Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö"

Transkriptio

1 Algoritmit 1 Luento 8 Ke Timo Männikkö

2 Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin menetelmä Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

3 Järjestetty binääripuu f b g 7 7 a d c e i h Binääripuu järjestetty, jos kaikilla a ja b on a b a b Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

4 Binääripuun solmujen läpikäynti Esijärjestys (preorder): 1. Käsitellään tarkasteltava solmu 2. Jos tarkasteltavan solmun vasen alipuu ei ole tyhjä, käsitellään tämä vasen alipuu esijärjestyksessä 3. Jos tarkasteltavan solmun oikea alipuu ei ole tyhjä, käsitellään tämä oikea alipuu esijärjestyksessä Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

5 Binääripuun solmujen läpikäynti Sisäjärjestys (inorder): 1. Jos tarkasteltavan solmun vasen alipuu ei ole tyhjä, käsitellään tämä vasen alipuu sisäjärjestyksessä 2. Käsitellään tarkasteltava solmu 3. Jos tarkasteltavan solmun oikea alipuu ei ole tyhjä, käsitellään tämä oikea alipuu sisäjärjestyksessä Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

6 Binääripuun solmujen läpikäynti Jälkijärjestys (postorder): 1. Jos tarkasteltavan solmun vasen alipuu ei ole tyhjä, käsitellään tämä vasen alipuu jälkijärjestyksessä 2. Jos tarkasteltavan solmun oikea alipuu ei ole tyhjä, käsitellään tämä oikea alipuu jälkijärjestyksessä 3. Käsitellään tarkasteltava solmu Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

7 Esimerkki: Binääripuun korkeus Solmun korkeus on pisimmän siitä lehtisolmuun vievän polun pituus Lehtisolmun korkeus on 0 Määritellään: Tyhjän puun korkeus on 1 Juuren korkeus = suurempi alipuiden korkeuksista + 1 Käydään puu läpi rekursiivisesti jälkijärjestyksessä Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

8 Esimerkki: Binääripuun korkeus binpuunkorkeus(solmu) 1. Jos solmu = null, palautetaan 1 2. Jos solmu.left = null, asetetaan vasen = 1, muuten asetetaan vasen = binpuunkorkeus(solmu.left) 3. Jos solmu.right = null, asetetaan oikea = 1, muuten asetetaan oikea = binpuunkorkeus(solmu.right) 4. Jos vasen > oikea, palautetaan vasen+1, muuten palautetaan oikea+1 Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

9 Esimerkki: Aritmeettinen lauseke Lauseke (a + b) c + d binääripuuna Esijärjestyksessä prefix-merkintätavan mukainen järjestys: + + a b c d + + c a b d Jälkijärjestyksessä postfix-merkintätavan mukainen järjestys: a b + c d + Sisäjärjestyksessä saadaan järjestys: a + b c + d Täytyy lisätä sulut Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

10 Puun läpikäynti ilman rekursiota Binääripuun läpikäynti sisäjärjestyksessä pinon avulla Aina kun mennään solmusta vasemmalle, tallennetaan solmun osoitin pinoon 1. Aloitus: Aloitetaan juurisolmusta Kuljetaan vasemmalle kunnes tullaan solmuun, jonka vasen alipuu on tyhjä Kaikki kuljetut solmut tallennetaan pinoon (Algoritmi jatkuu) Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

11 Puun läpikäynti ilman rekursiota 2. Vuorossa olevan solmun saanti: Jos pino tyhjä, lopetetaan Muuten poistetaan pinosta sen päällimmäinen solmu p Olkoon q = p.right Jos q null: Tallennetaan solmu q pinoon Kuljetaan solmusta q vasemmalle kunnes tullaan solmuun, jonka vasen alipuu tyhjä Kaikki kuljetut solmut tallennetaan pinoon Solmu p on nyt seuraava vuorossa oleva solmu Toistetaan kohdasta 2 Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

12 Binääripuun korkeus Tasapainoinen binääripuu: Jokaisella solmulla (paitsi lehtisolmuilla) kaksi lasta 7 7 Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

13 Binääripuun korkeus Tasapainoinen binääripuu: Korkeus h Tasot 0, 1, 2,..., h Solmuja tasoilla 1, 2, 4,..., 2 h Solmuja yhteensä n = h h = 2 i = 2 h+1 1 i=0 h = log 2 (n + 1) 1 Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

14 Binääripuun korkeus Degeneroitunut binääripuu: Muodostuu esimerkiksi, jos solmut lisätään kasvavassa järjestyksessä Tällöin puussa pelkästään oikeita lapsisolmuja h = n 1 Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

15 Operaatioiden aikavaativuus Puun läpikäynti (jossain järjestyksessä): Kaikki solmut käsitellään Vaativuus O(n) Perusoperaatiot (haku, lisäys, poisto): Askelten lukumäärä Puun korkeus Tasapainoiselle puulle vaativuus O(log n) Degeneroituneelle puulle vaativuus O(n) Voidaan osoittaa: Satunnaisesti muodostetussa binääripuussa hakupolun keskipituus 1.39 log 2 n Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

16 Binääripuu hakemistona Hakemisto (sanakirja, dictionary): Tietorakenne, jonka perusoperaatioita ovat alkion haku, alkion lisäys ja alkion poisto Järjestetty lineaarinen lista: Perusoperaatiot O(n) Järjestetty binääripuu: Perusoperaatiot O(log n), kun puu on tasapainoinen Esimerkiksi haku, kun n = 1000: Linneaarinen lista: Vertailuja keskimäärin 500 Binääripuu: Vertailuja keskimäärin 14 Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

17 Binääripuun tasapainottaminen Hakujen yhteydessä tarkkaillaan hakupolkujen pituuksia Jos pituudet ovat paljon suurempia kuin teoreettinen keskipituus, on puu epätasapainoinen Voidaan yrittää tasapainottaa puu Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

18 Binääripuun tasapainottaminen Puun tasapainottaminen rekursiivisesti: Käydään puu läpi sisäjärjestyksessä ja tallennetaan puun solmut (osoittimet niihin) taulukkoon Tällöin solmut ovat taulukossa kasvavassa järjestyksessä Tehdään järjestyksessä keskimmäisestä solmusta uuden binääripuun juurisolmu Pienemmistä solmuista muodostetaan juurisolmun vasen alipuu (rekursiivisesti) Suuremmista solmuista muodostetaan juurisolmun oikea alipuu (rekursiivisesti) Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

19 Verkot Verkot ja graafit: Muodostuvat solmuista ja niitä yhdistävistä kaarista Tyypillisiä sovelluskohteita: Lyhimmän reitin etsiminen tieverkossa Raaka-aineiden virtausten mallintaminen tuotantoprosessissa Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

20 Suunnattu graafi Solmujen joukko N Kaarien joukko A Jokaisella kaarella a tarkalleen yksi alkusolmu t(a) ja yksi loppusolmu h(a) Jokaiseen kaareen täytyy kuulua alku- ja loppusolmu Solmuun ei tarvitse liittyä yhtään kaarta Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

21 Suunnattu graafi, naapurit Kuhunkin solmuun j liittyy kaksi kaarien joukkoa: Lähtevät kaaret A(j) Tulevat kaaret B(j) Näiden kaarien toisessa päässä olevat solmut ovat solmun j naapurisolmuja Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

22 Suunnattu graafi, polut Olkoon graafissa kaaret a 1, a 2,..., a k siten, että h(a i ) = t(a i+1 ) kaikilla i = 1,..., k 1 Silloin nämä kaaret muodostavat polun (reitin) Polku on yksinkertainen, jos mikään solmu ei toistu Polku on silmukka, jos alkusolmu t(a 1 ) on sama kuin loppusolmu h(a k ) Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

23 Suuntaamaton graafi Kaarilla ei ole suuntaa Molemmat suunnat tasa-arvoisia Suuntaamatonta kaarta sanotaan usein tieksi Suuntaamattomien graafien käsittely: Tielle annetaan nimellinen suunta Tie voidaan esittää kahtena suunnattuna kaarena Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

24 Yhtenäinen graafi, puu Graafi on yhtenäinen (yhdistetty), jos jokaisen solmuparin välillä on polku Jos graafi ei ole yhtenäinen, se muodostuu useammasta kuin yhdestä yhtenäisestä komponentista Puu tarkoittaa suuntaamatonta graafia, joka on yhtenäinen ja jossa ei ole yhtään silmukkaa Huom: Tässä yhteydessä hieman eri asia kuin edellä binääripuiden yhteydessä Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

25 Graafit ja verkot Graafi: Pelkästään solmuja ja kaaria Verkko: Solmuihin tai kaariin liittyy muitakin kuvauksia Esimerkiksi kaaren pituus: Polun pituus kaarien pituuksien summa Esimerkiksi kaaren kapasiteetti: Virtaus tapahtuu kaaren suuntaisesti Virtaus ei voi ylittää kapasiteettia Solmuun tulevien virtausten summa yhtä kuin solmusta lähtevien virtausten summa (Kirchhoffin laki) Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

26 Kaaritaulukko Taulukko verkon kaarista (jossain järjestyksessä) Jokaisesta kaaresta tallennettu alkusolmu, loppusolmu ja muut tiedot, kuten esimerkiksi pituus Hyvin yksinkertainen tallennusrakenne Vaatii muistitilaa vakion verran jokaista kaarta kohden Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

27 Verkon lyhimmät polut Suunnattu verkko, jossa jokaisella kaarella k on pituus l(k) Pituus voi olla myös negatiivinen Mutta verkossa ei saa olla silmukkaa, jonka pituus on negatiivinen Tehtävänä etsiä lyhimmät polut jostain annetusta solmusta verkon muihin solmuihin Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

28 Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin menetelmä: Yleinen, yksinkertainen menetelmä Riittää yksinkertainen verkon tallennusrakenne, kuten kaaritaulukko Annettu lähtösolmu a d(i) = lyhimmän tähän mennessä tunnetun polun pituus lähtösolmusta solmuun i t(i) = vastaavan polun viimeisen kaaren alkusolmu (solmua i edeltävä solmu polulla) Periaate: Tutkitaan jokaisen kaaren kohdalla, lyhenisikö polun pituus, jos kaari otettaisiin mukaan polkuun Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

29 Fordin ja Fulkersonin menetelmä 1. Alustus: Asetetaan d(a) = 0 ja t(a) = a Asetetaan d(i) = (suuri luku) kaikilla muilla solmuilla 2. Käsitellään kaikki kaaret jossain järjestyksessä: Vuorossa oleva kaari k, jonka alkusolmu i, loppusolmu j ja pituus l(k) Jos d(i) + l(k) < d(j), asetetaan d(j) = d(i) + l(k) ja t(j) = i 3. Jos jokin d(j) muuttui, toistetaan kohdasta 2, muuten lopetetaan Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

30 Fordin ja Fulkersonin menetelmä Algoritmin päätyttyä: d(j) = lyhimmän polun pituus lähtösolmusta solmuun j t(j) = vastaavan polun viimeisen kaaren alkusolmu Koko lyhin polku voidaan konstruoida kulkemalla polkua takaperin solmusta j lähtösolmuun a Jos solmuun j ei johda reittiä alkusolmusta, niin d(j) = Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 8 Ke /30

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 2 To Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 2 To Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 2 To 14.3.2019 Timo Männikkö Luento 2 Tietorakenteet Lineaarinen lista, binääripuu Prioriteettijono Kekorakenne Keko-operaatiot Keon toteutus taulukolla Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 2 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 2 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 2 Ke 15.3.2017 Timo Männikkö Luento 2 Tietorakenteet Lineaarinen lista, binääripuu Prioriteettijono Kekorakenne Keko-operaatiot Keon toteutus taulukolla Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 7 Ti 31.1.2017 Timo Männikkö Luento 7 Järjestetty binääripuu Binääripuiden termejä Binääripuiden operaatiot Solmun haku, lisäys, poisto Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 7 Ti 31.1.2017

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 4 To Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 4 To Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 4 To 21.3.2019 Timo Männikkö Luento 4 Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Avoin osoitteenmuodostus Hajautusfunktiot Puurakenteet Solmujen läpikäynti Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 4

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 5 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 5 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 5 Ti 26.3.2019 Timo Männikkö Luento 5 Puurakenteet B-puu B-puun korkeus B-puun operaatiot B-puun muunnelmia Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 5 Ti 26.3.2019 2/34 B-puu B-puut ovat tasapainoisia

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 4 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 4 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 4 Ke 22.3.2017 Timo Männikkö Luento 4 Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Avoin osoitteenmuodostus Hajautusfunktiot Puurakenteet Solmujen läpikäynti Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 4

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 6 To Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 6 To Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 6 To 28.3.2019 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 6 To 28.3.2019 2/30 B-puu 40 60 80 130 90 100

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 6 Ke 29.3.2017 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot B-puun muunnelmia Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 6 Ke 29.3.2017 2/31 B-puu

Lisätiedot

Miten käydä läpi puun alkiot (traversal)?

Miten käydä läpi puun alkiot (traversal)? inääripuut ieman lisää aidon binääripuun ominaisuuksia lehtisolmuja on yksi enemmän kuin sisäsolmuja inääripuut tasolla d on korkeintaan 2 d solmua pätee myös epäaidolle binääripuulle taso 0: 2 0 = 1 solmu

Lisätiedot

ALGORITMIT 1 DEMOVASTAUKSET KEVÄT 2012

ALGORITMIT 1 DEMOVASTAUKSET KEVÄT 2012 ALGORITMIT 1 DEMOVASTAUKSET KEVÄT 2012 1.1. (a) Jaettava m, jakaja n. Vähennetään luku n luvusta m niin kauan kuin m pysyy ei-negatiivisena. Jos jäljelle jää nolla, jaettava oli tasan jaollinen. int m,

Lisätiedot

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 5 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 5 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 5 Ti 28.3.2017 Timo Männikkö Luento 5 Puurakenteet B-puu B-puun korkeus B-puun operaatiot Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 5 Ti 28.3.2017 2/29 B-puu Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 5 Ti

Lisätiedot

14. Luennon sisältö. Kuljetustehtävä. Verkkoteoria ja optimointi. esimerkki. verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut

14. Luennon sisältö. Kuljetustehtävä. Verkkoteoria ja optimointi. esimerkki. verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 14. Luennon sisältö Kuljetustehtävä esimerkki Verkkoteoria ja optimointi verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti

Lisätiedot

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 3 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 3 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 3 Ti 21.3.2017 Timo Männikkö Luento 3 Järjestäminen eli lajittelu Kekorakenne Kekolajittelu Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Ketjutus Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 3 Ti 21.3.2017

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 3 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 3 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 3 Ti 20.3.2018 Timo Männikkö Luento 3 Järjestäminen eli lajittelu Kekorakenne Kekolajittelu Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Ketjutus Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 3 Ti 20.3.2018

Lisätiedot

Hakupuut. tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina

Hakupuut. tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina Hakupuut tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina hakupuun avulla voidaan toteuttaa kaikki joukko-tietotyypin operaatiot (myös succ ja pred) pahimman tapauksen aikavaativuus on tavallisella

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 14 Ke 25.2.2015. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 14 Ke 25.2.2015. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 14 Ke 25.2.2015 Timo Männikkö Luento 14 Heuristiset menetelmät Heuristiikkoja kapsäkkiongelmalle Kauppamatkustajan ongelma Lähimmän naapurin menetelmä Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 6 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 6 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 6 Ke 25.1.2017 Timo Männikkö Luento 6 Järjestetty lista Listan toteutus dynaamisesti Linkitetyn listan operaatiot Vaihtoehtoisia listarakenteita Puurakenteet Binääripuu Järjestetty

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 9 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 9 Ti 17.4.2018 Timo Männikkö Luento 9 Merkkitiedon tiivistäminen Huffmanin koodi LZW-menetelmä Taulukointi Editointietäisyys Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 9 Ti 17.4.2018 2/29 Merkkitiedon

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 11 Ti 24.4.2018 Timo Männikkö Luento 11 Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Kauppamatkustajan ongelma Paikallinen etsintä Lyhin virittävä puu Vaihtoalgoritmit Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 7 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 7 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 7 Ti 4.4.2017 Timo Männikkö Luento 7 Joukot Joukko-operaatioita Joukkojen esitystapoja Alkiovieraat osajoukot Toteutus puurakenteena Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 7 Ti 4.4.2017 2/26

Lisätiedot

v 1 v 2 v 3 v 4 d lapsisolmua d 1 avainta lapsen v i alipuun avaimet k i 1 ja k i k 0 =, k d = Sisäsolmuissa vähint. yksi avain vähint.

v 1 v 2 v 3 v 4 d lapsisolmua d 1 avainta lapsen v i alipuun avaimet k i 1 ja k i k 0 =, k d = Sisäsolmuissa vähint. yksi avain vähint. Yleiset hakupuut 4 Monitiehakupuu: Binäärihakupuu 0 1 3 5 6 7 8 v k 1 k k 3 v v 3 v 4 k 1 k 3 k 1 k k k 3 d lapsisolmua d 1 avainta Yleinen hakupuu? Tietorakenteet, syksy 007 1 Esimerkki monitiehakupuusta

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT PUURAKENTEET, BINÄÄRIPUU, TASAPAINOTETUT PUUT MIKÄ ON PUUTIETORAKENNE? Esim. Viereinen kuva esittää erästä puuta. Tietojenkäsittelytieteessä puut kasvavat alaspäin.

Lisätiedot

2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti.

2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti. Tietorakenteet, laskuharjoitus 11, ratkaisuja 1. Leveyssuuntaisen läpikäynnin voi toteuttaa rekursiivisesti käsittelemällä jokaisella rekursiivisella kutsulla kaikki tietyllä tasolla olevat solmut. Rekursiivinen

Lisätiedot

TKT20001 Tietorakenteet ja algoritmit Erilliskoe , malliratkaisut (Jyrki Kivinen)

TKT20001 Tietorakenteet ja algoritmit Erilliskoe , malliratkaisut (Jyrki Kivinen) TKT0001 Tietorakenteet ja algoritmit Erilliskoe 5.1.01, malliratkaisut (Jyrki Kivinen) 1. [1 pistettä] (a) Esitä algoritmi, joka poistaa kahteen suuntaan linkitetystä järjestämättömästä tunnussolmullisesta

Lisätiedot

Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia

Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia Kukin alkio (viite) talletettuna solmuun (node) vastaa paikan käsitettä

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 3 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 3 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 3 Ti 17.1.2017 Timo Männikkö Luento 3 Algoritmin analysointi Rekursio Lomituslajittelu Aikavaativuus Tietorakenteet Pino Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 3 Ti 17.1.2017 2/27 Algoritmien

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 5 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 5 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 5 Ti 24.1.2017 Timo Männikkö Luento 5 Järjestetty lista Järjestetyn listan operaatiot Listan toteutus taulukolla Binäärihaku Binäärihaun vaativuus Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 5 Ti

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 12 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 12 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 12 Ke 15.2.2017 Timo Männikkö Luento 12 Pikalajittelu Pikalajittelun vaativuus Osittamisen tasapainoisuus Lajittelumenetelmien vaativuus Laskentalajittelu Lokerolajittelu Kantalukulajittelu

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 4 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 4 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 4 Ke 18.1.2017 Timo Männikkö Luento 4 Tietorakenteet Pino Pinon toteutus Jono Jonon toteutus Lista Listaoperaatiot Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 4 Ke 18.1.2017 2/29 Pino Pino, stack,

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 0) Toinen välikoe, malliratkaisut. (a) Alussa puu näyttää tältä: Lisätään 4: 4 Tasapaino rikkoutuu solmussa. Tehdään kaksoiskierto ensin oikealle solmusta ja sitten

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 12 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 12 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 12 Ti 19.2.2019 Timo Männikkö Luento 12 Osittamisen tasapainoisuus Pikalajittelun vaativuus Lajittelumenetelmien vaativuus Laskentalajittelu Lokerolajittelu Kantalukulajittelu Algoritmit

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli

Lisätiedot

3. Hakupuut. B-puu on hakupuun laji, joka sopii mm. tietokantasovelluksiin, joissa rakenne on talletettu kiintolevylle eikä keskusmuistiin.

3. Hakupuut. B-puu on hakupuun laji, joka sopii mm. tietokantasovelluksiin, joissa rakenne on talletettu kiintolevylle eikä keskusmuistiin. 3. Hakupuut Hakupuu on listaa tehokkaampi dynaamisen joukon toteutus. Erityisesti suurilla tietomäärillä hakupuu kannattaa tasapainottaa, jolloin päivitysoperaatioista tulee hankalampia toteuttaa mutta

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 12 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 12 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 12 Ke 26.4.2017 Timo Männikkö Luento 12 Rajoitehaku Kauppamatkustajan ongelma Lyhin virittävä puu Paikallinen etsintä Vaihtoalgoritmit Geneettiset algoritmit Simuloitu jäähdytys Algoritmit

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 14 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 14 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 14 Ke 3.5.2017 Timo Männikkö Luento 14 Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke 3.5.2017 2/30 Ositus Tehtävän esiintymä ositetaan

Lisätiedot

Binäärihaun vertailujärjestys

Binäärihaun vertailujärjestys Järjestetyn sanakirjan tehokas toteutus: binäärihaku Binäärihaku (esimerkkikuassa aain = nimi) op Eea 5 op 5 op op 8 op 5 6 7 8 op Eea 5 op 5 op op 8 op 5 6 7 8 op Eea 5 op 5 op op 8 op 5 6 7 8 op Eea

Lisätiedot

Johdatus graafiteoriaan

Johdatus graafiteoriaan Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 13 Ma Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 13 Ma Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 13 Ma 26.2.2018 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin

Lisätiedot

13 Lyhimmät painotetut polut

13 Lyhimmät painotetut polut TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 297 13 Lyhimmät painotetut polut BFS löytää lyhimmän polun lähtösolmusta graafin saavutettaviin solmuihin. Se ei kuitenkaan enää suoriudu tehtävästä, jos kaarien

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin

Lisätiedot

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan

Lisätiedot

Kysymyksiä koko kurssista?

Kysymyksiä koko kurssista? Kysymyksiä koko kurssista? Lisää kysymyksesi osoitteessa slido.com syötä event code: #8777 Voit myös pyytää esimerkkiä jostain tietystä asiasta Vastailen kysymyksiin luennon loppupuolella Tätä luentoa

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 10 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 10 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 10 Ke 14.2.2018 Timo Männikkö Luento 10 Algoritminen ongelmanratkaisu Suunnittelumenetelmät Raaka voima Järjestäminen eli lajittelu Kuplalajittelu Lisäyslajittelu Valintalajittelu Permutaatiot

Lisätiedot

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S

Lisätiedot

Tietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja

Tietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja Tietorakenteet, laskuharjoitus, ratkaisuja. Seuraava kuvasarja näyttää B + -puun muutokset lisäysten jälkeen. Avaimet ja 5 mahtuvat lehtisolmuihin, joten niiden lisäys ei muuta puun rakennetta. Avain 9

Lisätiedot

AVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta

AVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta AVL-puut eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta pohjana jo esitetyt binäärihakupuiden operaatiot tasapainotus vie pahimmillaan lisäajan lisäys- ja

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta jälkiosasta

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta jälkiosasta 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2016-2017 Kertausta jälkiosasta IV Perustietorakenteet Pino, jono ja listat tunnettava Osattava soveltaa rakenteita algoritmeissa Osattava päätellä operaatioiden aikakompleksisuus

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 1 Ti 10.1.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin toteutus Ongelman ratkaiseminen Algoritmin tehokkuus Algoritmin suoritusaika Algoritmin analysointi Algoritmit 1 Kevät 2017

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto)

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto) 811 Tietorakenteet (kevät 9) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto) 1. Bellmanin-Fordin algoritmin alustusvaiheen jälkeen aloitussolmussa on arvo ja muissa solmuissa on arvo ääretön. Kunkin solmun arvo

Lisätiedot

Johdatus graafiteoriaan

Johdatus graafiteoriaan Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 126 Luku 3 Puut 3.1 Puu 3.2 Virittävä puu 3.3 Virittävän puun konstruointi 3.4 Minimaalinen virittävä puu

Lisätiedot

lähtokohta: kahden O(h) korkuisen keon yhdistäminen uudella juurella vie O(h) operaatiota vrt. RemoveMinElem() keossa

lähtokohta: kahden O(h) korkuisen keon yhdistäminen uudella juurella vie O(h) operaatiota vrt. RemoveMinElem() keossa Kekolajittelu Prioriteettijonolla toteutettu keko InsertItem ja RemoveMinElem: O(log(n)) Lajittelu prioriteettijonolla: PriorityQueueSort(lajiteltava sekvenssi S) alusta prioriteettijono P while S.IsEmpty()

Lisätiedot

Datatähti 2019 loppu

Datatähti 2019 loppu Datatähti 2019 loppu task type time limit memory limit A Summa standard 1.00 s 512 MB B Bittijono standard 1.00 s 512 MB C Auringonlasku standard 1.00 s 512 MB D Binääripuu standard 1.00 s 512 MB E Funktio

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe ratkaisuja (Jyrki Kivinen)

58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe ratkaisuja (Jyrki Kivinen) 58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe 12.9.2018 ratkaisuja (Jyrki Kivinen) 1. [10 pistettä] Iso-O-merkintä. (a) Pitääkö paikkansa, että n 3 + 5 = O(n 3 )? Ratkaisu: Pitää paikkansa.

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 9 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 9 Ti 19.4.2016 Timo Männikkö Luento 9 Merkkitiedon tiivistäminen LZW-menetelmä Taulukointi Editointietäisyys Peruutus Verkon 3-väritys Algoritmit 2 Kevät 2016 Luento 9 Ti 19.4.2016

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 10 To Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 10 To Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 10 To 19.4.2018 Timo Männikkö Luento 10 Peruutusmenetelmä Osajoukon summa Verkon 3-väritys Pelipuut Pelipuun läpikäynti Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 10 To 19.4.2018 2/34 Algoritmien

Lisätiedot

A TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT KORVAAVAT HARJOITUSTEHTÄVÄT 3, DEADLINE KLO 12:00

A TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT KORVAAVAT HARJOITUSTEHTÄVÄT 3, DEADLINE KLO 12:00 A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT KORVAAVAT HARJOITUSTEHTÄVÄT 3, DEADLINE 9.2.2005 KLO 12:00 PISTETILANNE: www.kyamk.fi/~atesa/tirak/harjoituspisteet-2005.pdf Kynätehtävät palautetaan kirjallisesti

Lisätiedot

(a) L on listan tunnussolmu, joten se ei voi olla null. Algoritmi lisäämiselle loppuun:

(a) L on listan tunnussolmu, joten se ei voi olla null. Algoritmi lisäämiselle loppuun: Tietorakenteet ja algoritmit, kevät 201 Kurssikoe 1, ratkaisuja 1. Tehtävästä sai yhden pisteen per kohta. (a) Invariantteja voidaan käyttää algoritmin oikeellisuustodistuksissa Jokin väittämä osoitetaan

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa:

1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: Tietorakenteet, laskuharjoitus 10, ratkaisuja 1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: SamaLuku(T ) 2 for i = 1 to T.length 1 3 if T [i] == T [i + 1] 4 return True 5 return

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2016) Ensimmäinen välikoe, malliratkaisut

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2016) Ensimmäinen välikoe, malliratkaisut 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2016) Ensimmäinen välikoe, malliratkaisut 1. Palautetaan vielä mieleen O-notaation määritelmä. Olkoon f ja g funktioita luonnollisilta luvuilta positiivisille

Lisätiedot

Diskreetit rakenteet

Diskreetit rakenteet Diskreetit rakenteet 811120P 5 op 7. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 Mikä on verkko? verkko (eli graafi) koostuu solmuista ja väleistä, jotka yhdistävät solmuja

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen)

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 1. Avaimet 1, 2, 3 ja 4 mahtuvat samaan lehtisolmuun. Tässä tapauksessa puussa on vain yksi solmu, joka on samaan aikaan juurisolmu

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta jälkiosasta

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta jälkiosasta 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2018-2019 Kertausta jälkiosasta V Hashtaulukot ja binääriset etsintäpuut Hashtaulukot Perusajatus tunnettava Tiedettävä mikä on tiivistefunktio Törmäysongelman hallinta:

Lisätiedot

Muita linkattuja rakenteita

Muita linkattuja rakenteita 1 Muita linkattuja rakenteita Johdanto Aikaisemmin on käsitelty listan, jonon ja pinon toteutus dynaamisesti linkattuna rakenteena. Dynaamisella linkkauksella voidaan toteuttaa mitä moninaisimpia rakenteita.

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 10 Ke 11.2.2015. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 10 Ke 11.2.2015. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 10 Ke 11.2.2015 Timo Männikkö Luento 10 Algoritminen ongelman ratkaisu Suunnittelumenetelmät Raaka voima Järjestäminen eli lajittelu Kuplalajittelu Väliinsijoituslajittelu Valintalajittelu

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, , vastauksia

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, , vastauksia 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, 652013, vastauksia 1 [6 pistettä] Vastaa jokaisesta alla olevasta väittämästä onko se tosi vai epätosi ja anna lyhyt perustelu Jokaisesta kohdasta

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit

Tietorakenteet ja algoritmit Tietorakenteet ja algoritmit Rekursio Rekursion käyttötapauksia Rekursio määritelmissä Rekursio ongelmanratkaisussa ja ohjelmointitekniikkana Esimerkkejä taulukolla Esimerkkejä linkatulla listalla Hanoin

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 2 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 2 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 2 Ke 11.1.2017 Timo Männikkö Luento 2 Algoritmin esitys Algoritmien analysointi Suoritusaika Asymptoottinen kertaluokka Peruskertaluokkia NP-täydelliset ongelmat Algoritmit 1 Kevät

Lisätiedot

Koe ma 1.3 klo 16-19 salissa A111, koeaika kuten tavallista 2h 30min

Koe ma 1.3 klo 16-19 salissa A111, koeaika kuten tavallista 2h 30min Koe Koe ma 1.3 klo 16-19 salissa A111, koeaika kuten tavallista 2h 30min Kokeessa saa olla mukana A4:n kokoinen kaksipuolinen käsiten tehty, itse kirjoitettu lunttilappu 1 Tärkeää ja vähemmäntärkeää Ensimmäisen

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe malliratkaisut ja arvosteluperusteet

58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe malliratkaisut ja arvosteluperusteet 58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe 15.6.2018 malliratkaisut ja arvosteluperusteet 1. [10 pistettä] Hakemistorakenteet. Vertaa linkitettyjen listojen, tasapainoisten hakupuiden ja

Lisätiedot

TIE Tietorakenteet ja algoritmit 261

TIE Tietorakenteet ja algoritmit 261 TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 261 12 Graafit Seuraavaksi tutustutaan tietorakenteeseen, jonka muodostavat pisteet ja niiden välille muodostetut yhteydet graafiin. Keskitymme myös tyypillisimpiin

Lisätiedot

Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan.

Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan. 5. Verkkoalgoritmeja Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan. Palauttaminen edellyttää usein ongelman ja algoritmin pientä modifioimista,

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 10 To Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 10 To Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 10 To 11.4.2019 Timo Männikkö Luento 10 Merkkitiedon tiivistäminen LZW-menetelmä Taulukointi Editointietäisyys Peruutusmenetelmä Osajoukon summa Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 10 To

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 11 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 11 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 11 Ti 14.2.2017 Timo Männikkö Luento 11 Algoritminen ongelmanratkaisu Osittaminen Lomituslajittelu Lomituslajittelun vaativuus Rekursioyhtälöt Pikalajittelu Algoritmit 1 Kevät 2017

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut

Lisätiedot

Lyhin kahden solmun välinen polku

Lyhin kahden solmun välinen polku Lyhin kahden solmun välinen polku Haluamme etsiä lyhimmän polun alla olevan ruudukon kohdasta a kohtaan b vierekkäisten (toistensa sivuilla, ylä- ja alapuolella olevien) valkoisten ruutujen välinen etäisyys

Lisätiedot

Oikeasta tosi-epätosi -väittämästä saa pisteen, ja hyvästä perustelusta toisen.

Oikeasta tosi-epätosi -väittämästä saa pisteen, ja hyvästä perustelusta toisen. Tietorakenteet, kevät 2012 Kurssikoe 2, mallivastaukset 2. (a) Järjestämistä ei voi missään tilanteessa suorittaa nopeammin kuin ajassa Θ(n log n), missä n on järjestettävän taulukon pituus. Epätosi: Yleisessä

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 13 Ti 2.5.2017 Timo Männikkö Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.40 Lineaarinen ohjelmointi 5..007 Luento 9 Verkkotehtävän erikoistapauksia (kirja 7., 7.5, 7.9, 7.0) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 007 / Luentorunko (/) Verkkotehtävän ominaisuuksia Kuljetustehtävä

Lisätiedot

Johdatus verkkoteoriaan 4. luento

Johdatus verkkoteoriaan 4. luento Johdatus verkkoteoriaan 4. luento 28.11.17 Viikolla 46 läpikäydyt käsitteet Viikolla 47 läpikäydyt käsitteet Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot,

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 11 Ti 25.4.2017 Timo Männikkö Luento 11 Peruutusmenetelmä Osajoukon summa Pelipuut Pelipuun läpikäynti Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti 25.4.2017 2/29

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet Erilliskoe , ratkaisuja (Jyrki Kivinen)

58131 Tietorakenteet Erilliskoe , ratkaisuja (Jyrki Kivinen) 58131 Tietorakenteet Erilliskoe 11.11.2008, ratkaisuja (Jyrki Kivinen) 1. (a) Koska halutaan DELETEMAX mahdollisimman nopeaksi, käytetään järjestettyä linkitettyä listaa, jossa suurin alkio on listan kärjessä.

Lisätiedot

PARITUS KAKSIJAKOISESSA

PARITUS KAKSIJAKOISESSA PARITUS KAKSIJAKOISESSA GRAAFISSA Informaatiotekniikan t iik seminaari i Pekka Rossi 4.3.2008 SISÄLTÖ Johdanto Kaksijakoinen graafi Sovituksen peruskäsitteet Sovitusongelma Lisäyspolku Bipartite matching-algoritmi

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit III Lajittelualgoritmeista

811312A Tietorakenteet ja algoritmit III Lajittelualgoritmeista 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2016-2017 III Lajittelualgoritmeista Sisältö 1. Johdanto 2. Pikalajittelu 3. Kekolajittelu 4. Lajittelualgoritmien suorituskyvyn rajoista 811312A TRA, Lajittelualgoritmeista

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 13 Ti 30.4.2019 Timo Männikkö Luento 13 Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 13 Ti 30.4.2019

Lisätiedot

CS-A1140 Tietorakenteet ja algoritmit

CS-A1140 Tietorakenteet ja algoritmit CS-A1140 Tietorakenteet ja algoritmit Kierros 4: Binäärihakupuut Tommi Junttila Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan laitos Syksy 2016 Sisältö Binäärihakupuut Avainten lisääminen,

Lisätiedot

Pienin virittävä puu (minimum spanning tree)

Pienin virittävä puu (minimum spanning tree) Pienin virittävä puu (minimum spanning tree) Jatkossa puu tarkoittaa vapaata puuta (ks. s. 11) eli suuntaamatonta verkkoa, joka on yhtenäinen: minkä tahansa kahden solmun välillä on polku syklitön: minkä

Lisätiedot

Kierros 4: Binäärihakupuut

Kierros 4: Binäärihakupuut Kierros 4: Binäärihakupuut Tommi Junttila Aalto University School of Science Department of Computer Science CS-A1140 Data Structures and Algorithms Autumn 2017 Tommi Junttila (Aalto University) Kierros

Lisätiedot

T : Max-flow / min-cut -ongelmat

T : Max-flow / min-cut -ongelmat T-61.152: -ongelmat 4.3.2008 Sisältö 1 Määritelmät Esimerkki 2 Max-flow Graafin leikkaus Min-cut Max-flow:n ja min-cut:n yhteys 3 Perusajatus Pseudokoodi Tarkastelu 4 T-61.152: -ongelmat Virtausverkko

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 13 Ti 8.5.2018 Timo Männikkö Luento 13 Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit 2 Kevät

Lisätiedot

Tietorakenteet, laskuharjoitus 6,

Tietorakenteet, laskuharjoitus 6, Tietorakenteet, laskuharjoitus, 23.-2.1 1. (a) Kuvassa 1 on esitetty eräät pienimmistä AVL-puista, joiden korkeus on 3 ja 4. Pienin h:n korkuinen AVL-puu ei ole yksikäsitteinen juuren alipuiden keskinäisen

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 8 To Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 8 To Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 8 To 4.4.2019 Timo Männikkö Luento 8 Algoritmien analysointi Algoritmien suunnittelu Rekursio Osittaminen Rekursioyhtälöt Rekursioyhtälön ratkaiseminen Master-lause Algoritmit 2 Kevät

Lisätiedot

Algoritmit 2. Demot Timo Männikkö

Algoritmit 2. Demot Timo Männikkö Algoritmit 2 Demot 1 27.-28.3.2019 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) 4n 2 + n + 4 = O(n 2 ) c, n 0 > 0 : 0 4n 2 + n + 4 cn 2 n n 0 Vasen aina tosi Oikea tosi, jos (c 4)n 2 n 4 0, joten oltava c > 4 Kokeillaan

Lisätiedot

Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla

Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 12.12.2008 Jaakko Salonen jaakko.salonen@tut.fi TTY / Hypermedialaboratorio

Lisätiedot

Kierros 3: Puut. Tommi Junttila. Aalto University School of Science Department of Computer Science

Kierros 3: Puut. Tommi Junttila. Aalto University School of Science Department of Computer Science Kierros 3: Puut Tommi Junttila Aalto University School of Science Department of Computer Science CS-A1140 Data Structures and Algorithms Autumn 2017 Tommi Junttila (Aalto University) Kierros 3 CS-A1140

Lisätiedot