Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista"

Transkriptio

1 8. Verkkomallit Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista (P. D. Seymour, Journal of Combinatorial Theory (B), 8 (980),0-9). Verkkomalleilla on muutenkin laaja käyttö. Seuraavassa esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä optimointisovellusten näkökulmasta. Graafi (graph) rakentuu solmuista (node, vertex) ja niitä yhdistävistä kaarista (arc, edge). Graafin rakenne voidaan antaa parilla (V,E), missä V on solmujen joukko ja E on järjestämättömien solmuparien avulla ilmaistujen kaarien joukko. Tässä V ja E oletetaan äärellisiksi. Esimerkki. Viiden solmun graafi (V,E), missä V = {,,,,} ja E = {(,),(,),(,),(,,),(,),(,),(,),(,)}. Merkintä (i,j) tarkoittaa, että solmuja i ja j yhdistää kaari. Polku solmusta i solmuun j on jono kaaria siten, että ensimmäinen alkaa solmusta i ja viimeinen päättyy solmuun j: (i,i ), (i,i ), (i,i ),,(i n-,i n ),(i n,j). Polku on silmukka, jos i = j. Edellisessä esimerkissä (,),(,), (,) muodostavat polun, joka on silmukka. Graafi on yhtenäinen, jos sen jokaisesta solmusta päästään polkua pitkin sen jokaiseen toiseen solmuun.

2 9 Yhtenäinen graafi on puu, jos siinä ei ole silmukoita. Graafin (V,E) aligraafi on graafi, joka sisältää osan V:n solmuista ja osan E:n kaarista. Graafin virittävä puu on sellainen aligraafi, joka sisältää graafin kaikki solmut ja on puu. Virittävä puu yhdistää siis kaikki graafin solmut, mutta ei yleensä sisällä alkuperäisen graafin kaikkia kaaria. Alla on edellisen esimerkin (eräs) virittävä puu: Jos kaariin on liitetty solmujen väliset etäisyydet, niin graafin minimaalinen virittävä puu on sellainen, jolla kaarien yhteenlaskettu etäisyys on minimissään. Esimerkki. Oheiseen graafiin on kaarien yhteyteen merkitty etäisyydet. Solmusta lähtemällä on muodostettu minimaalinen virittävä puu. Periaate on, että aina haetaan lyhin linkki jo muodostetun puun ja vielä ulkopuolella olevien solmujen välille. (Tämä on yksi niistä harvoista probleemoista, joissa ns. ahne algoritmi antaa aina optimin.)

3

4 Verkko (network) on tässä esityksessä suunnattu graafi eli digraafi, jolloin jokaiseen kaareen liittyy aina suunta. Sallimme myös, että samojen solmujen välillä on useita kaaria. Verkon rakenne voidaan nytkin määrittää parilla (V,E), missä V on solmujoukko, mutta E on nyt järjestettyjen solmuparien multijoukko. Multijoukko eroaa tavallisesta joukon käsitteestä siten, että alkio voi esiintyä siinä monta kertaa, alkion multiplisiteetin mukaisesti. Esimerkki. Viiden solmun verkko, jossa V={,,,,} ja E = {(,), (,), (,), (,),(,),(,),(,),(,)}. Tässä (i,j) tarkoittaa suunnattua kaarta solmusta i solmuun j. Kaari (,) esiintyy kahteen kertaan eli solmusta solmuun menee kaksi rinnakkaista kaarta, kaaren (,) multiplisiteetti on. Kaarella (i,j) on suunta i:stä j:hin eli (,) ja (,) ovat eri kaaria, vastakkaissuuntaisia. Verkon rakenne voidaan määrittää myös vierussolmumatriisilla A = (a ij ), missä a ij = solmusta i solmuun j menevien kaarien lukumäärä. Siis a ij = 0, jos kaarta ei ole, a ij =, jos kaaria on yksi, ja a ij = k, jos rinnakkaisia kaaria solmusta i solmuun j on k. Mikä on edellisen esimerkin vierussolmumatriisi? Verkkoon liitetään virtaus (flow), joka kulkee solmusta toiseen kaaria pitkin kaaren suuntaan. Virtausta voi syntyä solmussa, jolloin solmu on lähdesolmu tai sitä voi upota solmuun, jolloin solmu on kohdesolmu. Lähdesolmun j tarjonta (supply) on annetulla välillä [s j,s j ] joka voi olla yksi pistekin (s j =s j ) tai mitä hyvänsä ei-negatiivista: [0, ).

5 Samoin kohdesolmun j kysyntä (demand) on annetulla välillä [d j,d j ], joka sekin voi olla määrätty täsmälliseksi arvoksi (d j =d j ) tai olla määrittelemätön: [0, ). Jos solmu ei ole kumpaakaan edellä mainittua tyyppiä, sitä voidaan sanoa kauttakulkusolmuksi. (Solmu ei voi olla samanaikaisesti lähde- ja kohdesolmu, mutta voi olla samalla lähde- ja kauttakulkusolmu tai kohdeja kauttakulkusolmu.) 00 0 (0,00) (0,80) (0,0) A (0,0) (0,0) 7 (0,0) B 8 (0,0) Virtausta ei synny eikä häviä verkossa muuten kuin lähde- ja kohdesolmuissa, ja virtauksen säilymislaki vaatii kussakin solmussa, että tuleva virtaus = lähtevä virtaus (jolloin tulevaan virtaukseen luetaan mahdollinen lähdesolmun tuotto ja lähtevään virtaukseen mahdollinen kohdesolmun kulutus).

6 Kaaren (i,j) kannalta virtauksella voi olla ala - ja yläraja, joka ilmaistaan välinä [l ij,u ij ]. Tämä väli voi olla myös yksi piste, jolloin se pakottaa virtauksen kaarella luvuksi l ij = u ij tai virtaus voi olla vapaa: [0, ). Virtaus, joka toteuttaa virtauksen säilymislain ja kaarien rajoitukset, on käypä virtaus. Sen arvot x ij kullakin kaarella (i,j) kertovat virtausongelman käyvän ratkaisun. Kun kaariin (i,j) liitetään vielä virtauskustannus c ij, saadaan verkon minimikustannusvirtausmalli (Minimal Cost Network Flow Model), jossa haetaan virtausta, joka minimoi kokonaiskustannukset. Hyvin moni optimoinnin ja operaatiotutkimuksen ongelma voidaan pukea verkon minimikustannusvirtausmalliksi. Esimerkki. Klassinen kuljetusongelma (transportation problem) on virtausongelma luontevimmillaan. Kuljetuskustannukset minimoiva verkkomalli saadaan kun tehtaat otetaan lähdesolmuiksi ja asiakkaat kohdesolmuiksi. Esimerkki. Kohdistusongelma eli Assignment Problem On sijoitettava n työntekijää m:ään työhön (n m), siten että töihin käytetty kokonaiskustannus on mahdollisimman pieni. Kun työntekijän i tekee työn j, siitä aiheutuu kustannus c ij.. Kutakin työtä voi tehdä vain yksi työntekijä ja hän tekee saamansa työn loppuun. Kenellekään ei anneta useampaa kuin yksi työ. Kaikki työt on tehtävä. Verkkomallissa voidaan nyt virtaavaksi suureeksi valita vaikka työntekijät, jotka menevät ("virtaavat") siihen työhön, johon heidät valitaan.

7 Verkon rakenne ja siihen liittyvä virtaus voidaan kuvata algebrallisesti lineaarisina yhtälöinä ja epäyhtälöinä, jolloin virtauksiin liittyvät optimointitehtävät muotoutuvat matemaattisen optimoinnin malleiksi lineaarisin rajoitusehdoin. Erityisesti minimikustannusvirtausmalli on silloin lineaarisen optimoinnin tehtävä ja kokonaislukuoptimointiin kuuluva, jos virtauksen ainoa sallittu muoto on kokonaisluku. Verkon (V,E) algebrallisen mallin muuttujat ovat kaarien virtaukset x ij, (i,j) E sekä lähdesolmujen i tarjontamuuttujat s i ja kohdesolmujen j kysyntämuuttujat d j. Jokaista verkon solmua i V kohti saadaan virtauksen säilymislain johdosta säilymisyhtälö, jossa tuleva virtaus + solmussa syntyvä virtaus = lähtevä virtaus + solmussa kulutettava virtaus. Koska mikään solmu ei voi olla samalla lähde- ja kohdesolmu, on siis säilymisyhtälössä solmusta lähtevien ja sinne tulevien kaarien virtausmuuttujat ja mahdollisesti joko tarjontamuuttuja tai kysyntämuuttuja (mutta ei molempia).

8 Säilymisyhtälöiden tyypit ovat siis seuraavat: Lähdesolmun i yhtälö x x + s = 0 ji ij i ( ji, ) E ( i, j) E Kohdesolmun j yhtälö x x d = 0 ij ji j (, ij) E ( ji,) E Kauttakulkusolmun k yhtälö xik xkj = 0 (, ik) E ( k, j) E

9 Virtausmuuttujille x ij on lisäksi mahdolliset ala- ja ylärajat: Kaaren (i,j) virtauksen rajat l ij x ij u ij Lisäksi lähdesolmun i tarjonnalle on tarjontarajat ja kohdesolmulle j kysyntärajat: Lähdesolmun i tarjonnan rajat s i s i s i Kohdesolmun j kysynnän rajat d j d j d j Koska virtaus oletetaan aina ei-negatiiviseksi (virtauksen suuntaan), niin edellä olevat rajat ovat virheettömässä datassa ei-negatiivisia. Jos rajoja ei ole erikseen annettu, niiden oletusarvona on alaraja 0 ja yläraja. Edellä mainitut säilymisyhtälöt ja rajat toteuttavat virtaukset x ij, s i ja d j muodostavat verkon virtausongelman käyvän ratkaisun.

10 7 Optimivirtausmalliin liittyy vielä lineaarinen kohdefunktio. Kuhunkin kaareen (i,j) liittyy luku c ij, joka on luonteeltaan kustannus (minimointitehtävät) tai hyöty (maksimointitehtävät). Kohdefunktio f(x) = c ij x ij ( i, j) E Minimikustannusvirtausmallissa kohdefunktio ilmoittaa virtauskustannusten summan, jota minimoidaan. Muuttujavektori x sisältää kaikki virtaukset x ij yhdessä pystyvektorissa siten, että toinen indeksi kulkee nopeammin kuin ensimmäinen (sanakirjajärjestys x, x,, x, x, ). - (0,0) (0,0) - - (00,00) (0,00) -8 - (0,0) Kun muuttujat ryhmitellään säilymisyhtälöissä siten, että samaan kaareen liittyvät muuttujat ovat samalla kohdalla, tulevat yhtälöryhmän kerroinmatriisissa sarakkeet (pystyrivit) kertomaan, mihin solmuun kaari on tulossa (+) ja mistä solmusta lähdössä (-). Koska jokaisella kaarella on täsmälleen yksi alku- ja loppusolmu, on siis jokaisella sarakkeella täsmälleen yksi ja -. Vaakarivit taas vastaavat solmuja, ja niillä voi olla pelkästään :siä, pelkästään (-):siä tai yleisimmin molempia vaihtelevin lukumäärin siitä riippuen, kuinka moni kaari solmuun tulee ja siitä lähtee.

11 8 Kyseisen yhtälöryhmän kerroinmatriisi on verkon solmu-kaari-matriisi eli (ns. täysi) insidenssimatriisi. Minimikustannusvirtausmalli on siis matriisimuodossa min f(x) = c T x Ax + s - d = 0 l x u s s s d d d Tässä A on verkon insidenssimatriisi (kokoa m n,kun verkossa on m solmua ja n kaarta), s on tarjontavektori, m -vektori, jossa on solmujen tuotannot, d on kysyntävektori, m -vektori, jossa on solmujen kysynnät, x on virtausvektori, n -vektori, jossa on kaarien virtaukset ja c on kustannusvektori, n -vektori, jossa on kaarien kustannukset. Kyseessä on siis lineaarisen optimoinnin probleema, muuttujina vektorit x, s ja d (joiden komponenteista osa voi olla vakioitakin).

12 9 Huomattakoon, että tässä mallissa s ja d eivät ole suoraan kaariin liittyviä virtauksia eikä niihin siitä syystä liity kustannuskertoimia. Jos niihin halutaan liittää kustannuksia, lisätään malliin niitä varten tarpeelliset solmut ja kaaret. Edellä määritelty insidenssimatriisi A on rakenteeltaan totaalisesti unimodulaarinen, joten mikäli kysyntä ja tarjonta ovat kokonaislukuja, niin optimivirtaus on automaattisesti kokonaislukuarvoista. Minimikustannusvirtausmalli sopii hyvin moneen tilanteeseen, varsinkin jos "virtaava" suure valitaan sopivasti. Esimerkki. Tieverkosta on haettava lyhin reitti kahden paikan välille. Miten mallintaisit probleemaa minimikustannusvirtauksella?

13 0. Yleistetyt verkot Edellä tarkastetut verkkomallit ovat olleet ns. puhtaita verkkomalleja, koska niissä virtaus ei ole kaaria pitkin kulkiessaan voinut kadota eikä lisääntyä. Virtausta on syntynyt vain lähdesolmuissa ja poistunut vain kohdesolmujen kautta. Usein on kuitenkin tarpeen mallintaa virtausta, joka kaarella lisääntyy (esimerkiksi rahavirta kasvaa korkoa) tai vähenee (kaari vuotaa). Tällaisia verkkoja sanotaan yleistetyiksi verkoiksi (generalized networks, network flows with gains and losses). Puhtailla verkkomalleilla oli se ratkaisemisen kannalta huomattava etu, että jos kaikki parametrit olivat verkossa kokonaislukuja, myös optimaaliseksi virtaukseksi löytyi automaattisesti aina kokonaislukuarvoinen virtaus. Yleistettyjen virtausten tapauksessa tämä etu menetetään, mikä on haitta silloin, kun virtauksen tulisi olla vain kokonaislukuarvoista (esimerkiksi binääristä). Toisaalta etuina yleistettyjen verkkojen käytössä ovat laajemmat mahdollisuudet mallintamisessa. Esimerkiksi virtaus voi muodollisesti muuttua paitsi määrältään myös laadultaan toiseksi, raaka-aineiden virtaus puolivalmisteiksi ja ne edelleen lopputuotteiksi jne..08 A 0 Z

14 Yleistetyn verkon kaaren, ns. yleistetyn kaaren, virtausta voidaan muuttaa muunnoskertoimella. Virtaus on solmusta i lähtiessään määrältään x ij ja muunnoskertoimella k ij kertomisen jälkeen se on solmuun j saapuessaan määrältään k ij x ij. Muunnoskerroin voi olla laadullinen, jolloin myös virtauksen laatu muuttuu. Muunnoskerrointa voidaan graafisessa esityksessä kuvata kaaren vieressä pienellä kolmiolla. Kaareen liittyvät virtauksen ala- ja ylärajat sekä kustannus liittyvät sopimuksen mukaan aina lähtevään virtaukseen eli kaaren alkupäähän. (0,) (0,) / (0,) / (0,) - (0,) (0,) -9 (0,7) -/ (0,0) Esimerkiksi jos solmuun A saapuu kolmelta eri taholta raakaainevirtaukset x i ja tuotteen valmistamiseen menee materiaalia i määrät m i kg tuoteyksikköä kohti (i=,,), niin tuotetta valmistuu k x +k x +k x yksikköä (k i =/m i ), joka virtaa solmusta A eteenpäin esimerkiksi varastoitavaksi. Jos kaaren muunnoskerroin ei muuta laatua, mutta on aidosti suurempi kuin yksi, kyseessä on virtauksen vahvistus (gain) ja jos aidosti pienempi kuin yksi, kaarella on virtauksen häviö (loss).

15 Yleistetyn verkon algebrallinen esitys on muuten samanlainen kuin tavallisen verkon, paitsi että säilymisyhtälöissä solmuun saapuvan virtauksen kerroin = kaaren muunnoskerroin. Siten siis solmussa j lähtevän virtauksen x jm kerroin = - jokaisella solmulla m, johon solmusta j on virtaus ja saapuvan virtauksen x ij kerroin = k ij jokaisella solmulla i, josta solmuun j tulee virtaus. Esimerkiksi seuraavan osaverkon algebrallinen esitys on solmun osalta x + x +x -x -x = 0. Algebrallinen esitys ei aseta mitään esteitä sille, että muunnoskerroin olisi negatiivinen. Jos solmuun j solmusta i tulevan virtauksen muunnoskerroin k<0, niin solmuun j ei itse asiassa tulekaan virtausta tätä kaarta pitkin, vaan siitä lähtee. Silloin kaaren (i,j) molemmissa päissä olevista solmuista lähtee virtausta kaarelle, jossa kyseinen virtaus sitten lopulta katoaa. Tämä on sallittua yleistetyssä verkossa ( 0, ) A - B A./ ( 0, ) X. B ( 0, )

4. Kokonaislukutehtävän ja LP:n yhteyksiä

4. Kokonaislukutehtävän ja LP:n yhteyksiä 8 4. Kokonaislukutehtävän ja LP:n yhteyksiä Minkowskin esityslauseen avulla voidaan osoittaa, että jos P on rationaalinen monitahokas ja S sen sisällä olevien kokonaislukupisteiden joukko, niin co(s) on

Lisätiedot

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:

Lisätiedot

14. Luennon sisältö. Kuljetustehtävä. Verkkoteoria ja optimointi. esimerkki. verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut

14. Luennon sisältö. Kuljetustehtävä. Verkkoteoria ja optimointi. esimerkki. verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 14. Luennon sisältö Kuljetustehtävä esimerkki Verkkoteoria ja optimointi verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti

Lisätiedot

Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen

Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen Jos sallittuja kokonaislukuratkaisuja ei ole kovin paljon, ne voidaan käydä kaikki läpi yksitellen Käytännössä tämä ei kuitenkaan ole yleensä mahdollista

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3 7.3.07 Tehtävä Olkoon tilamuuttujat Tällöin saadaan rekursioyhtälö f n (x n ) = max yn {0,} ynwn xn f 0 ( ) = 0. x n = vaiheessa n jäljellä oleva paino, n =,...,N, esine n pakataan

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Johdatus verkkoteoriaan 4. luento

Johdatus verkkoteoriaan 4. luento Johdatus verkkoteoriaan 4. luento 28.11.17 Viikolla 46 läpikäydyt käsitteet Viikolla 47 läpikäydyt käsitteet Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot,

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä

Lisätiedot

8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku

8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku 38 8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku Edellä kuvattu simplex-algoritmi tarvitsee alkuratkaisuksi käyvän kantaratkaisun eli käyvän joukon kärkipisteen. Sellaisen voi konstruoida seuraavilla tavoilla:

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin

Lisätiedot

Demo 1: Simplex-menetelmä

Demo 1: Simplex-menetelmä MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.4 Lineaarinen ohjelmointi 8..7 Luento 8 Verkkotehtävät, simlex ja duaalisuus (kirja 7.-7., 7.6) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Motivointi Käsitteitä Verkkotehtävä Verkkosimlex Duaalitehtävä Yhteenveto

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla

Talousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

Kokonaislukuoptimointi

Kokonaislukuoptimointi Kokonaislukuoptimointi Optimointitehtävät, joissa muuttujat tai osa niistä voivat saada vain kokonaislukuarvoja Puhdas kokonaislukuoptimointitehtävä: Kaikki muuttujat kokonaislukuja Sekoitettu kokonaislukuoptimointitehtävä:

Lisätiedot

Demo 1: Branch & Bound

Demo 1: Branch & Bound MS-C05 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 7 Ehtamo Demo : Branch & Bound Ratkaise lineaarinen kokonaislukuoptimointitehtävä käyttämällä Branch & Boundalgoritmia. max x + x s.e. x + 4x 9 5x + x 9 x Z

Lisätiedot

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut

Lisätiedot

Optimoinnin sovellukset

Optimoinnin sovellukset Optimoinnin sovellukset Timo Ranta Tutkijatohtori TTY Porin laitos OPTIMI 4.12.2014 Mitä optimointi on? Parhaan ratkaisun systemaattinen etsintä kaikkien mahdollisten ratkaisujen joukosta Tieteellinen

Lisätiedot

Johdatus verkkoteoriaan luento Netspace

Johdatus verkkoteoriaan luento Netspace Johdatus verkkoteoriaan luento 3.4.18 Netspace Matriisioperaatio suunnatuissa verkoissa Taustoitusta verkkoteorian ulkopuolelta ennen kuljetusalgoritmia LP-ongelma yleisesti LP = linear programming =

Lisätiedot

4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen

4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen 4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen Käypä kantaratkaisu löytyy helposti, esimerkiksi tapauksessa Ax b, b 0 x 0 jolloin sen määräävät puutemuuttujat. Tällöin simplex-menetelmän alustus

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

Diskreetit rakenteet

Diskreetit rakenteet Diskreetit rakenteet 811120P 5 op 7. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 Mikä on verkko? verkko (eli graafi) koostuu solmuista ja väleistä, jotka yhdistävät solmuja

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,

Lisätiedot

Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät

Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Johdatus graafiteoriaan

Johdatus graafiteoriaan Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 126 Luku 3 Puut 3.1 Puu 3.2 Virittävä puu 3.3 Virittävän puun konstruointi 3.4 Minimaalinen virittävä puu

Lisätiedot

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi.

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. 5..0 Tehtävä Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. (c) (d) Arvostelu Kanta on degeneroitunut jos ja vain jos sitä vastaava kantamatriisi on singulaarinen. Optimissa muuttujan

Lisätiedot

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( ) Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 5..7 Luento Kertausta Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / LP ja Simplex Kurssin rakenne Duaalisuus ja herkkyysanalyysi Verkkotehtävät Kokonaislukutehtävät Lineaarinen ohjelmointi

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita.

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tehtävä 1 Mitä seuraavat käsitteet tarkoittavat? Monitahokas (polyhedron).

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku

Lisätiedot

PARITUS KAKSIJAKOISESSA

PARITUS KAKSIJAKOISESSA PARITUS KAKSIJAKOISESSA GRAAFISSA Informaatiotekniikan t iik seminaari i Pekka Rossi 4.3.2008 SISÄLTÖ Johdanto Kaksijakoinen graafi Sovituksen peruskäsitteet Sovitusongelma Lisäyspolku Bipartite matching-algoritmi

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Lineaarinen optimointitehtävä

Lineaarinen optimointitehtävä Lineaarinen optimointitehtävä min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m x 1, x 2,..., x n 0 1

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 0) Toinen välikoe, malliratkaisut. (a) Alussa puu näyttää tältä: Lisätään 4: 4 Tasapaino rikkoutuu solmussa. Tehdään kaksoiskierto ensin oikealle solmusta ja sitten

Lisätiedot

1 Rajoitettu optimointi I

1 Rajoitettu optimointi I Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Luetteloivat ja heuristiset menetelmät. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki

Luetteloivat ja heuristiset menetelmät. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Luetteloivat ja heuristiset menetelmät Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Branch and Bound sekä sen variaatiot (Branch and Cut, Lemken menetelmä) Optimointiin

Lisätiedot

KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.

KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n. TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot

Lisätiedot

Kuljetustehtävä. Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan. Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij

Kuljetustehtävä. Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan. Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij Kuljetustehtävä Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij Lähtöpaikan i kapasiteetti on a i (oletetaan, että a i > 0

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista

Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista (eli mitä kaikkea kokonaisluvuilla voi mallintaa) 27. marraskuuta 2013 Pääoman budjetointiongelma Kulut Projekti Vuosi 1 Vuosi 2 Vuosi 3 Tuotto 1 5 1 8 20 2

Lisätiedot

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S

Lisätiedot

10. Painotetut graafit

10. Painotetut graafit 10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä

Lisätiedot

Ratkaisu. Tulkitaan de Bruijnin jonon etsimiseksi aakkostossa S := {0, 1} sanapituudelle n = 4. Neljän pituisia sanoja on N = 2 n = 16 kpl.

Ratkaisu. Tulkitaan de Bruijnin jonon etsimiseksi aakkostossa S := {0, 1} sanapituudelle n = 4. Neljän pituisia sanoja on N = 2 n = 16 kpl. iskreetti matematiikka, syksy 00 arjoitus, ratkaisuista. seta 8 nollaa ja 8 ykköstä renkaaksi niin, että jokainen yhdistelmä 0000, 000,..., esiintyy täsmälleen kerran. Vihje: Tulkitse de ruijnin jonon

Lisätiedot

T : Max-flow / min-cut -ongelmat

T : Max-flow / min-cut -ongelmat T-61.152: -ongelmat 4.3.2008 Sisältö 1 Määritelmät Esimerkki 2 Max-flow Graafin leikkaus Min-cut Max-flow:n ja min-cut:n yhteys 3 Perusajatus Pseudokoodi Tarkastelu 4 T-61.152: -ongelmat Virtausverkko

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E. Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita

Lisätiedot

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa. BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu

Lisätiedot

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A

Lisätiedot

Johdatus graafiteoriaan

Johdatus graafiteoriaan Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 9..7 Luento Kokonaislukuoptimoinnin algoritmeja (kirja.-.) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Luentorunko Gomoryn leikkaava taso Branch & Bound Branch & Cut Muita menetelmiä

Lisätiedot

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n

Lisätiedot

Lineaarinen optimointitehtävä

Lineaarinen optimointitehtävä Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä

Lisätiedot

73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2

73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 Risto Silvennoinen Tampereen teknillinen yliopisto, kevät 2004 1. Peruskäsitteet Optimointiteoria on sovelletun matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan funktioiden

Lisätiedot

Joonas Haapala Ohjaaja: DI Heikki Puustinen Valvoja: Prof. Kai Virtanen

Joonas Haapala Ohjaaja: DI Heikki Puustinen Valvoja: Prof. Kai Virtanen Hävittäjälentokoneen reitin suunnittelussa käytettävän dynaamisen ja monitavoitteisen verkko-optimointitehtävän ratkaiseminen A*-algoritmilla (valmiin työn esittely) Joonas Haapala 8.6.2015 Ohjaaja: DI

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 6 24.4.2017 Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomonisteen s. 107) mukaan yleisen muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on min θ(u,v)

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-2.34 Lineaarinen ohjelmointi..27 Luento 5 Simplexin implementaatioita (kirja 3.2-3.5) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 27 / Luentorunko (/2) Simplexin implementaatiot Naiivi Revised Full tableau Syklisyys

Lisätiedot

Simplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala

Simplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala Simplex-algoritmi T-6.5 Informaatiotekniikan seminaari..8, Susanna Moisala Sisältö Simplex-algoritmi Lähtökohdat Miten ongelmasta muodostetaan ns. Simplextaulukko Miten haetaan käypä aloitusratkaisu Mitä

Lisätiedot

Liite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Liite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Liite: Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 : Mitä opimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, operaatiotutkimuksessa, peli-ja päätösteoriassa

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =

Lisätiedot

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 4/2008, Ratkaisut

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 4/2008, Ratkaisut Projektien valintapäätöksiä voidaan pyrkiä tekemään esimerkiksi hyöty-kustannus-suhteen (so. tuottojen nykyarvo per kustannusten nykyarvo) tai nettonykyarvon (so. tuottojen nykyarvo - kustannusten nykyarvo)

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.

Lisätiedot

Luento 7: Kokonaislukuoptimointi

Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus

Lisätiedot

Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005

Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T-79.165 Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Mikko Malinen, 36474R 29. maaliskuuta, 2005 Tiivistelmä Artikkelissa käydään läpi teoriaa, jonka avulla

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä

Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä 1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,

Lisätiedot

Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?

Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla? 7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,

Lisätiedot

Ennakkotehtävän ratkaisu

Ennakkotehtävän ratkaisu Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a

Lisätiedot

6.4. Järjestyssuhteet

6.4. Järjestyssuhteet 6.4. Järjestyssuhteet Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä). Suhde R joukossa

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 11 Ti 24.4.2018 Timo Männikkö Luento 11 Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Kauppamatkustajan ongelma Paikallinen etsintä Lyhin virittävä puu Vaihtoalgoritmit Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento

Lisätiedot

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

Silmukkaoptimoinnista

Silmukkaoptimoinnista sta TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. joulukuuta 2009 Sisällys Sisällys Seuraava deadline Vaihe F maanantai 14.12. klo 12 rekisteriallokaatio Arvostelukappale

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti.

2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti. Tietorakenteet, laskuharjoitus 11, ratkaisuja 1. Leveyssuuntaisen läpikäynnin voi toteuttaa rekursiivisesti käsittelemällä jokaisella rekursiivisella kutsulla kaikki tietyllä tasolla olevat solmut. Rekursiivinen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) () = 2+1. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että minimoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) () = (suurin kokonaisluku

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot