Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt: Esitiedot
|
|
- Eeva-Liisa Sariola
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt: Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa satunnaisilmiöiden tapahtumista joukko-opin säännöillä johdettujen uusien tapahtumien todennäköisyyksien määräämistä. Säännöt tehdään ilmeisiksi ns. Venn-diagrammien ja esimerkkien avulla. Tarkastelemme lisäksi ehdollisen todennäköisyyden määrittelemistä. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt: Esitiedot Esitiedot: ks. seuraavaa lukua: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 3 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 4 Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt: Lisätiedot Todennäköisyyslaskentaa aksiomaattisena matemaattisena järjestelmänä ja todennäköisyyslaskennan peruslaskusääntöjen todistamista tarkastellaan luvussa Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyslaskennan peruslaskusääntöjen havainnollistamista puumaisten verkkojen avulla tarkastellaan liitteessä Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt >> TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 6
2 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 7 vainsanat lkeistapahtuma lkio Ehdollinen todennäköisyys Erotustapahtuma Joukko Joukko-opin operaatiot erotus komplementti leikkaus yhdiste eli unioni Joukko-opin relaatiot kuulua joukkoon osajoukko Joukko-oppi Komplementtitapahtuma Osajoukko Perusjoukko Tapahtuma Tyhjä joukko Uusien tapahtumien muodostaminen Venn-diagrammi Yhdistetyt tapahtumat Todennäköisyyslaskennan peruslaskutoimitukset ja -säännöt Todennäköisyyslaskennalla tarkoitetaan usein sellaisten laskutoimitusten ja laskusääntöjen kokoelmaa, joiden avulla voidaan määrätä jonkin satunnaisilmiön tapahtumista joukko-opin operaatioiden avulla johdettujen uusien tapahtumien todennäköisyydet. Laskusääntöjä ei tässä kappaleessa todisteta, mutta säännöt tehdään ilmeisiksi Venn-diagrammien ja esimerkkien avulla. Laskusääntöjen todistaminen: ks. lukua Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 8 Johdetut tapahtumat Todennäköisyyslaskenta ja joukko-oppi Olkoot ja B johonkin satunnaisilmiöön liittyviä tapahtumia. Tarkastelemme seuraavia tapahtumista ja B johdettuja tapahtumia: (i) Tapahtuma eisatu. (ii) Tapahtuma taibsattuu: Tapahtuma sattuu tai tapahtuma B sattuu tai molemmat sattuvat. (iii) Tapahtuma sattuu ja tapahtuma B sattuu. (iv) Tapahtuma sattuu, mutta tapahtuma Beisatu. Todennäköisyyslaskennan historian tärkeimpiä teoreettisia oivalluksia on ollut se, että satunnaisilmiöiden tapahtumia voidaan käsitellä joukkoina. Siksi seuraavassa esitetään joukko-opin peruskäsitteet. Lisätietoja: ks. liitettä Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 9 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 10 Joukko-oppia: Joukko ja sen alkiot Joukko on kokoelma olioita, joita kutsutaan joukon alkioiksi. Joukko on hyvin määritelty, jos sen alkiot tunnetaan. Merkitään joukon ja sen alkioiden välistä relaatiota seuraavasti: (i) s on joukon alkio eli s kuuluu joukkoon : s (ii) s ei ole joukon alkio eli s ei kuulu joukkoon : s Joukko-oppia: Osajoukko Olkoot ja B kaksi joukkoa. Jos jokaiselle joukon B alkiolle s pätee, että s B s niin sanomme, että joukko B on joukon osajoukko tai, että joukko B sisältyy joukkoon. Merkintä: Joukko B on joukon osajoukko: B tai B TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 11 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 12
3 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 13 Joukko-oppia: Tyhjä joukko Joukko on tyhjä, jos siihen ei kuulu yhtään alkiota. Tyhjää joukkoa merkitään symbolilla Jos joukko on tyhjä, ei ole olemassa oliota s, jolle s Tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko eli mielivaltaiselle joukolle pätee: Otosavaruus ja alkeistapahtumat Satunnaisilmiön kaikkien mahdollisten tulosvaihtoehtojen joukkoa kutsutaan otosavaruudeksi. Otosavaruuden alkioita kutsutaan alkeistapahtumiksi. Merkinnät: (i) Otosavaruutta (engl. sample space) merkitään tavallisesti isolla kirjaimella S. (ii) Otosavaruuden S alkiota merkitään usein vastaavalla pienellä kirjaimella s. Jos siis alkeistapahtuma s kuuluu otosavaruuteen S, merkitään: s S TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 14 Otosavaruus ja alkeistapahtumat: Kommentteja Otosavaruus muodostaa sen perusjoukon, jossa satunnaisilmiön tulosvaihtoja tarkastellaan. Otosavaruuden alkiot ovat tarkasteltavan satunnaisilmiön alkeistapahtumia siinä mielessä, että satunnaisilmiötä ei voida purkaa alkeistapahtumia alkeellisempiin tulosvaihtoehtoihin. Tapahtuma 1/2 S otosavaruus eli tarkasteltavan satunnaisilmiön kaikkien mahdollisten tulosvaihtoehtojen joukko. Tarkasteltavan satunnaisilmiön tapahtumat ovat otosavaruuden S alkeistapahtumien muodostamia joukkoja. Siten tapahtumat ovat tarkasteltavaan satunnaisilmiöön liittyvän otosavaruuden S osajoukkoja. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 15 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 16 Tapahtuma 2/2 Jos siis on jokin otosavaruuden S tapahtuma, niin S eli s s S jossa s on tapahtumaan kuuluva alkeistapahtuma. Kun sanomme, että tapahtuma sattuu, tarkoitamme sitä, että jokin tapahtumaan kuuluva alkeistapahtuma s sattuu. Uusien tapahtumien muodostaminen ja joukko-opin operaatiot 1/2 Olkoot ja B otosavaruuden Jokaista operaatiota, jolla tapahtumista ja B johdetaan uusia tapahtumia, vastaa jokin joukko-opin operaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 17 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 18
4 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 19 Uusien tapahtumien muodostaminen ja joukko-opin operaatiot 2/2 Uuden tapahtuman Vastaava joukko-opin muodostamisoperaatio operaatio eisatu Komplementti: c {s S s } taibsattuu tai Yhdiste eli unioni: molemmat sattuvat B {s S s tais B} jabsattuvat Leikkaus: B {s S s jas B} sattuu, Erotus: mutta B ei satu \B { s S s jas B} Venn-diagrammit 1/2 Joukko-opin operaatioita ja todennäköisyyslaskennan laskusääntöjä voidaan havainnollistaa Venndiagrammien avulla: (i) Otosavaruutta S kuvataan suorakaiteella, jonka pinta-ala vastaa otosavaruuden todennäköisyyttä Pr(S) 1 (ii) Tapahtumaa S kuvataan suorakaiteen osaalueella, jonka pinta-ala ala vastaa tapahtuman todennäköisyyttä Pr() TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 20 Venn-diagrammit 2/2 Venn-diagrammit: Kommentteja 1/2 Otosavaruutta eli perusjoukkoa S kuvaa suorakaide. Suorakaiteen pinta-ala vastaa otosavaruuden S todennäköisyyttä Pr(S) 1. Tapahtumaa S kuvaa suorakaiteen varjostettu osaalue. Osa-alueen pinta-ala vastaa tapahtuman todennäköisyyttä Pr(). S Todennäköisyyttä sanotaan usein tapahtumien sattumisen mahdollisuuden mitaksi. Venn-diagrammien käyttö todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen havainnollistuksissa perustuu juuri tähän kuvaan todennäköisyydestä mittana. Todennäköisyys käyttäytyy mittana samalla tavalla kuin pinta-ala paitsi, että todennäköisyysmitalla on ylärajana varman tapahtuman todennäköisyys 1. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 21 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 22 Venn-diagrammit: Kommentteja 2/2 Tapahtuman komplementti On syytä huomata, että todennäköisyyslaskennan laskusäännön havainnollistus Venn-diagrammin avulla ei ole säännön todistus. Todennäköisyyslaskennan laskusäännöt voidaan todistaa Kolmogorovin aksioomajärjestelmässä. Ks. lukua Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjä voidaan havainnollistaa myös ns. puudiagrammeilla. Ks. liitettä Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. S otosavaruuden S tapahtuma. Tapahtuman komplementtitapahtuma c ei satu ei- on niiden alkeistapahtumien joukko, jotka eivät kuulu joukkoon : c {s S s } c S TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 23 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 24
5 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 25 Tapahtumien ja B yhdiste Tapahtumien ja B leikkaus Olkoot S ja B S otosavaruuden Yhdistetty tapahtuma B sattuu tai B sattuu tai molemmat sattuvat on niiden alkeistapahtumien joukko, jotka kuuluvat joukkoon taijoukkoon B tai molempiin: B {s S s tai s B} B B Olkoot S ja B S otosavaruuden Yhdistetty tapahtuma B ja B sattuvat on niiden alkeistapahtumien joukko, jotka kuuluvat joukkoon jajoukkoon B: B {s S s ja s B} TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 26 Tapahtumien ja B erotus Esimerkkiaineisto 1: Eduskunnan kokoonpano 1/3 Olkoot S ja B S otosavaruuden Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjä havainnollistetaan Yhdistetty tapahtuma \B sattuu, tässä kappaleessa useilla esimerkeillä, joissa yksi tai useampia kansanedustajia valitaan satunnaisesti kaikkien kansanedustajien joukosta. Esimerkeissä eduskunnan kokoonpano on vuoden 1999 eduskuntavaalien tuloksen mukainen. mutta B ei satu Edustajan satunnaista valintaa voidaan kuvata arvontana, joka on niiden alkeistapahtumien voidaan toteuttaa esim. seuraavalla tavalla: joukko, jotka kuuluvat joukkoon, mutta eivät kuulu joukkoon B: \B {s S s ja s B} B c (1) (2) (3) (4) setetaan jokaista edustajaa vastaamaan arpalippu. Pannaan arpaliput uurnaan. Sekoitetaan uurnan sisältö huolellisesti. Nostetaan uurnasta arpalippu, jota vastaava edustaja valitaan. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 28 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 27 Esimerkkiaineisto 1: Eduskunnan kokoonpano 2/3 rvonta voidaan toistaa kahdella eri tavalla: (i) rpalippu palautetaan noston jälkeen uurnaan ja uurnan sisältö sekoitetaan huolellisesti. Tällöin sama edustaja voi tulla valituksi uudelleen. (ii) rpalippua ei palauteta noston jälkeen uurnaan. Tällöin sama edustaja ei voi tulla valituksi kuin kerran. rvontamenetelmää (i) kutsutaan otoksen poimimiseksi takaisinpanolla. rvontamenetelmää (ii) kutsutaan otoksen poimimiseksi ilman takaisinpanoa. Esimerkki: Lottoarvonnassa sovelletaan otantaa ilman takaisinpanoa. Esimerkkiaineisto 1: Eduskunnan kokoonpano 3/3 Edustajapaikkojen jakautuminen vuoden 1999 vaaleissa: Puolue Paikat Miehet Naiset SDP Kesk Kok Vas RKP Vihr SKL PS Rem Yhteensä TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 29 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 30
6 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 31 Esimerkkiaineisto 2: Korttipakka Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjä havainnollistetaan tässä kappaleessa useilla esimerkeillä, joissa pelikortteja poimitaan satunnaisesti hyvin sekoitetusta korttipakasta. Korttipakassa on 52 korttia (ilman jokereita). Korttipakka jakautuu 4:ään maahan: pata, hertta, ruutu, risti Jokaisessa maassa on 13 korttia:, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 Kortit ässä (kortti numero 1) K kuningas Q kuningatar J sotilas ovat ns. kuvakortteja. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Uusien tapahtumien muodostaminen >> TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 32 Todennäköisyyslaskennan peruslaskutoimitukset vainsanat Erotustapahtuman todennäköisyys Komplementtitapahtuman todennäköisyys Leikkausjoukon todennäköisyys Osajoukon todennäköisyys Riippumattomuus Todennäköisyyslaskennan peruslaskutoimitukset Toisensa poissulkevat tapahtumat Tulosääntö riippumattomille tapahtumille Yhdisteen todennäköisyys Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille Yleinen tulosääntö Yleinen yhteenlaskusääntö Yleistetty tulosääntö riippumattomille tapahtumille Yleistetty yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille Yhdistetyt tapahtumat Oletetaan, että tunnemme tapahtumien ja B todennäköisyydet. Tehtävänä on määrätä seuraavien tapahtumien todennäköisyydet: (i) Mikä on todennäköisyys sille, että eisatu? (ii) Mikä on todennäköisyys sille, että taibsattuu: Mikä on todennäköisyys sille, että sattuu tai B sattuu tai molemmat sattuvat? (iii) Mikä on todennäköisyys sille, että jabsattuvat? (iv) Mikä on todennäköisyys sille, että sattuu, mutta B ei satu? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 33 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 34 Komplementtitapahtuman todennäköisyys 1/2 Komplementtitapahtuman todennäköisyys 2/2 S otosavaruuden S tapahtuma. c ei satu {s S s } tapahtuman komplementtitapahtuma. c tapahtuman todennäköisyys Pr(). Tällöin tapahtuman komplementtitapahtuman c Pr( c ) 1 Pr() c S S TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 35 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 36
7 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 37 Komplementtitapahtuman todennäköisyys: Esimerkki eduskunnasta Vuoden 1999 eduskunnassa: n Sosialistit n SDP + n Vas n Ei-sosialistit 200 n Sosialistit Todennäköisyys, että satunnaisesti valittu edustaja oli ei-sosialisti: Pr(Ei-sosialisti) 1 Pr(Sosialisti) Toisensa poissulkevat tapahtumat 1/2 Olkoot S ja B S otosavaruuden B ja B sattuvat {s S s ja s B} tapahtumien ja B leikkaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 38 Toisensa poissulkevat tapahtumat 2/2 Toisensa poissulkevat tapahtumat: Esimerkki eduskunnasta ja B ovat toisensa poissulkevia, jos ja B eivät voi sattua samanaikaisesti. ja B ovat toisensa poissulkevia, jos ne ovat otosavaruuden S osajoukkoina pistevieraita eli B B S Kansanedustaja ei voi olla kahden puolueen jäsen. Edustaja kuuluu vasemmistoliittoon B Edustaja kuuluu kokoomukseen Tällöin tapahtumat ja B ovat toisensa poissulkevia, koska yksikään kansanedustaja ei voi olla kahden puolueen jäsen, mikä merkitsee sitä, että joukot ja B ovat pistevieraita: B. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 39 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 40 Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille 1/3 Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille 2/3 Olkoot S ja B S otosavaruuden B tai B sattuu {s S s tai s B} tapahtumien ja B yhdiste. B B Olkoot tapahtumat ja B toisensa poissulkevia. Tällöin ja B ovat otosavaruuden S osajoukkoina pistevieraita eli B B S TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 41 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 42
8 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 43 Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille 3/3 Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille: Esimerkki eduskunnasta tapahtuman todennäköisyys Pr(). tapahtuman B todennäköisyys Pr(B). Jos ja B ovat toisensa poissulkevia, yhdisteen B tai B sattuu Pr( B) Pr() + Pr(B) B S Vuoden 1999 eduskunnassa: n Sosialistit n SDP + n Vas Todennäköisyys, että satunnaisesti valittu edustaja oli sosialisti: Pr(Sosialisti) Pr(SDP) + Pr(Vas) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 44 Komplementtitapahtuman todennäköisyys: Perustelu Yleistetty yhteenlaskusääntö pareittain toisensa poissulkeville tapahtumille Tapahtuma ja sen komplementtitapahtuma c ovat toisensa poissulkevia: c Lisäksi otosavaruudelle S pätee aina: S c Siten toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan Pr(S) 1 Pr() + Pr( c ) Siten komplementtitapahtuman c todennäköisyydeksi saadaan: Pr( c ) 1 Pr() c S Olkoot 1, 2,, k pareittain toisensa poissulkevia. Tällöin i j, kun i j. tapahtuman i todennäköisyys Pr( i ), i 1, 2,, k. Tällöin yhdisteen 1 tai 2 tai tai k sattuu Pr( 1 2 k ) Pr( 1 ) + Pr( 2 ) + + Pr( k ) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 45 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 46 Yhteenlaskusäännön yleistäminen tapahtumille, jotka eivät ole toisensa poissulkevia Yhteenlaskusääntö voidaan yleistää tapahtumille, jotka eivät ole toisensa poissulkevia. Tällöin yhdistetyn tapahtuman B tai B sattuu todennäköisyyttä määrättäessä joudutaan tapahtumien ja B todennäköisyyksien lisäksi ottamaan huomioon yhdistetyn tapahtuman B ja B sattuvat todennäköisyys. Tarkastelemme yleistä yhteenlaskusääntöä myöhemmin. Riippumattomuus Tapahtuma on riippumaton tapahtumasta B, jos B:n tapahtuminen (tai tapahtumatta jääminen) ei vaikuta :n tapahtumisen todennäköisyyteen. Riippumattomuus on symmetrinen ominaisuus: Jos on riippumaton B:stä, niin B on riippumaton :sta. Riippumattomuuden symmetrisyyden takia sanomme yksinkertaisesti, että ja B ovat riippumattomia. Merkitään tapahtumien ja B riippumattomuutta: B Riippumattomuuden käsite saa lisävalaistusta ehdollisen todennäköisyyden käsitteestä. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 47 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 48
9 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 49 Riippumattomuus: Esimerkit rahanheitosta ja arvonnasta Rahanheitto: Heitetään toistuvasti rahaa. Tällöin on järkevää olettaa, että heittojen tulokset eivät riipu aikaisemmin tehtyjen heittojen tuloksista. rvonta: Nostetaan uurnasta toistuvasti arpalippuja niin, että jokaisen noston jälkeen nostettu lippu palautetaan uurnaan ja uurnan sisältö sekoitetaan huolellisesti (otanta takaisinpanolla). Tällöin on järkevää olettaa, että nostojen tulokset eivät riipu aikaisemmin tehtyjen nostojen tuloksista. Riippumattomuus vs riippuvuus Tapahtumien riippumattomuus on oletus, jota voidaan testata tilastollisesti. lkeistilastotieteen esityksissä oletetaan tavallisesti, että havainnot ovat toisistaan riippumattomia. Tilastollisissa tutkimusasetelmissa joudutaan usein luopumaan oletuksesta havaintojen riippumattomuudesta. Esimerkiksi stokastisia eli satunnaisprosesseja ja aikasarjoja analysoitaessa tarkastellaan toisistaan riippuvia havaintoja. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 50 Tulosääntö riippumattomille tapahtumille 1/2 Tulosääntö riippumattomille tapahtumille 2/2 Olkoot S ja B S otosavaruuden B ja B sattuvat {s S s ja s B} tapahtumien ja B leikkaus. tapahtuman todennäköisyys Pr(). tapahtuman B todennäköisyys Pr(B). ja B riippumattomia, jos ja vain jos leikkauksen B ja B sattuvat todennäköisyydelle pätee: Pr( B) Pr()Pr(B) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 51 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 52 Tulosäännön intuitiivinen perustelu: Esimerkki laadunvalvonnasta 1/2 Tarkastellaan TV-vastaanottimien valmistusta ja niiden laadunvalvontaa. Oletetaan, että valmistetuissa TV-vastaanottimissa voi esiintyä kaksi erilaista vikaa: Kuvaputki ei toimi B Vahvistin ei toimi Vika on 5 %:ssa TV-vastaanottimia. Vika B on 3 %:ssa TV-vastaanottimia. Oletetaan, että viat syntyvät toisistaan riippumatta. Tulosäännön intuitiivinen perustelu: Esimerkki laadunvalvonnasta 2/2 Vikojen riippumattomuuden takia: (i) 3 %:ssa niistä TV-vastaanottimia, joissa on vika, on myös vika B. (ii) 5 %:ssa niistä TV-vastaanottimia, joissa on vika B, on myös vika. Niiden TV-vastaanottimien osuus, joissa on sekä vika että vika B: % TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 53 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 54
10 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 55 Tulosääntö riippumattomille tapahtumille: Esimerkki rahanheitosta Heitetään rahaa kaksi kertaa. Pr(Kruuna) Pr(Klaava) 1/2 Saadaan kruuna 1. heitolla B Saadaan kruuna 2. heitolla Voidaan olettaa, että ja B ovat riippumattomia. Tällöin Pr( jab ) Tulosääntö riippumattomille tapahtumille: Esimerkki korttipakasta 1/2 Satunnaisesti korttipakasta valittu kortti on pata Pr() 13/52 1/4 B Satunnaisesti korttipakasta valittu kortti on ässä Pr(B) 4/52 1/13 B Satunnaisesti korttipakasta valittu kortti on pataässä Tällöin Pr( B) Pr( ) Pr( B) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 56 Tulosääntö riippumattomille tapahtumille: Esimerkki korttipakasta 2/2 Intuitiivinen perustelu tulosäännön käytölle: Korttipakan korteista 1/4 on patoja. Korttipakan korteista 1/13 on ässiä. Myös niistä korteista, jotka ovat patoja 1/13 on ässiä. Siten pataässien osuus korttipakan korteista on Koska pataässiä on korttipakassa täsmälleen yksi, saadaan myös suoraan Pr(Satunnaisesti valittu kortti on pataässä) 1/52 Yleistetty tulosääntö riippumattomille tapahtumille 1/2 tapahtuman i todennäköisyys Pr( i ), i 1,2,, k 1, 2,, k ovat riippumattomia, jos ja vain jos kaikille leikkauksille i 1 i 2 im joissa { i1, i2,, im} { 1,2,, k} pätee: Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) i1 i2 im i1 i2 im TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 57 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 58 Yleistetty tulosääntö riippumattomille tapahtumille 2/2 Merkitään tapahtumien 1, 2,, k riippumattomuutta: 1, 2,, k Yleistetty tulosääntö riippumattomille tapahtumille: Esimerkki rahanheitosta Heitetään rahaa 10 kertaa. Pr(Kruuna) 1/2. Tällöin Pr(10 kruunaa) Pr(Kruuna 1. heitolla) Pr(Kruuna 10. heitolla) kappaletta Todennäköisyyden frekvenssitulkinnasta seuraa: Jos suuresta joukosta ihmisiä jokainen pannaan heittämään rahaa 10 kertaa, on odotettavissa, että suunnilleen 1/1000 heittäjistä saa tulokseksi 10 kruunaa! TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 59 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 60
11 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 61 Tulosäännön yleistäminen tapahtumille, jotka eivät ole riippumattomia Tulosääntö voidaan yleistää tapahtumille, jotka eivät ole riippumattomia. Tällöin yhdistetyn tapahtuman B ja B sattuvat todennäköisyyttä määrättäessä tapahtumien ja B todennäköisyyksien tunteminen ei riitä, vaan lisäksi on otettava huomioon joko tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että B on tapahtunut tai tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että on tapahtunut. Tarkastelemme yleistä tulosääntöä ja ehdollisia todennäköisyyksiä myöhemmin. Yleinen yhteenlaskusääntö 1/3 Olkoot S ja B S otosavaruuden B tai B sattuu {s S s tai s B} tapahtumien ja B yhdiste. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 62 Yleinen yhteenlaskusääntö 2/3 Yleinen yhteenlaskusääntö 3/3 Olkoot S ja B S otosavaruuden B ja B sattuvat {s S s ja s B} tapahtumien ja B leikkaus. Olkoot tapahtumien, B, B todennäköisyydet Pr(), Pr(B), Pr( B) Tällöin yhdisteen B tai B sattuu Pr( B) Pr() + Pr(B) Pr( B) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 63 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 64 Yleinen yhteenlaskusääntö: Esimerkki uskonnoista Japanissa Tilastojen mukaan 80 % japanilaisista on shintolaisia ja 80 % japanilaisista on buddhalaisia. Onko 160 % japanilaisista shintolaisia tai buddhalaisia? Ei, koska suuri osa japanilaisista noudattaa kummankin uskonnon menoja: Häät pidetään tavallisesti shintolaisten menojen mukaan, hautajaiset järjestetään tavallisesti buddhalaisten menojen mukaan. nnetuista tiedoista voidaan päätellä: % japanilaisista on joko shintolaisia tai buddhalaisia, % japanilaisista on sekä shintolaisia että buddhalaisia. Yleinen yhteenlaskusääntö: Esimerkki levikkitutkimuksesta Levikkitutkimuksessa saatiin selville, että erään kunnan asukkaat lukevat Seuraa ja pua seuraavasti: Seura 20 % pu 16 % Seura ja pu 1 % Tällöin Pr(Seura tai pu) Pr(Seura) + Pr(pu) Pr(Seura ja pu) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 65 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 66
12 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 67 Erotustapahtuman todennäköisyys 1/2 Erotustapahtuman todennäköisyys 2/2 Olkoot S ja B S otosavaruuden \B sattuu, mutta B ei satu {s S s ja s B} B c tapahtumien ja B erotus. tapahtuman todennäköisyys Pr(). tapahtuman B todennäköisyys Pr( B). Tällöin erotustapahtuman \B sattuu, mutta B ei satu Pr(\B) Pr( B c ) Pr() Pr( B) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 68 Erotustapahtuman todennäköisyys: Esimerkki korttipakasta 1/2 52:n kortin pakassa on 16 kuvakorttia ja 13 patakorttia, joista 4 on kuvakortteja. Satunnaisesti valittu kortti on pata B Satunnaisesti valittu kortti on kuva Tällöin \B Satunnaisesti valittu kortti on pata, mutta ei ole kuvakortti Erotustapahtuman todennäköisyys: Esimerkki korttipakasta 2/2 Tällöin Pr( \ B) Pr( ) Pr( B) Tulos on tietysti selvä muutenkin, koska patoja, jotka eivät ole kuvia on 9 kpl eli kortit 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 69 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 70 Tapahtuman B sattumisesta seuraa tapahtuman sattuminen Olkoot S ja B S otosavaruuden Oletetaan, että jos B sattuu, niin sattuu. Tällöin B. Olkoot tapahtumien ja B todennäköisyydet Pr() ja Pr(B). Tällöin: Pr() Pr(B) Erotustapahtuman todennäköisyys, kun B:n sattumisesta seuraa :n sattuminen Olkoot S ja B S otosavaruuden B. Olkoot tapahtumien ja B todennäköisyydet Pr() ja Pr(B). Tällöin erotustapahtuman \B sattuu, mutta B ei satu Pr(\B) Pr() Pr(B) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 71 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 72
13 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 73 Yhdisteen B todennäköisyys: Vaihtoehtoisia laskusääntöjä 1/2 Olkoot S ja B S otosavaruuden Yhdistetyn tapahtuman B tai B sattuu todennäköisyys voidaan aina esittää seuraavalla kalvolla esitetyissä muodoissa. Yhdisteen B todennäköisyys: Vaihtoehtoisia laskusääntöjä 2/2 Yhdisteen B tai B sattuu Pr( B) Pr() + Pr(B) Pr( B) Pr() + Pr(B\) Pr(B) + Pr(\B) Pr(\B) + Pr(B\) + Pr( B) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 74 Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Uusien tapahtumien muodostaminen >> vainsanat Ehdollinen todennäköisyys suhteellinen frekvenssi Ehtotapahtuma Informaatio Riippumattomuus Todennäköisyys Yleinen tulosääntö Yleistetty yleinen tulosääntö TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 75 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 76 Ehdollinen todennäköisyys tapahtuman ja B sattuvat todennäköisyys Pr( B). tapahtuman B todennäköisyys Pr(B) 0. Tällöin tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma B on sattunut on Pr( B) Pr( B) Pr( B) Ehdollinen todennäköisyys: Kommentteja Tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma B on sattunut, saadaan määräämällä tapahtuman B jabsattuvat todennäköisyyden Pr( B) suhde tapahtuman B todennäköisyyteen Pr(B). Tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma B on sattunut voidaan siis ymmärtää niin, että tapahtumaan liittyviä alkeistapahtumia tarkastellaan rajoitettuna tapahtuman B indusoimaan otosavaruuteen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 77 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 78
14 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 79 suhteellinen frekvenssi 1/3 Ehdollisen todennäköisyyden määritelmää voidaan havainnollistaa seuraavassa esitettävällä tavalla. Tarkastellaan toistuvaa satunnaisilmiötä. Olkoot ja B ko. satunnaisilmiöön liittyviä tapahtumia. Kun satunnaisilmiö toistuu, jokaisessa toistossa sattuu joko tapahtuma tai ei- c ja joko tapahtuma B tai ei-b B c. suhteellinen frekvenssi 2/3 Oletetaan, että ko. satunnaisilmiön toistuessa tuloksena on seuraava tapahtumaparien jono: c c c c c c c c B B B B B B B Tapahtuman todennäköisyys tässä tapahtumajonossa on 2 Pr( ) 7 Muodostetaan ko. tapahtumaparien jonosta karsittu jono, johon otetaan vain ne tapahtumaparit, joissa B on sattunut: c c c B B B B TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 80 suhteellinen frekvenssi 3/3 Tapahtuman todennäköisyys karsitussa jonossa on 1/4. Toisaalta ehdollisen todennäköisyyden kaavan mukaan Pr( B) Pr( B) Pr( B) Siten tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että B on sattunut, on tapahtuman todennäköisyys karsitussa jonossa, johon on mukaan otettu vain ne tapahtumaparit, joissa B on sattunut. Ehdollinen todennäköisyys: Esimerkki eduskunnasta 1/3 Vuoden 1999 eduskunnan 200 kansanedustajasta 73 oli naisia. Mikä on todennäköisyys, että satunnaisesti valittu edustaja oli nainen? Merkitään Edustaja oli nainen Tällöin 73 Pr( ) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 81 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 82 Ehdollinen todennäköisyys: Esimerkki eduskunnasta 2/3 SDP:lla oli 51 kansanedustajaa, 29 miestä, 22 naista. Mikä on todennäköisyys, että satunnaisesti valittu edustaja, joka kuului SDP:n ryhmään, oli nainen? Tällöin ehdollinen todennäköisyys Pr(Nainen ja SDP) Pr(Nainen SDP) Pr(SDP) 22 / > Pr(Nainen) 51/ Johtopäätös: SDP:n ryhmässä oli keskimääräistä enemmän naisia. Tässä tapauksessa tieto siitä, että satunnaisesti valittu kansanedustaja oli SDP:stä muuttaa todennäköisyyttä, että hän oli nainen. Ehdollinen todennäköisyys: Esimerkki eduskunnasta 3/3 RKP:lla oli 12 kansanedustajaa, 9 miestä, 3 naista. Mikä on todennäköisyys, että satunnaisesti valittu edustaja, joka kuului RKP:en ryhmään, oli nainen? Tällöin ehdollinen todennäköisyys Pr(Nainen ja RKP) Pr(Nainen RKP) Pr(RKP) 3/ < Pr(Nainen) 12 / Johtopäätös: RKP:n ryhmässä oli keskimääräistä vähemmän naisia. Tässä tapauksessa tieto siitä, että satunnaisesti valittu kansanedustaja oli RKP:stä muuttaa todennäköisyyttä, että hän oli nainen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 83 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 84
15 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 85 Tapahtuman todennäköisyys ja tapahtuman ehdollinen todennäköisyys Tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma B on sattunut voi olla pienempi, yhtä suuri tai suurempi kuin tapahtuman todennäköisyys; ks. edellistä esimerkkiä. Siten mikä tahansa seuraavista vaihtoehdoista on mahdollinen: (i) Pr( B) > Pr() (ii) Pr( B) Pr() (iii) Pr( B) < Pr() ehtotapahtuman sisältämä informaatio 1/2 Jos Pr( B) Pr( ) tieto siitä, että tapahtuma B on sattunut, sisältää informaatiota, jota voidaan käyttää hyväksi tapahtuman todennäköisyyttä määrättäessä. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 86 ehtotapahtuman sisältämä informaatio 2/2 Jos Pr( B) Pr( ) tieto siitä, että tapahtuma B on sattunut, ei sisällä informaatiota, jota voidaan käyttää hyväksi tapahtuman todennäköisyyttä määrättäessä. Voidaan osoittaa, että tämä on totta täsmälleen silloin, kun tapahtumat ja B ovat riippumattomia. riippumattomuus tapahtuman todennäköisyys Pr(). tapahtuman todennäköisyys ehdolla, että B on sattunut Pr( B). Tällöin tapahtumat ja B ovat riippumattomia, jos ja vain jos Pr( B) Pr( ) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 87 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 88 riippumattomuus: Perustelu 1/2 Oletetaan, että tapahtumat ja B ovat riippumattomia ja todistetaan, että Pr( B) Pr( ) Riippumattomuuden määritelmän mukaan tällöin Pr( B) Pr( )Pr( B) (1) Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän mukaan tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma B on sattunut, on Pr( B) Pr( B) (2) Pr( B) Sijoittamalla kaava (1) kaavaan (2) saadaan todistettava yhtälö Pr( B) Pr( ) riippumattomuus: Perustelu 2/2 Oletetaan, että Pr( B) Pr( ) ja todistetaan, että tapahtumat ja B ovat riippumattomia. Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän mukaan tapahtumien ja B leikkauksen todennäköisyys voidaan kirjoittaa muotoon Pr( B) Pr( B) Pr( B) Siten oletuksesta seuraa suoraan, että Pr( B) Pr( ) Pr( B) joten tapahtumat ja B ovat riippumattomia. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 89 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 90
16 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 91 riippumattomuus: Esimerkki 1/3 Rutenian tasavallassa on 2 puoluetta: repijät ja säilyttäjät. Paikkajakauma 200-paikkaisessa parlamentissa: Puolue Miehet Naiset Paikat Repijät Säilyttäjät Yhteensä riippumattomuus: Esimerkki 2/3 Satunnaisesti valittu edustaja on mies B Satunnaisesti valittu edustaja on repijä Tällöin 80 Pr( ) Pr( B) Koska Pr( B) Pr(), tapahtumat ja B ovat riippumattomia. Huomaa, että myös tapahtumaparit ja B c, c ja B sekä c ja B c ovat riippumattomia. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 92 riippumattomuus: Esimerkki 3/3 Edustajapaikkojen jakaumasta nähdään, että 20 Pr( B) Pr( B) 200 Siten myös ehdollisen todennäköisyyden kaavan mukaan Pr( B) Pr( B) 0.4 Pr( B) Riippumattomuuden yhtäpitävät ehdot Edellä esitetyn perusteella tapahtumat ja B ovat riippumattomia, jos ja vain jos mikä tahansa seuraavista riippumattomuuden yhtäpitävistä ehdoista pätee: (i) (ii) (iii) Pr( B) Pr( )Pr( B) Pr( B) Pr( ) Pr( B) Pr( B) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 93 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 94 Riippumattomuuden seurauksia Yleinen tulosääntö Oletetaan, että tapahtumat ja B ovat riippumattomia. Tällöin: (i) ja B c ovat riippumattomia. (ii) c ja B ovat riippumattomia. (iii) c ja B c ovat riippumattomia. Kahden tapahtuman riippumattomuus siis säteilee riippumattomuuden myös niiden komplementtitapahtumiin. Ks. edellä esitettyä esimerkkiä Rutenian parlamentista. tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma B on sattunut Pr( B). tapahtuman B todennäköisyys Pr(B) 0. Tällöin leikkauksen B ja B sattuvat Pr( B) Pr( B) Pr( B) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 95 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 96
17 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 97 Yleistetty yleinen tulosääntö Tarkastellaan tapahtumia 1, 2,, k. Tällöin leikkauksen 1 2 k 1 ja 2 ja ja k sattuvat Pr( 1 2 k ) Pr( 1) Pr( 2 1) Pr( 3 1 2) Pr( k 1 2 k 1) Yleistetty yleinen tulosääntö: Perustelu Perustellaan yleistetty yleinen tulosääntö tapauksessa k 3. Leikkauksen ja 2 ja 3 sattuvat Pr( 1 2 3) Pr(( 1 2) 3) Pr( 1 2) Pr( 3 1 2) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Yleinen tapaus voidaan todistaa induktiolla. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 98 Yleistetty yleinen tulosääntö: Esimerkki korttipakasta Nostetaan korttipakasta peräkkäin 3 korttia. Mikä on todennäköisyys, että ne ovat kaikki patoja? tapahtuma i i. kortti on pata, i 1, 2, 3. Koska korttipakassa on 52 korttia, joista 13 on patoja, leikkauksen 1 ja 2 ja 3 sattuvat Pr( ) Pr( )Pr( )Pr( ) Huomautus: Korttien nosto toteutettiin ilman takaisinpanoa. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 99
Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt >> Uusien tapahtumien muodostaminen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt Tapahtumat Peruslaskusäännöt todennäköisyydelle Ehdollinen todennäköisyys
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt
Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt - Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat - Todennäköisyyden määritteleminen KE (2014) 1 Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Todennäköisyyslaskennan käsitteitä Satunnaisuus ja deterministisyys Deterministisessä ilmiössä alkutila määrää lopputilan yksikäsitteisesti. Satunnaisilmiö puolestaan arpoo - yhdestä alkutilasta voi päätyä
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
M-0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 1: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet; Todennäköisyyden aksioomat; Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt; Kokonaistodennäköisyyden
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria
LisätiedotVarma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen
LisätiedotLiite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit >> Puutodennäköisyydet
Lisätiedot(x, y) 2. heiton tulos y
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden
LisätiedotB. Siten A B, jos ja vain jos x A x
Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,
LisätiedotJoukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet
TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen
LisätiedotMiten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.
Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Verkot ja todennäköisyyslaskenta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Verkot ja todennäköisyyslaskenta TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Verkot ja todennäköisyyslaskenta Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa: Johdatteleva esimerkki Todennäköisyyslaskenta
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 14. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 14. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Otosavaruuden ositus Kokonaistodennäköisyyden
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,
LisätiedotA. Jos A on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x) on tosi, niin merkitsemme
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen todennäköisyys
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Verkot ja todennäköisyyslaskenta >> Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa:
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Joukko-oppi Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot ja funktioiden
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta: Liitteet. Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Ilkka Mellin (2006) 449
Liitteet Todennäköisyyslaskenta: Liitteet Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK @ Ilkka Mellin (2006) 449 Liitteet TKK @ Ilkka Mellin (2006) 450 Liitteet Sisällys 1.
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
Lisätiedot1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut
1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)
Lisätiedot5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt
Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt 1. Johdanto 2. Joukko-opin peruskäsitteet 3. Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet 4. Todennäköisyyslaskennan
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Johdanto: Deterministisyys ja satunnaisuus Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet TKK (c)
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyys ja sen määritteleminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyys ja sen määritteleminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyys ja sen määritteleminen Deterministisyys ja satunnaisuus Todennäköisyyden määritteleminen
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 207 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus, ratkaisuehdotukset. Kokeet ja Ω:n hahmottaminen. Mitä tarkoittaa todennäköisyys on? Olkoon satunnaiskokeena yhden nopan
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
Lisätiedot&idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
20.10.2015/1 MTTTP5, luento 20.10.2015 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
25.10.2016/1 MTTTP5, luento 25.10.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
LisätiedotKurssin puoliväli ja osan 2 teemat
Kurssin puoliväli ja osan 2 teemat Kurssin osa 1 keskittyi mittaukseen, tiedonkeruuseen ja kuvailevaan tilastotieteeseen. Osassa 2 painottuu tilastollinen päättely, joka puolestaan rakentuu voimakkaasti
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 13. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 13. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Klassinen todennäköisyys 2 Kombinatoriikkaa Kombinatoriikan perusongelmat Permutaatiot
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op)
031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yleinen todennäköisyys Kertausmateriaalissa esiteltiin koulusta tuttuja todennäköisyysmalleja. Tällä kurssilla todennäköisyys on
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen
LisätiedotKurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten
Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikan perusperiaatteet
LisätiedotA = B. jos ja vain jos. x A x B
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Avainsanat: Bayesin kaava, Binomikaava, Binomikerroin,
LisätiedotTodennäköisyys (englanniksi probability)
Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku Harjoitus 2 (vko 39/2003) (ihe: tapahtumien todennäköisyys, Laininen luvut 1.6 2.4) 1. Tarkastellaan rinnan- ja sarjaankytketyistä
LisätiedotVerkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa
Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien
LisätiedotJoukot. Georg Cantor ( )
Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Olkoon S = {s 1,s 2,...,s n } äärellinen otosavaruus. Oletetaan, että Pr(s i ) = 1, kaikille i = 1, 2,...,n n Tällöin alkeistapahtumat
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I
β versio Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I TKK @ Ilkka Mellin (2006) II Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot todennäköisyyslaskennasta.
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotLuku 1. Johdanto. 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede. 1.2 Havaitut frekvenssit ja empiiriset jakaumat
Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Tämä kurssi käsittelee sekä todennäköisyyslaskentaa että tilastotiedettä. Uhkapelurien ongelmat inspiroivat todennäköisyyslaskennan uranuurtajien ajattelua,
LisätiedotD ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]
Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi
Lisätiedot1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle
Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotLause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat
jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka >> Klassinen
LisätiedotOtosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Lisätiedot1. Matkalla todennäköisyyteen
1. Matkalla todennäköisyyteen Wovon man nicht sprechen kann, darüber muss man schweigen (Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus 1921) Miten ihmeessä tämä liittyy tähän kurssiin????!?? 1.1
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävä 1 on klassikko. 1. Tässä tehtävässä tapahtumat A ja B eivät välttämättä
Lisätiedot9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma
9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma Kahta joukkoa sanotaan erillisiksi, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota. Jos pysytellään edelleen korttipakassa, niin voidaan ilman muuta sanoa, että
LisätiedotOtanta ilman takaisinpanoa
Otanta ilman takaisinpanoa Populaatio, jossa N alkiota (palloa, ihmistä tms.), kahdenlaisia ( valkoinen, musta ) Poimitaan umpimähkään (= symmetrisesti) n-osajoukko eli otos Merkitään tapahtuma A k = otoksessa
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 2019 / Hytönen 2. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 019 / Hytönen. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Kurssilla on 0 opiskelijaa, näiden joukossa Jutta, Jyrki, Ilkka ja Alex. Opettaja aikoo valita umpimähkään opiskelijan
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotValitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto
Todennäköisyyslaskenta /7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, n laskeminen, käsite Hakemisto Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennassa tarkastelun kohteena ovat satunnaisilmiöt.esimerkkejä
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotVerkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta: Esitiedot
T (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan T (c) Ilkka Mellin (2004) 2 : Mitä oimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa,
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
Lisätiedot8.1. Tuloperiaate. Antti (miettien):
8.1. Tuloperiaate Katseltaessa klassisen todennäköisyyden määritelmää selviää välittömästi, että sen soveltamiseksi on kyettävä määräämään erilaisten joukkojen alkioiden lukumääriä. Jo todettiin, ettei
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotD ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
LisätiedotLiite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Liite: Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 : Mitä opimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, operaatiotutkimuksessa, peli-ja päätösteoriassa
Lisätiedot