Eulerin summia. Kai Kaskela. Matematiikan pro gradu

Transkriptio

1 Eulerin summia Kai Kaskela Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 4

2 Tiivistelmä: Kai Kaskela, Eulerin summia, matematiikan pro gradu -tutkielma, 37 s., Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, kevät 4. Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella menetelmiä joilla voidaan laskea niin kutsuttuja Eulerin summia. Eulerin summia ovat Riemannin zeeta-funktion ζs n arvoja parillisissa ja positiivisissa kokonaislukupisteissä. Vaikka kyseessä on joukko äärettömiä summia, niin Eulerin summien laskemiseksi on mahdol- n s lista johtaa eksplisiittinen kaava. Tämä voidaan tehdä ainakin kahdella eri tavalla, joista tässä tekstissä tarkastellaan lähemmin ainoastaan toista. z Määritellään niin kutsutut Bernoullin luvut seuraavasti: Kehitetään funktio e z potenssisarjaksi, ja kutsutaan kyseisen potenssisarjan kertoimia Bernoullin luvuiksi z B n. Määritelmän mukaan pätee siis e z B n zn. Manipuloimalla tätä lauseketta sopivasti voidaan löytää seuraava sarjaesitys: z cot z n! 4n z B n n. n! Funktiolle z cot z on mahdollista johtaa myös seuraavanlainen sarjaesitys: z cot z z m m π m k. Potenssisarjat ovat samat täsmälleen silloin kun samaa k m astetta olevien termien kertoimet ovat samat, joten näistä kahdesta sarjaesityksestä voidaan asettaa termien z m kertoimet yhtäsuuriksi, ja pienen sieventämisen jälkeen saadaan kaava ζm k k m 4 m B m π m. m! Kaava on oikeastaan hämmästyttävän yksinkertainen ottaen huomioon, että sillä saa laskettua äärettömän määrän äärettömiä summia. Edellä määritellyt Bernoullin luvut voidaan lukujen laskemisen helpottamiseksi määritellä myös rekursion avulla, ja ensimmäisiksi luvuiksi saadaan laskettua B, B /, B /6, B 3 ja B 4 /3. Tätä tietoa käyttämällä saadaan edellisen kaavan avulla laskettua kahdeksi ensimmäiseksi Eulerin summaksi ζ π /6 ja ζ4 π 4 /9. Mielenkiintoinen huomio on, että mielivaltaisella n esimerkiksi osasumma n k on rationaalinen, k mutta raja-arvo on silti transkendenttinen π /6. Edellisen lisäksi on olemassa useita menetelmiä laskea yksittäisiä Eulerin summia. Esimerkiksi Fourier-analyysi tarjoaa kaksi työkalua: Parsevalin kaavan ja Fouriersarjan termeittäinintegrointilauseen. Soveltamalla Parsevalin kaavaa π π π fx dx a + a j + b j, missä a j ja b j ovat funktion f Fourier-kertoimia esimerkiksi funktioon f : [ π, π] R, fx x saadaan laskettua ζ4. Fourier-sarja voidaan integroida termeittäin mielivaltaisen välin yli, toisin sanoen pätee x x fx dx x x a dx + j x x j a j cosjx + b j sinjx dx, missä a j ja b j ovat edelleen funktion f Fourier-kertoimia. Soveltamalla tätä tulosta funktioon f : [ π, π] R, fx x ja integroimalla yli välin [, π] saadaan laskettua ζ. i

3 Sisältö Johdanto Luku. Johdattelua ja määritelmiä.. Määritelmiä.. Funktio sinc ja ensimmäinen Eulerin summa 5 Luku. Kompleksianalyyttinen lähestymistapa 7.. Alkeisfunktiot kompleksitasossa 7.. Ensimmäinen Eulerin summa trigonometriaa ja algebraa hyödyntäen 9 Luku 3. Bernoullin lukuja ja Eulerin summia 3.. Bernoullin luvut 3.. Lauseita potenssisarjoille ja Bernoullin luvuille Tangenttifunktion sarjakehitelmä 9 Luku 4. Fourier-teoriaa ja Eulerin summia 4.. Fourier-sarjojen perusteita 4.. Bernoullin polynomit Parsevalin kaava Fourier-sarjan integrointi Sinifunktion tuloesitys 3 Kirjallisuutta 34 ii

4 Johdanto Tämän kirjoitelman tarkoituksena on tarkastella menetelmiä joilla voidaan laskea niin kutsuttuja Eulerin summia. Eulerin summia ovat muotoa n olevat n k summat, missä eksponentti k on parillinen ja positiivinen kokonaisluku. Analyysin kursseilla ja oppikirjoissa todistetaan koko joukko lauseita, joilla voi tutkia sarjan suppenemista. Sarjojen summien laskemiseksi ei kuitenkaan ole olemassa mitään yleispätevää menetelmää. Eulerin summien ollessa kyseessä on kuitenkin mahdollista löytää jopa eksplisiittinen kaava jolla saadaan ratkaistua kaikki summat. Tämä kaava johdetaan tässä tutkielmassa kahdella eri tavalla, joista toinen perustuu klassiseen sarjateoriaan ja toinen Fourier-analyysiin. Molemmissa tullaan tarvitsemaan lisäksi niin kutsuttuja Bernoullin lukuja. Lisäksi tutkielmassa esitellään kourallinen erilaisia menetelmiä, joilla saa laskettua yksittäisiä Eulerin summia. Tässä vaiheessa on hyvä huomauttaa lukijalle, että tutkielman lähestymistapa on joiltain osin ei-perinteinen; yleensä matemaattinen esitystapa noudattaa kaavaa määritelmä - lause - lause joka todistetaan edellisen lauseen avulla -... Tässä työssä kuitenkin välillä tehdään jotain mielenkiintoista ja vasta sen jälkeen mietitään onko tämä perusteltua. Esitietoina lukijalta vaaditaan lähinnä sarjateorian perusteiden ymmärrystä, ja tällaisen pohjan omaaville onkin tarjolla mielenkiintoista ja monipuolista sisältöä. Tutkielman ensimmäinen ja toinen luku sopivat kuitenkin vaikeustasonsa puolesta vaikkapa harjaantuneelle lukiolaiselle. Kahdessa ensimmäisessä luvussa tullaan määritelmien ja pohjatulosten lisäksi tarkastelemaan kahta eri keinoa summan n laskemiseksi. Luvuissa 3 ja 4 käsitellään yleistä menetelmää laskea Eulerin summia, ja esitellään muuta kiinnostavaa sar- n jateoriaa. Tutkielma pohjautuu suurimmilta osin Richard Courantin ja Fritz Johnin Introduction to Calculus and Analysis teokseen [] ja Tom M. Apostolin Mathematical Analysis: A Modern Approach to Advanced Calculus teokseen [7]. Lisäksi sarjateorian ja kompleksianalyysin perustulosten lähteinä on käytetty Tero Kilpeläisen Analyysi 3- ja Kompleksianalyysi-luentomonisteita [4], [5].

5 LUKU Johdattelua ja määritelmiä.. Määritelmiä Aloitetaan määrittelemällä Eulerin summat, jonka jälkeen ryhdytään tarkastelemaan niiden laskemista. Ensimmäisenä määriteltävä funktio, Riemannin zeeta-funktio, on muutenkin mielenkiintoinen funktio se liittyy muun muassa alkulukujen jakaumaan lukusuoralla, mutta tässä tutkielmassa sitä käytetään ainoastaan Eulerin summien määrittelyyn. Lisäksi seuraavassa osoitetaan, että Riemannin zeeta-funktio suppenee koko määrittelyjoukossaan. Määritelmä.. Määritellään funktio ζ : ], [ R, ζs n. s n Tätä funktiota kutsutaan Riemannin zeeta-funktioksi. Huomautus.. Lukusarjan määritelmän mukaan k ζs n lim s k n s n Ennen kuin jatketaan zeeta-funktion analyyttisempää käsittelyä perustellaan kuvasta katsomalla, että Riemannin zeeta-funktio suppenee muuttujan s arvoilla s. Vaikka pelkkää kuvaan perustuvaa päättelyä ei tietenkään voi pitää tarkkana perusteluna, niin kuva antaa usein hyviä ideoita sille miten asiat todellisuudessa ovat. n Lause.3. Riemannin zeeta-funktio suppenee arvoilla s. Todistus. Käytetään todistuksessa apuna tietoa siitä, että geometrinen sarja + / + /4 + /8 + / suppenee ja sarjan summa on k /k. Perustellaan tämäkin tulos kuvan avulla: Kun tulkitaan sarjan termit ensimmäistä lukuunottamatta pinta-aloiksi niin huomataan, että ne täyttävät neliön jonka sivun pituus on yksi kuva.. Kun tähän lisätään ensimmäinen termi, saadaan summaksi kaksi. Tutkitaan sitten tapausta ζ. Tarkastellaan suorakulmiota jonka kannan pituus on kaksi ja korkeus yksi. Jaetaan kanta siten, että jakopisteet ovat edellä tarkastellun geometrisen sarjan termien määräämät. Tulkitaan sarjan ζ termit taas pinta-aloiksi. Sarjan ensimmäinen termi on, joten se täyttää puolet suorakulmiosta. Seuraavat termit ovat /4 ja /9. Näiden summa on pienempi kuin /4 + /4 /, mikä on tarkastellun suorakulmion seuraavan lohkon ala. Edelleen sarjan neljä seuraavaa termiä ovat /6, /5, /36 ja /49, joiden summa on taas pienempi kuin 4 /6, mikä on suorakulmion seuraava palanen. Näin jatkamalla huomataan, että

6 .. MÄÄRITELMIÄ Kuva.. Geometrisen sarjan summa pinta-alaksi tulkittuna. sarjan ζ summa on pienempää kuin kaksi kuva.. Kun muuttuja s saa suurempia arvoja kuin kaksi, niin sarjan summa luonnollisesti pienenee. Näin ollen väite on tosi Kuva.. Sarjan ζ summa pinta-alaksi tulkittuna.

7 .. MÄÄRITELMIÄ 4 Perustellaan sama tulos vielä tarkasti. Itse asiassa huomataan, että sarja suppenee vielä hieman suuremmassa joukossa kuin edellä saatiin kuvasta pääteltyä. Lause.4. Riemannin zeeta-funktion määräämä sarja suppenee kaikilla muuttujan s arvoilla joille s >. Todistus. Todistetaan funktion suppeneminen käyttämällä integraalitestiä, joka on yksi monista lukusarjan suppenemisen tutkimiseen tarkoitetuista testeistä. Integraalitestin idea on seuraavanlainen: Olkoon funktio f : [, [ [, [ jatkuva ja vähenevä funktio, ja a n fn. Tällöin sarja n a n suppenee jos ja vain jos epäoleellinen Riemann-integraali fx dx x s dx fx dx suppenee, eli jos c lim fx dx < c Integraalitestin tarkka todistus sivuutetaan tässä tutkielmassa. Se löytyy esimerkiksi Tero Kilpeläisen Analyysi 3-luentomonisteesta [4, 4.5.]. Kuitenkin jo kuvasta katsomalla voidaan löytää intuitiivinen perustelu lauseen toiselle suunnalle; jos integraali suppenee niin sarja suppenee. Tarkastellaan esimerkkinä sarjaa n ja funktiota n f : [, [ [, [, fx /x. Funktio f toteuttaa selvästi integraalitestin vaatimat oletukset. Tulkitaan nyt jokainen sarjan termi suorakulmioksi jonka kannan pituus on ja korkeus /n. Asetetaan nämä suorakulmiot sopivasti koordinaatistoon funktion f kuvaajan kanssa kuva.3. Kuvasta nähdään, että suorakulmioiden yhteenlaskettu pinta-ala on pienempi kuin funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala pois lukien sarjan ensimmäinen termi, joka ei vaikuta suppenevuuteen millään tavalla. Siispä jos funktion f epäoleellinen integraali yli välin [, [ suppenee, niin myös sen alle jäävän sarjan täytyy supeta. Muille sarjoille ja vastaaville funktioille voidaan käyttää vastaavaa mallinnusta, ja edellä esimerkkinä käytetty sarja valikoitui havainnollistukseksi lähinnä piirtoteknisistä syistä. Itse asiassa sarja n ja vastaavan funktion integraali ei edes suppene, kuten seuraavassa tullaan osoittamaan. n Ryhdytään nyt tarkastelemaan funktiota f : [, [ [, [, fx /x s, s R. Funktio f on jatkuva, sekä selvästi myös vähenevä. Nyt pätee c c log c, jos s Siten integraalin raja-arvolle pätee Näin ollen integraali c lim c x dx s s c s, jos s. s, jos s > +, jos s. x s dx

8 .. FUNKTIO SINC JA ENSIMMÄINEN EULERIN SUMMA 5 Kuva.3. Funktion fx /x kuvaaja ja sarjan n n geometrisesti tulkittuna. summa suppenee jos, ja vain jos s >. Siispä myös vastaava lukusarja n suppenee n s täsmälleen silloin, kun s >. Riemannin zeeta-funktion määrittelyjoukko on ], [, joten funktio suppenee koko määrittelyjoukossaan. Määritelmä.5. Eulerin summiksi kutsutaan Riemannin zeeta-funktion arvoja parillisissa kokonaislukupisteissä ζm, m Z +. Huomautus.6. Edellä todistetusta lauseesta seuraa oleellisesti se, että kaikki Eulerin summat ovat suppenevat ja ovat siten äärellisiä. Vaikka Eulerin summat ovat äärettömiä, niiden arvojen laskemiseen on olemassa useita erilaisia menetelmiä joita tässä tutkielmassa on tarkoitus tarkastella. Aloitetaan laskemalla ensimmäinen Eulerin summa, ζ. Lasku itsessään on helpohko ja sen ymmärtää helposti jos tuntee sinifunktion ja polynomien käyttäytymisen... Funktio sinc ja ensimmäinen Eulerin summa Määritellään funktio sinc : R R,, kun x sincx sinx muulloin. x Funktion sinx nollakohdat ovat ±π, ±π, ±3π,..., ja funktiolla sincx on nyt selvästi samat nollakohdat. Polynomit voidaan tunnetusti esittää tulona nollakohtiensa avulla. Jos nyt sinc olisi -asteinen polynomi, se voitaisiin esittää samoin tulona, eli muodossa sinx x x π + x π x π + x π x 3π + x 3π... x x x π 4π 9π...

9 .. FUNKTIO SINC JA ENSIMMÄINEN EULERIN SUMMA 6 Tuloesityksessäkin saadaan selvästi muuttujan x arvolla funktion arvoksi, joten sekin ehto on kunnossa. Tarkastellaan nyt tuloesitystä hieman tarkemmin. Muodollisesti, jos tulo kirjoitetaan auki, saadaan sinx x x x x π 4π 9π x 6π... x π x 4π x 9π x 6π + x4 4π + x4 4 9π + x4 4 6π + x6 4 36π... 6 Kun tulo kirjoitetaan auki, huomataan että se sisältää selvästi sarjan π + π + 3 π +... x sekä sen lisäksi muuttujan x korkeampia potensseja. Toisaalta, kun käytetään sinifunktion Taylorin kehitelmää, voidaan funktio sinc esittää muodossa sinx x x x 3! x3 + 5! x5 7! x ! x + 5! x4 7! x Funktio sinc oli alunperin tulkittu polynomiksi, ja kaksi polynomia ovat samat täsmälleen silloin kun samaa astetta olevien muuttujien kertoimet ovat samat. Siispä muuttujan x kertoimille on oltava π 4π 9π 6π 3! Kerrotaan yhtälö puolittain vakiolla π ja saadaan Eli toisin sanoen π 3! π 6 ζ π 6. Ensimmäiselle Eulerin summalle on siis nyt saatu laskettua tarkka arvo. Oletuksena oli tosin, että funktio sinc käyttäytyy tekijöihin jaon suhteen kuten polynomi. Tämä tullaan osoittamaan myöhemmin kappaleessa 4.5, kunhan saadaan ensin käyttöön riittävästi tarpeellisia työkaluja. Osa päättelystä on siis vielä tyhjän päällä, mutta jatketaan ja tarkastellaan seuraavaksi toista, hieman tarkempaa tapaa laskea Eulerin summia.

10 LUKU Kompleksianalyyttinen lähestymistapa.. Alkeisfunktiot kompleksitasossa Tässä kappaleessa tarkastellaan lyhyesti kompleksilukuihin liittyviä määritelmiä ja tuloksia, joita tarvitaan myöhemmin Eulerin summien käsittelyssä. Muistetaan, että kompleksiluku z C on muotoa z x+iy, missä x, y R ja imaginaariyksikölle i pätee i. Sanotaan, että tätä muotoa olevan luvun z reaaliosa on Rez : x ja imaginaariosa Imz : y. Lause. de Moivren kaava. Kaikille luvuille θ R ja n N pätee cos θ + i sin θ n cosnθ + i sinnθ Todistus. Tehdään induktiotodistus muuttujan n suhteen. Kun n, on väite triviaalisti tosi. Oletetaan sitten, että väite pätee jollekin kokonaisluvulle k N ja osoitetaan trigonometristen funktioiden summakaavoja hyödyntäen, että väite pätee myös muuttujalle n k + : cos θ + i sin θ k+ cos θ + i sin θ k cos θ + i sin θ coskθ + i sinkθcos θ + i sin θ coskθ cos θ + coskθi sin θ + i sinkθ cos θ + i sinkθi sin θ coskθ cos θ sinkθ sin θ + i coskθ sin θ + sinkθ cos θ coskθ + θ + i sinkθ + θ cosk + θ + i sink + θ Induktioperiaatteen nojalla väite on siis tosi. Määritellään sitten kompleksinen eksponenttifunktio sekä hyperboliset funktiot, ja tarkastellaan niihin liittyviä tuloksia. Reaalinen eksponenttifunktio voidaan kehittää Taylorin sarjaksi, ja sarjaesitys on e t + t + t! + t3 3! + t k k!. Muistetaan lisäksi, että i, i 3 i, i 4, i 5 i, i 6, ja niin edelleen. Kun lisäksi muistetaan sinin ja kosinin Taylorin kehitelmät, voidaan formaalisti laskea 7 k

11 .. ALKEISFUNKTIOT KOMPLEKSITASOSSA 8 e iy + iy y! iy3 + y4 3! 4! + iy5... 5! y! + y4 4! cos y + i sin y... iy y3 3! + y5 5!... Kun sovelletaan lisäksi reaalisen eksponenttifunktion laskusääntöä e x e y e x+y, on kohtalaisen perusteltua määritellä kompleksinen eksponenttifunktio seuraavalla tavalla: Määritelmä.. Olkoon z x + iy C. Funktio on kompleksinen eksponenttifunktio. expz : e z : e x cos y + i sin y Osoitetaan vielä, että myös kompleksiselle eksponenttifunktiolle pätee ominaisuus e x e y e x+y. Tämän jälkeen todistetaan lause. uudestaan, ja huomataan, että uuden työkalun käyttöönotto tarjoaa usein uusia ja tehokkaampia tapoja käsitellä ongelmia. Lemma.3. Olkoot luvut z, w C mielivaltaisia ja n N. Tällöin pätee i e z e w e z+w ii e z n e nz Todistus. i Olkoot z x + iy ja w u + iv. Väite seuraa suoralla laskulla eksponenttifunktion määritelmästä sekä trigonometristen funktioiden laskusäännöistä: e z e w e x e u cos y + i sin ycos v + i sin v e x+u cos y cos v + i cos y sin v + i cos v sin y sin y sin v e x+u cos y cos v sin y sin v + icos y sin v + sin y cos v e x+u cosy + v + i siny + v e z+w Väite ii seuraa väitteestä i helpolla induktiolla. Nyt huomataan, että lause. seuraa suoraan edellisen lauseen ii kohdasta erikoistapauksessa z + iθ: cos θ + i sin θ n e +iθ n e inθ cosnθ + i sinnθ Määritellään tässä yhteydessä myös hyperboliset funktiot joita tarvitaan myöhemmin tutkielman kolmannessa luvussa, sillä kompleksitasossa ne liittyvät läheisesti trigonometrisiin funktioihin, kuten seuraavassa huomataan. Määritelmä.4. Hyperbolinen sini on funktio sinh : C C, sinh x ex e x ja hyperbolinen kosini on funktio cosh : C C, cosh x ex + e x. Lisäksi

12 .. ENSIMMÄINEN EULERIN SUMMA TRIGONOMETRIAA JA ALGEBRAA HYÖDYNTÄEN 9 hyperbolinen tangentti määritellään luonnollisella tavalla, tanh : C C, tanh x sinh x cosh x ex e x e x + e x Lause.5. Hyperbolisille funktioille pätee coshix cos x ja sinhix i sin x. Todistus. Väite seuraa suoraan eksponenttifunktion määritelmästä, kosinin parillisuudesta cosx cos x ja sinin parittomuudesta sinx sin x: coshix eix + e ix cosx + i sinx + cos x + i sin x cosx Väitteen toinen osa todistetaan vastaavasti... Ensimmäinen Eulerin summa trigonometriaa ja algebraa hyödyntäen Tässä kappaleessa lasketaan ensimmäinen Eulerin summa käyttäen apuna edellä todistettuja kompleksianalyysin työkaluja, sekä trigonometristen funktioiden ominaisuuksia. Lisäksi tarvitaan seuraavaksi todistettava lemma, joka antaa yhteyden polynomin juurten ja kertoimien välille. Lemma.6 Vietan kaavat. Mielivaltaisen polynomin qx a n x n + a n x n + + a x + a juurille x, x..., x n pätee x + x + + x n a n a n. Todistus. Polynomi qx voidaan esittää juuriensa tulona, ja edelleen laskemalla tulo muodollisesti auki saadaan qx a n x n + a n x n + + a x + a a n x n + a n a n x n + + a a n x + a a n a n x x n x x n... x x a n x n x + x + + x n x n + + n x x x n. Polynomit ovat samat täsmälleen silloin kun niiden samaa astetta olevien muuttujien kertoimet ovat samat, joten astetta n olevien termien kertoimista saadaan a n /a n x +x + +x n, ja edelleen kertomalla puolittain vakiolla saadaan väite. Huomautus.7. Ylläolevasta lemmasta saadaan tietty muitakin yhteyksiä juurten ja kertoimien välille, esimerkiksi a /a n n x x x n ja niin edelleen. Ryhdytään sitten tarkastelemaan Eulerin summan laskemista. Toistaiseksi kiinnitetään kokonaisluku n >, ja kokonaisluvuille k n asetetaan θ k kπ. n+ Ensimmäiseksi käytetään edellä todistettua De-Moivren kaavaa sekä Newtonin binomikaavaa, ja konstruoidaan polynomi jonka juuret ovat cot θ k cos θ k / sin θ k, k,..., n. Merkitään seuraavassa θ k : θ, ja lähdetään etsimään luvulle esitysmuotoa josta löydetään haluttu polynomi:

13 .. ENSIMMÄINEN EULERIN SUMMA TRIGONOMETRIAA JA ALGEBRAA HYÖDYNTÄEN sinkπ sinn + θ Im[cosn + θ + i sinn + θ] Im[cos θ + i sin θ n+ ] [ n+ n + Im k k [ n + Im n + + cos n+ k θ i k sin k θ cos n+ θ + cos n θ sin θ + ] n + cos n θ i sin θ n + 3 cos n θ i sin 3 θ +... ] Kun muistetaan imaginaariyksikön i potenssien käyttäytyminen, niin ylläolevasta aukikirjoitetusta summalausekkeesta huomataan heti, että summan termit sisältävät imaginaariyksikön ainoastaan parittomilla indeksin k arvoilla. Koska ollaan kiinnostuneita ainoastaan summan imaginaariosasta, niin kaikki parillisilla indekseillä k saatavat termit voidaan karsia pois. Kun lisäksi huomioidaan vakion i potenssien merkinvaihtelu, niin ylläoleva lauseke saadaan kirjoitettua muodossa n + k cos n k θ sin k+ θ k + k n + k cos n k θ sin k+ θ sinn k θ k + sin n k θ k n + cos k n k θ k + sin n k θ sink++n k θ k n + k cot n k θ sin n+ θ k + k Koska sinifunktiolle pätee sin kπ n+ kun k,..., n, niin tulon nollasäännön nojalla polynomin px k n + k x n k k + juuret ovat täsmälleen muotoa cot θ k. Nyt Vietan kaavojen mukaan polynomille px pätee k tan θ k cot θ k k n+ 3 n+ n + nn 3 n + nn, 3 mistä edelleen

14 .. ENSIMMÄINEN EULERIN SUMMA TRIGONOMETRIAA JA ALGEBRAA HYÖDYNTÄEN k sin θ k k sin θ k + cos θ k sin θ k + cot θ k nn n + n n Välillä [, π [ on voimassa myös epäyhtälöpari tan x x sin x, eli pätee myös tanθ k θ k sinθ k. Tarkastellaan näiden lukujen käänteislukuja, jolloin epäyhtälön suunta kääntyy. Tällöin saadaan, mistä edelleen neliöimällä tan θ k θk sin θ k. k tanθ k θ k sinθ k Tämä epäyhtälö pätee kaikilla indekseillä k, joten kun lasketaan summa yli indeksien k,,..., n, niin myös summille pätee kaksoisepäyhtälö k tan θ k θ k k k sin θ k. Sijoitetaan tähän epäyhtälöön edellä lasketut summat oikean ja vasemman puolen sarjoille, sekä tehdään myös sijoitus θ k kuten alussa asetettiin. Tällöin saadaan nn 3 kπ n+ n + kπ k Kerrotaan tämä epäyhtälö vielä vakiolla π n+ π nn 3n + k n + n. 3 ja saadaan lopulta k π nn + 3n +. Kun lasketaan raja-arvot muuttujan n lähestyessä ääretöntä huomataan, että sekä epäyhtälöparin vasemmalla että oikealla puolella olevat osamäärät lähestyvät arvoa π /6. Tälloin suppiloperiaatteen nojalla pätee myös lim n k π ζ k 6. Ensimmäiselle Eulerin summalle saatiin siis tälläkin tavalla laskettua sama arvo kuin ensimmäisessä osassa. Edellä esitetty päättely ei myöskään sisällä samanlaisia aukkoja kuin ensimmäinen, jossa oletettiin että ääretönasteinen polynomi käyttäytyy samoin kuin tavallinen, äärellistä astetta oleva polynomi. Jatketaan sitten Eulerin summien tarkastelua toisesta näkökulmasta, ja katsotaan saadaanko laskettua ensimmäisen summan, ζ, lisäksi myös muita summia.

15 LUKU 3 Bernoullin lukuja ja Eulerin summia Tässä luvussa johdetaan yleinen kaava n. Eulerin summan laskemiseksi. Tämä tehdään tarkastelemalla niin kutsuttuja Bernoullin lukuja. Lisäksi sivutuotteena saadaan kaava tangenttifunktion sarjakehitelmälle, jonka tarkka johtaminen tehdään luvun viimeisessä kappaleessa. Ensimmäinen, Bernoullin lukujujen ja Eulerin summien yhteyttä käsittelevä kappale pohjautuu Grahamin, Knuthin ja Patashnikin Concrete Mathematics-teokseen [, 6.5]. Toisesssa kappaleessa, jossa perustellaan tarkasti ensimmäisessä kappaleessa tehtävät päättelyt taas käyttää lähteenä Apostolin Mathematical Analysis-teosta [7, 3] sekä Janne Koposen Pro Gradu-tutkielmaa [6]. Aloitetetaan kuitenkin määrittelemällä Bernoullin luvut. 3.. Bernoullin luvut Määritelmä 3. Bernoullin luvut. Määritellään lukujono B m m rekursiivisesti m m + B j [m ], kaikille m, j missä j {, kun m [m ] muulloin. Luvulle B m, m > saadaan lisäksi laskettua eksplisiittinen rekursiolauseke: B m m + m k m + k B k Lasketaan esimerkkinä muutama ensimmäinen Bernoullin luku määritelmää käyttäen: m : B B m : B + B + B, mistä B m : B + B + B + 3 / + 3B, m 3 : mistä B B + B + B + B / + 6 /6 + 4B 3, mistä B 3.

16 3.. BERNOULLIN LUVUT 3 Seuraavat Bernoullin luvut saa laskettua vastaavasti, ja muutama niistä löytyy allaolevasta taulukosta. n B n Bernoullin luvut voidaan määritellä myös niin sanotun generoivan funktion avulla: Kehitetään funktio z potenssisarjaksi, jolloin Bernoullin luvut saadaan esille kyseisen potenssisarjan kertoimista. Tässä vaiheessa epäilevä lukija voi toki miettiä onko e z kyseisellä funktiolla edes suppenevaa sarjaesitystä? Lisäksi yhteys rekursiivisesti määritellyn lukujonon ja erään potenssisarjan kertoimien välillä saattaa tuntua hieman kaukaa haetulta. Näihin kysymyksiin palataan tarkemmin tämän luvun loppupuolella. z Tässä vaiheessa tyydytään uskomaan, että funktiolle on todella olemassa suppeneva sarjaesitys, ja tämän sarjan kertoimista todella löydetään edellä määritellyn e z lukujonon termejä. Toisin sanoen pätee 3. z e z z n B n n!, missä luvut B n ovat Bernoullin lukuja. Miksi samalle lukujonolle sitten tarvitaan kaksi hyvin erilaista määritelmää? Kun käytetään generoivan funktion määritelmää, voidaan Bernoullin luvuilla laskea ilman, että tiedetään yhdenkään luvun arvoa kuten seuraavassa tullaan tekemään. Toisaalta generoivan funktion avulla on erittäin hankala määrätä eksplisiittisesti yhdenkään Bernoullin luvun arvoa, joten tässä rekursiokaava on parempi työkalu. Lähdetään sitten kuitenkin tutkimaan, miten Bernoullin luvut ja Eulerin summat liittyvät toisiinsa, ja palataan Bernoullin lukujen yksityiskohtaisempaan tarkasteluuun myöhemmin. Lisätään yhtälön 3. molemmille puolille z, jolloin vasemmalta puolelta saadaan 3. z e z + z z e z + e z z e z/ + e z/ e z/ e z z/ cothz, missä funktio coth on hyperbolinen kotangentti; coth z cosh z/ sinh z. Funktio cothz/ on pariton funktio, ja kun sitä kerrotaan niin ikään parittomalla funktiolla fz z/, saadaan parillinen funktio. Siispä myös funktion gz z e z + z n,n B n z n n! täytyy olla parillinen. Määritelmänsä mukaan parilliselle funktiolle pätee koko määrittelyjoukossaan gz g z, joten täytyy olla n,n B n z n n! n,n B n z n n! n,n B n n z n n! n,n n z n B n n!. Siis on oltava voimassa B n n B n kaikille n, mistä voidaan päätellä, että B n jos n 3 on pariton. Kaavasta 3. saadaan edelleen

17 3.. BERNOULLIN LUVUT 4 z coth z z e z + z z n B n n! 4 n B n z n n! Lauseen.5 mukaan trigonometristen funktioiden ja hyperbolisten funktioiden välillä pätevät muunnoskaavat sin z i sinh iz ja cos z cosh iz. Siispä kotangentille pätee cot z cos z/ sin z cosh iz/ i sinh iz i cosh iz/ sinh iz i coth iz, mistä edelleen 3.3 z cot z Funktiolle z cot z pätee myös kaava B n iz n n! 4 n z n B n n! z z cot z k π z z. k π z k k k π Huomataan, että oikealla oleva sarja sisältää geometrisen sarjan, jolle pätee tunnettu summakaava q q n. Edelleen z cot z voidaan siis esittää muodossa z z n z cot z k π k π k Oletetaan nyt, että summausjärjestyksen muuttaminen on mahdollista, jolloin saadaan z z n k π k π k z n+ π n+ k n+ k z m π m m k k, missä m n + km z k π n+ Summausjärjestyksen muuttaminen todella on sallittua, mutta tarkempi perustelu sivuutetaan tässä tutkielmassa. Karkeasti ottaen idea on sama kuin yksinkertaisen, itseisesti suppenevan sarjan tapauksessa: Edellä tarkastellussa kaksoissarjassa kaikki termit ovat positiivisia ja molemmat sarjat suppenevat, joten summausjärjestystä voidaan muuttaa. Todistus tälle tulokselle ja lisätietoa kaksoissarjoista löytyy kirjallisuudesta ks. esimerkiksi [7, -5].

18 3.. LAUSEITA POTENSSISARJOILLE JA BERNOULLIN LUVUILLE 5 Nyt ollaan siis tilanteessa, jossa funktiolle z cot z on saatu kaksi erilaista esitysmuotoa z cot z 4 m z m B m m! z m π m m m k k m. Huomataan, että molemmista löytyy termi z m. Potenssisarjat ovat samat täsmälleen silloin, kun vastaavanasteisten termien kertoimet ovat samat, joten merkitään kertoimet yhtäsuuriksi ja pienen sieventämisen jälkeen saadaan lopulta tulos 3.4 k k ζm 4 m B m π m m m! Nyt ollaan siis löydetty yhteys Bernoullin lukujen ja Eulerin summien välille. Kaava on oikeastaan hämmästyttävän yksinkertainen ottaen huomioon sen, että sillä saa laskettua äärettömän määrän äärettömiä summia. Kahdessa edellisessä luvussa saatiin ensimmäisen Eulerin summan arvoksi laskettua ζ π /6. Katsotaan antaako tämä Bernoullin lukuja käyttävä menetelmä saman lopputuloksen: ζ 4 /6 π π 6. Ensimmäiselle Eulerin summalle saatiin siis sama arvo kuin edellä. Lasketaan vielä seuraava summa, kun nyt kerran saatiin hieno työkalu tähän tarkoitukseen: ζ 6 /3 π 4 4 π4 9 Kuitenkin tämäkin päättely sisältää vielä muutamia aukkoja. Alussa oletettiin, että z e z z n B n n!, mikä todistetaankin seuraavaksi. Bernoullin luvut vedettiin myös niin sanotusti hatusta, joten herää myös kysymys mitä nämä luvut ovat ja mistä ne oikein tulevat? Tätä valotetaan hieman myöhemmin, mutta nyt edellä mainittuun todistukseen. 3.. Lauseita potenssisarjoille ja Bernoullin luvuille Tässä kappaleessa perustellaan yksityiskohtaisesti, että Bernoullin lukujen määrittely generoivan funktion avulla on järkevää. Aluksi todistetaan kaksi lausetta joiden avulla halutun päättelyn voi tehdä, ja sen jälkeen tutkitaan vielä lyhyesti miten paljon helpommin asiat olisivat jos käytössä olisi kompleksianalyysin kovia tuloksia. Lause 3.. Olkoot annettuna kaksi origon suhteen kehitettyä potenssisarjaa: fz a n z n, gz b n z n, missä z B; r, ja missä z B; R.

19 3.. LAUSEITA POTENSSISARJOILLE JA BERNOULLIN LUVUILLE 6 Jos kiinnitetylle z B; R pätee b nz n < r, niin kyseiselle z pätee fgz c k z k, missä kertoimet c k saadaan seuraavasti: Määritellään luvut b k n yhtälöllä k n gz n b k z k k jolloin c k a nb k n, k,,,... b k nz k, Todistus. Oletuksen mukaan valitaan siis z siten, että b nz n < r. Tällöin pätee myös gz < r, joten saadaan fgz a n gz n k k a n b k nz k. Nyt jos summausjärjestyksen muuttaminen on mahdollista, saadaan fgz a n b k n z k c k z k, k mikä olikin todistettava väite. Perustellaan vielä, että edellä tehty summausjärjestyksen muuttaminen on sallittua ja todistus on valmis. Tämä tehdään osoittamalla, että sarja fgz suppenee itseisesti, eli että sarja 3.5 k a n b k nz k k a n b k nz k suppenee. Jokainen kerroin b k n on äärellinen summa muotoa b k n m + +m nk k b m b mn, ja siten b k n m + +m nk b m b mn. Toisaalta pätee n b k z k k B k nz k, missä B k n m + +m nk b m b mn. Kun nyt palataan sarjaan 3.5, saadaan k a n b k nz k a n B k n z k k joten sarja todella suppenee. k a n b k z k, k

20 3.. LAUSEITA POTENSSISARJOILLE JA BERNOULLIN LUVUILLE 7 Seuraus 3.3. Olkoon annettuna sarja pz p n z n, missä z B; h, ja jolle p. Tällöin on olemassa ympäristö B; δ missä funktiolla /p on olemassa suppeneva sarjakehitelmä pz q n z n. Todistus. Ilman yleisyyden menettämistä voidaan olettaa, että p, jolloin p. Olkoon P z n p nz n, missä z N; h. Jatkuvuuden nojalla on olemassa ympäristö B; δ siten, että P z < kun z B; δ. Valitaan jolloin väite seuraa lauseesta 3.. fz z z n, gz pz ja p n z n, Näiden kahden lauseen jälkeen ollaan valmiita todistamaan tulos, jota käytettiin edellisen luvun päättelyssä. Esitetään lauseelle kuitenkin myös toinen todistus joka perustuu kompleksianalyysin tuloksiin ks. [5] jotta huomataan, että tämänkin perustelun voi hoitaa monella eri tavalla. Jälkimmäisessä todistuksessa ei tarvita edellä pitkästi ja teknisesti perusteltuja tuloksia, joten voi toki kysyä eikö asia kannattaisi vain hoitaa mahdollisimman yksinkertaisesti ja lyhyesti, ja unohtaa kokonaan ensimmäinen todistus? Kuitenkin myös toisen perustelun taustalla on koko joukko kompleksianalyysin lauseita, joiden sisällyttäminen tähän tutkielmaan olisi myös vaatinut merkittävän määrän sivuja. Lisäksi asioiden tarkastelu eri näkökulmista tukee usein oppimista ja antaa uusia työkaluja myös muiden ongelmien käsittelyyn. Osoitettava tulos on myös todella keskeinen koko luvun teorian kannalta; se perustelee kappaleessa 3. tehdyt päättelyt ja siten Eulerin summien laskukaavan paikkansapitävyyden, joten siinäkin mielessä kahden eri todistuksen esittäminen on perusteltua. Lause 3.4. Funktiolle fz z e z n on olemassa suppeneva sarjaesitys. Todistus. Merkitään gz ez, jolloin fz /gz. Seurauksen 3.3 nojalla z riittää osoittaa, että funktiolla gz on olemassa suppeneva sarjaesitys. Funktiolla e z on tunnetusti olemassa sarjaesitys e z z k k, joten saadaan k! gz ez z z k z k k! k z k k! k z k k +!, joten funktion gz sarjakehitelmä suppenee kaikilla muuttujan z arvoilla. Todistus. Merkitään taas gz ez. Funktio e z on analyyttinen koko kompleksitasossa, joten sillä on olemassa Taylorin sarjakehitelmä origon suhteen: e z z k Samoin kuin edellä saadaan siis z k k!.

21 3.. LAUSEITA POTENSSISARJOILLE JA BERNOULLIN LUVUILLE 8 gz k z k k +! Funktion g sarjaesitys suppenee kaikilla muuttujan z arvoilla, joten funktio g on analyyttinen koko määrittelyjoukossaan. Koska lisäksi lim z gz, niin asetetaan g jolloin g on määritelty ja analyyttinen koko kompleksitasossa. Näin ollen funktio f /g on analyyttinen jossain pisteen ympäristössä. Siis funktiolla f on olemassa suppeneva Taylorin sarja origon suhteen. Edellä todistetun lauseen jälkeen voidaankin sitten perustellusti asettaa seuraava määritelmä: Taylorin kehitelmä origon suh- Määritelmä 3.5. Olkoon funktion fz teen z e z z e z B n z n n!. Tällöin kertoimia B n kutsutaan Bernoullin luvuiksi. Bernoullin luvut voidaan siis määritellä myös potenssisarjan kertoimista saatavana lukujonona. Osoitetaan vielä, että ylläoleva määritelmä ei ole ristiriidassa ensimmäisen määritelmän kanssa. Toisin sanoen tarkistetaan, että edellä määritellyt luvut todella toteuttavat määritelmän 3. rekursioyhtälön. Lause 3.6. Määritelmän 3.5 mukaiset Bernoullin luvut toteuttavat määritelmän 3. rekursioyhtälön. Todistus. Olkoon z. Kerrotaan määritelmän 3.5 mukainen generoiva funktio puolittain nimittäjällä e z. Esitetään termi e z vielä Taylorin sarjana, jolloin saadaan z e z z n B n n! k z k z n B n k! n! z z z! + z! + z3 3! +... B! + B! + B! + B z 3 3 3! +... B z + z B!!!! + B + z 3 B!!!3! + B!! + B +...!! + z n+ B!n +! + B!n! + B!n! + + B n n!! + B n +... n!! Sarjat ovat samat täsmälleen silloin kun samanasteisten termien kertoimet ovat samat, joten saadaan aluksi B /!!, mistä B. Koska kaikkien termin z n kertoimien täytyy olla nollia kun eksponentti n, niin termin z n+ kertoimesta saadaan Bernoullin luvulle B n yhtälö

22 3.3. TANGENTTIFUNKTION SARJAKEHITELMÄ 9 B B n n!!n +! + B!n! + B n +!B!n! + + B n n!! n! n +!!n +! + n +!B!n +! + n +!B!n +! +... n +!B n + n!n + n! n n + B k n + k k Ylläoleva lauseke on täsmälleen samaa muotoa, kuin määritelmässä 3.. Näin ollen generoivan funktion tuottamat luvut B n todella toteuttavat rekursioyhtälön, eli väite on todistettu Tangenttifunktion sarjakehitelmä Nyt kun Bernoullin lukuihin on saatu jonkin verran tuntumaa, niin tarkastellaan tässä luvussa vielä erästä ongelmaa jonka ratkaisemisessa Bernoullin luvut ovat oleellisessa osassa: Tangenttifunktion sarjakehitelmän määrittämistä. Sinin ja kosinin sarjakehitelmille, samoin kuin niiden hyperbolisille vastineille, löytyy kaavakokoelmista siistit lausekkeet joiden johtaminen on myös helppoa. Myös tangenttifunktiolle voi tietysti löytää sarjaesityksen kaavan, mutta siinä vaiheessa herää usein kaksi kysymystä: Mitä ovat luvut B n ja miten tällainen kaava on saatu johdettua? Ensimmäiseen kysymykseen vastaus tiedetäänkin jo, ja jälkimmäiseen perehdytään seuraavaksi. Koska tan x sin x/ cos x, ja sinin ja kosinin sarjakehitelmät origon suhteen ovat tiedossa, niin lähestytään ongelmaa aluksi yksinkertaisesti jakamalla sarjakehitelmät muodollisesti jakokulmassa: x + 3 x3 + 5 x x x + x4 x x x3 + x5 x7 +...! 4! 6! 3! 5! 7! x x3 + 4 x5 7 x x3 3 x x x3 6 x5 + 7 x x5 945 x x5 4 6 x x Jo neljästä ensimmäisestä termistä voi arvata, että siistin summakaavan keksiminen pelkkiä kertoimia tuijottamalla ei varmasti onnistu. Luvussa 3. löydettiin kuitenkin yhteys kotangenttifunktion ja Bernoullin lukujen välille yhtälö 3.3, josta saadaan ensin sarjaesitys kotangentille: cot z 4 n B n z n n!

23 3.3. TANGENTTIFUNKTION SARJAKEHITELMÄ Käytetään sitten kotangentin ja tangentin välistä yhteyttä tan z cot z cot z, jonka avulla saadaan laskemalla tan z 4 n z n B n n! 4 n z n B n n! n n z n B n n! n n n zn B n n! n n z n B n n! n n n z n B n n! n n B n n zn n! n n n B n z n. n! Näin ollaan siis johdettu sarjaesitys myös tangenttifunktiolle. Lasketaan vielä sarjan muutama ensimmäinen termi auki kaavaa käyttäen jotta huomataan, että sarja alkaa samoin kuin jakokulmassa auki laskettuna: tan z z + 3 z3 + 5 z z z9 +...

24 LUKU 4 Fourier-teoriaa ja Eulerin summia Tässä luvussa johdetaan yleinen kaava Eulerin summille hyödyntämällä Fourieranalyysin tuloksia. Lisäksi esitellään kaksi Fourier-teoriaa hyödyntävää menetelmää, joiden avulla saadaan laskettua Eulerin summia. Lisäksi tutkielman loppuhuipennuksena todistetaan, että kappaleessa. käytetty tuloesitys sinifunktiolle todella pätee. 4.. Fourier-sarjojen perusteita Tarkastellaan aluksi lyhyesti Fourier-sarjoja. Tämän kappaleen tarkoituksena on vastata ensisijaisesti kysymyksiin Mikä on Fourier-sarja? ja Miten määrätään funktion f Fourier-sarjaesitys?. Karkeasti ottaen Fourier-sarjojen ideana on approksimoida funktiota sarjalla, joka muodostuu sinin ja kosinin lineaarikombinaatioista vrt. esimerkiksi Taylorin sarjat. Määritellään seuraavassa tämä formaalisti: Määritelmä 4.. Olkoon f : [a, b] R Riemann-integroituva funktio. Funktion f Fourier-kertoimiksi kutsutaan lukuja a j L b j L b a b a fx cos jπx dx ja L fx sin jπx L dx, missä L b a on funktion määrittelyvälin pituus, ja j Z +. Sarjaa a + a j cos jπx L + b j sin jπx L j kutsutaan funktion f Fourier-sarjaksi. Huomautus 4.. i Joskus funktion f Fourier sarjasta käytetään merkintää fx a + a j cos jπx L + b j sin jπx L. j Merkintä on lähinnä symbolinen, ja tarkoittaa ainoastaan sitä, että oikealla puolella oleva sarja on funktion f Fourier-sarja. Esimerkiksi sarjan suppenevuuteen se ei ota mitään kantaa.

25 4.. FOURIER-SARJOJEN PERUSTEITA ii Jos funktio f on määritelty π-mittaisella välillä, niin Fourier-kertoimille ja -sarjalle saadaan miellyttävän siisti esitys b b a j fx cosjxdx, b j fx sinjxdx, π a π a fx a + a j cosjx + b j sinjx. j Usein Fourier-sarjat myös määritellään π-jaksoisille funktioille, ja esimerkiksi tämän tutkielman Fourier-sarjoja koskevissa tuloksissa usein oletetaan funktiot π-jaksollisiksi. Seuraavaksi herää tietysti luonnollinen kysymys siitä milloin Fourier-sarja suppenee, ja voidaanko -merkin tilalle asettaa yhtäsuuruusmerkki. Lause 4.3. Olkoon f paloittain jatkuva π-jaksollinen funktio, jolla on paloittain jatkuvat ensimmäisen ja toisen kertaluvun derivaatat. Jos lisäksi epäjatkuvuuspisteissä funktion f arvoille pätee fx fx + + fx, niin funktion f Fourier-sarja 4. a + a j cosjx + b j sinjx j suppenee pisteittäin kohti funktiota f. Todistus. Lauseen todistus on pitkähkö, tekninen, ja vaatii pohjalleen muutaman aputuloksen. Se sivuutetaan sillä se veisi tutkielmaa liiaksi ohi alkuperäisen aiheen. Tarkka todistus löytyy esimerkiksi Courantin ja Johnin teoksesta Introduction to Calculus and Analysis [, 8.4.e.]. Fourier-sarjojen suppenevuus voidaan osoittaa myös laajemmalle joukolle funktioita: Lause 4.4. i π-jaksollisen funktion f Fourier-sarja suppenee pisteittäin kohti funktiota f, jos funktio f on yhden kerran paloittain jatkuvasti derivoituva. ii Jos edelleen funktio f on jatkuva, niin suppeneminen on itseistä ja tasaista. iii Paloittain jatkuvalla funktiolla suppeneminen on tasaista jokaisella suljetulla välillä, joka ei sisällä epäjatkuvuuspisteitä. Todistus. Tämänkin lauseen todistus sivuutetaan, se löytyy samasta teoksesta edellisen kanssa ks. [, 8.6.c.]. Fourier-sarjoista ja niiden suppenemisesta löytyy lisätietoa esimerkiksi Tom Apostolin Mathematical Analysis teoksesta [7, Kappale 5] ja lyhyesti Thomsonin, Brucknerin ja Brucknerin teoksesta Elementary Real Analysis [9,.8]. Asiasta syvällisemmin kiinnostuneille voi suositella esimerkiksi Steinin ja Shakarchin Fourier Analysis: an introduction-teosta []. Lisäksi on syytä huomauttaa, että vaikka edellä muotoilluissa lauseissa oletetaan funktioiden olevan π-jaksollisia, niin vastaavat tulokset yleistyvät L-jaksoisille funktioille, missä L on välin [a, b] R pituus. ja

26 4.. BERNOULLIN POLYNOMIT 3 Esimerkki 4.5. Määritetään esimerkkinä Fourier-sarjaesitys funktiolle f : [, ] R, fx x /. Osittaisintegroimalla saadaan Fourier-kertoimiksi a j a j x cosπjx dx sinπjπj cosπj sinπj, π j x cosπjx dx joten a j koska sinπj kaikille j Z +. Koska lausekkeen nimittäjä sisältää indeksin j tulon tekijänä, niin sarjaesityksessä tarvittava kerroin a joudutaan tarkastelemaan erikseen: a x cos dx. Vastaavasti kertoimiksi bj saadaan b j x sinπjx dx cosπjsinπj πj cosπj π j πj j π j πj. x sinπjx dx πjcosπj π j Näin ollen funktion f Fourier-sarjalle saadaan esitys fx π j sinπjx j sin πx + π sin 4πx + sin 6πx Alla on esitetty vielä rinnakkain funktion f kuvaaja, sekä funktion f Fouriersarjan viiden ensimmäisen termin summan kuvaaja kuva 4.. Kuvasta huomataan, että vaikka summaan on laskettu vasta viisi ensimmäistä termiä, niin käyrä alkaa muistuttaa jo selvästi funktion f kuvaajaa. Intuitiivisesti voidaan päätellä, että kun summaan otetaan lisää ja lisää termejä, niin approksimaatio tarkentuu. 4.. Bernoullin polynomit Tässä kappaleessa tarkastellaan niin kutsuttuja Bernoullin polynomeja, sekä johdetaan Fourier-analyysin tuloksin kaava n. Eulerin summan laskemiseksi. Aloitetaan kuitenkin todistamalla muutamia sarjateorian aputuloksia joita tarvitaan myöhemmin. Lisäksi todistetaan mielenkiinnon vuoksi lause 4., joka antaa vahvan ehdon tiettyjen trigonometristen sarjojen suppenemiselle. Lauseet pohjautuvat lähteeseen [7, -], ja Bernoullin polynomeja käsittelevä osuus teokseen [, 8.A.II..a]. Lause 4.6. Olkoot a n n ja b n n lukujonoja, ja merkitään A n a + +a n. Tällöin pätee a k b k A n b n+ k A k b k+ b k. k

27 4.. BERNOULLIN POLYNOMIT 4 Kuva 4.. Funktion fx x / kuvaaja ja funktion f Fouriersarjan viiden ensimmäisen termin summan kuvaaja Todistus. Asetetaan A, jollon pätee a k b k A k A k b k A k b k A k b k+ + A n b n+ k k k k Huomautus 4.7. Lauseesta 4.6 seuraa välittömästi, että jos jono A n b n+ n ja sarja n k A kb k+ b k suppenevat, niin myös sarja n k a kb k suppenee. Lause 4.8 Dirichlet n testi. Olkoon k a k sarja jonka osasummien muodostama jono on rajoitettu, ja olkoon b k k vähenevä jono joka suppenee kohti nollaa. Tällöin sarja k a kb k suppenee. Todistus. Merkitään A n a + + a n. Oletuksen mukaan on olemassa M R siten, että A n M kaikille n N, joten lim n A n b n+. Edellä todistetun lauseen nojalla riittää siis osoittaa, että sarja k A kb k+ b k suppenee. Koska jono b k k on vähenevä, pätee A kb k+ b k Mb k b k+. Sarja k b k b k+ on teleskooppinen sarja joka suppenee ks. [7, Lause -], joten myös sarja k Mb k b k+ suppenee. Näin ollen myös sarja k A kb k+ b k suppenee itseisesti vertailutestin ks. esim. [7, Lause -], [4, 4.9] perusteella. Lause 4.9. Kaikille reaaliluvuille x mπ, m Z, pätee e ikx ix einx sinnx/ e eix sinx/ ein+x/. k Todistus. Tarkastellaan ensin ensimmäistä yhtäsuuruutta. Laskemalla huomataan, että

28 4.. BERNOULLIN POLYNOMIT 5 e ix e ikx k e ikx e ik+x e ix e in+x, k mistä väite seuraa jakamalla puolittain termillä e ix. Jälkimmäinen yhtäsuuruus saadaan edelleen suoralla laskulla ix einx e e einx ix eix e ix einx/ e inx/ e inx/ eix e ix/ e ix/ e ix/ sinnx/ sinx/ ein+x/ e in+x/ einx/ e inx/ e ix/ e ix/ Seuraus 4.. i Edellä todistettu lause antaa ylärajan tarkastellun summan itseisarvolle: e ikx coskx + i sinkx sinx/. k k k ii Kun lisäksi tarkastellaan erikseen reaali- ja imaginääriosat edellisen lauseen tapauksessa, saadaan seuraavat kaavat trigonometrisille funktioille: coskx sinnx/ n sinx/ cos + x, ja k sinkx sinnx/ n sinx/ sin + x. Todistetaan vielä kaksi tulosta, jotka liittyvät trigonometristen sarjojen suppenemiseen. Ensimmäinen on yleisempi tulos tiettyjen trigonometristen sarjojen suppenemiselle, ja toinen on erikoistapaus jota tullaan tarvitsemaan myöhemmin tässä tutkielmassa. Lause 4.. Olkoon väli I [δ, π δ], missä δ >. Olkoon lisäksi b k k vähenevä jono joka suppenee kohti nollaa. Tällöin jos x I, niin trigonometrinen sarja k coskx + i sinkxb k suppenee. Todistus. Lauseen 4.8 nojalla riittää osoittaa, että sarjan k coskx+sinkx osasummien muodostama jono on rajoitettu. Kun x I, niin edellisen seurauksen 4. nojalla pätee coskx + i sinkx sinx/ M, k jollekin luvulle M R, joten väite on siis todistettu. Lause 4.. Sarja ψ x : k sinπkx kπ sin πx + π sin 4πx + sin 6πx

29 suppenee tasaisesti kun x [δ, δ], missä < δ <. 4.. BERNOULLIN POLYNOMIT 6 Todistus. Tarkastellaan sarjan n. osasummaa n sinπkx k. Merkitään A kπ n n k sinπkx ja b n. Lauseen 4.6 nojalla pätee siis nπ S n : sinπkx kπ A nb n+ A k b k+ b k k Olkoon nyt n > m, ja tarkastellaan kahden osasumman erotuksien itseisarvoa: S n S m A n b n+ A m b m+ km+ A n b n+ + A m b m+ + k A k b k+ b k km+ A k b k+ b k Käytetään nyt samaa päättelyä kuin edellisen lauseen todistuksessa, jolloin huomataan että kaikille summille A k voidaan löytää yläraja. Siis pätee S n S m Mb n+ +Mb m+ +M km+ b k b k+ Mb n+ +b m+ +Mb m+ b n+ Koska lukujono b n n suppenee kohti nollaa, niin mielivaltaiselle ε > voidaan löytää indeksi N siten, että S n S m ε kun n > m > N. Näin ollen Cauchyn ehto funktiosarjoille [4, 5..b] takaa tutkitun sarjan tasaisen suppenemisen. Määritelmä 4.3 Bernoullin polynomit. Määritellään funktiot φ n : [, ] R rekursiivisesti seuraavilla relaatioilla: φ nx φ n x, φ x φ n x dx, kun n >. Ensimmäinen ehto määrää funktiot mielivaltaiselle integroimisvakiolle, ja toinen ehto kiinnittää nämä vakiot. Funktio φ n on selvästi rationaalikertoiminen, astetta n oleva polynomi. Lasketaan esimerkkinä muutama ensimmäinen Bernoullin polynomi auki määritelmää käyttäen. Määritelmän mukaan φ x, mistä saadaan ensin φ x φ x, mistä integroimalla φ x x + C, missä C R. Toinen määrittelevä ehto kiinnittää vakion C: φ x dx x + C dx / x + Cx + C, mistä C /. Ensimmäisen asteen Bernoullin polynomiksi saadaan siis φ x x /. Lasketaan auki vielä seuraava Bernoullin polynomi: φ x φ x x /,

30 joten φ x x / x/ + C, mistä φ x dx 4.. BERNOULLIN POLYNOMIT 7 x / x + C dx 6 x3 4 x + Cx C, joten vakiolle saadaan arvo C /. Seuraavat polynomit lasketaan vastaavasti. Alla on vielä listattuna viisi ensimmäistä Bernoullin polynomia φ x φ x x φ x x x + φ 3 x 6 x3 4 x + x φ 4 x 4 x4 x3 + 4 x. 7 Kun Bernoullin polynomin asteluku n >, seuraa määritelmästä selvästi, että φ n φ n φ ntdt φ n tdt Tästä seuraa, että polynomit φ n, n > voidaan laajentaa väliltä [, ] koko reaaliakselille jaksolliseksi, jatkuvaksi funktioksi ψ n ; niin kutsutuksi Bernoullin funktioksi. Lauseen 4.4 nojalla jokaisella funktiolla ψ n, n > on olemassa tasaisesti kohti funktiota suppeneva Fourier-sarjakehitelmä. Kun n, niin funktiota ψ vastaa epäjatkuva funktio joka määritellään siten, että laajennetaan φ x koko reaaliakselille, jolloin saadaan -jaksollinen funktio joka on epäjatkuva pisteissä x k k, k Z. Tämä funktio voidaan esittää Fourier n sarjana vrt. esimerkki 4.5 ψ x sin πx + π sin 4πx + sin 6πx Lauseen 4. nojalla funktion ψ sarjaesitys suppenee tasaisesti. Tämä sarjaesitys on saatu funktion ψ sarjaesityksestä derivoimalla termeittäin. Koska sarjan ψ kaikki funktiot ovat jatkuvasti derivoituvia, ja molemmat sarjat suppenevat tasaisesti välillä [δ, δ], niin sarjojen derivoituvuuslauseen ks. [4, 5.3.c] nojalla summafunktio on jatkuvasti derivoituva ja sen derivaatta on derivaatojen summafunktio. Koska määritelmän mukaan pätee lisäksi ψ ψ, niin funktion ψ edellä määrätty Fouriersarjakehitelmä suppenee kohti funktiota ψ, eli pätee ψ x sin πx + π sin 4πx + sin 6πx Myöhemmin todistettavan lauseen 4.5 nojalla Fourier n sarjaesityksestä funktiolle ψ saadaan edelleen useita kertoja integroimalla ψ n t n/+ ψ n t n/+ π n π n k k cos πkt k n, kun n on parillinen, ja sin πkt k n, kun n on pariton.

31 4.. BERNOULLIN POLYNOMIT 8 Alkuperäisellä välillä x funktiot ψ n t ovat identtisiä Bernoullin polynomien φ n t kanssa. Parillisille n funktio ψ n on parillinen funktio, ja vastaavasti parittomille n funktio on pariton. Toisin sanoen ψ n x n ψ n x Peräkkäisten Bernoullin polynomien vakiotermit muodostavat erään mielenkiintoisen lukujonon. Vakiotermit voidaan esittää muodossa b n φ n, kun n ψ n kun n. Kun muistetaan sinin ja kosinin nollakohdat, huomataan Fourier-sarjaesityksestä heti, että b n, 4. b n n/+ kun n 3, 5, 7,..., ja π n k, kun n, 4, 6,... kn Luvut b n pienenevät hyvin nopeasti kohti nollaa, kun n kasvaa. Kerrotaan jokaista lukua b n sopivalla indeksistä n riippuvalla luvulla, ja saadaan näin uusi lukujono Bm m, missä 4.3 B m m m! b m. Luvuille B m pätee B m B m, eli kyseessä on lukujono, joka muodostuu Bernoullin lukujen itseisarvoista. Ylläoleva määritelmä sisältää Riemannin zeetafunktion, joten sen avulla on hankalaa suoraan laskea Bernoullin lukujen itseisarvojen arvoja. Kuitenkin jos Bernoullin luvut kaivetaan vaikkapa määritelmästä 3., niin ollaan jälleen tilanteessa, missä on saatu suora laskukaava Eulerin summille. Yhtälöistä 4. ja 4.3 saadaan suoraan ζm m+ πm b m πm m! B m πm m! B m Edellisessä osassa johdettiin eri tavalla lähes samanlainen kaava, joka yhdistää Bernoullin luvut ja Eulerin summat. Kyseisellä kaavalla laskettiin kahdelle ensimmäiselle summalle arvot ζ π /6 ja ζ4 π 4 /9 Tarkastetaan vielä, että Fourier n sarjojen avulla johdettu ja vielä edellistä siistimpi kaava antaa saman lopputuloksen: ζ π! 6 π 6 ja ζ4 π4 4! 3 π4 9. Tässä kappaleessa löydettiin siis taas uusi kaava Eulerin summien laskemiseksi. Tarkastellaan seuraavaksi vielä kahta eri menetelmää joilla voi laskea yksittäisiä Eulerin summia.

32 4.4. FOURIER-SARJAN INTEGROINTI Parsevalin kaava Lause 4.4 Parsevalin kaava. Olkoon f jatkuva ja π-jaksollinen funktio. Tällöin pätee π fx dx π a + a j + b j, π missä a j ja b j ovat funktion f Fourier-kertoimia. Todistus. Todistus vaati pohjalle muutamia Fourier-analyysin tuloksia, joiden sisällyttäminen veisi tutkielmaa liiaksi pois alkuperäisestä aiheesta. Todistus löytyy kirjallisuudesta, esimerkiksi lähteistä [, *8.7.*d.] tai [7, Lause 5-]. Parsevalin kaavaa voidaan hyödyntää Eulerin summien laskemisessa. Tarkastellaan funktiota f : [ π, π] R, fx x. Funktion f Fourier-kertoimiksi saadaan laskettua a j 4 j ja b j j, kun j, ja a π. Sovelletaan nyt Parsevalin 3 kaavaa funktioon f, jolloin saadaan π x 4 dx π π 4π j π ζ4 j Kun lasketaan vasemman puolen integraali auki ja sievennetään hieman, ollaan saatu ratkaistua summan ζ4 arvoksi ζ4 π 4 /9. Edelleen käyttämällä Parsevalin kaavaa muihin sopiviin funktioihin saadaan ratkaistua lisää Eulerin summia. j 4.4. Fourier-sarjan integrointi Tasaisesti suppeneva funktiosarja voidaan tunnetusti integroida termeittäin. Tässä kappaleessa osoitetaan, että Fourier-sarjoille pätee vastaava, mutta vielä vahvempi tulos. Lisäksi tätä lausetta hyödyntämällä ratkaistaan eräs Eulerin summa taas uudella menetelmällä. Lause 4.5. Olkoon f : [ π, π] R paloittain jatkuva funktio, jolla on muodollinen Fourier-sarjaesitys fx a + a j cosjx + b j sinjx. j Tällöin mielivaltaisille pisteille x, x R pätee x x fx dx x x a dx + j x x a j cosjx + b j sinjx dx, toisin sanoen funktion Fourier-sarjaesitys voidaan integroida termeittäin. Todistus. Kuten oletuksista huomataan, funktion f Fourier-sarjan integroimiseksi termeittäin ei tarvitse olettaa sarjan tasaista suppenemista; itseasiassa todistuksessa ei tarvita edes tietoa sarjan suppenemisesta kuten seuraavassa huomataan. Määritellään funktio F : [ π, π] R asettamalla x F x ft a dt. π

33 4.4. FOURIER-SARJAN INTEGROINTI 3 Funktio F on selvästi jatkuva, ja sillä on paloittain jatkuva derivaattafunktio. Lisäksi Fourier-kertoimen a määritelmän mukaan saadaan F π π π π π ft a π dt ft dt π π π π ft dt π ft dt, π π π a dt ft dt πa π joten pätee F π F π. Siispä funktion F laajennus koko reaaliakselille on jatkuva, joten lauseen 4.4 nojalla funktion Fourier-sarja A + A j cosjx + B j sinjx j suppenee tasaisesti kohti funktiota F. Todetaan vielä, että F x fx a jonka jälkeen osittaisintegroimalla saadaan laskettua funktion F Fourier-kertoimiksi A j π F x cosjx dx / π sinjx F x π π π j π π fx π a sinjx dx π j π fx sinjx π dx π π j a sinjx dx π j j π fx sinjx dx b j π j, π π π F x sinjx j dx ja vastaavalla laskulla B j a j /j. Tässä luvut a j ja b j ovat luonnollisesti funktion f Fourier-kertoimet. Siispä Fourier-sarjaesitystä ja määrätyn integraalin määritelmää hyödyntämällä saadaan F x F x A j cosjx + B j sinjx j A j cosjx + B j sinjx j [A j cosjx cosjx + B j sinjx sinjx ] j j [ b j / x j x x j x j cosjx cosjx + a j aj j sinjx b j j cosjx a j cosjx + b j sinjx dx. ] j sinjx sinjx