Taulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Taulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot"

Taisto Väänänen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 T kevät 2006 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M : a, Q b c d Lauseen X( UQ) sulkeuma: CL ( X( UQ) ) = { X( UQ), X( UQ), UQ, X ( UQ), ( UQ),, Q, X ( UQ),, } Muodostetaan atomit. Koska v(a, ) = v(a, Q) = false, saadaan tilan a perusteella taulu Q UQ ( UQ) X( UQ) X( UQ) X ( UQ) X ( UQ) Taulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot K 1 = {,,, UQ, X( UQ), X ( UQ) } K 2 = {,,, ( UQ), X( UQ), X ( UQ) } Tilasta a ja näistä lausejoukoista saadaan siten atomit (a, K 1 ) ja (a, K 2 ). (Lausejoukot K 1 ja K 2 ovat siis suurimmat mahdolliset CL ( X( UQ) ) :n ristiriidattomat 1 osajoukot, jotka ovat yhtäpitäviä 1 Lausejoukko K on ristiriitainen, jos ϕ, ϕ K jollekin lauseelle ϕ. 1

2 atomilauseiden valuaation kanssa tilassa a: minkä tahansa lauseen ϕ CL ( X( UQ) ) \ K i lisääminen joukkoon K i, i {1, 2}, tekisi lausejoukon ristiriitaiseksi.) Koska atomilauseilla ja Q on tilassa c sama valuaatio kuin tilassa a, tilan c perusteella saadaan atomit (c, K 1 ) ja (c, K 2 ). Muodostetaan taulu tilan b atomilauseiden valuaation perusteella: UQ Q X( UQ) X( UQ) Q X( UQ) ( UQ) X( UQ) X ( UQ) X ( UQ) Taulun avoimista haaroista saadaan lausejoukot K 3 = {,, Q, UQ, X( UQ), X ( UQ) } K 4 = {,, Q, UQ, X( UQ), X ( UQ) } Tilan b perusteella saadaan siis atomit (b, K 3 ) ja (b, K 4 ). Muodostetaan vielä taulu tilan d suhteen: Q UQ X( UQ) ( UQ) X( UQ) X( UQ) X( UQ) X ( UQ) X ( UQ) X ( UQ) Nyt saadaan lausejoukot K 5 = {,,, ( UQ), X( UQ), X ( UQ) } K 6 = {,,, ( UQ), X( UQ), X ( UQ) } (lausejoukko K 6 saadaan kahdesta taulun avoimesta haarasta). Tilan d perusteella saadaan siis atomit (d, K 5 ) ja (d, K 6 ). 2

3 Muodostetaan graafi G = (N, E), jonka solmujen joukko N koostuu kaikista edellä määritetyistä atomeista, ts. N = { (a, K 1 ), (a, K 2 ), (b, K 3 ), (b, K 4 ), (c, K 1 ), (c, K 2 ), (d, K 5 ), (d, K 6 ) } ja jonka kaaret toteuttavat seuraavan ehdon: atomista (s, K) on kaari atomiin (s, K ), jos ja vain, jos (a) s, s R (mallissa M) ja (b) kaikille K:n muotoa Xϕ oleville lauseille pätee ϕ K. Jälkimmäisen ehdon tarkistamiseksi voidaan ensin muodostaa K i - joukkojen välille yhteensopivuusrelaatio, joka voidaan esittää taulukkona seuraavasti: K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 Taulukon i:nnen rivin j:nnessä sarakkeessa on rasti, jos ja vain, jos kaikille lauseille Xϕ K i pätee ϕ K j : esimerkiksi pari (K 1, K 3 ) toteuttaa ehdon, koska X( UQ) K 1 on K 1 :n ainoa muotoa Xϕ oleva lause ja UQ K 3. Ehdot (a) ja (b) voidaan nyt tarkistaa relaation R ja yllä olevan taulukon avulla. Esimerkiksi atomista (b, K 3 ) voisi relaatiota R koskevan ehdon (a) perusteella olla kaari mihin tahansa atomeista { (a, K1 ), (a, K 2 ), (d, K 5 ), (d, K 6 ) } ; koska K-joukkojen välinen ehto ei kuitenkaan yllä olevan taulukon perusteella päde pareille (K 3, K 2 ), (K 3, K 5 ) ja (K 3, K 6 ), jäljelle jää ainoastaan kaari (b, K 3 ), (a, K 1 ). Graafiksi G saadaan (c, K 2 ) (c, K 1 ) (a, K 1 ) (d, K 5 ) (d, K 6 ) (b, K 3 ) (b, K 4 ) (a, K 2 ) 3

4 Lauseen EX( UQ) toteutuvuuden määrittämiseksi tilassa a tutkitaan, onko graafissa G polkua, joka alkaa jostakin atomista (a, K) (K {K 1,..., K 6 }) siten, että lause X( UQ) kuuluu joukkoon K, ja polku johtaa johonkin itsetoteutuvaan ei-triviaaliin vahvasti kytkettyyn komponenttiin. (Vahvasti kytketty komponentti C N on itsetoteutuva, jos kaikkien atomien (s, K) C kaikille joukkoon K kuuluville muotoa ϕuψ oleville lauseille on olemassa atomi (s, K ) C siten, että ψ K.) Graafin G ainoa ei-triviaali vahvasti kytketty komponentti on C = { (a, K1 ), (a, K 2 ), (b, K 3 ), (b, K 4 ), (c, K 2 ), (d, K 5 ), (d, K 6 ) }. Tämä komponentti on myös itsetoteutuva, sillä ainoa C:n solmuissa esiintyvä muotoa ϕuψ oleva lause on UQ, ja C sisältää esim. atomin (b, K 3 ), jolle pätee Q K 3. Nähdään, että komponentti C on saavutettavissa esimerkiksi atomista (a, K 1 ) (koska (a, K 1 ) C)). Koska X( UQ) K 1, seuraa, että M, a = EX( UQ) pätee. 2. M: a b c M, a = AFG pätee, jos ja vain, jos M, a = E FG pätee, jos ja vain, jos M, a = E FG. Tutkitaan siis, päteekö M, a = E FG. Kirjoitetaan lause FG käyttämällä ainoastaan X- ja U- temporaalikonnektiiveja: FG F F F (U ) ( U (U ) ) Lauseen ( U (U ) ) sulkeuma: CL ( ( U (U ) )) = { ( U (U ) ), U (U ),, (U ), X ( U (U ) ),, U, X ( U (U ) ),, X(U ), X ( U (U ) ),, X(U ), X ( U (U ) ), X (U ), X (U ) } 4

5 Muodostetaan atomit. Koska v(a, ) = false, saadaan tilan a perusteella taulu jossa haara T 1 on U (U ) T 1 T 2 X(U ) (U ) U (U ) X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X(U ) X(U ) U ą U (U ) ć U X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X(U ) X(U ) X (U ) X (U ) X (U ) X (U ) ja haara T 2 on X(U ) (U ) X (U ) U (U ) ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć U U X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć Taulun avoimien haarojen perusteella saadaan nyt lausejoukot K 1 = {,, U, U (U ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) ), X(U ), X (U ) } K 2 = {,, U, U (U ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) ), X(U ), X (U ) } K 3 = {,, U, ( U (U ) ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) ), X(U ), X (U ) } K 4 = {,, U, ( U (U ) ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) ), X(U ), X (U ) } 5

6 K 5 = {,, U, X(U ), X (U ), U (U ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) )} K 6 = {,, U, X(U ), X (U ), ( U (U ) ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) )} Näin saadaan atomit (a, K 1 ), (a, K 2 ), (a, K 3 ), (a, K 4 ), (a, K 5 ) ja (a, K 6 ). Koska v(b, ) = v(c, ) = true, tilojen b:n ja c:n perusteella saadaan taulu U (U ) X(U ) T 3 X(U ) T 4 jossa haara T 3 on (U ) ja haara T 4 on X (U ) U (U ) ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć U U X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X (U ) U (U ) (U ) X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć U ą U (U ) ć U X ą U (U ) ć 6

7 Näin saadaan lausejoukot K 7 = {,, U, X(U ), X (U ), U (U ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) )} K 8 = {,, U, X(U ), X (U ), ( U (U ) ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) )} K 9 = {,, (U ), X(U ), X (U ), U (U ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) )} K 10 = {,, (U ), X(U ), X (U ), U (U ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) )} (lausejoukko K 9 saadaan taulun kahdesta haarasta). Näin saadaan atomit (b, K 7 ), (b, K 8 ), (b, K 9 ), (b, K 10 ) sekä (c, K 7 ), (c, K 8 ), (c, K 9 ) ja (c, K 10 ). K-joukkojen välinen yhteensopivuusrelaatio on nyt seuraava: K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 7 K 8 K 9 K 10 K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 7 K 8 K 9 K 10 7

8 Graafi G: (a, K 1 ) (b, K 7 ) (a, K 2 ) (a, K 5 ) (c, K 7 ) (b, K 9 ) (c, K 9 ) (b, K 10 ) (c, K 10 ) (a, K 3 ) (a, K 4 ) (a, K 6 ) (b, K 8 ) (c, K 8 ) G:n ei-triviaalit vahvasti kytketyt komponentit ovat C 1 = { (a, K 1 ), (a, K 5 ) } C 2 = { (a, K 3 ), (a, K 6 ) } C 3 = { (b, K 7 ), (c, K 7 ) } C 4 = { (b, K 8 ), (c, K 8 ) } C 5 = { (b, K 9 ), (c, K 9 ) } Näistä komponenteista C 2 ja C 5 ovat itsetoteutuvia. On siis tutkittava, onko jompikumpi näistä komponenteista saavutettavissa jostakin graafin solmusta (a, K), missä ( U (U ) ) K. Koska lause ( U (U ) ) kuuluu esimerkiksi joukkoon K 6 ja C 2 on saavutettavissa solmusta (a, K 6 ) (koska (a, K 6 ) C 2 ), seuraa, että M, a = E FG pätee. Siten M, a = AFG ei päde mallissa M. 8

Samankaltaiset tiedostot

2. M : T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M :

2. M : T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M : T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 2. M : a 1. M : a c b, e b f,r c e a) M,a = A(U), sillä (esim.) (a,b,,,,...) on tilasta a alkava täysi polku, joka ei