SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

Transkriptio

1 ENSO IKONEN PYOSYS SÄÄÖJÄRJESELMIEN SUUNNIELU Enso Ionen professori säätö- ja ssteemiteniia Oulun liopisto Äläät oneet ja järjestelmät helmiuu 209

2 ENSO IKONEN PYOSYS 2 Oppimistavoitteet Opiselija......hahmottaa identifioinnin neljä vaihetta datan haninta malliraenteen valinta parametrien estimointi mallin validointi seä vaiheiden iteratiivisuuden....huomaa lineaarisen regressiomallin ja ltisiirtofuntion välisen hteden...enee itsenäisesti ättämään pienimmän neliösumman menetelmää lineaarisen aiasarjamallin parametrien estimointiin....osaa muuntaa aiasarjamallin jatuvaaiaisesi siirtofuntiosi

3 ENSO IKONEN PYOSYS 3 Säätöjärjestelmien suunnittelu SäSu Identifiointi 0.4 Lineaariset regressiomallit 0.5 Parametrien estimointi Esimeri 0.2 Mallintamisesta 0.3 Identifioinnin vaiheet 0.4 Lineaarisen regressiomallit superpositioperiaate dnaamisten ssteemien mallit

4 ENSO IKONEN PYOSYS Prosessien mallintamisesta fsiaaliset mallit: mallintamisen perustana ovat: massa- ja energiataseet, aineensiirron ja meaniian lait,... jne jne ongelmia: meanismeja ei tunneta saatavat mallit ovat tarpeettoman monimutaisia mallinnettavat ohteet muuttuvat ennustamattomasti mallintaminen on aiaa (=resursseja) vievää oeelliset mallit: mitataan ssteemin sisäänmenot ja ulostulot onstruoidaan i/oättätmistä toistava malli gra box mallit semifsiaalinen mallintaminen onseptuaalinen mallintaminen mallintaminen on aina approsimointia tarvittava taruus riippuu tarpeesta

5 ENSO IKONEN PYOSYS Prosessin identifioinnin neljä vaihetta I mittausten eruu sopivan mittausdatan haninta II malliraenteen valinta mitä jo tiedetään? miä on epäselvää? III parametrien estimointi sovitetaan malliraenne dataan IV mallin validointi uina hvä malli on? araterisoinnin/ mallinnusen tarve data raenteen valinta parametrien estimointi validointi malli

6 ENSO IKONEN PYOSYS Prosessin identifioinnin neljä vaihetta. Mittausten eruu oesuunnittelu oeohjelma / sis.menosevenssit, jne mittausväli oeiden toteutus suodatus & esiäsittel 2. Malliraenteen valinta mallin sisäänmenojen valinta lineaarinen/ epälineaarinen dnaaminen malliraenne: FIR/FS, ARX, OE,... omponenttien ertaluvut gra-box mallit (a priori tieto) araterisoinnin/ mallinnusen tarve data raenteen valinta parametrien estimointi validointi malli 3. Parametrien estimointi optimointi: LS, PEM,... LI, aiamuuttuva, rajoitettu,... riippuu valitusta malliraenteesta 4. Hvden arviointi verifiointi Are ou building it right? validointi Are ou building the right thing? testidata / ristiinvalidointi iteratiivinen proseduuri

7 ENSO IKONEN PYOSYS 7 Dnaamisen mallintamisen oesignaaleja siniaalto si taajuus anttiaalto (binäärinen) sisäänmenosignaalin arvo aia

8 ENSO IKONEN PYOSYS 8 Dnaamisen mallintamisen oesignaaleja siniaalto si taajuus anttiaalto (binäärinen) PRBS Pseudo-Random-Binar Signal

9 ENSO IKONEN PYOSYS 9 Dnaamisen mallintamisen oesignaaleja siniaalto si taajuus anttiaalto (binäärinen) PRBS Pseudo-Random-Binar Signal PRS Pseudo-Random-Signal multivariable sstems.. # steps.. nois sstems # repetitions.. time-varing sstems # update period,

10 ENSO IKONEN PYOSYS 0 Lineaariset regressiomallit affiinit malliraenteet Lineaarinen (affiini) ssteemi superpositio + homogeenisuus f(x) f(ax+b) = af(x) + bf() f(x) = x+b ssteemin ulostulon lineaarisuus....sisäänmenojen suhteen (mallin uvaus)..parametrien suhteen (parametrien estimointiteniioiden valinta) x

11 ENSO IKONEN PYOSYS Lineaariset regressiomallit matriisiesits Notaatio mallin ulostulo parametrivetori regressiovetori ohina (ajanheten) indesi I i I i θ 2 2 ja missä Järjestelmän malli

12 ENSO IKONEN PYOSYS 2 Dnaamiset järjestelmät lineaarisina regressiomalleina m d u d u n b b a a m n and 0 Aiasarjamalli: regressiomallina: m u b d u b n a a m n 0 parametrivetori regressiovetori viivästettjä ulostulon ja ohjausen arvoja (mittausia) ssteemin vaioparametrit (tuntemattomat)

13 ENSO IKONEN PYOSYS 3 Parametrien estimointi araterisoinnin tarve Kerätään data Kirjoitetaan malli (lineaarisen) regressiomallin muotoon, missä tuntemattomat teijät ovat vetorissa θ Parametrien estimoinnissa haetaan numeeriset arvot mallin tuntemattomille omponenteille data raenteen valinta parametrien estimointi validointi malli

14 ENSO IKONEN PYOSYS 4 Säätöjärjestelmien suunnittelu SäSu Identifiointi 0.4 Lineaarisen regressiomallit 0.5 Parametrien estimointi Esimeri 0.5 Parametrien estimointi 0.5. PNM Matriisiesits 0.6 Identifiointi Matlabin avulla 0.7 Esimeri

15 ENSO IKONEN PYOSYS 5 Pienimmän neliösumman menetelmä (PNM) method of least squares (LS) Millainen on hvä estimaatti? PNM:n riteeri: neliöllisten residuaalien summa J minimointi on järevää reaalimaailman sovellusissa Kuina minimoida J? J on neliöllinen parametrien suhteen asetetaan gradientti nollasi (etsitään optimi) varmistetaan että optimi on minimi J K K 2 ˆ ˆ arg min J K K aava mallin parametrien estimoimisesi K:n I/O-dataparin avulla

16 ENSO IKONEN PYOSYS 6 Pienimmän neliösumman menetelmä ätännöllisempi muoto Määritellään jolloin PNM estimaatti saadaan aavasta K K K K K I I I 2 ja Φ Φ Φ Φ θ ˆ johto': sinertainen '

17 ENSO IKONEN PYOSYS 7 Esimeri PNM Prosessista on mitattu dataparit (u(),()) ajanhetillä =0,,2,3,4: u() () u prosessin sisäänmeno prosessin ulostulo Oletetaan malliraenteesi: (+) = a()+bu() Hae a ja b jota parhaiten sovittavat malliraenteen dataan u P u , aia t=h

18 ENSO IKONEN PYOSYS 8 Esimeri PNM jatuu Data: u() () Malliraenne: () = a(-)+bu(-) Kirjoitetaan muotoon: θ ˆ a θ, b 2 Φ 4 ( ) u( ) 0 u0 u 3 u 3 ja 2 4 >> Fi % (-), u(-) Fi = >> Y % () Y = >> theta = inv(fi'*fi)*fi'*y theta = ˆ.0000 θ Φ Φ Φ

19 ENSO IKONEN PYOSYS 9 Esimeri PNM jatuu (muunnos jatuva-aiaisesi) (+)=0.5()+u() Z-muunnettuna: (z-0.5)y(z) = U(z) Y(z)/U(z) = /(z-0.5) => napa (disr.) z= Sama MALABilla: >> h=; ss = tf(,[ -0.5],h) >> ssc = d2c(ss) Step Response z = e sh s = (/h) lnz h on sämpläsväli e.g. h= => napa (jat.) s=(/h) ln0.5 = Y(s)/U(s) =.38/(s+0.69) = 2/(.45s+) Amplitude ime (seconds)

20 ENSO IKONEN PYOSYS 20 Epävarmuus osa data on satunnaista, estimoitu malli on satunnainen Bias-varianssi dilemma estidata ja opetusdata jaetaan mitattu data ahteen osaan ätetään opetusdataa validointivaiheessa (arvioitaessa mallin hvttä) asi (satunnaista) datajouoa samasta prosessista: x datajouo o datajouo 2 x x datalla estimoidun mallin vaste o o datalla 2 estimoidun mallin vaste oiea/paras mallin vaste (minimoi neliöllisen virheen odotusarvon) variable o x x o o x x o time Joustava malliraenne: = pieni bias, suuri varianssi Vähemmän vapausasteita: = suuri bias, vähän heiluntaa Malliraenteen valinta on ompromissi näiden välillä datan todennäöisstihesfuntio (data on satunnaista)

21 ENSO IKONEN PYOSYS 2 Harjoitus prosessin identifiointi Prosessista on mitattu uvan dataa. Identifioi prosessille malli sisäänmenosta u ulostuloon. u Oleta ensimmäisen ertaluvun malliraenne (+)=a()+bu(). θˆ Φ Φ Φ 2 Φ K 2 I K K K 2 I I sample (time) ja 2 K

22 ENSO IKONEN PYOSYS 22 Harjoitus prosessin identifiointi (rataisu) Muodosta Φ ja Y. Lase äsin, tai lasimella, tai Matlabilla: Φ Φ, [Φ Φ] -, [Φ Φ] - Φ Y = θ X adj X det X Fi = Fi *Fi = inv(fi *Fi) = theta =

23 ENSO IKONEN PYOSYS 23 Harjoitus prosessin identifiointi (rataisu) Muodosta Φ ja Y. Lase äsin, tai lasimella, tai Matlabilla: Φ Φ, [Φ Φ] -, [Φ Φ] - Φ Y = θ X adj X det X u Fi = Fi *Fi = inv(fi *Fi) = hat (-sa) hat sample theta =

24 ENSO IKONEN PYOSYS 24 Oppimistavoitteet Opiselija......hahmottaa identifioinnin neljä vaihetta datan haninta malliraenteen valinta parametrien estimointi mallin validointi seä vaiheiden iteratiivisuuden....huomaa lineaarisen regressiomallin ja ltisiirtofuntion välisen hteden...enee itsenäisesti ättämään pienimmän neliösumman menetelmää lineaarisen aiasarjamallin parametrien estimointiin....osaa muuntaa aiasarjamallin jatuvaaiaisesi siirtofuntiosi

25 ENSO IKONEN PYOSYS 25 MALAB ident-toolbox Import data to MALAB variable(s) >> ident

26 ENSO IKONEN PYOSYS 26 Uncertaint since data is random, estimated model is random raining data and test data separate training data from validation data bias variance dilemma bootstrapping simple but requires excess data Parameter probabilit Var{θ},P in LS confidence bounds probabilit of model probabilit of data MC simulations Useful but heav computational load R 2 -test (and alie) rate the explanation capabilit of estimated model compare vs. a standard response mean, linear useful for comparing different models

27 ENSO IKONEN PYOSYS 27 SäSu 209 hteenveto sisällöistä Säätösuunnittelun töalut Laplace-muunnos, osamurrot lohoaaviot 2-3 Aiatason vasteet, suoritus ja suljettu piiri navat, nollat, vahvistus aiataso vs navat suljettu piiri, mötätentä gang of six napojensijoittelu, juuriura 4-5 PID-säätö ja sen virits P, I ja D, perushtälöt implementointi Ziegler-Nichols, lambda-virits 6 Digitaaliset ssteemit disretointi, Z-muunnos 7 Analsi taajuustasossa taajuustason vaste Bode-uvaaja 8-9 Säätösuunnittelu taajuustasossa silmuasiirtofuntio vaihevara, vahvistusvara, sensitiivissvara loop shaping 0 Identifiointi identifioinnin 4 vaihetta pienimmän neliösumman menetelmä