a) Jos törmäysten määrä sekunnissa on f = s 1 ja jokainen törmäys deaktivoi virityksen, niin viritystilan keskimääräinen elinikä on
|
|
- Mauno Kouki
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 KEMA225 syksy 2016 Demo 6 Malliratkaisut 1. Törmäyksistä johtuva viivan levenemä on muotoa δe = h τ, (1) jossa τ on viritystilan keskimääräinen elinaika. Tämä tulos löytyy luentoslaideista ja Atkinsista ja sitä käytetään ilman johtoa/todistusta. Tulos on seurausta siitä, että viritystilan äärellinen elinaika aiheuttaa epävarmuuden systeemin energiaan: emme voi tietää tarkasti onko systeemi yhä viritystilassa vai ei, joten emme voi tietää tarkasti sen energiaa. Tuloksen johtaminen vaatii Fourier-analyysin käyttöä, joten sitä ei voi johtaa kurssin oletetuilla pohjatiedoilla. a) Jos törmäysten määrä sekunnissa on f = s 1 ja jokainen törmäys deaktivoi virityksen, niin viritystilan keskimääräinen elinikä on τ = 1 f. (2) Näin ollen viivan levenemä on δe = h τ = h f. (3) Koska E = hc ν (jossa ν on energia aaltolukuyksiköissä), voidaan yhtälö kirjoittaa muodossa hcδ ν = δe = h f = δ ν = h f h hc = 2π f hc = f 2πc cm 1. (4) b) Jos yksi sadasta törmäyksestä deaktivoi molekyylin, niin f = s 1. Tällöin δ ν = f 2πc cm 1. (5) 1
2 2. Oletetaan, että HCl-molekyyli on täysin jäykkä kappale. Tässä tapauksessa yksittäisen rotaatiotilan energia on F(J) = BJ(J + 1), (6) jossa J on rotaatiotilaa kuvaava kvanttiluku ja B on rotaatiovakio aaltolukuyksiköissä (aaltoviiva symbolin päällä tarkoittaa, että suure on määritetty aaltolukuyksiköissä m 1 ). Rotaatiosiirtymät tapahtuvat valintasäännön J = ±1 mukaisesti ja täten yhden siirtymän energia F(J) on kahden peräkkäisen rotaatiotilan energian välinen erotus: F(J) = F(J + 1) F(J) = B(J + 1)(J + 2) BJ(J + 1) (7) = B [ J 2 + 2J + J + 2 J 2 J ] = 2 B(J + 1). (8) Nämä siirtymien energiat ovat ne energiat, joita piikkien paikat spektrissä kuvaavat. Tehtävänannossa listatut aaltolukuarvot ovat siis arvoja F(J) eri J:n arvoilla. Kahden peräkkäisen siirtymän välinen energia ν (piikkien väli spektrissä) on ν = F(J + 1) F(J) = 2 B(J + 2) 2 B(J + 1) = 2 B. (9) Tuloksesta huomaamme, että peräkkäisten piikkien välinen etäisyys spektrissä ei riipu kvanttiluvusta J. Jos tarkastelemme tehtäväannossa listattuja energia-arvoja, huomaamme, että niiden välinen erotus on lähes vakio. Pieni poikkeama johtuu siitä, että todellisuudessa HCl-molekyyli ei ole täysin jäykkä kappale. Tämä eroavaisuus on kuitenkin niin pieni, että jäykän kappaleen approksimaatio pitää hyvin paikkansa. Lasketaan annetuista arvoista keskimääräinen piikkien välinen erotus ν avg = cm 1 = m 1. Voimme nyt laskea rotaatiovakion arvon B = 1 2 ν m 1. (10) Rotaatiovakio on määritetty B = h 4πcI, (11) jossa I on hitausmomentti, joka puolestaan on lineaariselle molekyylille I = µr. (12) Redusoitu massa µ riippuu isotoopista ja voidaan laskea joko käyttämällä taulukkoarvoja 1 H ja 35 Cl -ydinten massoista tai laskemalla massat suoraan protonin ja neutronin massoista. Tulokset eivät ole täysin samat johtuen relativistista vaikutuksista ja hiukkasten vuorovaikutuksista atomiytimessä. µ 1H35Cl = m 1Hm 35Cl m 1H + m 35Cl kg (13) Voimme nyt ratkaista sidospituuden R yhtälöistä (10), (11) ja (12): I h R = = pm. (14) µ 1H35Cl 2πc ν avg µ Laskettu tulos vastaa hyvin kokeellista arvoa pm. Pieni poikkeama tuloksessa johtuu siitä, että approksimoimme molekyylin jäykäksi kappaleeksi. Tulos on suhteellisen herkkä pyöristysvirheille ja eroille käytetyissä taulukkoarvoissa, joten saamasi tulos ei välttämättä vastaa tätä tulosta desimaalilleen. 2
3 Emme voi täysin tarkasti ennustaa vastaavien piikkien paikkoja molekyylille 2 H 35 Cl, vaan meidän täytyy tehdä jokin approksimaatio. Yksinkertaisin tällainen on olettaa, että sidospituus R on vakio molemmissa molekyyleissä. Lasketaan redusoitu massa 2 H 35 Cl:lle: µ 2H35Cl = m 2Hm 35Cl m 2H + m 35Cl kg (15) ja lasketaan tätä tulosta ja sidospituutta R käytten rotaatiovakio B molekyylille 2 H 35 Cl: B = h 4πcµ 2H35Cl R m 1. (16) Koska rotaatiosiirtymien energiat ovat muotoa F(J) = 2 B(J + 1), eli lineaarisesti riippuvaisia B:stä, voimme skaalata ne vastaamaan rotaatiovakiota B kertomalla arvot suhdeluvulla B (17) B Tällöin saamme cm 1 jne. 2 H 35 Cl:n rotaatiosiirtymien ennustetuiksi arvoiksi cm 1, 3. Tehtävänannossa B F-sidosten pituus on asetettu ykköseksi. Selkeyden vuoksi käytämme kyseisestä sidospituudesta merkintää R tässä ratkaisussa. Merkitään BF 3 -molekyylin B F-sidosten pituutta R:llä ja asetetaan molekyyli koordinaatistoon siten, että sen päärotaatioakseli on z-akseli: R y x Molekyylin hitausmomentti akselin α x,y,z ympäri on x I α = m i r 2 i,α, (18) i jossa indeksi i juoksee kaikkien molekyylin atomien yli, m i on atomin i massa ja r i,α sen etäisyys rotaatioakselista α. Rotaatioakselilla olevia atomeja ei tarvitse huomioida laskussa, koska niille r i,α = 0. Asetetaan kaikkien fluoriatomien massaksi tässä tehtävässä m. Kirjoitetaan kuvassa esitetyt etäisyydet x ja y sidospituuden R avulla: y = R sin 30 = R 1 2 = R 2 x = R cos 30 = R 3 (19) 2 = 3R 2, (20) 3
4 jossa 30 on x-akselin ja sidosvektorin vlinen kulma. Kulman suuruus on triviaalia määrittää, koska tasomaisen trigonaalisen molekyylin sidosten kulmien väli on aina 120. Lasketaan nyt hitausmomentit kaikkien kolmen akselin suhteen: I x = mr 2 + my 2 + my 2 = 3mR2, (21) 2 I y = mx 2 + mx 2 = 3mr2 ja 2 (22) I z = mr 2 + mr 2 + mr 2 = 3mR 2. (23) 4. Kahden peräkkäisen vibraatiotilan välinen energiaero on (tulos johdetaan tehtävässä 6.): G(v) = ν 2 x e ν(v + 1), (24) jossa v on lähtötilan vibraatiokvanttiluku. Molekyylin dissosiaatio tapahtuu virittämällä molekyyli perusvärähdystilalta energiajatkumoon. Energiajatkumossa G(v) = 0. Dissosiaation voidaan ajatella tapahtuvan myös askel kerrallaan ensin perustilalta ensimmäiselle viritysilalle, siltä toiselle viritystilalle jne. kunnes saavutetaan energiajatkumo. Dissosiaatioenergia on siis peräkkäisen sidottujen värähdystilojen välisten energioiden summa: D = G(v), (25) v joka voidaan kirjoittaa myös integraalina D = v=vmax v=0 G(v)dv. (26) Näin ollen, jos plottaamme y-akselille G(v):n arvot ja x-akselille (v + 1/2):n arvot ja laskemme kuvaajan ja y- ja x-akselien rajaaman pinta-alan, saamme tuloksena dissosiaatioenergian. Kuvaajaassa plotataan x-akselille (v + 1/2) eikä (v + 1), koska emme halua dissosiaatioenergiaan mukaan nollapiste-energiaa. Tällaista kuvaajaa kutsutaan Birge Sponer-kuvaajaksi. Jos plottaamme annetut arvot (v + 1/2):n funktiona ja sovitamme datajoukkoon suoran f (x) = Ax + B, saamme parametreiksi A = cm 1 ja B = cm 1. Suora lävistää y-akselin pisteessä y = B ja x-akselin pisteessä x = B/A. Näin ollen suoran rajaama pinta-ala ja siten dissosiaatioenergia D on: ( D = 1 2 B ) B = B2 A 2A cm 1. (27) 4
5 5. Merkitään siirtymät ja hahmotellaan spektri: v= 1 J = 5 J = 4 J = 3 J = 2 J = 1 J = 0 I v= 0 P-haara R-haara J = 5 J = 4 J = 3 J = 2 J = 1 J = 0 P-haara R-haara E Eri rotaatiotilojen välisten siirtymien valintasääntö on J = ±1. Tämä on seurausta siitä, että absorboidun/emissoidun fotonin pyörimismäärä on aina ±1 ja pyörismismäärän tulee säilyä viritysprosessissa. P-haaran siirtymissä J = 1 ja R-haaran siirtymissä J = +1. Spektrissä siirtymät alimmalta mahdolliselta rotaatiotilalta (tila J = 0 R-haarassa ja J = 1 P-haarassa) ovat spektrissä keskellä. P-haarassa siirryttäessä korkeampiin lähtötiloihin, viritysten energia pienenee ja vastaavasta R-haarassa viritysten energia kasvaa. Spektriviivojen väli on (jäykän kappaleen approksimaatiolla) 2 B, kuten tehtävässä 2. osoitettiin. Rotaatiovakio B on kääntäen verrannollinen hitausmomenttiin. Täten molekyylin hitausmomentin kasvaessa spektriviivojen etäisyys pienenee. Siirtymän intensiteetti kuvaa sen todennäköisyyttä. Siirtymä tapahtuu useimmiten sellaiselta tilalta, jonka miehitys ennen siirtymää on korkea. Tilojen miehitys noudattaa tasapainotilassa Boltzmannin jakaumaa. Jos systeemin lämpötilaa nostetaan, siirtyy molempien spektrihaarjoen intensiteettihuippu kauemmas keskikohdasta eli virityksiä tapahtuu enemmän korkeammilta rotaatiotiloilta. 5
6 6. Jos yhden vibraatiotilan energia voidaan lausua on kahden peräkkäisen vibraatiotilan välinen energiaero G(v) = (v ) ν (v )2 x e ν, (28) G(v) = G(v + 1) G(v) (29) = ( v + 2) 3 ( ν v ) xe ν ( v + 1 ) ( 2 ν + v ) xe ν (30) = ( v v ) ( 2 ν + ( v ( ) 2) + v ) 2 x e ν (31) = ν + ( v v + v v) x e ν (32) = ν (2 + 2v) x e ν = ν 2 x e ν(v + 1). (33) Molekyyli dissosioituu silloin, kun viritys tapahtuu sidotuista (kvantittuneista) tiloista energiajatkumoon, eli toisin sanoen energiatilojen välinen erotus on nolla. Määritetään korkein mahdollinen sidottu tila v max asettamalla G(v max ) = 0 ja käyttämällä tehtävänannossa annettuja arvoja ν:lle ja x e ν:lle: G(v max ) = ν 2 x e ν(v max + 1) = v max = ν (34) 2 x e ν Molekyylillä on siis noin 28 sidottua värähdystilaa. Luku ei ole eksakti, koska olemme ottaneet G(v) määritelmään mukaan vain kaksi johtavaa termiä; todellisuudessa määritelmässä on mukana myös termejä, jotka sisältävät (v ):n korkeampia potensseja. 6
7 7. Stokes-prosessi alkaa virittämällä vesimolekyyli perustilalta virtuaalitilalle. Tämän jälkeen systeemistä siroaa fotoni ja viritys purkautuu virittyneelle tilalle ja viritysenergia ja siroavan fotonin energian ero on Raman-siirtymä. Anti-stokes-prosessissa viritys tapahtuu virittyneeltä tilalta virtuaalitilalle ja purkautuminen tapahtuu tältä tilalta perustilalle. Anti-stokes-prosessissa Raman-siitymän energia on jälleen siroavan fotonin ja virittävän fotonin energian ero. Tämä voidaan piirtää kaaviona: Virtuaalitila Virtuaalitila E ex E S E ex E AS E R Stokes Viritystila E R Perustila Anti-Stokes Käytämme tässä ratkaisussa seuraavia indeksejä: S: Stokes, AS: anti-stokes, ex: viritys ja R: Raman. Annettu viritysaallonpituus on λ ex = 532 nm ja havaittu Stokes-sironta tapahtuu aallonpituudella λ S = nm. Kaaviokuvasta näemme, että Stokes-prosessille pätee E ex = E S + E R = E R = E ex E S. (35) Energia voidaan kirjoittaa aallonpituuden avulla E = hc/λ ja aaltolukuyksikössä E = hc ν. Tekemällä nämä sijoitukset saamme yhtälön muotoon hc ν ex = hc λ ex hc λ S = ν ex = 1 λ ex 1 λ S m cm 1. (36) Vastaavasti näemme kaaviosta, että anti-stokes-prosessille pätee ja kun sijoitamme tähän E R = E ex E S, saamme josta voimme ratkaista: E AS = E R + E ex (37) E AS = E ex E S + E ex = 2E ex E S = hc λ AS = 2hc λ ex hc λ S, (38) λ AS = λ exλ S 2λ S λ ex = nm. (39) 7
8 8. Tehtävänannossa on annettu diatomisen molekyylin dipolimomenttioperaattori Taylorsarjana, joka on pätkäisty ensimmäisen asteen termin jälkeen: ˆµ = µ 0 + dµ x. (40) dx x=0 Lausekkeessa x kuvaa molekyylin sidospituuden poikkeaamaa tasapainosidospituudesta. µ 0 on molekyylin dipolimomentti, kun molekyyli on tasapainosidospituudessa ja dµ/dx x=0 on dipolimomentin ensimmäinen derivaatta x:n suhteen arvioituna pisteessä x = 0. µ 0 ja dµ/dx x=0 ovat siis molemmat vain numeroita ja ainoa muuttuja operaattorissa on x. Kirjoitetaan sitten transitiodipolimomentin µ 01 lauseke viritykselle perustilalalta ψ 0 (x) = exp( x 2 /2) viritystilalle ψ 1 (x) = x exp( x 2 /2): ( µ 01 = ψ1(x) ˆµψ 0 (x)dx = ψ1(x) µ 0 + dµ ) x ψ 0 (x)dx (41) dx x=0 = µ 0 ψ1(x)ψ 0 (x)dx + dµ ψ dx x=0 1(x)xψ 0 (x)dx (42) = µ 0 x exp ( x 2) dx + dµ x 2 exp ( x 2) dx. (43) dx x=0 Lausekkeeseen jää kaksi integraalia. Ensimmäinen integroitava funktio on tulo parittomasta funktiosta (x) ja parillisesta funktiosta (exp( x 2 )) ja näin ollen tämän tulon integraali yli koko avaruuden on nolla: x exp ( x 2) dx = 0. (44) Tarkastelemalla toista integraalia huomaamme, että x esiintyy integroitavassa funktiossa vain toisena potenssina eikä integraali tässä tapauksessa saa ikinä negatiivisia arvoja. Toisin sanoen x 2 ja exp( x 2 )dx saavat kaikilla reaaliluvuilla x vain positiivisa arvoja. Koska kaikki arvot ovat aina samanmerkkisiä (tässä tapauksessa positiivisia), ei integraali voi saada arvoksi nollaa. Koska ensimmäinen integraali transitiodipolimomentissa on nolla, saa transitiodipolimomentti nollasta poikkeavia arvoja vain, jos dµ/dx x=0 = 0, eli siirtymä on sallittu vain jos dµ/dx x=0 = 0, eli vain jos dipolimomentti muuttuu värähdyksen yhteydessä. Siirtymä 1 0 on sallittu, koska toinen integraali transitiodipolimomentin lausekkeessa poikkeaa nollasta. 8
1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =
S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 4 Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 01 6 Radioaktiivisuus Kuva 1 esittää radioaktiivisen aineen ydinten lukumäärää
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotLuku 13: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi
Luku 13: Elektronispektroskopia 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi 1 2-atomisen molekyylin elektronitilan termisymbolia muodostettaessa tärkeä ominaisuus on elektronien
LisätiedotLuku 13: Molekyylispektroskopia 1 rotaatio- ja värähdysspektroskopia
Luku 13: Molekyylispektroskopia 1 rotaatio- ja värähdysspektroskopia Yleisiä piirteitä Puhdas rotaatiospektri 2-atomisen molekyylin värähtely moniatomisten molekyylien värähtely 1 Tarkastellaan sähkömagneettisen
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
LisätiedotWien R-J /home/heikki/cele2008_2010/musta_kappale_approksimaatio Wed Mar 13 15:33:
1.2 T=12000 K 10 2 T=12000 K 1.0 Wien R-J 10 0 Wien R-J B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 0.8 0.6 0.4 B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 10-2 10-4 10-6 10-8 0.2 10-10 0.0 0 200 400 600 800 1000 nm 10-12 10 0 10 1 10 2
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotOsallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai
Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:
LisätiedotLuku 12: Molekyylispektroskopia 1 rotaatio- ja värähdysspektroskopia
Luku 12: Molekyylispektroskopia 1 rotaatio- ja värähdysspektroskopia Yleisiä piirteitä Puhdas rotaatiospektri 2-atomisen molekyylin värähtely moniatomisten molekyylien värähtely 1 Tarkastellaan sähkömagneettisen
LisätiedotVoima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen
Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotL a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5
Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei
LisätiedotMustan kappaleen säteily
Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotLuku 14: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi
Luku 14: Elektronispektroskopia 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi 1 2-atomisen molekyylin elektronitilan termisymbolia muodostettaessa tärkeä ominaisuus on elektronien
LisätiedotOsa 5. lukujonot ja sarjat.
Osa 5. lukujonot ja sarjat. Summamerkintä Kurssilla on jo tullut vastaan ns. summamerkintä (kreikkalainen iso sigma): n k=1 Indeksin loppuarvo Indeksi jonka suhteen summataan a k =a 1 +a +a 3 +...+a n
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotMapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1
Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1
763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi
LisätiedotTeddy 1. harjoituksen malliratkaisu kevät 2011
Teddy 1. harjoituksen malliratkaisu kevät 2011 1. Dipolimomentti voidaan määritellä pistevarauksille seuraavan vektoriyhtälön avulla: µ = q i r i, (1) i missä q i on i:nnen varauksen suuruus ja r i = (x
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.
Lisätiedot3.1 Varhaiset atomimallit (1/3)
+ 3 ATOMIN MALLI 3.1 Varhaiset atomimallit (1/3) Thomsonin rusinakakkumallissa positiivisesti varautuneen hyytelömäisen aineen sisällä on negatiivisia elektroneja kuin rusinat kakussa. Rutherford pommitti
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotFYSN300 Nuclear Physics I. Välikoe
Välikoe Vastaa neljään viidestä kysymyksestä 1. a) Hahmottele stabiilien ytimien sidosenergiakäyrä (sidosenergia nukleonia kohti B/A massaluvun A funktiona). Kuvaajan kvantitatiivisen tulkinnan tulee olla
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotLASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä
LASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä. Diffuusio yksiulotteisessa epäjärjestäytyneessä hilassa E J ii, J ii, + 0 E b, i E i i i i+ x Kuva.:
LisätiedotH5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
LisätiedotLyhyt, kevät 2016 Osa A
Lyhyt, kevät 206 Osa A. Muodostettu yhtälö, 2x 2 + x = 5x 2 Kaikki termit samalla puolla, 2x 2 4x + 2 = 0 Vastaus x = x:n derivaatta on x 2 :n derivaatta on 2x f (x) = 4x + derivoitu väärää funktiota,
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Keät 207. Rekyyli Luentomonisteessa on käsitelty tilanne, jossa hiukkanen (massa M) hajoaa kahdeksi hiukkaseksi (massat m ja m 2 ). Tässä käytetään
Lisätiedot= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin
BMA7 - Integraalimuunnokset Harjoitus 9. Määritä -jaksollisen funktion f x = coshx, < x < Fourier-sarja. Funktion on parillinen, joten b n = kun n =,,3,... Parillisuudesta johtuen kertoimet a ja a n saadaan
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotVoima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!
6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
LisätiedotKvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi
Kvantittuminen Planckin kvanttihypoteesi Kappale vastaanottaa ja luovuttaa säteilyä vain tietyn suuruisina energia-annoksina eli kvantteina Kappaleen emittoima säteily ei ole jatkuvaa (kvantittuminen)
LisätiedotYdin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus 1 Ratkaisut 1
Ydin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus Ratkaisut Tehtävä i) Isotoopeilla on sama määrä protoneja, eli sama järjestysluku Z, mutta eri massaluku A. Tässä isotooppeja keskenään ovat 9 30 3 0 4Be ja 4 Be, 4Si,
LisätiedotSovelletun fysiikan pääsykoe
Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotYdin- ja hiukkasfysiikka 2014: Harjoitus 5 Ratkaisut 1
Ydin- ja hiukkasfysiikka 04: Harjoitus 5 Ratkaisut Tehtävä a) Vapautunut energia saadaan laskemalla massan muutos reaktiossa: E = mc = [4(M( H) m e ) (M( 4 He) m e ) m e ]c = [4M( H) M( 4 He) 4m e ]c =
LisätiedotE p1 = 1 e 2. e 2. E p2 = 1. Vuorovaikutusenergian kolme ensimmäistä termiä on siis
763343A IINTEÄN AINEEN FYSIIA Ratkaisut 3 evät 2017 1. Tehtävä: CsCl muodostuu Cs + - ja Cl -ioneista, jotka asettuvat tilakeskeisen rakenteen vuoropaikoille (kuva). Laske tämän rakenteen Madelungin vakion
Lisätiedoty 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu.
Tehtävä 1 Tarkastellaan paineen ajamaa Poisseuille-virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä Levyjen välinen etäisyys on 2h Nopeusjakauma raossa on tällöin u(y) = 1 dp ( y 2 h 2), missä y = 0 on raon
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
Lisätiedot1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotKULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedot1.4. VIRIAALITEOREEMA
1.4. VIRIAALITEOREEMA Vaikka N-kappaleen ongelman yleistä ratkaisua ei tunneta, on olemassa eräitä tärkeitä yleisiä tuloksia Jos systeemi on stabiili, eli paikat ja nopeudet eivät kasva rajatta kineettisen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotJakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.
Lisätiedotmassa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5
A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
LisätiedotKuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus
Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus värähtelytiheyden. 1 Funktiot ja aallot Aiemmin käsiteltiin funktioita ja miten niiden avulla voidaan kuvata fysiikan
LisätiedotPotentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa
Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotFluidi virtaa vaakasuoran pinnan yli. Pinnan lähelle muodostuvan rajakerroksen nopeusjakaumaa voidaan approksimoida funktiolla
Tehtävä 1 Fluidi virtaa vaakasuoran pinnan yli. Pinnan lähelle muodostuvan rajakerroksen nopeusjakaumaa voidaan approksimoida funktiolla ( πy ) u(y) = U sin, kun 0 < y < δ. 2δ Tässä U on nopeus kaukana
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
Lisätiedot5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
Lisätiedot