Ylivuoto puskurillisessa systeemissä: nestejonot

Transkriptio

1 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 1 Ylivuoto puskurillisessa systeemissä: nestejonot Jos muodostuvat jonot ovat pitkiä (paljon asiakkaita jonossa), jonon yleiskäyttäytymisen kannalta saapuvan asiakasivirran diskreettisyydellä ei ole merkitystä ja työn saapumisprosessia jonoon voidaan pitää jatkuvana nestevirtana. Hetkellä t jonoon saapuu nestettä nopeudella R(t). Jonossa on oleva nestemäärä on X(t). Esimerkiksi ATM-järjestelmän käyttäytymistä pursketasolla voidaan kuvata nestejonomallin avulla. R(t) ATM-solu on pieni informaatioyksikkö, atomi. Jonomalli on kuitenkin järkevä vain, jos ATM-kytkimissä on suuret puskurit, jotka kykenevät varastoimaan purskeita. Puskurin sisältö eli puskurissa oleva tekemätön työ X(t) on aina jatkuva-arvoinen muuttuja riippumatta siitä, tulevatko saapumiset diskreetisti vai jatkuvana virtana. Olennainen ero nestejonoissa verrattuna perinteisiin jonosysteemeihin onkin, että saapumiset eivät tapahdu hetkellisinä pistesaapumisina vaan jatkuvana virtana.

2 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 2 Nestejono R(t) c R(t) X(t) X(t) c Kun saapuvan nestevirran nopeus R(t) ylittää säiliön tyhjenemisnopeuden c, nestemäärä X(t) säiliössä kasvaa nopeudella R(t) c. Kun saapuvan nestevirran nopeus R(t) on pienempi kuin säiliön tyhjenemisnopeus c, nestemäärä X(t) säiliössä vähenee nopeudella c R(t) niin kauan kuin säiliössä on nestettä

3 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 3 Markov-moduloitu nopeusprosessi (MMRP, Markov modulated rate process) Saapumisvirtaa säätelee taustaprosessi Z(t), josta oletetaan että se muodostaa Markov-prosessin. Kun Markov-prosessi on tilassa i, niin saapuvan nestevirran nopeus on r i Z(t) = i R(t) = r i eli R(t) = r Z(t) Tilassa jossa r i > c systeemin on ylikuormitettu Tilassa jossa r i < c systeemin on alikuormitettu i Jotta systeemi olisi mielenkiintoinen, siinä on oltava sekä yli- että alikuormitettuja tiloja. r i Järjestelmän tilaa kuvaa pari (X(t), Z(t)) (nämä yhdessä muodostavat Markovin prosessin, jota vastoin X(t) yksinään ei ole Markovin prosessi). Määritellään osittainen kertymäfunktio F i (x) = P{X(t) x, Z(t) = i} Tehtävänä on ratkaista F i (t):t. Jos ne tunnetaan, saadaan puskurin sisällön eli tekemättömän työn kertymäfunktio F (x) samoin kuin moduloivan prosessin tilatodennäköisyydet π i F (x) = P{X x} = i F i (x) π i = P{Z = i} = F i ( )

4 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 4 MMRP (jatkoa) Seuraavassa oletetaan, että moduloiva taustaprosessi on yksinkertainen syntymä-kuolemaprosessi. 0 λ 0 µ 1 1 λ 1 µ 2 2 λ 2 µ 3 Yhdistetyn (X(t), Z(t))-prosessin tilakaavio on oheisen kuvan mukainen. Tilaa indeksoivat - diskreetti arvo Z - jatkuva arvo X Z λ 1 µ 1 r 1 -c 0 X

5 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 5 Tasapainoyhtälö Tarkastellaan tilajoukkoa X x, Z = i. Taspainossa todennäköisyysvirrat tähän joukkoon sisään ja siitä ulos ovat yhtäsuuret. (r i c)f i (x) = (λ i + µ i )F i (x) + λ i 1 F i 1 (x) + µ i+1 F i+1 (x) i = 0, 1, 2,... i+1 Z i λ i µ i+1 r i -c λ i-1 µ i i-1 X Huom. Todennäköisyystiheys pisteessä (i, x) on F i (x). Tässä pisteessä oltaessa puskuri täyttyy nopeudella r i c (nopeus, jolla systeemipiste liikkuu vasemmalle tai negatiivisen arvon kyseessä ollen oikealle). Siksi takastelun alaisesta tilajoukosta ulos virtaa akselia pitkin todennäköisyysvirta (r i c)f i (x) Muut virrat liittyvät taustaprosessin tilasiirtymiin.

6 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 6 Tasapainoyhtälön ratkaisu Määritellään vektori F(x) ja matriisit M = Q T ja D suraavasti - tässä kappaleessa vektoreilla tarkoitetaan pystyvektoreita F(x) = F 0 (x) F 1 (x) F 2 (x). D = r 0 c r 1 c r 2 c M = λ 0 µ λ 0 (λ 1 + µ 1 ) µ λ1 (λ 2 + µ 2 ) µ Näiden avulla kirjoitettuna tasapainoyhtälöt kuuluvat DF (x) = MF(x) Tämä on vakiokertoiminen 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö vektorille F(x). Sen ratkaisu matriisieksponenttifunktiota käyttäen kuuluu F(x) = e D 1 M x F(0)

7 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 7 Tasapainoyhtälön ratkaisu ominaisarvojen ja -vektoreiden avulla Ratkaisu voidaan kirjoittaa toisessa muodossa, jos ensin ratkaistaan seuraavasta ominaisarvoyhtälöstä ominaisarvot z n ja niihin kuuluvat ominaisvektorit φ n D 1 Mφ n = z n φ n Näiden avulla ratkaisu on F(x) = n:re(z n ) 0 a n φ n e z nx missä a n :t ovat toistaiseksi määräämättömiä kertoimia. Sijoittamalla tämä yritteenä ratkaistavaan differentiaaliyhtälöön ja käyttämällä hyväksi ominaisarvoyhtälöä, nähdään että tämä todella toteuttaa kyseisen differentiaalyhtälön (riippumatta kertoimien a n arvoista). Koska ratkaisun tulee olla rajoitettu (ei saa kasvaa äärettömyyteen, kun x kasvaa), summassa voivat tulla kysymykseen vain ne ominaisarvot, joiden reaaliosa ei ole positiivinen.

8 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 8 Kertoimien määrääminen Taustaprosessin tasapainotodennäköisyydet π = (π 0, π 1,...) T toteuttavat yhtälön Mπ = 0 Niin ollen π on ominaisarvoon 0 liittyvä ominaisvektori. Koska lisäksi pätee F( ) = π, täytyy tähän liittyvän a-kertoimen olla 1. Erottamalla tämä termi summasta saadaan F(x) = n:re(z n )<0 a n φ n e z nx + π Kertoimet a n (Re(z n ) < 0) voidaan määrätä reuraehdoista F i (0) = 0, jos r i > c jotka sanovat, että jono ei voi olla tyhjä ylikuormitetuissa tiloissa, joissa puskuri täyttyy. Komponenttimuodossa nämä reunaehdot voidaa kirjoittaa seuraavasti n:re(z n )<0 a n φ n,i = π i i : r i > c Voidaan osoittaa, että tuntemattomia kertoimia a n (Re(z n ) < 0) on täsmälleen yhtä monta kuin yhtälöitä eli negatiivisia ominaisarvoja on yhtä monta kuin ylikuormitettuja tiloja. Yhtälöt riittävät siis määräämään kaikki tuntemattomat kertoimet a n.

9 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 9 Esimerkki. 2-tilainen systeemi 1 λ µ 0 r 1 c r 0 R(t) Markov-prosessin tilat 0 ja 1. Vastaavat virtausnopeudet r 0 ja r 1. Jotta systeemi olisi mielenkiintoinen, on oltava r 0 < c < r 1 r 1 > c ylikuormitettu tila r 0 < c alikuormitettu tila r i c X(t) X(t) Moduloivan Markov-prosessin tasapainotodennäköisyydet ovat π 0 = µ λ + µ, π 1 = λ λ + µ Nestejonosysteemin tasapainoyhtälöt (r 0 c)f 0 (x) = λf 0(x) + µf 1 (x) (r 1 c)f 1 (x) = +λf 0(x) µf 1 (x) 0 1 λ µ r 1 -c r 0 -c X

10 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 10 Esimerkki (jatkoa) Vastaava ominaisarvoyhtälö on z(r 0 c)φ 0 = λφ 0 + µφ 1 z(r 1 c)φ 1 = +λφ 0 µφ 1 eli z(r 0 c) + λ µ λ z(r 1 c) + µ φ 0 φ 1 = 0 0 Ominaisarvot määräytyvät ehdosta, että kerroinmatriisin determinantti on 0. Ominaisvektorit voidaan sitten ratkaista kummasta tahansa yhtälöstä: z 0 = 0 (nolla on aina ominaisarvo) z 1 = (c r 0)µ (r 1 c)λ (r 1 c)(c r 0 ) φ 0 = π 0 π 1, φ 1 = r 1 c c r 0 Vastaten sitä, että systeemillä on yksi ylikuormitettu tila, yksi ominaisarvoista on negatiivinen. Ratkaisu osittaisille kertymäfunktiolle on vektorimuodossa F(x) = π + a 1 φ 1 e z 1x Tuntematon kerroin a 1 määräytyy reunaehdosta F 1 (0) = 0 π 1 + a 1 (c r 0 ) = 0 a 1 = π 1 c r 0

11 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 11 Esimerkki (jatkoa) On saatu ratkaisu F 0 (x) = π 0 π 1 r 1 c c r 0 e z 1x F 1 (x) = π 1 (1 e z 1x ) Puskurin täyttöjakauma (kertymäfunktio) on F (x) = F 0 (x)+f 1 (x) ja vastaava häntäjakauma G(x) = P{puskurissa tekemätöntä työtä > x} = 1 F (x), G(x) = 1 F (x) = π 1 r 1 r 0 c r 0 e z 1x Todennäköisyys, että puskuri ei ole tyhjä, on G(0) = π 1 r 1 r 0 c r 0

12 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 12 Nestejonon asymptoottinen käyttäytyminen Yleisesti nestejonon häntäjakaumalle pätee G(x) = P{X > x} = 1 e F(x) = ηe zx n:re(z n )<0 a n e φ n e z nx kun x missä z = ominaisarvoista, joilla Re(z n ) < 0, se jolla Re(z n ) on suurin (vähiten negatiivinen), ns. dominoiva ominaisarvo; olkoon sen indeksi n = 1 (z = z 1 ) η = a 1 e φ 1 ko. ominaisarvoa vastaava kerroin e = vektori, jonka kaikki komponentit ovat ykkösiä

13 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 13 Ylivuototodennäköisyyden asettama ehto Käytännön tehtävissä on yleensä asetettu jokin yläraja ɛ puskurin ylivuototodennäköisyydelle, P overflow ɛ. Puskurin ylivuoto liittyy tietenkin äärelliseen puskuriin. Nestejonon tapauksessa äärellisen puskurin analysointi on hankalaa. Tavallista onkin, että ylivuototodennäköisyyttä approksimoidaan äärettömän puskurin häntätodennäköisyydellä, P overflow P{X > B} = G(B) missä B on puskurin koko. Jos B on suuri verrattuna tyypillisen purskeen kokoon, puskurin täyttöjakaumaa kohdassa x = B voidaan approksimoida asymptoottisen alueen kaavalla, ja saadaan ehto G(B) ɛ ηe zb ɛ z log(η/ɛ) B = log η + log(1/ɛ) B Tässä B ja ɛ ovat annettuja systeemin parametreja. Sitä vastoin η liittyy nestejonon ratkaisuun ja riippuu mm. saapumisprosessista.

14 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 14 Ylivuotoehto likimäärin Tavallisesti η on suuruusluokkaa 1, jolloin log η = 0. Vaikka ei olisikaan tarkkaan η 1, voidaan kuitenkin hyvin pienillä ɛ:n arvoilla log η jättää kaavassa huomiotta. Tällöin ehto supistuu muotoon z log(1/ɛ) B Ylivuotoehto (puskurin täyttöaste B saa ylittyä korkeintaan todennäköisyydellä ɛ) määrää likimain jononpituuden tarvittavan asymptoottisen pienenemisnopeuden. log P ovf 0 log η log ε B

15 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 15 Efektiivinen kaista Dominoiva ominaisarvo eli matriisin D 1 M suurin negatiivinen ominaisarvo z voidaan aina selvittää. Se riippuu tuloprosessista (Markov-prosessista sekä nopeuksista r i ) sekä systeemin parametreista, erityisesti puskurin palvelunopeudesta c, z = z(c) Kun ylivuotoehto asettaa minimarvon z:lle, saadaan tästä käänteisesti minimiarvo tarvittavalle kapasiteetille c, c z 1 ( 1 B log(1 ɛ )) = c( 1 B log(1 ɛ )) missä c( ) = z 1 ( ) Tätä kutsutaan kyseiseen liikennevirtaan (ja puskuriin ja ylivuototodennäköisyyteen) liittyväksi efektiiviseksi kaistaksi.

16 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 16 Efektiivinen kaista (jatkoa) Efektiivinen kaista voidaan ajatella mitattavaksi siten, että puskurin vuotonopeutta kuristetaan, kunnes ylivuototodennäköisyys on saavuttanut sallitun arvon ɛ. S P overf low c

17 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 17 Efektiivisten kaistojen additiivisuus Efektiivisen kaistan tärkein ominaisuus on sen additiivisuus. Olkoon annettuna puskuri B ja sallittu ylivuototodennäköisyys ɛ. Edelleen olkoon annettuna joukko riippumattomia MMRP-lähteitä, k = 1,..., K. Lähteelle k (kun se yksinään syöttää puskuria B) voidaan määrätä efektiivinen kaista c k (z), missä z = log(1/ɛ)/b. Additiivisuusominaisuus sanoo sen, että kun nämä lähteet yhdessä syöttävät samaa puskuria B samalla sallitulla ylivuototodennäköisyydellä ɛ, niin niiden yhteinen efektiivinen kaista on eri lähteiden vaatimien efektiivisten kaistojen summa, c(z) = k c k (z) S 1 S 2 S K... c = c +c +...c 1 2 K P overf low

18 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 18 Additiivisuuden perustelu Elwalid ja Mitra osoittivat additiivisuuden MMRP-lähteille kirjoittamalla ominaisarvoyhtälön Mφ = zdφ = z(r ci)φ missä R = muodossa cφ = (R 1 M)φ = A(z)φ z r r r 2..., Tämä on ominaisarvoyhtälö c:lle annetulla matriisilla A(z). Riippumattomien lähteiden tapauksessa voidaan osoittaa, että A(z) = A 1 (z) A 2 (z) A K (z) (ns. Kroneckerin summa) ja että ominaisarvot ovat additiivisia c = k c k, kun c k φ k = A k (z)φ k.

19 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 19 Additiivisuuden perustelu (jatkoa) Additiivisuus M/M/1-jonossa Vastaava tilanne pätee M/M/1-jonollekin. Olkoon sen poissoninen tuloprosessi superpositio Poisson-virroista, λ = λ λ K. Annetulla puskurin koolla B on tietty suurin sallittu kuorma ρ ɛ = λ/cµ, (missä 1/µ on paketin keskikoko), jolla P{X > B} ɛ. Eli vaadittu kapasiteetti on c = λ/(µρ ɛ ) = λ 1 /(µρ ɛ ) + + λ K /(µρ ɛ ) = c c K missä c k = λ k /(µρ ɛ ) on lähteen k yksinään vaatima kapasiteetti.

20 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 20 Efektiivisten kaistan yleistys Efektiivisen kaistan käsite voidaan yleistää mille tahansa tuloprosessille. Olkoon aikavälissä (0, t) saapuvan työn määrä on A(0, t). Tällöin on c(z) = 1 z lim 1 t t log E[ezA(0,t) ] (mm. Whitt; Kesidis ja Walrand) Tämä antaa tarvittava kapasiteetin, kun puskurin häntäjakauman logaritmin asymptoottinen kulmakerroin z on ylivuotoehdon kautta annettu. (Väite ei ole aivan yksinkertaisesti perusteltavissa.) Tämän määritelmän mukaisen c(z):n additiivisuus riippumattomien tuloprosessien tapauksessa on ilmeinen: Riippumattomilla tulovirroilla A 1 (0, t) ja A 2 (0, t) pätee log E[e z(a 1(0,t)+A 2 (0,t)) ] = log E[e za 1(0,t) ] + log E[e za 2(0,t) ] (samoin mille tahansa määrälle riippumattomia lähteitä) Voidaan osoittaa, että MMRP-saapumisprosessin tapauksessa tämä efektiivisen kaistan määritelmä on yhtäpitävä edellä annetun, erään matriisin suurimpaan negatiiviseen ominaisarvoon perustuvan määritelmän kanssa.