukkaan Alla on periaatekuva tapauksesta, missä vasemmalla on johdinpari ja oikealla silmukka, jossa häiriöjännitettä mitataan. Olkoon johdinten välinen etäisyys 2 a ja etäisyys niin puolivälistä silmukan puoliväliin R. Silmukan pinta-ala on A = d 2 l. R I I n l 2 a d 2 22

23 Silmukka on pienikokoinen ja kaukana johdinparista (R a), joten oletetaan virtajohdinten aiheuttaman kentän olevan vakio silmukassa. Lasketaan ensiksi Ampèren lain avulla virtajohdinten aiheuttama kenttä silmukan keskellä. Kun H on tunnettu, B saadaan väliaineyhtälöstä B = µh. Lopuksi Faradayn laista saadaan sähkömotorisen voiman suuruus. 23

24 1. Yhden johtimen aiheuttama kenttä etäisyydellä r. Kuten edellä on tullut esille Toisaalta J nda = I. S Joten H = I 2πr. S H dl = 2πrH. 2. Molempien virtajohdinten aiheuttama kenttä silmukkaan (H k =kentän voimakkuus silmukan keskipisteessä) H k = I 2π ( 1 R a 1 R + a ) (3) = I 2π ( 2a R 2 a 2 ) I2a 2πR 2 (4) 24

25 Silmukan normaali on samansuuntainen H:n kanssa, joten B n = µ 0 (µ 0 on tyhjön permeabiliteetti) Ia πr 2 3. Jos virta on muotoa I = i 0 sin(ωt), niin silmukkaan indusoitunut sähkömotorinen voima on e = φ t = µ 0ω aa πr 2 i 0cos(ωt). (5) 4. Jos tarkoituksena on pienentää häiriöjännitettä, on ainakin kaksi mahdollisuuutta (a) pienennetään a:ta (johtimet tiukkaksi johdinpariksi) (b) pienennetään tehollista pinta-alaa; joka käännetään johdinta tai pyritään pienentämään sen pinta-alaa. 25

26 Ohmin lain mukaan J = σe, (6) missä σ on johtavuus (vrt. U=RI). Huomaa siis, että muuttuva magneettikenttä, joka indusoi sähkömotorisen voiman, aiheuttaa johteisiin pyörrevirtoja. 26