67-x x 42-x. Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 3, ratkaisuista

Transkriptio

1 Matematiikan johdantokurssi, syksy 0 Harjoitus, ratkaisuista. Esitä seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot: a) := { y y = ( ) n n+ n+, n N } b) := { n Z n = k, k Z } c) := { sin( nπ ) n N } Ratkaisut. a) = { y y = ( ) n n+ n+, n N } = {,,,,, 8,...} b) = { n Z n = k, k Z } = { k k Z} = {...,,, 0,,, 9,...} c) = { sin( nπ) n N } = {,,, 0,,,, 0,,,...} = {,, 0,, } Viimeinen joukko olikin äärellinen!. Etsi esimerkiksi Venn-diagrammien avulla ratkaisut seuraaviin kysymyksiin. a) Eräässä kokeessa oli kysymystä. Kokeeseen osallistui 80 oppilasta, joista tiesi vastauksen ensimmäiseen, toiseen kysymykseen ja ei kumpaankaan. Kuinka moni tiesi vastauksen molempiin kysymyksiin? b) Huoneessa on joukko henkilöitä. Heistä 0 on miespuolisia, 8 opiskelijoita, perheellisiä, 9 miespuolisia opiskelijoita, perheellisiä miespuolisia, 0 perheellisiä opiskelijoita ja miespuolisia perheellisiä opiskelijoita. Montako henkilöä huoneessa on yhteensä? Ratkaisut. a) Merkitään joukkoja seuraavasti: perusjoukko := kokeeseen osallistujat, := tiesivät vastauksen ensimmäiseen, := tiesivät vastauksen toiseen. Seuraavassa vasen kuva vastaa tätä tilannetta. -x x -x 8? Olkoon # := joukon alkiomäärä eli kardinaliteetti (merkitään usein myös n() tai ). Silloin # = 80, # =, # = ja #( ) = 80 =. Nyt ilmeisestikin #( ) = # + # #( ), joten kysytty luku on x = #( ) = + =.

2 b) Merkitään := miehet, := opiskelijat ja := perheelliset. Silloin annettujen tietojen mukaan voidaan aloittaa alkiomäärien sijoittelu sisimmästä leikkauksesta (), laskea tähän kuulumattomat pareittaisissa leikkauksissa olevat (,, ) ja lopulta laskea kunkin joukon ikiomat henkilöt (8,, ). Formaalimmin: # = 0, # = 8, # =, #( ) = 9, #( ) =, #( ) = 0 ja #( ) =. Nämä voidaan asetella Venn-diagrammiin (oikea kuva ylhäällä), jolloin nähdään, että yhteensä porukkaa on #( ) =. Tarkasti ottaen tämä on minimimäärä henkilöitä, koska yhdisteen ulkopuolella voi olla perheettömiä ei-opiskelijanaisia.. Leikitään vielä Venn-diagrammeilla. settele neljä joukkoa,,, D Venndiagrammiksi seuraavasti: ) kaikissa kaksittaisissa leikkauksissa on vähintäin yksi alkio, joka ei kuulu kumpaankaan muista joukoista. ) kaikissa kolmittaisissa leikkauksissa on vähintäin yksi alkio, joka ei kuulu neljänteen joukkoon. ) niiden leikkauksessa on tasan yksi alkio, ) Kussakin joukoista on tasan yksi ikioma alkio, joka ei kuulu mihinkään muista kolmesta joukosta. Viisitoista alkiota pitäisi riittää, joten voinet käyttää joukkoa := {,,,...,, }. Eräs ratkaisu. Ks. kuvio alla. Venn-diagrammi neljälle joukolle on hankala piirtää tasoon, ainakin jos lähdetään ympyrämäisistä kuvioista matkien kolmelle joukolle yleisesti käytetystä mallista! 8 D 9 0 Mutta jos käytetään vähän järkeä, voidaan keksiä vaikka seuraava (oppilailta saatu) versio:

3 D Osoita oikeaksi tai vääräksi: a) ( ) \ = ( \ ) b) \ = c) ( ) \ = ( \ ) Ratkaisu. a) Ei ole totta. Venn-diagrammista saadaan vastaesimerkki: Valitaan (aika nuukasti) := {} =: ja :=. Silloin ( ) \ = {} = ( \ ). b) On totta. De Morganin kaavalla (ym., millä?) saadaan = = = = \. c) Ei ole totta. Venn-diagrammi auttaa taas: toisessa kaikkien kolmen leikkaus kuuluu joukkoon, toisessa ei. Keksitään siis (yksinkertaisimmat!) joukot, joille tämä on epätyhjä: := := := {}. Silloin ( ) \ = {} = ( \ ).. Osoita, että ( \ ) = ( ) \ ( ). Ratkaisu. Todetaan ensin, että joukot ovat mielekkäästi määritellyt ja siten vertailukelpoisia. Olkoot, ja Y. Silloin \ ja näin ( \ ) Y.

4 Toisaalta joukot Y ja Y, joten niiden erotus ( ) \ ( ) Y. Ne ovat siis saman perusjoukon Y osajoukkoja. Nyt riittää näyttää, että niillä on samat alkiot. Olkoon (x, y) Y. Silloin (x, y) ( ) \ ( ) (x, y) (x, y) (x y ) (x y ) ( (x y ) x ) ( (x y ) y ) ( (x y ) x ) E (x x ) y x ( \ ) y (x, y) ( \ ) Joukot ovat siis samat. Edellä olevan laskun loogisten ekvivalenssien perustelut: : Erotuksen määritelmä : Tulojoukon määritelmä kahdesti : Osittelulaki II : Jälkimmäisessä liitännäisyys, komplementin määritelmä ja P E E : P E P ja liitännäisyys sekä vaihdannaisuus : Erotuksen määritelmä : Tulojoukon määritelmä Lähteminen toiselta päin olisi saattanut tuottaa keksimisongelmia. Toinen tapa on jakaa tehtävä reilusti kahteen osaan: ) Olkoon (x, y) ( ) \ ( ) mielivaltainen. Silloin (x, y) ja (x, y) eli (x, y) /. Näin ollen oli x ja y, mutta x / tai y /. Koskapa edellä oli jo y, on oltava x / eli x. Siis x, x ja y, ja siten x \ ja y. Mutta silloinhan (x, y) ( \ ). ) Olkoon (x, y) ( \ ) mielivaltainen. Silloin x \ ja y, eli x, x ja y. Täten voidaan kirjoittaa x ja y eli (x, y). Koska x /, on (x, y) / eli yhteensä (x, y) ( ) \ ( ).. Millaisia ovat joukot i ja i (todistuksia ei tarvitse esittää), kun a) i := [ i, i], i N b) i := [ i, + i [, i N. Ratkaisu. a) Joukot i ovat sisäkkäisiä välejä, ja joukkojono i on indeksin i mukana rajattomasti laajeneva molempiin suuntiin. Siten i = R ja i = = [, ]. b) Myös nämä välit ovat sisäkkäisiä, ja pienenevät kohti erästä väliä. Vasemmat päätepisteet muodostavat jonon 0,,,,..., ja oikeapuoleiset jonon,,,,.... Siten aivan ilmeisesti (todistappa!) i = [0, [ ja i = [, ].

5 . Olkoot K p := {np n N} kaikilla p N. Mitä ovat joukot a) K p? p= b) K p? p= Ratkaisu. Nyt K = {n n N} = {,,, 8,...}, kahdella jaolliset luonnolliset luvut K = {n n N} = {,, 9,,...}, kolmella jaolliset luonnolliset luvut, jne. a) Olkoon N := {,,,,...}. Väite a): p=k p = N. Todistus. ) rvoilla p on selvästi K p N, joten p=k p N. ) Toisaalta, olkoon m N mielivaltainen. Silloin m K m, joten N p=k p. Näin väite on todistettu. b) Leikkausjoukko on tyhjä, sillä ) triviaalisti p=k p N, ) jos m N on mielivaltainen, niin m / K m+, ja siten mikään luonnollinen luku ei kuulu leikkaukseen.